Manual do Professor Formação Geral Básica Matemática Caderno 1

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FORMAÇÃO GERAL
MATEMÁTICA 
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CADERNO DO PROFESSOR
FORMAÇÃO GERAL
MATEMÁTICA 
PRIMEIRA
SÉRIE
ENSINO MÉDIO1
C A D E R N O
Volatilidade, incerteza e complexidade são algumas das 
palavras mais usadas para definir o momento histórico 
em que vivemos. Para muitos, isso gera angústia e inse-
gurança. Para o aluno do Anglo, porém, a possibilidade 
de construir o futuro deve servir cada vez mais de fonte 
de motivação e inspiração.
A fim de contribuir para esse processo de formação e 
amadurecimento, desenvolvemos este material conside-
rando os seguintes princípios: de um lado, é fundamental, 
como no passado, que todos tenham acesso aos mais 
sólidos conhecimentos que nos deixaram as gerações 
anteriores, nas diversas áreas; de outro, esses mesmos 
conhecimentos apenas fazem sentido quando vinculados 
a valores, atitudes e habilidades exigidos nesta época, 
tão marcada pela inconstância e pela fluidez. 
Com esse direcionamento, cada volume deste material foi 
cuidadosamente elaborado para favorecer o desenvolvi-
mento do pensamento crítico, da ética, da autonomia e 
da empatia. Desse modo, a etapa do Ensino Médio se 
compromete com as competências essenciais para garan-
tir que o projeto de vida de cada estudante se concretize.
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PRIMEIRA
SÉRIE
ENSINO MÉDIO
CADERNO DO PROFESSOR
1
C A D E R N O
FORMAÇÃO GERAL
MATEMÁTICA 
Antonio Carlos ROSSO Junior
Fábio PELICANO Borges Vieira
Roberto Teixeira Cardoso (ROBBY)
RODNEY Brasil Luzio
THIAGO Dutra de Araújo
FRONTIS_CAD1_FGB_PR.indd 8FRONTIS_CAD1_FGB_PR.indd 8 09/10/20 11:2309/10/20 11:23
Presidência: Mario Ghio Júnior
Direção executiva: Thiago Brentano Rodrigues
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Direção editorial: Lidiane Vivaldini Olo
Direção pedagógica: Paulo Roberto Moraes
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Revisão: Letícia Pieroni (coord.), Aline Cristina Vieira, Anna Clara Razvickas, 
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 
 
 
 
 Anglo : Ensino médio : Formação geral básica : 1ª série : 
Matemática : Caderno 1 : Caderno do professor / Antonio 
Carlos Rosso Junior...[et al]. -– 1. ed. -- São Paulo : 
SOMOS Sistemas de Ensino, 2020. 
 
 
Outros Autores: Fábio Pelicano Borges Vieira, Roberto 
Teixeira Cardoso, Rodney Brasil Luzio, Thiago Dutra de 
Araújo 
ISBN 978-85-4682-277-5 
 
 
 
1. Matemática (Ensino médio) I. Rosso Junior, Antonio Carlos 
 
 
 CDD 510 20-3440
Angélica Ilacqua - CRB-8/7057
2020
ISBN 978 85 468 2277 5 (PR)
Código da obra 703907
1a edição
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De acordo com a BNCC.
Impressão e acabamento
Uma publicação
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Caro(a) professor(a),
O grande desafio é aprimorar, em um curto espaço de tempo, competências e habilidades, além 
de consolidar conteúdos de todo o Ensino Médio.
Para o Anglo, essa conquista está apoiada em cinco pilares: aula bem proposta, aula bem pre-
parada, aula bem dada, aula bem acompanhada e aula bem estudada. 
Este material é resultado de uma ampla análise dos exames vestibulares de todo o Brasil, tendo 
em vista não apenas os conteúdos de maior incidência, mas também as abordagens adotadas pelas 
principais bancas e pelo Enem, trazendo, aula a aula, uma sequência e seleção de assuntos cuida-
dosamente escolhidos.
Para todos os conteúdos, apresentamos um conjunto de sugestões, escritas pelos próprios au-
tores, que auxiliam na preparação das aulas. Com este material procuramos dimensionar cada ex-
posição, de modo que haja tempo suficiente para a apresentação da teoria e para a aplicação de 
exercícios. Tudo isso fortalece o engajamento dos alunos, principalmente ao perceberem a forte 
conexão entre a aula, o material e os conteúdos cobrados nas provas.
O quinto e último pilar desse processo está diretamente relacionado à metodologia “aula dada, 
aula estudada”. Para cada tópico abordado em sala de aula, apresentamos uma orientação de estu-
do clara e organizada, na qual o aluno encontrará tarefas de níveis de complexidade diferentes de-
nominadas Tarefa Mínima, Tarefa Complementar e Tarefa Desafio. Além disso, há ainda uma série de 
exercícios adicionais à disposição dos alunos para auxiliá-los na sua preparação.
Você, professor(a), pode adaptar o curso de acordo com suas necessidades, escolhendo as es-
tratégias mais eficientes para a sua realidade; afinal, como todos sabemos, cada sala de aula tem 
suas particularidades. 
Desejamos a você um ótimo trabalho!
Os autores.
Apresentação
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Conheça seu material
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Potências de 
expoente inteiro
HABILIDADES BNCC NORTEADORAS DO MÓDULO
EM13MAT103 Interpretar e compreender textos científicos ou divulgados pelas mídias, que empregam unidades de medida de 
diferentes grandezas e as conversões possíveis entre elas, adotadas ou não pelo Sistema Internacional (SI), como as de 
armazenamento e velocidade de transferência de dados, ligadas aos avanços tecnológicos.
EM13MAT313 Utilizar, quando necessário, a notação científica para expressar uma medida, compreendendo as noções de 
algarismos significativos e algarismos duvidosos, e reconhecendo que toda medida é inevitavelmente acompanhada de erro.
Sugestão de roteiro de aula
Objetivos de aprendizagem
 Aula Descrição Anotações
1
Potência de expoente natural
Potências de expoente inteiro negativo
Propriedades das potênciasNotação científica de um número racional
Desenvolvendo habilidades: 1 e 2
TM: 1 a 4
TC: 9 a 12
TD: 17 e 18
Extras!: 1 e 2
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Resolução de problemas que envolvam 
potências
Desenvolvendo habilidades: 3 e 4
TM: 5 a 8
TC: 13 a 16
TD: 19 e 20
Extras!: 3 e 4
Ao fim desta(s) aula(s), o aluno deve ser capaz de:
. Objetivo 1: aplicar as propriedades de potências em cálculos que envolvam expressões numéricas. 
. Objetivo 2: utilizar a notação científica na resolução de problemas. 
. Objetivo 3: resolver situações-problema que façam uso da potenciação e de suas propriedades. 
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Fatores de textualidade
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HABILIDADES BNCC NORTEADORAS DO MÓDULO
EM13LGG103 Analisar o funcionamento das linguagens, para interpretar e produzir criticamente discursos em textos de diversas semioses (visuais, 
verbais, sonoras, gestuais).
EM13LP02 Estabelecer relações entre as partes do texto, tanto na produção como na leitura/escuta, considerando a construção composicional e o 
estilo do gênero, usando/reconhecendo adequadamente elementos e recursos coesivos diversos que contribuam para a coerência, a continuidade do 
texto e sua progressão temática, e organizando informações, tendo em vista as condições de produção e as relações lógico-discursivas envolvidas 
(causa/efeito ou consequência; tese/argumentos; problema/solução; definição/exemplos etc.).
EM13LGG203 Analisar os diálogos e os processos de disputa por legitimidade nas práticas de linguagem e em suas produções (artísticas, 
corporais e verbais).
EM13LP01 Relacionar o texto, tanto na produção como na leitura/escuta, com suas condições de produção e seu contexto sócio-histórico de 
circulação (leitor/audiência previstos, objetivos, pontos de vista e perspectivas, papel social do autor, época, gênero do discurso etc.) de forma a ampliar 
as possibilidades de construção de sentidos e de análise crítica e produzir textos adequados a diferentes situações.
Sugestão de roteiro de aula
Aula Descrição Anotações
1
Interação, contextualização e significado
Desenvolvendo habilidades: 1 e 2
TM: 1, 2 e 3
TC: 4 e 5
TD: 6
Extras!: 1
2
Princípios fundamentais para a leitura 
Desenvolvendo habilidades: 3, 4 e 5
TM: 7, 8, 11 e 12
TC: 9 e 10
TD: 13
Extras!: 2 
Objetivos de aprendizagem
Ao fim destas aulas, o aluno deve ser capaz de:
. Objetivo 1: identificar influência do contexto sócio-histórico na construção do significado em textos 
de diferentes gêneros.
. Objetivo 2: utilizar conhecimentos prévios para atribuir significado a textos de diferentes gêneros.
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Aula 1
Nesta primeira aula, a proposta é apresentar o método científico como a forma básica de estudo das 
Ciências da Natureza. Os componentes curriculares de Química e Física também estão introduzindo seus 
temas a partir de uma abordagem do método científico; assim, é importante uma linguagem comum.
Recomendamos que a abordagem inicial seja mostrar a diferença entre senso comum e pensamento 
científico. Convém caracterizar o senso comum como o conjunto de conhecimentos transmitidos pela 
experiência e aceitos como verdadeiros por um grupo social. Esses conhecimentos englobam tradições, 
crenças, hábitos familiares e preconceitos, sendo transmitidos de geração em geração. O senso comum 
não é racional nem tem base científica. Pode-se utilizar exemplos como: o número 13 é sinal de má sorte; 
não pode comer manga e beber leite; cortar o cabelo na lua cheia o fortalece e o faz crescer mais rápido; 
tomar banho depois de comer provoca congestão; se pegar friagem, vai ficar gripado. Sugerimos estimu-
lar os alunos a citar outros exemplos.
Em seguida, é importante mostrar como, a partir do senso comum, desenvolveu-se o pensamento 
científico, que é crítico e metódico. A ciência procura explicações racionais para os fenômenos naturais 
que permitam a descoberta de relações universais e que possibilitem a previsão de eventos para que, 
desse modo, possamos atuar sobre as condições naturais. Convém reforçar que a ciência não é um conhe-
cimento definitivo e absoluto, mas está em contínua modificação pelo surgimento de novos fatos, desco-
bertas ou aperfeiçoamentos tecnológicos.
Pode-se apresentar, então, as etapas do método dedutivo, mais comumente usado pelas Ciências da 
Natureza e explicar que não existe um método universal ou único, e as Ciências Humanas podem usar méto-
dos diferentes, mas também científicos Recomendamos destacar a importância da problematização (a ela-
boração de pergunta sobre um fato observado), que leva à produção da hipótese, que deve ser testada por 
uma experiência controlada e repetível. É importante explicar o que são as variáveis consideradas nos expe-
rimentos e sua importância.
Sugerimos mostrar como um conjunto de hipóteses pode levar a uma teoria, que é apenas a melhor 
explicação para um fenômeno específico em determinado momento e permite estabelecer previsões tes-
táveis; convém ressaltar que a teoria não é uma verdade final e dogmática e pode ser alterada ou abando-
nada por uma explicação melhor; toda teoria deve ser submetida à análise de falseamento.
Recomendamos trabalhar com os alunos a questão 1 da seção Desenvolvendo habilidades. Pode-se 
reservar um momento para que leiam a questão e, na sequência, discutir com eles os passos necessários 
para chegar ao resultado observado. Convém destacar como a observação de um evento casual levou a 
uma descoberta de imensa importância, que rendeu a Fleming – juntamente com Howard Florey e Ernst 
Boris Chain – o prêmio Nobel de Fisiologia ou Medicina, em 1945, e resultou em um impacto incalculável 
na saúde pública mundial.
Recomendamos, então, apresentar como a metodologia científica foi aplicada na investigação sobre 
a origem da vida, inicialmente nos trabalhos envolvendo o debate abiogênese 3 biogênese. Pode-se apre-
sentar o conceito de geração espontânea elaborado por Aristóteles e explicar como, pelo senso comum, 
essa ideia se manteve sem contestação até o século XVII.
Em seguida, sugerimos descrever o experimento de Redi, mostrando que ele estava investigando a 
origem dos vermes que surgiam na carne em decomposição e, por meio de um experimento controlado e 
reproduzível, forneceu evidências sólidas para a contestação da abiogênese dos vermes.
É importante citar como a descoberta dos microrganismos na mesma época das experiências de Redi 
reacendeu a discussão sobre a abiogênese no universo microscópico. E essa ideia só foi finalmente refu-
tada em meados do século XIX com o experimento de Pasteur. Por fim, a explicação do experimento com 
frascos com gargalos em formato de pescoço de cisne pode ser feita em conjunto com a resolução da 
questão 2 da seção Desenvolvendo habilidades.
Uma sugestão neste momento é fazer a análise dos experimentos de Pasteur sob um aspecto investi-
gativo, organizando os alunos em duplas ou grupos pequenos e sugerindo que resolvam as questões. Ao 
final, pode-se estimular uma discussão acerca dos conceitos trabalhados. É importante estimar o tempo 
de aula necessário, estabelecendo limites para as análises e para a discussão.
Encaminhamento
SUGESTÃO DE 
ROTEIRO DE AULA
Os módulos são previstos para 
uma ou mais aulas. Neste 
quadro, há uma sugestão de 
como trabalhar aula a aula.
ENCAMINHAMENTO
Nesta seção, há sugestões 
aula a aula para se 
trabalhar o conteúdo 
com os alunos.
SETOR
Este material é dividido em
setores que definem um arranjo
dos conteúdos adequado às
especificidades da disciplina.
OBJETIVOS DE 
APRENDIZAGEM 
Nesta seção, explicita-se a expectativa 
de aprendizagem do módulo.
HABILIDADES BNCC 
NORTEADORAS DO MÓDULO
Aqui você encontrará as habilidades 
da Base Nacional Comum Curricular 
trabalhadas no módulo.
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Encaminhamento
Ponto de partidaAs perguntas disparadoras – do Módulo e, neste caso, do curso – têm o objetivo de fazer a turma 
perceber que a escrita não pode ser reduzida à representação visual da fala. São competências comple-
mentares, mas distintas: o processo de desenvolvimento é bastante diferente, bem como as situações 
sociais em que cada uma delas é mais necessária.
Neste Módulo, abordaremos mais detalhadamente as diferenças entre essas modalidades. Os alunos que 
começam o Ensino Médio falam há treze ou quatorze anos e escrevem há quase dez. Por isso, aulas sobre fala 
e escrita não chegam a ser uma novidade. É interessante, então, partir do que eles já sabem sobre o tema. Isso 
pode ser feito a partir das perguntas disparadoras presentes para o professor no Caderno do Aluno.
Aula 1
Por se tratar da primeira aula do curso, sugerimos começá-la apresentando duas gravações de lingua-
gem oral, de preferência em vídeo, curtas. A ideia é que uma seja bastante espontânea, e outra indique um 
grau maior de planejamento. Na internet, não é difícil encontrar material com boas amostras de linguagem 
falada, em diversos graus de formalidade. 
Ao discutir com a turma a linguagem dos vídeos, pretendemos, em primeiro lugar, mostrar que os 
gestos, as expressões faciais e a postura corporal de quem fala contribuem para a produção de sentido. 
São signos não verbais que interpretamos juntamente com os verbais. Esse pode ser o gancho para a 
resolução dos três primeiros exercícios: o primeiro focando na interpretação de um texto multissemió-
tico; o segundo mostrando a relação entre a linguagem dos quadrinhos e a do cinema; e o terceiro 
analisando o significado político-cultural mais amplo de certos gestos em nossa sociedade.
Em segundo lugar, esses estímulos iniciais podem servir para começar a desenvolver a percepção 
entre os alunos e as alunas de que, quando pensamos em linguagem falada e linguagem escrita, uma não 
pode ser considerada mera decorrência da outra. Qualquer tentativa de traduzir a fala em escrita, e vice-
-versa, exigirá adaptações, levando à exploração de recursos específicos de cada uma dessas modalidades 
de atividade linguística. 
Aula 2
A tabela apresentada na seção Neste Módulo pode ser usada para resumir o assunto desta segunda 
aula do Módulo, embora parte das distinções entre linguagem falada e linguagem escrita já tenha sido 
discutida na aula anterior.
#cultura_digital
Quando falamos sobre os áudios nos aplicativos de trocas de mensagem de celular e, principalmen-
te, dos textos escritos nesse ramo do universo digital, parece haver uma mistura entre fala e escrita. 
A combinação de palavras, emojis, figurinhas, sinais de pontuação, letras maiúsculas e minúsculas 
procura reproduzir a espontaneidade da fala. Porém, mesmo quando a escrita pretende criar a im-
pressão de proximidade com a fala, ela o faz à custa de uma exploração bastante consciente de me-
canismos específicos, o que exige planejamento.
Para que os alunos compreendam, por meio da experiência prática, essa diferença entre a fala e a 
escrita no mundo digital, sugerimos a seguinte atividade: peça aos alunos que se dividam em duplas. 
Eles não precisam estar próximos na sala. Um aluno envia, por meio de aplicativo de mensagem do 
celular, uma mensagem de voz. O aluno que recebe a mensagem tem de transcrevê-la. Ele pode 
fazer uso de emojis e outros recursos para ilustrar como ficaria aquela mensagem se fosse escrita.
Para a realização dessa atividade, certifique-se de que os alunos têm os recursos eletrônicos neces-
sários e de que não há nenhum impeditivo por parte da escola.
Objetivos de aprendizagem
Ao fim destas aulas, o aluno deve ser capaz de:
. Objetivo 1: compreender que os sentidos podem ser produzidos por elementos verbais, visuais e 
sonoros, podendo ser associados a textos ou aparecer isoladamente.
. Objetivo 2: associar a linguagem falada aos gestos e às expressões faciais.
. Objetivo 3: reconhecer a importância dos textos da tradição oral.
. Objetivo 4: analisar as diferenças entre a linguagem escrita e a linguagem oral, reconhecendo a es-
pecificidade de cada modalidade.
. Objetivo 5: elaborar, de forma colaborativa, textos multissemióticos, envolvendo a análise de textos 
de âmbito normativo que tratem de direitos e deveres, especialmente relativos a adolescentes e jovens.
CULTURA_DIGITAL 
Boxe que faz indicação de 
como trabalhar as TDIC em 
sala de aula. Ele pode indicar 
softwares e orientar seu uso.
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Para terminar a aula, sugerimos examinar de que forma a hegemonia ateniense alimentou a rivalidade 
entre as cidades e levou as pólis ao enfraquecimento no contexto da Guerra do Peloponeso.
Aula 3
Para iniciar a aula, é importante apresentar brevemente a invasão macedônica e as principais carac-
terísticas do Período Helenístico. Sugerimos que, a partir da resolução da questão 5 da seção Desenvol-
vendo habilidades, sejam tratadas as relações de Alexandre com a cultura grega e suas conquistas mili-
tares. É um momento oportuno para estabelecer uma reflexão em torno do etnocentrismo. O que 
Alexandre considerava “bárbaro” e “civilizado” pode ser útil para problematizar a ideia de superioridade 
da cultura helênica.
Sobre a cultura helênica, analisar o quanto ela foi marcada pela busca da compreensão do ser huma-
no e por sua capacidade de transformar e dar sentido ao Universo. A partir da análise da Ilíada e da 
Odisseia, refletir sobre o papel da língua e da religiosidade na formação da identidade grega. Depois, 
sugerimos tratar, sequencialmente, das relações entre a democracia e o desenvolvimento da filosofia 
grega, apresentar as principais caraterísticas do teatro grego e destacar o papel dos Jogos Olímpicos. A 
partir da resolução da questão 6 da seção Desenvolvendo habilidades, abordar o quanto as esculturas, 
por meio da busca da perfeição das formas, transformaram-se em uma referência para a arte ocidental. 
Sugerimos, se for viável, projetar em sala de aula algumas das principais obras de arte gregas. 
#cultura_digital
A apresentação do Museu da Acrópole traz oportunidades de refle-
xões que estarão presentes no transcorrer do aprendizado de His-
tória. Algumas perguntas podem ser lançadas aos alunos: “Como 
utilizar a internet para obter fontes históricas confiáveis?”; “Como 
lidar com essas informações e contribuir para democratizar as dis-
cussões sobre a sociedade contemporânea?”; “Qual é o papel dos 
museus em uma sociedade marcada pela cultura digital?”. 
Não consideramos oportuno trazer “respostas prontas” a essas 
perguntas, mas mostrar que a discussão em torno dessas ferra-
mentas estará presente em outros momentos do curso. 
O vídeo traz elementos para uma reflexão sobre os intercâmbios no mar Mediterrâneo, particularmente no 
plano das artes. É importante ressaltar que a política expansionista romana através do Mediterrâneo ampliou 
fortemente os contatos com a cultura grega. Fascinados pela cultura helena, militares retornavam a Roma 
com saques que incluíam inúmeras obras de arte gregas. No apogeu econômico de Roma, ocorreu um gran-
de volume de reproduções de obras de arte gregas.
Ao trazer os elementos do vídeo para a aula, sugerimos ressaltar a presença grega em outros campos, como 
a religiosidade, a língua e a filosofia.
Seguindo uma estratégia de aula invertida, sugerimos a realização da seguinte pergunta sobre o vídeo:
A Roma Antiga, relacionava-se com as culturas dos povos do Mediterrâneo, por meio:
a) da negociação de estratégias de livre-comércio.
b) do controle sobre as redes comercias.
c) da fiscalização intensiva.
d) da dinâmica agro-exportadora.
e) da tributação sobre o comércio.
Resposta: B
O texto a seguir pode auxiliar a discussão sobre o tema:
Os estudos sobre o Mediterrâneo não têm por objeto, propriamente, o mar, mas as terras in-
fluenciadas por ele. É nas terras, não no mar, que vivem os mais diferentes povos. [...] É um mundo 
de pequenas regiões terrestres, isoladas umas das outras, mas unidaspelo mar. O vale do rio Nilo é 
a única grande exceção. Por isso mesmo forma um mundo à parte.
PREPARE-SE
A apresentação do Museu da Acrópole traz oportunidades de refle-
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PREPARE-SE
Neste boxe, você receberá sugestões de como 
os alunos podem se preparar para a próxima 
aula. Em uma busca por uma aprendizagem 
mais autônoma e ativa, vamos indicar alguns 
vídeos, textos, atividades, pesquisas, etc., que os 
alunos podem fazer em casa para que na aula 
seguinte eles já tenham algum conhecimento 
sobre o assunto.
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Sumário
Matemática A
Módulo 1. Potências de expoente de 
número inteiro .............................................................6
Módulo 2. Potências de expoente 
racional ...........................................................................9
Módulo 3. Técnicas algébricas ........................ 11
Módulo 4. Igualdades e desigualdades ...... 14
Módulo 5. Modelagem algébrica 
de problemas ............................................................ 16
Matemática B
Módulo 1. Estatística: análise de dados ..... 18
Módulo 2. Variações e 
proporcionalidade.................................................. 26
Módulo 3. Grandezas proporcionais ........... 28
Módulo 4. Porcentagem ....................................30
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Potências de 
expoente inteiro
HABILIDADES BNCC NORTEADORAS DO MÓDULO
EM13MAT103 Interpretar e compreender textos científicos ou divulgados pelas mídias, que empregam unidades de medida de 
diferentes grandezas e as conversões possíveis entre elas, adotadas ou não pelo Sistema Internacional (SI), como as de 
armazenamento e velocidade de transferência de dados, ligadas aos avanços tecnológicos.
EM13MAT313 Utilizar, quando necessário, a notação científica para expressar uma medida, compreendendo as noções de 
algarismos significativos e algarismos duvidosos, e reconhecendo que toda medida é inevitavelmente acompanhada de erro.
Sugestão de roteiro de aula
Objetivos de aprendizagem
 Aula Descrição Anotações
1
Potência de expoente natural
Potências de expoente inteiro negativo
Propriedades das potências
Notação científica de um número racional
Desenvolvendo habilidades: 1 e 2
TM: 1 a 4
TC: 9 a 12
TD: 17 e 18
Extras!: 1 e 2
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Resolução de problemas que envolvam 
potências
Desenvolvendo habilidades: 3 e 4
TM: 5 a 8
TC: 13 a 16
TD: 19 e 20
Extras!: 3 e 4
Ao fim desta(s) aula(s), o aluno deve ser capaz de:
. Objetivo 1: aplicar as propriedades de potências em cálculos que envolvam expressões numéricas. 
. Objetivo 2: utilizar a notação científica na resolução de problemas. 
. Objetivo 3: resolver situações-problema que façam uso da potenciação e de suas propriedades. 
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Ponto de partida
Como este é o primeiro módulo do curso, pode ser interessante motivar os alunos a rever alguns con-
ceitos já estudados, que serão aprofundados agora, por meio da apresentação de uma situação-problema, 
como a indicada no Caderno do Aluno: “Quantas pessoas são os bisavós dos bisavós dos seus bisavós?”.
Se julgar conveniente, deixe um tempo para que os alunos pensem e respondam. A ideia desta pergun-
ta é utilizá-la como um ponto de partida para a noção de potenciação: uma vez que cada indivíduo possui 
8 bisavós, então cada pessoa tem 8 ? 8 5 64 bisavós dos bisavós e, consequentemente, 8 ? 8 ? 8 5 512 bisa-
vós dos bisavós dos seus bisavós. 
Aula 1
Após iniciar a aula com a apresentação de algum problema como o mencionado no Ponto de partida, 
defina a potência de um número real a com expoente natural n, maior que 1, como o produto de n fatores 
iguais a a:
1 2444 3444
É
fatores
5 ? ? ? ?a a a a an
n
Em seguida, mostre aos alunos que, de posse dessa definição, é possível deduzir duas propriedades 
relevantes: no produto de duas potências de mesma base, mantém-se a base e adicionam-se os expoentes; 
na potência de uma potência, mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes. Essas propriedades são 
importantes, pois podem motivar os alunos a buscar uma definição para a1 e a0, de modo que tais proprie-
dades se mantenham válidas também para esses expoentes.
Depois, defina a potência de um expoente inteiro negativo, conforme indicado no Caderno de Estudos. 
Com isso, é possível deduzir algumas outras propriedades que também terão aplicação na resolução de 
exercícios.
Após definir potências cujos expoentes sejam um número natural qualquer, resolva com os alunos a 
questão 1 da seção Desenvolvendo habilidades. Depois, introduza a notação científica de um número ra-
cional e deixe-os pensar na questão 2, para, em seguida, corrigi-la. 
Caso haja tempo disponível, é possível completar a aula com as questões 1 e 2 da seção Extras!.
Aula 2
Nesta aula, é importante que se retome os conceitos vistos na aula anterior, para, em seguida, discutir 
alguns problemas que utilizam a potenciação e suas propriedades em sua resolução.
Dê um tempo para que os alunos pensem na questão 3 e, depois, corrija-a. Essa questão é interessan-
te porque, além de evidenciar as potências de base 2, também permite que se estabeleçam investigações 
matemáticas na descoberta de propriedades aritméticas das potências de 2 (o que será retomado poste-
riormente nas aulas sobre progressão geométrica).
Os últimos itens dessa questão também buscam desenvolver habilidades mais complexas do que 
efetuar operações com expressões numéricas ou resolver problemas, que são a análise e a avaliação da 
razoabilidade de um resultado numérico na resolução do problema e o raciocínio matemático na constru-
ção de uma argumentação consistente.
Fique à vontade para ampliar a discussão sobre pirâmide financeira, mostrando exemplos de situações 
que se comportam tal qual os esquemas em pirâmides: “correntes”, propagação de notícias falsas ou 
outro que julgar conveniente. Pode ser um bom momento para propor aos alunos que realizem algum 
estudo de caso, como o da empresa americana Herbalife, que ficou mundialmente conhecido e foi re-
tratado em diversos documentários. Há uma indicação de um documentário sobre esse assunto no final 
do capítulo.
Caso julgue adequado, é possível ampliar a discussão sobre esse tema, com os seguintes questiona-
mentos:
. o fato de a tabela apresentar cinco situações em que o número de novos associados na semana é 
maior do que o total de associados na semana anterior garante que isso irá ocorrer toda semana?
. caso a resposta da questão anterior seja afirmativa, como justificar isso (ou seja, como provar tal 
afirmação)?
Encaminhamento
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8
Estas perguntas propõem uma investigação, levantando hipóteses (conjecturas) que podem ser pro-
vadas na própria aula ou em algum momento futuro (por exemplo, na aula que trata sobre a soma dos 
termos de uma progressão geométrica).
A questão 4 busca, além de operacionalizar a potenciação, já introduzir alguns elementos relativos às 
relações de dependências entre grandezas, tanto algebricamente quanto graficamente. A ideia é que o 
aluno consiga decidir, com base nos gráficos dos modelos, qual é o gráfico mais adequado para se repre-
sentar um problema real.
Caso sobre tempo, complete a aula com alguma das questões da seção Extras!.
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Potências de expoenteracional
HABILIDADES BNCC NORTEADORAS DO MÓDULO
EM13MAT304 Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais é necessário compreender e interpretar a variação das 
grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira e o do crescimento de seres vivos microscópicos, entre outros.
EM13MAT313 Utilizar, quando necessário, a notação científica para expressar uma medida, compreendendo as noções de algarismos 
significativos e algarismos duvidosos, e reconhecendo que toda medida é inevitavelmente acompanhada de erro.
Sugestão de roteiro de aula
Objetivos de aprendizagem
 M A T E M Á T I C A A
Ao fim desta(s) aula(s), o aluno deve ser capaz de:
. Objetivo 1: Aplicar as propriedades dos radicais em cálculos que envolvam expressões numéricas.
. Objetivo 2: Escrever uma potência de expoente racional usando um radical.
. Objetivo 3: Resolver situações-problema que façam uso dos radicais e de suas propriedades. 
Aula Descrição Anotações
3
A operação radiciação
Propriedades dos radicais
Desenvolvendo habilidades: 1 e 2
TM: 1 a 4
TC: 9 a 12
TD: 17 e 18
Extras!: 1 e 2
4
Potência de expoente racional
Desenvolvendo habilidades: 3 a 5
TM: 5 a 8
TC: 13 a 16
TD: 19 e 20
Extras!: 3 e 4
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10
Encaminhamento
Aula 3
Inicie a aula retomando o conceito de potenciação, estudado nas aulas anteriores. Nessa retomada, é 
importante mostrar aos alunos que, conhecidos o valor da base e o do expoente, é possível determinar o 
valor da potência. Em seguida, pode ser feita a seguinte pergunta a eles: Se forem conhecidos o valor da 
potência e o do expoente, é possível determinar o valor da base? Reforce que a resposta a essa pergunta 
nem sempre é afirmativa e, nos casos em que é, nem sempre é única. Para que a pergunta admita uma 
única resposta, é necessário estabelecer condições para o expoente, a potência e a base: o expoente deve 
ser natural não nulo e a potência e a base devem ser números não negativos. Caso considere relevante, dê 
exemplos que ilustrem essa situação. Então, defina a operação radiciação como uma das inversas da ope-
ração potenciação e apresente algumas propriedades relativas à radiciação.
Caso queira, é possível demonstrar essas propriedades usando somente a definição de radical; no 
entanto, também é possível demonstrá-las na próxima aula, a partir da relação entre radiciação e potências 
de expoente racional.
Resolva com os alunos a questão 1 da seção Desenvolvendo habilidades e deixe-os pensar na questão 
2 para, em seguida, corrigi-la. Caso haja tempo, é possível completar a aula com as questões 1 e 2 da seção 
Extras!. 
Aula 4
O objetivo principal desta aula é relacionar a operação radiciação com as potências de expoente ra-
cional. Por mais que seja conveniente simplesmente definir potências de expoente racional, pode ser rele-
vante investigar com os alunos como obter essa relação, tal qual é apresentada no capítulo corresponden-
te no Caderno de Estudos. 
Valendo-se da notação, demonstre, caso julgue pertinente, as propriedades dos radicais apresentadas 
na aula anterior. Essas demonstrações podem ser sugeridas como leitura, no Caderno de Estudos. Em 
seguida, resolva as questões 3 e 4 da seção Desenvolvendo habilidades.
A resolução proposta no exercício 4 envolve uma propriedade relativa às potências cujas bases são 
números pertencentes ao intervalo ]0, 1[. No entanto, também é possível resolver essa questão da forma 
apresentada a seguir.
Com 0 < X < 1, temos:
0 1 0 I2< < ? < <( ) ( )⇒X X X X
0 0 II2 3 2< < ? < <( ) ( )⇒X X X X X
0 0 0 III2 2< < < < < < ( )⇒ ⇒X X X X X X
0 0 0 IV3 2 6 3
6 26 3
< < < < < < ( )⇒ ⇒X X X X X X
De (I), (II), (III) e (IV), concluímos que: X X X X X
3 2 3
< < < < .
Dê um tempo para que os alunos pensem na questão 5 para, em seguida, corrigi-la. Depois de resolver 
a questão, comente com os alunos a relevância das aproximações de números irracionais; no item a dessa 
questão houve aproximação em três radicais enquanto que, no item b, somente em um, o que colaborou 
com uma propagação menor do erro nos cálculos seguintes. 
Caso sobre tempo, complete a aula com alguma das questões da seção Extras! ou com outra ativida-
de que julgar pertinente.
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Técnicas algébricas
HABILIDADES BNCC NORTEADORAS DO MÓDULO
EM13MAT315 Investigar e registrar, por meio de um fluxograma, quando possível, um algoritmo que resolve um problema.
EM13MAT405 Utilizar conceitos iniciais de uma linguagem de programação na implementação de algoritmos escritos em linguagem 
corrente e/ou matemática.
Sugestão de roteiro de aula
 M A T E M Á T I C A A
Aula Descrição Anotações
5
Propriedade distributiva e produtos notáveis
Desenvolvendo habilidades: 1 e 2
TM: 1 a 4
TC: 17 a 20
TD: 33 e 34
Extras!: 1 e 2
6
Resolução de problemas que envolvam produtos 
notáveis
Desenvolvendo habilidades: 3 a 5
TM: 5 a 8
TC: 21 a 24
TD: 35 e 36
Extras!: 3 e 4
7
Técnicas de fatoração: o fator comum 
e a diferença de quadrados
Desenvolvendo habilidades: 6 e 7
TM: 9 a 12
TC: 25 a 28
TD: 37 e 38
Extras!: 5
8
Técnicas de fatoração: o trinômio quadrado 
perfeito
Desenvolvendo habilidades: 8 e 9
TM: 13 a 16
TC: 29 a 32
TD: 39 e 40
Extras!: 6 e 7
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Ao fim desta(s) aula(s), o aluno deve ser capaz de:
. Objetivo 1: Reconhecer e desenvolver produtos notáveis em expressões algébricas. 
. Objetivo 2: Identificar padrões algébricos ou numéricos e justificar sua veracidade algebricamente. 
. Objetivo 3: Resolver problemas que façam uso dos produtos notáveis.
. Objetivo 4: Fatorar expressões algébricas, a partir da identificação do fator comum ou da diferença 
de quadrados. 
. Objetivo 5: Utilizar o fator comum ou a diferença de quadrados na resolução de problemas ou no 
reconhecimento de padrões numéricos. 
. Objetivo 6: Fatorar expressões algébricas a partir da identificação do trinômio quadrado perfeito ou 
de outras técnicas já estudadas. 
. Objetivo 7: Utilizar o trinômio quadrado perfeito na resolução de problemas ou no reconhecimento 
de padrões numéricos. 
Objetivos de aprendizagem
Encaminhamento
Ponto de partida
 A partir desta aula, iniciaremos o estudo da Álgebra no Ensino Médio, com uma retomada do que foi 
estudado no Ensino Fundamental – Anos Finais, mas agora de forma mais aprofundada. Uma possível 
estratégia para motivar os alunos é iniciar com algum problema do tipo adivinhação, como o que é apre-
sentado a seguir:
Pense em um número que tenha três algarismos distintos. Inverta a ordem dos algarismos, de modo a obter 
um novo número. Perceba que o algarismo do meio se mantém na mesma posição. Subtraia o menor do maior 
desses números. Em seguida, inverta a ordem dos algarismos da diferença obtida, de modo que o algarismo do 
meio se mantenha novamente, e adicione-o à diferença obtida. Qual é o resultado dessa adição? 
Se julgar conveniente, dê um tempo para que os alunos pensem e respondam; ou, se preferir, peça a 
eles que façam a conta e não divulguem o resultado. Você pode “adivinhar” o resultado: independente-
mente do número inicial pensado, a resposta será sempre igual a 1 089. Mostre a eles que uma das vanta-
gens da linguagem algébrica, além de permitir a representação de quantidades desconhecidas, é possi-
bilitar a determinação de padrões e algoritmos em contas, o que pode ser relevante em diversas áreas, 
incluindo a Computação. 
Aula 5
Esta aula trata de um tema que, de modo geral, é familiar aos alunos, já que é explorado no Ensino 
Fundamental – Anos Finais: a propriedade distributiva. Caso queira motivá-los com uma aplicação prática, 
sugerimos apresentar os exemplos de cálculo mental, disponíveis no primeiro item do Caderno de Estudos.
Inicie a exposiçãoteórica apresentando a propriedade distributiva e, em seguida, os produtos notáveis: 
produto da soma pela diferença, quadrado da soma e quadrado da diferença. Nos dois últimos, enfatize 
que, de modo geral, (x 1 y)2 = x2 1 y2, erro que pode ser cometido pelos alunos.
Depois, dê algum tempo para que os alunos façam a questão 1 da seção Desenvolvendo habilidades. 
No item b, caso os alunos apliquem a propriedade distributiva, em vez de reconhecer o produto notável, 
enfatize que, por mais que os produtos notáveis sejam consequências diretas da propriedade distributiva, 
aplicá-los pode trazer grande agilidade nos cálculos.
No item c, vale o mesmo comentário: desenvolver os quadrados é mais rápido do que reescrevê-los 
como um produto e aplicar a distributiva. Porém, sugerimos que não seja estimulada a fatoração da dife-
rença de quadrados, já que as técnicas de fatoração são temas das aulas 7 e 8. 
Após fazer a correção, dê algum tempo para que os alunos tentem resolver a questão 2. É possível que 
alguns alunos consigam entender a lógica, mas não saibam expressá-la textualmente. Durante a correção, 
enfatize a importância da clareza no texto, dando o exemplo no quadro.
Caso haja tempo disponível, é possível completar a aula com as questões 1 e 2 da seção Extras!, ou 
com outra atividade que julgar conveniente. 
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Aula 6
Nesta aula, os alunos devem exercitar o conteúdo visto até aqui. Assim, inicie a aula retomando as 
ideias vistas e, em seguida, dê tempo para que os alunos pensem nas questões de 3 a 5.
Faça intervenções conforme necessário e, antes de corrigir cada questão, dê algumas dicas caso os alunos 
não estejam conseguindo avançar. Por exemplo, na questão 3, é possível que alguns alunos não entendam a 
relação com o que foi visto na exposição teórica. Aproveite a oportunidade para ilustrar como a linguagem 
algébrica pode ajudar em situações desse tipo. Aproveite para apresentar também uma outra maneira de 
entender um algoritmo, através de um fluxograma. Recomendamos ilustrá-lo da seguinte maneira:
Digite um número 
qualquer
Some 1 ao 
número digitado
Multiplique o 
resultado obtido 
por 6
Subtraia 4 do 
resultado anterior
Divida o resultado 
obtido por 2
Caso julgue adequado, proponha a criação de um fluxograma como esse nos itens a e b.
Na questão 4, os alunos terão de se lembrar de elevar ao quadrado. É comum que alguns alunos se 
sintam desconfortáveis porque não tiveram essa ideia, mas enfatize que, com treino e repetição, as ideias 
passam a ocorrer naturalmente.
A questão 5, por sua vez, é uma boa oportunidade para mostrar a relação entre o aspecto algébrico e 
o aspecto geométrico das técnicas estudadas.
Após corrigir as questões, caso sobre tempo, complete a aula com as questões 3 e 4 da seção Extras! 
ou com outra atividade que julgar necessária.
Aula 7
A diferença entre os temas estudados nas aulas anteriores e nesta aula é sutil, mas os alunos costumam 
ter dificuldade com esse conteúdo. Basicamente, as igualdades das aulas 5 e 6 serão lidas no sentido con-
trário ao tradicional de leitura: por exemplo, apesar de as igualdades a ? (b 1 c) 5 a ? b 1 a ? c e 
a ? b 1 a ? c 5 a ? (b 1 c) representarem a mesma afirmação, se considerarmos que o sentido de leitura 
tradicional é seguido, temos que a primeira igualdade exige uma simples aplicação da propriedade distri-
butiva, ao passo que a segunda exige o reconhecimento de um padrão. 
Assim, é importante enfatizar que o aprendizado das técnicas de fatoração exige bastante treino, já 
que é mais difícil reconhecer padrões que não foram vistos em uma quantidade suficiente de vezes.
Caso deseje, inicie a aula com um exemplo análogo ao explorado no item 1 do Caderno de Estudos, 
sobre o escultor. Mostre que a estratégia aplicada exigiu que o resultado do desenvolvimento de um pro-
duto notável fosse reconhecido.
Em seguida, faça a exposição teórica, apresentando a técnica do fator comum por meio de exemplos, 
seguida pela da diferença de quadrados. Dê um tempo para que os alunos resolvam a questão 6, corrigin-
do-a em seguida.
Dê mais um tempo para que façam a questão 7. Após fazer a correção, caso haja tempo disponível, é 
possível completar a aula com a questão 5 da seção Extras!, ou com outra atividade que julgar conveniente. 
Aula 8
Após retomar as técnicas de fatoração vistas na aula anterior, apresente a fatoração do trinômio qua-
drado perfeito. Sugerimos não utilizar, neste momento, a estratégia do cálculo do discriminante, já que os 
alunos ainda não estudaram (no Ensino Médio) as equações do 2º grau.
Em vez disso, sugerimos a identificação dos termos a2 e b2 na expressão a2 1 2ab 1 b2, seguida pela “con-
firmação” por meio do termo 2ab. Por exemplo, no caso do trinômio x2 1 6xy 1 9y2, identificamos os termos 
x2 e 9y2, que são os quadrados, respectivamente, de x e 3y. Em seguida, verificamos que 2 ? x ? 3y 5 6xy, con-
firmando que se trata, de fato, de um trinômio quadrado perfeito.
Feito isso, enfatize que as técnicas de fatoração não são livremente intercambiáveis. Há situações em 
que é necessário aplicar tanto a estratégia do fator comum, quanto a diferença de quadrados e o trinômio 
quadrado perfeito. Uma boa diretriz, mesmo que não seja válida em todas as situações, é começar procu-
rando o fator comum e, após fazer a fatoração, verificar se é possível aplicar outra técnica.
Dê um tempo para que os alunos façam a questão 8, corrigindo-a em seguida. Feita a correção, dê 
mais um tempo para que pensem na questão 9, fazendo a correção posteriormente.
Após corrigir as questões, caso sobre tempo, complete a aula com as questões 6 e 7 da seção Extras! 
ou com outra atividade que julgue oportuna.
O passo a passo da estratégia apresentada no boxe de indicação pode ser visto no vídeo disponível 
em <www.youtube.com/watch?v=eAORiuC1a6E> (acesso em: 30 jun. 2020) e apresentado aos alunos.
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Igualdades e 
desigualdades
HABILIDADE BNCC NORTEADORA DO MÓDULO
EM13MAT302 Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1o ou 2o graus, para resolver problemas em contextos 
diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Sugestão de roteiro de aula
 M A T E M Á T I C A A
Aula Descrição Anotações
9
Igualdades
Desenvolvendo habilidades: 1 e 2
TM: 1 a 4 
TC: 9 a 12
TD: 17 e 18
Extras!: 1 e 2
10
Desigualdades
Desenvolvendo habilidades: 3 e 4
TM: 5 a 8 
TC: 13 a 16 
TD: 19 e 20
Extras!: 3 e 4
Objetivos de aprendizagem
Ao fim desta(s) aula(s), o aluno deve ser capaz de:
. Objetivo 1: Resolver equações e situações-problema que envolvam equações.
. Objetivo 2: Resolver inequações e situações-problema que envolvam inequações. 
Encaminhamento
Aula 9
O conteúdo desta aula foi estudado no Ensino Fundamental – Anos Finais. Dessa forma, pode ser uma 
boa estratégia iniciar a aula com uma equação simples e perguntar aos alunos se eles sabem resolvê-la. 
Neste momento, é bastante provável que algum aluno use expressões como “passar para o outro lado 
subtraindo”, o que sugere que o procedimento foi mecanizado, porém, talvez, não compreendido. Pergun-
te, então, o que significa “passar para o outro lado”, conduzindo a discussão de modo que os alunos enten-
dam que é necessário revisar as ideias e buscar estratégias que consigam defender, em vez de apenas 
memorizá-las.
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Em seguida, defina equação e apresente a estratégia de resolução baseada na ideia de aplicar uma 
mesma operação a ambos os membros até que a incógnita seja isolada. É possível usar a comparação com 
uma balança de pratos para ilustrar esse fato, caso julgue necessário.
Após apresentara técnica, dê algum tempo para que os alunos façam a questão 1, corrigindo-a em segui-
da. Feita a correção, leia o enunciado da questão 2 com os alunos e aponte o fato de que, em contraste à 
questão 1, essa questão não traz a equação no enunciado, sendo necessário modelar algebricamente a situa-
ção-problema. A habilidade de construir um modelo para uma situação-problema é fundamental e cada vez 
mais exigida em provas e vestibulares.
Deixe que os alunos tentem fazer a questão 2 e, em seguida, corrija-a. Caso haja tempo disponível, é pos-
sível completar a aula com as questões 1 e 2 da seção Extras! ou com outra atividade que julgar conveniente. 
Aula 10
Assim como sugerido na aula anterior, inicie esta aula apresentando uma inequação simples para ve-
rificar como os alunos a resolveriam. É possível que, durante a discussão, algum aluno aponte que a reso-
lução de inequação exige cuidado com relação a números negativos, mas talvez não saiba especificar. 
Novamente, enfatize a importância de entender o procedimento, em vez de apenas memorizá-lo.
Retome a definição de equação, defina inequação e, em seguida, ressalte que a estratégia de resolução 
que será vista é similar à que foi apresentada na aula 9, porém com diferenças importantes. 
Após apresentar a técnica, dê um tempo para que os alunos façam a questão 3, corrigindo-a em se-
guida. Caso haja tempo, explore também as alternativas incorretas.
Antes de orientar a resolução da questão 4, reitere a importância da habilidade de modelar algebrica-
mente. Em seguida, deixe que os alunos tentem fazê-la e, depois, corrija-a. 
Caso haja tempo disponível, é possível completar a aula com as questões 3 e 4 da seção Extras! ou 
com outra atividade que julgar conveniente. 
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Sugestão de roteiro de aula
Aula Descrição Anotações
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Modelar para não intuir
Do enunciado textual para a linguagem
algébrica
Desenvolvendo habilidades: 1 e 2
TM: 1 a 4
TC: 9 a 12
TD: 17 e 18
Extras!: 1
12
Modelagem que conduz a duas equações
Desenvolvendo habilidades: 3 a 5
TM: 5 a 8
TC: 13 a 16
TD: 19 e 20
Extras!: 2 a 4
Objetivos de aprendizagem
Ao fim desta(s) aula(s), o aluno deve ser capaz de:
. Objetivo 1: Modelar problemas usando a linguagem algébrica e resolvê-los a partir da estratégia de 
isolar a incógnita. 
. Objetivo 2: Resolver problemas cuja modelagem algébrica recai em um sistema formado por duas 
equações, com duas incógnitas. 
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Modelagem algébrica de 
problemas
HABILIDADE(S) BNCC NORTEADORA(S) DO MÓDULO
EM13MAT301 Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem 
equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, incluindo ou não tecnologias digitais.
EM13MAT302 Resolver e elaborar problemas cujos modelos são as funções polinomiais de 1º e 2º graus, em contextos diversos, 
incluindo ou não tecnologias digitais.
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Encaminhamento
Aula 11
Esta aula não tem novidades teóricas, já que as primeiras técnicas de resolução de equações e inequa-
ções foram apresentadas no módulo anterior. O foco é a obtenção das equações e inequações que permi-
tem resolver uma situação-problema a partir da interpretação de textos. Para isso, são apresentadas 
equações e inequações com apenas uma incógnita; na aula 12, há, também, sistemas de duas equações 
com duas incógnitas.
Para motivar os alunos, sugerimos iniciar a aula com uma pergunta ou problema simples que incen-
tive a resolução por intuição, em vez de modelagem algébrica. Tanto a seção Neste módulo, no Caderno 
do Aluno, quanto o capítulo teórico trazem exemplos desse tipo de problema.
Podem ser usados um desses problemas, ou outros podem ser criados. A ideia é que os alunos perce-
bam que a intuição, de maneira geral, não é muito confiável para se resolver problemas desse tipo.
Em seguida, comente sobre o processo de tradução do enunciado textual para a linguagem algébrica. 
Por mais que não seja possível criar uma lista exaustiva, há alguns casos mais comuns que merecem ser 
comentados, como “dobro do sucessor”, “quadrado da soma” e outros. Novamente, tanto a seção Neste
módulo, no Caderno do Aluno, quanto o capítulo teórico trazem alguns exemplos desse tipo.
Para a realização das atividades, permita que os alunos pensem nas questões 1 e 2, corrigindo-as em 
seguida. Caso haja tempo disponível, é possível completar a aula com a questão 1 da seção Extras!, ou 
ainda com outra atividade que julgar conveniente. 
Aula 12
Nesta aula, apresentaremos problemas cuja modelagem recai em sistemas de duas equações com 
duas incógnitas. Nesse momento, é possível apresentar estratégias para resolver sistemas lineares do “tipo 
2 por 2”. A estratégia de resolução proposta segue diretamente a partir do que foi visto no módulo ante-
rior, ou seja, isolar a incógnita.
Novamente, comece com algum exemplo (o Caderno do Aluno e o capítulo teórico trazem exemplos 
desse tipo) e, em seguida, dê tempo para que os alunos pensem nas questões 3 e 4, corrigindo-as em 
seguida.
Antes de dar tempo para que os alunos resolvam a questão 5, faça uma breve verificação sobre varia-
ções percentuais, que estão sendo estudadas nas aulas 11 e 12 do setor B. Em seguida, discuta a questão e 
dê um tempo para que a resolvam, corrigindo-a posteriormente. 
Caso haja tempo disponível, é possível completar a aula com alguma das outras três questões da seção 
Extras!, ou ainda com outra atividade que julgar conveniente. 
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Estatística: análise 
de dados
HABILIDADES BNCC NORTEADORAS DO MÓDULO
EM13MAT102 Analisar gráficos e métodos de amostragem de pesquisas estatísticas apresentadas em relatórios divulgados por diferentes meios de 
comunicação, identificando, quando for o caso, inadequações que possam induzir a erros de interpretação, como escalas e amostras não apropriadas. 
EM13MAT202 Planejar e executar pesquisa amostral sobre questões relevantes, usando dados coletados diretamente ou em diferentes fontes, e 
comunicar os resultados por meio de relatório contendo gráficos e interpretação das medidas de tendência central e das medidas de dispersão 
(amplitude e desvio padrão), utilizando ou não recursos tecnológicos. 
EM13MAT316 Resolver e elaborar problemas, em diferentes contextos, que envolvem cálculo e interpretação das medidas de tendência central 
(média, moda, mediana) e das medidas de dispersão (amplitude, variância e desvio padrão).
EM13MAT406 Construir e interpretar tabelas e gráficos de frequências, com base em dados obtidos em pesquisas por amostras estatísticas, incluindo 
ou não o uso de softwares que inter-relacionem estatística, geometria e álgebra.
EM13MAT407 Interpretar e comparar conjuntos de dados estatísticos por meio de diferentes diagramas e gráficos, como o histograma, o de caixa 
(box-plot), o de ramos e folhas, reconhecendo os mais eficientes para sua análise. 
Sugestão de roteiro de aula
Aula Descrição Anotações
1
Análise e interpretação de dados
Desenvolvendo habilidades: 1 e 2
TM: 1 a 3
TC: 4 a 7
TD: 8 e 9
Extras!: 1 a 3
2
Medidas de tendência central
Desenvolvendo habilidades: 3 e 4
TM: 10 a 13
TC: 14 a 17
TD: 18 e 19
Extras!: 4 a 6
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Objetivos de aprendizagem
3
Medidas de dispersão
Desenvolvendo habilidades: 5 e 6
TM: 20 a 23
TC: 24 a 26
TD: 27 e 28
Extras!: 7 e 8 
4
Resolução de exercícios
Desenvolvendo habilidades: 7 e 8
TM: 29 a 32
TC: 33 a 35
TD: 36 a 38
Extras!: 9Ao fim desta(s) aula(s), o aluno deve ser capaz de:
. Objetivo 1: Identificar, analisar e interpretar dados apresentados em tabelas e gráficos.
. Objetivo 2: Analisar e calcular dados referentes às medidas de tendência central.
. Objetivo 3: Analisar, calcular, comparar e inferir dados referentes às medidas de dispersão.
. Objetivo 4: Relacionar, calcular, analisar, inferir e concluir os conceitos estatísticos relacionados à 
representação de dados e tratamento da informação.
Encaminhamento
Ponto de partida
Com a pergunta “Você já realizou uma pesquisa?”, questione os alunos se eles já participaram de al-
guma pesquisa, estimulando o debate de modo que cheguem à conclusão do que é necessário para rea-
lizar uma pesquisa estatística.
O questionamento “De que maneira podemos organizar, tratar, interpretar e realizar inferências sobre 
os dados obtidos em uma pesquisa?” remete ao tratamento e à interpretação de dados. Para aprofundar 
esse questionamento, é possível apresentar aos alunos diferentes tipos de tabela e gráfico, solicitando a 
eles que os interpretem. Se possível, trabalhe gráficos com histórico de precipitação de chuvas e tempe-
ratura. Mostre que essa também é uma maneira de apresentar diferentes tipos de dado utilizando um 
único recurso.
Em relação à pergunta “Quais outras medidas podem nos auxiliar no tratamento das informações das 
observações de uma amostra?”, é possível questionar os alunos sobre as medidas de tendência central e 
de dispersão, se eles já ouviram falar ou se já utilizaram. Aproveite a oportunidade para questioná-los se 
a mediana ou a moda seria a melhor medida para analisar as notas obtidas por um aluno ao longo de um 
semestre.
Aula 1
Nesta aula, iniciaremos o estudo da Estatística, mostrando aos alunos o papel desta área da Matemá-
tica: coletar, organizar e interpretar dados coletados em pesquisas. Como sugestão, é possível perguntar 
se eles já realizaram uma pesquisa ou se já responderam a uma. Exemplos do cotidiano, como pesquisas 
eleitorais, censo do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) ou pesquisas com aspectos pes-
soais, como preferência de estilo musical, podem ser citados. Nesse momento, é aconselhável definir os 
conceitos de população e amostra a partir dos exemplos que a turma apresentar, além de explorar os 
conceitos de variável qualitativa e variável quantitativa. 
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Em seguida, sugere-se perguntar aos alunos como esses dados obtidos podem ser representados e 
organizados. As tabelas, a definição de frequência e os diferentes tipos de gráfico podem ser apresentados 
nesse momento. Entre os objetivos desta aula estão refinar e aprofundar com os alunos a leitura e a inter-
pretação de gráficos estatísticos. 
No Exame Nacional do Ensino Médio (Enem), essa habilidade é amplamente explorada, inclusive em 
outros componentes curriculares. A capacidade de concluir e realizar inferências pode ser levada em con-
ta se o objetivo é trabalhar habilidades de complexidades média e alta. Além disso, sugere-se discutir com 
os alunos, não apenas nesta aula, os aspectos negativos em publicações de gráficos estatísticos que indu-
zem a interpretações e conclusões equivocadas. Como exemplo disso, observe os gráficos a seguir. 
GRÁFICO I
Intenção de votos para a Presidência da República (2014) 
Observe que, na construção do gráfico, há intencionalmente um dado que ressalta a liderança do 
candidato Aécio: a largura da coluna que representa a intenção de votos nesse candidato é bem maior que 
a largura da coluna da sua adversária. Além disso, no gráfico original (em cores), a primeira coluna está 
pintada de verde, chamando a atenção do leitor, enquanto a outra coluna está em branco, com menor 
destaque. É curioso notar que a diferença em porcentagem (54% e 46%) não justifica essa discrepância 
geométrica na apresentação do gráfico. 
GRÁFICO II
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Renda (kf)
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202
204
206
208
210
 
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Renda (kf)
1989 1990 1991
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100
150
200
250
Fonte: Besson (1992)
Nesse segundo caso, é importante observar que a escolha da escala no eixo vertical muda completa-
mente a forma do gráfico. Esse artifício é muito utilizado em apresentações dependendo do enfoque que 
se pretende dar. Assim, o tratamento de informações em Estatística evidencia claramente as intenções de 
quem divulgará esses dados. 
Campanha de Aécio Neves promove 
pesquisa do Instituto Paraná no 
Facebook, em 8 de outubro de 2014. 
Reprodução Facebook.
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Fonte: El Pa’s (http://www.brasil.elpais.com).
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Em seguida, oriente os alunos na resolução dos exercícios. Outra maneira de abordar o conteúdo é apre-
sentar o modelo de tabela e, consequentemente, a definição de frequência absoluta e frequência relativa e, 
em seguida, resolver o exercício 1. A partir daí, sugere-se apresentar os tipos de gráfico e resolver o exercício 2. 
Nesta questão, é importante aprofundar, como já mencionado, a leitura e a interpretação de gráficos estatís-
ticos e sinalizar aos alunos que são esperadas duas respostas para o item a, pois há dois comandos.
Ao final desta aula, estimule os alunos a fazer pesquisas referentes ao conteúdo que será trabalhado 
na aula seguinte. O objetivo é acostumá-los a ter autonomia e buscar o conhecimento por fontes diversas. 
Sugere-se mostrar claramente essa intenção, bem como que a construção do conhecimento pode ocorrer 
de diferentes maneiras. Incentivar os alunos a realizar essa atividade certamente é o início de uma cons-
trução de trabalho com base em metodologias ativas. 
Na seção Desenvolvendo habilidades da próxima aula haverá uma questão em que os alunos realizarão uma 
pesquisa na sala de aula. Na tentativa de otimizar o tempo da próxima aula, sugere-se pedir aos alunos que se 
organizem divididos em grupos de, no máximo, 3 integrantes e que pensem em uma variável quantitativa sobre 
a qual se possa fazer perguntas e que tenha possibilidade de ser colhida em sala aula entre os colegas. 
Caso haja tempo, a aula pode ser complementada com as questões 1 a 3 da seção Extras! ou com algum 
exercício como os sugeridos abaixo.
1 As Olimpíadas são uma oportunidade para o congraçamento de um grande número de paí-
ses, sem discriminação política ou racial, ainda que seus resultados possam refletir características 
culturais, socioeconômicas e étnicas. Em 2000, nos Jogos Olímpicos de Sydney, o total de 300 me-
dalhas de ouro conquistadas apresentou a seguinte distribuição entre os 196 países participantes 
como mostra o gráfico. 
Esses resultados mostram que, na distribuição das medalhas de ouro em 2000, 
 a) cada país participante conquistou pelo menos uma. 
 b) cerca de um terço foi conquistado por apenas três países. 
 c) os cinco países mais populosos obtiveram os melhores resultados. 
 d) os cinco países mais desenvolvidos obtiveram os melhores resultados.
 e) cerca de um quarto foi conquistado pelos Estados Unidos.
2 A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi levan-
tada pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa possível associação, foram 
conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses, houve o estudo do número de casos 
de câncer em relação ao número de cigarros consumidos por dia, cujos resultados são mostrados no 
gráfico a seguir. 
Centers for Disease Control and Prevention CDC-EIS. 
Summer Course – 1992 (adaptado). 
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De acordo com as informações do gráfico, 
 a) o consumodiário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversa-
mente proporcionais. 
 b) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não 
se relacionam. 
 c) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas direta-
mente proporcionais.
 d) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de pulmão. 
 e) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão 
relacionadas, mas sem proporcionalidade.
Aula 2
Caso na aula anterior tenha sido proposta uma pesquisa sobre medidas de centralidade, é interessan-
te começar a aula perguntando aos alunos quem realizou a pesquisa, colhendo as respostas, ressaltando 
e explicando novamente a tentativa de levar os alunos a pesquisar de antemão os conteúdos que serão 
trabalhados. Nessas situações, elaborar na lousa um quadro com o conteúdo que eles conseguiram estudar 
antecipadamente é uma possibilidade de metodologia. Pode-se retomar o conceito de variável qualitativa 
e quantitativa a partir das observações trazidas por eles.
Os alunos provavelmente apresentarão conceitos das principais medidas de centralidade: média arit-
mética, mediana e moda. Conceituar pode ser uma habilidade em que eles ainda apresentem dificuldade, 
se for realizada sem o apoio de uma pesquisa prévia. Ajudá-los nesse momento faz parte do processo, bem 
como a habilidade de relacionar conceito e aplicação. Entender e aplicar o conceito das medidas de cen-
tralidade é o principal objetivo desta aula. 
Se julgar conveniente, escolha um dos exemplos apresentados pelos alunos e calcule as três medidas. 
É fundamental ressaltar a diferença entre média aritmética simples e ponderada. 
Para a realização do exercício 3 da seção Desenvolvendo habilidades sugere-se organizar os alunos em 
grupos de, no máximo, 3 integrantes. A pesquisa indicada deve ser rápida. É importante que eles realizem so-
zinhos os cálculos indicados na questão e tentem responder aos itens propostos. Essa discussão criará impor-
tantes estruturas para o assunto da aula seguinte: medidas de dispersão. Durante esta aula, é interessante que 
todos permaneçam nos grupos em que realizaram a pesquisa. Apropriar-se em conjunto dos erros e aprender 
com eles é uma excelente ferramenta nesse processo. Em seguida, sugere-se pedir aos grupos que resolvam 
o exercício 4. Mais uma vez, uma rodada de discussões pode ser realizada, bem como um painel de soluções. 
Caro professor, informe previamente os alunos que na próxima aula será necessário o uso de uma 
calculadora.
Caso haja tempo, a aula pode ser complementada com as questões de 4 a 6 da seção Extras! ou com 
algum exercício como os sugeridos a seguir.
1 (Fuvest-SP) Sabe-se que a média aritmética de 5 números inteiros distintos, estritamente positivos, 
é 16. O maior valor que um desses inteiros pode assumir é: 
 a) 16 
 b) 20 
 c) 50 
 d) 70 
 e) 100
2 Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no ata-
cado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008. 
Mês Cotação Ano
Outubro R$ 83,00 2007
Novembro R$ 73,10 2007
Dezembro R$ 81,60 2007
Janeiro R$ 82,00 2008
Fevereiro R$ 85,30 2008
Março R$ 84,00 2008
Abril R$ 84,60 2008
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 De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse 
período era igual a 
 a) R$ 73,10. 
 b) R$ 81,50. 
 c) R$ 82,00. 
 d) R$ 83,00. 
 e) R$ 85,30.
Aula 3
Caso você tenha orientado os alunos na pesquisa prévia sobre o assunto que seria trabalhado nesta 
aula, é interessante começar a aula coletando as informações pesquisadas. É muito provável que, ao longo 
dessa prática, os próprios alunos sintam-se confortáveis em esclarecer as dúvidas dos colegas. 
É possível que os alunos apresentem as seguintes dúvidas: 
a) o porquê de se utilizar as medidas de dispersão;
b) a diferença entre variância e desvio padrão. 
Diferenciar as medidas de centralidade e de dispersão, assim como diferença entre variância e desvio 
padrão são alguns dos objetivos desta aula. O objetivo principal é que os alunos se apropriem de que 
quanto menor for o desvio padrão, mais regular será o conjunto de dados, além de sinalizar certa incidên-
cia desse conceito no Enem. Outro aspecto que merece ser discutido nesta aula é o uso da calculadora. 
Por se tratar de um conceito que envolve cálculo de quadrados (para variância) e extração de raiz quadra-
da (para desvio padrão), é muito comum esse questionamento por parte dos alunos. Ao analisarmos os 
exames vestibulares e o Enem, as questões variam de análise pura de dados já calculados a questões em 
que o cálculo da variância e do desvio padrão é necessário. Assim, é preciso que eles se apropriem desse 
mecanismo, por mais trabalhoso que seja. 
Para a realização do exercício 5 da seção Desenvolvendo habilidades, sugere-se perguntar aos alu-
nos qual seria a resposta sem fazer os cálculos e registar esse número; a habilidade de realizar inferên-
cias é muito importante nesse conteúdo. A mesma estratégia pode ser repetida com o exercício 6; vale 
observar que ele retoma a construção de tabela de frequências com dados representados por classes. 
Nesse caso, no cálculo do desvio padrão, não colocar o peso de cada observação é um erro muito co-
mum. 
Caso haja tempo, a aula pode ser complementada com as questões 7 e 8 da seção Extras! ou com o 
exercício a seguir.
1 (UPE) Trezentos candidatos se submeteram ao teste de seleção para vaga de emprego em uma 
grande empresa sediada em Pernambuco. Os resultados estão agrupados na tabela a seguir:
DESEMPENHO DOS CANDIDATOS NO TESTE DE SELEÇÃO
Pontuação no teste de seleção Número de candidatos
80 90 20
90 100 100
100 110 120
110 120 50
120 130 10
 Com base nessas informações, os valores aproximados da variância e do desvio padrão são respecti-
vamente: 
 a) 103 e 10,15 
 b) 102,5 e 10,09 
 c) 94,6 e 9,72 
 d) 84,9 e 9,21 
 e) 76 e 8,71 
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Aula 4
Esta aula tem o propósito de reforçar e sintetizar os conceitos de Estatística estudados neste módulo 
e sua importância no cotidiano dos alunos. 
Sugerimos começar a aula com as perguntas do ponto de partida: 
“De que maneira podemos organizar, tratar, interpretar e realizar inferências sobre os dados obtidos 
em uma pesquisa?”
É interessante perceber se os alunos responderão a partir dos conceitos estudados. Como a Estatísti-
ca está presente no cotidiano deles, é muito comum as respostas serem dadas a partir do senso comum. 
Uma das habilidades que se deseja aprimorar no Ensino Médio é a capacidade de comunicação e de argu-
mentação. Esse é um excelente momento para trabalhá-la. 
Note se os alunos perceberam a importância da análise gráfica (tema extremamente recorrente no 
Enem) em Estatística e a análise de uma amostra a partir das medidas de centralidade, sobretudo a média 
aritmética. Eles podem ter ideias muito divergentes em relação ao conceito de média e o que ela significa 
na prática.
Para a realização do exercício 7 da seção Desenvolvendo habilidades, sugere-se retomar a organização 
de dados em classes de intervalos e o procedimento do cálculo da média para dados agrupados. Mais uma 
vez, a habilidade de justificar é trabalhada. Na realização do exercício 8 da seção Desenvolvendo habilida-
des pode haver dúvidas em relação à forma como o gráfico foi construído. Propositalmente, a questão foi 
pensada para que os alunos sejam capazes de realizar inferências e chegar a uma conclusão com base em 
aspectos que induzem uma tomada de decisão. Mais uma vez, os argumentos devem ser apoiados em 
dados justificados por cálculos.A seção Cultura digital propõe uma atividade na planilha eletrônica. Uma das habilidades da BNCC é 
a familiarização (aprimoramento) dos alunos com o uso de tecnologia. Entendemos que é uma excelente 
oportunidade de fechamento do conteúdo de Estatística com o cálculo das medidas de centralidade e 
dispersão. Observe que o uso da planilha eletrônica para esses cálculos é relativamente fácil. Outra opor-
tunidade é a construção de gráficos estatísticos em planilhas eletrônicas ou em outro programa; a análise 
com o uso de planilhas eletrônicas ganha outra importância. Fazer os alunos variarem os dados e instan-
taneamente observarem a mudança nas medidas de centralidade ou no comportamento dos gráficos 
desenvolve a capacidade de relacionar causa e efeito além do poder de argumentação. 
Caso haja tempo, a aula pode ser complementada com o exercício 9 da seção Extras! ou com a 
questão abaixo.
1 (UPE/SSA) O gráfico a seguir trata de um dos aspectos da violência no Grande Recife, em matéria 
veiculada no Jornal do Commercio do dia 30 de abril de 2017.
Com base nesse gráfico, analise as sentenças a seguir:
 I. Só houve queda no número de homicídios no período de 2008 a 2013.
 II. A média do número de homicídios no período de 2013 a 2016 é superior a 3 700 casos.
 III. Apesar do crescimento acentuado dos homicídios a partir do ano de 2013, o ano de 2016, em 
comparação com o ano de 2004, apresentou um aumento aproximado de 7% em relação ao nú-
mero de casos.
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É CORRETO o que se afirma, apenas, em 
 a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) II e III. 
Nessa questão, assim como em outras que envolvem gráficos de linhas, é possível fazer um link com 
o próximo tema do setor: taxa de variação. Sugerimos, sempre que possível, levar os alunos a relacionar 
os conteúdos de forma a integrar o conhecimento. Um questionamento sugerido: É possível identificarmos 
dois períodos em que o crescimento ou o decrescimento é constante? Estimulá-los a raciocinar sem for-
malizar o conteúdo pode construir estruturas de raciocínio muito valiosas. 
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Variações e 
proporcionalidade
HABILIDADES BNCC NORTEADORAS DO MÓDULO
EM13MAT101 Interpretar situações econômicas, sociais e das Ciências da Natureza que envolvem a variação de duas grandezas, pela análise dos 
gráficos das funções representadas e das taxas de variação com ou sem apoio de tecnologias digitais.
EM13MAT104 Interpretar taxas e índices de natureza socioeconômica, tais como índice de desenvolvimento humano, taxas de inflação, entre outros, 
investigando os processos de cálculo desses números.
EM13MAT314 Resolver e elaborar problemas que envolvem grandezas compostas, determinadas pela razão ou pelo produto de duas outras, como 
velocidade, densidade demográfica, energia elétrica etc.
EM13MAT401 Converter representações algébricas de funções polinomiais de 1o grau em representações geométricas no plano cartesiano, 
distinguindo os casos nos quais o comportamento é proporcional, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica.
EM13MAT510 Investigar conjuntos de dados relativos ao comportamento de duas variáveis numéricas, usando tecnologias da informação, e, se 
apropriado, levar em conta a variação e utilizar uma reta para descrever a relação observada.
Sugestão de roteiro de aula
 Aula Descrição Anotações
5
Razão e proporção
Desenvolvendo habilidades: 1 a 4
TM: 1 a 4
TC: 8 a 11
TD: 15 e 16
Extras!: 1 e 2
6
Escala
Taxa de variação
Desenvolvendo habilidades: 5 e 6
TM: 5 a 7
TC: 12 a 14
TD: 17 e 18
Extras!: 3 e 4
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Ao fim desta(s) aula(s), o aluno deve ser capaz de:
. Objetivo 1: Identificar a razão entre duas grandezas e seu significado.
. Objetivo 2: Inferir e concluir sobre dados apresentados na forma de razão.
. Objetivo 3: Identificar uma proporção e calcular dados usando essa proporção.
. Objetivo 4: Calcular, comparar e inferir sobre objetos, mapas e medidas, utilizando o conceito de 
escala.
. Objetivo 5: Inferir e concluir sobre dados por meio da taxa de variação.
Objetivos de aprendizagem
Ponto de partida
Ao explorar a primeira questão proposta (“Quando você baixa algum arquivo da internet, o tempo de 
espera para que isso ocorra depende do quê?”), encaminhe a discussão a partir das respostas dos alunos. 
Caso eles não percebam, comente que a velocidade da internet depende da operadora contratada ou da 
instalação feita, como a cabo ou fibra ótica. Consequentemente, esses fatores influenciam também na 
velocidade de download. Através dessa questão, na aula 5, é possível conceituar razão. 
Para explorar bem a segunda questão proposta (“Você já utilizou a escala de um mapa para estimar 
uma distância?”), na aula 6, se possível, leve um mapa com escala para a sala de aula e discuta com os 
alunos sobre como fariam para medir, aproximadamente, a distância entre duas cidades. Deixe que eles 
apresentem suas ideias e conduza a solução para a utilização de proporção, mesmo que inicialmente de 
forma intuitiva.
Aula 5
O tema razão e proporção é amplamente utilizado não só na Matemática, mas também na Física e na 
Química. Por isso, é fundamental que os alunos compreendam esse assunto em suas diversas formas.
Na pergunta do Ponto de partida, aproveite as respostas dos alunos para mostrar as ideias de grande-
za e de proporcionalidade, de forma natural e sem aprofundar muito. O importante é fazer os alunos per-
ceberem que a resposta é uma razão: megabits por segundo (Mb/s), por exemplo.
Devemos diferenciar bem razão de proporção, pois os alunos tendem a confundir os conceitos e como 
trabalhar com eles. Após definir razão e dar alguns exemplos, como velocidade média e densidade, peça 
que resolvam os exercícios 1 e 2, corrigindo-os em seguida e destacando a ideia de razão.
Na sequência, defina proporção e dê exemplos simples, como o seguinte: Para a receita de um suco 
em que, para 1 parte de suco concentrado, devemos acrescentar 4 partes iguais de água, quanto de água 
precisamos acrescentar a 30 mL de suco concentrado?
Em seguida, peça aos alunos que resolvam os exercícios 3 e 4. Como o exercício 4 envolve a elabora-
ção de problemas, caso haja dificuldades, dê exemplos de grandezas compostas, como a densidade de-
mográfica ou a energia elétrica. 
Aula 6
Retome os conceitos de razão e proporção, se houver tempo, e verifique qual foi o exercício da tarefa 
em que os alunos tiveram maior dificuldade e resolva com eles.
Apresente a ideia de escala usando o Ponto de partida e, se possível, mostre um mapa e faça algumas 
medições com a participação dos alunos, exercitando o conceito de escala. Na sequência, peça que resol-
vam o exercício 5.
O conceito da taxa de variação é muito importante. Nesse momento, a ideia não é aprofundar o as-
sunto, mas oferecer subsídios para as aulas de Física e Química deste início de curso, esclarecendo alguns 
itens necessários para essas áreas de conhecimento. Use vários exemplos de gráficos, com taxa de variação 
positiva e negativa, constante e variável. O mais importante nesse momento é transmitir a ideia, sendo 
desnecessário o aprofundamento. Na sequência, peça que resolvam o exercício 6.
Encaminhamento 
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28
M
Ó
D
U
L
O
3 M A T E M Á T I C A B
Grandezas 
proporcionais
HABILIDADES BNCC NORTEADORAS DO MÓDULO
EM13MAT101 Interpretar situações econômicas, sociais e das Ciências da Natureza que envolvem a variação de duas grandezas, pela análise dos 
gráficos