P01 QS - Dinâmica de Populações

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Ecologia Vegetal (NHT1073-15) 
ROTEIRO DE PRÁTICA 
P01 – Dinâmica de Populações 
Objetivos 
Verificar a dinâmica de populações com estrutura estável utilizando a álgebra matricial. Serão feitas 
multiplicações de matrizes, observando o crescimento exponencial, e análises de autovalor e autovetor. Os 
modelos matriciais serão construídos com base em diagramas de ciclos de vida para espécies reais, 
observando o comportamento das populações ao longo do tempo. 
A) Análise dos dados no POPULUS 
1. Observe a figura abaixo. Ela mostra o diagrama de ciclo de vida da espécie de cactos ameaçado 
Coryphantha robbinsorum conforme a Figura 5.7 da página 107 do livro da Gurevitch et al. O ciclo de vida 
possui as seguintes classes de desenvolvimento: Jp = juvenil pequeno; Jg = juvenil grande; A = adulto. 
Entre parênteses estão os números de indivíduos. As probabilidades foram extraídas do Quadro 5D da 
página 111 e o número de indivíduos foram extraídos da Figura 5.9 da pág. 112. 
 
 
 
2. Construa este diagrama de ciclo de vida no programa Populus para verificar a dinâmica desta espécie. 
2.1. Clique em Model – Single Species Dynamic – Stage Structured Population Growth 
2.1.1. Adicione ou remova estádios e transições na aba Life-Cycle Graph. Se você clicar e segurar 
em qualquer estádio você pode arrastar o estádio para qualquer posição. 
2.1.1.1. Para remover estádios (círculos) ou transições (linhas) clique em Remove Element e 
depois clique no estádio ou transição que quiser remover. 
2.1.1.1.1. Repare que nas linhas há uma animação mostrando como é o fluxo desta 
transição (origem para destino). 
2.1.1.2. Para adicionar estádios clique em Add Stage e depois clique na tela onde estão outros 
estádios. 
2.1.1.2.1. Uma nova janela irá aparecer. Nela você pode colocar o nome do estádio no 
campo Name, o tamanho da populacional do estádio (vetor populacional) no 
campo Initial Population e a ordem numérica do estádio no campo Stage 
index (já é preenchido automaticamente). 
Jp
(10)
Jg
(5)
A
(2)
Local C – topo da colina
0,560
0,333 0,304
0,434 0,610 0,956
2.1.1.3. Para adicionar transições clique em Add Transition e depois clique no estádio de 
origem da transição e, por fim, no estádio de destino da transição. 
2.1.1.3.1. Uma nova janela é aberta e você pode adicionar o valor daquela transição. 
2.1.2. Para alterar/inserir uma probabilidade dê um clique duplo na mesma. 
2.1.3. Para alterar o número inicial de indivíduos de cada estádio (Nx(0)) dê um clique duplo no 
mesmo. 
2.1.4. Após finalizar o diagrama, veja a matriz na aba Projection Matrix. 
2.1.4.1. Confirme o resultado com a matriz disponibilizada para a subpopulação do Local C no 
Quadro 5D da página 111 do capítulo 5 do livro da Gurevitch et al. Perceba que sua 
matriz é 3x3, pois há três estádios de desenvolvimento. 
2.1.4.2. Se a matriz estiver idêntica ao livro, faça o gráfico de λ vs t utilizando o intervalo de 
tempo igual a 30. 
2.1.4.2.1. Clique em View, no alto da página, e mude o tempo em Number of Time 
Intervals. 
2.1.4.3. Clique em Eigen System. 
2.1.4.3.1. Veja o valor de Eigenvalue (autovalor) dominante que corresponde à taxa de 
crescimento estável da população (λ). 
2.1.4.3.1.1. Compare os valores λ de que você calculou pelo Populus com os 
valores do Quadro 5D da página111. 
2.1.4.3.2. Veja os valores de Eigenvector (autovetor) de cada um dos três estádios de 
desenvolvimento que correspondem aos valores da estrutura etária estável. 
2.1.4.3.2.1. Compare os valores dos autovetores que você calculou pelo Populus 
com os valores dos três locais na Figura 5.8 da pág. 112. 
 
B) Análise dos dados no Excel ou CALC do LibreOffice 
3. Abra o arquivo Din_Pop.xlsx. Observe que há duas planilhas: ‘Coryphantha’ e ‘Incursio speciem’. Agora, 
abra a planilha ‘Coryphantha’. Observe que há uma matriz de projeção em branco (campos B5:D7) a ser 
preenchida da população do Coryphantha robbinsorum do Local C (pag. 111). O vetor também deve ser 
preenchido. 
4. Agora, copie os valores da matriz e do vetor de Coryphantha robbinsorum feitos no Populus para este 
campo que está vazio na matriz de projeção da planilha ‘Coryphantha’. Isto deve ser feito manualmente, 
o Populus não permite que selecione tudo, copie e cole depois. 
5. Vamos fazer a multiplicação da matriz de probabilidades de Coryphantha robbinsorum pelo seu vetor 
populacional que corresponde ao número de indivíduos de cada classe. 
5.1. Faremos a projeção desta espécie até o tempo t20. Multiplique o vetor (número de indivíduos do 
t1) pela matriz de transição. 
5.1.1. Posicione o cursor na célula H5; 
5.1.2. Clique no menu Fórmulas/Inserir Função/MATRIZ.MULT (Excel 2007 ou superior), 
Inserir/Função/MATRIZ.MULT (Excel 2003) ou Inserir/Função/M.MULT (Calc) - escolha a 
função de multiplicação de matrizes; 
5.1.3. Indique, na caixa de diálogo da função, o que deve ser multiplicado: Matriz1 é a matriz de 
transição e a Matriz2 é o vetor da população. 
5.1.3.1. Primeiro multiplique a linha B5:D5 com G5:G7. Clique ‘OK’ para finalizar. 
5.1.3.2. Agora posicione o cursor na célula H6 multiplique a linha B6:D6 com G5:G7. Clique 
‘OK’ para finalizar. 
5.1.3.3. Por fim, posicione o cursor na célula H7 e multiplique a linha B7:D7 com G5:G7. 
Clique ‘OK’ para finalizar. 
5.1.3.3.1. O resultado da multiplicação é um vetor com o número de indivíduos no 
instante de tempo seguinte (t(n+1)) para cada uma das classes. 
5.1.4. Agora, temos que fixar a matriz de projeção para que possamos arrastar a nossa função e 
projetar a população automaticamente. Clique na célula H5 e pressione F2 para abrir a 
fórmula. 
5.1.4.1. Na fórmula de multiplicação de matriz coloque o símbolo de $ no código de seleção 
das colunas e linhas da matriz de transição (de B5:D5 para $B5:$D5) e em seguida 
clique ‘Enter’. Pronto a primeira linha da matriz foi fixada. 
5.1.4.2. Clique na célula H6 e faça o mesmo passo anterior: de B6:D6 para $B6:$D6. 
5.1.4.3. Clique na célula H7 e faça o mesmo passo anterior: de B7:D7 para $B7:$D7. 
5.1.5. Selecione o vetor t2 (H5:H7) e arraste-os horizontalmente até o tempo t20 (ou a coluna 
que deseja projetar a população). 
5.1.5.1. Observe o gráfico criado. Ele é igual ao gráfico apresentado na Figura 5.9 do 
capítulo 5 do livro da Gurevitch et al. 
5.1.6. Calcule o tamanho da população em cada tempo t (utilize o campo Total) 
5.1.6.1. Clique na célula H8 e faça a somatória dos campos H5 até H7. 
5.1.7. Calcule, agora, o valor de λ, conforme fórmula a seguir: 
𝜆 =
𝑁( )
𝑁
 
5.1.7.1. Clique na célula H9 e faça a divisão entre o número de indivíduos no tempo (t+1) e 
o número de indivíduos no tempo (t). Dividir o valor da célula H8 por G8 (=G8/H8). 
5.1.8. Selecione os campos H8:H9 e arraste-os horizontalmente até o tempo t20 (ou a coluna que 
deseja projetar a população). 
5.1.9. Observe os gráficos. 
 
C) Análise da Incursio speciem 
6. Observe abaixo o diagrama do ciclo de vida de uma espécie invasora (Incursio speciem). 
 
 
 
6.1. Neste diagrama são apresentados os valores de cada transição entre os estádios BS (banco de 
sementes), P (plantas pequenas), M (plantas médias) e G (plantas grandes). Os valores entre 
0,0382 0,1847 0,0091 0,022
503,1428
179,4128
8,2499
1,0906
0,0056
22,1805
62,1848
BS P M G
(1838) (389) (2) (1)
parênteses dentro de cada círculo correspondem ao número de indivíduos de cada estádio de 
tamanho. 
6.1.1. A seta preta corresponde à probabilidade de as sementes ficarem dormentes de um ano para 
outro. As setas verdes representam o crescimento entre estádios. As setas azuis 
correspondem à contribuição de cada estádio à formação de um banco de sementes. As setas 
vermelhas indicam o número médio de sementes que germinaram imediatamente. 
6.1.1.1. Semelhante ao que foi apresentado nos itens A e B faça o mesmo para a Incursio 
speciem. 
6.1.1.1.1. Você pode utilizar o Populus para copiar a matriz e o vetor para o Excel ou CALC 
do LibreOffice. Perceba que agora a sua matriz é 4x4, pois há quatroestádios 
de desenvolvimento. 
6.1.1.1.2. Faça a projeção até o tempo t30. 
6.1.1.1.3. Calcule o valor de λ. 
6.1.1.1.4. Visualize os gráficos. Observe que o eixo Y está em escala logarítmica. 
Impressionante, não? 
 
Responda com atenção o questionário de Autoavaliação