Questão resolvida - Encontre a área delimitada pelo eixo X e pela curva x 1 e^t, y t - t - Universidade Federal do Rio Grande do Norte

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- Encontre a área delimitada pelo eixo e pela curva.x
 
x = 1 + et
y = t - t2
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos colocar em função de , já que se trata de uma curva em coordenadas y x
paramétricas;
 
x = 1 + e 1 + e = x e = x - 1 ln e = ln x - 1t → t → t → t ( )
 
t = ln x - 1( )
 
Agora, substituímos o valor encontratdo para (1) na expressão que define a variavel ;t y
 
y = ln x - 1 - ln x - 1( ) [ ( )]2
 
y = ln x - 1 - ln x - 1( ) 2( )
 
Vamos derivar a função 2 e igualar a zero, dessa forma, podemos o ponto de máximo da 
função e montar o gráfico com a região que desejamos saber a área;
 
y = ln x - 1 - ln x - 1 y' = - 2ln x - 1 ⋅ y' = -( ) 2( ) →
1
x - 1
2-1( )( )
1
x - 1
→
1
x - 1
2ln x - 1
x - 1
( )
 
y' =
1 - 2ln x - 1
x - 1
( )
 
 
(1)
(2)
(3)
Igualando 3 a zero e resolvendo para , temos;x
 
= 0 1 - 2ln x - 1 = 0 ⋅ x - 1 1 - 2ln x - 1 = 0 -2ln x - 1 = - 1
1 - 2ln x - 1
x - 1
( )
→ ( ) ( ) → ( ) → ( )
 
ln x - 1 = ln x - 1 = e = e x - 1 = e x = e + 1( )
-1
-2
→ ( )
1
2
→
ln x-1( )
1
2 →
1
2 →
1
2
 
Com valor de máximo, vamos substituir em 2 e encontrar o valor de máximo para a função;y
 
y = ln e + 1 - 1 - ln e + 1 - 1 = ln e - ln e = ln e - ln emáx
1
2 2
1
2
1
2 2
1
2
1
2
( )
1
2
2
2( )
 
y = ⋅ 1 - ⋅ 1 y = - y = y =máx
1
2
1
4
( )2 → máx
1
2
1
4
→ máx
2 - 1
4
→ máx
1
4
 
Agora, vamos encontrar os pontos onde a função toca o eixo , para isso, igualamos função y
2 a zero e resolvemos para ;x
ln x - 1 - ln x - 1 = 0 ln x - 1 1 - ln x - 1 = 0( ) 2( ) → ( )[ ( )]
 
Assim : ln x - 1 = 0 ou 1 - ln x - 1 = 0( ) ( )
 
Resolvendo e = e x - 1 = 0 x = 1→ ln x-1( ) 0 → →
 
ou
 
e = e = 1 = 1 e = x - 1 ⋅ 1 x - 1 = e x = e + 11-ln x-1[ ( )] 0 →
e
e
1
ln x-1( )
→
e
x - 1
→ ( ) → →
 
x ≅ 3, 72
 
Como a função toca o eixo em 2 pontos e seu máximo corresponde a um valor de x y y = 1
4
positivo, então, a área que desejamos calcular está acima do eixo , entre os 2 valores de x
zero da função. Sendo assim, podemos desenhar o gráfico da região como visto na 
sequência;
 
 
Definida a área, vamos calculá-la, aplicando o conceito de integração. Essa área é dada 
pela integral da expressão 2 entre e ;2 e + 1
 
A = ln x - 1 - ln x - 1 dx = ln x - 1 dx - ln x - 1 dx
2
∫
e+1
( ) 2( )
2
∫
e+1
( )
2
∫
e+1
2( )
 
Primeiro,vamos resolver as integrais em suas formas indefinidas:
 
1)
ln x - 1 dx, h = x - 1 dh = dx, então;∫ ( ) →
ln x - 1 dx = ln h dh∫ ( ) ∫ ( )
 
Usando integração por partes;
 
udv = uv - vdu∫ ∫
 
u = ln h du = dh, dv = dh v = dh v = h( ) →
1
h
→ ∫ →
 
 
Com isso, temos;
 
ln h dh = ln h h - h dh = ln h h - dh = ln h h - 1dh = ln h h - h = hln h - h∫ ( ) ( ) ∫ 1
h
( ) ∫h
h
( ) ∫ ( ) ( )
 
mas, h = x - 1, então : 
ln x - 1 dx = x - 1 ln x - 1 - x - 1 + c∫ ( ) ( ) ( ) ( )
2)
ln x - 1 dx, t = x - 1 dt = dt, então;∫ 2( ) →
ln x - 1 dx = ln t dt∫ 2( ) ∫ 2( )
 
Da mesma forma, usando integração por partes;
 
udv = uv - vdu∫ ∫
 
Temos que : u = ln t du = 2ln t dt du = dt2( ) → ( )
1
t
→
2ln t
t
( )
 
dv = dt v = dt v = t→ ∫ →
Perceba que a integral que surgiu já foi resolvida na intgeral feita anteriormente, assim;
 
ln t dt = tln t - 2 ln t dt = tln t - 2 tln t - t = tln t - 2tln t + 2t + c∫ 2( ) 2( ) ∫ ( ) 2( ) ( ( ) ) 2( ) ( )
 
Como : t = x - 1, então;
 
ln x - 1 dt = x - 1 ln x - 1 - 2tln x - 1 + 2 x - 1 + c∫ 2( ) ( ) 2( ) ( ) ( )
 
Depois de resolver as integrais, temos que a área que desejamos calcular é;
 
A = x - 1 ln x - 1 - x - 1 - x - 1 ln x - 1 - 2 x - 1 ln x - 1 + 2 x - 1[( ) ( ) ( )]
e+1
2
( ) 2( ) ( ) ( ) ( )
e+1
2
 
 
ln t dt = ln t t - t ⋅ dt = tln t - 2 ln t dt∫ 2( ) 2( ) ∫ 2ln t
t
( ) 2( ) ∫ ( )
 
A = x - 1 ln x - 1 - x - 1 - x - 1 ln x - 1 + 2 x - 1 ln x - 1 - 2 x - 1( ) ( )
e+1
2
( )
e+1
2
( ) 2( )
e+1
2
( ) ( )
e+1
2
( )
e+1
2
 
A = 3 x - 1 ln x - 1 - 3 x - 1 - x - 1 ln x - 1( ) ( )
e+1
2
( )
e+1
2
( ) 2( )
e+1
2
A = 3 e ln e - 3 1 ln 1 - 3 e - -3 1 - e ln e + 1 ln 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) 2( ) ( ) 2( )
 
A = 3 - e u. v.
 
 
A = 3 e + 1 - 1 ln e + 1 - 1 - 3 2 - 1 ln 2 - 1 - 3 e + 1 - 1 - -3 2 - 1 - e + 1 - 1 ln e + 1 - 1 - - 2 - 1 ln 2 - 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) 2( ) ( ) 2( )
1 1 1
A = 3e ⋅ 1 - 3 ⋅ 0 - 3e + 3 - e ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 A = 3e - 3e + 3 - e→
(Resposta )