aula03

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3ºAula
Relações e Funções
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de: 
funções.
Nesta aula, aprenderemos um pouco mais sobre Funções e 
Relações e vamos entender as diferenças entre elas.
Bons estudos!
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18Matemática para Computação
Seções de estudo
1 - Relações
1 – Relações
2 – Funções
Relação: dados dois conjuntos A e B, dá-se o nome de 
relação R de A em B a qualquer subconjunto de A x B.
Par ordenado
Plano Cartesiano
Dados dois conjuntos não vazios A e B, denomina-se 
produto cartesiano (indica-se: A x B) de A por B o conjunto 
formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento 
pertence a A e o segundo pertence a B.
 B}
Sobre um plano, podemos adotar dois eixos 
perpendiculares OX e OY, de origem comum O, de modo que, 
a cada ponto do plano, podemos associar um par ordenado de 
números reais. Por exemplo, na figura abaixo, o ponto P pode 
e 15 é a ordenada do ponto:
CONCEITOS DE RELAÇÃO R DE A EM B
A = {1, 2, 5}
B = {2, 4}
Formemos o produto cartesiano de A por B:
A x B = {(1,2), (1,4), (2,2), (2,4), (5,2), (5,4)}
 B, 
determina um conjunto de pares ordenados:
R = {(1,2), (1,4), (2,4)}
Temos, dessa forma, 
R A x B
A relação R pode ser representada pelo diagrama:
Uma relação de A em B é qualquer subconjunto de A x B.
**Veja que podemos ter mais de um elemento do conjunto 
A se relacionando a apenas um elemento do conjunto B. 
Vejamos alguns exemplos:
Sejam A = {1, 2, 3} e B = {5, 6}, os subconjuntos de A 
x B:
R1 = {(1,5), (2,6), (3,6)}
R2 = {(2,6), (3,5)}
R3= {(1,6), (2,6), (3,5), (3,6)}
Perceba que todos esses conjuntos (R1, R2 e R3) são 
relações de A em B, pois utilizam todos os valores de A e ligam 
a um valor de B.
Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} 
 B. Escrever 
os elementos dessa relação:
Vamos à resolução?
Como x A: 
Então, R = {(0,0), (1,2), (2,4), (3,6)}
Essa representação pode ser feita também pelo diagrama 
ou pelo plano cartesiano, conforme veremos a seguir.
Diagrama
A B
R
0 
1 
2 
3 8
 10
Fonte: autoria própria.
Fonte: autoria própria.
Fonte: autoria própria.
124
19
Fonte: autoria própria.
y
6
4
2
0 1 2 3 x
Fonte: autoria própria.
Fonte: autoria própria.
Fonte: autoria própria.
Fonte: autoria própria.
Fonte: autoria própria.
Podemos observar que, em uma relação R de A em B, o 
x B mediante uma lei de 
Ficou entendido o conceito de relação? É fácil! Basta 
relacionar os valores de A em B e obter os pares ordenados. 
Bem. Agora precisamos avançar no conteúdo e ver o que a 
relação ajuda a entender o conteúdo de Função. Vamos lá?!
Uma relação de A em B é determinada de função ou 
aplicação quando associa a todo elemento de A um único 
elemento em B.
A função pode ser definida como um tipo especial de 
relação:
Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de 
A e B. Essa relação f é uma função de A em B quando a cada 
elemento x do conjunto A está associado a um e apenas um 
** Perceba que em Relação podemos ter mais de um 
elemento do conjunto A se relacionando com apenas um 
elemento do conjunto B, mas em FUNÇÃO isso não pode 
acontecer..
Isso não é função !
2 - Funções
X Y
1
2
3
a
b
c
d
e
X Y
1
2
3
a
b
c
d
e
A AB B
1
2
São exemplos de funções de A em B, as relações 
representadas nos diagramas a seguir:
A AB B
1 
2 
 6
A AB B
1 
2 
3 
 6 6
1 
2 
3 
Observe:
Para ser função é necessário seguir os itens abaixo:
- Em B, um elemento pode receber mais de uma flecha.
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20Matemática para Computação
DOMÍNIO CONTRADOMÍNIO E CONJUNTO 
IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
Você já viu que numa função o domínio é constituído 
por todos os valores que podem ser atribuídos à variável 
independentemente. Já a imagem da função é formada por 
todos os valores correspondentes da variável dependente. 
Não entendeu?! Então vamos verificar o exemplo a seguir.
Seja f uma função de A em B.
A B
1 
2 
3 
 
Fonte: autoria própria.
Fonte: autoria própria.
f = {(1,2), (2,4), (3,6)}
O conjunto A é o domínio da função, ou seja, o conjunto 
de onde as flechas saem.
No exemplo temos:
Domínio = {1, 2, 3}
Já o conjunto B é o contradomínio da função, ou seja, 
onde as flechas podem chegar.
No exemplo, temos:
contradomínio = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
A imagem da função é formada por todos os elementos 
de B que ficam associados a elementos de A (elementos de 
B que recebem flechas), ou seja, a imagem são somente os 
valores do conjunto B que recebem as flechas.
No exemplo temos:
imagem = {2, 4, 6}
Portanto, podemos concluir que: O conjunto imagem é 
um subconjunto do contradomínio.
Entenderam? Para fixar melhor o conteúdo, vamos 
verificar mais um exemplo:
Dados os conjuntos A = {-3, -1, 0, 2} e B = {-1, 0, 1, 
definida por f(x) = x + 2.
Primeiramente devemos substituir os valores do 
conjunto A na função para resultarmos em quais valores as 
flechas chegarão em B.
Dessa forma temos:
f(-3) = (-3) + 2 = -1 
f(-1) = (-1) + 2 = 1 
f(0) = (0) + 2 = 2 
f(2) = (2) + 2 = 4 
A B
-3
-1
0 
2 4
Observando o diagrama, podemos verificar que o 
conjunto imagem é:
Im = {-1, 1, 2, 4}
Acredito que tenham entendido o conteúdo. Agora resta 
praticar nas atividades disponibilizadas na plataforma. Vamos lá?
Retomando a aula
Antes de encerrar a Aula 03, é importante que 
retomemos os conteúdos estudados:
1 – Relações 
Nesta seção, aprendemos as características das relações. 
Foi apresentado o plano cartesiano com seus respectivos eixos. 
Em seguida, foram introduzidos conceitos e construções de 
pares ordenados e relações existentes entre eles.
2 – Funções
Aprendemos a identificar e reconhecer a notação de 
uma função. Descrever a lei de formação de funções reais e, 
também, determinar seu Domínio, Contradomínio e Imagem.
BONETTO, G. A. Fundamentos de matemática para 
engenharias e tecnologias. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
Matemática. Volume único. Série Novo Ensino Médio. Ed. 
Reformulada. São Paulo: Ática, 2003.
Só matemática. Disponível em: <www.somatematica.
com.br>. Acesso em: 10 jul. 2017.
Funções e Relações. Disponível em: <http://www.
matematica.pucminas.br/profs/web_walter/oficinas/
Oficina022005.pdf>. Acesso em: 10/07/2017.
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