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Matemática Financeira AD1 2a/2022
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Avaliação a Distância 1 – AD1 – 2a/2022
Questão 1 [2, 0pts] Um investidor aplicou metade do seu capital à taxa de 26% ao semestre no
regime de juros compostos e a outra metade à taxa de 13% ao quadrimestre no sistema de juros
simples e obteve ao final de um ano um montante de R$ 4.200, 00. Qual o capital inicial deste
investidor?
Solução: Sendo 2C o valor do capital aplicado, metade a i1 = 0, 26a.s. por n1 = 2 semestres e
a outra metade a i2 = 0, 13a.q. por n2 = 3 quadrimestres. A soma dos montantes M1 e M2 fica
4 200, 00. Assim
M1 = C(1 + 0, 26)2 = 1, 5876C e M2 = C + C · 0, 13 · 3 = C(1 + 0, 39).
Daí,
M1 + M2 = 4 200⇒ (1, 5876 + 1, 39)C = 4 200⇒ C = 1410, 53.
Portanto, o capital inicial era de 2C = R$ 2 821, 06.
Questão 2 [2, 0pts] Determine o montante de um principal de R$ 4 600, 00 em cinco meses e 13
dias, a juros de 0, 52% ao mês.
(a) pela convenção exponencial;
(b) pela convenção linear
Solução: a)
4.600(1 + 0, 0052)5+ 1330 = 4.600(1 + 0, 0052) 16330 = 4 731, 47.
b) Para a convenção linear temos
4.600(1+0, 0052)5+4.600(1+0, 0052)5×0, 005230 ×13 = 4.600(1+0, 0052)
5
(
1 + 0, 067630
)
= 4 731.49.
Questão 3: [2, 0pts] Dois jogadores apostam cada um R$ 100, 00. E jogam com uma moeda
justa uma partida de cara e coroa. Quando saia uma cara o jogador A ganhava um ponto, quando
saia uma coroa o jogador B ganhava um ponto. Quando o jogo estava com o placar de 7 a 5 para
o jogador A, o jogo foi interrompido. Qual seria a forma justa de dividir o dinheiro? (Dica: visite o
site https://www.blogs.unicamp.br/m3/pascal-fermat-pele-e-um-jogo-interrompido/)
Solução: Vence o jogo aquele jogador que alcançar em primeiro lugar o número N de pontos. Para
facilitar digamos que N = 10. A ideia é imaginar o que poderia acontecer se o jogo continuasse. Por
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exemplo se na próxima rodada saísse uma cara CA então o jogador A teria 8 ou o jogador B ficaria
com 5... Observe que o jogador A precisa obter mais 3 = 10− 7 pontos para vencer e o jogador B
precisa obter 5 = 10− 5. Logo se o jogo continuasse até o lance 7 = 3 + 5− 1 com certeza um dos
jogadores teria vencido. Veja uns exemplos:
CAcocoCACAcoco→ vence o jogador A, cococoCAcoCAco→ vence o jogador B.
Agora precisamos contar entre as 27 = 128 possibilidades aquelas que aparecem 3 ou mais caras.
Para isso considere sete espaços em branco
_______
Agora considere a primeira CA temos 7 posições para escolher, depois a segunda CA teremos apenas
6 posições e por fim a terceira CA terá apenas 5 posições. Observe ainda que se a primeira CA esta
na posição 3 e a segunda CA na posição 4, daria o mesmo resultado se tomássemos a primeira CA
e colocássemos na posição 4 e a segunda CA na posição 3. Portanto estamos contando 3 · 2 · 1 = 6
vezes em excesso. Esta conta é
7 · 6 · 5
3 · 2 · 1 =
7!
3!(7− 3)! =
(
7
3
)
.
Agora se houver 4 CA temos
(
7
4
)
possibilidades. Se houver 5 CA temos
(
7
5
)
possibilidades e por fim
se houver 6 ou 7 CA teremos
(
7
6
)
,
(
7
7
)
possibilidades, respectivamente.
Portanto, a quantidade de dinheiro que cabe ao jogador A será dada por
200 ·
(
7
3
)
+
(
7
4
)
+
(
7
5
)
+
(
7
6
)
+
(
7
7
)
27 = 200 ·
35 + 35 + 21 + 7 + 1
128 = 154, 688
Portanto, o jogador A deve receber R$ 154, 69 e o jogador B deve receber R$ 45, 31.
No caso geral, chamando n1 = N − 7 e n2 = N − 5, temos que se jogarmos m = n1 + n2 − 1 =
(N − 7) + (N − 5)− 1 = 2N − 13, com certeza o jogo estará concluído. Nesta situação, o jogador
A deve receber
200 ·
∑m
r=n1
(
m
r
)
2m
O jogador B recebe a diferença.
Questão 4: [2, 0pts] Um bem, cujo valor hoje é de R$ 120 000, 00, desvaloriza-se com o tempo,
de tal forma que daqui quatro anos seu valor residual será nulo. Supondo a depreciação a cada ano
seja constante, pode-se determinar o valor do bem daqui a um, dois ou três anos. Esse é o chamado
método da linha reta para o calculo da depreciação.
Solução: Considere a Progressão Aritmética de razão −120 0004 , logo seu termo geral será
Vn = 120 000− 30 000n.
Daí, V1 = 90 000, V2 = 60 000 e V3 = 30 000.
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Questão 5: [2, 0pts] Um bem, cujo valor é de V0, desvaloriza-se com o tempo de tal forma que
o seu valor residual daqui n anos será Vn. Seja Vk o valor daqui k anos, 0 ≤ k ≤ n.
a) Supondo uma depreciação acelerada de modo que as depreciações V1−V0, V2−V1, . . . , Vn−Vn−1
sejam diretamente proporcionais aos números n, n − 1, . . . , 1. Determine Vk. Esse é o chamado
método de Cole.
b) Um bem, cujo valor hoje é de R$ 120 000, 00, desvalorizando-se de modo que em quatro anos
seu valor reduzirá a R$ 20 000, 00. Estime, pelo método de Cole, o valor do bem daqui a um, dois
e três anos.
c) Refaça o item a) supondo uma depreciação retardada de modo que as depreciações V1− V0, V2−
V1, . . . , Vn − Vn−1 sejam diretamente proporcionais aos números 1, 2, . . . , n. Determine Vk.
Solução: a) Recordamos que: duas grandezas são diretamente proporcionais quando elas se
relacionam de forma proporcional e direta. Isso significa que, em uma situação envolvendo essas
grandezas, se uma delas aumentar o seu valor, a outra aumentará também na mesma proporção.
Recorde ainda que se a
b
e c
d
são números racionais, tais que a
b
= c
d
, então vale a
b
= a+c
b+d =
c
d
. Veja que
Vn−V0 = (V1−V0)+(V2−V1)+ · · ·+(Vn−Vn−1) e chame de s = 1+2+ · · ·+n =
∑n
i=1 i =
n(n+1)
2 .
V1 − V0 → n
V2 − V1 → n− 1
...
...
Vn − Vn−1 → 1
Vn − V0 → s =
∑n
i i
Vamos tentar obter uma fórmula para Vk, para isso considere
s (V1 − V0) = n (Vn − V0)⇒ V1 = V0 −
n
s
(Vn − V0)
s (V2 − V1) = (n− 1) (Vn − V0)⇒ V2 = V1 +
n− 1
s
(Vn − V0) = V0 +
(
n
s
+ n− 1
s
)
(Vn − V0)
s (V3 − V2) = (n− 2) (Vn − V0)⇒ V3 = V2 +
n− 2
s
(Vn − V0) = V0 +
(2n− 1
s
+ n− 2
s
)
(Vn − V0)
De onde podemos concluir que
Vk = V0 +
kn− k2+k2
s
(Vn − V0) = V0 +
k(2n− k + 1)
n(n + 1) (Vn − V0)
Uma pequena observação: quando Roger Cole bolou esse método, pensou assim: nos primeiros anos
de vida útil de um bem, o proprietário gasta pouco com manutenção corretiva (afinal, o bem é novo
e quase não quebra); nos últimos anos, gasta mais (o bem está mais velho e quebra com maior
frequência). Logo, seria bom se ele ”gastasse´´ mais com depreciação nos primeiros anos, e menos
nos últimos anos. Assim, a soma da despesa com depreciação com a despesa com manutenção ficaria
mais ou menos constante ao longo dos anos, visto que uma das parcelas diminuiria com o tempo,
enquanto a outra aumentaria.
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b) Vamos aplicar a fórmula que obtivemos no item a) e calculando obtemos Vk = 100000−4000(9−
k)k. Daí, V1 = 80 000, V2 = 50 000 e V3 = 30 000.
c) Usando o raciocínio do item a) obtemos Vk = V0 + k(k+1)n(n+1) (Vn − V0).
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