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MATEMÁTICA I
LIMITE
Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari
amanda.perticarrari@unesp.br
Parte 1
•Limites
•Definição de vizinhança e limite
•Limites laterais
•Limite de função real com uma
variável real
•Teorema da existência do limite
Parte 2
•Limite de funções elementares 
(polinomiais, potência, n-ésima
raiz, exponencial, logarítmica e 
trigonométrica)
•Propriedades de limites
•Indeterminações
LIMITE DE UMA FUNÇÃO
No cálculo e em suas aplicações, é comum estudar o
comportamento de uma função 𝑦 = 𝑓 𝑥 quando 𝑥 está
numa vizinhança de um valor 𝑎, mesmo que 𝑎 ∉ 𝐷𝑓.
Sejam 𝑎 ∈ ℝ e 𝛿 > 0 (suficientemente pequeno). 
• Dizemos que x está na vizinhança (próximo) de a se 
𝑥 − 𝑎 < 𝛿 . 
• O valor a é dito limite da variável x. 
• Notação: 𝑥 → 𝑎 .
Exemplo. 0,999… ≅ 1 ⇒ 0,999… ⟶ 1
então, 1 − 0,999… < 𝛿
DEFINIÇÃO DE VIZINHANÇA E LIMITE
𝑎 − 𝛿 𝑎 + 𝛿
No caso de uma variável real x, a aproximação do
número 𝑎 pode ser feita de duas maneiras: à
direita e à esquerda.
• Limite à direita de 𝒂 (valores maiores que 𝒂).
• Limite à esquerda de 𝒂 (valores menores que 𝒂).
DEFINIÇÃO DE VIZINHANÇA E LIMITE
Notação. 𝑥 ⟶ 𝑎+
Notação. 𝑥 ⟶ 𝑎−
Exemplo 1. Seja a função 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 4 definida
para todo 𝑥 ∈ ℝ.
• Analisemos o comportamento de 𝑓 𝑥 quando 𝑥 assume
valores próximos de 2, porém diferentes de 2.
LIMITE DE FUNÇÃO REAL COM
UMA VARIÁVEL REAL
𝒙 𝒇 𝒙 𝒙 𝒇 𝒙
1 3,00 3 1,00
1,5 2,50 2,5 1,50
1,7 2,30 2,3 1,70
1,9 2,10 2,10 1,90
1,99 2,01 2,01 1,99
LIMITE DE FUNÇÃO REAL COM
UMA VARIÁVEL REAL
Note que na função 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 4,
✓ quanto mais aproximamos 𝑥 do valor 2 as diferenças
𝑥 − 2 e 𝑓 𝑥 − 𝐿 se tornam suficientemente
pequenas.
✓ Neste caso, lim
𝑥→2
𝑓 𝑥 = 𝑓 2 ⇒ lim
𝑥→2
−𝑥 + 4 = 2
𝑦
𝑥
Se a variável 𝒙 se aproxima de 𝒂 e os valores 𝑦 =
𝑓 𝑥 se aproximam de um valor real 𝑳, dizemos
que: a função 𝑦 = 𝑓 𝑥 tem limite 𝑳 ou “tende a” 𝑳,
quando 𝑥 tende para 𝑎.
Notação: lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿
Note que, dado 𝜖 > 0, existe 𝛿 > 0 tal que 
𝑥 − 𝑎 < 𝛿 e 𝑥 ≠ 𝑥0 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜖
𝑎
𝐿
𝑓 𝑥1
𝑥1
𝑦 = 𝑓 𝑥𝑦
𝑥
LIMITE DE FUNÇÃO REAL COM
UMA VARIÁVEL REAL
TEOREMA DA EXISTÊNCIA DO LIMITE
Dada uma função 𝑦 = 𝑓 𝑥 , dizemos que existe o
limite de 𝑓 𝑥 quando 𝑥 tende ao ponto 𝑎 , se
existirem e forem iguais os limites laterais à
direita e a esquerda de 𝑎, isto é:
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿 ⟺
lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = 𝐿
lim
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = 𝐿
Exemplo 2. Considere a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3. 
Determine, caso exista, lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 . 
LIMITE DE FUNÇÃO
lim
𝑥→0−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→0−
2𝑥 + 3 = 3
lim
𝑥→0+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→0+
2𝑥 + 3 = 3
Portanto 
lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 = 3
𝑥
𝑦
Exemplo 3. Considere a função 𝑓 𝑥 = ቊ
2, se 𝑥 ≤ 0
𝑥2 + 1, se 𝑥 > 0
Determine, caso exista, lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 . 
LIMITE DE FUNÇÃO
lim
𝑥→0−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→0−
2 = 2
lim
𝑥→0+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→0+
𝑥2 + 1 = 1
Uma vez que lim
𝑥→0−
𝑓 𝑥 = 2 ≠ 1 = lim
𝑥→0+
𝑓 𝑥 temos
que ∄ lim
𝑥→0
𝑓 𝑥
Parte 1
•Limites
•Definição de vizinhança e limite
•Limites laterais
•Limite de função real com uma
variável real
•Teorema da existência do limite
Parte 2
•Limite de funções elementares 
(polinomiais, potência, n-ésima
raiz, exponencial, logarítmica e 
trigonométrica)
•Propriedades de limites
•Indeterminações
Se 𝑚, 𝑎 𝜖 ℝ, então lim
𝑥→𝑎
𝑚𝑥 + 𝑏 = 𝑚 ∙ 𝑎 + 𝑏
• Portanto, para calcular o limite da função linear, 𝑓(𝑥) =
𝑚𝑥 + 𝑏, quando 𝑥 → 𝑎, basta substituir a variável 𝑥 pelo
valor aproximado 𝑎.
• Observações:
a) Fixando 𝒎 = 𝒄 uma constante e 𝒃 = 𝟎 temos:
lim
𝑥→𝑎
𝑐𝑥 + 0 = lim
𝑥→𝑎
𝑐𝑥 = 𝑐 ∙ 𝑎 ⇒ lim
𝑥→𝑎
𝑐𝑥 = 𝑐 ∙ 𝑎
b) Fixando 𝒎 = 𝟎 e 𝒃 = 𝒌, 𝒌 é uma constante, temos:
lim
𝑥→𝑎
0𝑥 + 𝑘 = lim
𝑥→𝑎
𝑘 = 𝑘 ⇒ lim
𝑥→𝑎
𝑘 = 𝑘
“o limite da constante é a própria constante”.
LIMITE DAS FUNÇÕES ELEMENTARES
Se 𝑛 𝜖 ℕ, então 
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑛
= 𝑓 𝑎
𝑛
• Exemplo 4.
a) Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥2, quando 𝑥 → 3 temos que:
lim
𝑥→3
𝑥2 = 32 = 9
b) Seja 𝑓 𝑥 =
3𝑥−1 3
125
, quando 𝑥 → 2 temos que :
lim
𝑥→2
3𝑥−1 3
125
=
3∙2−1 3
125
= 1
LIMITE DA POTÊNCIA
Dada a função 𝑦 =
𝑛
𝑓 𝑥 , se 𝑛 é par e 𝑓 𝑎 > 0, ou
𝑛 é ímpar, então:
lim
𝑥→𝑎
𝑛
𝑓 𝑥 =
𝑛
𝑓 𝑎
• Exemplo 5.
a) Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 5, quando 𝑥 → −2 temos que:
lim
𝑥 →−2
𝑥2 + 5 = −2 2 + 5 = 4 + 5 = 9 = 3
b) Seja 𝑓 𝑥 =
3
3𝑥2 − 1, quando 𝑥 → 0 temos que :
lim
𝑥 → 0
3
3𝑥2 − 1 =
3
3 ∙ 02 − 1 =
3
−1 = −1
LIMITE DA N-ÉSIMA RAIZ
Seja 𝑏 ∈ ℝ+ e 𝑏 ≠ 1, então:
lim
𝑥→𝑎
𝑏𝑓 𝑥 = 𝑏𝑓 𝑎
• Em particular, se 𝑏 = 𝑒 = 2,71…, temos:
lim
𝑥→𝑎
𝑒𝑓 𝑥 = 𝑒𝑓 𝑎
• Exemplo 6. 
a) Seja 𝑓 𝑥 = 23𝑥−1, quando 𝑥 → 1 temos que:
lim
𝑥 → 1
23𝑥−1 = 23∙1−1 = 23−1 = 22 = 4
b) Seja 𝑓 𝑥 = 𝑒3𝑥−1, quando 𝑥 → 1
3
temos que :
lim
𝑥 →1/3
𝑒3𝑥−1 = 𝑒3∙
1
3
−1 = 𝑒1−1 = 𝑒0 = 1
LIMITE DA EXPONENCIAL
Seja 𝑏 ∈ ℝ+ e 𝑏 ≠ 1, então, se 𝑓 𝑥 > 0:
lim
𝑥→𝑎
log𝑏 𝑓 𝑥 = log𝑏 𝑓 𝑎 , 𝑓 𝑎 > 0
• Em particular, se a base 𝑏 = 𝑒 = 2,71… (n. de 
Euler), temos:
lim
𝑥→𝑎
ln 𝑓 𝑥 = ln 𝑓 𝑎 , 𝑓 𝑎 > 0
• Exemplo 7.
a) Seja 𝑓 𝑥 = log 𝑥2, quando 𝑥 → 10 temos que:
lim
𝑥 → 10
log 𝑥2 = log 10
2
= log 10 = 1
b) Seja 𝑓 𝑥 = ln 5𝑥 − 4 , quando 𝑥 → 1 temos que :
lim
𝑥 → 1
ln 5𝑥 − 4 = ln 5 ∙ 1 − 4 = ln 1 = 0
LIMITE DO LOGARITMO
Função Seno:
lim
𝑥→𝑎
sen 𝑓 𝑥 = sen 𝑓 𝑎
Função Cosseno:
lim
𝑥→𝑎
cos 𝑓 𝑥 = cos 𝑓 𝑎
Função Tangente:
lim
𝑥→𝑎
tg 𝑓 𝑥 = tg 𝑓 𝑎 , com 𝑓 𝑎 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋
LIMITE DAS TRIGONOMÉTRICAS
Para o polinômio de grau 𝑛, 𝑛 ∈ ℕ, dado por:
𝑝𝑛 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0
temos que:
lim
𝑥→𝑎
𝑝𝑛 𝑥 = 𝑝𝑛 𝑎
LIMITE DE POLINÔMIOS
PROPRIEDADES DE LIMITES
LIMITE DA SOMA E DIFERENÇA
lim
𝑥→𝑎
𝑓 ± 𝑔 𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ± lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
LIMITE DO PRODUTO
lim
𝑥→𝑎
𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
LIMITE DO QUOCIENTE
lim
𝑥→𝑎
𝑓
𝑔
𝑥 =
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
, lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 ≠ 0
INDETERMINAÇÕES
Calcule o limite da função 𝑓 𝑥 =
2𝑥−2
𝑥−1
quando 𝑥 →
1.
Solução:
lim
𝑥→1
2𝑥 − 2
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
2 𝑥 − 1
𝑥 − 1
= 2
Para tratar as indeterminações, pode-se mani-
pular algebricamente e simplificar as expressões 
eliminando as indeterminações.
3ª. LISTA DE EXERCÍCIOS