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Exemplos 
 
EXEMPLO 1 
Dispomos de 6 cores e queremos pintar uma bandeira de 4 listras, cada listra 
com uma cor. De quantas formas isso pode ser feito? 
 
SOLUÇÃO: 
Consideremos as cores como sendo A, B, C, D, E e F. Cada maneira de pintar essa 
bandeira será uma sequência de 4 cores não repetidas, escolhidas dentre uma 
oferta de 6 cores. 
 
Citemos algumas dessas possibilidades: (A,C,D,E); (C,B,E,F); (A,C,D,F). Portanto, 
a reposta do problema será: 
A6,4= = = 3x4x5x 6= 360 formas. 
 
Na maioria das vezes, os problemas envolvendo arranjos admitem solução pelo 
princípio multiplicativo, nunca é demais lembrar. 
 
EXEMPLO 2 
Em um campeonato de futebol, participam 10 times. Quantos resultados são 
possíveis para os 3 primeiros lugares? 
 
SOLUÇÃO: 
Devemos observar que cada resultado possível será um termo ordenado escolhido 
dentre 10 possibilidades. 
Portanto, a reposta será A10,3= = = 720 resultados. 
 
Veja como ficaria a solução pelo Princípio Multiplicativo: Devemos escolher um 
time que será o campeão, um segundo que ocupará a posição de vice-campeão e 
o terceiro colocado, logo, teremos: 
10 x 9 x 8=720 
 
 
 
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EXEMPLO 3 
Aline e Cláudia fazem parte de um grupo de 6 pessoas que devem ocupar 6 
cadeiras enfileiradas. Se as duas não podem ocupar simultaneamente as cadeiras 
das extremidades, de quantos modos podem ser acomodadas essas 6 pessoas? 
 
SOLUÇÃO: 
Uma boa estratégia para esse problema é ignorar, momentaneamente, a 
exigência feita. Assim, teremos 6! = 720 maneiras dessas pessoas estarem 
acomodadas. Devemos pensar agora nas contagens indevidas que foram feitas. 
Para tal, consideremos dois casos: 
1º) Aline em um extremo e Cláudia no outro: 
- Teremos então que colocar 4 pessoas em 4 lugares, o que nos dá 24 
possibilidades. 
 
2º) Cláudia no extremo contrário ao do primeiro e Aline no outro extremo: 
Teremos então mais 24 possibilidades. Logo, a resposta final será: 
720-48=672 modos 
 
Problemas como esse é aconselhável o uso de quebrar a restrição feita 
momentaneamente. Essa técnica pode e deve ser aproveitada em outros 
problemas que se assemelham a esse. 
 
EXEMPLO 4 
Um comício reúne 8 políticos de um partido, entre eles o presidente e seu vice. 
Supondo que todos os políticos presentes irão discursar, de quantas maneiras 
pode ser estabelecida a sequência dos discursos: 
a) se o comício for aberto pelo presidente do partido? 
 
b) se presidente e vice devem, em qualquer ordem, iniciar e encerrar o comício? 
 
 
 
 
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c) se presidente e vice, nessa ordem, devem discursar consecutivamente? 
 
SOLUÇÃO: 
LETRA A: Se o comício for aberto pelo presidente, sobram 7 pessoas para 
discursar após a abertura. Portanto, teremos 7! = 5040 maneiras de tal fato 
acontecer. 
 
LETRA B: Vamos dividir o problema em duas partes: 
1ª) Presidente abre e vice encerra o comício: 6!=720 
2ª) Vice abre e presidente encerra o comício: 6!=720 
Logo: 720 + 720 = 1440 maneiras. 
 
LETRA C: Podemos pensar o problema abrindo em vários casos. Vejamos: 
1) primeiro e segundo: 6! 
2) segundo e terceiro: 6! 
3) terceiro e quarto: 6! 
4) quarto e quinto: 6! 
5) quinto e sexto: 6! 
6) sexto e sétimo: 6! 
7) sétimo e oitavo: 6! 
Logo a reposta é 7 x 6! = 5040 possibilidades. 
 
Observação: Outra estratégia para o problema é pensar no presidente e no vice 
como uma única pessoa. Então, passamos a raciocinar como se tivéssemos 7 
pessoas em vez de 8. Tal procedimento nos conduz à resposta 7! = 5040. 
 
O procedimento de imaginar 2 ou mais objetos como um único e depois 
permutarmos entre si, quando a ordem for relevante, é de grande utilidade na 
combinatória. Trata-se de uma estratégia bastante utilizada. Acreditamos que 
podemos definir arranjos com repetição.