Construções_Geométricas_Fundamentais_tangência_e_concordância

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CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 
TANGENTE 
Tangente a uma curva é uma linha (reta ou não) que tem somente um 
ponto em comum com curva dada. 
 
CONCORDÂNCIA 
Chama-se Concordância de duas linhas curvas ou de uma reta com 
uma curva, a ligação entre elas, executada de tal forma, que se possa 
passar de uma para outra, sem ângulo, inflexão, nem solução de 
continuidade. 
 
Para que haja CONCORDÂNCIA, é necessário que haja TANGÊNCIA, 
portanto os dois conceitos estão ESTREITAMENTE LIGADOS. 
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 
PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS 
1° PRINCÍPIO: Reta Tangente à Circunferência 
Uma reta é tangente a uma circunferência quando for perpendicular ao 
raio da circunferência. 
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 
PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS 
2° PRINCÍPIO: Circunferência Tangente à Circunferência 
Duas circunferências (ou dois arcos) são tangentes entre si quando os 
centros das duas circunferências e o ponto de tangência estiverem 
alinhados, ou seja, quando os dois centros e o ponto de tangência 
forem COLINEARES. 
PASSOS: 
1. Traçar o raio, passando por um 
ponto qualquer (T) da 
circunferência; 
2. Em T, traçar uma reta perpendicular 
a reta OT; 
3. A reta perpendicular será a reta 
tangente. 
Traçar uma tangente à circunferência sendo conhecido o 
ponto de tangência 
T o 
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 
PASSOS: 
1. Unir os pontos O e P; 
2. Mediatriz de OP, encontrando ponto 
M; 
3. Centro: M / Raio: OM - traçar um arco 
que cruza a circunferência nos pontos 
T1 e T2; 
4. T1 e T2 são os pontos de tangência; 
5. PT1 e PT2: tangentes. 
Traçar duas tangentes à circunferência passando por um 
ponto P fora da circunferência 
P 
o 
T1 
T2 
M 
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 
1. Unir os centros O1 e O2 
2. Traçar raio qualquer em O2, 
encontrando A2 
3. Paralela ao segmento O2A2 em O1, 
encontra-se A1 
4. Unir A1 à A2 e prolongar até encontrar 
ponto C 
5. Mediatriz do segmento O1C encontra-se 
ponto M1 
6. Centro: M1 / Raio M1O1 traçar um arco 
que cruza a circunferência nos pontos T1 
e T2 
7. T1 / T2 / T3 / T4 são os pontos de 
tangência 
8. CT1T3 CT2T4: tangentes 
O2 O1 C M1 
A2 
A1 
T1 
T2 
Traçar tangentes exteriores e comuns a duas circunferências 
de raios diferentes 
T4 
T3 
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 
PASSOS 
1. Marcam-se EF que é a distância igual 
ao raio da circunferência menor O’; 
2. Pelo ponto F, traça-se uma 
perpendicular a OO’ e que será 
cortadas nos pontos M e N e A’ e B’ 
pelo arco traçado com centro em O e 
com raio igual a OO’; 
3. Une-se o ponto O a M e N e 
encontram-se os pontos A e B, 
respectivamente que cortarão a 
circunferência O; 
4. Une-se A a A’ e B a B’ e encontram-
se as tangentes exteriores. 
Traçar duas retas que sejam tangentes exteriores às duas 
circunferências dadas. Não se conhece o Centro de 
Semelhança Exterior 
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 
M 
N 
O O’ 
E F 
A 
A’ 
B 
B’ 
PASSOS 
1. Une-se C a T e prolonga-se esta reta; 
2. Une-se agora T e E; 
3. Traça-se a mediatriz TE e o ponto O 
onde esta mediatriz corta o 
prolongamento CT é o centro que 
satisfaz o problema. 
Dado uma circunferência e um ponto T sobre ela e um ponto E 
exterior a ela, traçar outra circunferência, tangente à primeira 
no ponto T e que passe pelo ponto E. 
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 
O’ 
O 
T 
E 
PASSOS 
1. Traça-se uma perpendicular a reta 
r por P e marca-se a distância P1 
igual ao raio da circunferência 
dada, O; 
2. Une-se 1 ao centro O; 
3. Traça-se uma perpendicular pelo 
meio 1º e onde esta linha 
encontrar o prolongamento de P1, 
teremos o ponto O’, centro da 
circunferência pedida. 
Traçar uma circunferência que seja tangente, simultaneamente, 
a uma reta em um ponto dado P desta e a uma outra 
circunferência na qual não se conhece o ponto de tangência 
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 
r 
P O 
1 
O’ 
Dado um segmento de reta, concordar com esse segmento um 
arco que passe pelo ponto P. 
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 
A B 
C P 
PASSOS 
1. Trace uma reta qualquer AB; 
2. Faça um ponto qualquer P; 
3. Una B a P; 
4. Trace uma perpendicular no 
ponto B; 
5. Achar mediatriz de BP 
interceptando a perpendicular 
que passa por B, achando o 
ponto C; 
6. Use a medida CB e trace o 
arco; 
PASSOS 
1. Traça-se uma linha que uma A a 
B; 
2. Divide-se esta linha em duas 
partes marcando o ponto O; 
3. Centro em O com raio AO ou BO, 
descreve-se a semicircunferência 
de concordância. 
Concordar dois segmentos de reta paralelos com um arco do 
tipo ROMANO ou PLENO. 
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 
A B 
O 
E
PASSOS: 
1. Mediatriz AB; 
2. Centro: C, Raio CA, Traçar 
um arco encontrando E; 
3. Unir AE e BE; 
4. Centro: A, Raio: AB, Arco até 
reta AG; 
5. Centro: B, Raio BA, Arco até 
reta BF; 
6. AG = GI; 
7. BF = FH; 
8. Centro: H, Raio: HF, Arco; 
9. Centro: I, Raio: IG, Arco. 
A BC
GF
I
H
Concordar dois segmentos de reta paralelos com um arco do 
tipo GÓTICO, sendo dada somente a sua abertura. 
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 
PASSOS 
1. Une-se A a C; 
2. Levanta-se uma perpendicular a CD 
passando por C, que vai cortar o 
segmento AB no ponto O; 
3. Prolonga-se CO para a esquerda e 
marca-se OE igual a AO; 
4. Divide-se ao meio o segmento de reta 
CE, determinando o ponto M; 
5. Por M, traça-se uma paralela a CD e 
pelo ponto A, traça-se uma paralela a 
CE, que irão se cortar em 1; 
6. Com centro em M, descreve-se o arco 
C2; 
7. Com centro em 1, descreve-se o arco 
2A. 
Concordar dois segmentos de reta paralelos e de alturas 
diferentes com um arco do tipo AVIAJADO ou ESCONSO. 
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 
B 
A 
D 
C 
O 
E 
M 
1 
2 
PASSOS 
1. Une-se o ponto B ao C; 
2. Acha-se a mediatriz entre 
B e C; 
3. Une-se o ponto B ao 
centro O1 e prolonga-se a 
reta até encontrar a 
mediatriz, encontrando o 
centro O2; 
4. Ponta seca em O2 e 
abertura O2 B, encontra-se 
o arco de mesmo sentido 
passando por C. 
Concordar no ponto B de um arco dado AB, outro arco de mesmo 
sentido e que passe pelo ponto C. 
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 
B 
A 
C 
O2 
O1 
Concordar no ponto B de um arco dado AB, outro arco de 
sentido contrário e que passe pelo ponto C. 
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 
PASSOS 
1. Une-se o ponto B ao C; 
2. Acha-se a mediatriz entre 
B e C; 
3. Une-se o ponto B ao 
centro O1 e prolonga-se a 
reta até encontrar a 
mediatriz, encontrando o 
centro O2; 
4. Ponta seca em O2 e 
abertura O2 B, encontra-se 
o arco de mesmo sentido 
passando por C. 
B 
A 
C 
O2 
O1