Métodos Numéricos e Matriciais

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43. Problema: Calcule a integral definida de 0 a π da função f(x) = sin(x) usando o método 
de Simpson com 4 subintervalos. 
 Resposta: A integral definida é aproximadamente 2.000. 
 
44. Problema: Aplique o método de Brent para encontrar a raiz da função f(x) = x^3 - 6x^2 
+ 11x - 6 com precisão de 0.001. 
 Resposta: A raiz aproximada é x ≈ 1.857. 
 
45. Problema: Utilize o método de Runge-Kutta de quarta ordem para resolver o problema 
de valor inicial y'(x) = x - y, y(0) = 1 no intervalo [0, 1] com passo h = 0.1. 
 Resposta: A solução aproximada é y(1) ≈ 1.540. 
 
46. Problema: Calcule a solução numérica da equação diferencial y'' + y = 0 no intervalo 
[0, π] com condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 1 usando o método de Euler modificado com 
passo h = 0.1. 
 Resposta: A solução aproximada em π é y(π) ≈ 0.452. 
 
47. Problema: Aplique o método de Neville para interpolar os pontos (1, 1), (2, 4), (3, 9), e 
(4, 16). 
 Resposta: O valor interpolado de f(2.5) é aproximadamente 6.25. 
 
48. Problema: Utilize o método de decomposição de LDU para encontrar as matrizes L, D 
e U da matriz: 
 \[ 
 A = \begin{bmatrix} 4 & -3 & 4 \\ -3 & 5 & -2 \\ 4 & -2 & 3 \end{bmatrix} 
 \] 
 Resposta: A matriz L é aproximadamente: 
 \[ 
 L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -0.75 & 1 & 0 \\ 1 & -0.4 & 1 \end{bmatrix} 
 \] 
 A matriz D é aproximadamente: 
 \[ 
 D = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 2.75 & 0 \\ 0 & 0 & 0.8 \end{bmatrix} 
 \]