CÁLCULO I _Aula 13

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AULA Nº 13
CÁLCULO I 
Prof. CLAUDIO POSSANI
REGRA DE L’HÔPITAL
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
O Teorema ou Regra de L’Hôpital é uma das 
ferramentas mais úteis para cálculo de limites de
quocientes que apresentem indeterminações.
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Situação 1:
Suponha lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 0 e lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 0. 
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Situação 1:
Suponha lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 0 e lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 0. 
Então lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
não poderá ser calculado
diretamente pois obteríamos 
0
0
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Nesta situação se lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
= 𝐿 (+∞,−∞)
então lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
existe e vale lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝐿 (+∞,−∞)
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Exemplo: lim
𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥2
Se calcularmos diretamente obtemos 
0
0
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Exemplo: lim
𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥2
Se calcularmos diretamente obtemos 
0
0
Derivando numerador e denominador: 
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥
2𝑥
=
1
2
⇒ lim
𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥2
=
1
2
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Exemplo: lim
𝑥→1
ln 𝑥
3𝑥−3
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Exemplo: lim
𝑥→1
ln 𝑥
3𝑥−3
Temos indeterminação do tipo
0
0
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Exemplo: lim
𝑥→1
ln 𝑥
3𝑥−3
Temos indeterminação do tipo 
0
0
Usando T. L’Hôpital: lim
𝑥→1
1
𝑥
3
=
1
3
⇒ lim
𝑥→1
ln 𝑥
3𝑥−3
=
1
3
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Situação 2)
Suponha lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = ±∞ e lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = ±∞. 
Então lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
não poderá ser calculado
diretamente pois obteríamos ±
∞
∞
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Nesta situação se lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
= 𝐿 (+∞,−∞)
então lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
existe e vale lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝐿 (+∞,−∞)
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Exemplo: lim
𝑥→0+
𝑥𝑙𝑛𝑥
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Exemplo: lim
𝑥→0+
𝑥𝑙𝑛𝑥
Diretamente temos uma indeterminação 0 ∙ (−∞)
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Exemplo: lim
𝑥→0+
𝑥𝑙𝑛𝑥
Diretamente temos uma indeterminação 0 ∙ −∞
lim
𝑥→0+
𝑥𝑙𝑛𝑥 = lim
𝑥→0+
𝑙𝑛𝑥
1
𝑥
Indeterminação
−∞
∞
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Aplicando L’Hôpital:
lim
𝑥→0+
1
𝑥
−1
𝑥2
= lim
𝑥→0+
−
𝑥2
𝑥
= 0
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Aplicando L’Hôpital:
lim
𝑥→0+
1
𝑥
−1
𝑥2
= lim
𝑥→0+
−
𝑥2
𝑥
= 0
Logo lim
𝑥→0+
𝑥𝑙𝑛𝑥 = 0
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Situação 3) 
quando x tende a infinito, 𝑥 → ∞, valem 
resultados análogos:
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Situação 3) 
quando x tende a infinito, 𝑥 → ∞, valem 
resultados análogos:
Suponha lim
𝑥→∞
𝑓 𝑥 = 0 ,±∞ e lim
𝑥→∞
𝑔 𝑥 = 0 ,±∞
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Situação 3)
quando x tende a infinito, 𝑥 → ∞, valem resultados 
análogos:
Suponha lim
𝑥→∞
𝑓 𝑥 = 0 ,±∞ e lim
𝑥→∞
𝑔 𝑥 = 0 ,±∞
Então lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
não poderá ser calculado
diretamente pois obteríamos 
0
0
ou ±
∞
∞
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Nesta situação se lim
𝑥→∞
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
= 𝐿 (+∞,−∞)
então lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
existe e vale lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝐿 (+∞,−∞)
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Exemplo: lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
𝑥2
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Exemplo: lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
𝑥2
A indeterminação é do tipo 
∞
∞
Tentamos calcular lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
2𝑥
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Exemplo: lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
𝑥2
Este limite também é indeterminado, do tipo 
∞
∞
Tentamos calcular lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
2
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Exemplo: lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
𝑥2
Este limite também é indeterminado, do tipo 
∞
∞
Tentamos calcular lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
2
= ∞
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Então concluímos que 
lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
𝑥2
= lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
2𝑥
= lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
2
= ∞
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
De maneira análoga podemos fazer
lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
𝑥𝑛
= ∞
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
De maneira análoga podemos fazer
lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
𝑥𝑛
= ∞
Exponencial cresce mais depressa que qualquer
polinômio.
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Exemplo:
lim
𝑥→∞
𝑙𝑛𝑥
𝑥
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Exemplo:
lim
𝑥→∞
𝑙𝑛𝑥
𝑥
Indeterminação do tipo 
∞
∞
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Como
lim
𝑥→∞
1
𝑥
1
= 0 segue que lim
𝑥→∞
𝑙𝑛𝑥
𝑥
= 0
TEOREMA (REGRA) DE L´HÔPITAL
Como
lim
𝑥→∞
1
𝑥
1
= 0 segue que lim
𝑥→∞
𝑙𝑛𝑥
𝑥
= 0
Logaritmo cresce mais devagar que qualquer
polinômio