Cálculo de Várias Variáveis

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Minhas Disciplinas 202210.ead-29782294.06 - CÁLCULO APLICADO � VÁRIAS VARIÁVEIS - GR0551 UNIDADE 2
Atividade 2 (A2)
Iniciado em domingo, 24 abr 2022, 18:16
Estado Finalizada
Concluída em domingo, 24 abr 2022, 18:34
Tempo
empregado
18 minutos 14 segundos
Avaliar 9,00 de um máximo de 10,00(90%)
Questão 1
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de
aumento é definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade , medida em , em todos os
pontos de uma placa retangular no plano dada por , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de
aumento da densidade no ponto . 
 
 
a. A taxa máxima de aumento da densidade é .
b. A taxa máxima de aumento da densidade é .
c. A taxa máxima de aumento da densidade é .
d. A taxa máxima de aumento da densidade é .
e. A taxa máxima de aumento
da densidade é .
 Resposta correta. A alternativa está correta. A taxa máxima de aumento da densidade,
conforme o enunciado nos traz, é a norma do vetor gradiente no ponto considerado.
Dado que o vetor gradiente no ponto P(1,2) é  e sua norma é 
, concluímos que a taxa máxima de aumento da densidade
é .
A resposta correta é: A taxa máxima de aumento da densidade é .
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Questão 2
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três variáveis. Nesse caso, a mudança no cálculo se dá pela
quantidade de componentes que o vetor gradiente e o vetor que dá a direção apresentam, nesse caso, esses vetores possuem três
componentes. Considere a seguinte situação: O potencial elétrico num ponto do espaço tridimensional é expresso pela função 
. 
Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a maior taxa de variação do potencial elétrico no ponto 
. 
 
 
a.  Resposta correta. A alternativa está correta. A maior taxa de variação do potencial elétrico
ocorre na direção e no sentido do vetor gradiente calculado no ponto P, isto é, 
Dado que o vetor gradiente no ponto P(2,2,-1) é  e
sua norma é , temos que a direção procurada é 
.
b.
c.
d.
e.
A resposta correta é: 
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Questão 3
Incorreto
Atingiu 0,00 de 1,00
Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas variáveis temos que o domínio desse tipo de função
pode ser dado como o conjunto de pares ordenados pertencentes ao plano que satisfazem a lei de formação da função . Assim,
para determinar o domínio da função precisamos verificar se não há restrições para os valores que e podem assumir. 
 
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta. 
 
 
a. O domínio da função  é o conjunto .
b. O domínio da função  é o conjunto .
c. O domínio da função  é o conjunto 
.
 Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta.
Avaliando as restrições de cada função, obtemos seus
respectivos domínios:
- Função: . Restrição: .
Domínio: .
- Função: . Restrição: . Domínio: 
.
- Função: . Restrição: nenhuma. Domínio: 
.
- Função: . Restrição: . Domínio: 
.
d. O domínio da função  é o conjunto .
e. O domínio da função  é o conjunto .
A resposta correta é: O domínio da função  é o conjunto .
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Questão 4
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e volume (V) de um gás ideal.
Expressando essa lei como a função , onde é uma constante dada, considere um gás com o volume de sob uma
pressão de . O volume está aumentando a uma taxa de e a pressão está decrescendo a uma taxa de por
segundo. 
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações anteriores. (Use ). 
 
 
a. A temperatura está aumentando a uma taxa de  por segundo no instante dado.
b. A temperatura está
diminuindo a uma taxa
de  por segundo no
instante dado.
 Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases ideais , onde ,
temos . Pelas informações do enunciado, temos , , 
 e . Derivando a função  com relação ao tempo , pela regra da cadeia, temos: 
, onde  e . Assim, 
. Portanto, a temperatura está
diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
c. A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
d. A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
e. A temperatura está aumentando a uma taxa de  por segundo no instante dado.
A resposta correta é: A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
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Questão 5
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 6
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função o vetor gradiente é o vetor 
. Dado um ponto , o vetor gradiente da função no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão 
. 
 
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função no ponto . 
 
 
a.
b.  Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos
calcular as derivadas parciais da função:
- Derivada de  em relação a  (a variável  é vista como
constante): 
- Derivada de  em relação a  (a variável  é vista como
constante):  . 
Calculando as derivadas parciais no ponto , temos 
 e . Logo, o vetor gradiente é 
.
c.
d.
e.
A resposta correta é: 
A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a
partir de um ponto. Considere, então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de uma placa retangular é determinada por meio
da função . 
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no ponto na direção do vetor . 
 
 
a. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 8,93 unidades.
b. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,82 unidades.
c. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,38 unidades.
d. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 8,39 unidades.
e. A temperatura está
aumentando à taxa de
aproximadamente 9,93
unidades.
 Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu vetor
gradiente são: ,  e . Assim, dado o ponto (3,4),
temos . O vetor  é unitário, então a derivada direcional irá nos
fornecer a taxa de variação desejada: .
A resposta correta é: A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades.
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Questão 7
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Suponha que seja uma função diferenciável de e , talque . No entanto, e são funções de expressas por 
 e . Para se obter a derivada de com relação a variável devemos fazer uso da regra da cadeia. 
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada de em relação a , isto é, , para quando . 
 
 
a.  Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que 
, onde . Assim, 
. Dado que , temos 
.
b.
c.
d.
e.
A resposta correta é: 
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Questão 8
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um
resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro
da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. 
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. 
 
I - O domínio da função é o conjunto . 
II - O domínio da função é o conjunto . 
III - O domínio da função é o conjunto . 
IV - O domínio da função é o conjunto . 
 
 
 
a. I, II, IV
b. II, III
c. I, III, IV
d. I, IV  Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando
as restrições de cada função, concluímos que:
A�rmativa I: Correta. O domínio da função 
 é o conjunto 
.
A�rmativa IV: Correta. O domínio da função 
 é o conjunto 
.
e. I, III
A resposta correta é: I, IV
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Questão 9
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 10
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada etapa. Esse tipo de função é derivada fazendo o uso da
chamada regra da cadeia. No caso de funções de duas variáveis, temos que observar quais são as variáveis independentes, as variáveis
intermediárias e a variável dependente. Sabemos que podemos escrever . Se e e . 
 
Com base no exposto, assinale a alternativa correta. 
 
 
a. As variáveis  e  são as variáveis intermediárias.
b. As variáveis  e  são as
variáveis independentes.
 Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que a variável  depende das
variáveis  e , pois . No entanto, as variáveis  e  dependem das variáveis 
 e  e essas últimas não possuem dependência de nenhuma outra variável. Dessa
forma, concluímos que as variáveis  e  são as variáveis independentes.
c. As variáveis  e  são as variáveis dependentes.
d. A variável  é a variável intermediária.
e. A variável  é a variável independente.
A resposta correta é: As variáveis  e  são as variáveis independentes.
A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor oposto ao vetor gradiente, visto
que esse representa a direção e o sentido de maior crescimento. Sabendo disso, suponha que a função  represente
uma distribuição de temperatura no plano  (suponha  medida em graus Celsius,  e  medidos em ). 
Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento da temperatura e sua taxa de
variação mínima.
a. Direção  e taxa mínima de .
b. Direção  e taxa mínima de .
c. Direção  e taxa
mínima de .
 Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior decrescimento é
oposta ao vetor gradiente no ponto considerado, isto é . Já a
variação de temperatura é mínima em . (O sinal
negativo apenas indica que a temperatura é mínima).
d. Direção  e taxa mínima de .
e. Direção  e taxa mínima de .
A resposta correta é: Direção  e taxa mínima de .
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