9-Aritmética e Álgebra para Professores

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ARITMÉTICA E ÁLGEBRA 
PARA PROFESSORES
UNIASSELVI-PÓS
Autoria: Dra. Gislaine Donizeti Fagnani da Costa
Indaial - 2020
1ª Edição
CENTRO UNIVERSITÁRIO LEONARDO DA VINCI
Rodovia BR 470, Km 71, no 1.040, Bairro Benedito
Cx. P. 191 - 89.130-000 – INDAIAL/SC
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Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri
 UNIASSELVI – Indaial.
C837a
 Costa, Gislaine Donizeti Fagnani da
 Aritmética e álgebra para professores. / Gislaine Donizeti 
Fagnani da Costa. – Indaial: UNIASSELVI, 2020.
 150 p.; il.
 ISBN 978-65-5646-239-4
 ISBN Digital 978-65-5646-235-6
1. Aritmética. - Brasil. 2. Álgebra. – Brasil. Centro Universitário 
Leonardo Da Vinci.
CDD 510
Impresso por:
Reitor: Prof. Hermínio Kloch
Diretor UNIASSELVI-PÓS: Prof. Carlos Fabiano Fistarol
Equipe Multidisciplinar da Pós-Graduação EAD: 
Carlos Fabiano Fistarol
Ilana Gunilda Gerber Cavichioli
Jóice Gadotti Consatti
Norberto Siegel
Julia dos Santos
Ariana Monique Dalri
Marcelo Bucci
Jairo Martins
Marcio Kisner
Revisão Gramatical: Equipe Produção de Materiais
Diagramação e Capa: 
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Sumário
APRESENTAÇÃO ............................................................................5
CAPÍTULO 1
DESVENDANDO INCÓGNITAS, VARIÁVEIS, EQUAÇÕES,
INEQUAÇÕES E POLINÔMIOS ......................................................7
CAPÍTULO 2
COMPREENDENDO FUNÇÕES, MATRIZES E
PROGRESSÕES............................................................................55
CAPÍTULO 3
ENTENDENDO DIVISIBILIDADE,ALGORITMO DE
EUCLIDES, EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES E
SUAS APLICAÇÕES .................................................................... 117
APRESENTAÇÃO
Diversas pesquisas têm sido divulgadas no campo da matemática. Nesse 
sentido, como fruto das pesquisas realizadas no âmbito do ensino e da prática 
escolar, a educação matemática se expande vinculada a todos os níveis da 
escolarização. No que diz respeito às pesquisas referentes à aprendizagem 
da matemática no campo escolar, tem-se, especialmente, progredido bastante, 
imbuindo ao ensino aprendizagem dessa disciplina novas formas de ensinar e 
aprender incluindo as metodologias ativas em constante evolução. 
Dessa forma, pode-se inferir que não se aceita mais uma matemática 
desvinculada da prática e sem a relação com as diversas áreas do conhecimento 
humano. Por essa ótica, a matemática necessita ter um cunho aplicativo, histórico 
e artístico que pode permear as áreas física, humana ou biológica, rompendo assim 
com os paradigmas disciplinares e interdisciplinares até então estabelecidos, 
atingindo níveis de excelência com relação a seu ensino e aprendizagem.
Nesse sentido, percebe-se a necessidade de se romper com o excesso 
formalismo, o foco exclusivo em memorização de fórmulas, os cálculos 
descontextualizados e a punição para os alunos nas avaliações. Nesse panorama 
carente de reformas para o ensino da matemática e do melhoramento da 
aprendizagem do aluno, surgiu a Educação Matemática.
Tendo como referência o pesquisador e educador matemático Ubiratan 
D’Ambrósio, a Educação Matemática surgiu com o intuito de ampliar o olhar para 
as dificuldades com relação ao ensino da matemática que permeavam métodos 
de ensino ultrapassados, direcionando-se para um ensino robusto da matemática, 
embasado em práticas que busquem fortalecer e efetivar o ensino aprendizagem 
da matemática tendo como base o conhecimento multicultural, interdisciplinar e 
transdisciplinar.
No caso da matemática presente no modelo tradicional de educação 
escolar, o aluno era caracterizado como passivo dos processos de ensino, ou 
seja, uma caixa vazia que apenas recebia o conhecimento centrado na figura do 
professor, de forma inacessível e inquestionável. Dessa forma, a aprendizagem 
da matemática baseava-se apenas em mentalizações de fórmulas prontas e 
acabadas e resolução de listas de exercícios realizadas mecanicamente, levando 
em consideração apenas um caminho correto com procedimentos mecânicos 
para se chegar à solução de um determinado problema.
Nas perspectivas advindas da Educação Matemática, o aluno passa 
a ser ativo, trazendo consigo uma bagagem cultural e uma perspectiva de 
conhecimento de mundo, ou seja, se torna protagonista da construção de sua 
própria aprendizagem, de forma reflexiva, crítica e autônoma. O professor 
assume o papel de mediador na organização e direcionamento da aprendizagem, 
adaptando-se a esse novo cenário, revendo sua própria prática, avaliando e 
reavaliando sua postura enquanto docente, dando continuidade a seu processo 
de formação contínua, dentro e fora da sala de aula.
Derivada das tendências da educação matemática surge uma nova 
metodologia de ensino que contempla as diferentes áreas do conhecimento 
humano. Tal metodologia, denominada de Modelagem Matemática, assim, torna 
a matemática visivelmente prática transformando problemas das mais diferentes 
ciências ou atividades humanas em modelos matemáticos, visando assim o 
levantamento e estruturamento de dados estatísticos, bem como a avaliação 
desses dados para que se possa chegar a uma solução matemática que melhor 
se aplique àquela determinada situação. 
Por outro lado, também existe um redirecionamento da prática docente, 
definindo-se um novo paradigma de professor caracterizado pela tríade intelectual-
reflexivo-pesquisador. A reflexão sobre a própria prática é vista como estratégia 
para ensinar aprender matemática. Pensar sobre o que foi planejado, na forma 
como foi desenvolvido, na resposta dada pelos alunos, possibilita ao professor 
propor situações didáticas, planejando e propondo intervenções cada vez mais 
ajustadas ao perfil do aluno. Tal reflexão permeada por referenciais teóricos que 
a fomentam e a fundamentam, pois é a partir de uma dada concepção sobre o 
processo ensino-aprendizagem da matemática que o professor discute, avalia, 
reorganiza e ressignifica a própria prática.
A avaliação em matemática, por sua vez, antes caracterizada como punitiva 
passando a ser formativa, ou seja, passou a comtemplar todos os momentos da 
atividade realizada pelos alunos, valorizando e mostrando as múltiplas culturas, 
as condições físicas e organizacionais da escola, a afetividade, o raciocínio, a 
habilidade, a visão de mundo, de sociedade, de educação e de escola e, claro, os 
conhecimentos formais sobre a matemática e suas áreas de interdisciplinaridade. 
Nesse sentido, é importante o professor de matemática repensar 
constantemente suas próprias práticas pedagógicas, aprimorando sempre que 
houver necessidade. No decorrer da convivência com o aluno é necessário que 
o professor de matemática instaure um clima de reciprocidade inerente a sua 
metodologia de trabalho, tornando-se efetivamente o mediador do processo de 
ensino aprendizagem. 
Assim, no ensino da matemática, o professor deve ser um mediador ou um 
agente de mudanças que intervém nos processos afetivos, cognitivos e sociais do 
aluno, ou seja, não basta reconhecer que o aluno não teve sucesso nas atividades 
de ensino aprendizagem, indo além de meramente ensinar o conteúdo, propondo 
estratégias e estabelecendo relações.
Prof.ª Gislaine Donizeti Fagnani da Costa
CAPÍTULO 1
Desvendando Incógnitas, Variáveis, 
Equações, Inequações E Polinômios
A partir da perspectiva do saber-fazer, são apresentados os seguintes 
objetivos de aprendizagem:
• Conceituar e definir as propriedades de produtos notáveis, fatoração e 
polinômios.
• Identificar variáveis/incógnitas e resolver equações e inequações.
• Definir o conceito de polinômios.
• Aplicar os conceitos e propriedades dos produtos notáveis, fatoração, 
equações, inequações e polinômios na vida real.
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 Aritmética e álgebra para professores
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Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações,Inequações E Polinômios Capítulo 1 
1 CONTEXTUALIZAÇÃO
A matemática é algo que deve estar disponível para todo ser humano, para 
que possa fazer uso dela como uma de suas ferramentas de sobrevivência e 
convívio social, promovendo uma formação integral e inclusiva.
As formas de pensar as características da matemática podem expandir-
se para outros raciocínios, impulsionando a capacidade global de aprendizado. 
Ao lidar com a matemática, fundamentamos o pensamento em um conjunto de 
axiomas, na geração e validação de hipóteses, no desenvolvimento de algoritmos 
e procedimentos de resolução de problemas, estabelecendo conexões e fazendo 
estimativas.
Dessa forma, ao analisar situações particulares inseridas na estrutura global, 
é possível construir estruturas de pensamento também úteis em situações não 
matemáticas da vida em sociedade. Tendo como referência o desenvolvimento 
das competências e habilidades descritas pela BNCC, temos que a:
competência é definida como a mobilização de conhecimentos 
(conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas 
e socioemocionais) atitudes e valores para resolver demandas 
complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e 
do mundo do trabalho (BRASIL, 2017, p. 8)
Em um ambiente mundial cada vez mais competitivo e desenvolvido do ponto 
de vista tecnológico, é preciso tornar acessíveis a todas as pessoas as vantagens 
desses avanços. E é de responsabilidade também da educação escolar levar 
o aluno a perceber criticamente a realidade, cuja interpretação depende da 
compreensão de sua estrutura lógica, do entendimento da simbologia adotada no 
contexto, da análise das informações veiculadas por dados numéricos, imagens, 
taxas, indexadores econômicos entre outros.
Um indivíduo com poucos conhecimentos matemáticos pode estar privado de 
exercer seus direitos como cidadão, por não ter condições de opinar em situação 
de igualdade com os demais membros da sociedade, nem de definir seus atos 
públicos e sociais com base em uma avaliação acurada da situação.
Nesse sentido, podemos afirmar que a maior parte das sociedades de hoje 
depende cada vez mais do conjunto de conhecimento produzido pela humanidade, 
incluindo de maneira notável as contribuições da ciência matemática. Assim, no 
ensino da matemática, assumem grande importância aspectos como o estímulo 
a relacionar os conceitos matemáticos com suas representações (esquemas, 
diagramas, tabelas, figuras); a motivação para identificar no mundo real o uso 
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 Aritmética e álgebra para professores
de tais representações; o desafio à interpretação, por meio da Matemática, da 
diversidade das informações advindas desse mundo.
2 DESVENDANDO INCÓGNITAS, 
VARIÁVEIS, EQUAÇÕES, 
INEQUAÇÕES E POLINÔMIOS
O objetivo desta seção é conceituar e definir as propriedades de produtos 
notáveis, fatoração e polinômios, bem como identificar variáveis/incógnitas e 
resolver equações e inequações.
2.1 PRODUTOS NOTÁVEIS E 
FATORAÇÃO
Fatoração é o termo utilizado na álgebra para designar a decomposição 
de cada um dos elementos que integram um produto, isto é, o resultado 
de uma multiplicação. Por meio da fatoração busca-se a simplificação das 
fórmulas matemáticas em que ocorre a multiplicação, especialmente das 
chamadas equações.
Um exemplo particular e extremamente importante é a fatoração de um 
polinômio, que significa transformá-lo em um produto de polinômios de graus 
menores ou mais simples. Dessa forma, a fatoração surge como um recurso da 
matemática utilizado com a finalidade de facilitar os cálculos algébricos; para que 
possamos conseguir resolver situações mais complexas. 
Existem várias aplicações e problemas relacionados, tais quais os de 
fatoração de números primos e criptografia. Sendo a fatoração é indispensável na 
resolução de equações do segundo grau ou maior.
Nessa perspectiva fatorar significa transformar a soma e a subtração de 
expressões algébricas ou equações em um produto com fatores. Para facilitar 
à compreensão e o entendimento da fatoração como sendo a simplificação das 
sentenças matemáticas, a fatoração é dividida em casos de fatoração, que serão 
apresentados na sequência.
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Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
2.1.1 Fatoração por fator comum ou 
evidência 
 
Ao realizar a fatoração por fator comum em evidência, utilizamos a ideia 
de fazer grupos de polinômios, ao fatorar escrevemos a expressão na forma de 
produto de expressões mais simples. 
Nesse caso de fatoração pode ser determinada pela fórmula:
ax+bx = x(a+b)
O termo a ser colocado em evidência foi o x, pois ele se repete na composição 
do monômio ax e bx.
Observe o polinômio P(x) = x² + 3x, podemos verificar que o monômio x é 
comum a todos os termos. Ao colocá-lo em evidência, dividindo cada termo do 
polinômio P(x) = x² + 3x por x, obtemos x (x + 3), permitindo a conclusão de que 
a forma fatorada do polinômio P(x) = x² + 3x. Veja a seguir, mais alguns exemplos 
de fatoração utilizando fator comum em evidência.
Exemplo 1:
Seja P(x) = 9x³ - 3x² + 6x, temos:
Fator comum: 3x
Forma fatorada: 3x (3x² - x + 2)
Exemplo 2:
P(a) =a6 – 4a²
Fator comum: a²
Forma fatorada: a² (a4 – 4) 
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 Aritmética e álgebra para professores
Faça a fatoração da expressão P(b) =3b12 – 6b6, utilizando 
fator comum em evidência.
2.1.2 Fatoração por agrupamento
Agrupamento consiste no método pelo qual se pode simplificar uma 
expressão algébrica, agrupando os termos que são comuns ou semelhantes. A 
fórmula geral que estabelece o agrupamento é dada por:
ax + bx + ay + by = (x + y)⋅ (a + b)
Podendo ser escrita como:
ax + bx + ay + by = x⋅ (a + b) + y⋅ (a + b)= (x + y)⋅ (a + b)
Observe que no método do agrupamento necessita fazer uso da fatoração por 
termo comum em evidência. No entanto, no caso da fatoração por agrupamento 
não existe um fator que será comum a todos os termos, temos somente fatores 
que são comuns a alguns termos. 
Seja P(x) = 4x² + 8x + 6xy + 12y, colocando os termos em comum em evidência 
por agrupamento temos: 4x (x + 2) + 6y (x + 2). Observe que os termos 4x e 6y ainda 
possuem termos em comum. Ao colocar novamente os termos 4x e 6y temos: (4x 
+ 6y) (x + 2). A seguir veja mais alguns exemplos de fatoração por agrupamento: 
Exemplo 1:
Seja P(x) = 2xy – 12x + 3by – 18b 
Fatorando, temos: 2x (y – 6) + 3b (y – 6)
Fatorando novamente: (2x + 3b) (y – 6)
 
 Exemplo 2:
Seja P(x) = 6x²b + 42x² – y²b – 7y² 
Fatorando temos: 6x² (b + 7) – y² (b + 7) 
Fatorando novamente: (6x² – y²) (b + 7) 
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Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
Fatore P(a)= ab + 3b + 7a + 21 usando agrupamento.
2.1.3 Fatoração: diferença de dois 
quadrados
A fórmula geral desse caso de fatoração é igual a:
a2 − b2 = (a + b) ⋅ (a − b)
A fatoração pela diferença de dois quadrados, ou seja, a subtração de dois 
quadrados só pode ser empregada quando: 
• For realizada uma expressão algébrica com dois monômios (sejam 
binômios). 
• Os dois monômios sejam quadrados. 
• A operação entre os dois monômios for de diferença ou subtração. 
Observe, a seguir, um exemplo de expressão algébrica que satisfaz a 
exigência: a2 - 1 é uma expressão algébrica que possui apenas dois monômios, 
os dois estão ao quadrado e entre eles há uma operação denominada subtração. 
Considere a seguinte expressão algébrica: 16x2 – 25, ao extrair a raiz 
quadrada de ambos os membros que compõem a equação, temos:
 
Sendo assim, a forma fatorada da equação: 16x2 – 25 será (4x – 5) (4x + 5). 
Exemplo 1: 
Ao extrair as raízes da expressão algébrica x2 – 49, obtemos 
respectivamente x e 7, então a sua forma fatorada é (x –7) (x + 7). 
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 Aritmética e álgebra para professores
Exemplo 2: 
Sendo a expressãoalgébrica 64x2 – 81, a raiz dos termos 64x2 e 81 é 
respectivamente 8x e 9. Então, a forma fatorada é (8x – 9) (8x + 9). 
Fatore a expressão algébrica 4x² – 81y².
2.1.4 Fatoração: trinômio do 
quadrado perfeito 
O trinômio quadrado perfeito possui representação tanto na soma como na 
diferença. A seguir, as suas fórmulas gerais:
Diferença: a2 − 2ab + b2 = (a − b)2
Soma: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
O que é um trinômio? Trinômio é um polinômio que tem três monômios sem 
termos semelhantes. 
Exemplo 1:
a) 5x2 + 3x + 5
b) 10x3 + 2x – 3x2 
c) 5ab +6b + 2c
A fatoração pelo trinômio do quadrado perfeito só pode ser utilizado quando 
a expressão algébrica for um trinômio, ou seja, polinômio com três monômios e 
esse trinômio formar um quadrado perfeito. No entanto, nem todos os trinômios 
apontados anteriormente podem ser fatorados utilizando o quadrado perfeito.
Você sabe o que é quadrado perfeito? Um número é considerado um 
quadrado perfeito, quando esse número for o resultado de outro número elevado 
ao quadrado, por exemplo: 16 é um quadrado perfeito, pois 42 = 16.
Dado um trinômio qualquer, como podemos identificar se esse trinômio é 
quadrado perfeito? Basta observar as seguintes regras:
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Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados.
• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas 
dos dois outros termos. 
Dado o polinômio a seguir, podemos observar:
Os dois membros do trinômio têm raízes quadradas e o dobro do produto 
das raízes obtidas é igual ao termo do meio, dessa forma, podemos dizer que o 
trinômio 16x2 + 8x + 1 é quadrado perfeito.
Assim, podemos concluir que a forma fatorada do trinômio é 16x2 + 8x + 1 é 
(4x + 1)2, pois é a soma das raízes ao quadrado.
Exemplo 2:
Seja o trinômio 4x2 – 8xy + y2, ao extrair as raízes dos termos 4x2 e y2, 
obtemos respectivamente 2x e y. O dobro dessas raízes deve ser 2 . 2x . y = 4xy, 
é diferente do termo 8xy, então esse trinômio não pode ser fatorado usando o 
quadrado perfeito.
Sendo o trinômio 1 + 9 a² – 6 a, obtenha a forma fatorada desse 
trinômio.
2.2 PRODUTOS NOTÁVEIS
Na álgebra, há expressões representadas por produtos de expressões 
algébricas, que surgem com maior frequência. Pela relevância que representam 
no cálculo algébrico, tais expressões são denominadas Produtos Notáveis e 
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 Aritmética e álgebra para professores
são utilizados especialmente para a fatoração de polinômios e também com a 
finalidade de evitar erros com sinais. 
Os produtos notáveis são multiplicações em que os fatores são polinômios. 
Há cinco produtos notáveis mais importantes: quadrado da soma, quadrado da 
diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença. 
No entanto, antes do entendimento de um produto notável, faz-se necessário a 
compreensão do conceito de expressões algébricas, ou seja, expressões que 
possuem letras e números. 
Observe alguns exemplos:
2x + 3 = 4
- y + 2x + 1 = 0
z2 + ax + 2y = 3
Os produtos notáveis, por sua vez, consistem em fórmulas que facilitam a 
simplificação de produtos algébricos, por exemplo:
(x + 2) . (x + 2)
(y – 9) . (y – 9)
(z + 5 ). (z – 5) 
Existem cinco casos diferentes de produtos notáveis, apresentados a seguir:
Caso 1 – Quadrado da soma de dois termos
• Quadrado significa elevar ao expoente 2.
• Soma de dois termos = a + b.
• Assim, o quadrado da soma de dois termos é: (a + b)2. 
Ao efetuar o produto do quadrado da soma, teremos:
(a + b)2 = (a + b) . (a + b) =
= a2 + a . b + a . b + b2 =
= a2 + 2 . a . b + b2
Exemplo 1:
(5 + a)2 
52 + 2 . 5 . a + a2 
25 + 10 . a + a2 
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Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
Efetue o quadrado da soma de dois termos para a expressão 
(2x + y)².
Caso 2 – Quadrado da diferença de dois termos
• Quadrado, significa elevar ao expoente 2.
• Diferença de dois termos = a - b.
Assim, o quadrado da diferença de dois termos é: (a - b)2. Efetuando os 
produtos por meio da propriedade distributiva, temos:
(a - b)2 = (a – b) . (a – b)
a2 – a . b – a . b + b2 =
a2 – 2 .a . b + b2
Exemplo 3:
(a – 3c)2 
a2 – 2 . a . 3c + (3c)2 
a2 – 6 . a . c + 9c2
Efetue o quadrado da diferença de dois termos para a expressão 
é: (p - 2r)².
Caso 3 – Produto da soma pela diferença de dois termos
• Produto significa multiplicação.
• Soma de dois termos, como já foi dito é igual a: a + b.
• Lembrando que a diferença de dois termos é igual a: a – b.
Dessa forma, o produto da soma pela diferença de dois termos é: (a + b) . 
(a – b).
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 Aritmética e álgebra para professores
Efetuando o produto de (a + b) . (a – b), obtemos:
(a + b) . (a – b) =
a2 - ab + ab - b2 =
a2 + b2 
Obtendo o seguinte produto notável:
(a + b) . (a – b) = a2 - b2
Exemplo 5:
(2 – b) . (2 + b) 
22 – b2 
4 – b2
Efetue o produto da soma pela diferença de dois termos para a expressão 
(3x² – 1) . (3x² + 1).
Caso 4 – Cubo da soma de dois termos
• Cubo significa expoente igual a 3.
• Soma de dois termos é igual a + b.
Dessa forma, o cubo da soma de dois termos é igual a (a + b)3.
Ao efetuar o produto por meio da propriedade distributiva, obtemos:
(a + b)3 = (a + b) . (a + b) . (a + b) =
(a2 + a . b + a . b + b2) . (a + b) = 
( a2 + 2 . a . b + b2 ) . ( a + b ) =
 a3 +2. a2 . b + a . b2 + a2 . b + 2 . a . b2 + b3 =
a3 +3 . a2 . b + 3. a . b2 + b3
Obtemos o seguinte produto notável:
(a + b)3 = a3 + 3 . a2 . b + 3 . a . b2 + b3
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Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
Exemplo 7:
(3c + 2a)3 
(3c)3 + 3 . (3c)2 .2a + 3 . 3c . (2a)2 + (2a)3 
27c3 + 54 . c2 . a + 36 . c . a2 + 8a3
Efetue o cubo da soma de dois termos na expressão (3x + 
1)³ por meio da propriedade distributiva.
Caso 5 – Cubo da diferença de dois termos
• Cubo = expoente 3.
• Diferença de dois termos = a - b.
Assim, o cubo da diferença de dois termos é: ( a - b )3.
Efetuando os produtos, obtemos:
(a - b)3 = (a - b) . (a - b) . (a - b) =
(a2 - a . b - a . b + b2) . (a - b) = (a2 - 2 . a . b + b2) . (a - b) =
a3 - 2. a2 . b + a . b2 - a2 . b + 2 . a . b2 - b3 =
a3 - 3 . a2 . b + 3. a . b2 - b3
Obtendo o seguinte produto notável:
(a - b)3 = a3 - 3 . a2 . b + 3 . a . b2 - b3
Exemplo 8:
(x - 2y)3 
x3 - 3 . x2 . 2y + 3 . x . (2y)2 – (2y)3 
x3 - 6 . x2 . y + 12 . x . y2 – 8y3
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 Aritmética e álgebra para professores
Efetue o cubo da diferença de dois termos na expressão (5y - 
2)³ por meio da propriedade distributiva.
Nesta obra, a seguir, a autora apresenta meios para trabalhar os 
produtos notáveis com base no uso de material concreto: 
ALMEIDA, G. C. E. de. Ensino de produtos notáveis através 
de material concreto. Curitiba: Editora CRV, 2013.
Neste livro, a seguir, é possível encontrar discussões sobre 
como abordar ideias da álgebra em sala de aula, envolvendo prática 
e teoria:
COXFORD, A. F. E.; SHULTE, A. P. (org). As ideias da álgebra. 
São Paulo: Atual, 1994.
2.3 INCÓGNITA, EQUAÇÃO E 
INEQUAÇÃO
Toda sentença aberta expressa uma proposta de igualdade consiste em 
uma equação. A palavra equação caracteriza-se pelo prefixo equa que vem 
do latim e significa igual. Numa equação as letras que representam os valores 
desconhecidos são as incógnitas. A palavra incógnita significa desconhecida.
Uma equação é uma expressão matemática que possui, em sua composição 
incógnita, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são 
caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas.
Assim como uma igualdade, uma equação possui dois membros: o primeiro 
membro está colocado à esquerda do sinal de igualdade e o segundo membro 
fica à direita do sinal de igualdadeda equação. 
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Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
Exemplo: 3x + 5 = 2x – 8.
Dessa forma, uma equação é uma expressão algébrica que contém uma 
igualdade, criada com a finalidade de encontrar soluções para problemas nos 
quais um número não é conhecido.
2.3.1 Equação do primeiro grau
Equações de primeiro grau são sentenças matemáticas que associam 
relações de igualdade entre termos desconhecidos e conhecidos, representadas 
sob a forma:
ax + b = 0
Assim, equação é toda sentença aberta, redutível e equivalente a ax + b = 0, 
com a ∈ R* e b ∈ R.
Ou seja, a e b são números que pertencem aos conjuntos dos números reais 
(R), com a diferente de zero e x representa uma variável que não conhecemos 
(incógnita).
A incógnita é o valor que precisamos achar para encontrar a solução para a 
equação. A variável que não conhecemos (incógnita) costumamos representá-la 
na equação pelas letras x, y e z. Numa equação do primeiro grau, o expoente da 
incógnita é sempre 1.
Exemplo: 15 + x = 18.
2.3.2 Raiz de uma Equação do 
primeiro grau
Um número é chamado raiz de uma equação quando, ao substituir a incógnita 
por ele, obtemos uma sentença verdadeira.
 
A finalidade de achar a raiz numa equação de primeiro grau é achar o 
valor desconhecido, isto é, encontrar o valor da incógnita que torna a igualdade 
verdadeira. É relevante observar que a mudança de posição dos elementos deve 
ser realizada de forma que a igualdade continue sendo verdadeira.
24
 Aritmética e álgebra para professores
Quando um termo da equação mudar de lado do sinal de igual, deve-se 
inverter a operação. Nesse sentido, se estiver multiplicando, passará dividindo, se 
estiver somando, passará subtraindo e vice-versa.
O procedimento de substituição da incógnita por um número consiste em 
verificar se esse número é ou não raiz da equação. Nessa perspectiva, raiz de 
uma equação é o valor da incógnita que a transforma numa sentença matemática 
fechada e verdadeira, assim resolver uma equação é encontra sua raiz.
Exemplo 1: para verificar se o número 5 é raiz da equação x + 2 = 7, 
substituímos x por 5:
5 + 2 =7. 7 = 7 (verdadeira), logo, 5 é raiz da equação x + 2 = 7.
2.3.3 Raízes ou solução de equações 
do primeiro grau
A resolução de equações do 1º grau com uma incógnita é feita transformando-
se cada equação equivalente e mais simples, até que as soluções sejam obtidas.
Exemplo 1: ache a raízes da equação que seguem:
a) 2x - 16 = 4 
Resolução:
2x = 4 + 16
2x = 20
x = 20/2
x = 10
b) 4 . (x – 1) = 2 . 4
Resolução:
4x – 4 = 8
4x = 8 + 4
4x = 12
x = 12/4
x= 3
25
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
Exemplo 2: Antônio tinha certa quantidade de balas, deu 1/3 da quantia para 
Ana e 1/4 da quantia para Camila, ficando com R$ 25,00. Qual era a quantia de 
balas que Antônio possuía?
Resolução:
Sendo a quantia de balas: x
Um terço da quantia: 1/3x
Um quarto da quantia: 1/4x
Então: 1/3 x + 1/4 x + 25 = x
Achando o mmc e simplificando os denominadores temos:
4x + 3x + 300 = 12x
12x – 4x – 3x = 300
12x – 7x = 300
5x = 300
x = 300/5
x = 60
Atividade 1: o triplo de um número adicionado ao seu dobro resulta 
em 900. Qual é o número?
Atividade 2: os 38 alunos da 9ª série A de uma escola representam 
25% de todos os alunos da 9ª série dessa mesma instituição. 
Quantos são os alunos da 9ª série dessa escola?
Atividade 3: as reproduções das telas a seguir são assinadas por 
Eliane Montari. Eu as comprei por R$1320,00. Pela tela A, paguei o 
dobro do que paguei pela tela B, e pela tela C, peguei o triplo do que 
paguei pela B. Quanto paguei respectivamente pelas telas A, B e C?
Atividade 4: Pedro e Thiago são ciclistas e decidiram percorrer uma 
estrada que possui um trecho de terra e outro asfaltado. Pedro 
percorreu o trecho asfaltado e mais 6 km do trecho de terra, 
retornando logo após o ponto de partida. Thiago percorreu o 
trecho e mais 2 km do trecho de terra, depois voltou ao ponto de 
partida. Ele fez esse percurso duas vezes. Quando fizeram as 
contas, descobriram que haviam percorrido a mesma distância. 
Quantos quilômetros tem o trecho asfaltado?
26
 Aritmética e álgebra para professores
2.3.4 Equação do segundo grau
Uma equação do 2º grau com uma incógnita é qualquer equação que pode 
ser escrita na forma reduzida ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são números reais 
denominados de coeficientes, e x é a incógnita a ≠ 0. 
Quanto aos coeficientes a, b e c, a é sempre coeficiente de x², b é sempre 
coeficiente de x, e c é sempre coeficiente do termo independente.
 
O que determina o grau de uma equação é o expoente (a potência) da 
incógnita (a letra, geralmente x e y). Nas equações de segundo grau, o maior 
expoente da incógnita é 2. 
Exemplo:
a) x² – 10x + 24 = 0, em que a = 1, b = -10 e c = 24.
b) - 3x² + 7x - 5 = 0, em que a = - 3, b = 7 e c = - 5.
2.3.5 Equações do segundo grau 
incompletas
Quando pelo menos um dos coeficientes, b ou c, for igual a zero, dizemos 
que a equação do segundo grau é incompleta. 
Exemplo: 
a) x² - 4 = 0, em que a= 1, b = 0 e c = - 4.
b) 2x2 + 3x = 0, em que a = 2 b = 3 e c = 0.
c) -13x2 = 0 em que a = -13, b = 0 e c = 0.
2.3.6 Raízes ou solução de uma 
equação do segundo grau
A solução de uma equação é chamada de raiz. O número de raízes possíveis 
de uma equação é igual ao seu grau. Resolver uma equação é o mesmo que 
achar suas raízes, ou seja, o valor ou os valores que satisfazem a equação. 
27
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
As raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0, por exemplo, são x = 4 ou 
x = 6, pois: Substituindo x = 4 na equação, temos: 
x² – 10x + 24 = 0
4² – 10 . 4 + 24 = 0
16 – 40 + 24 = 0
– 24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)
Substituindo x = 6 na equação, temos:
x² – 10x + 24 = 0
6² – 10 . 6 + 24 = 0
36 – 60 + 24 = 0
– 24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)
Essa expressão consiste num método eficiente de resolução desse modelo 
de equação, com base nos coeficientes numéricos. Considere a equação ax² + bx 
+ c = 0, onde a, b e c são números reais. Acompanhe os passos para a resolução 
de uma equação do segundo grau, a seguir.
2.3.7 Resolução de equações 
incompletas
a) Equações do tipo ax2 + bx = 0
Equações do tipo ax2 + bx = 0, com a ≠ 0 com b ≠ 0, tem uma solução 
igual a zero e outra diferente de zero.
Exemplo 1: 
Seja a equação x2 - 6x = 0, temos a = 1, b = - 6 e c = 0.
Como a incógnita aparece nos dois termos da equação, é possível colocá-la 
em evidência:
x2 - 6x = 0
x .(x - 6) = 0
28
 Aritmética e álgebra para professores
Como o produto de x por x - 6 é igual a zero, pelo menos um dos fatores deve 
ser igual a zero.
Assim, se x . (x - 6) = 0, temos que: x1= 0 ou x - 6= 0, ou seja, x2= 6.
 
Dessa forma, as soluções dessa equação são 0 e 6.
b) Equações do tipo ax2 + c = 0
Equações do tipo ax2 + c = 0, com a ≠ 0 com c ≠ 0, têm duas soluções reais 
opostas quando a > 0 e c < 0 ou a < 0 e c > 0 não têm soluções reais quando a 
> 0 e c > 0 ou a < 0 e c < 0.
Exemplo 2:
 
Seja a equação x2 - 16 = 0, temos a= 1, b= 0 e c= -16.
 
Como a > 0 e c < 0 então a equação tem duas soluções reais.
 
Resolvendo essa equação em duas formas temos:
1ª forma: isolando a incógnita no primeiro membro.
x2 - 16 = 0
x2 = 16
x= ±√16
x=±4
Observe que (- 4)2= (4)2=16.
2ª forma: usando fatoração.
O primeiro membro dessa equação é uma diferença de quadrados. Assim, 
fatorando essa expressão, temos: 
x2 - 16 = 0
x2 - 42 = 0
(x + 4) ( x - 4) = 0
Assim temos:
(x + 4) = 0
x = 4
(x - 4) = 0
x = - 4
29
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações,Inequações E Polinômios Capítulo 1 
Dessa forma, as soluções da equação são 4 e – 4.
c) Equações do tipo ax2 = 0
Equações do tipo ax2 + bx = 0, com a ≠ 0 têm uma única solução, que é x= 
0. Nesse caso, é comum que se diga que a equação tem duas soluções reais 
iguais à zero.
Exemplo 3:
Seja a equação 7x2 = 0, dividindo os dois membros da equação por 7, temos:
O único número que, elevado ao quadrado, é igual a zero é o próprio 
zero. Logo, temos duas raízes reais e iguais à zero.
As equações x² - 9 = 40 e 5x² = - 35x têm uma solução em 
comum. Determine-a.
No livro, a seguir, o autor descreve a história do desenvolvimento 
das equações algébricas, apresentando não somente a matemática 
por trás de cada método, mas também os fatos históricos que 
ajudaram nesse desenvolvimento.
GARBI, G. G. O romance das equações algébricas. 2. ed. 
São Paulo: Livraria da Física, 2003.
De forma interessante e envolvente, este livro, a seguir, 
apresenta diversas utilidades práticas de conteúdo de álgebra. Uma 
importante ferramenta para o trabalho em sala de aula. 
IMENES, L. M. P. et al. Álgebra. 6. ed. São Paulo: Atual, 1992.
30
 Aritmética e álgebra para professores
2.3.8 Resolução de equações 
completas
a) Equações do tipo ax2 + bx + c = 0
Equações do tipo ax2 + bx +c = 0, com a, b e c ≠ 0 por meio dos seguintes 
métodos: fatoração (uso do trinômio do quadrado perfeito), completar quadrados 
(algebricamente e geometricamente) e fórmula geral (Bhaskara).
Exemplo 1: fatorando para obter um trinômio quadrado perfeito.
Dada a equação x2 + 2x + 1 = 0, temos a = 1, b = 2 e c = 1.
Essa equação é chamada de Equação do Segundo Grau Completa, pois 
nenhum dos seus coeficientes é nulo. Além disso, observe que temos um trinômio 
quadrado perfeito no primeiro membro da igualdade. Dessa forma, fatorando o 
trinômio da equação temos:
x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
Então, como zero é o único número que elevado ao quadrado é igual à zero, 
podemos concluir que:
(x + 1) = 0
x = -1
Logo, essa equação tem duas raízes reais iguais a -1.
2.3.9 Resolução de equações 
completas
a) Equações do tipo ax2 + bx + c = 0
Equações do tipo ax2 + bx + c = 0, com a, b e c ≠ 0 por meio dos seguintes 
métodos: fatoração (uso do trinômio do quadrado perfeito), completar quadrados 
(algebricamente e geometricamente) e fórmula geral (Bhaskara).
31
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
Exemplo 1: fatorando para obter um trinômio quadrado perfeito.
Dada à equação x2 + 2x + 1 = 0, temos a = 1, b = 2 e c = 1.
Essa equação é chamada de Equação do Segundo Grau Completa, pois 
nenhum dos seus coeficientes é nulo. Além disso, observe que temos um trinômio 
quadrado perfeito no primeiro membro da igualdade. Dessa forma, fatorando o 
trinômio da equação temos:
x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
Então, como zero é o único número que elevado ao quadrado é igual à zero, 
podemos concluir que: 
(x + 1) = 0
x = -1
Logo, essa equação tem duas raízes reais iguais a -1.
Exemplo 2: Completando quadrados.
Considere a equação x2 + 16x - 17 = 0. Essa equação é chamada de equação 
do segundo grau completa, pois nenhum dos seus coeficientes é nulo.
• 1º passo: escreva a equação na forma ax2 + bx = - c.
x2 + 16x = 17
• 2º passo: para obtermos um trinômio quadrado perfeito no primeiro 
membro, adicionamos m2 aos dois membros da equação:
x2 + 16x + m2 = 17 + m2
 
Para que o primeiro membro seja um quadrado perfeito, 2xm deve ser igual 
a 16x. Então:
2xm = 16x
m = 16x/2x
m = 8
Assim:
x2 + 16x + 82 = 17 + 82
32
 Aritmética e álgebra para professores
(x + 8)2 = 17 + 64
(x + 8)2 = 81
• 3º passo: em seguida, resolvemos a nova equação:
(x + 8)2 = 81
(x + 8) = ± √81
(x + 8) = ± 9
Logo:
(x1 + 8) = 9
x1 = 9 – 8
x1 = 1
Ou
(x2 + 8) = - 9
X2 = -9 - 8
x2 = -17
Dessa forma, as soluções da equação são -17 e 1.
Exemplo 3: fórmula resolutiva de equação do segundo grau (Fórmula de 
Bhaskara).
x = -b ± √Δ
 2a
Δ = b² - 4 ac
Em que b² - 4ac é chamado discriminante da equação do segundo grau 
denominado pela letra grega Δ (delta). Dada a equação x2 + 4x + 3= 0, usando a 
fórmula resolutiva de equações do segundo grau, identificamos que a = 1, b = 4 e 
c = 3. Calculando o valor do discriminante temos:
Δ = b² - 4 ac
Δ = 4² - 4.1.3
Δ = 16 - 12
Δ = 4
Assim:
x = -b ± √Δ
 2a
33
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
x = -4 ± √4
 2.1
x1 = -4 + 2 = -1
 2
x2 = -4 - 2 = -3
 2
Logo, as soluções da equação são – 3 e – 1.
Atenção! Nem toda equação do segundo grau completa pode 
ser manipulada de modo a obter um trinômio quadrado perfeito, 
já a fórmula resolutiva para equação do segundo grau (Fórmula 
de Bhaskara) pode ser aplicada para obter a solução de qualquer 
equação do segundo grau, seja ela completa ou incompleta.
Atividade 1: dada as dimensões do retângulo a seguir, com base 
nas informações indicadas, determine o valor de x para o qual a 
área do retângulo é igual a 56 m2 são iguais a:
a) ( ) 5 e -5.
b) ( ) 5 e -10.
c) ( ) -10 e 10.
d) ( ) -1 e 5.
Atividade 2: a soma de um número racional não inteiro com o 
dobro do seu inverso multiplicativo é 33/4. Esse número está 
compreendido entre:
34
 Aritmética e álgebra para professores
a) ( ) 5 e 6
b) ( ) 1 e 5
c) ( ) 1/2 e 1
d) ( ) 3/10 e 1/2
e) ( ) 0 e 3/10
Atividade 3: o quadrado de um número menos o triplo do seu 
sucessivo é igual a 15. Qual é esse número?
2.3.10 Análise do discriminante de 
uma equação do segundo grau
Discriminar significa perceber diferenças, na matemática, o termo 
discriminante é empregado para denominar um número ou uma expressão que 
permite classificar equações do segundo grau conforme a existência de raízes ou 
não.
 
Dessa forma, existe uma relação entre valor do discriminante e a existência 
de raízes reais para a equação. Ao calcularmos o valor do discriminante é possível 
identificar se a equação do segundo grau tem ou não raízes. Observe a seguir as 
análises do valor do discriminante:
• Δ = 0. Se o discriminante é igual à zero, a equação de 2º grau possui duas 
raízes reais iguais.
Exemplo: 
Dada a equação x2 – 6x + 9 = 0, temos que: a = 1, b = – 6 e c = 9.
Utilizando a fórmula resolutiva de Bhaskara:
 x = -b ± √Δ
 2a
em que Δ = b² - 4 ac, temos:
Δ = (– 6)² – 4.1.(9)
Δ=36 - 36
35
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
Δ= 0
x = – (– 6) ± √0
 2.1
x = 6 ± 0
 2
x1 = 6/2= 3 
x2 = 6/2=3
 
A equação possui duas raízes iguais a 3, logo o conjunto solução desta 
equação é: S= {3}.
 
• Δ > 0. Se o valor do discriminante é maior que zero, a equação possui 
duas raízes reais diferentes.
Exemplo: 
Dada a equação x2 + 3x – 4 = 0, temos que: a = 1, b = 3 e c = – 4.
Utilizando a fórmula resolutiva de Bhaskara:
 x = -b ± √Δ
 2a
em que Δ = b² - 4 ac, temos:
Δ = (6)² – 4.1.(-4)
Δ=9 + 16
Δ= 25
x = – (3) ± √25
 2.1
x = - 3 ± 5
 2
x1 = 2/2= 1 
x2 = - 8/2= - 4
A equação possui duas raízes diferentes, logo o conjunto solução desta 
equação é: S= {- 4,1}.
• Δ < 0. Quando o discriminante é menor que zero, não existem raízes reais 
(em R).
Exemplo: 
36
 Aritmética e álgebra para professores
Dada a equação x2 + 5x + 7 = 0, temos: a = 1, b = 5 e c = 7.
Utilizando a fórmula resolutiva de Bhaskara:
 x = -b ± √Δ
 2a
em que Δ = b² - 4 ac, temos:
Δ = (5)² – 4.1.(7)
Δ= 25 – 28
Δ= - 3
x = – (– 6) ± √- 3 
 2.1
Como nos reais não existe raiz de número negativo, a equação não tem 
raízes reais, logo o conjunto solução desta equação é: S=ø.Assim:
2.3.11 Inequações
Diferente da equação que expressa igualdade, a inequação consiste em uma 
expressão matemática que tem a propriedade de expressar desigualdades. 
 
Na equação, o sinal usado é o símbolo da igualdade (=), já na inequação 
usaremos os seguintes símbolos matemáticos que expressam desigualdades: >: 
(maior que); <: (menor que); ≥: (maior que ou igual) ou ≤: (menor que ou 
igual).
A resolução de uma equação pode ser dividida em passos que, por sua 
vez, se assemelham aos passos de resolução de uma equação. Dados a ≠ 0 e b 
números reais, resolva para x (incógnita) a.x + b < 0. 
37
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
2.3.12 Resolução de inequações do 
primeiro grau e representação na 
reta real
 
A principal entre equação e inequação é basicamente que a equação 
representa uma igualdade e a inequação representa uma desigualdade. Nas 
equações do primeiro grau, busca-se encontrar um resultado único para a 
incógnita, e tais resultados nas inequações este resultado pode ser um conjunto 
aberto ou fechado de números, identificados pelos símbolos de desigualdade.
A resolução de uma inequação se assemelha aos passos de resolução de 
uma equação. Dados a ≠ 0 e b números reais, e a.x + b, chamamos de inequação 
do primeiro grau toda desigualdade que, quando reduzida, possui uma das 
seguintes formas:
• a.x + b < 0
• a.x + b > 0
• a.x + b ≤ 0
• a.x + b ≥ 0
Intervalos: significa que o conjunto possui cada número real entre dois 
extremos indicados, seja numericamente ou geometricamente.
Notação desigualdade/tipo de intervalo:
Sejam a e b números reais:
• Aberto: (a,b) = {x ∈ R : a < x < b} 
• Fechado: [a,b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
• Semiaberto à direita: [a,b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} 
• Semiaberto à esquerda: (a,b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} 
• Infinito: (− ∞,+∞) = {x ∈ R : − ∞ < x < +∞} = R
Exemplo 1:
Dada a inequação 4x – 10 < 20 – 2x, qual o valor de x que satisfaz essa 
desigualdade? Represente a solução na reta real. 
Resolução:
38
 Aritmética e álgebra para professores
4x + 2x < 20 + 10
6x < 30
x < 5, ou seja,
{x Є R/ x < 5}
Representação da solução na reta real: 
Observe a solução não inclui o número 5, portanto, a bolinha é aberta no 
número 5.
Exemplo 2:
Dada a inequação 4 < 2x – 4 < 10, qual o valor de x que satisfaz essa 
desigualdade? Represente a solução na reta real.
Resolução:
4 < 2x – 4 < 10
4 + 4 < 2x < 10 + 4
8/2 < x < 14/2
4 < x < 7
{x Є R/ 4 < x < 7}
Representação da solução na reta real: 
Observe a solução não inclui o número 4, em o número 7, portanto a bolinha 
é aberta no número 4 e no número 7.
Exemplo 3:
Dada a inequação 5 ≤ 2x – 3 < 7, qual o valor de x que satisfaz essa 
desigualdade? Represente a solução na reta real. 
5 ≤ 2x – 3 < 7
5 + 3 ≤ 2x < 7 + 3
8 ≤ 2x < 10
39
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
8/2 ≤ x < 10/2
4 ≤ x < 5
{x Є R/ 4 ≤ x < 5}
Representação da solução na reta real: 
Observe a solução inclui o número 4, mas não inclui o número 5, portanto, a 
bolinha é fechada no número 4 e aberta no número 5.
Exemplo 4:
Dada a inequação 1 ≤ 4x – 7 ≤ 13, qual o valor de x que satisfaz essa 
desigualdade? Represente a solução na reta real.
1 ≤ 4x – 7 ≤ 13
1 + 7 ≤ 4x ≤ 13 + 7
8 ≤ 4x ≤ 20
8/4 ≤ x ≤ 20/4
2 ≤ x ≤ 5
{x Є R/ 2 ≤ x ≤ 5}
Representação da solução na reta real:
Observe a solução inclui o número 2 e inclui o número 5, portanto, a bolinha 
é fechada no número 4 e no número 5. 
Dada a inequação 4x + 8 > – 2x + 2, qual o valor de x que 
satisfaz essa desigualdade? Represente a solução na reta real.
40
 Aritmética e álgebra para professores
2.3.13 Resolução de inequações do 
segundo grau e representação na 
reta real
Resolver uma inequação é determinar os valores de x que tornam a 
desigualdade verdadeira, ou seja, obter o conjunto-solução da inequação.
 
Seja ax2 + bx + c uma equação do segundo grau, denominamos inequação 
do segundo grau toda desigualdade que, quando reduzida, possui uma das 
seguintes formas:
• ax2 + bx + c > 0
• ax2 + bx + c < 0
• ax2 + bx + c ≥ 0
• ax2 + bx + c ≤ 0
 
Para resolver uma inequação do segundo grau, é interessante primeiro 
resolver a equação normalmente e depois determinar as condições de existência 
em função de suas raízes e de sua desigualdade. 
Exemplo 1:
Resolva a equação: x2 + 5x + 6 ≥ 0.
Resolução:
Igualando a equação a zero temos:
x2 + 5x + 6 = 0.
Utilizando a fórmula resolutiva de Bhaskara:
 x = -b ± √Δ
 2a
em que Δ = b² - 4 ac, temos:
Δ = (5)² – 4.1.(6)
Δ= 25 - 24
Δ= 1
41
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
x = – (5) ± √1
 2.1
x = - 5 ± 1 
 2
x1 = - 4/2= -2 
x2 = - 6/2 = - 3
Logo, as raízes da equação são - 3 e - 2.
Analisando as raízes da equação segundo a condição da equação dada, na 
qual a solução da equação deve ser maior ou igual à zero, é necessário estudar 
um estudo do sinal de ambas as raízes obtidas separadamente e também uma 
análise da representação de ambas na reta. Assim, representando na reta real 
temos:
• Se x for maior ou igual a - 2, os valores da equação são maiores ou 
iguais a 0:
• Se x for menor ou igual a -3 então os valores de x também serão maiores 
que zero:
Dessa forma, o conjunto solução de nossa inequação será representado na 
reta real:
Escrito da seguinte forma: S= { x ∈ R: x ≤ −3 ou x ≥ −2} = ]− ∞,− 3] ∈ [− 2,+ 
∞[.
Exemplo 2:
Estude a equação: x2 + x – 2 ≤ 0.
42
 Aritmética e álgebra para professores
Resolução:
Igualando a equação a zero temos: x2 + x - 2 = 0.
Utilizando a fórmula resolutiva de Bhaskara:
 x = -b ± √Δ
 2a
em que Δ = b² - 4 ac, temos:
Δ = (1)² – 4.1.(-2)
Δ= 1 + 8
Δ= 9
x = – (1) ± √9 
 2.1
x = - 1 ± 3 
 2
x1 = 2/2= 1 
x2 = - 4/2 = - 2
Logo, as raízes da equação são – 2 e 2. Analisando o sinal temos:
• Se x ≥ 1, os valores da equação serão maiores ou igual zero.
• Se x ≤ − 2, os valores também serão maiores ou iguais a zero.
• Se − 2 ≤ x ≤ 1, então os valores serão menores do que zero, o que satisfaz 
a nossa condição de existência da equação. 
Escrita como: S = { x ∈ R:− 2 ≤ x ≤ 1} ou [−2,1].
Estude a equação x² − 8x + 15 > 0.
3 POLINÔMIOS 
Os polinômios são expressões algébricas constituídas coeficientes numéricos 
e letras denominadas partes literais, as quais também representam os valores 
43
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
desconhecidos da expressão. Um polinômio na variável x é dado por:
Em que: 
• , com n ∈ N são 
denominados os termos do polinômio (note que todos os expoentes devem ser 
números naturais);
• são números reais denominados 
coeficientes;
• a0 é o termo chamado independente de x;
• x é a variável.
Exemplo 1:
a) 8ab + 2
b) - 2x3 + 6xy - 12x2y3
c) 125x2 - 49y2
Os polinômios são constituídos por termos. A operação entre os elementos 
de um termo é a multiplicação. Quando um polinômio possui apenas um termo, 
ele é chamado de monômio, por exemplo: 5x; 6abc; 2x2y3z4.
 
Os chamados binômios são polinômios que possuem somente dois monômios 
(dois termos), separados por uma operação de soma ou subtração, por exemplo: 2a2 - b2; 
8x + y; 2ab - 4cd2. Já os trinômios são polinômios que possuem três monômios 
(três termos), separados por operações de soma ou subtração, por exemplo: x2 + 
3x + 7; 3ab - 4xy - 10y; m3n + m2 + n4.
3.1 GRAU DOS POLINÔMIOS
O grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se an ≠ 0, 
então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamosgr(P) = n. Dessa 
forma, o grau de um polinômio é fornecido pelos expoentes da parte literal. 
Exemplo 1: 
Dado P(x) = x3 + 4y, como o índice de maior expoente é 3, o grau do 
polinômio é 3.
44
 Aritmética e álgebra para professores
3.2 VALOR NUMÉRICO OU RAIZ DE 
UM POLINÔMIO 
O valor numérico de um polinômio P(x), para x = a, é o número que se obtém 
substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação 
que define o polinômio. Assim, se o valor numérico para x = a for igual ao valor 
numérico zero, esse valor é denominado raiz do polinômio.
Exemplo 1:
Dado P(x) = 2x⁵ + x⁴ - 2x² - x, verifique os valores numéricos de P(x) para x= 
-2 e x=1 e diga ainda se x = - 2 e x = 1 são raízes desse polinômio.
Resolução:
Calculando o valor de P(x) para x = - 2, temos:
P(-2) = 2(-2)⁵ + (-2)⁴ - 2(-2)² - (-2)
P(-2) = 64 + 16 - 8 + 2
P(-2) = -54
Como P(-2) = -54 ≠ 0, x = -2 não é raiz do polinômio.
Calculando o valor de P(x) para x= 1, temos:
P(1) = 2(1)⁵ + (1)⁴ - 2(1)² - (1)
P(1) = 2 + 1 - 2 - 1
P(1) = 0
Como P(1) = 0, x = 1 é raiz do polinômio.
3.3 POLINÔMIOS IDENTICAMENTE 
NULOS
Polinômio identicamente nulo é o polinômio cujo valor numérico é igual a 
zero para todo valor da variável x. Assim, a condição necessária para que dois 
polinômios sejam iguais ou idênticos ao polinômio nulo é que os coeficientes dos 
termos correspondentes sejam iguais à zero.
45
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
Exemplo 1:
Para quais valores de a e c o polinômio P(x) = (a² - 9)x⁴ + (2b + 1) x², é 
identicamente nulo.
Resolução:
Fazendo P(x) = 0, temos:
(a² - 9) = 0
a² = 9
a = 3 ou a = -3
(2b + 1) = 0
2b = -1
b = 1/2
Assim P(x) será nulo para a= 3, ou a= - 3 e b= - 1/2.
1 Indique o grau dos polinômios:
a) 2x3 – 3
b) 9x4 – 3
c) 2ab - b + 2a
d) 5zk7 - 20z2k3w6 + 4x
2 Dada a figura a seguir, calcule:
a) Qual o valor do perímetro da figura?
b) Encontre o polinômio que representa a área da figura.
3 Fatore o polinômio a seguir: 
8ab + 2a2b - 4ab2 
46
 Aritmética e álgebra para professores
4 Para quais valores de a e c o polinômio P(x) = (a² - 4)x⁶ + (b + 1) x³, 
é identicamente nulo.
5 Dado P(x) = x⁸ + 2x⁴ - 2x² - x, verifique os valores numéricos de 
P(x) para x = 3 e x = 1 e diga ainda se x = - 3 e x = 1 são raízes 
desse polinômio.
3.4 OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
Nesta seção, abordaremos as operações com polinômios: adição, subtração, 
multiplicação e divisão.
3.4.1 Adição de Polinômios
Considere os seguintes polinômios: M(x)= - 8x3 + 3 x2y - xy + 4y e N(x)= - 
2x2y + 2xy - 8y. Ao somar os coeficientes dos termos semelhantes, ou seja, os 
coeficientes da mesma parte literal têm:
- 8x3 + 3 x2y - xy + 4y - 2x2y + 2xy - 8y
- 8x3 + x2y + xy - 4y 
3.4.2 Subtração de Polinômios
Sejam os seguintes polinômios: P(x)= 5x2 - 2xk + 6k e Q (x)= 2x - 3k. A 
diferença entre os polinômios caracteriza-se por:
(5x2 - 2xk + 6k) - (2x - 3k)
Ao eliminar os parênteses, juntando os termos semelhantes, temos:
5x2 - 2xk + 6k - 2xk + 3k
5x2 - 4xk + 9k
47
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
3.4.3 Multiplicação de Polinômios
Dados os polinômios: A(x)= 2x2 - 5x + 8 e B(x)= - 3x + 1, multiplicando termo 
a termo dos dois polinômios, temos que ao multiplicar letras iguais, repetem-se e 
soma-se os expoentes.
(2x2 - 5x + 8) . (- 3x + 1)
- 6x3 + 2x2 + 15x2 - 5x - 24x + 8
- 6x3 + 17x2 - 24x + 8
3.4.4 Divisão de Polinômios
Considere os polinômios: C(x)= 3x3 - 14x2 + 23x -10 e D(x)= x2 - 4x + 5. 
Ao efetuar a divisão de C(x) por D(x), usamos o método chave. Primeiro, faz-se 
a divisão entre os coeficientes numéricos e, depois, a divisão de potências de 
mesma base, conservando-se a base e subtraindo os expoentes. Assim, temos:
3.5 TEOREMA DO RESTO
Sendo a uma constante qualquer, o resto r da divisão de um polinômio P(x) 
por x – a é igual a p (a), isto é, r = p(a). 
Demonstração: 
Dado que a divisão de p(x) por x − a resulta um quociente q(x) e um resto r, 
temos que:
p(x) = (x − a)q(x) + r
48
 Aritmética e álgebra para professores
Ao tomar x = a, teremos que:
p(a) = (a − a)q(a) + r = 0. q(a) + r = r
ou seja, r = p(a).
Note: ao substituir x por a, o resto r não muda, pois é um valor constante.
Exemplo 1:
Seja P(x) = 2x⁴ + 5x³ - x² + 8, determine o resto da divisão desse polinômio 
por H(x) = x + 1.
Como a = - 1, teremos:
P(-1) = 2(-1)⁴ + 5(-1)³ - (-1)² + 8
P(-1) = 2 - 5 -1 + 8
P(-1) = 4
Assim, o resto da divisão de P(x) = 2x⁴ + 5x³ - x² + 8 por H(x) = x + 1 é igual 
a 4.
3.6 DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI
A divisão de polinômios pode ser feita utilizando o algoritmo da divisão. Um 
dispositivo prático para realizar esta divisão é denominado dispositivo de Briot-
Ruffini. Tal algoritmo é utilizado para dividirmos polinômios por um binômio do tipo 
(x - a). 
Seja P(x) o polinômio a ser dividido (dividendo); e H(x) o divisor no qual H(x) 
= x - a. Assim, a estrutura do dispositivo fica da seguinte forma:
Para entender como dispositivo funciona, considere P(x) = x² + 4x + 3 
e H(x) = x+1.
49
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
Depois multiplique o termo repetido pelo divisor, o resultado será somado ao 
próximo termo do dividendo p(x). 
O processo deve ser repetido para o novo elemento, multiplicando esse 
número pelo divisor e somando ao próximo termo.
Dessa forma, temos o resto igual a 0 e o quociente igual a Q(x) = x+3.
Para verificarmos se a divisão foi feita de forma correta, podemos utilizar o 
algoritmo da divisão que diz o seguinte: 
P(x) = H(x). Q(x) + R(x)
Substituindo temos que:
x² + 4x + 3 = (x+1) . (x+3) + 0 = x² + 3x + 1x + 3 = x² + 4x + 3
50
 Aritmética e álgebra para professores
3.7 FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
Como visto anteriormente, fatorar consiste em representar um número ou 
em uma expressão como produto de fatores. Dessa forma, fatorar um polinômio 
significa escrevê-lo como a multiplicação de outros polinômios, conseguindo 
frequentemente simplificar a expressão.
• Fator Comum em Evidência: ax + bx = x (a + b).
Exemplo 1: 4x + 20 = 4 (x + 5).
• Agrupamento: ax + bx + ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = (x + y) . (a + b).
Exemplo 2: 8ax + bx + 8ay + by = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b) . (x + y).
• Trinômio Quadrado Perfeito: (Adição) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2.
Exemplo 3: x2 + 6x + 9 = (x + 3)2.
• Trinômio Quadrado Perfeito (Diferença): a2 - 2ab + b2 = (a - b)2.
Exemplo 4: x2 - 2x + 1 = (x - 1)2.
• Diferença de Dois Quadrados: (a + b) . (a - b) = a2 - b2.
Exemplo 5: x2 - 25 = (x + 5) . (x - 5).
• Cubo Perfeito: (Adição) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3.
Exemplo 6: x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3 . x2 . 2 + 3 . x . 22 + 23 = (x + 2)3.
• Cubo Perfeito (Diferença): a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3.
Exemplo 7: y3 - 9y2 + 27y - 27 = y3 - 3 . y2 . 3 + 3 . y . 32 - 33 = (y - 3)3.
51
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
1 Dados os polinômios P(x) = 6x⁴ 5x² -2x - 12 e G(x) = 2x³ + 7x + 13 
calcule:
a) p + g
b) p – g
c) 2. f - g
2 Fatore os polinômios a seguir:
a) 4x2 - 25.
b) x2 + 6x + 9
c) x3 + 6x2 + 12x + 8
d) a3 - 9a2 + 27a – 27
3 Um terreno será disponibilizado para que seja feito o plantio 
de plantas frutíferas. Sabendo as medidas desse terreno 
apresentadas na figura a seguir: 
a) Determine o polinômio V (x) que corresponde ao perímetro desse 
terreno. 
b) Qual o perímetro desse terreno para x = 3?
52
 Aritmética e álgebra para professores
O artigo a seguir apresenta uma prática que auxilia os alunos 
arelacionar letras e formas geométricas manipuláveis, envolvendo 
teoria e prática. Sugere o uso do Algeplan, que consiste na 
utilização de figuras geométricas planas (quadrados e retângulos), 
confeccionados em papel.
BERTOLI, V.; SCHUHMACHER, E. Aprendendo polinômios 
utilizando o Algeplan: uma prática no ensino da Matemática para 
o Ensino Fundamental. 2013. Disponível em: http://linkte.me/fe0c0. 
Acesso em: 7 mar. de 2020.
Neste livro, a seguir, você encontrará mais sobre polinômios, 
além das relações de Girard e Equações Polinomiais.
LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. 6. ed. Rio de 
Janeiro: SBM, 2006.
4 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
A matemática, no contexto escolar é, muitas vezes, uma disciplina temida e 
considerada pouco importante para grande parte de alunos que não veem relação 
entre o que aprendem e o mundo fora dos muros da escola. 
 
Junto às críticas ao modelo escolar vigente, muitas vezes desconfigurado 
e engessado, por um lado a matemática é vista como uma disciplina 
compartimentalizada, enquanto do outro lado temos uma sociedade altamente 
tecnológica que clama por inovações. Dessa forma, quando a abordagem é feita 
de forma exclusivamente tradicional, a Matemática escolar tende a afastar os 
alunos e precisa ser ‘’reinventada’’ para propiciar um ensino e uma aprendizagem 
significativa, criativa, prática e contextualizada de acordo com a realidade social e 
cultural do aluno.
 
Para que a aprendizagem seja significativa, por exemplo, além de considerar 
os conhecimentos prévios dos alunos, é necessário a existência de uma 
predisposição positiva deles para aprender e materiais de ensino potencialmente 
significativos. A disposição dos alunos para aprender não depende somente de 
sua estrutura cognitiva, mas também da motivação e materiais disponíveis no 
ambiente educacional. 
53
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
 
Os recursos materiais correspondem ao espaço físico que circunda os 
alunos e aos materiais dos quais fazem uso durante a realização das atividades. 
Situações que envolvem o cotidiano dos alunos tendem a motivá-los para o 
estudo dos conteúdos matemáticos e podem constituir elementos motivacionais 
em sua predisposição para aprender. Ainda que a aprendizagem não seja um ato 
que se possa compartilhar, pois é algo individual, o trabalho em grupo favorece as 
interações e a negociação dos significados atribuídos aos objetos matemáticos 
durante a atividade.
 
O professor mediador deve, de acordo com a faixa etária, considerando o 
conhecimento prévio e respeitando o ritmo e perfil cognitivo, colocar seus alunos 
diante de situações que propiciem o desenvolvimento da percepção, atenção, 
memória, do raciocínio, de fala, por exemplo, e o desenvolvimento das funções 
mais complexas como a leitura e a escrita, os raciocínios lógico e dedutivo, a 
elaboração de estratégias, entre outras.
O uso de computadores, telefones celulares e tablets com fins pedagógicos, 
em todos os níveis de escolaridade, pode ser uma ação social de caráter 
motivacional que pode promover a interação entre os pares, estimula a elaboração 
de estratégias e de formas de representação por meio de expressões textual, 
gráfica e oral. 
 
As atividades matemáticas que trabalham com construções preestabelecidas 
podem ser consideradas situações que privilegiam a resolução de problemas. As 
habilidades e competências cognitivas e sociais desenvolvidas com esse tipo de 
atividade passam a fazer parte da estrutura mental dos alunos, que podem ser 
generalizadas em outras situações.
 
Estabelecer relações entre conceitos e ideias próprias da matemática e de 
outros componentes curriculares, com o propósito de superar a fragmentação dos 
saberes, possibilita abordar uma situação-problema sob diferentes perspectivas.
 
Os conhecimentos, de maneira geral, devem dialogar entre si. Por exemplo, 
ao estudar números, percebemos a concepção que os números que temos 
hoje são resultado de um processo sócio histórico. Explorar o tem números, por 
exemplo, pode favorecer a relação entre a Matemática e a História que, quando 
trabalhadas a partir de uma proposta de ensino integrada, possibilitam aos 
discentes compreenderem a importância do uso de um sistema de numeração.
 
Assim, o ensino da Matemática precisa despertar nos alunos o prazer 
de aprender, e os conceitos matemáticos devem ser compreendidos como 
elementos que contribuirão para a vida social dos alunos. Tais conceitos, em 
54
 Aritmética e álgebra para professores
algumas situações, podem ser desenvolvidos por meio de atividades lúdicas e 
desafiadoras, que favoreçam o raciocínio, a reflexão e o pensamento lógico. 
REFERÊNCIAS
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. Fundamentos 
pedagógicos e estrutural da BNCC. Brasília, 2017. Disponível em: http://portal.
mec.gov.br/index.php. Acesso em: 14 maio 2020.
DANTE, L. R. Tudo é Matemática. 3. ed., v. 4. São Paulo: Ática, 2008a.
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. 3. ed., v. 4. São Paulo: Ática, 
2008b.
DINIZ, M. I.; SMOLE, K. S. Matemática Ensino Médio. São Paulo: Editora 
Saraiva, 2010.
PAIVA, M. Matemática: Paiva. São Paulo: Moderna, 2009.
TARDIFE, M. Saberes docentes e formação profissional. Petrópolis: Vozes, 
2002. 
CAPÍTULO 2
Compreendendo Funções, Matrizes 
E Progressões
A partir da perspectiva do saber-fazer, são apresentados os seguintes 
objetivos de aprendizagem:
• Identificar os conceitos de plano cartesiano, funções, gráficos, sistemas 
lineares, matrizes, sequências e progressões. 
• Compreender as aplicações práticas de plano cartesiano, funções, gráficos, 
sistemas lineares, matrizes, sequências e progressões no cotidiano.
56
 Aritmética e álgebra para professores
57
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
1 CONTEXTUALIZAÇÃO
Os avanços nas teorias de aprendizagem, o aparecimento de novas 
tecnologias aplicadas à Educação, os progressos recentes da matemática e 
das demais ciências provocam alterações importantes e profundas no ensino da 
matemática.
No entanto, muitas pessoas ainda consideram a matemática uma disciplina 
com resultados precisos e procedimentos infalíveis, cujos elementos fundamentais 
são as operações aritméticas, procedimentos algébricos e definições e teoremas 
geométricos. Dessa forma, o conteúdo é fixo e seu estado pronto e acabado. 
Assim sendo, há uma necessidade dos professores compreenderem a matemática 
como uma disciplina em que o avanço se dá como consequência do processo de 
investigação e resolução de problemas.
É importante, ainda, que o professor entenda que a matemática estudada 
deve, de alguma forma, ser útil aos alunos, ajudando-os a compreender, explicar 
ou organizar a sua realidade. Inúmeros filósofos da matemática vêm desafiando a 
visão da matemática que predomina no ensino dessa disciplina, como uma visão 
absolutista em que ela se caracteriza pela lógica formal e pelo predomínio da 
razão absoluta. 
A Matemática evolui de um processo humano e criativo de geração de ideias 
e subsequente processo social de negociação de significados, simbolização, 
refutação e formalização, afirmando ainda que o conhecimento matemático evolui 
da resolução de problemas provenientes da realidade ou da própria construção 
matemática. 
Dessa forma, a educação matemática tem como principal desafio determinar 
como transferir para o ensino essa visão da matemática, visto que a sociedade 
em geral e também o educando, em particular, não encara a matemática como 
uma disciplina dinâmica que oportuniza criatividade e emoção.
Dentro dessa visão, o objetivo do ensino de matemática é que os alunos 
tenham experiências matemáticas idênticas as dos matemáticos. Experiências 
essas que devem caracterizar-se pela identificação de problemas e comprovaçãoda legitimidade das soluções propostas.
Nessa perspectiva, a escola é uma estrutura social pela sua capacidade 
transformadora e por encontrar-se inserida numa sociedade que ela reflete. 
Assim sendo, o seu papel é de suma importância para a vida do aluno, para a sua 
preparação no desenvolvimento de habilidades e capacidades que lhe possibilite 
58
 Aritmética e álgebra para professores
integra-se a essa sociedade e com ela interagir de forma eficiente, fazendo-se 
necessário que a escola utilize metodologias que oportunizem ao aluno ser o 
sujeito da ação, o agente da construção de seu próprio conhecimento.
2 COMPREENDENDO FUNÇÕES, 
MATRIZES E PROGRESSÕES
• Funções
o Noção intuitiva de função no cotidiano
Em diversas situações do dia a dia é possível identificar o conceito de 
grandezas que se relacionam entre si. Quando abastecemos um veículo, por 
exemplo, percebemos que existe uma relação direta entre as grandezas “número 
de litros de combustível” e “valor a pagar”. Veja, nos exemplos a seguir, como tais 
grandezas se relacionam: 
Exemplo 1: 
O biodiesel é um tipo de combustível obtido a partir de gorduras animais e 
de plantas oleaginosas, como a soja, o algodão, o girassol, e a mamona. Dentre 
as vantagens para a atmosfera na utilização desse combustível podemos citar a 
menor emissão de gases, quando comparado ao diesel comum (obtido por meio 
do petróleo) (EMBRAPA, 2012). 
A tabela a seguir apresenta entre a quantidade de mamona e a quantidade 
de biodiesel produzida:
TABELA 1 – QUANTIDADE DE MAMONA E BIODIESEL PRODUZIDAS
Quantidade de biodiesel (em litros) Quantidade de mamona (em toneladas)
1 560
2 1120
3 1680
4 224
... ...
x 560.x
FONTE: Adaptado de Embrapa (2012)
59
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
Observe que há uma relação entre as grandezas “quantidade de biodiesel” 
(x) e a quantidade de biodiesel (q). Tal relação remete à noção intuitiva de função, 
ou seja, podemos escrever a quantidade em biodiesel (em litros) e a quantidade 
de mamona (em toneladas) por meio da seguinte relação: 
Quantidade de biodiesel (L) =
(quantidade de biodiesel produzida com 1 tonelada 
de mamona) . (quantidade de mamona (t))
 
Chamando de (Q) a quantidade de biodiesel produzida e (x) a quantidade 
de mamona utilizada nessa produção, podemos escrever matematicamente essa 
relação:
Q = 560. x
Assim, utilizando a relação matemática anterior, podemos calcular quantos 
litros de combustível poderiam ser calculados ao utilizar 12,5 toneladas de 
mamona: 
Q = 560. 12,5 = 7 000 litros
Exemplo 2: 
Determinada indústria fabricante de parafusos verificou que o custo C em 
reais de cada parafuso depende da medida x em milímetros do diâmetro da base 
de cada parafuso. Dessa forma, podemos concluir que o valor pago por cada 
parafuso depende do seu diâmetro. 
Sabendo-se que o valor cobrado pela indústria por cada parafuso corresponde 
a 0,01 do seu diâmetro acrescido de R$ 0,06. Usando a noção intuitiva de função 
para expressar matematicamente o preço de cada parafuso, temos:
C = 0,01 x + 0,06
Assim, utilizando a expressão matemática anterior, podemos calcular o preço 
de um parafuso cuja base tem 3 milímetros de diâmetro:
C = 0,01. 3 + 0,06 = 0,09 (preço de cada parafuso)
Para calcular o preço de 500 parafusos cuja base tem 3 milímetros de 
diâmetro, temos:
C = 500. 0,09 = R$ 45,00
60
 Aritmética e álgebra para professores
Podemos calcular ainda a medida, em milímetros, do diâmetro da base de 
um parafuso cujo preço é de R$ 0,11? Substituindo na fórmula C = 0,01. x + 0,06, 
temos:
0,11 = 0,01. x + 0,06
Ao isolar o valor de x na equação acima obtemos:
0,11 – 0,06 = 0,01x
0,05 = 0,01x
x= 0,05/0,01
x= 5 parafusos
o O conceito de função:
O conceito de função é um dos mais relevantes para a matemática. 
Basicamente, o conceito de função é caracterizado por dois conjuntos e alguma 
de associação existente entre eles que faça corresponder a todo elemento do 
primeiro conjunto um único elemento do segundo. O uso de funções pode ser 
encontrado em diversos assuntos. Por exemplo: na tabela de preços de uma loja, 
a cada produto corresponde um determinado preço. 
Outro exemplo seria o preço pago e a relação existente em um posto de 
gasolina entre a quantidade de litros de gasolina e o preço a pagar. O valor a ser 
pago depende da quantidade de litros de gasolina, assim, podemos perceber que 
o valor do litro da gasolina é R$ 2,50. Desse modo temos que: 
FIGURA 1 – PREÇO DA GASOLINA
FONTE: <https://s1.static.brasilescola.uol.com.br/
be/e/5(10).jpg>. Acesso em: 22 maio 2020.
61
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
Dizemos que o preço a pagar é dado em função da quantidade de litros. A 
linguagem matemática utilizada para expressar esse tipo de situação pode ser 
dada da seguinte maneira:
FIGURA 2 – FUNÇÃO DA QUANTIDADE DE LITROS
FONTE: <https://s1.static.brasilescola.uol.com.br/be/e/6(9).jpg>. Acesso em: 22 maio 2020.
Definição: seja dois conjuntos A e B não vazios, chamamos 
de função a correspondência f ou relação binária entre os 
conjuntos A e B, nessa ordem, de forma que qualquer elemento x ∈ 
A possui um único correspondente y ∈ B, que é a imagem de x.
Para ilustrar a definição anteriores, temos o seguinte diagrama de flechas:
FIGURA 3 – DIAGRAMA DE FLECHAS
FONTE: <https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/
funcao-1.png>. Acesso em: 22 maio 2020.
62
 Aritmética e álgebra para professores
Observe ainda que cada elemento do conjunto A está relacionado a um único 
elemento em B. Ao fazer a análise do diagrama podemos definir:
• O conjunto A é denominado domínio.
• O conjunto B é chamado contradomínio.
• O subconjunto dos elementos de B, que estão relacionados a elementos 
em A é denominado de imagem da função.
Definimos função como a relação entre dois ou mais conjuntos, estabelecida 
por uma lei de formação, isto é, uma regra geral. Os elementos de um grupo 
devem ser relacionados com os elementos do outro grupo, através dessa lei. Por 
exemplo, consideraremos o conjunto A formado pelos seguintes elementos {– 3, – 
2, 0, 2, 3}, que possuirão representação no conjunto B de acordo com a seguinte 
lei de formação y = x². 
Aplicada à lei de formação, temos os seguintes pares ordenados: {(–3, 9), 
(–1, 1), (0, 0), (2, 4), (4, 16)}. Essa relação também pode ser representada com 
a utilização de diagramas de flechas, relacionando cada elemento do conjunto A 
com os elementos do conjunto B. Observe:
FIGURA 4 – DIAGRAMA DE FLECHAS
FONTE: <https://mundoeducacao.uol.com.br/upload/conteudo/
Untitled-5(36).jpg>. Acesso em: 22 maio 2020.
No diagrama é possível observar com mais clareza que todos os elementos 
de A estão ligados a pelo menos um elemento de B, então podemos dizer que 
essa relação é uma função. Dessa forma, o domínio é dado pelos elementos do 
conjunto A, e, a imagem, pelos elementos do conjunto B. 
 
As funções possuem diversas aplicações no cotidiano, sempre relacionando 
grandezas, valores, índices, variações entre outras situações. Por exemplo, a 
inflação é medida através da função que relaciona os preços atuais com os preços 
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Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
anteriores, dentro de um determinado período, caso ocorra variação para mais 
dizemos que houve inflação, e, havendo variação para menos, denominamos 
deflação. A distância percorrida por um veículo depende da quantidade de 
combustível presente no tanque. Ciências como a Física, a Química e a Biologia 
utilizam em seus cálculos as propriedades das funções para demonstrarem a 
ocorrência de determinados fenômenos. 
o Representando graficamente uma função:
É comum encontrarmos a representação gráfica de uma função na divulgação 
de informações, seja por meios digitais(internet) ou escritos tais como jornais, 
boletins e revistas.
A representação gráfica de uma informação ajuda na compreensão de tal 
informação, bem como no entendimento da relação das grandezas compreendidas 
no contexto dessa informação, como, por exemplo, a taxa de desemprego com 
relação à população economicamente ativa em determinado período de tempo.
Ao construir o gráfico de uma função, devemos atribuir valores à variável que 
representa um valor do domínio da função para encontrar o valor que representa a 
imagem para aquele elemento do domínio.
Antes de apresentar a representação gráfica de uma função, vamos nos 
remeter a um conceito extremamente necessário a representação gráfica, o 
conceito de plano cartesiano.
O plano cartesiano caracteriza-se por um plano composto por duas retas 
numéricas perpendiculares, isto é, retas que tem apenas um ponto em comum, 
formando entre si um ângulo de 90°. Tal em ponto comum é denominado origem e 
representa o número zero para ambas as retas.
 
• Conhecendo as retas numéricas: abcissa e ordenada:
 
Uma reta numérica consiste em uma reta comum na qual foi estabelecida 
uma correspondência com os números reais. Dessa forma, cada ponto da reta 
está associado a um único número real e é esse fato que permite qualquer 
localização. 
O plano cartesiano é constituído por duas retas numéricas: uma representa 
a coordenada horizontal, denominada abcissa e outra representa coordenada 
vertical, chamada de ordenada. É usual utilizar usar as letras x para a 
representação da reta horizontal e y para a reta vertical.
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 Aritmética e álgebra para professores
GRÁFICO 1 – PLANO CARTESIANO
FONTE: <https://s3.static.brasilescola.uol.com.br/img/2016/09/
abcissa-e-ordenada.jpg>. Acesso em: 22 maio 2020.
• Pares ordenados e localizações no plano cartesiano:
 
Um par ordenado constitui-se por dois números reais que representam uma 
coordenada. A ordem de escrita acontece da seguinte forma: em primeiro lugar 
vêm as coordenadas x e, segundo, as coordenadas y, que são colocadas entre 
parênteses para representar uma localização qualquer. Veja na imagem a seguir 
a representação do ponto A, de abcissa igual a 6 e ordenada igual a 4.
GRÁFICO 2 – PLANO CARTESIANO
FONTE: <https://matematicazup.com.br/wp-content/uploads/2018/10/
plano-cartesiano-pares-ordenados.jpg>. Acesso em: 22 maio 2020.
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Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
No gráfico a seguir, os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro 
quadrantes. Observe que um ponto no plano cartesiano é a associação de um 
valor do eixo x e outro do eixo y, esse ponto é chamado de par ordenado (x, y).
GRÁFICO 3 – PLANO CARTESIANO
FONTE: <https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/
plano-cartesiano-quadrantes.png>. Acesso em: 22 maio 2020.
• Voltando à representação gráfica de uma função:
Exemplo 1:
Considere a função f: A → R, tal que f(x) = 2x – 1. Sendo A = [0, 4], 
represente-a graficamente. 
Resolução:
Para achar os valores dos pares ordenados (x, y) do plano cartesiano, 
atribuímos os valores do domínio A que estão dentro do intervalo [0, 4]. Assim 
para:
x = 0, temos: 2(0) – 1 = 0 – 1 = - 1
x = 1, temos: 2(1) – 1 = 2 – 1 = 1
x = 2, temos: 2(2) – 1 = 4 – 1 = 3
x = 3, temos: 2(3) – 1 = 6 – 1 = 5
x = 4, temos: 2(4) – 1 = 8 – 1= 7 
Apresentando a associação entre os valores x e y na tabela, temos:
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 Aritmética e álgebra para professores
TABELA 2 – VALORES X E Y
FONTE: A autora
x y
0 -1
1 1
2 3
3 5
4 7
Em que:
x: é um valor do domínio da função.
Y: é um valor da imagem.
Ao representar os pares (x, y) no plano cartesiano obtemos o gráfico a seguir:
GRÁFICO 4 – PLANO CARTESIANO
FONTE: <https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/
funcao-4.png>. Acesso em: 22 maio 2020.
o Função linear e proporcionalidade: 
Duas grandezas são diretamente proporcionais. Quando, ao aumentarmos 
o valor de uma dessas grandezas um determinado número de vezes, o valor da 
outra grandeza igualmente aumenta o mesmo número de vezes. Analogamente, 
quando diminuímos o valor de uma delas, proporcionalmente o valor da outra 
grandeza também diminui.
 
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Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
Analisando os pontos (-1, 2) e (-2, 4) pertencentes à função, notamos que 
se multiplicarmos as coordenadas do primeiro ponto: (-1, 2), por 2, obteremos o 
ponto (-2 4). De forma semelhante, ao tomar os pontos (-1, 2) e (-7/2, 7) e aplicar 
os mesmos procedimentos, só que agora multiplicando por 3,5, obteremos o 
segundo ponto.
GRÁFICO 5 – FUNÇÃO
FONTE: A autora
Se tomarmos os pontos (-2, 4) e (-3, 6), ao calcular a razão entras as 
abscissas e ordenadas, temos que -2/-3 = 4/6, prevalecendo a mesma proporção.
Dessa forma, dado um ponto qualquer (x, y) que pertença à função, 
ao multiplicarmos x e y por uma mesma constante k, encontraremos o 
ponto (kx, ky) também pertencente pertence à função. 
Assim, quando aumentamos ou diminuímos x um número de k vezes, o valor 
de y será igualmente aumentado ou diminuído este mesmo número de vezes, 
portanto k é a constante de proporcionalidade. 
o Função polinomial do primeiro grau:
Uma função polinomial do primeiro grau é caracterizada por uma lei de 
formação que pode ser escrita na seguinte maneira: 
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 Aritmética e álgebra para professores
y = ax + b ou f(x) = ax + b
Em que a e b são pertencentes ao conjunto dos números reais, e a é diferente 
de zero. A função do primeiro grau também é denominada função afim.
As funções do primeiro grau são fórmulas que associam cada elemento 
de um conjunto a um único elemento de outro. O grau de uma função do 
primeiro grau é fornecido pelo maior expoente da variável independente e, ou 
seja, no caso das funções do primeiro grau, o maior expoente é 1.
Exemplo 1:
a) y = 3x + 2, em que a = 3 e b = 2.
b) y = – 2 x – 5, em que a = – 2 e b = – 5. 
c) y = 0,5x, em que a = 0,5 e b = 0.
• Gráfico da função polinomial do primeiro grau
A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta. Para elaborar 
essa reta é necessário achar dois pares ordenados de pontos que pertencem a 
essa reta, representa-los no plano cartesiano e traçar a reta que contém os dois 
pares ordenados.
 
Podemos verificar que o gráfico de toda função polinomial do primeiro grau 
f(x) = ax + b, com a ≠ 0, é uma reta. Para isso, considere dois pontos quaisquer. 
A (xA, yA) e B(xB, yB) e mostrar que qualquer ponto P(x,y) dessa função pertence à 
reta que passa pelos pontos A e B. No plano cartesiano, temos:
GRÁFICO 6 – PLANO CARTESIANO
FONTE: A autora
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Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
Com relação à medida dos catetos dos triângulos ACP e PDB, indicados no 
gráfico, podemos escrever a igualdade:
Por essa igualdade, temos que os triângulos possuem lados proporcionais 
e, além disso, possuem um ângulo reto. Portanto, pelo caso de semelhança 
LAL (lado, ângulo, lado), os triângulos ACP e PDB são semelhantes. Logo, 
seus ângulos correspondentes possuem mesma medida. Como AC ⁄⁄ DP, temos 
que med (CÂP) = med (DPB), o que é possível somente se os pontos A, B e P 
pertencerem à mesma reta, transversal às retas paralelas AC e DP.
Portanto, todo gráfico de uma função polinomial do primeiro grau, com a ≠ 0, 
é uma reta.
Ao analisar a lei de formação y = ax + b, notamos a dependência entre x e y, 
e identificamos dois números: a e b, coeficientes da função, o valor de a indica se 
a função é crescente ou decrescente e o valor de b indica o ponto de intersecção 
da função com o eixo y no plano cartesiano. Assim:
<–> <–>
<–> <–>
^
GRÁFICO 7 – FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU
FONTE: <https://static.mundoeducacao.uol.com.br/mundoeducacao/
conteudo/Untitled-2(11).jpg>. Acesso em: 22 maio 2020.
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