Prática 5 - Estudo da flexão de barras pelo método científico

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia - CCET
Departamento de Física - DF
Bacharelado em Engenharia da Computação, Materiais e Mecânica
Física Experimental A
Turma L
Prática 5 – Estudo da flexão de barras pelo método científico
Docente: Prof. Dr. Oigres Daniel Bernardinelli
Caio Henrique Pereira – RA: 811489
Kamilly Victória Pédi Fontanetti – RA: 811869
Vinícius Rocha Caetano – RA: 800356
São Carlos-SP
03 de fevereiro de 2023
RESUMO
O experimento foi realizado com intuito de observar o comportamento elástico de
barras circulares a partir da força exercida sobre a barra.
Com os dados obtidos foram construídos 3 gráficos di-log - (1) flexão em função da
massa, (2) flexão em função do diâmetro da barra e (3) flexão em função do comprimento da
barra, medido entre os pontos de apoio, com o intuito de realizar a análise e a verificação
empírica da lei de Hooke. Em posse de tais resultados, foi possível determinar a equação
empírica do módulo de Young e, também, o valor do mesmo para as barras, com o qual, pôde
ser comparado com a literatura. Dessa forma, pôde-se concluir a identificação da composição
de qual material é feita a barra utilizada no experimento.
1
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO 3
2. OBJETIVOS 3
3. FUNDAMENTOS TEÓRICOS 3
4. MATERIAIS UTILIZADOS 6
5. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS 6
6. RESULTADOS 7
7. ATIVIDADES COMPLEMENTARES 11
8. QUESTÕES 14
9. CONCLUSÃO 15
10. APÊNDICE 16
2
1. INTRODUÇÃO
Neste relatório serão apresentados os procedimentos experimentais, resultados,
discussões e conclusões a respeito do estudo de flexão de barras pelo método científico. Além
disso, serão mostrados conceitos e cálculos importantes perante ao procedimento realizado, a
fim de melhor embasar os resultados e discussões do presente estudo.
2. OBJETIVOS
● Determinar a equação que descreve a deformação elástica de uma barra cilíndrica por
flexão pelo método científico;
● Identificar o material que as barras são feitas a partir do módulo de Young;
● Utilizar o método visual para determinar constantes a partir de gráficos;
● Estimar o módulo de Young a partir de aproximações via MMQ.
3. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
Todos os materiais podem ser deformados quando submetidos a uma carga externa e
possuem um limite de carga para comportamento elástico (dividido entre linear e não linear,
quando o sólido tem a capacidade de voltar à sua forma inicial), comportamento plástico
(quando o sólido perde a capacidade de voltar à sua forma natural) e ruptura do material. Um
corpo homogêneo de comprimento e secção transversal uniforme , submetido a uma força𝐿 𝑆
, sofrerá uma elongação . No caso da flexão de uma barra, observa-se um alargamento em𝐹 ∆𝐿
suas partes convexas e uma contração nas côncavas. Assim, o comportamento da barra está
definido por suas dimensões, carga aplicada e o módulo de Young (coeficiente elástico
envolvido na deformação da flexão) do material. Como as barras estudadas possuem uma
seção transversal circular, a equação a ser usada é:
ℎ = 112π 𝑟
𝑘𝐿𝑛𝐹𝑗𝐸𝑝 
(1)
Onde é o raio da seção transversal da barra, é a força aplicada, é o comprimento𝑟 𝐹 𝐿
da barra (medido entre os pontos de apoio) e é o módulo de Young do material da barra𝐸
(expresso em ).𝑁
𝑚2
3
Nesse experimento foi empregado o método da Teoria dos Erros, com a qual é feita a
manipulação de dados experimentais tendo por finalidade obter a estimativa precisa de tais
dados assim como minimizar o seu erro. Assim, para cada barra foram realizadas as medições
diretas dos diâmetros ( ) e suas respectivas incertezas , dada pela equação (2),𝑑
𝑖
𝑢(𝑑
𝑖
)
𝑢(𝑑
𝑖
) = 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜
(2)
Os cálculos dos valores médios de diâmetro para cada uma das barras dados pela
equação (3),
{𝑑} = 
𝑑
1
 + 𝑑
2
 + ... + 𝑑
𝑛
𝑛 =
1
𝑛
𝑖=1
𝑛
∑ 𝑑
𝑖
(3)
Os desvios padrões estatísticos referentes às medidas dos diâmetros das barras,
equação (4),
𝑆 = 1𝑛(𝑛−1)
𝑖=1
𝑛
∑ (𝑑
𝑖
− {𝑑})2⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
 
(4)
Assim como as respectivas incertezas padrão combinadas concernentes aos valores de
diâmetros das barras, equação (5),
𝑢
𝑐
(𝑑) = 𝑆2 + 𝑢(𝑑
𝑖
)2
(5)
Foram realizadas medições indiretas da flexão ( ) obtidas pela equação (6)ℎ
ℎ = ℎ
𝑓
− ℎ
𝑖
(6)
Onde e representam, respectivamente, a flexão final da(s) barras sob ação daℎ
𝑓
ℎ
𝑖
força peso e a flexão inicial, e sua respectiva incerteza padrão combinada pela equação (7),
𝑢
𝑐
(ℎ) = 𝑢2(ℎ
𝑖
) + 𝑢2(ℎ
𝑓
)
4
(7)
e são ambos os valores da incerteza do micrômetro (0,01mm).𝑢2(ℎ
𝑖
) 𝑢2(ℎ
𝑓
)
Para determinação dos coeficientes e da equação (1), foi necessário linearizar-la𝑘, 𝑛 𝑗
segundo exemplo de linearização de funções de várias variáveis (8)
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑘) = 𝑍
0
𝑥𝑚𝑦𝑛𝑧𝑜𝑘𝑝
(8)
Onde e são constantes a serem determinadas e e são variáveis a𝐴
0
, 𝑚, 𝑛, 𝑜 𝑝 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑘
serem controladas, considera-se a função com apenas um parâmetro independente, por
exemplo, o parâmetro “ ” e desconsidera-se todo o resto constante:𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑍
1
𝑥𝑚
(9)
Onde 𝑍
1
= 𝑍
0
𝑦𝑛𝑧𝑜𝑘𝑝
Aplicando-se então a função logarítmica em obtém-se:𝑓(𝑥)
𝑙𝑜𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑙𝑜𝑔(𝑍
1
) + 𝑚 · 𝑙𝑜𝑔(𝑥)
(10)
𝑓(𝑥)
𝑙𝑜𝑔
= 𝑏 + 𝑎 · 𝑙𝑜𝑔(𝑥)
(11)
Assim, o valor do coeficiente da variável independente é obtido através da inclinação
da reta, equação (12):
𝑎 = 𝑚 =
𝑙𝑜𝑔(𝑓(𝑥
𝑓
)) − 𝑙𝑜𝑔(𝑓(𝑥
𝑜
))
𝑙𝑜𝑔(𝑥
𝑓
) − 𝑙𝑜𝑔(𝑥
0
)
(12)
5
O emprego da análise dimensional foi imprescindível para obtenção do coeficiente 𝑝
do módulo de Young .(𝐸)
O valor do módulo de Young foi obtido através da manipulação algébrica da equação
(1) quando já são de conhecimento os valores dos coeficientes e . A nova equação,𝑘, 𝑛 𝑗
portanto, foi escrita como:
𝐸 = 𝐿
3 · 𝐹
12π · 𝑟4 · ℎ
(13)
4. MATERIAIS UTILIZADOS
● Sistema para medir flexão de barras;
● Balança;
● Pesos;
● Barras metálicas cilíndricas;
● Paquímetro;
● Micrômetro.
5. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS
● Foram realizadas medições dos valores dos diâmetros { } das cincos barras em cinco𝑑
𝑖
pontos distintos posteriormente;
● Foi determinado o valor médio para cada barra e sua respectiva incerteza padrão{𝑑}
combinada para cada barra;𝑢({𝑑})
● 5 barras foram enumeradas de 1 a 5 em ordem crescente de diâmetro;
● Foi ajustado a distância dos pontos de apoio para , fixou-se um valor de𝐿 = 50𝑐𝑚
massa em no ponto médio das barras para flexioná-las, e então𝑚 = 1105, 8𝑔
realizou-se a medição da variação da flexão para cada uma das barras. Em seguida,ℎ
efetuou-se as estimativas das incertezas de medição;
● Com a barra de número 3, foi ajustado, primeiramente, a distância entre os apoios
e, utilizando um micrômetro antes e depois de colocar o peso, foi obtida a𝐿 = 30𝑐𝑚
flexão ( ) da barra. Foi repetida a flexão da mesma barra, mantendo-se o mesmo pesoℎ
e variando apenas a distância entre os apoios, em intervalos de , até a𝐿 = 10𝑐𝑚
distância final, em ;𝐿 = 70𝑐𝑚
6
● Ainda utilizando a barra n° 3, manteve-se a distância entre os pontos de apoio fixada𝐿
em cm, foi medida a flexão da barra para 5 valores distintos de𝐿 = (50, 0 ± 0, 1) ℎ
massa;
● Foram construídos, em papel di-log, os gráficos de versus , versus e versusℎ {𝑑} ℎ 𝐿 ℎ
;𝑚
● Foi determinado os valores dos coeficientes e ;𝑘, 𝑛 𝑗
● Foi determinado o valor coeficiente por análise dimensional;𝑝
● A equação empírica da flexão das barras da seção transversal com os valores dos
coeficientes conhecidos;
● Foi determinado o valor do módulo de Young utilizando os dados do experimento;
● Foi realizada a identificação do material constituinte das barras analisadas na prática;
● O MMQ foi utilizado para determinar o módulo de Young com outra abordagem dada
a equação empírica calculada anteriormente.
6. RESULTADOS
Primeiramente, ao fazer a medição do diâmetro das barras e calcular o diâmetro médio
com a incerteza obteve-se a Tabela 1.
Tabela 1: Diâmetro das barras.(𝑑) 
Barra
𝑑
1
± 𝑢(𝑑1
)
[mm]
𝑑
2
± 𝑢(𝑑
2
)
[mm]
𝑑
3
± 𝑢(𝑑
3
)
[mm]
𝑑
4
± 𝑢(𝑑
4
)
[mm]
𝑑
5
± 𝑢(𝑑
5
)
[mm]
1 5,00 ± 0,02 4,76 ± 0,02 4,70 ± 0,02 4,70 ± 0,02 4,80 ± 0,02
2 6,40 ± 0,02 6,48 ± 0,02 6,42 ± 0,02 6,46 ± 0,02 6,40 ± 0,02
3 8,00 ± 0,02 8,00 ± 0,02 8,00 ± 0,02 8,02 ± 0,02 8,02 ± 0,02
4 9,42 ± 0,02 9,50 ± 0,02 9,44 ± 0,02 9,48 ± 0,02 9,44 ± 0,02
5 12,76 ± 0,02 12,74 ± 0,02 12,80 ± 0,02 12,72 ± 0,02 12,78 ± 0,02
Fonte: Autoria Própria.
Com o comprimento para as barras e𝐿 = (50, 0 ± 0, 1)𝑐𝑚 𝑚 = (1105, 8 ± 0, 2)𝑔 
têm-se as seguintes flexões na Tabela 2.
7
Tabela 2: Medições das flexões em função do diâmetro médio ( ), mantendo a(ℎ) {𝑑}
distância entre os pontos de apoio fixo em e massa fixa em 𝐿 = (50, 0 ± 0, 1)𝑐𝑚
.𝑚 = (1105, 8 ± 0, 2)𝑔
Barra 1 2 3 4 5
{𝑑} = 𝑢({𝑑})
[mm] 4,792 ± 0,059 6,432 ± 0,025 8,008 ± 0,020 9,456 ± 0,024 12,760 ± 0,024
ℎ ± 𝑢(ℎ)
[mm] 6,420 ± 0,014 1,960 ± 0,014 0,800 ± 0,014 0,370 ± 0,014 0,120 ± 0,014
Fonte: Autoria Própria.
Após a realização das medições, foram feitas medições de flexão utilizando a barra 3,
com a mesma massa anterior , porém variando a distância de𝑚 = (1105, 8 ± 0, 2)𝑔 𝐿
à . Os resultados obtidos podem ser verificados na Tabela 3.30, 0 𝑐𝑚 70, 0 𝑐𝑚
Tabela 3: Medição das flexões em função da distância entre os pontos de apoio ,(ℎ) (𝐿)
mantendo o diâmetro da barra fixo em e a massa fixa em{𝑑
3
} ± 𝑢({𝑑
3
})
.𝑚 = (1105, 8 ± 0, 2)𝑔
Barra 3
𝐿 ± 𝑢(𝐿)
[cm] 30,0 ± 0,1 40,0 ± 0,1 50,0 ± 0,1 60,0 ± 0,1 70 ± 0,1
ℎ ± 𝑢(ℎ)
[mm] 0,190 ± 0,014 0,430 ± 0,014 0,660 ± 0,014 1,350 ± 0,014 2,090 ± 0,014
Fonte: Autoria Própria.
Logo após, foi reajustado ficando e foram feitas as medições𝐿 𝐿 = (50, 0 ± 0, 1) 𝑐𝑚 
de flexão da barra 3 variando as massas entre até . Tais dados podem ser400𝑔 1200𝑔
observados na Tabela 4.
Tabela 4: Medições das flexões em função da massa suspensa , mantendo o diâmetro(ℎ) (𝑚)
da barra fixo em e a distância entre os pontos de apoio fixa .{𝑑
3
} ± 𝑢({𝑑
3
}) 50, 0 ± 0, 1 𝑐𝑚
Barra 3
𝑚 ± 𝑢(𝑚)
[g] 406,00 ± 0,02 606,80 ± 0,02 806,00 ± 0,02 1005,80 ± 0,02 1205,20 ± 0,02
8
ℎ ± 𝑢(ℎ)
[mm] 0,300 ± 0,014 0,400 ± 0,014 0,570 ± 0,014 0,710 ± 0,014 0,860 ± 0,014
Fonte: Autoria Própria.
Ao término da coleta de dados, foram realizadas a confecção dos gráficos virtuais,
utilizando o software Microsoft Excel, e físicos em um papel di-log. Além disso, no mesmo
software foi obtida a equação de uma reta potência. No gráfico 1, foi plotado o
comportamento dos dados da Tabela 2.
Gráfico 1: Gráfico di-log das flexões em função do diâmetro médio em milímetros,(ℎ) {𝑑}
mantendo a distância entre os pontos de apoio fixo em e a massa fixa𝐿 = 70, 0 ± 0, 1 𝑚𝑚
em .𝑚 = 1000, 6 ± 0, 2 𝑔
Fonte: Autoria própria.
Já no gráfico 2, foi plotado o comportamento dos dados da Tabela 3.
9
Gráfico 2: Gráfico di-log das flexões em função da distância entre os pontos de apoio(ℎ) (𝐿)
em milímetros, mantendo o diâmetro da barra fixo em e a massa fixa em{𝑑
3
} ± 𝑢({𝑑
3
})
.𝑚 = 1000, 6 ± 0, 2𝑔
Fonte: Autoria própria.
Por fim, no gráfico 3 foi plotado o comportamento dos dados da Tabela 4.
Gráfico 3: Gráfico di-log das flexões em função da massa suspensa em gramas,(ℎ) (𝑚)
mantendo o diâmetro da barra fixo em e a distância entre os pontos de apoio{𝑑
3
} ± 𝑢({𝑑
3
})
fixo em .𝐿 = 50, 0 ± 0, 1 𝑚𝑚
Fonte: Autoria própria.
10
Com base nos dados obtidos pelos Gráfico 1, 2 e 3, foi possível obter a equação a
seguir, baseada na equação de número 1, que representa a flexão de barras de seção
transversal circular.
ℎ = 112π 𝑟
−4𝐿3𝐹1𝐸𝑝 
(14)
Por meio da análise dimensional, tornou-se possível a obtenção do valor de p = -1,
sendo possível a escrita da equação empírica para a flexão de barras de seção transversal
circular de forma completa, mostrada pela equação 15.
ℎ = 112π 𝑟
−4𝐿3 𝐹
1
𝐸 
(15)
Utilizando o gráfico 2, gráfico cujo os pontos da abscissa mais se aproximam de 1, nos
pontos e , com e pode-seℎ = 6, 42 𝑚𝑚 𝑑 = 8, 008 𝑚𝑚 𝐿 = 500, 00 𝑚𝑚 𝑚 = 1105, 8𝑔
calcular o coeficiente de Young do material, chegando-se ao valor de
𝐸 = 16, 99 · 1011 𝑑𝑖𝑛𝑎
𝑐𝑚2
A partir do valor do módulo de Young encontrado, conclui-se que o material que
compõem a barra não pode ser definido, visto que o valor obtido não está dentro do intervalo
de nenhum tipo de material do módulo de elasticidade de Young fornecido na apostila. No
entanto, o valor encontrado aproxima-se dos valores para o aço.
Dessa forma,
7. ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Após fazer análises, foi possível descobrir que o gráfico que mais se aproxima da
linearidade é o gráfico da flexão pela massa. Fazendo o MMQ dos dados obtidos na Tabela 4
considerando para o cálculo, encontra-se𝑏 = 0
𝑎𝑀𝑀𝑄 = 0, 00071 ± 0, 00050 𝑚𝑚
(16)
Com isso, a equação da reta se dará por (17)
ℎ = 0, 00071 · 𝑚
(17)
11
Gráfico 4: Gráfico da flexão X diâmetro com base no método visual.(ℎ) ({𝑑})
Fonte: Autoria própria.
Gráfico 5: Gráfico da flexão X comprimento com base no método visual.(ℎ) (𝐿)
Fonte: Autoria própria.
12
Gráfico 6: Gráfico linear com base no MMQ da flexão X .(ℎ) (𝑚)
Fonte: Autoria própria.
13
8. QUESTÕES
8.1. O que garante que as barras sejam feitas do mesmo material?
R: A utilização da equação 15, que teve seu início na Introdução e foi terminada
posteriormente, determina o módulo de Young para um determinado material. Este resultado
independe da barra utilizada, dependendo apenas de seu material. Logo, a garantia de que as
barras possuam o mesmo material é o módulo de Young calculado.
8.2. Através de análise gráfica de dados experimentais, obtidos seguindo o método
científico, é possível determinar a relação funcional entre duas variáveis? Considere que
os dados desta prática estivessem representados em gráficos lineares. Seria possível
obter a relação funcional entre as diferentes variáveis?
R: Sim, é possível determinar a relação funcional entre duas variáveis, como se pode
verificar nos gráficos , e . Entretanto, somente o gráfico(ℎ) 𝑥 ({𝑑}) (ℎ) 𝑥 (𝐿) (ℎ) 𝑥 (𝑚)
pode ser representado de maneira linear.(ℎ) 𝑥 (𝑚)
8.3. Se, ao invés de utilizar as barras metálicas fornecidas para esta prática,
fossem utilizadas barras de plástico os expoentes k, n, j ou p calculados seriam
alterados? Justifique esta resposta.
R: Os expoentes calculados seriam os mesmos, pois estes fazem referência à uma lei
natural, que descreve o comportamento da flexão de um material, independente de seu
formato, comprimento, diâmetro, força aplicada ou tipo de material. Tais expoentes
determinam uma razão observável em toda e qualquer flexão. Os gráficos sofreriam um
deslocamento de modo a compensar a mudança de material devido a mudança do módulo de
Young, que é um parâmetro intrínseco do material, que estaria relacionado aos coeficientes
lineares dos gráficos. Dessa forma, o material não altera os expoentes.
14
9. CONCLUSÃO
Foram realizados um grande número de testes combinando diferentes pesos, barras e
distâncias de apoio para determinar quais foram as variações de flexão nas cinco barras. De
acordo com a tabela 2 foi possível perceber que com um mesmo peso pendurado, quanto
maior o diâmetro da barra, menor será a variação . Observou-se por meio da tabela 3 queℎ
quanto mais distantes estavam os pontos de apoio, a barra flexionava mais, quando
comparado à flexão com os pontos de apoio mais próximos do centro de massa da barra. Por
meio da tabela 4, também obteve-se que em uma mesma barra, quando a força nela aplicada
aumenta, sua variação também cresce. Logo, as barras apresentadas na prática obedecem aℎ
Lei de Hooke. É importante ressaltar que para que o experimento seja válido, dentro da Lei de
Hooke, é necessário que as forças exercidas sobre as barras não assumam valor superior ao
limite elástico da barra em questão, para que não causem uma deformação permanente nela e
nem sua ruptura.
Uma possível explicação para a divergência dos resultados encontradospara o módulo
de Young se encontra principalmente a erros experimentais ligados aos manuseadores deste
experimento, já que por meio da análise científica, não foi possível observar erros
preliminares perante aos cálculos.
15
10. APÊNDICE
● Média dos diâmetros das barras de 1 a 5:{𝑑}
○ Barra 1:
{𝑑
1
} = 5,00+4,76+4,70+4,70+4,805 = 4, 792 𝑐𝑚
○ Barra 2:
{𝑑
2
} = 6,40+6,48+6,42+6,46+6,405 = 6, 432 𝑐𝑚
○ Barra 3:
{𝑑
3
} = 8,00+8,00+8,00+8,02+8,025 = 8, 008 𝑐𝑚
○ Barra 4:
{𝑑
4
} = 9,42+9,50+9,44+9,48+9,445 = 9, 456 𝑐𝑚
○ Barra 5:
{𝑑
5
} = 12,76+12,74+12,80+12,72+12,785 = 12, 760 𝑐𝑚
● Incerteza - Diâmetro Médio das barras de 1 a 5:
○ Barra 1:
=𝑆
1
 = ( 15 · 4 )
𝑖=1
5
∑ 𝑑
𝑖
− {𝑑
1
}( )2⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
 0, 05535 𝑚𝑚
:
𝑖=1
5
∑ 𝑑
𝑖
− 𝑑
1{ }( )2
5, 00 − 4, 792{ }( )2 = 0, 043264
4, 76 − 4, 792{ }( )2 = 0, 001024 
4, 70 − 4, 792{ }( )2 = 0, 008464
4, 70 − 4, 792{ }( )2 = 0, 008464
4, 80 − 4, 792{ }( )2 = 0, 000064
𝑖=1
5
∑ 𝑑
𝑖
− 𝑑
1{ }( )2 = 0, 06128
𝑢(𝑑
1
) = 0, 055352 + 0, 022 = 0, 059 𝑚𝑚
16
○ Barra 2:
𝑆
2
 = ( 15 · 4 )
𝑖=1
5
∑ 𝑑
𝑖
− {𝑑
2
}( )2⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
 = 0, 01624 𝑚𝑚
:
𝑖=1
5
∑ 𝑑
𝑖
− {𝑑
2
}( )2
6, 40 − 6, 432{ }( )2 = 0, 001024
6, 48 − 6, 432{ }( )2 = 0, 002304
6, 42 − 6, 432{ }( )2 = 0, 000144
6, 46 − 6, 432{ }( )2 = 0, 000784
6, 40 − 6, 432{ }( )2 = 0, 001024
𝑖=1
5
∑ 𝑑
𝑖
− {𝑑
2
}( )2 = 0, 00528
𝑢(𝑑
2
) = 0, 016242 + 0, 022 = 0, 025 𝑚𝑚
○ Barra 3:
𝑆
3
 = ( 15 · 4 )
𝑖=1
5
∑ 𝑑
𝑖
− {𝑑
3
}( )2⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
 = 0, 00489 𝑚𝑚
:
𝑖=1
5
∑ 𝑑
𝑖
− 𝑑
3{ }( )2
8, 00 − 8, 008{ }( )2 = 0, 000064
8, 00 − 8, 008{ }( )2 = 0, 000064
8, 00 − 8, 008{ }( )2 = 0, 000064
8, 02 − 8, 008{ }( )2 = 0, 000144
8, 02 − 8, 008{ }( )2 = 0, 000144
𝑖=1
5
∑ 𝑑
𝑖
− 𝑑
3{ }( )2 = 0, 00048
𝑢(𝑑
3
) = 0, 0048982 + 0, 022 = 0, 020 𝑚𝑚
○ Barra 4:
𝑆
4
 = ( 15 · 4 )
𝑖=1
5
∑ 𝑑
𝑖
− {𝑑
4
}( )2⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
 = 0, 01469 𝑚𝑚
:
𝑖=1
5
∑ 𝑑
𝑖
− 𝑑
4{ }( )2
9, 42 − 9, 456{ }( )2 = 0, 001296
9, 50 − 9, 456{ }( )2 = 0, 001936
9, 44 − 9, 456{ }( )2 = 0, 000256
9, 48 − 9, 456{ }( )2 = 0, 000576
17
9, 44 − 9, 456{ }( )2 = 0, 000256
𝑖=1
5
∑ 𝑑
𝑖
− 𝑑
4{ }( )2 = 0, 00432
𝑢(𝑑
4
) = 0, 014692 + 0, 022 = 0, 024 𝑚𝑚
○ Barra 5:
𝑆
5
 = ( 15 · 4 )
𝑖=1
5
∑ 𝑑
𝑖
− {𝑑
5
}( )2⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
 = 0, 01414 𝑚𝑚
:
𝑖=1
5
∑ 𝑑
𝑖
− 𝑑
5{ }( )2
12, 76 − 12, 760{ }( )2 = 0
12, 74 − 12, 760{ }( )2 = 0, 0004
12, 80 − 12, 760{ }( )2 = 0, 0016
12, 72 − 12, 760{ }( )2 = 0, 0016
12, 78 − 12, 760{ }( )2 = 0, 0004
𝑖=1
5
∑ 𝑑
𝑖
− 𝑑
5{ }( )2 = 0, 004
𝑢(𝑑
5
) = 0, 014142 + 0, 022 = 0, 024 𝑚𝑚
● Incerteza - Flexão das barras de 1 a 5:ℎ
○ 𝑢(ℎ) = (𝑢
𝑚𝑖𝑐𝑟ô𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
)2 + (𝑢
𝑚𝑖𝑐𝑟ô𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
)2
𝑢(ℎ) = (0, 01)2 + (0, 01)2 = 0, 0001 + 0, 0001
𝑢(ℎ) = 0, 0002 = 0, 014 𝑚𝑚
● Incerteza - Comprimento da distância entre os pontos de apoio:𝐿
○ 𝑢(ℎ) = (𝑢
𝑟é𝑔𝑢𝑎
)2 + (𝑢
𝑟é𝑔𝑢𝑎
)2
𝑢(ℎ) = (0, 1)2 + (0, 1)2 = 0, 01 + 0, 01
𝑢(ℎ) = 0, 02 = 0, 14 𝑚𝑚
18
● Obtenção dos coeficientes e :𝑘, 𝑛 𝑗
○ Para a obtenção dos coeficientes e , com base nas equações 10, 11 e 12,𝑘, 𝑛 𝑗
foram utilizados os seguintes pontos:
○ Gráfico 1:
P1 = (10 ; 0,3)
P2 = (8 ; 0,8)
𝑦 = 3949, 7𝑥−4,098
𝑦
𝑃1
= 3949, 7 . 10−4,098 = 0, 315184
𝑦
𝑃2
= 3949, 7 . 8−4,098 = 0, 786505
𝑎 = 𝑚 =
𝑙𝑜𝑔(𝑓(𝑥
𝑓
)) − 𝑙𝑜𝑔(𝑓(𝑥
𝑜
))
𝑙𝑜𝑔(𝑥
𝑓
) − 𝑙𝑜𝑔(𝑥
0
) =
𝑙𝑜𝑔(0,786505) − 𝑙𝑜𝑔(0,315184)
𝑙𝑜𝑔(8) − 𝑙𝑜𝑔(10) ⇒ 𝑘 =− 4, 098
○ Gráfico 2:
P1 = (300 ; 0,19)
P2 = (500 ; 0,66)
𝑦 = 1 · 10−5𝑥2,8093
𝑦
𝑃1
= 1 · 10−5 · 3002,8093 = 90, 98645
𝑦
𝑃2
= 1 · 10−5 · 5002,8093 = 382, 13466
𝑎 = 𝑚 =
𝑙𝑜𝑔(𝑓(𝑥
𝑓
)) − 𝑙𝑜𝑔(𝑓(𝑥
𝑜
))
𝑙𝑜𝑔(𝑥
𝑓
) − 𝑙𝑜𝑔(𝑥
0
) =
𝑙𝑜𝑔(382,13466) − 𝑙𝑜𝑔(90,98645)
𝑙𝑜𝑔(500) − 𝑙𝑜𝑔(300) ⇒ 𝑛 = 2, 8093
○ Gráfico 3:
P1 = (800 ; 0,6)
P2 = (1205,2 ; 0,86)
𝑦 = 0, 0008𝑥0,9888
19
𝑦
𝑃1
= 0, 0008 · 8000,9888 = 0, 593834
𝑦
𝑃2
= 0, 0008 · 1205, 20,9888 = 0, 89051
𝑎 = 𝑚 =
𝑙𝑜𝑔(𝑓(𝑥
𝑓
)) − 𝑙𝑜𝑔(𝑓(𝑥
𝑜
))
𝑙𝑜𝑔(𝑥
𝑓
) − 𝑙𝑜𝑔(𝑥
0
) =
𝑙𝑜𝑔(0,89051) − 𝑙𝑜𝑔(0,593834)
𝑙𝑜𝑔(800) − 𝑙𝑜𝑔(1205,2) ⇒ 𝑗 = 0, 9888
● Análise Dimensional para obtenção do coeficiente :𝑝
○ ℎ = 112π 𝑟
−4𝐿3𝐹1𝐸𝑝
[𝑚] = [𝑚]−4[𝑚]3[𝑁]1 𝑁
𝑚2
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
𝑝
𝑚2
𝑁
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
= 𝑁
𝑚2
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
𝑝
𝑝 =− 1
● Módulo de Young:
○ Primeiro deve ser realizado a conversão das unidades das variáveis para o
sistema internacional:
𝑑 = 4, 792 * 10−3𝑚 ⇒ 𝑟 = 2, 396 * 10−3𝑚
𝐿 = 50 · 10−2 𝑚
𝐹 = 1, 1058 𝑘𝑔 · 9, 81 𝑚
𝑠2
= 10, 848 𝑁
ℎ = 6, 420 · 10−3𝑚
○ Substituindo os valores acima na equação 15:
ℎ = 112π 𝑟
−4𝐿3 𝐹
1
𝐸 
6, 420 · 10−3 = 112π · (2, 396 · 10
−3)−4 · (5 · 10−1)3 · 10,848𝐸
𝐸 = 1, 699 · 1011 𝑁
𝑚2
20
○ Como é igual a :0, 1 𝑁
𝑚2
1 𝑑𝑖𝑛𝑎
𝑐𝑚2
𝐸 = 1, 699 · 1011 · 0, 1
𝐸 = 16, 99 · 1011 𝑑𝑖𝑛𝑎
𝑐𝑚2
● Método de determinação visual:
○ Gráfico 1:
tomamos para o cálculo do coeficiente angular a partir do método visual os
seguintes pontos:
{d} ± 𝑢({𝑑}) h ± 𝑢(ℎ)
Pontos Máximos 4,792 ± 0,059 6,420 ± 0,014
Pontos Mínimos 9,456 ± 0,024 0,370 ± 0,014
Para calcular o coeficiente angular pelo método visual temos a seguinte
fórmula:
𝑎 = 𝑚 = ∆ 𝐿𝑜𝑔 ℎ∆ 𝐿𝑜𝑔 {𝑑}
Coeficiente angular mínimo:
=𝑎 = 𝑚 = ∆ 𝐿𝑜𝑔 ℎ∆ 𝐿𝑜𝑔 {𝑑}
𝐿𝑜𝑔 (9,432) − 𝐿𝑜𝑔 (4,733)
𝐿𝑜𝑔 (0,356) − 𝐿𝑜𝑔 (6,406) = − 4. 191232192 
Coeficiente angular máximo:
=𝑎 = 𝑚 = ∆ 𝐿𝑜𝑔 ℎ∆ 𝐿𝑜𝑔 {𝑑}
𝐿𝑜𝑔 (9,480) − 𝐿𝑜𝑔 (4,841)
𝐿𝑜𝑔 (0,384) − 𝐿𝑜𝑔 (6,434) = − 4. 207032062 
Coeficiente angular nos pontos escolhidos:
=𝑎 = 𝑚 = ∆ 𝐿𝑜𝑔 ℎ∆ 𝐿𝑜𝑔 {𝑑}
𝐿𝑜𝑔 (9,456) − 𝐿𝑜𝑔 (4,792)
𝐿𝑜𝑔 (0,370) − 𝐿𝑜𝑔 (6,420) = − 4. 198416469 
Incerteza coeficiente angular:
𝑢(𝑎) = 𝑎 𝑚𝑎𝑥 − 𝑎 𝑚𝑖𝑛2 =
(−4.207032062)−(−4.191232192)
2 = 0. 007899935 
Com os devidos arredondamentos chegamos em igual:𝑎
𝑎 = 4. 1984 ± 0. 0078 
21
○ Gráfico 2:
𝐿 ± 𝑢(𝐿) h ± 𝑢(ℎ)
Pontos Máximos 70,0 ± 0,1 2,090 ± 0,014
Pontos Mínimos 40,0 ± 0,1 0,430 ± 0,014
Para calcular o coeficiente angular pelo método visual temos a seguinte
fórmula:
𝑎 = 𝑚 = ∆ 𝐿𝑜𝑔 ℎ∆ 𝐿𝑜𝑔 {𝑑}
Coeficiente angular mínimo:
=𝑎 = 𝑚 = ∆ 𝐿𝑜𝑔 ℎ∆ 𝐿𝑜𝑔 {𝑑}
𝐿𝑜𝑔 (2,076) − 𝐿𝑜𝑔 (0,416)
𝐿𝑜𝑔 (69,9) − 𝐿𝑜𝑔 (39,9) = 2. 785392306 
Coeficiente angular máximo:
=𝑎 = 𝑚 = ∆ 𝐿𝑜𝑔 ℎ∆ 𝐿𝑜𝑔 {𝑑}
𝐿𝑜𝑔 (2,104) − 𝐿𝑜𝑔 (0,444)
𝐿𝑜𝑔 (70,1) − 𝐿𝑜𝑔 (40,1) = 2. 867029764 
Coeficiente angular nos pontos escolhidos:
=𝑎 = 𝑚 = ∆ 𝐿𝑜𝑔 ℎ∆ 𝐿𝑜𝑔 {𝑑}
𝐿𝑜𝑔 (2,090) − 𝐿𝑜𝑔 (0,430)
𝐿𝑜𝑔 (70,0) − 𝐿𝑜𝑔 (40,0) = 2. 825392297 
Incerteza coeficiente angular:
𝑢(𝑎) = 𝑎 𝑚𝑎𝑥 − 𝑎 𝑚𝑖𝑛2 =
(2.867029764)−(2.7853923062)
2 = 0. 040818729 
Com os devidos arredondamentos chegamos em igual:𝑎
𝑎 = 2. 826 ± 0. 041 
22
○ Gráfico 3:
𝑚 ± 𝑢(𝑚) h ± 𝑢(ℎ)
Pontos Máximos 1202,20 ± 0,02 0,860 ± 0,014
Pontos Mínimos 606,80 ± 0,02 0,400 ± 0,014
Para calcular o coeficiente angular pelo método visual temos a seguinte
fórmula:
𝑎 = 𝑚 = ∆ 𝐿𝑜𝑔 ℎ∆ 𝐿𝑜𝑔 {𝑑}
Coeficiente angular mínimo:
=𝑎 = 𝑚 = ∆ 𝐿𝑜𝑔 ℎ∆ 𝐿𝑜𝑔 {𝑑}
𝐿𝑜𝑔 (0,846) − 𝐿𝑜𝑔 (0,386)
𝐿𝑜𝑔 (1205,18) − 𝐿𝑜𝑔 (606,18) = 1. 088939848 
Coeficiente angular máximo:
=𝑎 = 𝑚 = ∆ 𝐿𝑜𝑔 ℎ∆ 𝐿𝑜𝑔 {𝑑}
𝐿𝑜𝑔 (0,874) − 𝐿𝑜𝑔 (0,414)
𝐿𝑜𝑔 (1205,22) − 𝐿𝑜𝑔 (606,82) = 1. 14348804 
Coeficiente angular nos pontos escolhidos:
=𝑎 = 𝑚 = ∆ 𝐿𝑜𝑔 ℎ∆ 𝐿𝑜𝑔 {𝑑}
𝐿𝑜𝑔 (0,860) − 𝐿𝑜𝑔 (0,400)
𝐿𝑜𝑔 (606,8) − 𝐿𝑜𝑔 (1205,2) = 1. 115514576 
Incerteza coeficiente angular:
𝑢(𝑎) = 𝑎 𝑚𝑎𝑥 − 𝑎 𝑚𝑖𝑛2 =
(1.14348804)−(1.088939848)
2 = 0. 027274096 
Com os devidos arredondamentos chegamos em igual:𝑎
𝑎 = 1. 115 ± 0. 027 
Com o método visual foi possível conferir os coeficientes e , visto que𝑘, 𝑛 𝑗
aproximando os resultados obtidos durante a aplicação deste método foi de,
respectivamente, -4, 3 e 1.
23
● Método dos mínimos quadrados (MMQ) (atividade complementar):Para realizar o cálculo utilizamos o método que iguala o b a 0, portanto:
𝑎 = Σ𝑥𝑦 Σ𝑥² =
2574.53
3646819 = 0. 000705966 𝑚𝑚
E após isso calculamos sua incerteza:
=𝑢(𝑎) = 1𝑛−1 ×
Σ(𝑦 − 𝑎𝑥)² 
Σ𝑥² = 
1
4 ×
 36854
3646819 ± 0. 00050263799 𝑚𝑚
Portanto após arredondamentos, o coeficiente angular pelo MMQ, encontramos:
𝑎 = 0. 00071 ± 0, 00050 
Agora com o valor de podemos determinar o módulo deℎ𝑚 = 0. 00071 ± 0, 00050 
young, onde , e50 · 10−2 𝑚 𝑟 = 2, 396 * 10−3𝑚 𝑔 = 9, 81𝑚/𝑠²
fazendo as substituições obtemos 𝑒
24