Fundamentos de Matemática - MODULO 2

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1
Matemática I
PROF. RONALDO BARBOSA ALVIM
MATEMÁTICA I
VITÓRIA
2009
2
Licenciatura em Informática
Governo Federal
Ministro de Educação
Fernando Haddad
Ifes – Instituto Federal do Espírito Santo
Reitor
Denio Rebello Arantes
Pró-Reitora de Ensino
Cristiane Tenan Schlittler dos Santos
Diretora do CEAD – Centro de Educação a Distância
Yvina Pavan Baldo
Coordenadoras da UAB – Universidade Aberta do Brasil 
Yvina Pavan Baldo
Maria das Graças Zamborlini
Curso de Licenciatura em Informática
Coordenação de Curso
Giovany Frossard Teixeira
Designer Instrucional
Jonathan Toczek Souza
Professor Especialista/Autor
Ronaldo Barbosa Alvim
Catalogação da fonte: Rogéria Gomes Belchior - CRB 12/417
A475m Alvim, Ronaldo Barbosa. 
 Matemática I. / Ronaldo Barbosa Alvim. – Vitória: Instituto Federal de
 Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo, 2009.
 189 p.: il
 1. Matemática - Conjuntos. 2. Matemática - Funções. 3. Matemática - 
 Equações. I.Título.
 CDD 510
DIREITOS RESERVADOS
Ifes – Instituto Federal do Espírito Santo
Av. Vitória – Jucutuquara – Vitória – ES - CEP - (27) 3331.2139
Créditos de autoria da editoração
Capa: Juliana Cristina da Silva
Projeto gráfico: Juliana Cristina e Nelson Torres
Iconografia: Nelson Torres
Editoração eletrônica: Duo Translation
Revisão de texto: 
Zenas Vieira Romano
COPYRIGHT – É proibida a reprodução, mesmo que parcial, por qualquer meio, sem autorização escrita dos 
autores e do detentor dos direitos autorais.
3
Matemática I
Olá, Aluno(a)!
É um prazer tê-lo conosco. 
O Cefetes oferece a você, em parceria com as Prefeituras e com o Governo 
Federal, o Curso de Licenciatura em Informática, na modalidade à dis-
tância. Apesar de este curso ser ofertado à distância, esperamos que haja 
proximidade entre nós, pois, hoje, graças aos recursos da tecnologia da 
informação (e-mails, chat, videoconferênca, etc.), podemos manter uma 
comunicação efetiva.
É importante que você conheça toda a equipe envolvida neste curso: co-
ordenadores, professores especialistas, tutores à distância e tutores pre-
senciais. Assim, quando precisar de algum tipo de ajuda, saberá a quem 
recorrer.
Na EaD - Educação a Distância - você é o grande responsável pelo sucesso 
da aprendizagem. Por isso é necessário que se organize para os estudos e 
para a realização de todas as atividades, nos prazos estabelecidos, confor-
me orientação dos Professores Especialistas e Tutores.
Fique atento às orientações de estudo que se encontram no Manual do 
Aluno!
A EaD, pela sua característica de amplitude e pelo uso de tecnologias 
modernas, representa uma nova forma de aprender, respeitando, sempre, 
o seu tempo.
Desejamos a você sucesso e dedicação!
Equipe do Ifes
4
Licenciatura em Informática
Fala do Professor
Conceitos importantes. Fique atento!
Atividades que devem ser elaboradas por você, 
após a leitura dos textos.
Indicação de leituras complemtares, referentes 
ao conteúdo estudado.
Destaque de algo importante, referente ao 
conteúdo apresentado. Atenção!
Reflexão/questionamento sobre algo impor-
tante referente ao conteúdo apresentado.
Espaço reservado para as anotações que você 
julgar necessárias.
ICONOGRAFIA
Veja, abaixo, alguns símbolos utilizados neste material para guiá-lo em seus estudos
5
Matemática I
MATEMÁTICA I
Cap. 1 - CONJUNTOS E SUBCONJUNTOS 11
1.1 Notação 11
1.2 Conjuntos Finitos e Infinitos 12
1.3 Igualdade de Conjuntos 13
1.4 Conjunto Nulo 13
1.5 Subconjuntos 14
1.6 Subconjunto próprio 14
1.7 Comparabilidade 14
1.8 Demonstração 15
1.9 Conjuntos de conjuntos 15
1.10 Conjunto universal 16
1.11 Conjunto de potência 16
1.12 Conjuntos Disjuntos 16
1.13 Diagrama de Venn 17
1.14 Desenvolvimento axiomático da teoria dos conjuntos 18
1.15 Operações com conjuntos 19
1.15.1 União de Conjuntos 19
1.15.3 Interseção de conjuntos 19
1.15.3 Diferença de conjuntos 20
1.15.4 Complementar de um conjunto 20
1.15.5 Relação entre união e interseção de conjuntos 21
1.15.6 Produto cartesiano 21
1.16 Conjuntos numéricos 22
1.16.1 Conjunto dos números naturais 22
1.16.2 Conjunto dos números inteiros 23
1.16.3 Conjunto dos números racionais 23
1.16.4 Conjunto dos números irracionais 26
1.16.5 Conjunto dos números reais 27
Cap. 2 - RELAÇÕES E FUNÇÕES 37
2.1. Relações reais 38
2.2. Funções 40
2.3. Qualidade de uma função 42
2.4. Função par e ímpar 43
6
Licenciatura em Informática
Cap. 3 - FUNÇÃO POLINOMIAL DO PRIMEIRO GRAU 45
3.1 Modelo da função polinomial do primeiro grau 45
3.2 Significado dos coeficientes 46
3.3 Raízes ou zeros da função polinomial do primeiro grau 47
3.4 Construção da lei da função do primeiro grau 48
3.5 Inequação do primeiro grau 50
Cap. 4 - FUNÇÃO QUADRÁTICA 67
4.1. Modelo da função quadrática 67
4.2.Raízes ou zeros da função quadrática 69
4.3.Relação entre coeficientes e raízes 70
4.4.Número de raízes da função quadrática 71
4.5.Inequação do 2 grau 72
4.5.1. Estudo do sinal 72
4.5.2. Inequação produto e inequação quociente do segundo 
grau 73
4.5.3. Inequação simultânea do segundo grau 75
4.6. Estudo do vértice da parábola 76
Cap. 5 - FUNÇÃO MODULAR 91
5.1. Definição 91
5.2 Equações modulares 93
5.3 Inequações modulares 94
5.4 Domínio da função modular 95
Cap. 6 -FUNÇÃO EXPONENCIAL 99
6.1. Modelo da função exponencial 99
6.2. Equações exponenciais 99
6.2.1. Método de redução a uma base comum 100
 101
6.3. Inequações exponenciais 102
6.4. Gráfico da função exponencial 102
6.5. Aplicações da função exponencial 103
6.5.1. Crescimento populacional de bactérias 103
6.5.2. Meia-Vida (decaimento radioativo) 104
Cap. 7 - FUNÇÃO LOGARÍTIMICA 111
7.1. Uma breve história 111
7.2. Definição de logaritmo 114
7.3. Propriedades em consequencia da definição 114
7.3.1. O Logaritmo de “1” em qualquer base válida é igual a zero. 114
7
Matemática I
7.3.2. Quando a base do logaritmo coincide com o logaritman-
do a solução é o expoente do logaritmando 114
7.3.3. Base real elevada a um expoente logarítmico onde a 
base do logaritmo coincide com a base real, a solução é 
o logaritmando 114
7.3.4. Igualdade de logaritmos de mesma base equivale a 
igualdade de seus logaritmandos 115
7.4. Propriedades operatórias de logaritmo 115
7.4.1. Propriedade da potência 115
7.4.2. Propriedade do produto 115
7.4.3. Propriedade do quociente 115
 115
7.5. Logaritmos especiais 115
7.5.1. O logaritmo decimal 115
7.5.2. O logaritmo neperiano 115
7.5.3.Cologaritmo 116
7.6. Mudança de base de um logaritmo 116
7.7. Equações logarítmicas 117
7.8. Inequações logarítmicas 119
7.9. Gráfico de uma função logarítmica 121
7.10. Aplicações da função logarítmica 122
7.10.1 Nível sonoro 122
7.10.2. Escala Richter 122
Cap. 8 - PROGRESSÕES 139
8.1. Progressão aritmética 139
8.1.1. Definição de progressão aritmética 139
8.1.2. Razão da P.A 140
8.1.3. Termo geral da P.A 140
8.1.4. Classificação da P.A 141
8.1.5. Soma dos termos da P.A. 141
8.2. Progressão geométrica 142
8.2.1. Definição de P.G 142
8.2.2. Razão da P.G 143
8.2.3. Termo geral da P.G 143
8.2.4. Classificação da P.G 143
8.2.5. Soma dos termos da P.G Finita 144
8.2.6. Soma dos termos da P.G Infinita 145
Cap. 9 - GABARITOS 161
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 189
8
Licenciatura em Informática
9
Matemática I
APRESENTAÇÃO
Olá
Meu nome é Ronaldo Barbosa Alvim, responsável pela disciplina Matemá-
tica I. Atuo como professor do IFES no campus de Cachoeiro de Itapemirim. 
Sou graduado em Matemática (2000) pela UFF, Especialista em Matemáti-
ca e Estatística (2001) pela UFLA e Mestre em Modelagem Computacional 
(2004) pela UERJ.Minhas áreas de interesse são: Modelagem Matemática, 
Cálculo Numérico, Problemas Inversos, Probabilidade e Estatística.
Nesta disciplina você conhecerá a teoria dos conjuntos, que é um tema 
central para vários ramos da matemática e relacionado aos primórdios 
da matemática, sendo tratada a teoria dos conjuntos de modo informal e 
não axiomática, irá estudar também as funções reais, sendo capaz de re-
alizar uma primeira análise gráfica, iniciando é claro seu estudo com um 
enfoque mais geral, ou seja, o de relações entre conjuntos.
Comentários de natureza histórica estão presentes ao longo de todo o ma-
terial, situando você no tempo e conhecendo os grandes matemáticos que 
deixaram contribuições marcantes em nossa evolução.
O material tem o intuito de ser um guia na orientação da disciplina de 
Matemática I onde podemos ressaltar os pontos mais importantes da teo-
ria que está sendo abordada, por meio de exemplos de aplicações diversas 
tentando contextualizar a matemática em nossa vida, pois de exemplos 
da vida que ela se iniciou. Um ponto importante para um bom curso de 
Matemática e utilizar a bibliografia indicada, procurando mais exemplos 
e outras abordagens que poderemos discutir nos fóruns. Quando estudar-
mos funções reais será interessante e necessário o uso de algum visuali-
zador gráfico, no mercado existem vários pacotes famosos como Maple e 
Matlab, mas vamos optar por utilizar um software livre, o Winplot, onde 
seu download estará disponível em nosso ambiente.
Cada capítulo é acompanhado de exercícios que devem ser resolvidos e 
enviados pelo ambiente moodle, quando solicitados, onde serão avaliado, 
os gabaritos de todas as atividades encontram-se no final do material. 
Lembre-se que estas atividades possuem tempo determinado de entrega, 
levando vocês a criarem o hábito de estudo contínuo, importante em qual-
quer aprendizado e indispensável no ensino a distância. 
Concluo, desejando a todos muito sucesso!
Prof. Ronaldo Barbosa Alvim
10
Licenciatura em Informática
11
Matemática I
Prezado aluno,
Começaremos nossa primeira aula estudando a funda-
mental teoria dos conjuntos primeiramente concebida 
pelo matemático do século XIX Georg Cantor, estudo 
que tratava da teoria das Séries Trigonométricas. Seu 
trabalho inicialmente não foi aceito pela comunidade 
acadêmica mais influenciou profundamente matemá-
ticos e estudiosos do século XX. Em geral, esta discipli-
na gera pré-requisitos, ou seja, a compreensão dos conceitos estudados 
em uma aula é a base para o entendimento das aulas posteriores.
Bom estudo!
1.1 Notação
Em geral representamos conjuntos listando seus elementos entre chaves 
e o denominando por uma letra maiúscula, como no exemplo abaixo:
A = {a,b,c,d,e,f}
Observe que seus elementos são separados por vírgula e em geral repre-
sentados por letras minúsculas.
Quando o conjunto possui um número muito grande de elementos po-
demos simplificar sua notação utilizando reticências ... , dando o senti-
do de continuação. Veja sua utilização no exemplo abaixo:
B = {1,5,9,13,...,21,25,29}
Esta forma de notação de conjunto é chamada de forma tabular, que 
como vimos exibe os elementos do conjunto. Mas podemos representar 
um conjunto pela propriedade que seus elementos possuem em comum, 
evitando desta maneira escrever por extenso os elementos do conjunto. 
Veja o exemplo:
C={x/x é consoante} que é equivalente a dizer C={a,e,i,o,u}
Quando um conjunto possui elementos repetidos, não é necessário 
CONJUNTOS E SUBCONJUNTOS
12
Licenciatura em Informática
representá-los mais de uma vez. Para ilustrar no exemplo abaixo, vamos 
representar o conjunto das letras da palavra CONTATO
D={c,o,n,t,a}
Como vimos podemos representar um conjunto por uma propriedade, 
mas podemos destacar uma propriedade que não caracteriza um con-
junto. Um paradoxo que caracteriza é atribuído ao matemático Ber-
trand Russel, o famoso paradoxo do Barbeiro. Observe:
 
Em uma aldeia onde, todos os dias, um barbeiro faz a barba de todos 
os homens que não barbeiam a si próprios e a mais ninguém. Quem 
barbeia o barbeiro?
Concluímos que, se o barbeiro se barbear, então ele não barbeia a si 
próprio, e se ele se não se barbear, então ele se barbeia.
Perceba que o paradoxo é equivalente a proposição de que existe o con-
junto que contém todos os conjuntos.
Relação de Pertinência
A relação entre elemento e conjunto é conhecida como relação de pertinên-
cia que simbolizamos por ∈ “pertence” e ∉ “não pertence”. Por exemplo
Maçã ∈ {Laranja, Melão, Maçã, Uva}
Carro ∉{Cafeteira, Liquidificador, Batedeira, Forno de microondas}
1.2 Conjuntos finitos e infinitos
Os conjuntos finitos possuem um número definido de elementos, ou 
Bertrand Russel 
(1845-1918)
Capítulo 1
13
Matemática I
seja, sua contagem chega a um final, o oposto o classificamos como con-
junto infinito
O conjunto A é um conjunto infinito
A={2,6,10,14,18,...}
O conjunto B é um conjunto finito
B={x/x é uma rua do Brasil}
Perceba que embora o conjunto B seja difícil de ser enumerado, mesmo 
assim, é um conjunto finito.
1.3 Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos são iguais se e somente se possuem os mesmos elemen-
tos, não necessariamente na mesma ordem, observe os exemplos:
Seja A={f, b, g, J, r, v}, B={v,g,t,x,m} e C={r, J, b, f, g, v}, logo
A = C “A é igual a C”
A≠B “A é diferente de B”
Ou seja, cada elemento que pertence a A, pertence também a B, e cada 
elemento que pertence a B pertence também a A.
1.4 Conjunto nulo
O conjunto nulo é também chamado de conjunto vazio, utilizamos o 
símbolo ∅ ou { } para simbolizá-lo. O Conjunto vazio é o conjunto 
que não possui nenhum elemento. Os conjuntos abaixo são exemplos 
de conjuntos nulos.
A={x/x é professor da Licenciatura em Informática com mais de 150 anos}
B={x/x é um número natural menor que 30 e maior que 50}
Cuidado!
Vários alunos utilizam de forma errônea o símbolo {∅} para sim-
bolizar conjunto vazio, sendo que o significado do que está escrito 
não passa de um simples conjunto unitário.
Conjuntos e Subconjuntos
14
Licenciatura em Informática
1.5 Subconjuntos
As relações de inclusão auxiliam muito na introdução do conceito de 
subconjunto, pois a utilizamos para relações entre conjuntos ou entre 
subconjuntos e conjuntos. Os símbolos são
⊂ lê-se “está contido”
⊄ lê-se “não está contido”
⊃ lê-se “contém”
⊇ lê-se “não contém”
Seja A = {1,2,3}
Então {1,2} ⊂ A ou A ⊃ {1,2}
Utilizando a notação acima se B é subconjunto de C então podemos 
registrar B ⊂ C, sendo que todo elemento do conjunto B seja também 
elemento do conjunto C. Logo diremos que B ⊄ C se B possuir algum 
elemento que não pertence ao conjunto C.
1.6 Subconjunto próprio
Como cada conjunto A é um subconjunto de si mesmo, denominamos 
B de subconjunto próprio de A. Se primeiramente B for subconjunto de 
A e, segundo, não é igual a A. Concluindo
B ⊂ A e B ≠ A
Alguns autores utilizam uma notação diferenciada
B ⊆ A para “B é subconjunto de A”
B ⊂ A para “B é subconjunto próprio de A”
1.7 Comparabilidade
Dizemos que dois conjuntos são comparáveis quando pelo menos um 
está contido no outro, ou seja, A ⊂ B ou B ⊂ A.
Capítulo 1
15
Matemática I
1.8 Demonstração
A demonstração em Matemática tem sido abandonada das aulas de en-
sino fundamental e médio e praticamente extinta de grande parte dos 
livros didáticos, este hábito descaracteriza como a Matemática torna 
verdadeira suas afirmações, assim desestimulando o aluno ao seu apren-
dizado, encontrando os conceitos resumidos a fórmulas prontas, dando 
ao aluno a sensação de impotência, de ser capaz de entender como aque-
las idéias foram concebidas. O rigor das demonstrações matemáticas é 
a que distingue de outras ciências.Pense nisso, pois você amanhã será 
um professor; estamos num curso de licenciatura, e não devemos retirar 
de nossas aulas experiências que levem a formação de alunos críticos.
Teorema sobre conjuntos: 
Se A é um subconjunto de B, e se B é um subconjunto de C, logo 
A é um subconjunto de C, ou seja,
A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C
1.9 Conjuntos de conjuntos
A expressão conjuntos de conjuntos, utilizada para representar conjun-
tos exclusivamente formadas por conjuntos é freqüentemente substituí-
da por família de conjuntos ou classe de conjuntos.
Simbolizamos famílias de conjuntos geralmente por letras manus-
critas como 
A,B,...
Um caso muito raro na teoria de conjuntos são conjuntos formados de mem-
bros que são conjuntos e outros que não são conjuntos. Veja o exemplo
A = {7,{1,2,8},{5,9},12}
Observe que o conjunto A não é uma família de conjuntos, pois alguns 
de seus membros são conjuntos e outros não.
Conjuntos e Subconjuntos
16
Licenciatura em Informática
1.10 Conjunto universal
A concepção do conjunto Universo, foi realizada pelo brilhante matemático 
Augustus De Morgan (1806-1871). O conjunto universo é o conjunto de 
todos os elementos de interesse para o problema que estamos tratando.
Augustus D. Morgan
(1806-1871)
1.11 Conjunto de potência
É possível quantificarmos quantos subconjuntos possui um conjunto 
sem ser necessário exibi-los um a um. O família de todos os subcon-
juntos de um conjunto A é denominada, conjunto de potência de A, ou, 
conjunto das partes do conjunto A.
Por exemplo, seja A = {1,2,3}
Então 2A = {{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},∅}}.
Algumas observações são importantes de serem realizadas:
- O conjunto vazio é subconjunto do conjunto A, como é subconjunto 
de qualquer conjunto;
- O conjunto A é subconjunto dele mesmo;
- Se utilizarmos a expressão 2n, sendo n o número de elementos do con-
junto inicial A, teremos o número de subconjuntos de A;
A possui 3 elementos, logo, 23 = 8, que é o número de subconjuntos do 
conjunto A.
1.12 Conjuntos disjuntos
Alguns conjuntos não possuem nenhum elemento em comum estes 
conjuntos são denominados conjuntos disjuntos.
Capítulo 1
17
Matemática I
A = {r,w,t,v} e B = {ϕ,λ,θ}, são conjuntos disjuntos, pois não consegui-
mos encontrar nenhum elemento que pertença ao conjunto A e também 
ao conjunto B.
Diferente do exemplo abaixo:
C = {k,l,x,τ} e D = {a,f,h,τ}, note que τ ∈ C e τ ∈D, logo C e D, não são 
conjuntos disjuntos.
1.13 Diagrama de Venn
O matemático inglês John Venn (1834-1923), criou uma representação 
visual para os conjuntos, onde delimitamos os conjuntos por áreas no 
plano onde se facilita muito o trabalho de se relacionar conjuntos.
John Venn
(1834-1923)
O conjunto A = {1,4,7,10} é representado abaixo pelo diagrama de Venn
A relação de inclusão C ⊂ D é representada também pelo diagrama de 
Venn abaixo
Conjuntos e Subconjuntos
18
Licenciatura em Informática
1.14 Desenvolvimento axiomático da teoria dos 
conjuntos
Para iniciarmos um desenvolvimento axiomático em qualquer área da Ma-
temática, necessitamos de termos indefinidos e relações indefinidas, em 
que se encaixa a teoria dos conjuntos, pois elemento e conjunto são termos 
indefinidos e “elemento pertence a um conjunto” é uma relação indefinida.
Logo:
Axioma da Extensão:
Dois conjuntos A e B são iguais se cada elemento de pertence tam-
bém a B e cada elemento em B pertence a A.
Axioma de Especificação:
Seja P(x) uma proposição qualquer e seja A um conjunto qual-
quer. Existe assim um conjunto
B = {a/a ∈A, P(a) é verdadeiro}
Observe que P(x) é uma sentença variável para a qual P(a) é ver-
dadeiro ou falso para qualquer a ∈ A.
Axioma da Extensão:
Dois conjuntos A e B são iguais se cada elemento de pertence tam-
bém a B e cada elemento em B pertence a A.
Axioma de Especificação:
Seja P(x) uma proposição qualquer e seja A um conjunto qual-
quer. Existe assim um conjunto
B = {a/a ∈A, P(a) é verdadeiro}
Observe que P(x) é uma sentença variável para a qual P(a) é ver-
dadeiro ou falso para qualquer a ∈ A.
Capítulo 1
19
Matemática I
1.15 Operações com conjuntos
1.15.1 União de conjuntos
Simbolizamos a união de dois conjuntos por A∪B, conjunto este formado 
pelos elementos pertencentes a A ou pertencentes a B. Veja o exemplo:
Sendo A = {1,2,3,5,6} e B = {5,6,7,8,9}, temos:
A∪B = {1,2,3,5,6,7,8,9}
Observe que não devemos simbolizar mais de uma vez na união os ele-
mentos comuns aos dois conjuntos.
A união de conjuntos é comutativa pois A∪B = B∪A
A∪B = {x/x ∈A ou x∈B}
1.15.3 Interseção de conjuntos
Entendemos como interseção de conjuntos a operação que identifica 
quais elementos são comuns entre os conjuntos. Veja o exemplo:
Conjuntos e Subconjuntos
20
Licenciatura em Informática
Sendo A = {1,2,3,5,6} e B = {5,6,7,8,9}, temos:
A∩B = {5,6}
Como é obvio de se observar a interseção de conjuntos é uma operação 
comutativa, pois A∩B = A∩B
1.15.3 Diferença de conjuntos
Um grande erro ao executar essa operação é entendê-la com o objetivo 
de simplesmente mostrar o que é diferente aos dois conjuntos, sendo 
que a correta leitura é identificar o que é exclusivo do primeiro conjun-
to. Veja o exemplo:
Sendo A = {1,2,3,5,6} e B = {5,6,7,8,9}, temos:
A-B = {1,2,3}, ou seja, os elementos que são exclusivos do conjunto A;
B-A = {7,8,9}, ou seja, os elementos que são exclusivos do conjunto B.
Observe que a diferença de conjuntos não é comutativa pois A - B ≠B - A.
1.15.4 Complementar de um conjunto
Dado o universo U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} e o conjunto A = {1,3,5,7}, di-
zemos que o complementar de A em relação a U é {0,2,4,6,8,9}, ou seja, 
é o conjunto formado pelos elementos de U que não pertencem a A.
Cuidado!
O complementar de um conjunto só tem sentido quando fixamos 
um conjunto universo U
Capítulo 1
21
Matemática I
De um modo geral, dado um conjunto A de um certo universo U, cha-
ma-se complementar de A em relação a U o conjunto formado pelos 
elementos de U que não pertencem a A; indica-se CU
A ou Ac ou A .
Logo, Ac={x/x∈U e x∉A}
Propriedades
- A Ac
c( ) = para todo A⊂U(o complementar do complementar 
de um conjunto A é o próprio conjunto A).
- Se A⊂B, então Bc⊂Ac (se um conjunto está contido em outro, seu 
complementar contém o complementar desse outro). Escrevendo 
de outra forma:
A ⊂ B ⇒ Bc ⊂ Ac
1.15.5 Relação entre união e interseção de conjuntos
n(A∪B)= n(A)+n(B)-n(A∩B)
Exemplo:
Numa pesquisa de opinião pública sobre dois jornais A e B, obtemos o 
seguinte resultado:
- 70% dos entrevistados lêem o jornal A;
- 60% dos entrevistados lêem o jornal B.
Qual o percentual de entrevistados lê os dois jornais, sendo que todos 
entrevistados lêem pelo menos um dos jornais A e B? 
1.15.6 Produto cartesiano
Dados os conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano A com B, ao 
conjunto AxB, formado por todos os pares ordenados (x,y), onde x é ele-
mento de A e y é elemento de B, ou seja 
Conjuntos e Subconjuntos
22
Licenciatura em Informática
Exemplo
Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o produto cartesiano AxB, terá 12 pares 
ordenados e será dado por:
AxB = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2) ,(d,3)}
1.16 Conjuntos numéricos
Neste tópico, estudaremos os conjuntos em que seus elementos são nú-
meros. Por isso, denominamos conjuntos numéricos. Perceba que em 
cada um deles, os elementos têm características em comum. Farão parte 
deste breve estudo os conjuntos dos números naturais, dos inteiros, dos 
racionais, dos irracionais e, por último o conjunto dos números reais.
1.16.1 Conjunto dos números naturais
“Deus criou os números naturais. O resto é obra dos homens.”
(Leopold Kronecker)
 
Leopold KroneckerGiuseppe Peano
(1823-1891) (1858-1932)
Capítulo 1
23
Matemática I
As afirmações abaixo são conhecidas como axiomas de Peano. Tudo 
o que se sabe sobre os números naturais pode ser demonstrado como 
conseqüência desses axiomas.
Propriedades:
- Todo número natural tem um único sucessor;
- Números naturais diferentes têm sucessores diferentes;
- Existe um único número natural, chamado um e representado 
pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro;
- Seja X um conjunto de números naturais (isto é, X⊂N). Se 1∈X 
e se, além disso, o sucessor de todo elemento de X ainda pertence 
a X, então X = N.
1.16.2 Conjunto dos números inteiros
O conjunto dos números inteiros é representado por:
Z = {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
Destacamos os seguintes subconjuntos de Z:
- N, pois N ⊂ Z.
- Z* = Z - {0} ou
Z*= {...,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,..}
Observe que o símbolo (*), exclui o número “0” (zero).
Curiosidade! 
O símbolo dos inteiros Z é a primeira letra da palavra ZAHI, que 
em alemão significa número.
1.16.3 Conjunto dos números racionais
Ao incluirmos as frações não aparentes positivas e negativas ao conjunto 
dos inteiros, obtemos o conjunto dos números racionais que simboliza-
Conjuntos e Subconjuntos
24
Licenciatura em Informática
mos por Q. Veja então exemplos de números racionais:
− − − −5 3
4
2 1
2
0
1
2
3
4
, , , , , ,etc
Lembre-se que todo racional pode ser escrito na forma 
a
b
, com 
a∈Z, b∈Z e b≠0
Curiosidade! 
O símbolo dos racionais Q tem origem da palavra quociente.
Existem três formas de decimais que são gerados de frações, que temos 
o hábito de chamá-las frações geratrizes, são eles os decimais exatos, 
dízimas periódicas simples, dízimas periódicas compostas.
Vamos, agora, ver como podemos transformar decimais em suas res-
pectivas frações geratrizes:
Decimais Exatos
Para extrair a fração geratriz de um decimal exato, basta eliminarmos 
a vírgula e dividimos o número encontrado por uma potência de 10, 
com o número de zeros equivalente a quantidade de casas decimais do 
decimal original. Veja:
Dízima Periódica Simples
Para extrair a fração geratriz de uma dízima periódica simples, deve-
mos dividir os números após a vírgula por um número formado unica-
mente pelo algarismo “9”, na quantidade de algarismos que se repetem 
na dízima original. Veja:
Vamos agora mostrar um exemplo onde a dízima periódica simples pos-
sui valores diferentes de zero a esquerda da vírgula (números inteiros). 
Capítulo 1
25
Matemática I
Neste caso, devemos utilizar o velho conceito de número misto. Veja:
Para sairmos de um número misto acima foi feita a operação (3 X 9 + 4 
= 31) e repetimos o denominador.
Dízima Periódica Composta
O que diferencia uma dízima periódica simples, de uma dízima peri-
ódica composta é o fato de a dízima composta possuir após a vírgula 
parte não periódica e periódica, diferente da simples, que após a vírgula 
possui apenas parte periódica.
Veja que “13” representa a parte não-periódica e “26” a parte 
periódica.
0,13262626
Aprenderemos como encontrar a fração geratriz de uma dízima perió-
dica composta .
Devemos escrever no numerador o número representado até o início da 
primeira repetição e após devemos subtrair a parte não periódica após a 
vírgula, no denominador devemos escrever um algarismo “9” para cada 
algarismo que se repita na dízima, e um algarismo “0” para cada algaris-
mo que não se repita após a vírgula. Veja a extração da fração geratriz 
da dízima acima:
Se existir um número inteiro à esquerda, devemos proceder da mesma 
forma que aprendemos na dízima periódica simples, ou seja, utilizando 
número misto.
4 3525252 4 352 3
990
4
349
990
4309
990
, ... = − = =
Conjuntos e Subconjuntos
26
Licenciatura em Informática
Atenção!
Uma outra notação correta para dízima periódica é escrevermos 
um traço sobre a parte periódica da dízima.
 (Dízima Periódica Composta)
 (Dízima Periódica Simples)
1.16.4 Conjunto dos números irracionais
Você viu no tópico anterior que existem três tipos de decimais que per-
tencentes ao conjunto dos racionais, pois podem ser escritos na forma de 
uma fração. Mas os decimais infinitos e não-periódicos não podem ser 
escritos na forma de uma fração; estes são conhecidos como irracionais.
Veja o exemplo:
3 1 7320508
2 1 4142135
=
=
,
,
Existem dois números irracionais muito conhecidos no meio científico. 
Em função disso, receberam nomes e simbologias diferenciadas:
O Número Pi
p = 3,1415926535...
O Número de Euler
e = 2,718
Leonhard Euler
(1707-1783)
Capítulo 1
27
Matemática I
1.16.5 Conjunto dos números reais
O conjunto dos números reais é obtido da união do conjunto dos núme-
ros racionais e irracionais, ou seja, R=Q∪I.
Os números racionais não são suficientes para esgotar todos os pontos 
da reta real. Números como 5 não era alcançado com os números 
racionais, mas agora temos uma relação biunívoca, ou seja, todo ponto 
da reta é representado por um único número real, assim como, cada 
número real representa um único ponto da reta.
Cuidado! 
É comum escutarmos nos meios de comunicação, principalmente 
na televisão, pessoas utilizando a palavra incomensurável em fra-
ses do tipo:
“Existia um número incomensurável de pessoas no protesto.”
Deviríamos dizer incontável, ficando assim:
“Existia um número incontável de pessoas no protesto”
Pode aparentar ser a mesma coisa, mas em Matemática incomen-
surável é uma relação entre duas grandezas de mesma espécie, ou 
seja, nada será incomensurável se não comparado com outro ob-
jeto (grandeza) de sua mesma espécie.
O diagrama abaixo relaciona os conjuntos numéricos que estudamos até 
este momento:
Todos os números naturais, inteiros, racionais e irracionais, são núme-
ros reais.
Conjuntos e Subconjuntos
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Licenciatura em Informática
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1. Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas A, B e 
C de um determinado produto apresentou os seguintes resultados:
A - 48% A e B - 18%
B - 45% B e C - 25%
C - 50% A e C - 15%
nenhuma das 3 - 5%
a) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem as três 
marcas A, B e C?
b) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e 
apenas uma das três marcas?
2. Sendo A = {2, 3, 4, 5, 9}, B = {2, 3, 7, 8, 10} e C = {2, 3, 4}, faça o diagra-
ma das reuniões a seguir, hachurando as regiões correspondentes
a) A ∪ B
b) A ∪ C
Capítulo 1
29
Matemática I
3. Complete com os símbolos: ∈,∉, ⊂, ⊄, ⊃ ou não está contido 
as sentenças a seguir, de forma a torná-las todas verdadeiras:
a) 5 _____ { 2, 3, 4, 5, 6, 7}
b) {7, 9} _____ {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
c) ¹ _____ 8
d) {5, 7} _____ {5}
e) 7 È {5, 6, _____, 8, 9}
4. Se um conjunto Z tem apenas 32 subconjuntos, quantos ele-
mentos tem esse conjunto Z?
5. Monte um conjunto A e um conjunto B, sabendo-se que A tem 
apenas 2 elementos, que B tem pelo menos 3 elementos e que A 
» B Å H, sendo
 
 H = {1, 3, 4, 8, 16,24, 40}
6. Se A, B e C são três conjuntos onde n(A) = 25, n(B) = 18, n(C) = 
27, n(A º B) = 9, n(B º C) = 10, n(A º C) = 6 e n(A º B º C) 
= 4, (sendo n(X) o número de elementos do conjunto X), determine 
o valor de n ((A»B) º C).
7. Em uma turma de 60 alunos, 21 praticam natação e futebol, 39 
praticam natação e 33 praticam futebol.
a) Qual a porcentagem de alunos que praticam um, e somente um, 
desses esportes?
b) Qual a porcentagem de alunos que não praticam nenhum des-
ses esportes?
8. Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 150 pessoas utili-
zam pelo menos um dos produtos B ou C. Sabendo que 95 dessas 
pessoas não usam o produto C e 25 não usam o produto B, qual é 
o número de pessoas que utilizam os produtos B e C?
Conjuntos e Subconjuntos
30
Licenciatura em Informática
9. Um trem viajava com 242 passageiros, dos quais:
- 96 eram brasileiros,
- 64 eram homens,
- 47 eram fumantes,
- 51 eram homens brasileiros,
- 25 eram homens fumantes,
- 36 eram brasileiros fumantes,
- 20 eram homens brasileiros fumantes.
Calcule:
a) o número de mulheres brasileiras não fumantes;
b) o número de homens fumantes não brasileiros;
c) o número de mulheres não brasileiras, não fumantes.
10. Considere um grupo de 50 pessoas que foram identificadas 
em relação a duas categorias: quanto à cor dos cabelos, louras ou 
morenas; quanto à cor dos olhos, azuis ou castanhos. De acordo 
com essa identificação, sabe-se que 14 pessoas no grupo são lou-
ras com olhos azuis, que 31 pessoas são morenas e que 18 têm 
olhos castanhos.
Calcule, no grupo, o número de pessoas morenas com olhos 
castanhos.
11. Em uma escola, foi feita uma pesquisa entre 320 alunos para 
verificar quantos falam inglês ou espanhol.
O resultado foi o seguinte:
- 45 não falam esses idiomas
- 250 falam inglês
- 180 falam espanhol
Quantos dos alunos entrevistados falam esses dois idiomas?
Capítulo 1
31
Matemática I
12. As marcas de cerveja mais consumidas em um bar, num certo 
dia, foram A, B e S. Os garçons constataram que o consumo se deu 
de acordo com a tabela a seguir:
a) Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia?
b) Dentre os consumidores de A, B e S, quantos beberam apenas 
duas dessas marcas?
c) Quantos não consumiram a cerveja S?
d) Quantos não consumiram a marca B nem a marca S?
13. Dos 135 funcionários de uma empresa localizada em Niterói, 
2/3 moram na cidade do Rio de Janeiro. Dos funcionários que 
moram na cidade do Rio de Janeiro, 3/5 usam ônibus até a estação 
das barcas e, em seguida, pegam uma barca para chegar ao traba-
lho. Sabe-se que 24 funcionários da empresa usam exclusivamente 
seus próprios automóveis para chegar ao trabalho, sendo que 1/3 
destes não mora na cidade do Rio de Janeiro. Os demais funcioná-
rios da empresa usam somente ônibus para chegar ao trabalho.
Determine:
a) o número de funcionários da empresa que usam somente ôni-
bus para chegar ao trabalho;
b) o número de funcionários da empresa que usam somente ônibus 
para chegar ao trabalho e que não moram na cidade do Rio de Janeiro.
14. Numa pesquisa de mercado, foram entrevistados consumido-
res sobre suas preferências em relação aos produtos A e B. Os re-
sultados da pesquisa indicaram que:
Conjuntos e Subconjuntos
32
Licenciatura em Informática
- 310 pessoas compram o produto A;
- 220 pessoas compram o produto B;
- 110 pessoas compram os produtos A e B;
- 510 pessoas não compram nenhum dos dois produtos.
Indique o número de consumidores entrevistados, dividido por 10.
15. Uma amostra de 100 caixas de pílulas anticoncepcionais fabri-
cadas pela Nascebem S.A. foi enviada para a fiscalização sanitária.
No teste de qualidade, 60 foram aprovadas e 40 reprovadas, por 
conterem pílulas de farinha. No teste de quantidade, 74 foram 
aprovadas e 26 reprovadas, por conterem um número menor de 
pílulas que o especificado.
O resultado dos dois testes mostrou que 14 caixas foram reprova-
das em ambos os testes.
Quantas caixas foram aprovadas em ambos os testes?
16. Um clube oferece a seus associados aulas de três modalidades 
de esporte: natação, tênis e futebol. Nenhum associado pôde se 
inscrever simultaneamente em tênis e futebol, pois, por proble-
mas administrativos, as aulas destes dois esportes serão dadas no 
mesmo horário. Encerradas as inscrições, verificou-se que: dos 
85 inscritos em natação, 50 só farão natação; o total de inscritos 
para as aulas de tênis foi de 17 e, para futebol, de 38; o número de 
inscritos só para as aulas de futebol excede em 10 o número de 
inscritos só para as de tênis.
Quantos associados se inscreveram simultaneamente para aulas 
de futebol e natação?
17. Os 87 alunos do 3º ano do ensino médio de uma certa esco-
la prestaram vestibular para três universidades: A, B e C. Todos 
os alunos dessa escola foram aprovados em pelo menos uma das 
universidades, mas somente um terço do total obteve aprovação 
em todas elas. As provas da universidade A foram mais difíceis 
e todos os alunos aprovados nesta foram também aprovados em 
pelo menos uma das outras duas.
Capítulo 1
33
Matemática I
Os totais de alunos aprovados nas universidades A e B foram, res-
pectivamente, 51 e 65. Sabe-se que, dos alunos aprovados em B, 50 
foram também aprovados em C. Sabe-se também que o número 
de aprovados em A e em B é igual ao de aprovados em A e em C.
Quantos alunos foram aprovados em apenas um dos três vestibu-
lares prestados? Justifique.
18. Uma pesquisa sobre os grupos sangüíneos ABO, na qual fo-
ram testadas 6000 pessoas de uma mesma raça, revelou que 2527 
têm o antígeno A, 2234 o antígeno B e 1846 não têm nenhum antí-
geno. Nessas condições, qual é a probabilidade de que uma dessas 
pessoas, escolhida aleatoriamente, tenha os dois antígenos?
 
19. Um grupo de alunos de uma escola deveria visitar o Museu de 
Ciência e o Museu de História da cidade. Quarenta e oito alunos 
foram visitar pelo menos um desses museus. 20% dos que foram 
ao de Ciência visitaram o de História e 25% dos que foram ao de 
História visitaram também o de Ciência.
Calcule o número de alunos que visitaram os dois museus.
20. Dados os subconjuntos de IR calcule: (faça o gráfico)
A = {x Æ IR / -2 ´ x < 3};
B = {x Æ IR / 1 ´ x < 4};
C = {x Æ IR / x < 0}
a) A » B
b) A º B
c) (A º C) º B
21. Complete as sentenças a seguir com os símbolos referentes 
às funções contém, não contém, contido, não contido de forma a 
tornar todas elas verdadeiras:
Conjuntos e Subconjuntos
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Licenciatura em Informática
a) 
 ____
b) 
 + −____
c) 
 
* ____
d) 
 + ++
* ____
e) 
 + +
* ____
22. Classifique em V ou F:
a) ( ) 
 ⊄
b) (.....) 
 + ⊂ *
c) (.....) 
 + −∩ =f
d) (.....) 
  + −∪ =* * *
23. Usando f ou È complete:
a) − −π ____
b) 2 66. ____
c) −9 ____
d) − 16 ____
24. Obtenha as geratrizes das seguintes dízimas periódicas. Use o 
dispositivo prático.
a) -2,0313131....
b) 5,121212....
25. Complete com os símbolos Å, Ä, Æ, È de modo a tornar 
verdadeira cada uma das sentenças a seguir:
Capítulo 1
35
Matemática I
a) 7 33, ____ e)  ____
b) 
 ____ f)  ____
c) 0 7, ____ g) 2 48, ____
d) 7
5
____ h) −4
2
____
26. Complete as sentenças a seguir com os símbolos apropriados 
(pertinência, não pertinência, continência, não continência, con-
tido e não contido), para torná-las todas verdadeiras.
a) 12.......+
b) − −11.......
c) 
 −
* .......
d) 
 + .......
e)  + .......
27. Escreva na forma de fração m/n a soma 0, 2222... + 0, 23333....
28. Sabe-se que o número A = 2Ñ . 3Ò . 5ö . 31 é o mínimo múltiplo 
comum dos números 2480 e 1500. Determine a soma x + y + b + t.
29. Se 1/[(1/3) + (1/4)] = p/q, onde p e q são números inteirospositivos relativamente primos, determine p+q.
30. Seja A/B, com A e B inteiros primos entre si, a fração geratriz da 
dízima periódica 4,373737.... Indique a soma dos algarismos de A.
[1]LIPSCHUTZ, S. Teoria dos Conjuntos. Ed McGraw-Hil do 
Brasil, Ltda, 5. Ed, 1973.
[2] FRANCO DE SOUZA, A.J. Teoria de Conjuntos Intuitiva e 
Axiomática. . Ed. Livraria Escolar.
Conjuntos e Subconjuntos
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Capítulo 1
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Matemática I
As necessidades do homem, com os mais variados propósitos, fize-
ram dele, através dos tempos, um estudioso dos problemas naturais, 
bem como de suas causas e efeitos.
Essa busca nos fez perceber que tudo e todos estão relacionados de 
tal forma que nenhum efeito tem origem numa única causa.
Para perceber essa relação vamos usar como exemplo uma flor, que 
aos olhos de um admirador representa a beleza, o amor e a paz e 
aos olhos de um sensível observador, a imagem de nosso mundo, 
cofatores individuais, físicos, econômicos, humanos e sociais.
Na linguagem do dia-a-dia é comum ouvirmos frases como: “Uma 
coisa depende da outra” ou “Uma está em função da outra”. Não é 
raro também abrirmos revistas ou jornais e encontrarmos gráficos, 
sobre os mais variados assuntos, mostrando a dependência entre os 
fatores em estudo. 
A ideia de um fator variar em função de outro e de se representar 
essa variação por meio de gráficos, de certa forma, já se tornou fa-
miliar em nossos dias. No entanto, essa forma de representação não 
foi sempre assim. O conceito de função sofreu várias interpretações 
até chegar ao modernamente utilizado.
No século XVIII, Leibniz considerou como função as quantidades 
geométricas variáveis, relacionadas com uma curva. 
Bernoulli chamou de funções as expressões analíticas que envolvem 
apenas uma quantidade variável. 
Posteriormente, Euler enfatizou menos a representação analítica e 
deixou antever como conceito de função toda variável que dependa 
da outra, ou seja, se a segunda variar a primeira também irá variar.
Já no século XIX, matemáticos como Dirichlet e Lagrange deram 
novas contribuições para os estudos das funções.
No capítulo anterior, estudamos as possíveis relações que podem se 
estabelecer entre os elementos que formam um conjunto. Mas como 
se estabelece uma relação entre os elementos de um conjunto e os 
elementos de outro conjunto? A resposta a essa pergunta é dada 
pelo estudo das relações entre eles. Entretanto, como elas têm uma 
definição muito ampla, se quisermos uma informação mais precisa 
sobre as relações que se estabelecem, teremos de impor certas condi-
ções. As relações que se ajustarem aos critérios restritivos são as funções.
RELAÇÕES E FUNÇÕES
38
Licenciatura em Informática
2.1. Relações reais
Sejam A e B dois conjuntos. Uma relação R de A em B é um 
subconjunto qualquer de A x B.
Exemplo:
Sejam os conjuntos A={1,2,3,4,5} e B={3,4,7,9,1 }. Que estão relacio-
nados de acordo com a lei R={x∈A/y=2x+1}
Observe como ficou a relação R: A→B entre os conjuntos A e B
R={(1,3), (2,5), (3,7), (4,9),:(5,1)}
b) Representação de uma relação
Podemos representar uma relação ou por um diagrama de setas ou no 
plano cartesiano.
Veja o exemplo de uma representação de relação no plano cartesiano:
O conjunto A é o domínio da relação R, denotado por Dom(R) e B é o 
contradomínio da relação, denotado por CoDom(R).
Dom(R) = { x ∈ A: existe y em B tal que (x,y) ∈ R} 
Im(R)={y ∈ B: existe x ∈ A tal que (x,y) ∈ R}
R1={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(d,1),(d,2),(d,3)}
Capítulo 2
39
Matemática I
Veja agora exemplos de relações representados por diagramas de setas:
R2={(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)}
R3={(a,1),(b,1),(b,2),(c,3),(d,3)}
Dados os conjuntos A = {-1,0,1,2,3} e B={1,0,4,5} e a relação R={ (x,y) 
Relações e Funções
40
Licenciatura em Informática
∈ A x B /y = x2}
R={(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)}, cuja representação pode ser por diagramas 
ou no plano cartesiano.
2.2. Funções
a) Definição
 Dados dois conjuntos, A e B, não-vazios, dizemos que a relação 
f de A em B é uma função se, e somente se, para qualquer x pertencente 
ao conjunto A existe, em correspondência, um único y pertencente a B 
tal que o par ordenado (x,y) pertença a f.
 Vamos mostrar agora situações de relações que não consistem 
em funções
 Dados os conjuntos A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação
R4 = { (a,1), (b,2), (c,3), (d,3), (a,3) }
não é uma função em A x B, pois associados ao mesmo valor “a” existem 
dois valores distintos que são 1 e 3.
Dados os conjuntos A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação
R5 = {(a,1), (a,3), (b,2), (c,3)}
não é uma função em A x B, pois nem todos os elementos do primeiro 
conjunto A estão associados a elementos do segundo conjunto B.
Capítulo 2
41
Matemática I
Uma boa técnica, que pode através dos gráficos identificar se uma rela-
ção é ou não uma função, consiste em traçar retas paralelas ao eixo y, se 
alguma delas tocar o gráfico em mais de um ponto, esta não será uma 
função. Veja nos exemplos abaixo
Relações e Funções
42
Licenciatura em Informática
2.3. Qualidade de uma função
a) Funções Injetoras
Uma função ƒ:A→B é injetora se quaisquer dois elementos distintos de 
A sempre possuírem imagens distintas em B, isto é:
x1≠ x2 implica que ƒ:(x1)≠ƒ:(x2)
ou, de forma equivalente,
ƒ(x1)=ƒ(x2) implica que x1= x2
Exemplos:
A função ƒ:R→R definida por ƒ(x)=3x+2 é injetora, pois sempre que 
tomamos dois valores diferentes para x, obtemos dois valores diferentes 
para f(x).
A função ƒ:R→R definida porƒ(x)=x2+5 não é injetora, pois para x=1 
temos f(1)=6 e para x=-1 temos f(-1)=6.
b) Funções Sobrejetoras
Uma função ƒ:A→B é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de 
pelo menos um elemento de A. Isto equivale a afirmar que a imagem da 
função deve ser exatamente igual a B que é o contradomínio da função, 
ou seja, para todo y em B existe x em A tal que y=ƒ(x).
Exemplos:
i) A função ƒ:R→R definida por f(x)=3x+2 é sobrejetora, pois todo ele-
mento de R é imagem de um elemento de R pela função.
ii) A função f:R→(0,∞) definida por f(x) = x² é sobrejetora, pois todo 
elemento pertencente a (0, ∞) é imagem de pelo menos um elemento 
de R pela função.
ii) A função ƒ:R→R definida por f(x)=2x não é sobrejetora, pois o nú-
mero -1 é elemento do contradomínio R e não é imagem de qualquer 
elemento do domínio.
Capítulo 2
43
Matemática I
c) Funções Bijetoras
Uma função ƒ:A→B é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e 
sobrejetora.
Exemplo
A função ƒ:R→R dada por f(x)=2x é bijetora, pois é injetora e 
sobrejetora.
2.4. Função par e ímpar
a) Função par
Uma função real f é par se, para todo x do domínio de f, tem-se que 
f(x)=f(-x). Uma função par possui o gráfico simétrico em relação ao 
eixo vertical OY.
Exemplo 
A função f(x)=x² é par, pois f(-x)=x²=f(x). Observe o gráfico de f! Outra 
função par é g(x)=cos(x) pois g(-x)=cos(-x)=cos(x)=g(x).
a) Função ímpar 
Uma função real f é ímpar se, para todo x do domínio de f, tem-se que 
f(-x)=-f(x). Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em relação à 
origem do sistema cartesiano.
Relações e Funções
44
Licenciatura em Informática
Exemplo
As funções reais f(x)=5x e g(x)=sen(x) são ímpares, pois: f(-x)=5(-x)=-
5x=-f(x) e g(-x)=sen(-x)=-sen(x)=-g(x). Veja o gráfico para observar a 
simetria em relação à origem.
1. Determine A x B e A x A, sendo:
A = {1, 2, -4} e B= {2/3 , 8}
2. Examine cada relação e escreva se é uma função de A em B 
ou não. Em caso afirmativo determine o domínio, a imagem e o 
contradomínio.
3. Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {1, 3, 5, 9}, enumere os 
elementos da seguinte relação: R = {(x, y) Æ A × B | y = x + 1}.
Capítulo 2
45
Matemática I
O papiro de Rhind, uns dos documentos mais antigos e importantes 
sobre Matemática Egípcia, nos mostra que em 1700 a.C. o homem 
já trabalhava com problemas que envolviam quantidades desco-
nhecidas. No século III, o matemático grego Diofanti dá a esses 
problemas um tratamento especial, iniciando a teoria das equações. 
Só a partir do século XVI, no entanto, com desenvolvimento da no-
tação algébrica, é que a teoria das equações passa a ser um ramo 
independente da Matemática. 
A linguagem algébrica tem sido extremamente importante para 
ampliação do conhecimento. Quanto mais a dominamos, mais fa-
cilmente podemos expressar e resolver problemas científicos ou coti-
dianos. Estudaremos neste capítulo as equações algébricas. O que 
as caracteriza, de modo geral, é a presença de uma variável e o sinal 
de igualdade. O sinal de igual (=) tem o significado amplo em Ma-
temática. Nas equações, é utilizado para expressões que somente 
são iguais para certos valores (ou para nenhum valor) de suas vari-
áveis. Aqui, as variáveis são chamadas de termos desconhecidos ou 
incógnitas. Escrever essas igualdades equivale a dar as variáveis a 
condição de igualarem duas expressões.
 Neste capítulo, estudaremos também como modelar a função do pri-
meiro grau que passa por dois pontos, para modelarmos problemas 
onde as grandezas apresentam uma relação de proporcionalidade. 
3.1 Modelo da função polinomial do primeiro 
grau
y=ax+b
y→variável dependente
x→variável independente
a→coeficiente angular
b→coeficiente linear
 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 
PRIMEIRO GRAU
46
Licenciatura em Informática
3.2 Significado dos coeficientes
O coeficiente “a” representa a taxa de crescimento da grandeza repre-
sentada no eixo das ordenadas em relação à grandeza representada do 
eixo das abscissas, ou seja,
a y y
x x
= −
−
0
0
No gráfico, o coeficiente angular é a tangente do ângulo formada pela 
reta, com a horizontal
Quando a função representa um crescimento, o valor do coeficiente an-
gular é positivo. Observe no gráfico da função ƒ(x)=2x+1, onde o coe-
ficiente angular tem valor positivo (a = 2).
Quando a função representa um decrescimento, o valor do coeficiente 
angular é negativo. Observe no gráfico da função ƒ(x)=2x+1, onde o 
coeficiente angular tem valor positivo (a = -2).
Capítulo 3
47
Matemática I
Isso faz muito sentido, pois se a função é crescente o ângulo formado 
pela reta com o horizontal é agudo; logo pertencente ao primeiro qua-
drante, onde a tangente é positiva. Quando a função é decrescente, o 
ângulo formado pela reta e a horizontal é obtuso; logo, pertencente ao 
segundo quadrante onde a tangente é negativa.
O coeficiente linear “b” representa a quantidade inicial da grandeza re-
presentada no eixo das ordenadas “y”. No gráfico é o ponto onde a reta 
intercepta o eixo “y”.
3.3 Raízes ou zeros da função polinomial do 
primeiro grau
A raiz ou zero da função polinomial do primeiro grau é ponto onde a 
reta intercepta o eixo das abscissas (eixo x), ou seja, o valor de “x” que 
quando atribuído à função torna o valor de “y” nulo.
Função Polinomial do Primeiro Grau
48
Licenciatura em Informática
Genericamente temos:
, logo, x b
a
= − .
Concluindo temos f b
a
−



= 0
Veja no gráfico a raiz da função ƒ(x)=x-3, destacada em preto
3.4 Construção da lei da função do primeiro 
grau
Vamos apresentar três maneiras de construir a lei da função do pri-
meiro grau. 
Na primeira maneira, vamos utilizar o modelo da função do primeiro 
grau y=ax+by.
Exemplo: Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(2,3) 
e B(5,7). 
Substituindo no modelo temos 
7 5
3 2
= +
= +
a b
a b
( )
( )
Resolvendo o sistema 
5 7
2 3
a b
a b
+ =
+ ={ 
Capítulo 3
49
Matemática I
Multiplicando a primeira equação por (-1) e depois adicionando as 
equações, encontramos
a
a
a b
a b
=
{
=
+ =
− − =−
4
3
3 4
5 7
2 3
Agora, substituindo em qualquer equação do sistema, vamos escolher 
aleatoriamente a primeira.
b = −3 8
3
b = 1
3
Logo o modelo da função é y x= +4
3
1
3
Na segunda maneira, vamos usar uma condição da geometria analítica, 
onde o determinante entre três pontos de uma mesma reta é sempre 
nulo, conhecido como condição de alinhamento de três pontos.
Os três pontos são A(2,3) ; B(5,7) e C (x,y). Então, temos:
x y
2
5
3
7
1
1
1
0=
Aplicando a regra de Sarrus, para extração do determinante de ordem 
3 X 3 (três linhas X três colunas) devemos repetir as duas primeiras 
linhas ou as duas primeiras colunas, multiplicar as diagonais principais 
(mantendo o sinal), e multiplicar as diagonais secundárias invertendo o 
sinal. Veja
x y
2
5
3
7
1
1
1
0=
x y
2 3
1
1
Função Polinomial do Primeiro Grau
50
Licenciatura em Informática
3 14 5 15 7 2 0
3 4 1 0
3 4
x y x y
y x
y x
+ + = − − =
− − =
=
 
++
= +
1
4
3
1
3
 
y x
Na terceira maneira, vamos utilizar de um modelo conhecido como 
equação da reta:
 y-y0 =a(x-x0)
Primeiramente, vamos calcular o coeficiente angular como vimos no 
início da aula
a y y
x x
a
= −
−
= −
−
=
0
0
7 3
5 2
4
3
 
Não se preocupe sobre qual par será (x0,y0) ou qual será (x,y), pois na 
verdade isso não faz diferença. Então substituindo o coeficiente angular 
encontrado em algum dos pontos no modelo, temos:
y x
y x
y x
y x
y x
− = −
= − +
= − +
= +
= +
3 43
2
4 8
3
3
4 8 9
3
4 1
3
4
3
1
3
( )
 
 
3.5 Inequação do primeiro grau
a) Inequação do Primeiro grau com duas variáveis
Capítulo 3
51
Matemática I
Primeiro Passo: Substituímos a desigualdade por uma igualdade 
depois traçamos a reta no plano cartesiano. Escolhemos um ponto 
auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo 
satisfaz ou não a desigualdade inicial. 
Segundo Passo: Em caso positivo, a solução da inequação corres-
ponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar.
Terceiro Passo: Em caso negativo, a solução da inequação correspon-
de ao semiplano oposto àquele ao qual pertence o ponto auxiliar. 
Exemplo:
Representa graficamente a inequação 2x+y≤4 
Tabela
x y (x, y)
0 4 (0, 4)
2 0 (2, 0)
Verificação do ponto Auxiliar:
2.0+0≤4
0≤4
Função Polinomial do Primeiro Grau
52
Licenciatura em Informática
(Afirmativa positiva, o ponto auxiliar satisfaz a inequação). 
A solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o 
ponto auxiliar (0,0).
b) Sistema de Inequações do primeiro grau com duas variáveis
Para resolver um sistema de inequações do 1º grau graficamente, deve-
mos traçar num mesmo plano o gráfico de cada inequação; determinar 
a região correspondente à intersecção dos dois semiplanos. 
Exemplo: 
Dado o sistema de inequações 
Traçando as retas -x + y = 4 e 3x + 2y = 6.
Tabela 1
x y (x, y)
0 4 (0, 4)
-4 0 (-4, 0)
Tabela 2
x y (x, y)
0 -1 (0, -1)
1 0 (1, 0)
Capítulo 3
53
Matemática I
1. Seja m µ 0 um número real e sejam f e g funções reais definidas 
por f(x) = x£ - 2|x| + 1 e g(x) = mx + 2m.
a) Esboçar, no plano cartesiano representado a seguir, os gráficos 
de f e de g quando m = 1/4 e m = 1.
b) Determinar as raízes de f(x) = g(x) quando m = 1/2.
c) Determinar, em função de m, o número de raízes da equação 
f(x) = g(x).
2. Um vendedor recebe mensalmente um salário fixo de R$ 800,00 
mais uma comissão de 5% sobre as vendas do mês.
Em geral, cada duas horas e meia de trabalho, ele vende o equiva-
lente a R$ 500,00.
a) Qual seu salário mensal em função do número x de horas tra-
balhadas por mês?
b) Se ele costuma trabalhar 220 horas por mês, o que é preferível: 
um aumento de 20% no salário fixo, ou um aumento de 20% (de 
5% para 6%) na taxa de comissão?
3. Um gerente de uma loja de bolsas verificou que quando se 
produziam 500 bolsas por mês, o custo total da empresa era R$ 
25.000,00 e quando se produziam 700 bolsas o custo mensal era 
R$ 33.000,00.
a) Admitindo que o gráfico do custo mensal (C) em função do nú-
mero de bolsas produzidas por mês (x) seja formado por pontos 
de uma reta, obtenha C em função de x.
Função Polinomial do Primeiro Grau
54
Licenciatura em Informática
b) Se a capacidade máxima de produção da empresa for de 800 
unidades por mês, obtenha o custo médio de produção de uma 
bolsa, em função de x e determine o custo médio mínimo.
4. A receita mensal de vendas de uma empresa (y) relaciona-se 
com os gastos mensais com propaganda (x) por meio de uma fun-
ção do 1¡. grau. Quando a empresa gasta R$ 10.000,00 por mês de 
propaganda, sua receita naquele mês é de R$ 80.000,00; se o gas-
to mensal com propaganda for o dobro daquele, a receita mensal 
cresce 50% em relação àquela.
a) Qual a receita mensal se o gasto mensal com propaganda for de 
R$30.000,00?
b) Obtenha a expressão de y em função de x.
5. O preço do gás natural para um consumidor residencial na ci-
dade do Rio de Janeiro é obtido a partir das informações:
O consumidor paga pelo que gasta de acordo com quatro níveis 
de consumo: Os sete primeiros metros cúbicos custam R$ 2,20 
cada, os próximos dezesseis já custam mais caro, R$ 2,90 cada. Se 
o consumo for acima desses 23, mais caro fica (R$ 3,60 por cada 
metro cúbico)... e ainda existe mais uma faixa!
Por exemplo, se o consumo da sua casa for de 25 m3, você deverá 
pagar
 7 × 2,20 + 16 × 2,90 + 2 × 3,60 = R$ 69,00.
a) Quanto pagará uma família cujo consumo for de 85 m¤?
b) Escreva uma expressão que dê o valor pago por uma residência 
cujo consumo mensal, N, está entre 8 e 23 m¤/mês.
6. O custo de uma corrida de táxi, na cidade do Rio de Janeiro, é 
calculado da seguinte forma:
- R$ 3,70 é a bandeirada (valor inicial independente da distância 
a ser percorrida)
- R$ 0,15 para cada 100 metros percorridos, a partir dos primeiros 
500 metros.
Capítulo 3
55
Matemática I
- O taxímetro só muda o valor a cada 100 metros percorridos. 
Assim, por exemplo, se a viagem tiver sido de 780 metros, o pas-
sageiro pagará 3,70 + (200/100) . (0,15) = R$ 4,00 (o mesmo que 
numa corrida de 700 metros).
a) Quanto custa uma corrida de 9,5 km?
b) Considere N um número múltiplo de 100, maior que 500, que 
indica quantos metros o passageiro percorre. Escreva uma fórmu-
la que expresse o custo de uma corrida de N metros.
7. Em uma fábrica, o custo de produção de 500 unidades de ca-
misetas é de R$ 2.700,00, enquanto o custo para produzir 1.000 
unidades é de R$ 3.800,00. Sabendo que o custo das camisetas é 
dado em função do número produzido através da expressão C(x) 
= q x + b, em que x é a quantidade produzida e b é o custo fixo, 
determine:
a) Os valores de b e de q.
b) O custo de produção de 800 camisetas.
8. Uma loja anunciou a contratação de funcionários e para isso 
fez a seleção aplicando um teste com 40 questões objetivas. O cri-
tério de avaliação foi o seguinte: para cada questão respondida 
corretamente somavam-se 3,5 pontos e subtraía-se 1,5 ponto para 
cada questão respondida erradamente ou não respondida. Quan-
tas questões acertou um candidato que fez 95 pontos?
9. Observe a figura 1 que representa um leitor de áudio na posição 
de início de leitura. Os suportes circulares A e B têm 1cm de raio 
e uma fita de 90 m está totalmente enrolada em A formando uma 
coroa circular de espessura 1,5 cm. A leitura da fita é feita pela 
peça C a uma velocidade constante. À medida que a fita passa, 
nos suportes A e B, formam-se duas coroas circulares com raios 
maiores x e y, respectivamente, como sugere a figura a seguir.
Função Polinomial do Primeiro Grau
56
Licenciatura em Informática
a) Esboce o gráfico que mostra o comprimento da fita enrolada 
em A, função do tempo de leitura.
b) Calcule y em função de x.
10. Para calcular 3/2 - 12/5, Paulo subtraiu os numeradores e divi-
diu o resultado por 10 obtendo:
 3/2 - 12/5 = (3 - 12)/10 = - 0,9
a) Determine de forma correta o valor da expressão 3/2 - 12/5.
b) Considerando que Paulo tenha calculado com base na fórmula 
(x/2)-(y/5)=(x-y)/10, onde x e y são reais, identifique o lugar ge-
ométrico dos pontos (x, y) do plano cartesiano que tornam essa 
igualdade verdadeira.
Esboce, também, o gráfico cartesiano.
11. O gráfico adiante representa, em bilhões de dólares, a queda 
das reservas internacionais de um determinado país no período 
de julho de 2000 a abril de 2002. 
Admita que, nos dois intervalos do período considerado, a queda 
de reservas tenha sido linear.
Determine o total de reservas desse país, em bilhões de dóla-
res, em maio de 2001.
12. Sabe-se que, nos pulmões, o ar atinge a temperatura do corpo 
e que, ao ser exalado, tem temperatura inferior à do corpo, já que 
é resfriado nas paredes do nariz. Através de medições realizadas 
em um laboratório foi obtida a função 
 TÛ = 8,5 + 0,75 × T½ , 12° ´ T½ ´ 30°, 
em que TÛ e T½ representam, respectivamente, a temperatura do 
ar exalado e a do ambiente.
Capítulo 3
57
Matemática I
Calcule:
a) a temperatura do ambiente quando TÛ = 25°C;
b) o maior valor que pode ser obtido para TÛ.
13. No gráfico a seguir, x representa a quantidade de batatas, em 
quilogramas, vendidas na barraca de seu Custódio, em um dia de 
feira, e y representa ovalor, em reais, arrecadado com essa venda. 
A partir das 12 horas, o movimento diminui e o preço do quilo-
grama de batatas também diminui.
a) Calcule a redução percentual do preço do quilograma das bata-
tas a partir das 12 horas.
b) Se o preço não diminuísse, teria sido arrecadado um valor V na 
venda de 80 kg.
Determine o percentual de V que corresponde à perda causada 
pela redução do preço.
14. Um fabricante de bonés opera a um custo fixo de R$ 1.200,00 
por mês (correspondente a aluguel, seguro e prestações de máqui-
nas). O custo variável por boné é de R$ 2,00. Atualmente são co-
mercializadas 1.000 unidades mensalmente, a um preço unitário 
de R$ 5,00.
Devido à concorrência no mercado, será necessário haver uma 
redução de 30% no preço unitário de venda.
Para manter seu lucro mensal, de quanto deverá ser o aumento na 
quantidade vendida?
15. O preço de uma certa máquina nova é R$10.000,00. Admitin-
do-se que ela tenha sido projetada para durar 8 anos e que sofra 
uma depreciação linear com o tempo, ache a fórmula que dá o 
preço P(t) da máquina após t anos de funcionamento, 0´t´8, e es-
boce o gráfico da função P.
Função Polinomial do Primeiro Grau
58
Licenciatura em Informática
16. A Cerâmica Marajó concede uma gratificação mensal a seus 
funcionários em função da produtividade de cada um convertida 
em pontos; a relação entre a gratificação e o número de pontos 
está representada no gráfico a seguir.
Observando que, entre 30 e 90 pontos, a variação da gratificação é pro-
porcional à variação do número de pontos, determine a gratificação 
que um funcionário receberá no mês em que obtiver 100 pontos.
17. Um reservatório, contendo inicialmente 400 litros de água, co-
meça a receber água a uma razão constante de 3 litros por segundo, 
ao mesmo tempo que uma torneira deixa escoar água desse reser-
vatório a uma razão, também constante, de 1 litro por segundo.
Considerando o instante inicial (t = 0) como o instante em que o 
reservatório começou a receber água, determine:
a) o volume de água no reservatório decorridos dez segundos (t = 
10) a partir do instante inicial;
b) uma expressão para o volume (V), em litro, de água no reser-
vatório em função do tempo decorrido (t), em segundo, a partir 
do instante inicial.
18. Para organizar uma competição esportiva tem-se um custo de 
R$ 2.000,00. Se a taxa de inscrição por participante para essa com-
petição é de R$ 30,00 determine a quantidade mínima de inscritos 
nessa competição, para que o valor arrecadado com a taxa de ins-
crição cubra o custo do evento.
19. Um reservatório de água tem a forma de um cubo de arestas 
10 m. Por causa de um vazamento, a cada hora perde-se 5% do 
volume total do reservatório.
a) Se o reservatório estiver completamente cheio no início do va-
zamento, em quanto tempo ele estará vazio?
b) Se o vazamento permanecer por 12 horas, quantos litros de 
água restarão no reservatório?
Capítulo 3
59
Matemática I
20. Em um sítio destinado à produção de leite, o custo mensal 
com a mão-de-obra é de R$ 360,00 fixos, mais 10% do total, T, 
arrecadado com a venda do leite. Os demais custos de produção 
representam juntos 45% de T.
a) Expresse o lucro, obtido em um mês, em função de T.
b) Se o litro do leite é vendido por R$ 0,50, qual a quantidade mí-
nima de leite que deve ser produzida ao mês para que o produtor 
não tenha prejuízo?
21. Duas empresas financeiras, E1 e E2, operam emprestando um 
capital C, a ser pago numa única parcela após um mês. A empre-
sa E1 cobra uma taxa fixa de R$ 60,00 mais 4% de juros sobre o 
capital emprestado, enquanto a empresa E2 cobra uma taxa fixa 
de R$ 150,00 mais juros de 3% sobre o capital emprestado. Dessa 
forma,
a) determine as expressões que representam o valor a ser pago 
em função do capital emprestado, nas duas empresas, e esboce os 
respectivos gráficos;
b) calcule o valor de C, de modo que o valor a ser pago seja o mes-
mo, nas duas empresas.
22. Sabendo que os pontos (2, -3) e (-1, 6) pertencem ao gráfico 
da função f: IR ë IR definida por f(x)=ax+b, determine o valor 
de b-a.
23. Um vídeo-clube propõe a seus clientes três opções de 
pagamento:
Opção I: R$ 40,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 1,20 por DVD 
alugado. 
Opção II: R$ 20,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 2,00 por 
DVD alugado. 
Opção III: R$ 3,00 por DVD alugado, sem taxa de adesão.
Um cliente escolheu a opção II e gastou R$ 56,00 no ano.
Esse cliente escolheu a melhor opção de pagamento para o seu 
caso? Justifique sua resposta.
24. Seja f: IR ë IR a função definida por f(x) = 3x - 5.
a) Esboce o gráfico da função f no plano cartesiano IR×IR e mar-
que nele os pontos
(1,f(1)), (2,f(2)), (3,f(3)) e (4,f(4)).
b) Calcule a soma S = f(1) + f(2) +...+ f(199) + f(200).
Função Polinomial do Primeiro Grau
60
Licenciatura em Informática
25. A academia “Fique em Forma” cobra uma taxa de inscrição de 
R$ 80,00 e uma mensalidade de R$ 50,00. A academia “Corpo e 
Saúde” cobra uma taxa de inscrição de R$ 60,00 e uma mensali-
dade de R$ 55,00.
a) Determine as expressões algébricas das funções que represen-
tam os gastos acumulados em relação aos meses de aulas, em cada 
academia.
b) Qual academia oferece menor custo para uma pessoa que 
pretende “malhar” durante um ano? Justifique, explicitando seu 
raciocínio.
26. Um vendedor comprou n bolsas por d reais cada uma. Ele 
vendeu 2 bolsas para um bazar escolar beneficente pela metade 
do preço de custo. O restante ele vendeu para uma loja com um 
adicional de 8 reais por bolsa. Se após as vendas para o bazar e 
para a loja o lucro total foi de 72 reais, determine o menor valor 
possível para n.
27. A distância entre duas cidade, A e B, é de 156 km. De A para B, 
a extensão das descidas é 0,7 vezes a extensão das subidas. 
Um ciclista pedala a 25 km/h, nas partes planas da estrada, a 15 
km/h, nas subidas, e a 30 km/h, nas descidas. A diferença entre o 
tempo de ida e o tempo de volta do ciclista é de 48 minutos.
Calcule, em quilômetros, a extensão da parte plana do trajeto, 
desconsiderando a parte fracionária de seu resultado, caso exista.
28. Uma pessoa obesa, pesando num certo momento 156 kg, re-
colhe-se a um SPA onde se anunciam perdas de peso de até 2,5 
kg por semana. Suponhamos que isso realmente ocorra. Nessas 
condições:
a) Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo, P, que essa 
pessoa poderá atingir após n semanas.
b) Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa 
deverá permanecer no SPA para sair de lá com menos de 120 kg 
de peso.
29. Um operário ganha R$3,00 por hora de trabalho de sua jorna-
da semanal regular de trabalho, que é de 40 horas. Eventuais horas 
extras são pagas com um acréscimo de 50%. Encontre uma fór-
mula algébrica para expressar seu salário bruto semanal, S, para 
as semanas em que trabalhar h horas, com hµ40.
30. Apresentamos a seguir o gráfico do volume do álcool em fun-
ção de sua massa, a uma temperatura fixa de 0°C.
Capítulo 3
61
Matemática I
Baseado nos dados do gráfico, determine:
a) a lei da função apresentada no gráfico;
b) qual é a massa (em gramas) de 30 cm3 de álcool.
31. O gráfico representa uma função f que descreve, aproximada-
mente, o movimento (em função do tempo t em segundos) por 
um certo período, de um golfinho que salta e retorna à água, ten-
do o eixo das abscissas coincidente com a superfície da água.
a) Sabendo que a parte negativa do gráfico de f é constituída por 
segmentos de retas, determine a expressão matemática de f nos 
instantes anteriores à saída do golfinho da água. Em que instante 
o golfinho saiu da água?
b) A parte positiva do gráfico de f é formada por parte de uma 
parábola, dada por:
f(t) = (- 3/4) t2 + 6t - 9.
Determine quantos segundos o golfinho ficou fora da água e a 
altura máxima, emmetros, atingida no salto.
32. Seja x o número de anos decorridos a partir de 1960 (x = 0). A 
função y = f(x) = x + 320 fornece, aproximadamente, a média de 
concentração de CO‚ na atmosfera em ppm (partes por milhão) 
Função Polinomial do Primeiro Grau
62
Licenciatura em Informática
em função de x. A média de variação do nível do mar, em cm, em 
função de x, é dada aproximadamente pela função g(x) = (1/5) x. 
Seja h a função que fornece a média de variação do nível do mar 
em função da concentração de CO‚.
No diagrama seguinte estão representadas as funções f, g e h.
Determine a expressão de h em função de y e calcule quantos cen-
tímetros o nível do mar terá aumentado quando a concentração 
de CO‚ na atmosfera for de 400 ppm.
33. A Companhia de Abastecimento de Água de uma cidade co-
bra mensalmente, pela água fornecida a uma residência, de acor-
do com a seguinte tabela:
Pelos primeiros 12 m3 fornecidos, Cr$ 15,00 por m3; pelos 8 m3 se-
guintes, Cr$ 50,00 por m3; pelos 10 m3 seguintes, Cr$ 90,00 por m3 
e, pelo consumo que ultrapassar 30 m3, Cr$ 100,00 o m3. Calcule o 
montante a ser pago por um consumo de 32 m3.
34. Alguns jornais calculam o número de pessoas presentes em 
atos públicos considerando que cada metro quadrado é ocupado 
por 4 pessoas. Qual a estimativa do número de pessoas presentes 
numa praça de 4000m£ que tenha ficado lotada para um comício, 
segundo essa avaliação?
35. Para transformar graus Fahrenheit em graus centígrados usa-
se a fórmula:
 C = 5(F - 32)/9
onde F é o número de graus Fahrenheit e C é o número de graus 
centígrados.
a) Transforme 35 graus centígrados em graus Fahrenheit.
b) Qual a temperatura (em graus centígrados) em que o número 
de graus Fahrenheit é o dobro do número de graus centígrados?
Capítulo 3
63
Matemática I
36. A troposfera, que é a primeira camada da atmosfera, estende-
se do nível do mar até a altitude de 40.000 pés; nela, a temperatura 
diminui 2 °C a cada aumento de 1.000 pés na altitude. Suponha 
que em um ponto A, situado ao nível do mar, a temperatura seja 
de 20 °C. Pergunta-se:
a) Em que altitude, acima do ponto A, a temperatura é de 0 °C?
b) Qual é a temperatura a 35.000 pés acima do mesmo ponto A?
37. Suponha que uma tabela (incompleta) para o cálculo do im-
posto de renda fosse a seguinte:
OBS. O imposto é calculado aplicando-se à renda a porcentagem cor-
respondente e subtraindo-se desse resultado a parcela a deduzir.
a) Calcule os valores dos impostos a serem pagos por dois contri-
buintes cujas rendas são de R$ 1.000,00 e de R$ 2.000,00.
b) Escreva a tabela acima no caderno de respostas, completando-a 
com a parcela a deduzir para a faixa de R$ 2.000,00 a R$ 3.000,00 
e com a alíquota que corresponde à faixa de renda superior a R$ 
3.000,00.
38. O custo de uma corrida de táxi é constituído por um valor 
inicial Q0, fixo, mais um valor que varia proporcionalmente à dis-
tância D percorrida nessa corrida. Sabe-se que, em uma corrida 
na qual foram percorridos 3,6 km, a quantia cobrada foi de R$ 
8,25, e que em outra corrida, de 2,8 km, a quantia cobrada foi de 
R$ 7,25.
a) Calcule o valor inicial Q0.
b) Se, em um dia de trabalho, um taxista arrecadou R$ 75,00 em 10 
corridas, quantos quilômetros seu carro percorreu naquele dia?
39. Sejam dadas as funções f(x) = px e g(x) = 2x + 5, em que p é 
um parâmetro real.
a) Supondo que p = - 5, determine para quais valores reais de x 
tem-se f(x) . g(x) < 0.
b) Determine para quais valores de p temos g(x) ´ f(x) para todo 
x Æ [- 8, - 1].
Função Polinomial do Primeiro Grau
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Licenciatura em Informática
40. 
Responda às questões a seguir, tomando por base os dados forne-
cidos na tabela e na figura mostradas.
a) Calcule a área total do município de Campinas, sabendo que os 
distritos norte, leste, sul e noroeste da cidade têm, respectivamen-
te, 175 km£, 350 km£, 120 km£ e 75 km£.
b) Suponha que, como uma medida de combate à dengue, o mu-
nicípio de Campinas tenha decidido fazer uma nebulização (ou 
pulverização) de inseticida. Na fase inicial da nebulização, será 
atendido o distrito com maior número de casos de dengue por 
km£. Reproduza o diagrama acima. Em seu diagrama, marque os 
pontos correspondentes aos cinco distritos de Campinas. Identi-
fique claramente o distrito associado a cada ponto. Com base no 
gráfico obtido, indique o distrito em que será feita essa nebuliza-
ção inicial. Justifique sua resposta.
41. Duas locadoras de automóveis oferecem planos diferentes para 
a diária de um veículo econômico. A locadora Saturno cobra uma 
taxa fixa de R$ 30,00, além de R$ 0,40 por quilômetro rodado. 
Já a locadora Mercúrio tem um plano mais elaborado: ela cobra 
uma taxa fixa de R$ 90,00 com uma franquia de 200 km, ou seja, o 
cliente pode percorrer 200 km sem custos adicionais. Entretanto, 
para cada km rodado além dos 200 km incluídos na franquia, o 
cliente deve pagar R$ 0,60.
a) Para cada locadora, represente no gráfico a função que des-
creve o custo diário de locação em termos da distância percor-
rida no dia.
Capítulo 3
65
Matemática I
b) Determine para quais intervalos cada locadora tem o plano 
mais barato. Supondo que a locadora Saturno vá manter inalte-
rada a sua taxa fixa, indique qual deve ser seu novo custo por km 
rodado para que ela, lucrando o máximo possível, tenha o plano 
mais vantajoso para clientes que rodam quaisquer distâncias.
42. Na década de 1960, com a redução do número de baleias de 
grande porte, como a baleia azul, as baleias minke antárticas pas-
saram a ser o alvo preferencial dos navios baleeiros que navega-
vam no hemisfério sul. O gráfico mostra o número acumulado 
aproximado de baleias minke antárticas capturadas por barcos 
japoneses, soviéticos / russos e brasileiros, entre o final de 1965 e 
o final de 2005.
a) No gráfico acima, trace a curva que fornece o número aproxi-
mado de baleias caçadas anualmente por barcos soviéticos / russos 
entre o final de 1965 e o final de 2005. Indique também os valores 
numéricos associados às letras A e B apresentadas no gráfico, para 
que seja possível identificar a escala adotada para o eixo vertical.
b) Calcule o número aproximado de baleias caçadas pelo grupo de 
países indicado no gráfico entre o final de 1965 e o final de 1990.
43. Sejam f e g funções tais que f(x) = 5x + 2 e g(x) = -6x + 7. De-
termine a lei que define a função afim h, sabendo que h(-5) = 1 e 
que o gráfico de h passa pelo ponto de intersecção dos gráficos de 
f com g.
44. Como resultado de uma pesquisa sobre a relação entre o com-
primento do pé de uma pessoa, em centímetros, e o número (ta-
manho) do calçado brasileiro, Carla obteve uma fórmula que dá, 
em média, o número inteiro n (tamanho do calçado) em função 
do comprimento c, do pé, em cm.
Função Polinomial do Primeiro Grau
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Licenciatura em Informática
Pela fórmula, tem-se n = [x], onde x = (5/4) c + 7 e [x] indica o 
menor inteiro maior ou igual a x. Por exemplo, se c = 9 cm, então 
x = 18,25 e n = [18,25] = 19. Com base nessa fórmula,
a) determine o número do calçado correspondente a um pé cujo 
comprimento é 22 cm.
b) se o comprimento do pé de uma pessoa é c = 24 cm, então ela 
calça 37. Se c > 24 cm, essa pessoa calça 38 ou mais. Determine o 
maior comprimento possível, em cm, que pode ter o pé de uma 
pessoa que calça 38.
45. Chama-se margem de contribuição unitária à diferença entre 
o preço unitário de venda e o custo unitário de um produto.
Se o preço unitário de venda é p e o custo unitário é c:
a) Qual o valor de p em função de c, sabendo-se que a margem de 
contribuição unitária é 10% do preço de venda?
b) Se a margem de contribuição unitária for 30% do preço de ven-
da, qual a margem de contribuição unitária em porcentagem do 
custo unitário?
46. Uma empresa A paga a cada um de seus