14 Potenciação

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POTENCIAÇÃO 
 
 
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Potenciação 
A potenciação ou exponenciação é a operação matemática que representa a multiplicação de fato-
res iguais. Ou seja, usamos a potenciação quando um número é multiplicado por ele mesmo várias 
vezes. 
Para escrever um número na forma de potenciação usamos a seguinte notação: 
 
Sendo a ≠ 0, temos: 
a: Base (número que está sendo multiplicado por ele mesmo) 
n: Expoente (número de vezes que o número é multiplicado) 
Para melhor entender a potenciação, no caso do número 23 (dois elevado a terceira potência ou dois 
elevado ao cubo), tem-se: 
23 = 2 x 2 x 2 = 4 x 2 = 8 
Sendo, 
2: Base 
3: Expoente 
8: Potência (resultado do produto) 
Exemplos de Potenciação 
52: lê-se 5 elevado à segunda potência ou 5 ao quadrado, donde: 
5 x 5 = 25 
Logo, 
A expressão 52 equivale a 25. 
33: lê-se 3 elevado à terceira potência ou 3 ao cubo, donde: 
3 x 3 x 3 = 27 
Logo, 
A expressão 33 equivale a 27. 
Propriedades da Potenciação 
 Toda potência com expoente igual a zero, o resultado será 1, por exemplo: 50=1 
 Toda potência com expoente igual 1, o resultado será a própria base, por exemplo: 81 = 8 
 Quando a base for negativa e o expoente um número ímpar, o resultado será negativo, por 
exemplo: (- 3)3 = (- 3) x (- 3) x (- 3) = - 27. 
 Quando a base for negativa e o expoente um número par, o resultado será positivo, por 
exemplo: (- 2)2 = (- 2) x (- 2) = +4 
 Quando o expoente for negativo, inverte-se a base e muda-se o sinal do expoente para posi-
tivo, por exemplo: (2)- 4 = (1/2)4 = 1/16 
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 Nas frações, tanto o numerador quanto o denominador ficam elevados ao expoente, por 
exemplo: (2/3)3 = (23 / 33) = 8/27 
Multiplicação e Divisão de Potências 
Na multiplicação das potências de bases iguais, mantém-se a base e soma-se os expoentes: 
ax . ay = ax+y 
52.53= 52+3= 55 
Na Divisão das potências de bases iguais, mantém-se a base e subtrai-se os expoentes: 
(ax) / (ay) = ax-y 
(53) / (52) = 53-2 = 51 
Quando a base está entre parênteses e há outro expoente fora (potência de potência), mantém-se a 
base e multiplica-se os expoentes: 
(ax)y = ax.y 
(32)5= 32.5 = 310 
Potenciação: Propriedades e Exemplos 
Potenciação ou exponenciação é a forma de abreviar a multiplicação de uma sequência de fatores 
iguais. 
Dessa forma, quando multiplicamos um número sucessivas vezes, podemos abreviar elevando-o a 
quantidade de vezes que o número é multiplicado. 
Definição de potenciação 
Seja um número real a e um número natural n, com n > 1, chamamos de potência de base a e expo-
ente n o número an, isto é, o produto de n fatores iguais a a. 
 
Exemplo: 
 a² = a.a, com n = 2; 
 a³ = a.a.a, com n = 3; 
 a5 = a.a.a.a.a, com n = 5; 
Chamamos a de base e n de expoente, e a multiplicação sucessiva após a igualdade chamamos de 
potência. 
A base nesse caso é o número que se repete, o expoente é a quantidade de vezes que esse número 
se repetiu e a potência é o resultado. 
Potência com expoente negativo 
Seja a um número real diferente de zero, e n um número natural, chamamos de potência de base a e 
expoente -n o número a-n, que é o número inverso de an. 
 
Exemplo: 
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Seja a multiplicação 3 x 3 x 3 x 3, temos uma sequência do número 3 multiplicado 4 vezes. Assim, po-
demos simplificar da seguinte forma: 
 
Leia-se: três elevado a quatro é igual a oitenta e um 
onde, 3 é o número multiplicado e 4 a quantidade de vezes que ele foi multiplicado. 
Agora com expoente negativo. 
 
Outros tipos de potência 
Expoente inteiro maior que 1. 
Neste caso é o produto de vários fatores iguais à base de acordo com quantas forem as unidades do 
expoente. 
Exemplo: 
 4³ = 4 x 4 x 4 = 64 
 5² = 5 x 5 = 25 
Expoente igual a 1. 
Neste caso, todas as potências com expoente 1 é igual a base. Logo: 
 a¹ = a 
Exemplo: 
 2¹ = 2; 
 25¹ = 25 
Expoente igual a zero. 
Neste caso, todas as potências com expoente igual a zero é igual a 1. Logo: 
 a0 = 1 
Exemplo: 
 30 = 1 
 80 = 1 
Casos particulares de potenciação: 
Sendo n um número inteiro, podemos ter: 
 a = 0 e n > 0 ⇒ an = 0 
 a = 0 e n < 0 ⇒ não existe an ∈ R 
 a > 0 ⇒ an > 0 
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 a < 0 e n par ⇒ an > 0 
 a < 0 e n ímpar ⇒ an < 0 
Propriedades da potenciação 
Considerando as bases a e b números reais, e os números naturais para m e n. Temos as seguintes 
propriedades: 
Qualquer número real elevado ao expoente natural 1 é igual ao próprio número. 
 
Exemplo: 5¹ = 5 
Qualquer número real não-nulo elevado ao expoente natural 0 é igual a 1. 
 
Exemplo: 30 = 1 
Qualquer potência que possui na base o número 1 é igual a 1. 
 
Exemplo: 1100 = 1 
Qualquer potência que tem na base o número 10, o resultado é o número 1 seguido da quantidade de 
zeros, de acordo com o valor do expoente. 
Exemplo: 105 = 100000 
Veja que a quantidade de zeros foi definida pelo expoente 5. 
Um potência com expoente negativo indica que temos uma inversão entre o numerador com o denomi-
nador. 
 
Veja que a potência foi para o denominador sem o sinal, e o numerador é representado pelo número 1 
(oculto) do denominador. 
Uma potência negativa no denominador é equivalente ao numerador vezes o denominador com o sinal 
da potência trocado. 
Exemplo: 
 
e 
 
No primeiro caso o 1 (um) pode ser omitido porque não altera o valor do produto, 1 x 5² = 5² = 25. 
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Propriedades operatórias da potenciação 
É importante conhecer as propriedades operatórias para auxiliar e simplificar os cálculos envolvendo 
potenciação. 
Produto de potências de mesma base 
Ao multiplicar duas ou mais potências de mesma base, devemos proceder da seguinte forma: conser-
var a base e somar os expoentes. 
 am.an = am + n 
Exemplo: 52.53 = 52 + 3 
Divisão de potências de mesma base 
Ao dividirmos potências não-nulas de mesma base, devemos proceder da seguinte forma: conservar a 
base e subtrair os expoentes. 
 
Exemplo: 
 
Base negativa e expoente ímpar 
Quando a base é negativa e o expoente é ímpar o resultado será negativo, veja o jogo de sinais 
em subtração. 
Exemplo: (-2)3 = -8 
Base negativa e expoente par 
Quando a base é negativa e o expoente é par o resultado é positivo, veja o jogo de sinais em subtração. 
Exemplo: (-5)2 = 25 
Potência de potência 
Neste caso, devemos conservar a base e multiplicar os expoentes. 
 
Exemplo: 
 
Potência de um produto 
Devemos atribuir o expoente aos fatores do produto. 
 (a . b)n = (an . bn) 
 Exemplo: (2 . 3)2 = (22 . 32) = 2 . 2 . 3 . 3 = 36 
https://matematicabasica.net/subtracao/#regras-de-opera%C3%A7%C3%A3o-da-subtra%C3%A7%C3%A3o
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Divisão de potências de mesmo expoente 
Numa divisão com expoente devemos elevar tanto o numerador quanto o denominador ao expoente. 
 
Exemplo: 
 
Multiplicação de potências com o mesmo expoente 
Quando multiplicarmos uma potência com o mesmo expoente podemos conservar o expoente e multi-
plicar as bases. 
 (an . bn) = (a . b)n 
 Exemplo: (32 . 22) = (3 . 2)2 
Observação: 
As propriedades que foram apresentadas acima também servem para os expoentes m e n inteiros. 
Exemplos: 
23 . 2-2 = 23 + (-2) = 2¹ 
5-3 . 2-3 = (5 . 2)-3 = 10-3 
 
Casos especiais de potências1. (-a)n e -an 
Essas potências (-a)n e -an geralmente apresentam resultados diferentes, pois: 
(-a)n = (-a) . (-a) . (-a) . … . (-a) (n vezes) 
-an = – (a . a . a . … . a) (n vezes) 
Exemplos: 
o (-2)² = (-2) . (-2) = 4 
o -2² = – (2 . 2) = – 4 
o (-2)³ = (-2) . (-2) . (-2) = -8 
o -2³ = – (2 . 2 . 2) = -8 
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O uso dos parênteses indica que o sinal pertence ao número e deve ser multiplicado junto. 
2. (am)n e amn 
Essas potências (am)n e amn geralmente apresentam resultados diferentes, pois: 
(am)n = (am) . (am) . … . (am) (n vezes) 
e 
am . m . … . m (n vezes) 
Exemplos: 
o (5²)³ = (5²) . (5²) . (5²) = 52.3 = 56 
o 523 = 52 . 2 . 2 = 58 
 
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