Trigonometria no Triângulo Retângulo e Funções Trigonométricas

Prévia do material em texto

1 
 
Licenciatura em Matemática 
Fundamentos de Matemática Elementar 2o/2010 
Professora Adriana 
 
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO E 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
1. Calcule sen x, tg x e cotg x sendo dado: 
 
a) cos x = 
1
2
 b) cos x = 
2
5
 
c) cos x = 0,96 
2. Sabendo que B̂ e Ĉ são complementares, calcule cos Ĉ , tg Ĉ e cotg Ĉ quando: 
a) cos B̂ = 0,57 b) cos B̂ = 
5
6
 c) cos B̂ = 
3
5
 
3. Em um triangulo retângulo, determine o valor de x (cateto AC) dado que a 
hipotenusa BC vale 15 cm e o ângulo B vale 30 graus. 
 
4. Uma escada de bombeiros pode ser estendida até um comprimento máximo de 25 
metros, formando um angulo de 70° (ver valor na calculadora) com a base, que está 
sobre um caminhão, a 2 metros do solo. Qual é a altura máxima que a escada 
atinge? resp (25,49 m) 
 
5. Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele 
colocou um teodolito (instrumento ótico para medir ângulos) a 200 metros do 
edifício e mediu um ângulo de 30°. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5 
metro do solo, qual é a altura do edifício? (sen 30° = 0,5, cos 30° = 0,866, tg 30° = 0,577) 
 
6. Dois níveis de uma praça estão ligados por uma rampa de 3 m de comprimento e 
30º de inclinação, conforme a figura. Devem-se construir sobre a rampa 6 degraus 
de mesma altura. Qual a altura de cada degrau? 
 
 
 
7. Calcular os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 6 cm e um dos 
ângulos mede 60º. (Resp.: 3√3 e 3) 
 
2 
 
8. Quando o ângulo de elevação do sol é de 65º, a sombra de um edifício mede 18m. 
Calcule a altura do edifício. (Resp.: 38,6m) 
(Dados: sen 65º = 0,9063, cos 65º = 0,4226 e tg 65º = 2,1445). 
 
9. Uma escada encostada em um edifício tem seus pés afastados a 50 m do edifício, 
formando assim, com o plano horizontal, um ângulo de 32º. A altura do edifício é 
aproximadamente: (Resp.: letra c) (Dados: sen 32º = 05299, cos 32° = 0,8480 e tg 32º = 0,6249). 
a) 28,41m b) 29,87m c) 31,24 m d) 34,65 m 
 
10. Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30º. Depois de percorrer 8 km, o avião se 
encontra a uma altura de: (Resp.: letra c) 
a) 2 km b) 3 km c) 4 km d) 5 km
 
11. Um foguete é lançado sob um ângulo de 30 º. A que altura se encontra depois de 
percorrer 12 km em linha reta? (Resp.: 6 km) 
 
12. Do alto de um farol, cuja altura é de 20 m, avista-se um navio sob um ângulo de 
depressão de 30º. A que distância, aproximadamente, o navio se acha do farol? (Use 
√3 = 1,73) (Resp.: 34,6m) 
 
13. Num exercício de tiro, o alvo está a 30 m de altura e, na horizontal, a 82 m de 
distância do atirador. Qual deve ser o ângulo (aproximadamente) de lançamento do 
projétil? (Resp.: 20°) (Dados: sen 20º = 0,3420, cos 20º = 0,9397 e tg 20º = 0,3640). 
 
14. Se cada ângulo de um triângulo equilátero mede 60 º, calcule a medida da altura de 
um triângulo equilátero de lado 20 cm. (Resp.: 10√3) 
 
15. Um alpinista deseja calcular a altura de uma encosta que vai escalar. Para isso, 
afasta-se, horizontalmente, 80 m do pé da encosta e visualiza o topo sob um ângulo 
de 55º com o plano horizontal. Calcule a altura da encosta. (Resp.: 113,6m) 
 (Dados: sen 55º = 0,81, cos 55º = 0,57 e tg 55º = 1,42) 
 
16. Exprimir em radianos: 
 
a) 45° b) 135° c) 300° 
 
 
 
 
3 
 
17. Exprimir em graus: 
a) 
7
3
rad
π
 b) 
5
3
rad
π
 c) 
11
6
rad
π
 
 
18. Converta em radianos os arcos 22°30' e 31°15'45''. 
 
19. Calcular, em graus, a medida do ângulo aÔb da figura 
 
 
20. Calcular o comprimento l do arco AB definido numa circunferência de raio r = 10 
cm, por um ângulo central de 60º. 
 
 
21. Calcular o menor dos ângulos formados pelos ponteiros de um relógio que está 
marcando: 
 a) 1 h b) 1 h 15 min c) 1 h 40 min 
 
22. Indicar no ciclo trigonométrico a imagem de cada número x a seguir: 
 
a) 
3
x
π
= 
b) 
3
x
π
= − 
c) 21x π= 
d) 
13
4
x
π
= 
e) 
28
3
x
π
= 
f) 
11
6
x
π
= 
g) 
25
3
x
π
= − 
 
4 
 
23. Localize os arcos 
6
π
, 
5
6
π
, 
7
6
π
 
e 
11
6
π
. Em seguida, dê o sinal do seno e do cosseno 
de cada um deles. 
 
24. Utilizando simetria e sabendo que sen 
1
6 2
π
= e cos 
3
6 2
π
= ,dê o valor do seno e do 
cosseno de 
5
6
π
, 
7
6
π
 
e 
11
6
π
. 
 
25. Localize os arcos 
4
π
, 
3
4
π
, 
5
4
π
 
e 
7
4
π
. Em seguida, dê o sinal da tangente e da 
cotangente de cada um deles. 
 
26. Sabendo que tg 
3
6 3
π
= , dê o valor da tangente de 
5
6
π
, 
7
6
π
 
e 
11
6
π
. 
 
27. Sabendo que cotg 
3
3 3
π
= , dê o valor da cotangente de 
2
3
π
, 
4
3
π
 
e 
5
3
π
. 
 
28. Calcule as expressões: 
a) sen sen sen 2
6 4
π π
π+ − 
b) 
1 7
2sen sen
6 2 4
π π
+ 
c) cos cos cos 2
3 4
π π
π+ − 
d) 
1 7
2cos cos
6 2 4
π π
+ 
e) tg tg tg 2
3 4
π π
π+ − 
f) 
5 1 1 5
2tg tg tg
4 2 3 6
π π
π− + − 
g) 
2 1 5
2cotg cotg
3 2 6
π π
− 
h) 
2 7
sen cos tg +cotg
3 4 3 6
π π π π
+ − 
 
29. Localize os arcos 
3
π
, 
2
3
π
, 
5
4
π
 
e 
5
6
π
. Em seguida, dê o sinal da secante e da 
cossecante de cada um deles. 
 
30. Sabendo que sec 
2 3
6 3
π
= e cossec 2
6
π
= , localize os arcos, utilize simetria e dê o 
valor da secante da cossecante de 
5
6
π
, 
7
6
π
 
e 
11
6
π
. 
 
31. Qual o valor de cossec sen sen sec
6 6 4 3
π π π π  
+ −  
  
? 
 
5 
 
32. Qual é o sinal de cada uma das seguintes expressões? 
 
a) y = sen 45º + cos 45º b) y = sen 225º + cos 225º c) y = sen 300º + cos 300º 
 
33. .Faça o gráfico de um período completo das funções a seguir e determine sua 
imagem. 
a) y = - sen (x) 
b) y = 2sen (2x) 
c) y = -1 + sen (2x) 
d) y = sen (x + π/3) 
e) y = cos (5x) 
f) y = -3cos (x) 
g) y = cos (x - π/4) 
h) y = 5 + 3cos (4x - 7) 
i) y = tg (2x + π/6) 
j) y = cotg (x - π/6) 
k) y = sec (2x) 
l) y = cossec (2x ) 
34. Qual é o domínio da função real f tal que f(x) = tg 3x e f(x) = tg (2x - 
3
π
)? 
Resp.: ( ) , ,
6 3
k
D f x R x k Z
π π 
= ∈ ≠ + ∈ 
 
 e 
5
( ) , ,
12 2
k
D f x R x k Z
π π 
= ∈ ≠ + ∈ 
 
 
35. Esboce o gráfico, dê o domínio e o período d a função f(x) = tg (x - 
4
π
). 
 
36. Determine o domínio e o período das funções reais 
a) f(x) = cotg (x - 
3
π
) 
b) g(x) = sec 2x 
c) cossec (x + 
4
π
)