Volume-Solido-Revolucao

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Aplicações da Integral 
Definida
Volume de um sólido de 
revolução
Vamos calcular o volume de um sólido T gerado pela 
rotação em torno do eixo x da região plana R 
delimitada por y=f(x), onde f(x) é contínua e não 
negativa em [a,b].
Consideremos um partição de [a,b] dada por 
a=x0<x1<x2<...<xn=b. Seja ∆xi=xj-xj-1 o comprimento do 
intervalo [xi-1,xj]. Seja ci∈[xi-1,xi].
Para cada i=1,2,...,n construímos um retângulo Ri , de 
base ∆xi e altura f(ci). Girando Ri em torno do eixo x 
obtemos um cilindro cujo volume é dado por:
[ ] [ ]
2 2
1 1
( ) ( )
n n
n i i i i
i i
V f c x f c xπ π
= =
= ∆ = ∆∑ ∑
A soma dos volumes dos n cilindros nos dá uma 
aproximação do volume de T:
[ ]
2
( )i if c xπ ∆
Quando n→∞, ∆xi→0 e Vn tende ao volume do sólido T.
Definição
[ ]
2
max 0
1
lim ( )
i
n
i i
x
i
V f c xπ
∆ →
=
= ∆∑
Definição: Seja y=f(x) uma função contínua não 
negativa em [a,b]. Seja R a região sob o gráfico de a 
até b. O volume do sólido T, gerado pela revolução de 
R em torno do eixo dos x é definido por:
onde ci∈[xi-1,xi].
Como f é contínua, este limite existe e, pela definição 
da integral definida temos:
[ ]
2
( )
b
a
V f x dxπ= ∫ (1)
Exemplo
A fórmula (1) pode ser generalizada para outras situações:
(1) A função f(x) é negativa em alguns pontos de [a,b]
[ ]
2 2
| ( ) | ( )
b b
a a
V f x dx f x dxπ π= =∫ ∫
O sólido de revolução gerado por f(x) é igual ao sólido de 
revolução gerado pela função |f(x)|
Exemplo
(2) A região R está entre os gráficos de duas funções f(x) e 
g(x) de a até b
[ ] [ ] [ ] [ ]
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
V f x dx g x dx f x g x dxπ π π  = − = −
 ∫ ∫ ∫
Supondo f(x)≥g(x) para x∈[a,b] temos:
Exemplo
(3) Ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região R gira 
em torno do eixo do y
[ ]
2
( )
d
c
V f y dyπ= ∫
Neste caso temos:
Exemplo
(3) A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um 
dos eixos coordenados
- Se o eixo de revolução for a reta y=L temos:
[ ]
2
( )
b
a
V f x L dxπ= −∫
- Se o eixo de revolução for a reta x=M temos:
[ ]
2
( )
d
c
V g y M dxπ= −∫
Exemplo