Matematica aplicada a Administracao I

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Matemática aplicada à Administração I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FACAPI 
Faculdade de Ciências Aplicada Piauiense 
 
Educação Superior por Excelência 
 
Prof.: Me. Reginildo Amorim Coelho 
 
Eu ouço e esqueço. Eu vejo e lembro. Eu faço e aprendo. 
 
 
 Provérbio Chinês 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
01. Palavra do Professor ...................................................................................................03 
02. O contexto das Finanças na História 
 2.1 Dinheiro e o Tempo ............................................................................................04 
 2.2 Juros ....................................................................................................................05 
03. Multiplicação e Divisão 
 3.1 Multiplicação........................................................................................................09 
 3.2 Divisão..................................................................................................................10 
04. Relação Algébrica 
 4.1 Razão ...................................................................................................................09 
 4.2 Aplicações ...........................................................................................................11 
05. Potencialização 
 5.1 Potencialização ....................................................................................................13 
06. Porcentagem .................................................................................................................18 
07. Taxas e Coeficientes 
 7.1 Taxas ....................................................................................................................22 
08. Juros e Aplicações Financeiras 
 8.1 E os juros? ............................................................................................................25 
 8.2 Definições usuais .................................................................................................28 
 8.3 Regra de três ........................................................................................................30 
 8.4 Proporcionalidade ................................................................................................32 
09. Juros Simples 
 9.1 Fórmula para Cálculo do Juros Simples ..............................................................35 
10. Juros Compostos 
 10.1 Fórmula para Cálculo do Juros Compostos ........................................................40 
11. Equivalência de Taxas 
 11.1 Taxas Equivalentes ............................................................................................45 
 11.2 A taxa Nominal ..................................................................................................47 
 11.3 A taxa Efetiva .....................................................................................................49 
 11.4 A taxa Real .........................................................................................................50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Operações Sobre Fluxo de Caixa 
 12.1 Diagrama de fluxo de caixa ................................................................................55 
 12.2 Valor presente ....................................................................................................57 
 12.3 Séries de pagamentos .........................................................................................59 
 12.4 Descontos ...........................................................................................................60 
13. Bibliografia .................................................................................................................62 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Queridos estudantes, 
Estamos iniciando este curso de matemática para o curso de Administração com o intuito 
de apreender a manipular as fórmulas e os cálculos necessários para um bom 
empreendendor/administrador. 
Inciaremos com um breve resumo sobre a história do dinheiro e sua aplicação em 
sociedade. Em seguida, uma revisão necessária das operações de multiplicação e divisão, 
ferramentas imprescindiveis para o trabalho com valores monetários. Logo após, 
passaremos ao estudo da razão e da porcentagem que estão presentes na fórmulas de Juros 
Simples e Juros Compostos. Ainda, estudaremos as taxas envolvidas nas diversas 
transações financeiras e, por fim, veremos um pouco sobre as operações sobre fluxo de 
caixa e descontos. 
Ao final deste curso, vocês deverão ser capazes de entender como funcionam os cálculos 
de juros simples e compostos, ainda entender as diversas taxas envolvidas nas operações 
financeiras bem como serem capazes trabalhar com caixa de empresas. 
Desejo a todos muito sucesso e aprendizado! Sincero abraço! 
 
 Professor Reginildo Amorim Coelho 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Palavra do Professor 
04 
 
 
 
O Dinheiro e o Tempo 
 
 
 
A Matemática Financeira possui diversas aplicações no atual sistema econômico. A palavra 
finanças remete especificamente àquelas relações da matemática com o dinheiro tal e qual o 
concebemos nas diversas fases da história da humanidade. Muitas situações estão presentes 
no cotidiano das pessoas e têm ligação imediata com o dinheiro, seja o fato de ter um pouco 
de dinheiro, nada de dinheiro ou muito dinheiro. Em todas as situações ter educação 
financeira torna-se fator determinante da ascensão profissional e saúde financeira pessoal e 
empresarial. Os financiamentos são os mais diversos e criativos. Essa “mania” é muito 
antiga, remete as relações de troca entre mercadorias que com o passar das eras e diferentes 
civilizações evoluíram naturalmente quando o Homem percebeu existir uma estreita relação 
entre o dinheiro e o tempo - “tempo é dinheiro”. Processos de acumulação de capital e a 
desvalorização da moeda levariam intuitivamente a ideia de juros, pois se realizavam 
basicamente devido ao valor temporal do dinheiro. 
 
 
 
 
O contexto das Finanças na História 
http://www.paraibatotal.com.br/noticias/2016/02/22/605
30-crise-encolhe-producao-de-cedulas-e-moedas-e-faz-
faltar-dinheiro-trocado 
Quando tratamos de dinheiro e temporalidade, alguns 
elementos básicos devem ser levados em consideração, tais 
como: 
Inflação → Os preços não são os mesmos sempre; 
Risco → Investimentos envolvem risco que geram perda 
ou ganho de dinheiro; 
Incerteza → Não há como saber que tipo de investimento 
é mais rentável sem estudo prévio; 
Utilidade → Se não é útil, deve ser adquirido? 
Oportunidade →Sem dinheiro as oportunidades dizem 
adeus. 
05 
 
 
 
JUROS 
 
O conceito de juros surgiu no momento em que o homem percebeu a existência de uma 
afinidade entre o dinheiro e o tempo. As situações de acúmulo de capital e desvalorização 
monetária davam a ideia de juros devido ao valor momentâneo do dinheiro (cada dia as 
diferentes moedas tinham e continuam tendo um valor). Algumas tábuas matemáticas se 
caracterizavam pela organização dos dados e textos relatavam o uso e a repartição de 
insumos agrícolas através de operações matemáticas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os sumérios, povos que habitaram o Oriente Médio, 
desenvolveram o mais antigo sistema numérico conhecido, 
registravam documentos em tábuas de argila. Essas tábuas 
retratavam documentosde empresas comerciais. Algumas 
eram utilizadas como ferramentas auxiliares nos assuntos 
relacionados ao sistema de peso e medida. Havia tábuas 
para a multiplicação, números quadrados, números cúbicos 
Fonte: http://bloglucrativo.blogspot.com 
e exponenciais (ideia de função). As funções exponenciais estão diretamente ligadas aos 
cálculos de juros compostos e os juros simples à noção de função linear. Mais adiante 
veremos com mais detalhes essas relações. 
 
06 
Escrita dos Sumérios 
Fonte: http://bloglucrativo.blogspot.com 
Consequentemente existe a relação da escrita antiga dos 
sumérios com o nosso sistema de numeração, o sistema indo-
arábico (inventado pelos hindus e transmitido à Europa 
Ocidental pelos árabes). 
 
 
 
E os juros? Sempre existiram? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vale observar que os juros sempre sofreram com as intempéries. Naquela época, muito mais 
relacionadas com o clima, época de plantio e colheita. Atualmente, os juros sofrem alterações 
de base por conta das políticas monetárias, do banco central, ou seja, a oscilação do juro 
depende não apenas da vontade política/econômica do Ministro da Fazenda e das decisões 
do COPOM (Comitê de Política Monetária do Banco Central), mas também das políticas 
econômicas nacionais e internacionais de diferentes gestões, período de crises financeiras, 
alta e baixa da taxa de desemprego, da instalação de indústrias e de índices de 
desenvolvimento humano (IDH). 
 
 
 
 
 
Na época dos sumérios, os juros eram pagos pelo uso 
de sementes e de outros bens emprestados. Os 
agricultores realizavam transações comerciais onde 
adquiriam sementes para efetivarem suas plantações. 
Após a colheita, os agricultores realizavam o 
pagamento através de sementes com a seguida 
quantidade proveniente dos juros do empréstimo. 
HINDU 
Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br 
Na época dos sumérios, os juros eram pagos pelo uso de sementes e de outros bens 
emprestados. Os agricultores realizavam transações comerciais onde adquiriam sementes 
para efetivarem suas plantações. Após a colheita, os agricultores realizavam o pagamento 
através de sementes com a seguida quantidade proveniente dos juros do empréstimo. A forma 
de pagamento dos juros foi modificada para suprir as exigências atuais, no caso dos 
agricultores, claro que o pagamento era feito na próxima colheita. A relação tempo/juros foi 
se ajustando de acordo com a necessidade de cada época. Atualmente, nas transações de 
empréstimos, o tempo é preestabelecido pelas partes negociantes. 
 
07 
 
 
Multiplicação 
 
Em matemática, a multiplicação é uma é uma forma simples de se adicionar uma quantidade 
finita de números iguais. O resultado da multiplicação de dois números é chamado produto. 
Ao lado da adição, da divisão e da subtração, a multiplicação é uma das quatro operações 
fundamentais da aritmética. Os números sendo multiplicados são chamados de coeficientes 
ou operandos, e individualmente de multiplicando e multiplicador. 
1. Multiplicação de números naturais 
5 x 2 = 20 x 12 = 12 x 125 x 250 = 
 
 
 
2. Multiplicação de números decimais 
 
 2,4 x 3 = 2,5 x 3,7 = 1,23 x 4,5 = 
 
 
 
 
3. Multiplicação de frações 
 
 
2
3
 x 
4
5
 = 
1
4
 x 
5
6
 x 
7
2
 = 
5
12
 x 
1
3
 x 
3
4
 = 
 
 
 
 
 
Multiplicação e Divisão 
08 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Adi%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Divis%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Subtra%C3%A7%C3%A3o
 
 
Exercícios 
 
01. Dadas as operações de multiplicação abaixo, determine o seu resultado. 
a) 5 x 12 
b) 34 x 10 
c) 11 x 20 x 14 
d) 125 x 164 
e) 12 x 60 x 102 
f) 2,6 x 1,2 
g) 1,6 x 4,5 
h) 6,7 x 1,3 x 3,4 
i) 1,25 x 6,5 x 3,21 
j) 
1
8
 x 
4
3
 x 
2
9
 
l) 
5
6
 x 
9
2
 x 
7
3
 x 
1
6
 
 
02. O banco BOA VENTURA S/A resolveu distribuir entre seus 50 funcionários um brinde 
em dinheiro como recompença por seu trabalho. Cada funcionário recebeu 
R$ 120,00 e nenhum recebeu menos do que isso. Quanto foi distribuido pelo banco entre 
seus funcionários? 
 
03. Uma pessoa fez um empréstimo em um banco para pagar em 96 vezes de R$ 150,00 sem 
juros. De quanto foi o empréstimo retirado? 
 
04. Durante 12 dias uma empresa de Markenting entrevistou 1250 pessoas sobre sua 
preferência em relação à escolha dos programas de TV. Ao final desses dias foi revelado o 
total de entrevistados na pesquisa. Quantos foram as pessoas entrevistadas? 
 
 
 
 
 
 09 
 
 
Divisão 
 
É a operação matemática inversa da multiplicação. O ato de dividir por algum elemento de 
um conjunto só faz sentido quando a multiplicação por aquele elemento for uma função 
bijetora. 
 
1. Divisão de números naturais 
 
 9 : 3 = 64 : 4 = 72 : 8 = 120 : 15 = 
 
 
 
 
2. Divisão de números decimais 
 
 6 : 0,2 = 20 : 0,5 = 36 : 1,2 = 4,86 : 0,3 = 
 
 
 
 
3. Divisão de frações 
 
 
2
3
 : 
1
5
 = 
3
4
 : 
8
7
 = 
5
12
 : 
5
3
 = 
 
 
 
 
 
 10 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Multiplica%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_bijetora
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_bijetora
 
 
Exercícios 
 
01. Determine o valor das divisões abaixo 
a) 6 : 2 
b) 16 : 4 
c) 42 : 7 
d) 154 : 7 
e) 252 : 12 
e) 345 : 23f) 896 : 32 
g) 8 : 0,4 
h) 15 : 2,5 
i) 8,64 : 3,6 
j) 257, 5 : 12,5 
 
02. Uma determinada franquia de perfumes distribuiu entre os seus franquiados uma 
participação nos lucros finais da empresa. Sabendo que existem 25 franquiados em todo o 
Brasil e que a empresa reservou R$ 80.000 para a divisão, quanto ganhou, em reais, cada um 
dos beneficiados? 
a) 3.000 
b) 3.100 
c) 3.200 
d) 3.300 
03. Segundo o IBGE a população de Sobradinho/BA em 2014 era de 23.511 pessoas 
residentes na zona urbana e também na rural. Se a CHESF (Companhia Hidro Elétrica do 
São Francisco) pagar o equivalente a R$ 10.000,00 para a prefeitura da cidade e o prefeito 
resolver dividir esse valor pela população, quanto ganhará cada pessoa desta cidade? 
 
04. Um conjunto de agricultores de baixa renda, organizados em cooperativa, abtiveram um 
empréstimo junto ao governo do Estado no valor de R$ 50.000,00. Sabendo que a cooperativa 
é composta de 20 familias, quanto ganhará cada uma das familias associadas. 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 
A noção de relação algébrica em matemática financeira é importante para representar de 
modo geral as relações que estabeleceremos entre o dinheiro, os juros e o tempo. De modo 
geral atribuímos letras (variáveis) para representar o dinheiro gasto, o financiamento, 
investimento, tempo de aplicação, juros mensais, entre outros. Sendo assim é muito provável 
que para cada autor que consultar você encontre diferentes letras para representar as variáveis 
citadas. Uma relação bastante útil em matemática financeira é a proporcionalidade, 
frequentemente conhecida como “regra de três”. Sua utilidade vai desde o cálculo de 
porcentagens até a transformação de unidades de tempo e valor monetário. Primeiramente 
vamos nos ater a noção de razão e proporção. 
 
Razão 
 
Existem várias maneiras de comparar duas grandezas, por exemplo, quando se escreve a > b 
(lê-se “a” maior do que “b”) ou a < b (lê-se “a” menor do que “b”) e a = b (lê-se “a” igual ao 
“b”), estamos comparando as grandezas a e b. Essa comparação pode ser feita através de uma 
razão entre as duas grandezas, isto é o quociente entre essas grandezas. Em resumo, uma 
razão é a representação da divisão entre dois valores “a” e “b”. 
 
 
Exemplo 
A razão entre 6 e 3 é expressa por 6:3 ou 6/3, ou ainda 
6
3
 . Se pretendemos comparar a e b 
determino a razão a: b ou a/b, ou seja, estamos afirmando que “a” é duas vezes maior que 
“b”, ou seja, o dobro. 
 
 
 
Relação Algébrica 
12 
 
 
Exercícios 
 
01. Numa sala de aula estudam 14 meninos e 21 meninas. Indique a razão entre o total de 
meninos e meninas. 
 
02. João e Davi são irmãos que recebem uma mesada de seus pais no fim do mês. Sabendo 
que João por ser mais velho recebe R$ 60,00 e Davi o mais novo recebe R$ 35,00, determine 
a razão entre as mesadas de Davi e João. 
 
03. Determine a razão entre o número de titulares de time de futebol e de um time titular de 
voleibol. 
 
04. A distância entre a cidade A e a cidade B é 120 km e entre a cidade A e a cidade C é de 
300 km. Qual é a razão entre as distâncias de A para B e de A para a C? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 
É a operação matemática que representa a multiplicação de fatores iguais. Ou seja, usamos a 
potenciação quando um número é multiplicado por ele mesmo várias vezes. 
Para escrever um número na forma de potenciação usamos a seguinte notação: 
a = a . a . a . a .... a 
 
Exemplos 
 
22 = 2 x 2 = 4 
44 = 4 x 4 x 4 x 4 = 256 
(-5)3 = (-5) x (-5) x (-5) = -125 
( 
3
2
 )4 = 
3
2
 x 
3
2
 x 
3
2
 x 
3
2
 = 
81
16
 
(2)-3 = (
1
2
)3 = 
1
2
 x 
1
2
 x 
1
2
 = 
1
8
 
(
2
5
)-4 = (
5
2
)4 = 
5
2
 x 
5
2
 x 
5
2
 x 
5
2
 = 
625
16
 
 
Dicas!! 
1. Toda potência de expoente 1 é igual à base 
 a = a 
2. Toda potência de expoente zero é igual a 1, sendo a ≠ 0. 
 a = 1 
3. Multiplicação de potências de mesma base 
 a . a = a 
4. Potência de uma potência 
 (a ) = a 
 
 
 
 
 
Potenciação 
n 
n fatores 
14 
1 
0 
m n m + n 
m n m . n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe abaixo várias formas de representar um mesmo número. 
Representação Exemplo de situação usual 
50% “UNE quer que 50% dos recursos do Fundo Social sejam investidos em educação”. 
½ “Emagreça 1/2 kg por dia comendo sanduíche”. 
0,5 “Oferta: Lapiseira Pentel Técnica 0,5mm Preta - P205” 
metade “Governo Federal reduziu pela metade o dinheiro destinado ao sistema 
penitenciário”. 
 
Note que a tabela traz diferentes situações que são representadas pelo mesmo conceito de 
“metade”. Porém cada situação exposta pede uma diferente representação. Por exemplo, não 
seria adequado dizer: “emagreça 50% de um quilograma por dia”. Para o nosso caso 
específico utilizaremos amplamente a notação de porcentagem, por estar intimamente 
relacionada com o sistema monetário que está definido como número decimal posicional. 
 
 
 
 
 
Porcentagem 
Observe os encartes ao lado. É grande a 
quantidade de vezes que a representação % (por 
cento) está presente na comunicação das mais 
diversas empresas e órgãos públicos. Trata-se de 
uma linguagem amplamente difundida, e é senso 
comum entre a população de que se trata de um 
modo de comunicação com vistas em representar 
a parte de um todo de 100 unidades. 
Dada essa importância, vejamos alguns 
exemplos da representação em porcentagem 
versus a representação na forma de razão e 
o equivalente em decimal: 
https://www.descontosja.com/cupom-desconto-netshoes 
https://www.pegadesconto.com.br/desconto/loja-do-mecanico/ 
15 
 
 
 
Toda razão da forma a/b na qual o denominador b =100, é chamada taxa de porcentagem 
ou simplesmente porcentagem ou ainda percentagem. 
Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de 
autores italianos do século XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra 
cento utilizada nas operações mercantis. 
Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 
unidades de algo, tomaremos 10 unidades. O cálculo de 10% de 80, por exemplo, pode 
ser obtido como o produto de 10% por 80, isto é: 
10% . 80 = 
10
100
 . 80 = 
800
100
 = 8. 
Situações mais elementares, como a citada anteriormente, podem ser resolvidas “de 
cabeça” (cálculo mental). Imagineque os 80 citados são na verdade o valor da conta de 
um jantar em família; sobre esse valor vamos acrescentar a taxa de serviço de garçom que 
é de 10% sobre o consumo total. Sendo assim, basta dividir por 10 o valor da conta, 
resultando em 8, ou melhor, em 8,00 reais e somar este resultado ao total consumido: 
R$8,00 + R$80,00 = R$88,00. 
Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M% 
de um número N, realizamos o produto: Produto = M% . N = (
𝑚
100
) . N 
 
Exemplo 
01. Em uma sala de aula existem 20 meninos e 30 meninas. Determine a porcentagem de 
meninas nesta sala. 
 
02. Uma pesquisa feita numa cidade de 1200 habitantes verificou que 40% destes 
utilizavam uma determinada marca A de creme dental. Quantas pessoas usam esta marca 
nesta cidade? 
 
 
16 
 
 
 
 
03. Cristiano teve um aumento de 8% e passou a receber R$1.680,00. Sendo assim, qual 
era a sua remuneração antes do reajuste? 
 
 
Exercícios 
01. Represente as frações abaixo na forma percentual. 
a) 7/10. 
b) 1/5. 
c) 3/20. 
d) 3/4. 
e) 1/8. 
02. Calcule: 
a) 30% de 1500. 
b) 12% de 120. 
c) 27% de 900. 
d) 55% de 300. 
e) 98% de 450. 
03. Sabendo que 45% de um número equivalem a 36, determine esse número. 
04. Em uma turma de 40 alunos, 45% são meninos. Quantos meninos e meninas tem a 
turma? 
 
 
 
 
 
17 
 
 
 
05. Segundo o censo do IBGE, em 2010, o Brasil tinha 147,4 milhões de pessoas com 10 
anos ou mais que eram alfabetizadas, o que correspondia a 91% da população nessa faixa 
etária. Determine o número de brasileiros com 10 anos ou mais em 2010. 
 
06. Uma televisão que custava R$ 900,00 teve um aumento de R$ 50,00. Qual foi o percentual 
de aumento? 
 
07. Um terreno que custava R$ 50.000,00 há dois anos teve uma valorização de 16,5% nos 
últimos 24 meses. Qual o valor atual do terreno? 
 
08. Uma loja de eletrodomésticos dá 10% de desconto para pagamentos à vista. Nesse caso, 
quanto se paga à vista por uma geladeira cujo preço original é R$ 1.200,00? 
 
09. Uma aplicação financeira rende 8,5% ao ano. Investindo R$ 700,00 nessa aplicação, que 
montante uma pessoa terá após um ano? 
 
10. Um supermercado está fazendo a seguinte promoção: “leve 4 e pague 3”. Isso equivale a 
conceder a quem leva 4, um desconto de: 
a) 40% 
b) 35% 
c) 33,33% 
d) 30% 
e) 25% 
 
 
 
18 
 
 
 
11. (Bradesco) Uma pessoa contrata um advogado e este consegue receber 90% do valor de 
uma questão avaliada em R$300.000,00. O advogado cobra a título de honorários 15% da 
quantia recebida. Portanto quanto o advogado deve receber? 
 
12. Um carro avaliado em R$ 12500,00 foi vendido com um desconto de 12% sobre esse 
preço. Qual o foi o preço de venda? 
 
13. Na minha cidade, foi feita uma pesquisa sobre o meio de transporte utilizado pelos alunos 
para chegarem à escola. Responderam à essa pergunta 2 000 alunos. 42% responderam que 
vão de carro, 25% responderam que vão de moto, e o restante de ônibus. Calcule todas as 
porcentagens possíveis. 
 
14. Um jogador de basquete, ao longo do campeonato, fez 250 pontos, deste total 20% foram 
com cestas de 02 pontos. Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez? 
 
15. Em uma pesquisa de mercado, constatou-se que 67% de uma amostra assistem a um certo 
programa de TV. Se a população é de 56.000 habitantes, quantas pessoas assistem ao tal 
programa? 
 
 
 
 
 
 
 
19