AD1_matematicafinanceira_2023_2

Prévia do material em texto

Matemática Financeira AD1 2a/2023
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Avaliação a Distância 1 – AD1 – 2a/2023
Questão 1 [2, 0pts] Um aumento de 10% seguido de um desconto de 20% equivale a um único
desconto de quanto?
Solução: Digamos que o valor inicial era 100. Aumentado 10% teremos 110. diminuindo 20%,
isto é, 110(1− 2/10) = 100(1 + 1/10)(1− 2/10) = 88, portanto, 100− 88 = 12. Portanto, sofreu
um desconto de 12%.
Questão 2: [2, 0pts] Dois jogadores apostam cada um R$ 100, 00. E jogam com uma moeda
justa uma partida de cara e coroa. Quando saia uma cara o jogador A ganhava um ponto, quando
saia uma coroa o jogador B ganhava um ponto. Quando o jogo estava com o placar de 7 a 5 para
o jogador A, o jogo foi interrompido. O jogo acaba quando um jogador alcançar 13 pontos. Qual
seria a forma justa de dividir o dinheiro? (Dica: visite o site https://www.blogs.unicamp.br/
m3/pascal-fermat-pele-e-um-jogo-interrompido/)
Solução: Como 13 é um caso um pouco grande. Vamos supor que vence o jogo aquele jogador que
alcançar em primeiro lugar o número N de pontos. Digamos que inicialmente N = 10. A ideia é
imaginar o que poderia acontecer se o jogo continuasse. Por exemplo, se na próxima rodada saísse
uma cara CA então o jogador A teria 8 e o jogador B ficaria com 5... No momento que o jogo
é interrompido o jogador A precisa obter mais 3 = 10 − 7 pontos, já o jogador B precisa obter
5 = 10 − 5 pontos para vencer o jogo. Logo se o jogo continuasse até o lance 7 = 3 + 5 − 1 com
certeza um dos jogadores teria vencido. Veja dois exemplos de como o jogo poderia se desenrolar:
. . . CAcocoCACAcoco→ vence o jogador A, . . . cococoCAcoCAco→ vence o jogador B.
Agora precisamos contar entre as 27 = 128 possibilidades aquelas que aparecem 3 ou mais caras.
Para isso considere sete espaços em branco
_______
Agora considere a primeira CA temos 7 posições para escolher, depois a segunda CA teremos apenas
6 posições e por fim a terceira CA terá apenas 5 posições. Observe ainda que se a primeira CA esta
na posição 3 e a segunda CA na posição 4, daria o mesmo resultado se tomássemos a primeira CA
e colocássemos na posição 4 e a segunda CA na posição 3. Portanto estamos contando 3 · 2 · 1 = 6
vezes em excesso. Esta conta é
7 · 6 · 5
3 · 2 · 1 =
7!
3!(7− 3)! =
(
7
3
)
.
Agora se houver 4 CA temos
(
7
4
)
possibilidades. Se houver 5 CA temos
(
7
5
)
possibilidades e por fim
se houver 6 ou 7 CA teremos
(
7
6
)
,
(
7
7
)
possibilidades, respectivamente.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Matemática Financeira AD1 2a/2023
Portanto, a quantidade de dinheiro que cabe ao jogador A será dada por
200 ·
(
7
3
)
+
(
7
4
)
+
(
7
5
)
+
(
7
6
)
+
(
7
7
)
27 = 200 ·
35 + 35 + 21 + 7 + 1
128 = 154, 688
Portanto, o jogador A deve receber R$ 154, 69 e o jogador B deve receber R$ 45, 31.
No caso geral, chamando n1 = N − 7 e n2 = N − 5, temos que se jogarmos m = n1 + n2 − 1 =
(N − 7) + (N − 5)− 1 = 2N − 13, com certeza o jogo estará concluído. Nesta situação, o jogador
A deve receber
200 ·
∑m
r=n1
(
m
r
)
2m
O jogador B recebe a diferença.
Voltando para a nossa situação temos que n1 = 6 = 13 − 7 e n2 = 8 = 13 − 5, temos que se
jogarmos mais 13 = m = n1 + n2 − 1, com certeza o jogo estará concluído. Nesta situação, o
jogador A deve receber
200 ·
∑13
r=6
(
13
r
)
213 = 141, 895.
Portanto, o jogador A deve receber R$ 141, 90 e o jogador B deve receber R$ 58, 10.
Questão 3 [2, 0pts] Um garrafão contém p litros de vinho. Retira-se um litro de vinho do garrafão
e acrescenta-se um litro de água, obtendo-se uma mistura homogênea; retira-se, a seguir, um litro da
mistura e acrescenta-se um litro de água, assim por diante. Qual a quantidade de vinho que restará
após n desses procedimentos?
Solução: Iniciamos com o garrafão contendo p litros de vinho, na primeira etapa, o garrafão terá
p− 1 litros de vinhos. Já na próxima etapa, teremos a quantidade de vinho menos a que é retirada
ao se retirar 1 litro da mistura de água e vinho, isto é, p − 1 − p−1
p
. Esse processo deve continuar
indefinidamente, isto é, a quantidade na próxima etapa será a quantidade de vinho que tínhamos
menos 1
p
desta quantidade. As contas ficam grandes. Para facilitar o raciocínio, considere que temos
vn quantidade litros de vinho na mistura homogênea n-ésima etapa. Logo
vn+1 = vn −
vn
p
= vn
(
1− 1
p
)
Isto quer dizer que a sequência que estamos procurando é uma PG de razão 1− 1
p
. Observe que
v2 = p− 1−
p− 1
p
= (p− 1)
(
1− 1
p
)
.
Sabemos que uma PG que inicia em a1 com razão q tem o seu n-ésimo termo dado por an = a1qn−1,
portanto, a nossa PG tem o seu termo geral dado por
vn = (p− 1)
(
1− 1
p
)n−1
= (p− 1)
n
pn−1
.
Questão 4: [2, 0pts] Um bem, cujo valor hoje é de R$ 80 000, 00, desvaloriza-se com o tempo,
de tal forma que daqui oito anos seu valor residual será nulo. Supondo a depreciação a cada ano seja
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Matemática Financeira AD1 2a/2023
constante, pode-se determinar o valor do bem daqui a três, quatro e cinco anos. Esse é o chamado
método da linha reta para o calculo da depreciação.
Solução: Considere a Progressão Aritmética de razão −80 0008 , logo seu termo geral será
Vn = 80 000− 10 000n.
Daí, V3 = 50 000, V4 = 40 000 e V5 = 30 000.
Questão 5: [2, 0pts] Um bem, cujo valor é de V0, desvaloriza-se com o tempo de tal forma que
o seu valor residual daqui n anos será Vn. Seja Vk o valor daqui k anos, 0 ≤ k ≤ n.
a) Supondo uma depreciação acelerada de modo que as depreciações V1−V0, V2−V1, . . . , Vn−Vn−1
sejam diretamente proporcionais aos números n, n − 1, . . . , 1. Determine Vk. Esse é o chamado
método de Cole.
b) Um bem, cujo valor hoje é de R$ 140 000, 00, desvalorizando-se de modo que em quatro anos
seu valor reduzirá a R$ 40 000, 00. Estime, pelo método de Cole, o valor do bem daqui a dois, três
e quatro anos.
b) Refaça o item a) supondo uma depreciação retardada de modo que as depreciações V1−V0, V2−
V1, . . . , Vn − Vn−1 sejam diretamente proporcionais aos números 1, 2, . . . , n. Determine Vk.
Solução: a) Recordamos que: duas grandezas são diretamente proporcionais quando elas se relacio-
nam de forma proporcional e direta. Isso significa que, em uma situação envolvendo essas grandezas,
se uma delas aumentar o seu valor, a outra aumentará também na mesma proporção.
Recorde ainda que se a
b
e c
d
são números racionais, tais que a
b
= c
d
, então vale a
b
= a+c
b+d =
c
d
. Veja que
Vn−V0 = (V1−V0)+(V2−V1)+ · · ·+(Vn−Vn−1) e chame de s = 1+2+ · · ·+n =
∑n
i=1 i =
n(n+1)
2 .
V1 − V0 → n
V2 − V1 → n− 1
...
...
Vn − Vn−1 → 1
Vn − V0 → s =
∑n
i i
Vamos tentar obter uma fórmula para Vk, para isso considere
s (V1 − V0) = n (Vn − V0)⇒ V1 = V0 −
n
s
(Vn − V0)
s (V2 − V1) = (n− 1) (Vn − V0)⇒ V2 = V1 +
n− 1
s
(Vn − V0) = V0 +
(
n
s
+ n− 1
s
)
(Vn − V0)
s (V3 − V2) = (n− 2) (Vn − V0)⇒ V3 = V2 +
n− 2
s
(Vn − V0) = V0 +
(2n− 1
s
+ n− 2
s
)
(Vn − V0)
De onde podemos concluir que
Vk = V0 +
kn− k2+k2
s
(Vn − V0) = V0 +
k(2n− k + 1)
n(n + 1) (Vn − V0)
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Matemática Financeira AD1 2a/2023
Uma pequena observação: quando Roger Cole bolou esse método, pensou assim: nos primeiros anos
de vida útil de um bem, o proprietário gasta pouco com manutenção corretiva (afinal, o bem é novo
e quase não quebra); nos últimos anos, gasta mais (o bem está mais velho e quebra com maior
frequência). Logo, seria bom se ele ”gastasse´´ mais com depreciação nos primeiros anos, e menos
nos últimos anos. Assim, a soma da despesa com depreciação com a despesa com manutenção ficaria
mais ou menos constante ao longo dos anos, visto que uma das parcelas diminuiria com o tempo,
enquanto a outra aumentaria.
b) Vamos aplicar a fórmula que obtivemos no item a) e calculando obtemos Vk = 140 000 −
100 000/20(9− k)k. Daí, V2 = 70 000, V3 = 50 000 e V4 = 40 000.
c) Usando o raciocínio do item a) obtemos Vk= V0 + k(k+1)n(n+1) (Vn − V0).
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ