ATIVIDADE A2 - Calculo Numérico Computacional

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ATIVIDADE A2
1 – Uma das aplicação dos métodos numéricos é o cálculo de raízes de funções. Ao utilizar o método de Newton, calcule a quinta () aproximação da raiz positiva da função . Para tanto, isole a raiz em um intervalo  ( e  naturais) de comprimento 1, isto é, . Note que, ao determinar a raiz positiva da função dada, você estará calculando uma aproximação para a raiz quadrada de 10. Assinale a alternativa que apresenta o valor correto de .
R: 
2 – Frequentemente, precisamos encontrar raízes de funções/equações associadas a problemas da Engenharia/Ciência. Um problema clássico é a determinação das órbitas dos satélites. A equação de Kepler, usada para determinar órbitas de satélites, é dada por:
Suponha que sejam conhecidos  e . Usando o método da iteração linear, calcule a raiz da equação dada, com uma tolerânciae o menor número possível de iterações. Para isso, isole a raiz num intervalo  de comprimento 1, ou seja, ( e  naturais) e .
FRANCO, N. M. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006.
Assinale a alternativa correta.
R: 0,8176584.
3 – Uma fábrica de alimentos deseja confeccionar uma embalagem para uma bebida para exportação. A embalagem deve ser um veículo em formato de paralelepípedo que possui as seguintes proporções:
Em que x, y e z são as dimensões da embalagem. Para  manter a proporção, a dimensão z deve ser uma soma de um múltiplo da dimensão x com 1, pois a empresa precisa deixar uma parte da embalagem reservada para informações do produto que são exigidas por lei.  Além disso, a empresa deseja que o volume da embalagem seja igual a 500 ml, ou seja, 500 . Diante da situação apresentada e utilizando o método de Newton, considerando a tolerância  e o menor número possível de iterações, determine a dimensão x da embalagem, usando  como intervalo inicial que contém a raiz. Assinale a alternativa correta.
R: 
4 – Um dos métodos numéricos usado na resolução de equações/funções é o método da iteração linear, também conhecido como método do ponto fixo. A partir da utilização do método citado, calcule  em relação à sequência de raízes aproximadas da raiz da função  no intervalo de . Para tanto, faça  e escolha uma função de iteração apropriada. Assinale a alternativa correta.
R: 0,006486.
5 – Isolando a raiz positiva da função  em um intervalo  ( e  naturais) de comprimento 1, isto é,  e utilizando o método da Iteração Linear, calcule a terceira ( ) aproximação para esta raiz. Calcule  e escolha uma função de iteração  apropriada. Assinale a alternativa correta.
R: 1,08125569.
6 – O número de bilhões de indivíduos de determinada bactéria poluente está decaindo em função do tempo t (a partir de t=0), em um lago por intermédio da função . Aplique o método de Newton com uma tolerância  e o menor número possível de iterações para estimar o tempo necessário que a quantidade de bactérias seja reduzida para 5 bilhões de indivíduos. Assinale a alternativa correta.
R: 2,12967481. 
7 – Vamos considerar um problema físico de estática: uma plataforma está fixada em uma janela de madeira por meio de uma dobradiça, em que momento é calculado por ,   é o  ângulo da plataforma com a horizontal e k é uma constante positiva. A plataforma é feita de material homogêneo, seu peso é P e sua largura é l. Modelando o problema, podemos mostrar que com . A partir do método de Newton, com uma tolerância  e o menor número possível de iterações, determine o valor de para l=1 m, P=400 N, k=50 Nm/rad, sabendo que o sistema está em equilíbrio. Assinale a alternativa que corresponde ao valor correto de .
R: .
8 – Antes de aplicarmos o método de Newton para refinamento das raízes de uma função, devemos realizar o isolamento das raízes por meio do método gráfico. Nesse sentido, suponha que esse trabalho inicial foi realizado e determinamos que . Dessa forma, considere a função  e uma tolerância . Ao utilizarmos o método de Newton, assinale a alternativa que corresponde ao número mínimo de iterações necessárias para encontrarmos uma raiz  pertencente ao intervalo .
R: 5
9 – Quando desejamos determinar a raiz de uma função com precisão elevada, podemos utilizar o método de Newton. Sendo assim, considere a função  e uma tolerância . Utilizando o método de Newton, calcule qual o número mínimo de iterações necessárias para encontrar uma raiz  pertencente ao intervalo [2,7;3,3]. Assinale a alternativa correta.
R: 3
10 – Frequentemente, precisamos encontrar raízes de funções/equações associadas a problemas da Engenharia/Ciência. Um problema clássico é a determinação das órbitas dos satélites. A equação de Kepler, usada para determinar órbitas de satélites, é dada por:
Suponha que sejam conhecidos  e . Usando o método da iteração linear, calcule o número mínimo de iterações necessárias para determinar a raiz da equação dada, com uma tolerância. Para isso, isole a raiz num intervalo  de comprimento 1, ou seja, ( e  naturais) e .  Assinale a alternativa correta.
FRANCO, N. M. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006.
R:6