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EDSON TEJERINA CALDERÓN MARCELO DE REZENDE CARVALHO TEORIA DAS ESTRUTURAS II NOTAS DE AULA MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS PUC Pontifícia Universidade Católica de Goiás Goiânia 2010 EDSON TEJERINA CALDERÓN MARCELO DE REZENDE CARVALHO TEORIA DAS ESTRUTURAS II NOTAS DE AULA MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 118 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho SUMÁRIO Prefácio ................................................................................................................................iii 1. Deslocabilidade ...................................................................................................................1 1.1 Deslocabilidade Interna .............................................................................................1 1.2 Deslocabilidade Externa ............................................................................................2 1.3 Estrutura Indeslocável ...............................................................................................4 1.4 Estrutura Deslocável ..................................................................................................5 1.5 Estrutura Isogeométrica ............................................................................................5 1.6 Estrutura Hipergeométrica .......................................................................................5 1.7 Grau de Hipergeometria ...........................................................................................6 1.8 Grau de Hipergeometria Reduzido .........................................................................6 2. Fatores de 2ª Espécie ..........................................................................................................9 2.1 Fatores de Forma .........................................................................................................10 2.1.1 Rotação .............................................................................................................10 2.1.2 Translação ........................................................................................................12 2.2 Fatores de Carga ..........................................................................................................13 2.3 Fatores de 2ª Espécie Derivados ................................................................................15 2.4 Fatores de Forma Derivados ......................................................................................16 2.4.1 Rotação .............................................................................................................16 2.4.2 Translação ........................................................................................................17 2.5 Fatores de Carga Derivados .......................................................................................18 3. Método dos Deslocamentos ............................................................................................21 3.1 Formulação do Método ...............................................................................................21 3.2 Convenção de sinais ....................................................................................................26 3.3 Roteiro de Cálculo .......................................................................................................26 3.4 Aplicação às Estruturas Indeslocáveis .....................................................................27 3.4.1 Carregamento Externo ...................................................................................27 3.4.2 Apoio Elástico Angular .................................................................................44 3.4.3 Recalques nos Apoios ....................................................................................49 3.4.4 Variação de Temperatura ..............................................................................56 3.5 Aplicação às Estruturas Deslocáveis ........................................................................68 3.5.1 Carregamento Externo ...................................................................................68 3.5.2 Variação de Temperatura ..............................................................................73 3.5.3 Recalques nos Apoios ....................................................................................80 3.5.4 Apoio Elástico Linear .....................................................................................84 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 4. Estruturas com Barras de Inércia Variável ...................................................................89 4.1 Inércia da Barra Variando “em saltos” .....................................................................89 4.2 Inércia da Barra Variando “em mísula” ...................................................................89 4.2.1 Parâmetros de Entrada ..................................................................................90 4.2.2 Fatores de Forma ............................................................................................90 4.2.3 Fatores de Carga .............................................................................................94 4.3 Aplicação ......................................................................................................................96 5. Processo de Cross ............................................................................................................103 5.1 Introdução ..................................................................................................................103 5.2 Equações Fundamentais ...........................................................................................103 5.3 Estruturas Indeslocáveis ...........................................................................................105 Tabelas .....................................................................................................................................117 Bibliografia .............................................................................................................................119 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 1 DESLOCABILIDADE Na maioria dos casos as estruturas são resolvidas considerando-se apenas os deslocamentos provenientes da flexão. Nestas estruturas, as barras se curvam à flexão sem sofrer variações nos seus comprimentos. barra rígida nós rígidos 1.1 DESLOCABILIDADE INTERNA É dada pelo número de nós rígidos internos da estrutura. di = N N – número de nós rígidos internos da estrutura. Obs: não são incluídas as rótulas. Exemplos: 1) Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 2 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos di = 2 2) di = 2 1.2 DESLOCABILIDADE EXTERNA É dada pelo número de apoios móveis ideais necessários para impedir os deslocamentos lineares (translações) dos nós rígidos da estrutura. de = 3B – Am – 2Af – 2(Br – 1)R B – número de nós rígidos internos da estrutura. Am – número de apoios móveis. Af – número de apoios fixos. Br – número de barras ligadas a uma rótula. R – número de rótulas ligando Br barras. Obs: Para aplicar a fórmula anterior é necessário introduzir, previamente, rótulas em todos os nós da estrutura. Exemplos:1) Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 3 Cap. 1 - Deslocabilidade apoio móvel fictício B = 2 di = 1 Am = 1 Af = 1 Br = 2 R = 1 de = 3· 2 – 1 – 2· 1 – 2· (2 – 1)· 1 de = 1 2) di = 3 B = 5 Am = 1 Af = 2 Br = 2 Br = 3 R = 2 R = 1 de = 3· 5 – 1 – 2· 2 – 2· (2 – 1)· 2 – 2· (3 – 1)· 1 de = 2 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 4 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 3) Estrutura original Introdução de rótulas em todos os nós da estrutura Travando deslocabilidades B = 15 Am = 0 di = 9 Af = 3 Br = 2 Br = 3 Br = 4 R = 2 R = 5 R = 2 de = 3· 15 – 0 – 2· 3 – 2· (2 – 1)· 2 – 2· (3 – 1)· 5 – 2 – 2· (4 – 1)· 2 de = 3 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 5 Cap. 1 - Deslocabilidade 1.3 ESTRUTURA INDESLOCÁVEL É quando nenhum dos nós da estrutura apresenta deslocamentos lineares (translações). de = 0 Exemplo: di = 1 de = 0 1.4 ESTRUTURA DESLOCÁVEL É quando pelo menos um dos nós da estrutura apresenta deslocamento linear. de ≠ 0 Exemplo: di = 1 de = 1 1.5 ESTRUTURA ISOGEOMÉTRICA É quando podem ser determinados, geometricamente, os deslocamentos dos nós da estrutura. Exemplo: 1) Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 6 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 1.6 ESTRUTURA HIPERGEOMÉTRICA É quando não podem ser determinados, geometricamente, os deslocamentos dos nós da estrutura. Exemplo: 1) 1.7 GRAU DE HIPERGEOMETRIA É dado pelo número de deslocamentos dos nós da estrutura. d = di + de + ar ar – número de apoios rotulados (articulados) externos. , Apoios rotulados Exemplo: 1) di = 1 de = 0 d = 3 ar = 2 1.8 GRAU DE HIPERGEOMETRIA REDUZIDO d = di + de Exemplo: 1) di = 1 de = 0 dr = 1 ar = 2 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 7 Cap. 1 - Deslocabilidade 2) di = 2 de = 2 d = 5 ar = 1 dr = 4 3) di = 1 de = 1 d = 3 ar = 1 dr = 2 4) A B C D d = 3 di = 1 de = 1 d = 3 ar = 1 dr = 2 dr = 2 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 2 FATORES DE 2ª ESPÉCIE B C A B’ A’ di = 3 de = 2 d = 5 ar = 0 dr = 5 ρ φ B’ φ δ ρ ρ = deslocamento ortogonal recíproco do nó B em relação ao nó A A’ φ φ B’ B A’ ρ A C’ Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 10 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos φ ROTAÇÕES φ ρ TRANSLAÇÃO ROTAÇÕES FATORES DE FORMA TRANSLAÇÃO DE 2ª ESPÉCIE FATORES DE CARGA DE 2ª ESPÉCIE 2.1 FATORES DE FORMA 2.1.1 Rotação 1 2 φ L EI = const. Pelo método dos esforços: X1 X2 X3 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 11 Cap.2 - Fatores de 2ª Espécie Sendo: L = IcI ∙ L 1 M1 M2 1 Ic = I EIcδ = 13 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = 13 L EIcδ = 13 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = 13 L EIcδ = EIcδ = − 16 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = − 16 L EIcδ = −EIc(φ ∙ 1) = −EIcφ EIcδ = 0 13 ∙ L X − 16 ∙ L X = EIcφ (x2) − 16 ∙ L X + 13 ∙ L X = 0 23 − 16 ∙ L X = 2EIcφ → X = 4EIcL′ φ − 16 + 23 ∙ L X = EIcφ → X = 2EIcL′ φ φ M φ Para φ = 1 X → a = 4EIcL′ X → b = 2EIcL′ Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 12 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 2.1.2 Translação 1 2 ρ ρ L EI = const. Pelo método dos esforços: X1 X2 X3 1 M1 M2 1/L 1/L 1/L 1/L 1 Ic = I EIcδ = 13 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = 13 L EIcδ = 13 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = 13 L EIcδ = EIcδ = − 16 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = − 16 L EIcδ = −EIc 1L ∙ ρ EIcδ = −EIc 1L ∙ ρ 13 ∙ L X − 16 ∙ L X = EIcL ρ − 16 ∙ L X + 13 ∙ L X = EIcL ρ 23 − 16 ∙ L X = 3EIcL ρ → X = 6EIcLL′ ρ − 16 + 23 ∙ L X = 3EIcL ρ → X = 6EIcLL′ ρ Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 13 Cap.2 - Fatores de 2ª Espécie ρ M ρ Para ρ = 1 X → c = 6EIcLL′ X → c = 6EIcLL′ 2.2 FATORES DE CARGA 1 q 2 L EI = const. Pelo método dos esforços: X1 X2 X3 1 M1 M2 1 M0 ² Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 14 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos Ic = I EIcδ = 13 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = 13 L EIcδ = 13 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = 13 L EIcδ = EIcδ = − 16 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = − 16 L EIcδ = − 13 L′ ∙ 1 ∙ ql²8 EIcδ = 13 L′ ∙ 1 ∙ ql²8 13 ∙ L X − 16 ∙ L X = ql24 L′ (x2) − 16 ∙ L X + 13 ∙ L X = − ql24 L′ 23 − 16 ∙ L X = ql24 L′ → X = ql12 − 16 + 23 ∙ L X = − ql24 L′ → X = − ql12 M X → m = ql12 X → m = − ql12 Fatores de carga para outros tipos de carregamento são encontrados na TABELA 1. Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 15 Cap.2 - Fatores de 2ª Espécie 2.3 FATORES DE 2ª ESPÉCIE DERIVADOS B C D D’ B’ C’ di = 2 de = 2 d = 6 A A’ ar = 2 dr = 4B’ A δ ρ = deslocamento ortogonal recíproco do nó B em relação ao nó A A’ B’ A’ B ρ φ ρ φ Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 16 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos ROTAÇÃO FATORES DE + FORMA DERIVADOS TRANSLAÇÃO + FATORES DE CARGA DERIVADOS 2.4 FATORES DE FORMA DERIVADOS 2.4.1 Rotação 1 2 L EI = const. Pelo método dos esforços: X1 X2 M1 1 ρ φ φ Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 17 Cap.2 - Fatores de 2ª Espécie Ic = I EIcδ = 13 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = 13 L EIcδ = −EIc(1 ∙ φ ) δ X = −δ 13 ∙ L X = EIcφ X = 3EIcL′ φ φ M Para φ = 1 X → a′ = 3EIcL′ 2.4.2 Translação 1 2 L EI = const. Pelo método dos esforços: X1 X2 1 M1 1/L 1/L ρ Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 18 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos Ic = I EIcδ = 13 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = 13 L EIcδ = −EIc 1L ∙ ρ δ X = −δ 13 ∙ L X = EIc ρL X = 3EIcLL′ ρ ρ M Para ρ = 1 X → c′ = 3EIcLL′ 2.5 FATORES DE CARGA DERIVADOS 1 q 2 L EI = const. Pelo método dos esforços: X1 X2 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 19 Cap.2 - Fatores de 2ª Espécie M1 1 M0 ² Ic = I EIcδ = 13 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = 13 L EIcδ = − 13 ∙ L ∙ 1 ∙ ql²8 δ X = −δ 13 ∙ L X = ql24 L′ X = ql²8 ² ² M X → m′ = ql²8 Fatores de carga derivados para outros tipos de carregamento são encontrados na TABELA 2. Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 3 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 3.1 FORMULAÇÃO DO MÉTODO C D di = 2 de = 1 d = 4 ar = 1 dr = 3 A B X1 X2 X3 SISTEMA PRINCIPAL C D = A B Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 22 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos β11 β21 X1 = 1 β31 + X1· Rotação β12 β22 X2 = 1 β32 + X2· Rotação X3 = 1 X3 = 1 β13 β23 β33 + X3· Translação β10 β20 β30 + Carga Externa Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 23 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos β i j Procedência Direção a b a v v b h β = a + a β = b β = h b a h v v a′ h β = b β = a + a′ β = h h Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 24 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos c c′DB c h h β = c β = c′ β = h + h m m h h m v v m′ m h h β = m − m β = −m − m′ β = −h − h h h Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 25 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos Por analogia ao Teorema de Maxwell: δ = δ β = β b = b 2EIcL′CD = 2EIcL′CD β = β h = c c = 6EIcL′ ∙ L ∑M = 0 → h ∙ L − a − b = 0 hCA1 = aCA + bACLCA hCA1 = 4EIcL′CA + 2EIcL′CALCA h = 6EIcL′ ∙ L ⟷ c = 6EIcL′ ∙ L Aplicando o Princípio da Superposição de Efeitos obtém-se o sistema de equações de compatibilidade estática: β ∙ X + β ∙ X + β ∙ X + β = 0 β ∙ X + β ∙ X + β ∙ X + β = 0 β ∙ X + β ∙ X + β ∙ X + β = 0 Escrevendo na forma matricial, tem-se: β β ββ β ββ β β XXX = − βββ Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 26 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos [β] – matriz de rigidez X – vetor das incógnitas (deslocamentos) β0 – vetor dos termos de cargas (ações) [δ] – matriz de flexibilidade X – vetor das incógnitas (esforços) δ0 – vetor dos termos de cargas (ações) Método dos deslocamentos Método dos esforços [β] X = − β0 [δ] X = − δ0 Para calcular os esforços nos nós da estrutura, aplicamos o Princípio da Superposição de Efeitos: E = E + E ∙ X β = esforço na direção do deslocamento Xi devido ao deslocamento Xj = 1 β 0 = esforço na direção do deslocamento Xi devido ao carregamento No caso de outro tipo de ações como variação de temperatura, recalques nos apoios e modificações impostas, deve-se substituir β 0 por β , β e β , respectivamente. 3.2 CONVENÇÃO DE SINAIS Será adotado o sentido anti-horário como positivo, para os momentos e as rotações. + 3.3 ROTEIRO DE CÁLCULO 1) Determinar o grau de hipergeometria 2) Adotar um sistema principal 3) Calcular os esforçosdevido aos deslocamentos unitários (a, b, a’, c, c’) e ao carregamento (m, m’) 4) Calcular os β e β 0 (β , β , β ) 5) Montar e resolver do sistema de equações (X1, X2, X3...) 6) Calcular os esforços finais nos nós da estrutura e traçar os diagramas dos esforços solicitantes Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 27 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 2m 6m 2m 4m 3m 2m 3.4 APLICAÇÃO ÀS ESTRUTURAS INDESLOCÁVEIS 3.4.1 Carregamento Externo Exemplo 3.1 1,5 tf/m 3tf 10 tf· m A B 1,5I C 2I D I E 3tf 1,5 tf/m 3tf 3tf· m 10 tf· m a) Grau de hipergeometria di = 2 de = 0 d = 4 ar = 2 dr = 2 b) Sistema Principal X1 X2 c) Cálculo dos esforços Ic = I → L′ = 4m; L′ = 3m; L′ = 5m L = IcI ∙ L c.1) Deslocamento X1 = 1 a′ a b E1 B C D E Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 28 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos a = 4EIc3 = 43 ∙ EIc b = 2EIc3 = 23 ∙ EIc a′ = 3EIc4 = 34 ∙ EIc 3/4 4/3 2/3 V = V = V = V = 0 M = 0 → V ∙ 6 − 34 EIc = 0 ∴ V = 18 ∙ EIc (↑) M = 0 → V ∙ 5 = 0 ∴ V = 0 M = 0 → V ∙ 6 + 43 + 23 EIc = 0 ∴ V = − 13 ∙ EIc (↓) ∑F = 0 → V + 18 − 13 EIc = 0 ∴ V = 524 ∙ EIc (↑) c.2) Deslocamento X2 = 1 b a a′ E2 B C D E a = 4EIc3 = 43 ∙ EIc b = 2EIc3 = 23 ∙ EIc a′ = 3EIc5 = 35 ∙ EIc EIc Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 29 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 2/3 4/3 3/5 V = 0 V = V = V = c.3) Carregamento externo 3tf 1,5 tf/m 3tf 3 tf· m m m m′ 10 tf· m m′ B C D E m = 3 ∙ 2 ∙ 46² = 2,67 tf ∙ m ⟶ TABELA 1 m = − 3 ∙ 2 ∙ 46² = −1,33 tf ∙ m m′ = − 102 3 ∙ 25 − 1 = 2,60 tf ∙ m ⟶ TABELA 2 m′ ⇒ Espelhando: 1,5 tf/m 1 q 2 m′ m′ B C Girando: C B m′CB q 1,5 tf/m m′ = − ql8 m′ = − 1,5 ∙ 68 = −6,75 tf ∙ m Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 30 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos m′ ⇒ Espelhando: m′ m′ 3 tf· m M2 B C m′ = − 12 (2 ∙ 0 − 3) = 1,5 tf ∙ m Girando: C B m′ 3 tf· m m′ = 12 (2 ∙ 0 + 3) = 1,5 tf ∙ m m′ = m′ + m′ m′ = −6,75 + 1,5 m′ = −5,25 tf ∙ m E0 -5,25 2,67 -1,33 2,60 V = 7,13 V = 7,09 V = 3,30 V = 2,52 M = 0 → V ∙ 6 + 7,13 ∙ 12 − 1,5 ∙ 8 ∙ 10 − 3 ∙ 4 + 5,25 − 2,67 + 1,33 = 0 V = 7,09 tf ∑F = 0 → V + 7,13 + 7,09 − 2,52 − 1,5 ∙ 8 − 3 = 0 V = 3,30 tf Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 31 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos d) Cálculo dos β e β 0 β = a′ + a β = 34 + 43 EIc = 2512 EIc β = a + a′ β = 43 + 35 EIc = 2915 EIc β = β = b = b = 23 EIc β = m′ + m β = −5,25 + 2,67 = −2,58 tf ∙ m β = m + m′ β = −1,33 + 2,60 = 1,27 tf ∙ m e) Montagem e resolução do sistema de equações 2512 EIc ∙ X + 23 EIc ∙ X = 2,58 23 EIc ∙ X + 2915 EIc ∙ X = −1,27 EIc ∙ X = 1,628 EIc ∙ X = −1,218 f) Esforços Finais E = E + E ∙ X Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 32 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 6,75 4 4,03 1,87 5,26 4,74 3 0,75 M = m′ + a ∙ X M = −5,25 + 34 EIc ∙ 1,628EIc = −4,03 tf ∙ m M = m + a ∙ X + b ∙ X M = 2,67 + 43 EIc ∙ 1,628EIc + 23 EIc ∙ (−1,218)EIc = 4,03 tf ∙ m M = m + b ∙ X + a ∙ X M = −1,33 + 23 EIc ∙ 1,628EIc + 43 EIc ∙ (−1,218)EIc = −1,87 tf ∙ m M = m′ + a′ ∙ X M = 2,60 + + 35 EIc ∙ (−1,218)EIc = 1,87 tf ∙ m M (tfm) ql8 = 1,5 ∙ 28 = 0,75 ql8 = 1,5 ∙ 68 = 6,75 PabL = 3 ∙ 2 ∙ 46 = 4,00 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 33 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos + + - 4,33 2,35 4,67 3,00 2,37 0,65 + - - 5m 2m 4m 1, 5m 2, 5m V = 7,13 + 18 ∙ (1,628) = 7,33 tf (↑) V = 7,09 + 524 ∙ (1,628) + 13 ∙ (−1,218) = 7,02 tf (↑) V = 3,30 − 13 ∙ (1,628) − 1675 ∙ (−1,218) = 3,02 tf (↑) V = −2,52 − 325 ∙ (−1,218) = −2,37 tf (↓) Q (tf) Exemplo 3.2 2 tf/m 4tf A D E 8 tf· m 6tf B C a) Grau de hipergeometria di = 2 de = 0 d = 4 ar = 2 dr = 2 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 34 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos b) Sistema Principal X1 X2 c) Cálculo dos esforços Ic = I → L = L c.1) Deslocamento X1 = 1 2/5 4/5 2/3 1/3 E1 3/4 0 M = 0 → h ∙ 4 = 0 ∴ h = 0 M = 0 → h ∙ 4 + 34 = 0 ∴ h = − 316 (←) ∑F = 0 → h ∙ − 316 + 0 = 0 ∴ h = 316 (→) M = 0 → V ∙ 6 + 13 + 23 = 0 ∴ V = − 16 (↓) M = 0 → V ∙ 5 − 25 − 45 = 0 ∴ V = 625 (↑) ∑F = 0 → V + 625 + − 16 = 0 ∴ V = − 11150 (↓) Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 35 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos c.2) Deslocamento X2 = 1 1/3 2/3 E2 3/4 0 0 c.3) Carregamento externo 4,17 -4,17 3,56 -1,78 E0 6,72 -0,69 4,57 5,00 1,83 1,11 7,96 1,04 m = 2 ∙ 515 = 256 = 4,17 tf ∙ m m = − 2 ∙ 515 = − 256 = −4,17 tf ∙ m m = 4 ∙ 2 ∙ 46 = 4 ∙ 2 ∙ 1636 = 329 = 3,56 tf ∙ m m = − 4 ∙ 2 ∙ 46 = −1,78 tf ∙ m m′ = − 6 ∙ 1,5 ∙ 2,52 ∙ 4 (2,5 + 4) = 4,57 tf ∙ m m′ = − 82 3 ∙ 2,54 − 1 = −0,69 tf ∙ m Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 36 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos M = 0 → h ∙ 4 − 6 ∙ 1,5 + 4,57 = 0 ∴ h = 1,11 tf M = 0 → h ∙ 4 + 8 ∙ (−0,69) = 0 ∴ h = 1,83 tf ∑F = 0 → h − 1,83 + 1,11 − 6 = 0 ∴ h = 6,72 tf M = 0 → V ∙ 5 − 2 ∙ 5 ∙ 2,5 = 0 ∴ V = 5,00 tf M = 0 → V ∙ 6 + 1,11 ∙ 4 − 6 ∙ 1,5 + 4,57 − 1,78 + 3,56 − 4 ∙ 2 = 0 ∴ V = 1,04 tf ∑F = 0 → V + 5 + 1,04 − 2 ∙ 5 − 4 = 0 ∴ V = 7,96 tf d) Cálculo dos β e β 0 β = 45 + 23 + 34 EIc = 13360 EIc β = 23 + 34 EIc = 1712 EIc β = β = 13 EIc β = 4,17 + 3,56 − 0,69 = −1,30 tf∙ m β = −1,78 + 4,57 = 2,79 tf ∙ m e) Montagem e resolução do sistema de equações 13360 EIc ∙ X + 13 EIc ∙ X = 1,30 13 EIc ∙ X + 1712 EIc ∙ X = −2,79 EIc ∙ X = 0,915 EIc ∙ X = −2,185 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 37 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos f) Esforços Finais E = E + E ∙ X M = 4,17 + 25 ∙ (0,915) = 4,54 tf ∙ m M = −4,17 + 45 ∙ (0,915) = −3,44 tf ∙ m M = 3,56 + 23 ∙ (0,915) + 13 ∙ (−2,185) = 3,44 tf ∙ m M = −1,78 + 13 ∙ (0,915) + 23 ∙ (−2,185) = −2,93 tf ∙ m M = −0,69 + 34 ∙ (0,915) = 0,00 tf ∙ m M = 4,57 + 34 ∙ (−2,185) = 2,93 tf ∙ m “A soma dos momentos em um nó é igual a zero” V = 5,00 + 625 ∙ (0,915) = 5,22 tf (↑) V = 7,96 − 11150 ∙ (0,915) + 16 ∙ (−2,185) = 7,53 tf (↑) V = 1,04 − 16 ∙ (0,915) − 16 ∙ (−2,185) = 1,25 tf (↑) H = 6,72 + 316 ∙ (0,915) + 316 ∙ (−2,185) = 6,48 tf (→) H = −1,83 − 316 ∙ (0,915) = −2,00 tf (←) H = 1,11 − 316 ∙ (−2,185) = 1,52 tf (→) Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 38 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos + - + + + - - 5,22 4,78 2, 00 1,25 1, 52 2,75 4, 48 - 1, 25 6,48 4,48 7, 53 - - - 4,54 3,44 2,93 2,93 3 5 5,63 6,25 5,33 M (tfm) = ∙ = 6,25 = ∙ ∙ = 5,33 = ∙ , ∙ , = 5,63 Q (tf) N (tf) Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 39 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 6m 6m6m6m6m 7, 2m 4, 8m 24m Exemplo 3.3 20tf 20tf 20tf 20tf 5 tf/m F E 2,5I D 2,5I C I I A B a) Grau de hipergeometria di = 2 de = 0 d = 3 ar = 1 dr = 2 b) Sistema Principal X1 X2 c) Cálculo dos esforços Ic = I L = IcI ∙ L L′ = I2,5I ∙ 24 = 9,6m L′ = 7,2m L′ = I2,5I ∙ 24 = 9,6m L′ = 12m Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 40 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos c.1) Deslocamento X1 = 1 5/12 5/24 5/12 0 25432 0 E1 5192 c.2) Deslocamento X2 = 1 5/24 5/12 5/12 5/24 4/12 5192 0 2/12 E2 0 c.3) Carregamento externo -120 150 -150 240 -240 0 60 0 50 0 E0 90 m = 5 ∙ 2412 = 240 tf ∙ m m = − 5 ∙ 2412 = −240 tf ∙ m Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 41 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos m ( ) = 20 ∙ 18 ∙ 624 = 22,5 tf ∙ m m ( ) = − 20 ∙ 18 ∙ 624 = −67,5 tf ∙ m m ( ) = 20 ∙ 12 ∙ 1224 = 60,0 tf ∙ m m ( ) = − 20 ∙ 12 ∙ 1224 = −60,0 tf ∙ m m ( ) = 20 ∙ 6 ∙ 1824 = 67,5 tf ∙ m m ( ) = − 20 ∙ 6 ∙ 1824 = −22,5 tf ∙ m m = 22,5 + 60,0 + 67,5 = 150 tf ∙ m m = −67,5 − 60,0 − 22,5 = −150 tf ∙ m M = 20 ∙ 6 + m = 0 ∴ m = −120 tf ∙ m M = 0 → 24 ∙ V + 120 − 150 + 150 − 20(18 + 12 + 6 − 30) = 0 ∴ V = 50 tf (↑) M = 0 → 24 ∙ V − 5 ∙ 24 ∙ 12 = 0 ∴ V = 60 tf (↑) ∑F = 0 → 4 ∙ 20 + 5 ∙ 24 − 50 − 60 − V = 0 ∴ V = 90 tf (↑) d) Cálculo dos β e β 0 β = 37,2 + 49,6 EIc = 0,833 ∙ EIc β = 49,6 + 49,6 + 412 EIc = 1,167 ∙ EIc β = β = 29,6 EIc = 0,208 ∙ EIc β = −120 + 150 = 30 tf ∙ m β = −150 + 240 = 90 tf ∙ m Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 42 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos e) Montagem e resolução do sistema de equações 0,833 EIc ∙ X + 0,208 EIc ∙ X = −30 0,208 EIc ∙ X + 1,167 EIc ∙ X = −90 EIc ∙ X = −17,495 EIc ∙ X = −74,019 f) Esforços Finais M = 150 + 512 ∙ (−17,495) + 524 ∙ (−74,019) = −127,29 tf ∙ m M − 120 tf ∙ m M = 0 + 512 ∙ (−17,495) = −7,29 tf ∙ m M = −150 + 524 ∙ (−17,495) + 512 ∙ (−74,019) = −184,49 tf ∙ m M = 240 + 0 + 512 ∙ (−74,019) = −209,16 tf ∙ m M = −240 + 0 + 524 ∙ (−74,019) = −255,42 tf ∙ m M = 0 + 0 + 412 ∙ (−74,019) = −24,67 tf ∙ m M = 0 + 0 + 212 ∙ (−74,019) = −12,34 tf ∙ m V = 50 + 5192 ∙ (−17,495) + 5192 ∙ (−74,019) = 47,62 tf (↑) V = 90 − 5192 ∙ (−17,495) = 90,46 tf (↑) V = 60 − 5192 ∙ (−74,019) = 61,93 tf (↑) H = 0 + 25432 ∙ (−17,495) = 1,01 tf (→) H = 0 − 124 ∙ (−74,019) = 3,08 tf (→) H = 0 + 25432 ∙ (−17,495) + 124 ∙ (−74,019) = −4,10 tf (←) Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 43 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 20,00 27,62 58,07 - - -- 7,62 12,38 32,38 61,93 + + -1 ,0 1 3, 08- 6m 18m 90 P2 P3 12m 12m P1 120 P3 18m 6m 90P2P1 120 127,29 184,49 209,16 255,42 180 180 240 360 12,34 24,677,29 -1,01 - - 47 ,6 2 90 ,4 6 - 4,10 M (tfm) = ∙ = 360 1 = ∙ ∙ = 90 P = ∙ = 60 P = ∙ = 30 2 = ∙ ∙ = 120 P = ∙ = 60 P = ∙ = 60 3 = ∙ ∙ = 90 P = ∙ = 30 P = ∙ = 60 M = 90 + 60 + 30 = 180 M = 120 + 60 + 60 = 240 M = 90 + 30 + 60 = 180 Q N Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 44 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 6m 1,5m 1, 5m 2, 5m 3.4.2 Apoio Elástico Angular Exemplo 3.4 2 tf/m 2tf C 1,5I B6tf EI = 0,6 ∙ 10 tfm I K = 10 tfm/rad A 2 tf/m 2tf 3 tf· m 6tf a) Grau de hipergeometria mola tem que ser travada di = 1 + 1 = 2 de = 0 d = 3 ar = 1 dr = 2 b) Sistema Principal X1 X2 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 45 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos P = Kx ↓ M = K φ ↓ X2 P x P x c) Cálculo dos esforços Ic = I L = IcI ∙ L L′ = 4m L′ = 4 m c.1) Deslocamento X1 = 1 3/4 E1 1 1/2 c.2) Deslocamento X2 = 1 E2 1/2 0 1 0 a = K ∙ XEIc ∙ EIc a = 10 ∙ 10,6 ∙ 10 ∙ EIc a = 53 EIc Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 46 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos c.3) Carregamento externo 7,50 E0 -3,52 1,90 7,25 2,11 4,10 6,75 m′ = 2 ∙ 68 + 12 (2 ∙ 0 − 3) = 7,50 tf ∙ m m = 6 ∙ 2,5 ∙ 1,54 = 2,11 tf ∙ m m = − 6 ∙ 2,5 ∙ 1,54 = −3,52 tf ∙ m d) Cálculo dos β e β 0 β = 1 + 34 EIc = 74 EIc β = 1 + EIc = 83 EIc β = β = 12 EIc β = 7,5 − 3,52 = 3,98 tf ∙ m β = 2,11 tf ∙ m e) Montagem e resolução do sistema de equações 74 EIc ∙ X + 12 EIc ∙ X = −3,98 12 EIc ∙ X + 83 EIc ∙ X = −2,11 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 47 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos EIc ∙ X = −2,164 EIc ∙ X = −0,385 f) Esforços Finais E = E + E ∙ X M = 2,11 + 12 ∙ (−2,164) + 1 ∙ (−0,385) = 0,64 tf ∙ m M = −3,52 + 1 ∙ (−2,164) + 12 ∙ (−0,385) = −5,88 tf ∙ m M = 7,50 + 34 ∙ (−2,164) = 5,88 tf ∙ m ou M = −K ∙ X₂ M = −10 ∙ (−0,385)0,6 ∙ 10 = 0,64 tf ∙ m V = 6,75 + 18 ∙ (−2,164) = 6,48 tf (↑) V = 7,25 − 18 ∙ (−2,164) = 7,52 tf (↑) H = −4,10 − 38 ∙ (−2,164) − 38 ∙ (−0,385) = −3,14 tf (←) H = −1,90 + 38 ∙ (−2,164) + 38 ∙ (−0,385) = −2,86 tf (←) Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 48 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos - + + + - 6,48 5,52 2,00 3, 14 2, 86 - 6, 48 2,86 - 3 5,88 9 5,63 5,88 0,64 M (tfm) Q (tf) N (tf) Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 49 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 4m 5m 3m 3.4.3 Recalques nos apoios Exemplo 3.5 D E EI = 10 tfm A B C Recalques: ρ = 2 cm (↓); ρ = 1 cm (→); ρ = 10 rad (↻) a) Grau de hipergeometria di = 2 de = 0 d = 3 ar = 1 dr = 2 b) Sistema Principal X₁ X2 c) Cálculo dos esforços c.1) Deslocamento X1 = 1 4/5 2/5 4/5 4/3 E1 2/5 2/3 0 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 50 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 2 3 4 1 1 cm Escala O,a,c e d b 1 cm 2 cm c.2) Deslocamento X2 = 1 2/5 4/5 1 E2 c.3) Recalques nos apoios • RECALQUES LINEARES D E A B C Diagrama de Williot ⊥ 1a ⊥ 3d ⊥ 4c ⊥ 2b O, a, c = origem; pontos fixos; não sofrem deslocamentos ⊥ 1a = perpendicular à barra 1 passando pelo ponto A ⊥ 2b = perpendicular à barra 1 passando pelo ponto B 0 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 51 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos O e d O d ed Oe O d Od bd Ob b Barra 3 (DE) ρ = Od − Oe = ed = 2 cm (↓) E ρ m D m m = m = − 6 ∙ 105 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 10 = −4,80 tfm Barra 2 (BD) ρ = Od − Ob = bd = 0,5 cm (→) ρ D m m B m = m = + 6 ∙ 103 ∙ 3 ∙ 0,5 ∙ 10 = 3,33 tfm Barra 1 (AD) ρ = ad = 2,5 cm (↘) ρ D m A m Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 52 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos -4,80 -4,80 5,00 3,33 3,33 6,00 6,00 m = m = 6 ∙ 105 ∙ 5 ∙ 2,5 ∙ 10 = 6,00 tfm Barra 4 (EC) ρ = ce = 1,5 cm (→) ρ E m′EC m′EC = 3 ∙ 1033 ∙ 3 ∙ 1,5 ∙ 10−2 = 5,00 tfm C ρL • RECALQUES ANGULARES Barra 2 (DB) D ρ = 10 rad (↻) m mBD = − 4 ∙ 1033 ∙ 10−3 = −1,33 tfm mDB = − 2 ∙ 1033 ∙ 10−3 = −1,67 tfm ρBθ B m Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 53 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos -1,33 -0,67 -4,80 -4,80 5,00 2,00 2,66 6,00 6,00 ρθ ρL + ρθ = Er Er d) Cálculo dos β e β β = 45 + 45 + 43 EIc = 4415 EIc β = 45 + 1 EIc = 95 EIc β = β = 25 EIc β = 6,00 − 4,80 + 2,66 = 3,86 tfm β = −4,80 + 5,00 = 0,20 tfm 3,22 1,55 5,42 7,34 1,92 1,67 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 54 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos e) Montagem e resolução do sistema de equações 4415 EIc ∙ X + 25 EIc ∙ X = −3,86 25 EIc ∙ X + 95 EIc ∙ X = −0,20 EIc ∙ X = −1,341 EIc ∙ X = 0,187 f) Esforços Finais M = 6,00+ 25 ∙ (−1,341) = 5,46 tfm M = 6,00 + 45 ∙ (−1,341) = 4,93 tfm M = −4,80 + 45 ∙ (−1,341) + 25 ∙ (0,187) = −5,80 tfm M = −4,80 + 25 ∙ (−1,341) + 45 ∙ (0,187) = −5,19 tfm M = 2,66 + 43 ∙ (−1,341) = 0,87 tfm M = 2,00 + 23 ∙ (−1,341) = 1,11 tfm M = 5,00 + 1 ∙ (0,187) = 5,19 tfm V = 5,42 + 45 ∙ (−1,341) + 14 ∙ (0,187) = 4,39 tf (↑) V = −7,34 − 1425 ∙ (−1,341) − 1100 ∙ (0,187) = −6,59 tf (↓) V = 1,92 − 625 ∙ (−1,341) − 625 ∙ (0,187) = 2,20 tf (↑) H = 3,22 + 23 ∙ (−1,341) + 13 ∙ (0,187) = 2,39 tf (→) H = −1,55 − 23 ∙ (−1,341) = −0,66 tf (←) H = −1,67 − 13 ∙ (0,187) = −1,73 tf (←) Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 55 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 5,46 1,11 0,87 5,80 4,93 5,19 5,19 2,0 8 2,20 0, 66 1, 73 + - ++ 4,5 5 1,73 6, 59 2, 20 - - -+ 5 4 3 4,39 tf 2,39 tf M (tfm) Q (tf) N (tf) ∑F = 0 → N = −2,39 ∙ 0,8 − 4,39 ∙ 0,6 = −4,55 tf ∑F = 0 → Q = −2,39 ∙ 0,6 + 4,39 ∙ 0,8 = 2,08 tf sin α = 35 = 0,6 cos α = 45 = 0,8 α α N Q Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 56 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos h/ 2 h/ 2 te - tg ti - tg tg tg te ti B L BC h A LA C C ti te - tg ti - tg tg tg 3.4.4 Variação de Temperatura = + ∆t = ti − te ∆t = 0 tg = 0 tg = ti + te2 Supondo: ti > te > 0 a) b) = + te – temperatura externa ti – temperatura interna h – distancia entre as fibras internas e externas tg – temperatura constante no centro de gravidade da seção transversal ∆t – gradiente térmico do interior em relação ao exterior α - coeficiente de dilatação térmica Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 57 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos h L te ti EI = const. A C B Grau de hipergeometria SP X1 di = 1 de = 0 d = 2 ar = 1 dr = 1 a) Efeitos do ∆t (com tg = 0) 1 2 ti > te > 0 Pelo método dos esforços: X1 X2 X3 1 M1 M2 1 Ic = I EIcδ = 13 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = 13 L EIcδ = 13 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = 13 L EIcδ = EIcδ = − 16 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = − 16 L Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 58 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos h L te ti EI = const. EIcδ = EIc ∙ α ∙ ∆th − 1 ∙ L2 EIcδ = EIc ∙ α ∙ ∆th + 1 ∙ L2 13 ∙ L X − 16 ∙ L X = α ∙ ∆t ∙ L ∙ EIc2h − 16 ∙ L X + 13 ∙ L X = − α ∙ ∆t ∙ L ∙ EIc2h 23 − 16 ∙ L X = α ∙ ∆t ∙ L ∙ EIc2h → X = EIc ∙ α ∙ ∆t ∙ LhL − 16 + 23 ∙ L X = − α ∙ ∆t ∙ L ∙ EIc2h → X = − EIc ∙ α ∙ ∆t ∙ LhL M ∙ ∙∆ ∙ ∙ ∙∆ ∙ X → m = EIc ∙ α ∙ ∆t ∙ LhL X → m = − EIc ∙ α ∙ ∆t ∙ LhL 1 2 ti > te > 0 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 59 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos Pelo método dos esforços: X1 X2 1 M1 Ic = I EIcδ = 13 ∙ L ∙ 1 ∙ 1 = 13 L EIcδ = EIc ∙ α ∙ ∆th − 1 ∙ L2 δ ∙ X = −δ 13 L ∙ X = EIc ∙ α ∙ ∆t ∙ L2h → X = 32 EIc ∙ α ∙ ∆t ∙ LhL M ∙ ∙∆ ∙ X → m′ = 32 EIc ∙ α ∙ ∆t ∙ LhL Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 60 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos A C B 21 c 2 1 O,a,b LL2 1 b) Efeitos do tg (com ∆t = 0) ∆L = α ∙ tg ∙ L ∆L = α ∙ tg ∙ L Diagrama de Williot ⊥ 22 ⊥ 11 O, a, b = origem; pontos fixos; não sofrem deslocamentos ⊥ 11 = perpendicular à barra 1 passando pelo ponto 1 ⊥ 22 = perpendicular à barra 2 passando pelo ponto 2 Barra 1 (AC) ρ = 1c (↖) C mAC = mCA = − 6 ∙ EIcLL′ ∙ ρCA A ρ m m Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 61 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 40ºC 15ºC 3, 5m 8m 30ºC 15ºC40ºC 40ºC DC A B Barra 2 (BC) ρ = 2c (↗) C ρ m′ m′CB = + 3 ∙ EIcLL′ ∙ ρCB B Exemplo 3.6 1,6I I I Barra h [cm] AC e BD 30 CD 40 a) Grau de hipergeometria di = 2 de = 0 d = 3 ar = 1 dr = 2 EI = 10 tfm α = 10 /°C 15ºC 30ºC I 40ºC 15ºC Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 62 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 4/5 2/5 8/7 4/7 2/5 4/5 6/7 b) Sistema Principal X1 X2 c) Cálculo dos esforços Ic = I L = IcI ∙ L L = 72 m; L = 72 m; L = 5m c.1) Deslocamento X1 = 1 E1 c.2) Deslocamento X2 = 1 E2 0 0 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 63 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 10 -10 12,5-10/3 10/3 DC A B 2 1 3 c.3) Variação de temperatura Efeitos do Δt (com tg = 0) Barra AC ∆t = ti − te = 40 − 30 = 10°C m = −m = − 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 3,50,30 ∙ 3,5 = 103 tfm Barra CD ∆t = ti − te = 40 − 15 = 25°C m = −m = − 10 ∙ 10 ∙ 25 ∙ 80,40 ∙ 5 = 10 tfm Barra BD ∆t = ti − te = 40 − 15 = 25°C m′ = 32 10 ∙ 10 ∙ 25 ∙ 3,50,30 ∙ 3,5 = 12,5 tfm Δt Efeitos do tg (com Δt = 0) Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 64 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos O,a,b L1 L3 L21,c 3 2 d Escala Barra 1 (AC) tg = 40 + 302 = 35°C ∆L = 10 ∙ 35 ∙ 3,5 = 1,225 ∙ 10 m Barra 2 (CD) tg = 40 + 152 = 27,5°C ∆L = 10 ∙ 27,5 ∙ 8 = 2,200 ∙ 10 m Barra 3 (BD) tg = 40 + 152 = 27,5°C ∆L = 10 ∙ 27,5 ∙ 3,5 = 0,962 ∙ 10 m Diagrama de Williot ⊥ 22 ⊥ 33 1 ∙ 10 mBarra 1 (AC) ρ = 0 Barra 2 (CD) ρ = 2d (↓) = ∆L − ∆L = 0,263 ∙ 10 m (↓) m = m = 6EIcLL ∙ ρ = 6 ∙ 108 ∙ 5 ∙ 0,263 ∙ 10 = 0,39 tfm Barra 3 (BD) ρ = 3d (→) = ∆L = 2,200 ∙ 10 m (→) Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 65 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 0,39 0,39 5,39 10,39 -9,61 -3,33 3,33 17,89 m′ = 3 ∙ 103,5 ∙ 3,5 ∙ 2,200 ∙ 10 = 5,39 tfm tg ∆t + tg = Et Et d) Cálculo dos β e β β = 87 + 45 EIc = 6835 EIc β = 45 + 67 EIc = 5835 EIc β = β = 25 EIc β = 10,39 − 3,33 = 7,06 tfm β = −9,61 + 17,89 = 8,28 tfm 0 0,10 5,11 0,10 5,11 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 66 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos e) Montagem e resolução do sistema de equações 6835 EIc ∙ X + 25 EIc ∙ X = −7,06 25 EIc ∙ X + 5835 EIc ∙ X = −8,28 EIc ∙ X = −2,741 EIc ∙ X = −4,335 f) Esforços Finais M = 3,33 + 47 ∙ (−2,741) = 1,76 tfm M = −3,33 + 87 ∙ (−2,741) = −6,46 tfm M = 10,39 + 45 ∙ (−2,741) + 25 ∙ (−4,335) = 6,46 tfm M = −9,61 + 25 ∙ (−2,741) + 45 ∙ (−4,335) = −14,17 tfm M = 17,89 + 67 ∙ (−4,335) = 14,17 tfm V = 0,10 + 320 ∙ (−2,741) + 320 ∙ (−4,335) = −0,96 tf (↓) V = −0,10 − 320 ∙ (−2,741) − 320 ∙ (−4,335) = 0,96 tf (↑) H = − 2449 ∙ (−2,741) = 1,34 tf (→) H = −5,11 − 1249 ∙ (−4,335) = −4,05 tf (←) H = 5,11 + 2449 ∙ (−2,741) + 1249 ∙ (−4,335) = 2,71 tf (→) Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 67 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 6,46 14,17 6,46 14,17 1,76 1, 34 0,96 4, 05 - +- 0, 96 4,05 0, 96 - + - M (tfm) Q (tf) N (tf) Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 68 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 6m 2m 3m DC A B 3.5 APLICAÇÃO ÀS ESTRUTURAS DESLOCÁVEIS 3.5.1 Carregamento Externo Exemplo 3.7 2 tf/m 4tf 3 tf/m a) Grau de hipergeometria di = 1 de = 1 d = 2 ar = 0 dr = 2 b) Sistema Principal X1 X2 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 69 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 9 -2,5 3,75 -3,36 1/2 4/5 2/5 6/25 6/25 3/25 c) Cálculo dos esforços c.1) Deslocamento X1 = 1 E1 c.2) Deslocamento X2 = 1 E2 c.3) Carregamento externo E0 0 0 0 0,52 5,25 12,5 4,5 2,27 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 70 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos m = 3 ∙ 520 = 3,75 tf ∙ m m = −3 ∙ 530 = −2,5 tf ∙ m m′ = 2 ∙ 68 = 9,0 tf ∙ m m′ = −4 ∙ 3 ∙ 22 ∙ 5 ∙ (2 + 5) = −3,36 tf ∙ m d) Cálculo dos β e β 0 β = 12 + 45 EIc = 1310 EIc β = 325 EIc β = β = 625 EIc β = 9 − 2,5 = 6,5 tf ∙ m β = −0,52 tf e) Montagem e resolução do sistema de equações 1310 EIc ∙ X + 625 EIc ∙ X = −6,5 625 EIc ∙ X + 325 EIc ∙ X = 0,52 EIc ∙ X = −9,195 EIc ∙ X = 22,724 f) Esforços Finais M = 3,75 + 25 ∙ (−9,195) + 625 ∙ (22,724) = 5,53 tfm M = −2,50 + 45 ∙ (−9,195) + 625 ∙ (22,724) = −4,40 tfm Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 71 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 2,27 -- - 6, 73 5, 27 0,63 4,8 9,00 4,40 4,40 5,53 0,29 M = 9,00 + 12 ∙ (−9,195) = 4,40 tfm M = −3,36 + 325 ∙ (22,724) = −0,63 tfm V = 7,50 + 112 ∙ (−9,195) = 6,73 tf (↑) V = 4,50 − 112 ∙ (−9,195) = 5,27 tf (↑) H == −5,25 − 625 ∙ (−9,195) − 1225 ∙ (22,724) = −5,23 tf (←) H = 2,27 − 3125 ∙ (22,724) = 1,73 tf (→) M (tfm) = ∙ = 9,0 = ∙ ∙ = 4,8 N (tf) Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 72 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 5,27 4,40 5,23 0,39 2, 27 1, 73 2,27 + - + +- - x 5m A S 3 y x C Q (tf) 35 = yx y = 3x5 ∑M = 0 → hC ∙ 5 − 4,40 + 5,53 − 5,32 ∙ 13 ∙ 5 = 0 h = 2,27 tf ∑F = 0 → Q + x ∙ 3x52 − 2,27 = 0 Q = 2,27 − 310 x2 ∑M = 0 → M + x ∙ 3x52 + 13 x + 4,40 − 2,27x = 0 M = 2,27x − 4,40 − 110 x M(x = 2,5) = −0,29 tfm 3 tf/m 4,40 tfm 5,53 tfm hC hA Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 73 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 40ºC 40ºC 5m 6m 20ºC 10ºC40ºC 40ºC DC A B dMdx = 0 → 2,27 − 310 x = 0 x = ± 322,73 = ±2,75 m x = 2,75 m M á = M(x = x ) = −0,24 tfm Q(x = 2,5) = 0,39 tf 3.5.2 Variação de Temperatura Exemplo 3.8 Barra h [cm] AC e BD 40 CD 50 a) Grau de hipergeometria di = 1 de = 1 d = 2 ar = 0 dr = 2 EI = 10 tfm α = 10 /°C 40ºC 40ºC 10ºC20ºC 1,5I II Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 74 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 3/4 4/5 2/5 b) Sistema Principal X1 X2 c) Cálculo dos esforços Ic = I L = IcI ∙ L L′ = 5m; L′ = 5m; L′ = 4m c.1) Deslocamento X1 = 1 E1 0 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 75 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos -5,00 5,00 -11,25 6/25 6/25 3/25 c.2) Deslocamento X2 = 1 E2 c.3) Variação de temperatura Efeitos do Δt (com tg = 0) Barra AC ∆t = ti − te = 40 − 20 = 20°C m = −m = − 10 ∙ 10 ∙ (20) ∙ 50,40 ∙ 5 = 5,00 tfm Barra CD ∆t = ti − te = 40 − 40 = 0 Barra BD ∆t = ti − te = 10 − 40 = −30°C m′ = 32 10 ∙ 10 ∙ (−30) ∙ 50,40 ∙ 5 = −11,25 tfm Δt 0 0 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 76 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 2 1 DC A B 3 O,a,b L1 L3 L21,c 3 2 d Escala Efeitos do tg (com Δt = 0) Barra 1 (AC) tg = ti + te2 = 40 + 202 = 30°C ∆L = α ∙ tg ∙ L ∆L = 10 ∙ 30 ∙ 5 = 1,5 ∙ 10 m Barra 2 (CD) tg = 40 + 402 = 40°C ∆L = 10 ∙ 40 ∙ 6 = 2,4 ∙ 10 m Barra 3 (BD) tg = 40 + 102 = 25°C ∆L = 10 ∙ 25 ∙ 5 = 1,25 ∙ 10 m Diagrama de Williot ⊥ 22 ⊥ 33 1 ∙ 10 m Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 77 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 2,88 0,31 5,00 -8,37 0,31 -5,00 Barra 1 (AC) ρ = 0 Barra 2 (CD) ρ = 2d (↓) = ∆L − ∆L = 0,25 ∙ 10 m (↓) m′ = 3EIcLL ∙ ρ = 3 ∙ 106 ∙ 4 ∙ 0,25 ∙ 10 = 0,31 tfm Barra 3 (BD) ρ = 3d (→) = ∆L = 2,4 ∙ 10 m (→) m′ = 3 ∙ 105 ∙ 5 ∙ 2,4 ∙ 10 = 2,88 tfm tg ∆t + tg = Et Et 1,67 0 0,05 1,67 0,05 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 78Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos d) Cálculo dos β e β β = 34 + 45 EIc = 3120 EIc β = 325 EIc β = β = 625 EIc β = −5,00 + 0,31 = −4,69 tfm β = −1,67 tfm e) Montagem e resolução do sistema de equações 3120 EIc ∙ X + 625 EIc ∙ X = 4,69 625 EIc ∙ X + 325 EIc ∙ X = 1,67 EIc ∙ X = 1,262 EIc ∙ X = 11,393 f) Esforços Finais M = 5 + 25 ∙ (1,262) + 625 ∙ (11,393) = 8,24 tfm M = −5 + 45 ∙ (1,262) + 625 ∙ (11,393) = −1,26 tfm M = 0,31 + 34 ∙ (1,262) = 1,26 tfm M = −8,37 + 325 ∙ (11,393) = −7,00 tfm V = 0,05 + 18 ∙ (1,262) = 0,21 tf (↑) V = −0,05 − 18 ∙ (1,262) = −0,21 tf (↓) Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 79 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 1,40 0, 21 0, 21 + - + 1,21 1, 40 1, 40 + -+ 1,26 1,26 7,008,24 H = − 625 ∙ (1,262) − 12125 ∙ (11,393) = −1,40 tf (←) H = 1,67 − 3125 ∙ (11,393) = 1,40 tf (→) M (tfm) N (tf) Q (tf) Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 80 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 5m 6m DC A B 2 1 DC A B 3 d O,b a c 1 cm 2,5 cm 1,5 cm Escala 3.5.3 Recalques nos apoios Exemplo 3.9 Para a mesma estrutura anterior: EI = 10 tfm Recalques: ρ = 2,5 cm (↓); ρ = 1,5 cm (←); ρ = 3 ∙ 10 rad (↻) c.3) Recalques nos apoios • RECALQUES LINEARES Diagrama de Williot ⊥ 3b ⊥ 2c Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 81 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos -31,25 36,00 36,00 Barra 1 (AC) ρ = 0c − 0a = ac = 1,5 cm (→) m = m = 6EIcLL ∙ ρCA = 6 ∙ 105 ∙ 5 ∙ 1,5 ∙ 10 = 36,00 tfm Barra 2 (CD) ρ = 0c − 0d = dc = 2,5 cm (↓) m′ = − 3 ∙ 105 ∙ 5 ∙ 2,5 ∙ 10 = −31,25 tfm Barra 3 (BD) ρ = 0 ρL • RECALQUES ANGULARES Barra 1 (AC) C ρ = 3 ∙ 10 rad (↻) m mAC = 4 ∙ 1045 ∙ 3 ∙ 10−3 = 24,00 tfm mCA = 2 ∙ 1045 ∙ 3 ∙ 10−3 = 12,00 tfm ρAθ A m Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 82 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 12,00 24,00 60,00 -31,25 48,00 ρθ ρL + ρθ = Er Er d) Cálculo dos β β = 48,00 − 31,25 = 16,75 tfm β = 21,60 tf e) Montagem e resolução do sistema de equações 3120 EIc ∙ X + 625 EIc ∙ X = −16,75 625 EIc ∙ X + 325 EIc ∙ X = −21,60 EIc ∙ X = 24,720 EIc ∙ X = −229,439 0 5,21 5,21 21,60 21,60 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 83 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 12,71 12,71 27,5314,82 2,12 5, 51 + 5, 51 f) Esforços Finais M = 60 + 25 ∙ (24,720) + 625 ∙ (−229,439) = 14,82 tfm M = 48 + 45 ∙ (24,720) + 625 ∙ (−229,439) = 12,71 tfm M = −31,25 + 34 ∙ (24,720) = −12,71 tfm M = 325 ∙ (−229,439) = −27,53 tfm V = −5,21 + 18 ∙ (24,720) = −2,12 tf (↓) V = 5,21 − 18 ∙ (24,720) = 2,12 tf (↑) H = −21,60 − 625 ∙ (24,720) − 12125 ∙ (−229,439) = −5,51 tf (←) H = − 3125 ∙ (−229,439) = 5,51 tf (→) M (tfm) Q (tf) Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 84 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 5,51 2, 12 + 2, 12 + 6m 1,5m4m2m A B DC N (tf) 3.5.4 Apoio Elástico Linear Exemplo 3.10 1,5 tf/m 2tf 1,5I I EI = 10 tfm ; K = 0,5 ∙ 10 tf/m 1,5 tf/m 2tf 3 tf· m a) Grau de hipergeometria mola tem que ser travada di = 1 de = 0 + 1 d = 3 ar = 1 dr = 2 1,2 tf/m 3tf 1,2 tf/m 3tf Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 85 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos 1/2 1 1/2 b) Sistema Principal X2 X1 c) Cálculo dos esforços Ic = I L = IcI ∙ L L′ = 4m; L′ = 6m c.1) Deslocamento X1 = 1 E1 c.2) Deslocamento X2 = 1 X2 = 1 c′ c c Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 86 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos -1/4 1/12-1/4 7,17 3,90-5,83 c = c = − 6EIcLL = − 6 ∙ EIc6 ∙ 4 = − 14 EIc c′ = 3EIcLL = 3 ∙ EIc6 ∙ 6 = 112 EIc V = K ∙ X₂EIc ∙ EIc = 0,5 ∙ 10 ∙ 110 ∙ EIc = 0,5 EIc = 12 EIc E2 c.3) Carregamento externo E0 m = 1,5 ∙ 612 + 3 ∙ 2 ∙ 46 = 7,17 tfm m = −1,5 ∙ 612 − 3 ∙ 2 ∙ 46 = −5,83 tfm m′ = 1,2 ∙ 68 + 12 (2 ∙ 0 − 3) = 3,90 tfm 6,72 5,45 9,03 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 87 Cap. 3 - Método dos Deslocamentos d) Cálculo dos β e β 0 β = 1 + 12 EIc = 32 EIc β = 772 + EIc = 4372 EIc β = β = − 16 EIc = − 14 + 112 EIc = − 16 EIc β = −5,83 + 3,90 = −1,93 tf ∙ m β = 9,03 tf e) Montagem e resolução do sistema de equações 32 EIc ∙ X − 16 EIc ∙ X = 1,93 − 16 EIc ∙ X + 4372 EIc ∙ X = −9,03 EIc ∙ X = −0,406 EIc ∙ X = −15,233 f) Esforços Finais M = 7,17 + 12 ∙ (−0,406) − 14 ∙ (−15,233) = 10,78 tfm M = −5,83 + 1 ∙ (−0,406) − 14 ∙ (−15,233) = −2,43 tfm M = 3,90 + 12 ∙ (−0,406) + 112 ∙ (−15,233) = 2,43 tfm V = 6,72 + 14 ∙ (−0,406) − 112 ∙ (−15,233) = 7,89 tf (↑) V = 9,03 − 16 ∙ (−0,406) + 772 ∙ (−15,233) = 7,62 tf (↑) V = 5,45 − 112 ∙ (−0,406) − 172 ∙ (−15,233) = 5,70 tf (↑) Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 88 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos 7,89 3,51 4,89 1,89 3,69 2,01 4,11 + ++ + 10,78 2,43 3,005,40 3,00 0,75 10,00 M (tfm) = , ∙ = 0,75 tfm + = , ∙ ∙ + ∙ ∙ = 10,00 tfm = , ∙ = 3,00 tfm = , ∙ = 5,40 tfm Q (tf) Outra maneira de calcular V : V = −K ∙ X V = −0,5 ∙ 10 ∙ (−15,233)10 = 7,62 tf Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho D C E B A 4 ESTRUTURAS COM BARRAS DE INÉRCIA VARIÁVEL 4.1 INÉRCIA DA BARRA VARIANDO “EM SALTOS” X1 X2 X4 X3 X5 4.2 INÉRCIA DA BARRA VARIANDO “EM MÍSULA” Uso de tabelas coeficientes, , , , , , fatores de forma e de carga I4 I1 I2 I3 Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 90 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos b 0 1 N2 3 4 5 1211 a L L12 = bN N = 12bL a L a a L a a L a L Mísula Reta Mísula Parabólica SIMÉTRICA ASSIMÉTRICA 4.2.1 Parâmetros de Entrada λ = aL ; n = I íI á 4.2.2 Fatores de Forma 1) Rotação 1 2 Tabelas: IV à VII a = L ∙ EIc ; b = L′ ∙ EIc L = IcI í ∙ L 1 2 1 Imín 2 Imáx Imáx Imáx Imáx 1 Imín 2 Imáx Imín Imáx Imín a b₂₁ Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 91 Cap. 4 - Estruturas com Barras de Inércia Variável a′ 1 2 a = L ∙ EIc ; b = L′ ∙ EIc 1 2 a ∙ t = b t = ba = L′ ∙ EIcL ∙ EIc = t = Derivado 1 2 1 2 a′ = a − a ∙ t ∙ t a′ = L ∙ EIc ∙ 1 − ∙ ⟹ a′ = − ∙ L EIc b a₂₁ t a a ∙ t = b t = t + t₂₁ a a ∙ t a ∙ t ∙ t a ∙ t Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 92 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos L 1 2 2) Translação 1 2 c = a ∙ ρ + b ∙ ρ ρ = ρ = ρL = 1L c = a + bL = L ∙ EIc + L′ ∙ EIcL c = ( + ) ∙ EIcLL ⇒ c = ( ₂ + ) ∙ EIcLL a′ ⟹ a′ = − ∙ L EIc c c ρ = 1 c c ρ = 1 ρ ρ + a ∙ ρ b ∙ ρ b ∙ ρ a ∙ ρ = ⇕ Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 93 Cap. 4 - Estruturas com Barras de Inércia Variável L L Derivado 1 2 c′ = a′L c′ = − LL ∙ EIc 1 2 c′ = a′ ∙ ρ₁ ρ = ρL = 1L c′ = a′L c′ = − LL ∙ EIc c′ ρ = 1 c′ ρ = 1 ⇕ ρ = 1 = c′ a′ ∙ ρ Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 94 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos L L L 4.2.3 Fatores de Carga 1) Carga distribuída Tabelas: VIII à XI 1 2 m = qL12 ; m = − qL12 Derivado 1 2 1 2 m′ = m − m ∙ t m′ = qL12 + 1 2 m′ = −(m − m ∙ t ) m′ = − qL12 + q m m m′ = q + t₂₁ m m m ∙ t m q m′ q ⇒ Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 95 Cap. 4 - Estruturas com Barras de Inércia Variável L L L 2) Carga concentrada Tabelas: XII à XV 1 2 m = ∙ PL ; m = − ∙ PL Derivado 1 2 1 2 m′ = m − m ∙ t m′ = PL + 1 2 m′ = −(m − m ∙ t ) m′ = −PL + P m m m′ = P + t m m m ∙ t m P m′ P ⇒ Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 96 Teoria das Estruturas II - Método dos Deslocamentos A D B C 6m3m3m3m 2m 2m 1,5m 1,8m 1,8m 4.3 APLICAÇÃO Exemplo 4.1 a) Grau de hipergeometria di = 2 de = 0 d = 2 ar = 0 dr = 2 b) Sistema Principal X1 X2 4I 2I 3I 3I 6I 6I 2 tf/m 2 tf/m 3tf 3tf 4tf 4tf 8tf 8tf Edson Tejerina Calderón, Dr. | Marcelo de Rezende Carvalho 97 Cap. 4 - Estruturas com Barras de Inércia Variável a′ c) Cálculo dos esforços Ic