AD1-A1-2014-2-prova

Prévia do material em texto

Álgebra I
AD1 - Primeira Avaliação a Distância - Aulas 1 a 4
1a Questão: (2,0 pontos) Decida se as demonstrações abaixo estão completas. Justifique
detalhadamente as suas afirmações.
(a) (1,0 ponto) Em um certo livro texto o autor afirma que o gráfico de uma função afim f
(isto é, f : R→ R dada por f(x) = ax+ b onde a e b são números reais fixados) é a reta que
passa por dois pontos do gráfico de f . Como justificativa desta afirmação ele mostra que os
pontos do gráfico de f são colineares (isto é, estão numa mesma reta).
Sugestão: lembre-se que tanto a reta como o gráfico de uma função f são conjuntos e use seus
conhecimentos sobre igualdade de conjuntos
(b) (0,5 ponto) Para provar a afirmação “Todo número par maior que 2 e menor que 101 é
a soma de dois números primos” um matemático exibiu 49 exemplos de números pares no
intervalo considerado e escreveu cada um deles como a soma de dois números primos.
(c) (0,5 ponto) Para provar a afirmação “Todo número par maior que 2 é a soma de dois
números primos” um matemático exibiu 250 exemplos de números pares no intervalo consi-
derado e escreveu cada um deles como a soma de dois números primos.
2a Questão: (2,0 pontos) Determine se a relação R definida no conjunto de todas as páginas
web é uma relação de equivalência, onde xRy, se e somente se, todas as pessoas que visitam
a página web x também visitam a página web y.
1
3a Questão:
(a) (1,5 ponto)Ache a fórmula fechada para o produto(
1− 1
2
)(
1− 1
3
)(
1− 1
4
)
...
(
1− 1
n
)
para todos os inteiros n ≥ 2 e prove o seu resultado por indução matemática.
(b) (1,5 ponto) Ache a fórmula fechada para a soma
1
1 · 3
+
1
3 · 5
+ ... +
1
(2n− 1) · (2n + 1)
para todos inteiros n ≥ 1 e prove o seu resultado por indução matemática.
4a Questão:
(a) (1,0 ponto) Explique detalhadamente como usar o resto da divisão euclidiana para obter
o dia da semana de uma data no passado. Faça o mesmo para uma data futura.
(Sugestão: escolha um dia como referência, talvez o primeiro dia do ano de 2014 ou o dia de hoje.
Será importante saber o dia da semana da data fixada).
(b) (1,0 ponto) Calcule o dia da semana do dia 9 de novembro de 1989.
(c) (1,0 ponto) Calcule o dia da semana do dia 1o de janeiro de 2050.
2