Idealização de Barras em Engenharia

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Idealização do comportamento 
de barras
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Tecnologia
Engenharia Civil
Disciplina: Análise Estrutural I
Professora: Andrea Brasiliano Silva
Semestre: 2018.1
Referência: “Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos” – Luiz Fernando Martha – Elsevier – 1ª Ed. – 2010.
3. Idealização do comportamento de barras
• deformações axiais
3.1 Relações entre deslocamentos e deformações em barras
• deformações normais por flexão
• distorções por efeito cortante
• distorções por torção
Análise de estruturas reticuladas
relações devem ser satisfeitas
representação matemática
Resistência dos Materiais
modelo estrutural 
represente o comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
3. Idealização do comportamento de barras
3.2 Relações diferenciais de equilíbrio em barras
3.3 Equilíbrio entre tensões e esforços internos
• deslocamento axial relativo provocado por esforço normal
• rotação relativa por momento fletor
• deslocamento transversal relativo por esforço cortante
3.4 Relação entre deslocamentos relativos internos e esforços internos
• rotação por momento torçor
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
3.1 Relações entre deslocamentos e deformações
3.1 Relações entre deslocamentos e deformações
2 hipótesesModelo matemático
3. Idealização do comportamento de barras
Teoria de Vigas de Navier
Barras submetidas à flexão acrescidas de efeitos axiais e efeitos de torção:
1. manutenção das seções transversais planas
2. deformações por cortante pode ser desprezada
Outras hipóteses:
• desacoplamento dos efeitos 
axiais
cisalhamento
flexão
torção
• pequenos deslocamentos
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
adotar um sistema de coordenadas local
u(x)
Deslocamentos e rotações possíveis para os pontos do eixo da barra
3.1 Relações entre deslocamentos e deformações
3. Idealização do comportamento de barras
deslocamento axial
v(x) deslocamento transversal
θ(x) rotação por flexão
φ(x) rotação por torção (grelhas)
Definição das relações entre deslocamentos e deformações
pórtico 
plano pórticos 
espaciais
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
• Conceito de elástica
u(x)
v(x)
Curva definida pelos deslocamentos
(pequenos deslocamentos)
3.1 Relações entre deslocamentos e deformações
3. Idealização do comportamento de barras
Sinais?
dx
dv
=
ex. → viga biapoiada
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
• Deformações axiais
O que 
seriam?
Provocadas por?
3.1 Relações entre deslocamentos e deformações
3. Idealização do comportamento de barras
Esforços axiais
CG
pontos da seção
deslocamentos iguais
O que são?
O que significa?
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
Os pontos de uma seção transversal têm deslocamentos axiais iguais
seções transversais permanecem planas
• Deformações axiais
3.1 Relações entre deslocamentos e deformações
3. Idealização do comportamento de barras
continuidade de deslocamentos
relação de compatibilidade
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
Barra submetida à flexão
as seções permanecem planas e normais ao eixo deformado
• Deformações normais por flexão
garante a continuidade no interior da 
barra
3.1 Relações entre deslocamentos e deformações
3. Idealização do comportamento de barras
Teoria de Vigas de Navier
efeito cortante desprezado
encurtamento
alongamento
alongamento
encurtamento
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
compatibilidade entre deformações normais por flexão e rotação
3.1 Relações entre deslocamentos e deformações
3. Idealização do comportamento de barras
Garantida a continuidade no interior da barra
elemento infinitesimal de barra
Barra submetida à flexão
deformação axial
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
Estabilidade das Construções I – Idealização do comportamento de barras
3.1 Relações entre deslocamentos e deformações
3. Idealização do comportamento de barras
Compatibilidade deformações normais por flexão rotaçãoX
dy =
(pequenos deslocamentos)
(encurtamento de uma fibra genérica)
 ddtg )(
d = rotação relativa por flexão
relação de compatibilidade
Relação de compatibilidade
3.1 Relações entre deslocamentos e deformações
3. Idealização do comportamento de barras
Lembrando que:
dx
dv
=
deslocamento transversal 
X
deformação normal por flexão 
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
• Distorções por efeito do cortante
3.1 Relações entre deslocamentos e deformações
3. Idealização do comportamento de barras
Efeito cortante empenamento da seção transversal
aproximaçãodistribuição não uniforme de 
distorções de cisalhamento ao 
longo da seção
distorção de cisalhamento 
média na seção transversal
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
3.1 Relações entre deslocamentos e deformações
3. Idealização do comportamento de barras
Barras usuais
OBS:
efeito cortante desprezado na presença de flexão
Relação de compatibilidade
deslocamento transversal 
X
distorção por cisalhamento 
Distorção de cisalhamento
• Distorções por efeito do cortante
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
distorção de cisalhamento
• Distorções por efeito de torção
3.1 Relações entre deslocamentos e deformações
Barra submetida à torção
Seções transversais com simetria radial distorções  raio
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
3.2 Relações diferenciais de equilíbrio em barras
3.2 Relações diferenciais de equilíbrio em barras
Considerações do modelo matemático:
estrutura
barra ou nó isolado
qualquer porção isolada
Relação às condições de equilíbrio
equilíbrio de um elemento
infinitesimal de barra
equações diferenciais de equilíbrio
relações entre esforços internos e externos
(Teoria de Vigas de Navier)
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
3.2 Relações diferenciais de equilíbrio em barras
Elemento infinitesimal de barra:
p(x) → taxa de carregamento distribuído longitudinal ao eixo da barra
q(x) → taxa de carregamento distribuído transversal ao eixo da barra
N(x) → esforço normal
Q(x) → esforço cortante
M(x) → momento fletor
Convenção para direções positivas de cargas 
distribuídas e esforços internos
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
3.2 Relações diferenciais de equilíbrio em barras
Elemento infinitesimal de barra:
Equilíbrio de forças
Equilíbrio de momentos em relação a O
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
3.3 Equilíbrio entre tensões e esforços internos
3.3 Equilíbrio entre tensões e esforços internos
Relações de equilíbrio no nível da seção transversal da barra
associação entre tensões e esforços internos
Efeitos axiais
Efeitos de flexão
N
M
Tensões normais longitudinais
x
Efeitos de cisalhamento Tensões cisalhantes
Q
T 
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
3.3 Equilíbrio entre tensões e esforços internos
deformações axiais
Efeitos axiais
Efeitos de flexão
N
M
tensões normais longitudinais
x
equilíbrio com os esforços normal e momento fletor
resultantes das tensões normais longitudinais, integradas ao longo da 
seção transversal, devem ser iguais a N e a M!
3. Idealização do comportamentode barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
3.3 Equilíbrio entre tensões e esforços internos
variação linear
constante
variação linear
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
Decomposição das tensões normais longitudinais
Flexão composta reta
cada fibra identificada por uma ordenada y tem um valor constante de
tensão normal
3.3 Equilíbrio entre tensões e esforços internos
Relações de equilíbrio
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
Esforço cortante (Q)
direção do eixo transversal y
simplificações
Efeitos de cisalhamento Tensões cisalhantes
Q
T

3.3 Equilíbrio entre tensões e esforços internos
Tensões cisalhantes
Quando considerado
tensão de cisalhamento média
área efetiva para cisalhamento
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
3.3 Equilíbrio entre tensões e esforços internos
Relação de equilíbrio:
considera a distribuição não uniforme de  na seção transversal
1,2 para seções retangulares
10/9 para uma seção circular
 1.0 para uma grande variedade de perfis com forma “I”

3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
Momento Torçor (T)
3.3 Equilíbrio entre tensões e esforços internos
Tensões cisalhantes
Relação de equilíbrio:
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
Efeitos axiais (N) + Efeitos de flexão (M) 
Esforço cortante (Q) Tensões cisalhantes (τ) 
Momento torçor (Q) Tensões cisalhantes (τ) 
Esforços internos
resultantes de tensões internas integradas ao longo da seção
3.3 Equilíbrio entre tensões e esforços internos
Tensões normais longitudinais 
(σx) 
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
3.4 Relações entre deslocamentos relativos e esforços
internos
Relações de compatibilidade
3.4 Deslocamentos relativos internos
deslocamentos relativos internos
deformações
Relações de equilíbrio
esforços internos
tensões
Esforços internos
Deslocamentos relativos internos
X
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
Deslocamento axial relativo interno provocado por esforço normal
Elemento infinitesimal submetido a N relação constitutiva
3.4 Deslocamentos relativos internos
efeito axial du
A
Na
x =
dx
du
E
A
N
=
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
Rotação relativa interna provocada por momento fletor
Elemento infinitesimal submetido a M relação constitutiva
3.4 Deslocamentos relativos internos
efeito de flexão
d
M
f
x
f
x
f
x E  =
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
Deslocamento transversal relativo interno provocado por esforço cortante
Elemento infinitesimal submetido a Q relação constitutiva
3.4 Deslocamentos relativos internos
aproximação
dh
Q
m
y
cm
y G  =
dx
dhc =
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
Rotação relativa interna provocada por momento torçor
Elemento infinitesimal submetido a T relação constitutiva
3.4 Deslocamentos relativos internos
Seções transversais circulares ou anelares
tt G  =
r
dx
dt =


3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
Rotação relativa interna provocada por momento torçor
3.4 Deslocamentos relativos internos
Seções transversais sem simetria radial empenamento da seção
considerar o efeito de torção de forma integral para a seção
aproximação
propriedade da seção transversal momento de inércia à torção
tJ
(depende da forma da seção)
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
3.4 Deslocamentos relativos internos
Deslocamentos relativos internos em um elemento infinitesimal de barra
deslocamento relativo interno por esforço normal 
rotação relativa interna por flexão
deslocamento transversal relativo interno por cortante
rotação relativa interna por torção
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
3.5 Equação de Navier para o comportamento à flexão
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
3.5 Equação de Navier para o comportamento à flexão
Viga submetida à flexão com taxa de carregamento distribuído
despreza-se deformações devidas ao efeito cortante
pequenos deslocamentos
Comportamento de vigas à flexão Teoria de Vigas de Navier
relações de compatibilidade
relações diferenciais de equilíbrio 
formalização
equação diferencial deslocamentos transversais v(x) 
taxa de carregamento q(x)
X
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
3.5 Equação de Navier para o comportamento à flexão
Equação diferencial 
f
x
f
x E  =
y
dx
vdf
x −=
2
2

relação entre o momento fletor em uma seção e 
2ª derivada do deslocamento transversal v(x)
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
3.5 Equação de Navier para o comportamento à flexão
relação entre o momento fletor em uma seção e curvatura da viga
Relações diferenciais de equilíbrio 
q(x)
Q
M
(Barras prismáticas – I(x) cte) Equação de Navier
“Engloba, no nível de um elemento infinitesimal de barra, todas as condições que o
modelo estrutural tem que atender”
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
relação entre deslocamento transversal e esforço
cortante em uma barra
3.5 Equação de Navier para o comportamento à flexão
Ainda:
(EI = cte)
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
3.6 Comparação entre vigas isostáticas e hiperestáticas
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
por meio da Equação de Navier
vigas isostáticas equação de equilíbrio
M(0) = 0 e M(l) = 0
condições de contorno
M(l) = 0 e Q(l) = 0
3.6 Comparação entre vigas isostáticas e hiperestáticas
Baseada na Equação de Navier:
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
(Suficiente!)
Integrando duas vezes:
2 incógnitas
2 condições de contorno
Lembrando que:
3.6 Comparação entre vigas isostáticas e hiperestáticas
M(l) = 0 e Q(l) = 0M(0) = 0 e M(l) = 0
M
Q
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
Considere a viga:
01
2
2
)( BxB
qx
xM ++−=
B0 = 0 
lB
ql
1
2
2
0 +−=
2
1
ql
B =
3.6 Comparação entre vigas isostáticas e hiperestáticas
q(x) = -q = cte
M(0) = 0
condições de contorno
M(l) = 0
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
01
2
2
)( BxB
qx
xM ++−=
3.6 Comparação entre vigas isostáticas e hiperestáticas
x
qlqx
xM
22
)(
2
+−=
2
)(
ql
qxxQ +−=
Definidos utilizando apenas condições de equilíbrio!
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
equação de equilíbrio
condições de contorno 
de equilíbrio
Como encontrar B1 e B0 utilizando 
apenas a equação de equilíbrio?
3.6 Comparação entre vigas isostáticas e hiperestáticas
vigas hiperestáticas
0)( =lM
?
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
3.6 Comparaçãoentre vigas isostáticas e hiperestáticas
vigas hiperestáticas
Equação de Navier
condições de compatibilidade
leis constitutivas
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
3.6 Comparação entre vigas isostáticas e hiperestáticas
vigas hiperestáticas
Integrando quatro vezes:
4 incógnitas
4 condições de contorno
v(x)
)(xdxdv =
EIxMdxvd )(22 =
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
3.7 A essência da análise de estruturas reticuladas
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
3.7 A essência da análise de estruturas reticuladas
No caso de vigas:
Esforços internos
Como generalizar os cálculos anteriores 
para uma estrutura reticulada qualquer?
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
Definições necessárias:
F → sistema de forças externas atuando sobre uma estrutura
f → esforços internos associados (em equilíbrio) com F
(F, f) → campo de forças externas F e esforços internos f em equilíbrio
comportamento de uma estrutura 
quanto às condições de equilíbrio
3.7 A essência da análise de estruturas reticuladas
caracteriza
Considere uma estrutura reticulada submetida a um conjunto de cargas F
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
tem um possível diagrama de momentos
fletores que satisfaz as condições de
equilíbrio
infinitos valores possíveis para H 
infinitos diagramas de momentos válidos
satisfazendo o equilíbrio
quadro isostático
quadro hiperestático
3.7 A essência da análise de estruturas reticuladas
F → cargas e reações
f → N, M e Q
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
um possível campo de forças (F, f)
3.7 A essência da análise de estruturas reticuladas
• Estrutura estaticamente indeterminada
infinitos campos de forças (F, f) que satisfazem as condições de equilíbrio
• Estrutura estaticamente determinada 
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
Por outro lado:
D → campo de deslocamentos externos (elástica) de uma estrutura
d → campo de deslocamentos relativos internos compatíveis com D
(D,d) → configuração deformada com deslocamentos externos D e
deslocamentos relativos internos d compatíveis
comportamento de uma estrutura 
quanto às condições de compatibilidade
3.7 A essência da análise de estruturas reticuladas
caracteriza
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
Por definição, para uma dada estrutura:
(D,d)
Restrição única
(F, f) não associados
não existe relação causa-efeito entre (F, f) e (D, d)
(F, f) tem que satisfazer equilíbrio
(D, d) tem que satisfazer compatibilidade
3.7 A essência da análise de estruturas reticuladas
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
Quantas configurações deformadas são válidas ?
cinematicamente indeterminada
condições de compatibilidade vínculos externos
condições de continuidade interna
3.7 A essência da análise de estruturas reticuladas
Infinitas!!! 
Configuração deformada 
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
aquela que satisfaz simultaneamente equilíbrio e compatibilidade
Portanto:
3.7 A essência da análise de estruturas reticuladas
Estrutura hiperestática
infinitos campos de forças (F, f) que satisfazem o equilíbrio 
infinitas configurações deformadas (D, d) que satisfazem a compatibilidade
Solução
um campo de forças (F, f) que satisfaz o equilíbrio
correspondente (D, d) satisfaz automaticamente a compatibilidade
Estrutura isostática
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras
Como encontrar (F, f) e (D, d) no caso de estruturas hiperestáticas?
3.7 A essência da análise de estruturas reticuladas
Método das Forças Método da compatibilidade
procurar dentre todos os campos (F, f) que
satisfazem o equilíbrio, aquele que também
faz com que a compatibilidade seja satisfeita
objetivo
Método dos Deslocamentos Método do equilíbrio
procurar, dentre todas as configurações
deformadas (D, d) que satisfazem a
compatibilidade, aquela que também faz
com que o equilíbrio fique satisfeito
objetivo
3. Idealização do comportamento de barras
Análise Estrutural I – Idealização do comportamento de barras