04 - Pendulo Composto

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE FÍSICA
LABORATÓRIO DE ENSINO
Pêndulo Composto
Roteiro de Física Experimental 2
Experimento 4
Maceió
SUMÁRIO
 1 Introdução.........................................................................................................................................2
 2 Objetivo............................................................................................................................................5
 3 Material.............................................................................................................................................5
 4 Procedimento....................................................................................................................................6
Referência.............................................................................................................................................6
1
 1 Introdução
Pêndulo composto (ou físico) é qualquer corpo suspenso de tal maneira que possa
oscilar num plano vertical ao redor de algum eixo que passa através dele.
Onde:
O – centro de suspensão (ou de oscilação);
CM – centro de massa do pêndulo físico;
l – distância do centro de massa do pêndulo até o eixo de oscilação O.
θ(t) - ângulo entre a linha que passa por O e CM e a direção vertical.
O torque restaurador relativo a uma rotação θ é:
2
Figura 1: Corpo rígido de massa M, suspenso de um ponto O, podendo girar livremente 
em torno de um eixo fixo que passa pelo ponto de suspensão. Fonte: Referência [3]
Figura 2: Diagrama de forças atuantes sobre o corpo 
rígido da figura 1.
τ=−mgd ⋅sen (θ) (1)
Para que o sistema possa executar MHS, a condição é que θ seja muito pequeno,
então:
sen (θ)≃θ 
τ=−mgd ⋅θ (2)
Fazendo, C = mgd, vem:
τ=−C ⋅θ (3)
Porém, a 2ª Lei de Newton para o movimento de um corpo rígido em torno de um
eixo diz que:
τ=I 0α=I 0(d
2
θ/dt 2) 
I0(d
2
θ/dt2)=−Cθ 
(d2θ/dt 2)+C /I 0 θ=0 (equação diferencial do MHS)
Portanto, o período do pêndulo composto para uma pequena amplitude será:
T=
2 π
ω =2π( I 0C )
1 /2
 (4)
Onde: ω=(CI 0)
1 /2
Substituindo C na equação (4), vem:
T=2π( I 0m g d)
1 /2
 (5)
“Para amplitudes maiores, o pêndulo físico efetua movimento periódico, mas
não harmônico.”
Aplicação do Teorema dos Eixos Paralelos (teorema de Steiner):
I0=IG+md
2
I 0
m
=
I G
m
+d2 (6)
Onde: IG=m k
2
E k é o raio de giro em relação ao eixo que passa pelo centro de massa.
k=( I Gm )
1 /2
(7)
Substituindo a equação (7) na equação (6):
3
I 0
m
=k2+d2 (8)
Levando a equação (8) na expressão do período (5), teremos:
T=2π[(k
2
+d2)
g ⋅d ]
1/2
T 2
4 π2
=
k 2+d2
g ⋅d
(9)
Esta última equação nos diz que: Para cada valor do período (T), haverá dois
valores de d, ou seja:
T2 g d=4π2 k2+4π2d2 (10)
d1,2=
[g T 2±(g2T 4−64π2 k2)1/2 ]
8π2
(11)
Onde d1 e d2 são dois comprimentos (comprimentos reduzidos do pêndulo físico),
que causam sua oscilação no mesmo período.
Substituindo d1 e d2, na equação (9), teremos:
T2 gd1=4 π
2 k2+4 π2(d1)
2 (10-1)
T2 g d2=4 π
2 k2+4π2(d2)
2 (10-2)
Subtraindo, (10-2) – (10-1), e isolando o período T, teremos:
T=2π[ (d1+d2)g ]
1/2
(12)
Através dos gráficos (1.a) e (1.b), que representam os períodos em função das
distâncias dos centros de oscilação ao centro de massa, para um lado e o outro da barra.
Através dos gráficos vê-se, quando um pêndulo é uniforme, os dois ramos são
simétricos e existem quatro pontos de suspensão os quais a barra terá o mesmo período
de oscilação.
4
Se forem determinados dois pontos de um corpo não simétrico em relação ao centro
de massa, mas de tal maneira que o período de oscilação, ao suspender o corpo por eles,
seja o mesmo, a distância entre esses pontos será igual ao comprimento do pêndulo
simples, que tem o mesmo período. Esses pontos serão denominados, respectivamente,
centro de suspensão e centro de oscilação ou de percussão. Pode-se ver pelo gráfico que
os segmentos B2A1 e A2B1 satisfazem a essas condições; portanto esses segmentos
serão o comprimento do pêndulo simples correspondente ao período T em segundos.
 2 Objetivo
• Determinação da aceleração da gravidade local;
• Verificação das leis do pêndulo composto.
 3 Material
Material Quantidade
Barra com orifícios 1
Régua graduada 1
Cronômetro 1
Suportes -
5
Gráfico 1: a) Lado esquerdo da barra (aproximando do centro de massa). b) 
Lado direito da barra (afastando do centro de massa)
 4 Procedimento
1. Meça o comprimento L da barra metálica que você usará como pêndulo físico e
determine a localização do centro de massa da mesma.
2. Pendure a barra por um de seus furos e coloque-a para oscilar com uma amplitude
pequena. Utilizando um cronômetro meça o período de 10 (dez) oscilações, 5
(cinco) vezes para a mesma distância;
3. Meça a distância entre o centro do furo e a posição do centro de massa da barra.
4. Repita os procedimentos 2 e 3 para outros furos da barra até que você obtenha um
conjunto de dez (10) medidas. Comece com o furo mais afastado do centro de
massa e não passe do furo imediatamente anterior ao centro de massa da mesma.
5. Elabore um gráfico do período T em função das distâncias dos centros de
suspensão a uma das extremidades da barra (a mesma para todos os pontos).
6. Com os valores d1 e d2 obtidos do gráfico, calcule o valor aproximado da
aceleração da gravidade local; 
7. A partir deste gráfico, determine o centro de massa da barra.
Referência
[1] KELLER, F. J.; GETTYS, W. E.; SKOVE, M. J.; “Física”; 1ª Edição; São Paulo; Makron
Books; 2004;
[2] HALLIDAY, D.; RESNICK, R., WALKER, J.; “Fundamentos de Física”; 7ª Edição, Rio 
de Janeiro, LTC, 2006;
[3] <http://omnis.if.ufrj.br/~vitoria/fisicaexperimental2/Roteiros/E4-Pendulo.pdf>, acessado 
em: 09/04/2012
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	1 Introdução
	2 Objetivo
	3 Material
	4 Procedimento
	Referência