Atividade de Cálculo Diferencial e Integral II

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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II 
Teleaula: 02 
Olá! Você está bem? Espero que sim! 
Pois bem, chegou o momento de interagirmos e desenvolvermos competências 
importantes para sua formação. Tenho certeza de que se dedicando e se esforçando, 
você será, em breve, um excelente profissional! 
Nossa atividade terá dois momentos, dispostos da seguinte forma 
- Etapa 1: 1h20 
- Intervalo: 20 min 
- Etapa 2: 1h20 
Etapa 1 
Quando estudamos matemática a resolução de exercícios é fundamental para a 
aprendizagem, assim nessa etapa você irá resolver alguns exercícios referentes aos 
conceitos vistos na segunda unidade da disciplina. Leia com atenção os exercícios, anote 
as informações e depois resolva utilizando os conceitos necessários. Você pode utilizar 
uma calculadora científica para auxiliar nos cálculos. 
Não se preocupe se não conseguir resolver todos os exercícios nesse primeiro momento, 
você pode utilizar o segundo momento para terminar os exercícios. É importante que 
você realize todos os exercícios. 
Questão 1 
Uma das grandes aplicações do Cálculo Diferencial e Integral está relacionado com o 
cálculo da área de uma região abaixo da curva e limitada pelo eixo Ox. Considere a 
função f, de R em R, definida pela seguinte lei: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥 + 5 e o intervalo 𝐼 =
 [0; 1]. Analise as seguintes afirmativas abaixo. 
I – A sua primitiva é uma função polinomial de 3º grau. 
II – A função 𝐹(𝑥) = (
𝑥4
4
) + 𝑥2 + 5𝑥 + 4 é uma primitiva dessa função. 
 
 
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III – A área da região abaixo da curva e limitada pelo eixo x é igual a 
10
4
 u.a.. 
Assinale a alternativa que apresenta somente a (s) correta (s). 
a) Somente a afirmativa I está correta. 
b) Somente a afirmativa II está correta. 
c) Somente as afirmativas I e III estão corretas. 
d) Somente a afirmativa III está correta. 
e) Somente as afirmativas II e III estão corretas. 
Questão 2 
Integrar uma função consiste em encontrar a primitiva associada à função. Dessa forma, 
somos autorizados a afirmar que a derivada a integral são operadores matemáticos 
inversos. Atentando-se para o fato de a função ser contínua no intervalo de integração, 
seja 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3. Determine a primitiva (F(x)) da função f(x). 
Questão 3 
Calcule as integrais indefinida: 
∫(4𝑥2 − 8𝑥 + 1) 𝑑𝑥 
∫ (
1
𝑧3
−
3
𝑧2
) 𝑑𝑧 
∫ (3√𝑢 +
1
√𝑢
) 𝑑𝑢 
∫(2𝑥 − 5) (3𝑥 + 1) 𝑑𝑥 
Questão 3 
Considere que a parte interna de um copo é formada girando-se a parábola 𝑦 = 𝐴√𝑥 em 
torno do eixo x. Determine A de modo que com o comprimento de 6 cm o copo tenha 
uma capacidade de 500 cm³. 
Questão 4 
A taxa de variação na receita para uma determinada empresa de 2002 a 2009 pode ser 
modelada por 
 
 
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𝑑𝑅
𝑑𝑡
= 320,1 𝑒0,0993𝑡 
em que 𝑅 é a receita (em milhões de dólares) e t é o tempo (em anos), com 𝑡 = 2 
correspondendo a 2002. Em 2007, a receita para essa empresa foi de 𝑅$ 6484,5 
milhões. 
(a) Encontre um modelo para a receita dessa empresa. 
(b) Encontre a receita dessa empresa em 2009. 
Questão 5 
Na física podemos utilizar as integrais de funções de uma variável real para o cálculo da 
velocidade de um corpo dada a sua aceleração em um intervalo de tempo. Com base 
nessas informações encontre a velocidade aproximada de um carro cuja aceleração é 
dada por 
𝑎(𝑡) = 𝑡 ln 𝑡, 
 no intervalo 1 ≤ t ≤ 10. Qual a velocidade aproximada desse corpo? 
Questão 6 
Em uma empresa têxtil uma máquina parou de funcionar. A taxa de variação do prejuízo 
(em reais) em função do tempo (em horas) em que a máquina fica parada é dada por: 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=
400
(𝑡 + 1)
+ 40 
Sabe-se que com a máquina funcionando não há prejuízo. 
a) Encontre a função que descreve o prejuízo em função do tempo que a máquina 
fica parada. 
b) Calcule o prejuízo aproximado que gerará se a máquina ficar parada 8 horas. 
Questão 7 
Não existem regras de integração diretas para todas as funções que podemos vir a 
querer integrar, mas existem métodos que nos permitem usar recursos matemáticos 
para simplificar a expressão e chegar em regras conhecidas. Um desses métodos é 
chamado de “regra da substituição trigonométrica”. Analise e resolva a integral a seguir: 
 
 
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∫
1
√4 − 𝑥2
 𝑑𝑥
2
1
 
 
Questão 8 
(Adaptado de STEWART, 2014, p.375) Uma empresa de tecnologia produz, dentre 
outros itens, calculadoras de diversos tipos, como as científicas e as gráficas, 
empregadas nas mais variadas atividades. Esta empresa, após diversas pesquisas, 
preparou uma linha de montagem para fabricar um novo modelo de calculadora gráfica. 
Sabe-se que a taxa de produção dessas calculadoras, após t semanas, é dada por 
r(t) = 5000 (1 −
100
(t + 10)2
) calculadoras/semana 
Observe que a produção tende a 5000 por semana à medida que passa o tempo. No 
entanto, a produção inicial é baixa devido aos trabalhadores ainda não estarem 
familiarizados com as novas técnicas de produção. 
Com base nestas informações, qual a quantidade de calculadoras produzidas no período 
compreendido entre o começo da quarta semana até o fim da quinta semana? 
Questão 9 
Calcule as integrais, utilizando o método adequado. 
1. ∫
1
(4 − 5𝑡)4
 𝑑𝑡 
2. ∫
𝑡 − 2
(𝑡2 − 4𝑡 + 3)3
 𝑑𝑡 
3. ∫ 𝑥2 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 
Etapa 2 
 
Uma outra estratégia de estudo em Matemática é a elaboração de esquemas com os 
principais conceitos e conteúdo. Neste momento, você deverá focar apenas nas 
informações da segunda unidade e inserir as principais definições, fórmulas, 
 
 
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propriedades etc., ou seja, todas as informações que forem importantes para você. Para 
elaborar os esquemas você pode utilizar o Power point, o canva 
(https://www.canva.com/) ou ainda o seu caderno. 
Tarefa Bônus 
Para auxiliá-lo em seus estudos sobre os temas dessa unidade além de estudar o livro 
didático da disciplina, você pode acessar os links indicados e estudá-los. Como sugestão 
para favorecer a aprendizagem dos tópicos a seguir, faça esquemas destacando as 
principais informações. Os esquemas são uma boa estratégia de estudo, pois o ajudam 
a sintetizar as ideias principais e a relacioná-las entre si. 
Para acessar ao link encaminhado você deve estar na página (deve realizar o login) 
biblioteca virtual e deve abrir uma nova guia copiando nela o link que disponibilizarei. 
Livro: Cálculo – volume 1 – 8ª edição. 
Autor: James Stewart 
Capítulo: 5 (seção 5.5) 
Link (acessar a biblioteca digital): 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522126859/pageid/402 
Acessar o link e resolver os seguintes exercícios (páginas 371): 
Exercício Solução 
1-6 
somente os 
ímpares 
As respostas encontram-se ao final livro seção 5.5: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522126859/pageid/647 
7-23 
somente os 
ímpares 
53-59 
somente os 
ímpares 
 
Capítulo: 7 (seção 7.1 e 7.2) 
Link: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522126859/pageid/457 
Acessar o link e resolver os seguintes exercícios (páginas 425): 
Exercício Solução 
https://www.canva.com/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522126859/pageid/402
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522126859/pageid/647
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522126859/pageid/457
 
 
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5-12 
somente 
os ímpares 
As respostas encontram-se ao final livro seção 7.1: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522126859/pageid/651 
 
Acessar o link e resolver os seguintes exercícios (páginas 438): 
Exercício Solução 
1-18 
somente 
os ímpares 
As respostas encontram-se ao final livro seção 7.3: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522126859/pageid/651 
 
Bons Estudos! 
 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522126859/pageid/651https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522126859/pageid/651