MEDIDAS E GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS texto1

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MEDIDAS E 
GRANDEZAS 
ESCALARES E 
VETORIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
Fabiano Thomazi 
 
 
 Medidas e grandezas escalares e vetoriais 
 
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1. MEDIDAS 
 
 A física é uma ciência experimental e por isso, deve-se ser pautada em 
observações que devem ser quantificadas. As observações dos fenômenos naturais são 
“medidas” no sentido amplo da palavra e ordenados em teorias que de modo 
complementar permitem descrever a natureza. Para quantificar as medidas que a física 
pode realizar nos fenômenos naturais deve-se conhecer as principais formas de medidas 
realizadas por este campo do conhecimento e relacionar estas medidas com as grandezas 
físicas. 
 Para que as grandezas físicas sejam caracterizadas devem-se definir padrões e 
unidades de medidas, que são utilizados em experimentos físicos e traduzem em 
informações numéricas os fenômenos observados. Como exemplo pode-se citar a 
distância entre dois pontos ou o tempo transcorrido entre duas observações de um 
mesmo evento. Como são definidos distância e tempo? A resposta dessa e outras 
questões, sobre padrões e unidades de medida são atribuições do Système International1 
ou Sistema Internacional (SI) como é conhecido atualmente. 
 As definições das unidades básicas do sistema métrico têm evoluído no decorrer 
dos anos. A exemplo disso tem – se que o metro, unidade padrão para medir a distância 
entre dois pontos, foi considerado como uma fração da distância entre o polo norte e a 
linha do equador. Para o tempo o segundo padrão já foi considerado o período de uma 
oscilação de um pêndulo de 1 m de comprimento (YOUNG, 2010). 
 Atualmente, busca – se obter as principais unidades do sistema internacional no 
chamado padrão atômico, em que reações de espécies atômicas sejam adotadas para 
definir de modo preciso unidades como o metro ou o segundo. Para o metro sua 
definição atual é a distância percorrida pela luz no vácuo em uma fração de 
1/299.792.458 do segundo. O segundo é definido como o tempo necessário para a 
ocorrência de 9.192.631.770 oscilações de transição entre dois estados energéticos do 
átomo de césio (YOUNG, 2010). 
 
 
 
 
1 Criado em 1791 na França pela Academia de Ciência da França lançou o SI como sistema métrico que 
hoje é adotado como referência em medidas e unidades na maioria dos países. 
 Medidas e grandezas escalares e vetoriais 
 
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 Para as medidas envolvendo unidades de massa foi estabelecido o quilograma 
padrão que é um cilindro feito de uma liga de platina e irídio e adotado como o padrão 
para massas. Mas em 2018 esse padrão foi substituído após 130 anos. Atualmente o 
quilograma padrão é definido em termos da constante de Planck que relaciona a energia 
de um fóton com sua freqüência. 
 
Figura 1: Corpo utilizado como antigo padrão para medir 1 kg. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Halliday 2008. 
 
 As três principais unidades utilizadas pela física presentes no SI são o metro, 
segundo e quilograma, cujas representações são: metro (m), segundo (s) e o quilograma 
(kg). Assim o comprimento ou a distância entre dois pontos pode ser representada como 
um número seguido da letra m, por exemplo 2,7 m. O mesmo conceito vale para 
representar o tempo e a massa, por exemplo 3,4 s e 12,0 kg. 
 Para que a utilização das unidades de medida ocorra de forma mais prática são 
adotados os prefixos que tem por objetivo representar a múltiplos e frações das unidades 
definidas no SI. Por se tratar de um sistema de base decimal os múltiplos e as frações 
são representadas por 10 ou 1/10 respectivamente. Assim, para expressar a distâncias 
entre duas cidades fica mais cômodo escrever 100 Km ao invés de 100.000 m ou a 
dimensão de uma peça como 1,2 mm ao invés de 0,0012 m. A Tabela 1 resume os 
fatores de múltiplos e submúltiplos e os prefixos mais utilizados pela física. 
 
 
 
 
 Medidas e grandezas escalares e vetoriais 
 
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Tabela 1: Principais fatores de múltiplos e submúltiplos utilizados no SI. 
Fator Prefixo Símbolo 
106 Mega M 
103 Quilo k 
10−2 Centi c 
10−3 Mili m 
10−6 Micro Μ 
10−9 Nano n 
Fonte: Thomazi 2021. 
 
 Os fatores que aparecem na Tabela 1 devem ser relacionados aos valores e as 
unidades que se desejam expressar, assim para se representar a medida de tempo de 
0,0034 s pode – se utilizar 0,0034 𝑠 = 3,4 × 10−3 𝑠 = 3,4 𝑚𝑠, ou 3,4 milissegundos. 
Para o caso da distância de 2.742 m pode – se representar como 2.742 𝑚 =
2,742 × 103 𝑚 = 2,742 𝑘𝑚, em que o ponto foi substituído pela virgula porque o 
sistema métrico brasileiro utiliza o ponto para separador de unidades de milhar e a 
virgula para separador de milésimos. 
 Para que se possa converter alguma medida física mantendo a coerência na 
unidade escolhida pode – se usar uma relação matemática simples. Sabe-se que 1 s é a 
unidade para expressar apenas 1 segundo e que 60 s é equivalente a 1 minuto assim 
pode – se propor as razões: 
 
1 𝑚𝑖𝑛
60 𝑠
= 1 𝑜𝑢 
60 𝑠
1 𝑚𝑖𝑛
= 1. 
 
Ambas as razões são equivalentes e se referem a unidade que pode ser usada para 
converter, por exemplo 4 minutos em segundos. Quantos segundos existem em 4 
minutos? Pode – se determinar isso através das razões anteriormente mostradas. Assim 
pode – se escrever: 
 
4 𝑚𝑖𝑛 = 4 𝑚𝑖𝑛 (
60 𝑠
1 𝑚𝑖𝑛
) = 4 ∙ 60 𝑠 = 240 𝑠. 
 
 
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 A razão min/min torna-se igual a unidade restando efetuar o produto de 4 por 60 
o que resulta em 240 segundos que é a resposta procurada. O mesmo raciocínio pode ser 
aplicado para a unidade de comprimento, pode – se determinar o equivalente em metros 
para 27 cm. Primeiro escreve – se as razões: 
 
1 𝑚
100 𝑐𝑚
= 1 𝑜𝑢 
100 𝑐𝑚
1 𝑚
= 1. 
 
Agora repete-se o mesmo procedimento 
 
27 𝑐𝑚 = 27 𝑐𝑚 (
1 𝑚
100 𝑐𝑚
) = 0,27 𝑚 
 
 Assim, chega-se ao equivalente de 0,27 m. 
 
 As unidades como demonstrado podem ser convertidas conforme a necessidade, 
mas deve-se ter o cuidado de apenas converter na mesma unidade pois não existe 
sentido físico algum em converter quilogramas para metros ou segundos, são grandezas 
físicas distintas. Assim 10 kg podem ser expressos em gramas ou miligramas apenas. 
 O SI define outras grandezas físicas além do metro, segundo e quilograma, estas 
grandezas podem ser diretamente medidas através de instrumentos como réguas, 
relógios e balanças. Contudo existem outras grandezas fundamentais presentes no SI 
que são obtidas por meio de relações matemáticas que correlacionam as grandezas 
medidas diretamente. Como exemplo pode-se citar a rapidez com que um corpo 
percorre uma certa distância. Para se determinar essa rapidez deve – se determinar uma 
distância ou comprimento fixo percorrido, depois medir o intervalo de tempo gasto pelo 
corpo para percorrer a distância delimitada. Fazendo-se a razão da distância percorrida 
pelo tempo medido determina-se a rapidez que o corpo possui. 
 A rapidez mencionada anteriormente é a velocidade que o corpo apresenta e é 
uma das unidades fundamentais presentes no SI e amplamente utilizada na física para 
estudo do movimento dos corpos. Como mencionado a velocidade é obtida através de 
uma razão: 
 
 Medidas e grandezas escalares e vetoriais 
 
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𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑒 =
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜
 
 
 Como a distância no SI pode ser dada em metros e o tempo em segundos pode – 
se reescrever a equação acima como: 
 
𝑣 =
𝑚
𝑡
=
∆𝑥
∆𝑡
 . 
 
 A equação acima representa o cálculo realizado para se obter a velocidade de 
qualquer objeto ou corpo em movimento. A unidade relacionada a velocidade é metros 
por segundo ou m/s em unidades fundamentais do SI. A representação ∆ se refere a 
variação assim ∆𝑥 representa a variação da distância percorrida e ∆𝑡 o intervalo de 
tempo gasto. A representação mais comum de velocidade é quilômetros(Km/h) e está 
amplamente usada em estradas e ruas para regular o limite de velocidade dos 
automóveis. 
 Velocidades de 30 Km/h ou 60 km/h podem também ser convertidas em m/s 
assim como foram convertidos comprimento e tempo. Como a velocidade envolve duas 
unidades, metro e segundo, deve – se aplicar mais de uma vez a relações vistas 
anteriormente. Assim considerando primeiramente a razão para a distância como: 
 
1 𝐾𝑚
1000 𝑚
= 1 𝑜𝑢 
1000 𝑚
1 𝐾𝑚
= 1 
 
 Para o tempo as razões devem ser expressas levando em consideração que cada 
hora possui 60 minutos e cada minuto 60 segundos assim: 
 
 
1 ℎ
60 × 60 
=
1 ℎ
3600 𝑠
= 1 𝑜𝑢 
3600 𝑠
1 ℎ
= 1. 
 
 Combinando as relações acima pode-se converter a velocidade de 30 Km/h em 
seu equivalente m/s, assim tem-se: 
 
 
 Medidas e grandezas escalares e vetoriais 
 
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30 
𝐾𝑚
ℎ
= 30
𝑘𝑚
ℎ
(
1000 𝑚
1 𝐾𝑚
) (
1 ℎ
3600 𝑠
) = 8,33 𝑚/𝑠. 
 
 Uma relação matemática mais simples que pode ser utilizada para converter 
velocidade dada em Km/h em m/s e vice-versa é utilizar o valor de 3,6. Quando deseja- 
se mudar de Km/h para m/s divide-se a velocidade por 3,6. Para realizar a operação 
inversa multiplica-se por 3,6. Considerando a conversão feita anteriormente pode-se 
chegar ao mesmo resultado de modo mais prático dividindo-se 30 Km/h por 3,6 e 
obtendo-se 8,33 m/s (Tipler 1995). 
 Considerando uma distância de 100 m e sabendo que o intervalo de tempo que 
um objeto levou para percorrer esta distância foi 10 s a velocidade desenvolvida por este 
objeto foi de 10 m/s pois através da equação da velocidade chega-se a esse resultado 
 
𝑣 =
∆𝑥
∆𝑡
=
100
10
= 10 𝑚/𝑠. 
 
 Multiplicando os 10 m/s por 3,6 obtém-se 36 Km/s o que é o equivalente da 
velocidade desenvolvida pelo objeto em Km/h. 
 
2. GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS 
 
 As grandezas definidas pelo sistema internacional representam informações 
físicas que estão associadas aos fenômenos naturais estudados. Para determinar a 
distância entre dois pontos de referência usa-se um número seguido da grandeza metro 
ou para quantificar uma certa quantidade de matéria usa-se o quilograma associado a 
informação numérica. Contudo as grandezas físicas utilizadas para o estudo do 
movimento devem conter mais informação e é através da separação das grandezas 
físicas em escalares e vetoriais essa informação adicional é obtida. 
 As grandezas como massa, tempo ou temperatura são tidas como grandezas 
escalares e apenas apresentam a informação numérica de intensidade associada a uma 
grandeza. Quando consulta-se um termômetro, por exemplo, para checar a temperatura 
pode-se ler 25 ºC em que 25 é a informação de intensidade associada a escala de 
temperatura que nesse caso é ºC. No caso de determinar a massa de uma bola utiliza-se 
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uma balança que retorna um número associado a escala kg que pode ser 0,25 kg. Nesses 
casos as grandezas informadas são escalares e apenas necessitam de um valor para a 
intensidade. Contudo existem grandezas que para serem completamente descritas mais 
informações devem ser fornecidas. 
 No estudo do movimento dos corpos informações como posição, velocidade e 
aceleração precisam além da intensidade de informações como orientação e sentido para 
que assim se possa caracterizar corretamente o movimento de um corpo. Se for 
informado que um objeto tem velocidade de 3 m/s sabe-se apenas a rapidez com que 
esse objeto move-se, mas ele está subindo ou descendo? Poderia o objeto estar se 
deslocando da esquerda para direita ou da direita para esquerda? Através destas 
perguntas percebe-se a necessidade de se completar a informação assim pode-se dizer 
que o objeto move-se na horizontal da esquerda para a direita a 3 m/s (YOUNG, 2010). 
 Portanto, a velocidade é uma grandeza dita vetorial pois precisa ser definida com 
estas três informações: direção, sentido e intensidade. As grandezas vetoriais ou 
vetores2 carregam consigo esse conjunto de informações e representam várias grandezas 
presentes no SI. 
 Para que se possa representar os vetores é necessário antes definir um sistema de 
referência ou sistema de coordenadas. Na física o sistema de coordenadas mais utilizado 
é o sistema cartesiano que pode representar uma, duas ou três dimensões. A Figura 2 
ilustra um sistema de coordenadas em uma dimensão. 
 
Figura 2: Sistema de coordenada em uma dimensão. 
 
Fonte: Adaptado de Halliday 2008. 
 
 
 
 
2 Termo mais comum utilizado na física para se referir as grandezas vetoriais como velocidade ou 
aceleração de um corpo. 
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 Na Figura 2 o eixo horizontal x está graduado em metros e a partir da origem, 
em zero, define-se as direções como positiva para valores a direita da origem e negativa 
para valores a esquerda da origem. Esta definição é a mais comum em física para avaliar 
o deslocamento de corpos, assim um corpo que move-se para a esquerda, em relação a 
origem será representado por um vetor negativo enquanto o corpo que move-se para a 
direita, em relação a origem, será representado por um vetor positivo. Em ambos os 
casos os vetores estão na direção horizontal com sentidos de movimento opostos 
quando comparados entre si. 
 A intensidade ou grandeza do vetor pode ser representado graficamente por setas 
de tamanhos diferentes, mas sempre relacionadas com a graduação escolhida para o 
sistema de referências. 
 
Figura 3: Três vetores com módulos diferentes, mas com mesma direção e sentido. 
 
Fonte: Thomazi 2021. 
 
 Na Figura 3 tem-se a representação de três vetores com intensidades ou módulos 
distintos pois apresentam tamanhos diferentes. O vetor v1 apresenta intensidade de três 
unidades representadas no eixo horizontal. Já os vetores v2 e v3 apresentam duas e uma 
unidade respectivamente de módulo. Deve-se notar que os três vetores apresentam a 
mesma orientação, o que em um caso real poderia ser exemplificado como três corpos 
com velocidades diferentes rumando na mesma direção. 
 No caso de os vetores apresentarem direções opostas sua intensidade ou módulo 
será representada por um valor negativo como está mostrado na Figura 4. O módulo é o 
mesmo o que denota a orientação contrária é o sinal negativo que precede o vetor. 
 Medidas e grandezas escalares e vetoriais 
 
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Figura 4: Comparativo entre as diferentes orientações dos vetores no eixo horizontal coordenado. 
 
Fonte: Thomazi 2021. 
 
 Em muitas situações a analise física da natureza requer operações matemáticas 
entre as grandezas presentes no SI como adições ou subtrações de massas e até mesmo 
operações entre grandezas vetoriais. Tanto as grandezas escalares quanto as vetoriais 
podem ser submetidas as quatro operações algébricas de soma, subtração, multiplicação 
e divisão. Para as grandezas escalares como massa ou temperatura a aplicação destas 
operações pode ser realizada de modo análogo ao processo de operações algébricas 
entre dois valores quaisquer. Por exemplo considerando uma massa de 4 kg ela pode ser 
somada ou subtraída de um valor de 2 kg e em cada caso tem-se 6 kg para soma e 2 kg 
para a subtração. Na multiplicação o resultado é de 8 kg e na divisão é de 2 kg (Alonso 
2014). 
 Para as grandezas vetoriais deve-se levar em conta além do módulo a orientação 
do vetor pois dependendo da operação a ser realizada pode-se alterar além do seu 
módulo a sua orientação. Para a soma ou subtração a regra é que essas operações só 
podem ocorrer entre grandezas vetoriais. Considere os vetores 𝑣1 e 𝑣2 orientados 
conforme Figura 5 que também ilustra as possibilidades das operações de soma e 
subtração entre estes vetores. Pode-se observar que dependendo da orientação dos 
vetores 𝑣1 e 𝑣2 o vetor resultante 𝑣3 pode apontar para a direita ou esquerda em relação 
a origem.Medidas e grandezas escalares e vetoriais 
 
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Figura 5: Operações de somas e subtração para vetores. 
 
Fonte: Thomazi 2021. 
 
 Matematicamente pode-se representar as operações acima como 𝑣1 + 𝑣2 = 𝑣3, 
−𝑣1 − 𝑣2 = −𝑣3, −𝑣1 + 𝑣2 = −𝑣3 e 𝑣1 − 𝑣2 = 𝑣3. 
 A multiplicação e a divisão envolvendo grandezas vetoriais pode ser considerada 
da mesma forma que a soma e subtração e podem alterar a orientação do vetor, a Figura 
6 ilustra os vetores 𝑣1 e 𝑣2 antes e depois das operações de multiplicação e divisão 
(Leite 2014). Na Figura 6a os vetores 𝑣1 é multiplicado por 2 e 𝑣2 por – 2 o que resulta 
em um vetor 𝑣1 com o dobro do seu módulo e 𝑣2 também com o dobro do seu módulo, 
mas com orientação contrária. A divisão do vetor 𝑣1 por – 1 e 𝑣2 por 2 estão ilustradas 
 Medidas e grandezas escalares e vetoriais 
 
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na Figura 6b. Pode-se perceber que assim como na multiplicação ocorreram mudanças 
nos módulos e na orientação dos vetores, no caso do vetor 𝑣2. 
 
Figura 6: Operações de multiplicação e divisão para vetores. 
 
Fonte: Thomazi 2021. 
 
 Estas operações ilustradas na Figura 6 podem ser ocorrências físicas que alteram 
os vetores velocidade de um corpo em movimento. Assim uma ilustração seria um carro 
que inicialmente apresenta velocidade 𝑣1 para uma dada direção e posteriormente altera 
tanto o módulo da sua velocidade quanto sua orientação passando a ser representado por 
−𝑣1. 
 Portanto, pode-se resumir que para estudar os fenômenos físicos relacionados ao 
movimento deve-se inicialmente quantificar e definir as grandezas relacionadas com 
estes aspectos físicos, o que é feito pelo SI. As grandezas metro, segundo e quilograma 
são de fundamental importância para o estudo do movimento dos corpos e usualmente 
podem ser representadas por seus múltiplos e submúltiplos apresentados no SI. Outro 
aspecto importante é entender como as grandezas, escalares e vetoriais, podem 
relacionar-se entre si através de operações matemáticas sobretudo as grandezas vetoriais 
que têm papel de destaque na física. 
 
 Medidas e grandezas escalares e vetoriais 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
ALONSO, Marcelo, Finn, Edward J. Física um curso universitário. 2. ed. São Paulo: 
Blucher, 2014. 
 
 
HALLIDAY, David; Resnick, Robert J. Fundamentos de física: volume 1. 8. ed. Rio 
de Janeiro: LTC, 2008. 
 
 
LEITE, Álvaro E; Física: Conceitos e aplicações de mecânica. 1. ed. Curitiba: 
Intersaberes, 2014. 
 
 
TIPLER, Paul A. Física para cientistas e engenheiros: volume 1. 3. ed. Rio de 
Janeiro. LTC, 1995. 
 
 
YOUNG, Hugh D.; Freedman, Roger A. Física I: Mecânica. 12. ed. São Paulo: 
Pearson, 2010.