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Universidade de Brasília - UnB
Faculdade UnB Gama - FGA
Engenharia Aeroespacial
Estudo sobre as Diagonal-tension field beams
Autor: Laura Domingos Galant
Orientador: Prof. Dr. Artem Andrianov
Brasília, DF
2021
Laura Domingos Galant
Estudo sobre as Diagonal-tension field beams
Monografia submetida ao curso de graduação
em Engenharia Aeroespacial da Universidade
de Brasília, como requisito parcial para ob-
tenção do Título de Bacharel em Engenharia
Aeroespacial.
Universidade de Brasília - UnB
Faculdade UnB Gama - FGA
Orientador: Prof. Dr. Artem Andrianov
Brasília, DF
2021
Laura Domingos Galant
Estudo sobre as Diagonal-tension field beams/ Laura Domingos Galant. –
Brasília, DF, 2021-
66 p. : il. (algumas color.) ; 30 cm.
Orientador: Prof. Dr. Artem Andrianov
Trabalho de Conclusão de Curso – Universidade de Brasília - UnB
Faculdade UnB Gama - FGA , 2021.
1. Flambagem estrutural. 2. Carga crítica. 3. Estrutura treliçada. 4. Bancada
de testes. 5. Projeto estrutural. I. Prof. Dr. Artem Andrianov. II. Universidade de
Brasília. III. Faculdade UnB Gama. IV. Estudo sobre as Diagonal-tension field
beams
CDU 02:141:005.6
Laura Domingos Galant
Estudo sobre as Diagonal-tension field beams
Monografia submetida ao curso de graduação
em Engenharia Aeroespacial da Universidade
de Brasília, como requisito parcial para ob-
tenção do Título de Bacharel em Engenharia
Aeroespacial.
Trabalho aprovado. Brasília, DF, 25 de maio de 2021:
Prof. Dr. Artem Andrianov
Orientador
Prof. Dr. Manuel Nascimento Dias
Barcelos Júnior
Convidado 1
Prof. Dr. Sergio Henrique da Silva
Carneiro
Convidado 2
Brasília, DF
2021
Este trabalho é dedicado aos meus pais, à todas as mulheres incríveis que me ensinaram
e motivaram nessa jornada e à mim que nunca desisti.
Agradecimentos
É até difícil pensar em por onde começar a agradecer. Irei pelo caminho mais
óbvio: meus pais. Já passamos por muito juntos e a minha graduação não poderia ficar
de fora. Fui a primeira da família a entrar em uma universidade federal e tenho certeza
que eles sentem muito orgulho de mim. Em todos os momentos difíceis que tive, em todos
momentos de dúvida da minha capacidade, eles estavam ali, apostando em mim. Por isso,
obrigada. Gostaria de ressaltar minha mãe, pelo exemplo de força e determinação.
Agradeço também meu melhor amigo e companheiro de empreitadas universitárias,
Douglas. Obrigada por me dar forças quando eu não tinha mais e segurar as pontas
em matérias quando eu não consegui. Sou imensamente grata por levar sua amizade e
companheirismo para toda a vida.
Obrigada também ao meu namorado e parceiro, Pedro, por estar ao meu lado nas
minhas crises de ansiedade, revisar meus textos, falar o quanto eu sou capaz em momentos
que eu não achava que era, por bater de frente comigo quando necessário e por permitir
que eu caísse, mas me ajudasse a levantar.
Agradeço minhas amigas desde o ensino médio, Andressa, Luísa Dan e Luísa Cruz,
por trazerem leveza em momentos difíceis, minha amiga da alma, Manuela, por ser como
uma irmã. Minha terapeuta, Walquiria, por me desafiar todos os dias e me ajudar a ser
mais forte e meu grande amigo, Gabriel, por compartilhar suas experiências e ser um
grande apoio. Amo muito todos vocês e só tenho a agradecer por tê-los em minha vida.
Obrigada.
“Você tem que agir como se fosse possível
transformar radicalmente o mundo. E
você tem que fazer isso o tempo todo.
(Angela Davis)
Resumo
O presente trabalho tem como principal objetivo estudar o fenômeno de flambagem na
diagonal-tension field beam. Parte-se de uma análise de uma moldura quadrada, supondo
o comportamento de coluna ideal, a análise com base na carga crítica é feita para a viga
bi-apoiada e, a partir disso, é estudado o fenômeno na estrutura como um todo. Após
o entendimento desta configuração, a diagonal-tension field beam é estudada a partir de
parâmetros pré-definidos. Este trabalho também servirá de guia para outros trabalhos
futuros que tenham a ambição de projetar uma bancada didática para a observação do
fenômeno nesse tipo de estrutura. Será uma das maneiras de proporcionar essa vivência,
mesmo que simplificada, a vários alunos. As teorias necessárias para o desenvolvimento e
validação do trabalho são abordados ao longo dos capítulos seguintes, dentre elas: flam-
bagem, conceitos, definições e equações necessárias, como funciona a flambagem dentro
do software ANSYS, teoria da tensão diagonal pura e a teoria das diagonal-tension field
beams. Este resumo teórico é apresentado com intuito de justificar as escolhas e métodos
para o projeto da bancada, depois são apresentados os cálculos e simulações no software
utilizando o método dos elementos finitos (MEF), os resultados obtidos e, por fim, as
conclusões.
Palavras-chaves: Flambagem estrutural. Carga crítica. Diagonal-tension field beams.
Tensão diagonal pura.
Abstract
The main objective of this work is to study the phenomenon of buckling in the diagonal-
tension field beam. It starts from an analysis of a square frame, assuming the ideal column
behavior, the analysis based on the critical load is made for the bi-supported beam and,
from that, the phenomenon in the structure as a whole is studied. After understanding
this configuration, the diagonal-tension field beam is studied from pre-defined parameters.
This work will also serve as a guide for other future works that have the ambition to design
a didactic bench for the observation of the phenomenon in this type of structure. It will
be one of the ways to provide this experience, even if simplified, to several students. The
theories necessary for the development and validation of the work are discussed through-
out the following chapters, among them: buckling, concepts, definitions and necessary
equations, how buckling works within ANSYS software, theory of pure diagonal tension
and the theory of diagonal-tension field beams. This theoretical summary is presented in
order to justify the choices and methods for the bench design, then the calculations and
simulations are presented in software using the finite element method (MEF), the results
obtained and, finally, the conclusions.
Key-words: Structural buckling. Critical load. Diagonal-tension field beams. Pure diag-
onal tension.
Lista de ilustrações
Figura 1 – Diagonal-tension beam, Fonte: (KUHN, 1933a) . . . . . . . . . . . . . 16
Figura 2 – Configuração da coluna bi-apoiada, Fonte: (MEGSON, 2014). . . . . . 22
Figura 3 – Bifurcação em uma coluna bi-apoiada, Fonte: adaptado de (SöNNER-
LIND, 2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Figura 4 – Comportamento de uma coluna bi-apoiada, Fonte: adaptado de (BEER;
JOHNSTON, 1989). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Figura 5 – Modos complexos de flambagem, Fonte: (MEGSON, 2014). . . . . . . . 26
Figura 6 – Transformação do local para o global, Fonte: Autor. . . . . . . . . . . . 30
Figura 7 – Representação da transformação das coordenadas do elemento de local
para global, Fonte: Autor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Figura 8 – Notação para a rotação, Fonte: Autor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Figura 9 – Representação convencional de tração (a) de compressão (b), Fonte:
adaptado de (BEER et al., 2017). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Figura 10 – Dimensões da placa, Fonte: Autor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Figura 11 – 𝜅 - coeficiente de flambagem para placas sob compressão, Fonte: Adap-
tado de (MEGSON, 2007) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Figura 12 – Diagonal-tension field beam, Fonte: (JODOIN et al., ) . . . . . . . . . 36
Figura 13 – Princípio da tensão diagonal pura, Fonte: (KUHN, 1956). . . . . . . . . 37
Figura 14 – Representação de vigas de campo de tensão diagonal, Fonte: (KUHN,
1933b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Figura 15 – Esforços em uma viga de tensão diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Figura 16 – Identificaçãodos elementos da estrutura, Fonte: Autor. . . . . . . . . . 40
Figura 17 – Método dos deslocamentos: passos iniciais, Fonte: Autor . . . . . . . . 41
Figura 18 – Equilíbrio nó 3, Fonte: Autor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Figura 19 – Cross section solids gerados, Fonte: Autor. . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Figura 20 – Força aplicada no nó 3, Fonte: Autor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Figura 21 – Força aplicada na placa, Fonte: Autor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Figura 22 – Diagonal-tension field beam, Fonte: Autor. . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Figura 23 – Engaste e força aplicada P, Fonte: Autor. . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Figura 24 – Variação da Carga Crítica de acordo com o prâmetro x, Fonte: Autor. . 54
Figura 25 – Flambagem da moldura quadrada, Fonte: Autor . . . . . . . . . . . . . 54
Figura 26 – Flambagem da placa fina, Fonte: Autor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Figura 27 – Resultado das tensões primárias no ANSYS . . . . . . . . . . . . . . . 57
Figura 28 – 5º modo de flambagem, Fonte: Autor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Figura 29 – 8º modo de flambagem, Fonte: Autor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Lista de tabelas
Tabela 1 – Interpretação dos resultados dos BLFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Tabela 2 – Condições de contorno dos apoios nos nós 1 e 2 . . . . . . . . . . . . . 49
Tabela 3 – Parâmetros definidos para a viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Tabela 4 – Expressões para os deslocamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Tabela 5 – Expressões para as reações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Tabela 6 – Expressões para os esforços internos de cada elemento . . . . . . . . . 53
Tabela 7 – Resultados para as tensões primárias no ANSYS . . . . . . . . . . . . 58
Tabela 8 – Ângulo de rotação do sistema local para o global . . . . . . . . . . . . 64
Lista de abreviaturas e siglas
FEA Finit Element Analysis ou Análise por elementos finitos
MEF/FEM Método dos Elementos Finitos ou Finite Element Method
EDPs Equações diferenciais parciais
BLF Buckling-Load Factors ou Fatores de Carga Crítica ou Coeficiente de
multiplicação de carga
TDP/ PDT Tensão Diagonal Pura ou Pure Diagonal Tension
GL Grau de liberdade
Lista de símbolos
Símbolos latinos
𝑟𝑔 Raio de giro
E Módulo de elasticidade
G Módulo de cisalhamento
𝑃𝑐𝑟 Carga crítica de flambagem
P Carga arbitrária aplicada
I Momento de inércia
l Comprimento do elemento
𝑙𝑒 Comprimento equivalente
n Números inteiros positivos quaisquer
𝐹0 Cargas iniciais para criar [S]
N Número de nós de uma treliça
b Quantidade de barras de uma treliça
s Número de vínculos
t Espessura da placa
h Altura da placa
d Distância entre elementos verticais
𝐴𝑓 área da seção transversal da flange
𝐴𝑟 área da seção transversal do reforçador
𝐹𝑓 Força na flange
𝐹𝑟 Força no reforçador
𝐶𝑟 Compressão no reforçador
S Força de cisalhamento
x Fator de multiplicação do raio ’r’
𝑙𝑑 Comprimento da diagonal
𝑈𝑛 Coordenada do deslocamento
𝐹𝑛 Coordenada da força reativa
𝐻𝑛 Reação no eixo X de um apoio genérico
𝑉𝑛 Reação no eixo Y de um apoio genérico
𝑎𝑛 Elemento horizontal
𝑏𝑛 Elemento vertical
𝑑𝑛 Elemento diagonal
Símbolos gregos
𝜎𝑐𝑟 Tensão crítica de flambagem
𝜎𝑤𝑒𝑏 Tensão na rede
𝜆𝑖 Autovalores
𝜓𝑖 Autovetores de deslocamento
𝜅 Coeficiente de flambagem para placas sob compressão
𝜈 Coeficiente de Poisson
𝛼 Ângulo entre as dobras da rede
Matrizes
K Matriz de rigidez global
[k] Matriz de rigidez local
S Matriz de rigidez de tensão
Sumário
1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1 Problemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Objetivo geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Abordagem metodológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Estrutura do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1 A flambagem estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 Flambagem de colunas bi-apoiadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1.1 Comportamento da coluna bi-apoiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2 Modos de flambagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3 Flambagem dentro da Análise dos Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3.1 Histórico e objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3.2 Como é abordado o problema dentro do software . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.3.3 A malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.3.4 Análise linear ou Eigenvalue-Based Buckling Analysis . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.4 Flambagem na prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 O método dos deslocamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Treliças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 Método dos deslocamentos aplicados à treliça . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2 Placas finas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Vigas de campo de tensão diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.1 Tensão diagonal pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 METODOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1 Determinação da geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.1 Formato e categorização de elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Determinação dos deslocamentos, reações, esforços internos e carga
crítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.1 Esforços e deslocamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.2 Carga crítica de flambagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Placa fina engastada nas quatro extremidades . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 Diagonal-tension field beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 MODELAGEM NO ANSYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.1 Moldura quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.1.1 Geometria e conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.1.2 Condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Placa fina engastada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3 Diagonal-tension field beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.1 Geometria e conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.2 Condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 RESULTADOS E DISCUSSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1 Moldura quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1.1 Deslocamentos, reações e esforços internos . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1.1.1 Deslocamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1.1.2 Reações de apoio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1.1.3 Esforços internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1.2 Carga crítica de flambagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1.2.1 Resultado a partir da formulação de Euler para colunas . . . . . . . . . . . . . 53
5.1.2.2 ANSYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 Placa fina engastada nas quatro extremidades . . . . . . . . . . . . . 55
5.2.1 Método de Kirchoff-Love . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2.2 ANSYS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3 Diagonal-tension field beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3.1 Tensões primárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3.2 ANSYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3.2.1 Tensões principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3.2.2 Carga crítica de flambagem da rede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4 Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.1 Sugestão de trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
APÊNDICE A – ÂNGULO DE ROTAÇÃO DO SISTEMA LOCAL
PARA O GLOBAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
APÊNDICE B – MATRIZES DE RIGIDEZ GLOBAL DOS ELE-
MENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
APÊNDICE C – ASSEMBLAGEM DE MATRIZES . . . . . . . . . 66
16
1 Introdução
1.1 Problemática
O fenômeno de flambagem está presente em diversas estruturas e ocorre diaria-
mente. Acontece quando tem-se uma estrutura muito fina ou quando seu comprimento é
muito maior que sua largura e está sob compressão. Pode representar uma falha estrutu-
ral, mas em 1928, H. Wagner demonstrou que não necessariamente o elemento estrutural
irá falhar caso sofra a flambagem (KUHN, 1956).
A indústria aeronáutica e aeroespacial e a sua crescente necessidade de estruturas
cada vez mais leves, mas ainda assim muito resistentes, forçou os engenheiros, designers
e projetistas a encontrar formas alternativas de construir. Um forte exemplo disso são as
diagonal-tension field beams (KUHN, 1933a) (Figura 1).
Figura 1 – Diagonal-tension beam, Fonte: (KUHN, 1933a)
De acordo com (KUHN, 1933a), as diagonal-tension field beams são estruturas
especialmente projetadas para que as vigas de chapa tenham uma força de cisalhamento
muito pequena quando comparada com a profundidade da chapa, sendo assim a espessura
da rede o menor possível. Uma rede tão fina flambaria com valores muito baixos de tensão,
muito antes de atingir a tensão limite de cisalhamento.
Para deixar a estrutura mais robusta e prevenir a flambagem, são colocados re-
forçadores. Contudo, em estruturas aeronáuticas, pela rede ser extremamente fina, seria
necessário um número muito grande de reforçadores para aumentar a resistência à flam-
bagem.
Capítulo 1. Introdução 17
Por esse motivo, foi pensada outra solução: em vez de colocar reforçadores, seriam
colocados espaçadores. Dessa forma, a rede permanece livre para flambar. Após flambar,
não consegue absorver o cisalhamento nas vigas gerados a partir de tensões de cisalha-
mento, mas consegue carregar o cisalhamento gerado por tração na direção de flambagem
da diagonal. Por isso o nome diagonal-tension field beams.
Uma maneira qualitativa de entender o problema e de como a rede funciona em
estruturas deste tipo é visualizando uma armação quadrada com duas vigas diagonais de
seções transversais iguais, que se comporta como uma treliça. Ao aplicar uma carga P em
um nó livre da estrutura, essas vigas distribuirão a carga uniformemente, uma sob tração
e a outra sob compressão. Conforme a carga aumenta e se aproxima da carga crítica,
a viga sob compressão flamba. A partir disso, caso a carga aumente continuadamente,
a viga sob tração suportará o cisalhamento resultante desse aumento, já que a diagonal
flambada não suporta mais nenhuma carga adicional (KUHN, 1956).
1.2 Motivação
A necessidade de aprofundar no estudo sobre o fenômeno de flambagem e poder
sugerir trabalhos futuros para a visualização do fenômeno em estruturas aeroespaciais
se mostrou a principal motivação para a escolha deste tema. Além de poder contribuir
com a facilitação do aprendizado, possibilitando uma visão prática do conteúdo visto na
disciplina de Mecânica de estruturas aeroespaciais.
1.3 Objetivo geral
Investigar sobre as Diagonal-tension field beams e fazer uma análise da sua efici-
ência em comparação a estrutura no formato de moldura quadrada.
1.4 Objetivos específicos
• Determinar os parâmetros principais dos elementos estruturais que influenciam a
carga crítica de flambagem na configuração de moldura quadrada;
• Determinar as cargas nos elementos de viga variando os parâmetros principais es-
colhidos para a análise na treliça presenta na configuração de moldura quadrada;
• Determinar a carga crítica de flambagem da placa fina e comparar ao resultado
obtido para a carga crítica da viga;
• Comparar a eficiência da configuração da viga com a moldura quadrada;
Capítulo 1. Introdução 18
1.5 Abordagem metodológica
O primeiro passo neste trabalho é determinar a geometria da estrutura. Sabe-se que
ela deve ser semelhante ao mostrado na figura 13, a partir disso é possível determinar os
perfis e verificar o seu comportamento. Para simplificar a análise é necessário parametrizar
a estrutura. Será determinada a relação entre as áreas dos perfis de todos os elementos.
Aqui já é possível verificar como a estrutura distribui uma carga arbitrária aplicada.
Nesta segunda etapa, é necessário verificar a distribuição dos esforços na moldura
quadrada. Para tal será utilizado o método dos deslocamentos aplicados à treliça. Aqui será
possível observar com maior precisão a distribuição da carga e como a estrutura reage a
sua aplicação. Por análise gráfica será possível observar como a alteração dos componentes
geométricos influencia na distribuição do carregamento e nos deslocamentos.
O segundo passo nesta etapa é determinar a carga crítica para o perfil da diagonal,
utilizando a formulação a partir das equações diferenciais da flambagem e as propriedades
do material escolhido. Em seguida é necessário fazer uma simulação simplificada no soft-
ware ANSYS, utilizando a análise de elementos finitos, ou Finit Element Analysis - FEA
para ter-se uma noção inicial de como este perfil irá flambar em conjunto com o restante
da estrutura. Quando os resultados analíticos e numéricos da carga crítica de flamba-
gem estiverem dentro de uma margem de erro satisfatória as próximas etapas podem ser
desenvolvidas.
Após o entendimento do comportamento da estrutura com a moldura quadrada
é possível aprofundar e discutir a teoria da tensão diagonal pura e efetuar os cálculos
e simulações para a nova configuração. Por fim, é feita uma análise comparativa para
verificar a eficiência das Diagonal-tension field beams.
1.6 Estrutura do trabalho
Além da introdução, este trabalho está organizado de acordo com os capítulos a
seguir.
O segundo capítulo representa a revisão bibliográfica necessária para o trabalho,
abordando os conceitos principais fundamentais para a compreensão do tema, como: des-
crição do fenômeno de flambagem e o equacionamento necessário para a aplicação esco-
lhida, breve explicação de como a FEA e a flambagem funcionam dentro do software,
teoria de treliças usando MEF, hipótese de Kirchoff-Love sobre placas finas e a teoria da
tensão diagonal pura.
O terceiro capítulo evidenciará a metodologia utilizada neste trabalho. Já no se-
guinte, é mostrada a modelagem do problema no ANSYS Mechanical a partir de alguns
parâmetros selecionados e definidos por meio dos resultados dos capítulos anteriores. No
Capítulo 1. Introdução 19
seguinte, são apresentados os resultados obtidos e a discussão.
O último capítulo apresentará as conclusões acerca do trabalho e os trabalhos
futuros sugeridos.
20
2 Referencial Bibliográfico
2.1 A flambagem estrutural
Em 1744 foi quando se iniciaram as principais discussões sobre flambagem (MEG-
SON, 2014). Leonhard Euler (1707 - 1783) trabalhava na teoria do porquê determinados
elementos estruturais flambavam e o que possibilitava que o fenômeno acontecesse. A defi-
nição do módulo de Young, também conhecido como módulo de elasticidade, por Thomas
Young (1773 - 1829) foi o que alavancoutoda a teoria de estruturas para construção
(BRITANNICA, 2019). Até a segunda guerra mundial, a teoria da elasticidade era a base
da análise estrutural, com a percepção das estruturas assumindo um comportamento
diferente daquele dito como padrão foi necessário adaptar e reformular para melhor com-
preender o comportamento dos materiais sob diferentes condições (BRITANNICA, 2019).
A definição mais básica que pode ser dada para esse fenômeno é: a mudança repen-
tina no formato de algum componente estrutural que seja fino ou delgado devido a alguma
configuração de aplicação de carga compressiva. Componentes com essas características
estão altamente suscetíveis à flambagem.
Para compreender bem as definições apresentadas é necessário entender o que é
ser delgado. É um conceito geométrico de uma área bidimensional que é quantificado por
um raio de giro r, medido em unidades de comprimento, e mostra como a área da seção
transversal é distribuída ao redor do seu eixo central. Existe uma razão para medir o
quanto um componente é delgado, chamada de slenderness ratio e será mencionada mais
a frente neste trabalho. Caso a geometria da seção transversal não seja circular, existirão
dois valores para o r. A seção tende a flambar ao redor do eixo de menor valor de raio de
giro e de menor momento de inércia (I).
O I de uma seção circular é calculado pela equação:
𝐼 = 𝜋𝐷
4
64 ; 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐷 𝑜 𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 (2.1)
e a área da seção transversal circular:
𝐴𝑐 = 𝜋R2; 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 R 𝑜 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 (2.2)
Por fim, a definição do raio de giro:
𝑟𝑔 =
√︃
𝐼
𝐴
(2.3)
Capítulo 2. Referencial Bibliográfico 21
Os componentes mais eficientes em relação a resistência à flambagem são aqueles
que possuem a maior quantidade de material o mais distante possível dos eixos principais,
aumentando o valor de I.
A estrutura se torna instável sob compressão e, normalmente, essa instabilidade
ocorre dentro do regime elástico e independe da resistência do material.
Essa instabilidade física pode ser classificada em dois tipos: primária e secundá-
ria. A primária tem como características a não-mudança da área da seção transversal, o
comprimento de onda da flambagem é da mesma ordem de grandeza do comprimento do
componente estrutural e pode acontecer em colunas maciças ou de paredes grossas. Já
quando se fala da secundária nota-se a relação muito mais forte com as medidas da seção
transversal, a mudança da área dessa seção ocorre, o comprimento de onda da flambagem
é da mesma ordem de grandeza que as dimensões da seção. Pode-se perceber este tipo de
comportamento em colunas com paredes finas ou em placas reforçadas (MEGSON, 2014).
Existem algumas formas diferentes de flambagem, ou seja, maneiras diferentes que
a flambagem pode ocorrer. Sendo elas: flambagem de colunas, de placas, flexão-torção,
torção lateral, plástica, crippling, tensão diagonal e dinâmica. Cada uma possui a sua
particularidade, equacionamento e maneira de resolução. Neste trabalho a flambagem
presente será de colunas.
2.1.1 Flambagem de colunas bi-apoiadas
A flambagem de colunas acontece quando um carregamento compressivo é aplicado
e, ao atingir certo valor, chamado de carga crítica de flambagem (𝑃𝑐𝑟), essa coluna irá
flambar para alguma direção que não pode ser prevista.
A direção de flambagem é imprevisível por depender de algumas condições do ma-
terial, da estrutura e de aplicação de carga, como: grau de assimetria da peça, imperfeições
geométricas e do próprio material e a aplicação assimétrica da carga.
Para equacionar e analisar a flambagem de colunas analiticamente é necessário
considerar uma coluna ideal, simétrica e que a carga seja aplicada axialmente de maneira
precisa.
Essa coluna ideal possui algumas características que devem ser ressaltadas:
• Quando uma carga arbitrária P é aplicada axialmente nesta coluna ela pode apenas
encolher (deformar longitudinalmente);
• A coluna se desloca minimamente ao aplicar uma carga arbitrária P na sua lateral,
essa carga tem valor menor que 𝑃𝑐𝑟;
Capítulo 2. Referencial Bibliográfico 22
• Ao retirar a carga lateral P a coluna volta a sua posição inicial - chamado de
equilíbrio estável;
• Quando aplicada uma carga de valor igual a 𝑃𝑐𝑟, o deslocamento não desaparece e
a coluna permanecerá nesta posição deslocada, desde que o valor de deslocamento
seja pequeno - chamado de equilíbrio neutro;
• Se a carga aplicada tiver valor maior que 𝑃𝑐𝑟, os deslocamentos laterais aumentam
e se torna difícil prever o comportamento desta estrutura - equilíbrio instável;
Considerando que uma coluna com essas características esteja bi-apoiada,
Figura 2 – Configuração da coluna bi-apoiada, Fonte: (MEGSON, 2014).
usa-se a teoria básica de flexão:
𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑z2 = −𝑀 (2.4)
ou
𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑z2 = −𝑃𝑐𝑟𝑣 (2.5)
Dessa forma, a equação diferencial da flexão de colunas é
𝑑2𝑣
𝑑z2 +
𝑃𝑐𝑟
𝐸𝐼
𝑣 = 0 (2.6)
Tendo como solução
𝑣 = 𝐴 cos𝜇z +𝐵 sin𝜇z (2.7)
Onde 𝜇2 = 𝑃𝑐𝑟/𝐸𝐼 e A e B são constantes desconhecidas. Como dito anteriormente,
a coluna é bi-apoiada, logo as condições de contorno são 𝑣 = 0 em 𝑧 = 0 e 𝑧 = 𝑙. Assim,
𝐴 = 0 (2.8)
Capítulo 2. Referencial Bibliográfico 23
e
𝐵 sin𝜇𝑙 = 0 (2.9)
Considerando uma solução não-trivial, ou seja, 𝑣 ̸= 0
sin𝜇𝑙 = 0 𝑜𝑢 𝜇𝑙 = 𝑛𝜋, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 = 1, 2, 3... (2.10)
Resultando em
𝑃𝑐𝑟𝑙
2
𝐸𝐼
= 𝑛2𝜋2 (2.11)
reorganizando
𝑃𝑐𝑟 =
𝑛2𝜋2𝐸𝐼
𝑙2
(2.12)
Olhando para a equação solução, nota-se que não consegue-se obter uma solu-
ção para v, não importando os valores e nem a quantidade das variáveis de condições
de contorno. O que é esperado, já que o estado de equilíbrio neutro significa que v é
indeterminado (MEGSON, 2014).
O valor máximo de P que não deve ser atingido para que não leve a coluna a
flambar é calculado substituindo o valor de n por 1 na equação carga crítica, assim:
𝑃𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸𝐼
𝑙2
(2.13)
Diferentes valores de 𝑃𝑐𝑟 para modos mais complexos de flambagem são encon-
trados substituindo valores inteiros e positivos para n, por exemplo, 2, 3, e assim por
diante.
𝑃𝑐𝑟 =
4𝜋2𝐸𝐼
𝑙2
,
9𝜋2𝐸𝐼
𝑙2
, ... (2.14)
Já a tensão pode ser calculada por:
𝜎𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸
(𝑙/𝑟𝑔)2
(2.15)
Onde 𝑟𝑔 é o raio de giro definido pela equação 2.3 e a razão 𝑙/𝑟 é a, também
mencionada, slenderness ratio (equação 2.16) da coluna. Caso a coluna tenha uma seção
transversal que seja assimétrica, o 𝑟𝑔 considerado é o de menor valor já que a coluna irá
flambar na direção de menor resistência/ rigidez de flexão, ou menor momento de inércia.
Capítulo 2. Referencial Bibliográfico 24
𝑆𝑟 = 𝑙/𝑟𝑔 (2.16)
Quando se fala de outros tipos de apoio, como uma coluna engastada em ambas
extremidades, o conceito de comprimento equivalente (𝑙𝑒) é importante. Esse é o compri-
mento de uma coluna bi-apoiada que teria a mesma carga crítica que outra coluna de
comprimento l com condições de contorno diferentes.
Para uma coluna bi-engastada o comprimento equivalente é dado por:
𝑙𝑒 = 0, 5𝑙 (2.17)
Dessa forma, a carga crítica é expressa por:
𝑃𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸𝐼
𝑙2𝑒
(2.18)
2.1.1.1 Comportamento da coluna bi-apoiada
Analisando mais a fundo a equação da carga crítica 2.12, e também relembrando o
já dito anteriormente, a flambagem ocorre com valores razoavelmente pequenos, quando
comparados aos valores das tensões últimas do material, de carregamento axial e, a cada
carregamento, está associado um modo de flambagem. Esses valores da carga crítica são
chamados de autovalores e as funções associadas a eles, 𝐵 = sin𝑛𝜋𝑧∖𝑙, são chamadas
de funções próprias e o problema como um todo é chamado de problema de autovalor.
É aqui que também é relembrado o início deste capítulo, quando foi definido que, mate-
maticamente, a flambagem ocorre quando há uma bifurcação nas equações do equilíbrio
estático. O que isso quer dizer? Mesmo que a coluna não sofra nenhuma deflexão lateral,
ao atingir o valor da carga crítica, estará instável. É possível notar a bifurcação no gráfico
apresentado abaixo, valeressaltar que outros pontos de bifurcação surgem nos valores de
𝑃𝑐𝑟 correspondentes a outros modos de flambagem (𝑛 = 2, 3, 4...).
Capítulo 2. Referencial Bibliográfico 25
Figura 3 – Bifurcação em uma coluna bi-apoiada, Fonte: adaptado de (SöNNERLIND,
2014).
Matematicamente falando, o fenômeno acontece quando surge uma bifurcação nas
equações de equilíbrio estático e isso pode ser visto na figura 3. E interpreta-se-a da
seguinte maneira: No estado estável, quando a carga aplicada (de valor menor que a carga
crítica) é removida, a coluna retorna para a sua posição inicial. No estado neutro, a carga
aplicada se assemelha à carga crítica e resulta em pequenas deformações, as quais não
desaparecem quando a carga é retirada. Já no estado instável, a carga aplicada é maior
que a carga crítica e os deslocamentos laterais aumentam com uma frequência maior,
podendo ocasionar no colapso da estrutura.
O comportamento generalizado de uma coluna bi-apoiada é demonstrado na figura
a seguir.
Figura 4 – Comportamento de uma coluna bi-apoiada, Fonte: adaptado de (BEER;
JOHNSTON, 1989).
Capítulo 2. Referencial Bibliográfico 26
2.1.2 Modos de flambagem
Figura 5 – Modos complexos de flambagem, Fonte: (MEGSON, 2014).
Esses modos de flambagem com maiores valores de carga crítica não recebem tanta
atenção, pois antes de atingi-los, deve-se passar pelo primeiro e, normalmente, isso já
representaria uma falha estrutural. Por isso o primeiro modo recebe toda a atenção para
prevenção e análise de comportamento estrutural quando um determinado componente é
estudado (BATHE, 1982).
Diferentes formatos podem surgir com diferentes restrições no modelo com intenção
de prevenir o deslocamento lateral. Se essas restrições adicionais nesses pontos específicos
(pontos de contra-flexão) não existirem, esses modos são instáveis e com pouca aplicação
prática.
A tensão crítica (𝜎𝑐𝑟) correspondente ao 𝑃𝑐𝑟, da equação 2.13, é representado por:
𝜎𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸
(𝑙/𝑟𝑔)2
(2.19)
2.1.3 Flambagem dentro da Análise dos Elementos Finitos
2.1.3.1 Histórico e objetivos
A FEA, Finite Element Analysis ou análise de elementos finitos, é a simulação
de qualquer fenômeno físico utilizando o método de elementos finitos (MEF) ou Finite
Element Method (FEM). Na engenharia, é amplamente usada para reduzir o número de
protótipos físicos e experimentos, além de otimizar o desenvolvimento de componentes.
A FEA surgiu como um método numérico para que os computadores fossem ca-
pazes de resolver as Equações Diferenciais Parciais (EDPs) resultantes dos modelos ma-
temáticos de comportamento estrutural, de fluido, entre outros. Atualmente é a mais
abrangente para a resolução desse tipo de problema. Vale lembrar que os resultados são
aproximações do problema real e servem para se ter uma noção de como será o compor-
tamento de determinado componente ou conjunto deles sob determinadas condições de
contorno. É a base das simulações atuais e serve para que os engenheiros possam encontrar
os resultados desejados, pontos de falha, concentradores de tensão, entre outros.
Capítulo 2. Referencial Bibliográfico 27
Desenvolvida por engenheiros de diferentes empresas e indústrias para direcionar
a resolução de problemas de mecânica estrutural relacionados a engenharia aeroespacial
e civil. Os artigos mais antigos que abordam essa análise são de (SCHELLBACH, 1851))
e (COURANT, 1943) e por volta de meados de 1950 as aplicações mais amplas para a
“vida real” foram abordadas por (TURNER et al., 1956), Argyris [1957], e Babuska e
Aziz [1972] em seus artigos.
2.1.3.2 Como é abordado o problema dentro do software
Existem duas maneiras gerais de se analisar o problema de flambagem. Uma delas
é a chamada de Linear-Buckling Analysis, também conhecida como Eigenvalue-Based
Buckling Analysis, e a outra é a análise não-linear.
Porém, antes de se detalhar estas abordagens é necessário entender o que as pre-
cede: a preparação e discretização do modelo. Pode-se dizer que o lema é ‘dividir para
conquistar’. Para prosseguir com a simulação é necessário criar uma malha, a qual irá
discretizar a estrutura ou componente em vários pedaços menores, saindo do infinito (con-
tínuo) para o finito (discreto).
Os cálculos são feitos para cada um desses elementos de malha e a combinação de
todos esses resultados gera o resultado final. Essas aproximações feitas são polinomiais,
interpolações entre os elementos, e isso mostra que são conhecidos alguns valores de pontos
específicos, mas não de todos (COSTA, 2010). O que mostra que, em geral, quanto mais
elementos, mais fiel e próximo do resultado real.
Os pontos específicos mencionados são chamados de nós e normalmente estão nos
limites do elemento. A aproximação feita entre os valores conhecidos pode ser linear,
quadrática, cúbica, a escolha de qual usar irá depender do caso. Um das grandes vanta-
gens de se utilizar a FEA é que pode-se manipular a discretização, controlando onde são
necessários elementos menores.
2.1.3.3 A malha
A discretização do modelo é o que permite a resolução dos problemas de forma
numérica. Para se ter um resultado numérico confiável é preciso uma malha de boa qua-
lidade.
Quando se trata de estruturas simples sem muitos detalhes ou diferenças de ta-
manho grandes entre os componentes, a malha pode ser genérica. Ou seja, pode-se gerar
uma malha com as mesmas características para o modelo todo (MUTHUKRISHNAN;
NAMBIAR; LAWRENCE, 1995).
Capítulo 2. Referencial Bibliográfico 28
2.1.3.4 Análise linear ou Eigenvalue-Based Buckling Analysis
Esta não é capaz de fornecer informações necessárias sobre a flambagem que ocorre
na estrutura para que as decisões sobre o design da estrutura final possam ser tomadas,
principalmente quando se fala de componentes leves.
Ela permite calcular quantos modos de flambagem forem compatíveis com a quanti-
dade de graus de liberdade disponíveis no modelo, estes exemplificam a configuração que
a estrutura irá assumir, e os fatores de carga de flambagem associados (Buckling-Load
Factors - BLF), mas não aborda os valores numéricos das tensões ou de deslocamento e
quando aparecem, são relativos. Apenas prevê o formato da estrutura flambada e não sua
direção de flambagem (KUROWSKI; KUROWSKI, 2011).
Os modos de flambagem também podem ser definidos como vetores normaliza-
dos que não representam valores reais de deformação quando aplicada uma carga crítica
(RUNESSON; SKYTTEBOL; LINDGREN, 2003). Já o BLF é um coeficiente pelo qual a
carga aplicada deve ser multiplicada ou, em alguns casos, dividida para se obter a magni-
tude da 𝑃𝑐𝑟 (KUROWSKI; KUROWSKI, 2011). Quando aparecem, são considerados os
positivos, já que o sinal negativo indicaria uma inversão no sentido da carga para que a
flambagem aconteça.
Na tabela abaixo é mostrado a interpretação para cada resultado de BLF.
Tabela 1 – Interpretação dos resultados dos BLFs
Valor do BLF Status da flambagem Considerações
>1 Flambagem não prevista Cargas aplicadas <Cargas críticas estimadas.
= 1 Flambagem prevista Cargas aplicadas = Cargas críticas.
<1 Flambamgem prevista Cargas aplicadas >Cargas críticas estimadas.A flambagem irá acontecer.
-1<BLF<0 Flambagem possível Se inverter a direção da carga,a flambagem irá acontecer.
-1 Flambagem possível Se inverter a direção da carga,a flambagem é esperada.
<-1 Flambagem não prevista Cargas aplicadas <Cargas críticas estimadas,mesmo invertendo a força aplicada.
Fonte: Adaptado de (AKIN, 2009).
Além disso, não mostra o que ocorre com a estrutura após a sua flambagem, o
quanto deforma, se vai colapsar, entre outras informações. É neste ponto que essa aná-
lise se assemelha com a modal, esta calcula as frequências naturais e fornece informações
qualitativas dos modos de vibração, mas não menciona os valores reais dos deslocamen-
tos. Ainda assim, é a mais comumente utilizada pela sua facilidade de aplicação mesmo
sendo limitada quanto aos resultados que pode fornecer. Caso se queira esses detalhes é
necessário entrar na esfera de análise não-linear, a qual será abordadano tópico seguinte.
Capítulo 2. Referencial Bibliográfico 29
Por existir o erro de discretização, a análise linear da flambagem superestima a
carga e apresenta resultados não conservativos. Além disso, os BLF também são superes-
timados devido aos erros na modelagem. A grande questão dos modelos para FEA é que
a geometria é representada sem nenhum defeito ou imperfeição, as cargas são aplicadas
sem deslocamento e com precisão, o que não condiz com a realidade (KUROWSKI; KU-
ROWSKI, 2011). As faces não necessariamente são lisas, a carga nunca é aplicada com
precisão no local e os suportes nunca são 100% eficientes da maneira ideal e o material
não é perfeito. Considerando esses erros de discretização e de modelagem, a interpretação
dos resultados de uma análise de flambagem devem ser feitos com cautela.
Ainda assim, quando se deseja análises com respostas mais rápidas e apenas in-
formações básicas, a análise linear é a mais utilizada (IMAOKA, 2008).
2.1.4 Flambagem na prática
Como abordado nos tópicos anteriores, a flambagem na prática pode ser muito
diferente da simulada. Principalmente quando se usa o método de análise linear.
Algumas estruturas demonstram não-linearidades significantes antes mesmo que a
flambagem possa acontecer, o que pode ser da não-linearidade do próprio material ou da
geometria (SöNNERLIND, 2014). Além disso, mesmo que a geometria e a carga sejam
simétricas, o formato do modo de flambagem pode não ser.
Isso tudo enfatiza a importância da experiência prática no estudo da flambagem.
Para que seja possível compreender o fenômeno da maneira mais próxima do real.
2.2 O método dos deslocamentos
O método dos deslocamentos é amplamente utilizado nas programações e, por
isso, é considerado o método de análise estrutural mais importante (LIMA, 2004). Neste
método, as incógnitas são encontradas por meio da resolução de um sistema de equações de
compatibilidade de deslocamentos (LIMA, 2004). Usualmente, escolhe-se os deslocamentos
nas extremidades das barras e/ou em pontos de aplicação de carregamentos.
A título de simplificação, reduz-se o grau de indeterminação cinemática. No cálculo
analítico os GL de rotação das extremidades livres de cada barra da treliça não são
consideradas incógnitas. Assim, tem-se uma estrutura de 2 GL por nó. É como se o
problema fosse encarado de duas formas diferentes: o sistema principal, aquele sob a
ação das forças externas aplicadas e as forças reativas, e os estados com a aplicação de
um deslocamento unitário. A resposta final será uma combinação linear de todos esses
estados.
O primeiro passo para se iniciar a solução analítica de um problema deste gênero
Capítulo 2. Referencial Bibliográfico 30
é entender que nem sempre as referências locais de cada barra da treliça coincidem com
o sistema global de referência. Sendo assim, é necessário ajustar todas os sistemas de
coordenadas para que estejam todos em uma mesma referência. Isso é feito rotacionando
o sistema local até coincidir com o global pré-determinado.
Figura 6 – Transformação do local para o global, Fonte: Autor.
A partir das relações trigonométricas, tem-se na representação matricial:
Fazendo a representação matricial:
⎧⎨⎩ 𝑈𝑋𝐼𝑈𝑌 𝐼
⎫⎬⎭ =
⎡⎣ 𝐶𝑜𝑠𝜃 −𝑆𝑒𝑛𝜃
𝑆𝑒𝑛𝜃 𝐶𝑜𝑠𝜃
⎤⎦⎧⎨⎩u𝑥𝑖u𝑦𝑖
⎫⎬⎭ (2.20)
A matriz de transformação [T] é ortogonal, ou seja a sua inversa coincide com a
sua transposta, [𝑇 ]−1 = [𝑇 ]𝑇 . Caso se queira encontrar os deslocamentos locais a partir
dos globais basta multiplicar o deslocamento global pela transposta de [T].
𝑢𝑖 = [𝑇 ]𝑇 {𝑈𝐼} (2.21)
O mesmo vale para o vetor de forças.
⎧⎨⎩ 𝐹𝑋𝐼𝐹𝑌 𝐼
⎫⎬⎭ =
⎡⎣ 𝐶𝑜𝑠𝜃 −𝑆𝑒𝑛𝜃
𝑆𝑒𝑛𝜃 𝐶𝑜𝑠𝜃
⎤⎦⎧⎨⎩f𝑥𝑖f𝑦𝑖
⎫⎬⎭ (2.22)
𝑓𝑖 = [𝑇 ]𝑇 {𝐹𝐼} (2.23)
De maneira geral, o vetor de deslocamento de um elemento de treliça no plano
global é descrito por:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
𝑈𝑋𝐼
𝑈𝑌 𝐼
𝑈𝑋𝐽
𝑈𝑌 𝐽
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
𝐶𝑜𝑠𝜃 −𝑆𝑒𝑛𝜃 0 0
𝑆𝑒𝑛𝜃 𝐶𝑜𝑠𝜃 0 0
0 0 𝐶𝑜𝑠𝜃 −𝑆𝑒𝑛𝜃
0 0 𝑆𝑒𝑛𝜃 𝐶𝑜𝑠𝜃
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
u𝑥𝑖
u𝑦𝑖
u𝑥𝑗
u𝑦𝑗
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
(2.24)
Capítulo 2. Referencial Bibliográfico 31
Essa relação é válida também para o vetor de força e é obtida a partir da compre-
ensão da equação 2.20, que se refere a transformação de um ponto em coordenadas locais
para globais. O conceito é aplicado ao elemento, que contém dois pontos que devem se
transladados para a coordenada global. Isso pode ser ilustrado na figura 7 abaixo.
Figura 7 – Representação da transformação das coordenadas do elemento de local para
global, Fonte: Autor.
Para o deslocamento global e local de um elemento arbitrário, respectivamente:
{𝑈}(𝑒)𝑔 = [𝑇 ]{𝑢}
(𝑒)
𝑙 (2.25)
{𝑢}(𝑒)𝑙 = [𝑇 ]𝑇 {𝑈}(𝑒)𝑔 (2.26)
O mesmo vale para a força global e local de um elemento arbitrário. A matriz de
rigidez do elemento é encontrado por meio da manipulação dessas equações, bem como o
sistema de equações global do elemento.
Parte-se da equação de um elemento de mola para coordenadas locais:
{𝑓}(𝑒)𝑙 = [𝑘]
(𝑒)
𝑙 {𝑢}
(𝑒)
𝑙 (2.27)
Utilizando a equação 2.26, aplicando-a também para a força e o conceito de orto-
gonalidade:
[𝑇 ]−1{𝐹}(𝑒)𝑔 = [𝑇 ]−1[𝑘]
(𝑒)
𝑙 [𝑇 ]−1{𝑈}(𝑒)𝑔 (2.28)
Conclui-se que:
[𝐾](𝑒)𝑔 = [𝑇 ]−1[𝑘]
(𝑒)
𝑙 [𝑇 ]−1 (2.29)
Sendo:
Capítulo 2. Referencial Bibliográfico 32
[𝑘](𝑒)𝑙 =
𝐸(𝑒)𝐴(𝑒)
𝑙𝑒
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 −1 0
0 0 0 0
−1 0 1 0
0 0 0 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (2.30)
Tem-se a matriz de rigidez global para cada elemento expressa por:
[𝐾](𝑒)𝑔 =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑐𝑜𝑠2𝜃 −𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 −𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑠𝑒𝑛2𝜃
−𝑐𝑜𝑠2𝜃 −𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (2.31)
Lembrando que para uma matriz de rigidez local é considerado o 𝜃 igual a 0, já
que é sob o sistema de referência do próprio elemento. Dessa forma a equação global para
um elemento arbitrário:
{𝐹}(𝑒)𝑔 =
𝐸(𝑒)𝐴(𝑒)
𝑙(𝑒)
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑐𝑜𝑠2𝜃 −𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 −𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑠𝑒𝑛2𝜃
−𝑐𝑜𝑠2𝜃 −𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ {𝑈}
(𝑒)
𝑔 (2.32)
A partir deste ponto é importante se atentar a orientação do ângulo. A convenção
pode ser vista nas figuras a seguir.
(a) Sentido positivo (b) Sentido negativo
Figura 8 – Notação para a rotação, Fonte: Autor.
Após a determinação das matrizes de rigidez nas coordenadas globais para cada
elemento é necessário realizar o processo de assemblagem para encontrar a matriz de
rigidez global do sistema, [𝐾]𝑔. Após, é possível encontrar os deslocamentos bem como as
reações da estrutura.
Capítulo 2. Referencial Bibliográfico 33
O esforço considerado aqui é o local da barra, ou seja será utilizada a matriz de
rigidez local do elemento representada na equação 2.30. Respeitando o equilíbrio se tem
um único esforço na barra. Os esforços internos de cada barra podem ser encontrados
utilizando a equação 2.27 ou
𝑓
(𝑒)
𝑖 =
𝐴(𝑒)𝐴(𝑒)
𝐼(𝑒)
(𝑢𝑖 − 𝑢𝑓 ) (2.33)
para as barras em posições horizontais ou verticais nas quais fica claro os esforços
axiais, já que treliças não sofrem de esforços perpendiculares.
Caso se queira encontrar o valor da tensão basta utilizar a relação:
𝜎 = 𝑓
(𝑒)
𝑖
𝐴(𝑒)
(2.34)
2.3 Treliças
As treliças quando surgiram se diferenciavam pelo material, configuração e pela
capacidade de resistir a elevados esforços (GOMES, 2016). São definidas como treliças
planas o conjunto de elementos que, interligados através de pinos, soldas, rebites, entre
outros, formam uma estrutura triangular rígida que visa resistir esforços normais. É cha-
mada de plana por todos esses elementos pertencerem a um mesmo plano e esses pontos
de conexão são também conhecidos como nós (SQUENA et al., 2011). São projetadas
para suportar as cargas que atuam no seu plano, dessa forma, podem ser tratadas como
estruturas bidimensionais (GOMES, 2016).
Contém diferenteselementos que estarão sob tração ou compressão, é necessário
lembrar que cada barra terá possíveis comportamentos diferentes. As barras traciona-
das estão sujeitas a atingir o limite de escoamento do material e as comprimidas estão
suscetíveis a outras instabilidades com valores de carregamentos inferiores ao limite de
escoamento do material (SOUZA, 2015), como a flambagem. A convenção para a repre-
sentação de tração e compressão é vista a seguir.
Capítulo 2. Referencial Bibliográfico 34
Figura 9 – Representação convencional de tração (a) de compressão (b), Fonte: adaptado
de (BEER et al., 2017).
Algumas hipóteses são adotadas para simplificar a resolução de problemas com
treliças: o peso próprio é desprezado, as barras são consideradas rígidas e indeformáveis
e os eixos das barras coincidem com as retas que unem os nós. Podem ser classificadas
como hipostáticas, isostáticas e hiperestáticas quanto a sua estaticidade (SQUENA et
al., 2011). Para que uma determinada treliça seja classificada como isostática é preciso
satisfazer a equação:
2 ×𝑁 = 𝑏+ 𝑠 (2.35)
Sendo s o número de vínculos, b o número de barras e N o número de nós. Lem-
brando que a estaticidade é um valor numérico que caracteriza o equilíbrio entre os mo-
vimentos de corpos rígidos e os vínculos de uma estrutura (SQUENA et al., 2011).
Estruturas isostáticas são aquelas que o número de reações é igual ao número de
equações de equilíbrio, também conhecidas como equações da estática, disponíveis. Sendo
assim, uma estrutura dita como estável (ALMEIDA, 2009). Alguns métodos distintos
podem ser utilizados para resolver essas treliças, entre eles: dos nós, das seções ou dos
deslocamentos. Qual será utilizado depende do objetivo e do contexto do problema, neste
caso será o terceiro.
2.3.1 Método dos deslocamentos aplicados à treliça
Nesse método, estuda-se primeiro o comportamento individual de cada barra e
depois, ao considerar a interação entre elas, obtém-se a matriz de rigidez global. Essa, por
fim, irá mostrar como a estrutura se comporta.
Ao olhar para cada barra, as equações de compatibilidade são representadas dentro
da matriz de rigidez individual, relacionando as forças externas e os deslocamentos em
cada nó.
Capítulo 2. Referencial Bibliográfico 35
2.3.2 Placas finas
Uma placa é caracterizada por suas dimensões, largura e comprimento, prevalece-
rem sobre a sua espessura (GERARD; BECKER, 1957). Como na flambagem de colunas,
as cargas de flambagem são muito mais baixas quando comparadas as falhas, mas se difere
no fato de flambar em dois planos. Algumas considerações precisam ser feitas ao abordar
essa teoria: apenas as deflexões devido à flexão acontecem e tem valor pequeno, quando
comparado à espessura da placa. A hipótese usada na solução desse tipo de elemento es-
trutural é a de Kirchoff-Love, assume-se que a placa tridimensional pode ser representada
por um plano bidimensional.
A tensão crítica de flambagem pode ser expressa por:
𝜎𝑐𝑟 =
𝜅𝜋2𝐸
12(1 − 𝜈2)
(︂
𝑡
ℎ
)︂2
(2.36)
Figura 10 – Dimensões da placa, Fonte: Autor
Sendo 𝜅 o coeficiente de flambagem. Ele é obtido por meio do gráfico abaixo.
Capítulo 2. Referencial Bibliográfico 36
Figura 11 – 𝜅 - coeficiente de flambagem para placas sob compressão, Fonte: Adaptado
de (MEGSON, 2007)
2.4 Vigas de campo de tensão diagonal
As vigas de campo de tensão diagonal (Figura 12), ou como são mais conhecidas
em inglês: Diagonal-tension field beams, são uma configuração estrutural especial na qual
a força de cisalhamento é pequena quando comparada com a profundidade das vigas.
Dessa forma, a espessura da rede, do inglês web, é muito pequena (KUHN, 1933b).
Figura 12 – Diagonal-tension field beam, Fonte: (JODOIN et al., )
Uma rede tão fina flambaria antes de chegar perto da sua tensão limite de cisa-
Capítulo 2. Referencial Bibliográfico 37
lhamento, uma das soluções propostas é adicionar reforçadores, ou stiffeners, à estrutura.
Porém, como já é conhecido, essa solução não é adequada para estruturas aeronáuticas,
pois seria necessário um número alto de reforçadores o que acarretaria no aumento do
peso estrutural. Dessa forma, outra alternativa teve que ser desenvolvida e testada. Nessa
nova solução, as flanges da viga são conectadas por escoras, do inglês struts, que se com-
portam como espaçadores para as flanges e não como reforçadores da rede. Assim, a rede
é deixada livre para flambar (KUHN, 1933b).
O ponto principal desta nova configuração é que a diagonal não poderá suportar
o cisalhamento crescente devido as forças cisalhantes. Porém, pode e carregará o cisalha-
mento gerado pelos esforços de tração na direção das dobras ou de flambagem. Por isso o
nome, vigas de campo de tensão diagonal (KUHN, 1933b).
Para finalizar, as vigas de campo de tensão diagonal funcionam em um regime
intermediário entre cisalhamento puro e tensão diagonal pura (KUHN, 1940).
2.4.1 Tensão diagonal pura
Figura 13 – Princípio da tensão diagonal pura, Fonte: (KUHN, 1956).
O comportamento da rede pode ser qualitativamente compreendido ao observar-se
a figura 13. As duas diagonais possuem a mesma seção transversal. As duas dividem a
carga de cisalhamento, quando a carga aplicada P aumenta, a diagonal sob compressão
flamba e é incapaz de suportar mais carga, fazendo com que a diagonal sob tração sustente
(KUHN, 1956). Outra maneira de analisar o problema é utilizando uma diagonal sob
compressão, assim pode-se usar o método dos deslocamentos para calcular a força axial
na diagonal e depois redistribuir para as duas diagonais dividindo o esforço entre ambas.
Para que se converta essa moldura em uma viga de campo de tensão diagonal
é necessário substituir as duas barras diagonais por uma chapa fina de espessura t, a
qual seria a rede (figura 22). Porém, o comportamento, na sua essência, é o mesmo e
isso será provado neste trabalho por meio de simulações. Na direção em que estaria a
barra comprimida é a qual a rede sofrerá flambagem. O painel sendo quadrado, as dobras
formam um ângulo entre 38∘<𝛼<45∘.
Capítulo 2. Referencial Bibliográfico 38
(a) Moldura quadrada (b) Viga de campo de ten-
são
Figura 14 – Representação de vigas de campo de tensão diagonal, Fonte: (KUHN, 1933b).
A viga deve ser mais eficiente que a moldura, tanto que seu uso foi um marco na
engenharia estrutural de aeronaves por utilizar conhecimentos da engenharia civil e da
construção de navios (KUHN, 1956).
Se fosse possível aumentar indefinidamente a carga aplicada sem ocasionar o rom-
pimento da rede, a carga de compressão seria negligenciável quando comparada com a de
tração. Essa condição assintótica, ou seja limitante, é conhecida como Tensão Diagonal
Pura (TDP) ou Pure Diagonal Tension (PDT).
Para determinar as tensões em uma estrutura nesta configuração, com tensão
diagonal pura, é necessário assumir que a rede (chapa fina neste caso) é cortada por
linhas paralelas inclinadas a um ângulo 𝛼 em uma série de fitas de largura unitária,
medida horizontalmente (figura 15a). Destacando que h é a altura da estrutura e d é a
distância entre os elementos verticais ou reforçadores.
Este ângulo 𝛼 pode ser calculado por:
𝑡𝑎𝑛4𝛼 = 1 + 𝑡ℎ/2𝐴𝑓1 + 𝑡𝑑/𝐴𝑟
(2.37)
Sendo 𝐴𝑓 e 𝐴𝑟 as áreas da flange e do reforçador, respectivamente.
Capítulo 2. Referencial Bibliográfico 39
(a) Divisão e medição (b) Considerações de corpo livre
I
(c) Considerações de corpo
livre II
(d) Considerações de
corpo livre III
Figura 15 – Esforços em uma viga de tensão diagonal
Fonte: (KUHN, 1956)
Após considerar o equilíbrio nos corpos livres, mostrados nas outras três figuras
(15b, 15c e 15d) obtém-se como resultado as seguintes fórmulas considerando uma carga
aplicada P. Para a força nas flanges, considerando o comprimento total da viga L:
𝐹𝑓 =
𝑃𝐿
ℎ
− 𝑃2𝑡𝑎𝑛𝛼 (2.38)
A força de compressão 𝐶𝑟 nos reforçadores é expressa por:
𝐶𝑟 =
𝑃𝑑
ℎ
𝑡𝑎𝑛𝛼 (2.39)
Se essa força 𝐶𝑟 for alta o suficiente, os reforçadores podem flambar de maneira
similar a colunas. Já para a tensão na rede:
𝜎𝑤𝑒𝑏=
2𝑆
ℎ𝑡 sin 2𝛼 (2.40)
Sendo S a força cisalhante na estrutura. Para o caso mostrado na figura 15, 𝑆 = 𝑃 .
As equações 2.38, 2.39, 2.40 representam as tensões primárias ocasionadas direta-
mente pela tensão diagonal.
40
3 Metodologia
3.1 Determinação da geometria
3.1.1 Formato e categorização de elementos
Vale lembrar que o tamanho dos elementos estruturais é determinado com base
em exemplos semelhantes encontrados na literatura e também que se adéquem ao espaço
disponível para a instalação da bancada, a estrutura como um todo não deve ser maior
que 1 metro e 20 centímetros.
Com objetivo de simplificar a análise é necessário definir os parâmetros relevantes.
A área da seção transversal e o comprimento dos elementos são parâmetros importan-
tes que trazem características geométricas significativas. Por isso, os cálculos serão em
função deles. Assim será possível se ter uma noção geral de como cada um influencia na
distribuição de cargas na estrutura e também nas cargas críticas de flambagem.
Com objetivo de facilitar a identificação dos elementos, foram atribuídas letras,
como pode ser visto na figura 16. Sendo 𝑎𝑛 para os elementos horizontais, 𝑏𝑛 para os
verticais e 𝑑𝑛 para os diagonais.
Figura 16 – Identificação dos elementos da estrutura, Fonte: Autor.
É notável que qualquer elemento a seria função do comprimento total da estrutura
l. Neste caso em específico, que só temos um elemento horizontal, 𝑎1 = 𝑎2 = 𝑙. Já o
elemento b tem maior liberdade, é variável, mas neste caso a condição de ser uma moldura
quadrada será imposta, ou seja, 𝑏1 = 𝑎1 = 𝑎2 = 𝑙. Raio igual a r para elementos a, b
e igual a R para o elementos d.
Capítulo 3. Metodologia 41
A diagonal deve ser feita de um perfil flexível, o material escolhido para o estudo foi
o Alumínio (propriedades do material disponíveis no Apêndice), e deve flambar sem alterar
os outros componentes estruturais. Pode ser que essa condição seja atingida utilizando
elementos de mesmo raio, mas para deixar a visualização do fenômeno mais óbvia optou-se
por uma seção transversal menor para as diagonais.
3.2 Determinação dos deslocamentos, reações, esforços internos e
carga crítica
3.2.1 Esforços e deslocamentos
Foi usado o método dos deslocamentos. Esclarecendo que o problema será resolvido
para uma carga aplicada genérica P. Além disso, para simplificar o cálculo, foi usada
apenas a diagonal sob compressão. Depois, basta dividir o esforço nesta barra com a
outra diagonal.
O primeiro passo é numerar os elementos e nós da estrutura. Em seguida, representa-
se as coordenadas dos deslocamentos (𝑈𝑛) e das forças reativas (𝐹𝑛). Ressalta-se que para
𝑛 = í𝑚𝑝𝑎𝑟 o eixo é o horizontal (X) e para 𝑛 = 𝑝𝑎𝑟 o eixo é o vertical (Y) (Figura
17a). Por fim, deixa-se explícito o sistema de coordenadas locais de cada barra (Figura
17b).
(a) Nós, elementos, Carga aplicada, deslocamentos e
forças reativas
(b) Referência local para os elementos de barra
Figura 17 – Método dos deslocamentos: passos iniciais, Fonte: Autor
Capítulo 3. Metodologia 42
O comprimento da diagonal, ou seja do elemento 2, também será dado em função
do comprimento dos elementos do tipo a e b. Assim:
𝑙(2) = 𝑙
√
2 (3.1)
As áreas das seções circulares são expressas por:
𝐴(1,3,4,5) = 𝜋𝑟2;𝐴2 = 𝜋𝑅2 (3.2)
O Módulo de Elasticidade do material é igual a E. Agora é necessário determinar
a matriz de rigidez global de cada elemento. O primeiro passo é definir a relação do raio
R do elemento 2 com o raio r do restante. Como o objetivo aqui é analisar os parâmetros,
a relação a seguir é apresentada:
𝑅 = 𝑥𝑟 (3.3)
Sendo x um parâmetro positivo a ser escolhido. A partir dele pode-se determinar
a proporção entre os raios dos elementos diagonais e os outros elementos.
Fazendo a substituição do R de acordo com a equação 3.3 mostrada acima e a
tabela 8 (disponível em Anexo), encontra-se o [𝐾]𝑔 para cada elemento de acordo com
a equação 2.31 e o resultado é visto em Anexo. As expressões de seno e cosseno foram
abreviadas para s e c, respectivamente.
Além disso, o elemento 2 tem um comprimento diferente dos demais. Para que a
assemblagem da matriz de rigidez global funcione, é necessário encontrar um multiplicador
comum entre as matrizes de rigidez dos elementos. O termo 1√2 de [𝐾]
(2)
𝑔 multiplicará os
termos dentro da matriz. Dessa forma, o [𝐾]𝑔, respeitando as regras de assemblagem, fica:
[𝐾]𝑔 =
𝐸𝜋𝑟2
𝑙
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 0 0 −1 0 0 0
0 1 0 −1 0 0 0 0
0 0 1, 3535𝑥2 −0, 3535𝑥2 −0, 3535𝑥2 0, 3535𝑥2 −1 0
0 −1 −0, 3535𝑥2 1, 3535𝑥2 0, 3535𝑥2 −0, 3535𝑥2 0 0
−1 0 −0, 3535𝑥2 0, 3535𝑥2 1, 3535𝑥2 −0, 3535𝑥2 0 0
0 0 0, 3535𝑥2 −0, 3535𝑥2 −0, 3535𝑥2 1, 3535𝑥2 0 −1
0 0 −1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 −1 0 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
(3.4)
Aplicando as condições de contorno para os apoios de segundo e primeiro gênero
apresentados neste problema, nota-se que:
Capítulo 3. Metodologia 43
𝑈1 = 0;𝑈3 = 0;𝑈4 = 0 (3.5)
Além disso, para determinar o vetor de forças reativas, F , deve-se analisar os nós:
• 𝐹2 é igual a zero, pois o apoio não restringe o movimento na vertical;
• 𝐹5, 𝐹7 e 𝐹8 também é igual a zero, pelo fato dos nós não terem restrição de movi-
mento (são livres);
• Já a reação 𝐹6 é igual a carga aplicada P (como é possível notar na figura 17).
Por isso é possível reduzir a equação global para:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
0
0
𝑃
0
0
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
= 𝐸𝜋𝑟
2
𝑙
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 0 0 0
0 1, 3535𝑥2 −0, 3535𝑥2 0 0
0 −0, 3535𝑥2 1, 3535𝑥2 0 −1
0 0 0 1 0
0 0 −1 0 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
𝑈2
𝑈5
𝑈6
𝑈7
𝑈8
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
(3.6)
Ao resolver os sistemas de equações é possível encontrar os valores dos desloca-
mentos em função dos parâmetros: P, R e l.
• Equação 1:
0 = 𝐸𝜋𝑟
2 × 𝑈2
𝑙
(3.7)
• Equação 2:
0 = (𝐸𝜋𝑟
2) × (1, 3535𝑥2𝑈5 − 0, 3535𝑥2𝑈6)
𝑙
(3.8)
• Equação 3:
𝑃 = (𝐸𝜋𝑟
2) × (−0, 3535𝑥2𝑈5 + 1, 3535𝑥2𝑈6 − 𝑈8)
𝑙
; (3.9)
• Equação 4:
0 = (𝐸𝜋𝑟
2) × 𝑈7
𝑙
(3.10)
• Equação 5:
0 = (𝐸𝜋𝑟
2) × (−𝑈6 + 𝑈8)
𝑙
(3.11)
Capítulo 3. Metodologia 44
A partir das equações dispostas acima:
U2 = 0
U6 = 3, 83𝑈5
U7 = 0
U6 = 𝑈8
Substituindo os resultados na equação 3.9:
U5 = 𝑃 ×𝑙𝐸𝜋𝑟2 ×
1
(4,83𝑥2−3,83)
U6 = 𝑈8 = 3,83×𝑃 ×𝑙𝐸𝜋𝑟2 ×
1
(4,83𝑥2−3,83)
A partir dos resultados encontrados para os deslocamentos calcula-se as reações
de apoio utilizando a equação global completa 3.4.
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
𝐻1
0
𝐻2
𝑉2
0
0
0
0
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
= [𝐾]𝑔
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
0
0
0
0
𝑃 ×𝑙
𝐸𝜋𝑟2
× 1(4,83𝑥2−3,83)
3,83×𝑃 ×𝑙
𝐸𝜋𝑟2
× 1(4,83𝑥2−3,83)
0
3,83×𝑃 ×𝑙
𝐸𝜋𝑟2
× 1(4,83𝑥2−3,83)
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
(3.12)
Sendo 𝐻𝑛 a reação horizontal em X e 𝑉𝑛 a reação vertical em Y de um apoio
genérico, 𝐻1 seria a reação em X no nó 1, 𝐻2 a reação em X no nó 2 e 𝑉2 a reação em Y
no nó 2.
• Equação a:
𝐻1 =
𝐸𝜋𝑟2 × (−𝑈5)
𝑙
(3.13)
• Equação b:
𝐻2 =
𝐸𝜋𝑟2 × (−0, 3535𝑥2𝑈5 + 0, 3535𝑥2𝑈6)
𝑙
(3.14)
• Equação c:
𝑉2 =
𝐸𝜋𝑟2 × (0, 3535𝑥2𝑈5 − 0, 3535𝑥2𝑈6)
𝑙
(3.15)
O último passo é calcular os esforços internos. Eles serão calculados utilizando a
equação 2.27 para os elementos 1, 3, 4 e 5 e o equilíbrio do nó para o elemento 2:
Capítulo 3. Metodologia 45
• Elemento 1:
𝑓1 =
𝐸𝜋𝑟2 × (𝑈2 − 𝑈4)
𝑙
(3.16)
• Elemento 2:
Figura 18 – Equilíbrio nó 3, Fonte: Autor.
𝑓2 = 𝑃
√
2 (3.17)
• Elemento 3:
𝑓3 =
𝐸𝜋𝑟2 × (𝑈1 − 𝑈5)
𝑙
(3.18)
• Elemento 4:
𝑓4 =
𝐸𝜋𝑟2 × (𝑈3 − 𝑈7)
𝑙
(3.19)
• Elemento 5:
𝑓5 =
𝐸𝜋𝑟2 × (𝑈6 − 𝑈8)
𝑙
(3.20)
Agora que o perfil da estrutura foi traçado, é possível fazer uma análise do quanto
as alterações nas medidas de raio (R) e comprimento (l) influenciam na deformação es-
trutural e como a alteração no valor de carga aplicada (P) influencia na distribuição dos
esforços da nossa estrutura. Isso será discutido no capítulo de resultados.
3.2.2 Carga crítica de flambagem
Neste exemplo estamoslidando com colunas de seção circular, por isso sua carga
crítica pode ser calculada sem problemas pela equação 2.13. O valor da carga crítica
também será dado em função dos parâmetros geométricos da estrutura.
Aqui vale lembrar que os elementos estão com a condição de junta como fixa, para
simular o comportamento de uma placa fina engastada. Esse detalhe é muito importante,
ele indica que todos os elementos sob análise possuem a condição de contorno bi-engastada.
Considerando que 𝑙2 é igual a 𝑙
√
2, como visto na equação 3.1, e a carga crítica
para uma coluna bi-engastada dita por:
Capítulo 3. Metodologia 46
𝑃𝑐𝑟 =
4𝜋2𝐸𝐼
𝑙2
(3.21)
Sendo 𝐼 = 𝜋𝑟44 :
𝑃 (2)𝑐𝑟 =
4𝜋3𝐸𝑟4
4(𝑙
√
2)2
(3.22)
Simplificando a equação, a carga crítica para o elemento diagonal de raio r fica:
𝑃 (2)𝑐𝑟 =
𝜋3𝐸𝑟4
2𝑙2 (3.23)
e para o elemento diagonal de raio R, lembrando da equação 3.3:
𝑃 (2)𝑐𝑟 =
𝜋3𝐸𝑥4𝑟4
2𝑙2 (3.24)
3.3 Placa fina engastada nas quatro extremidades
Para determinar a tensão crítica de uma placa fina usa-se a equação 2.36. A cons-
tante de flambagem 𝜅 é determinada com base no gráfico apresentado na figura 11. Em
uma viga do tipo estudado, a placa estaria engastada nas quatro extremidades devido aos
reforçadores e às flanges.
3.4 Diagonal-tension field beams
O primeiro passo é determinar as áreas 𝐴𝑓 e 𝐴𝑟 dos reforçadores (elementos ver-
ticais) e das flanges (elementos horizontais).
Para este caso foram escolhidas seções retangulares. Assim:
𝐴 = 𝑏𝑢 (3.25)
Sendo b o tamanho da base do retângulo em metros e u a altura, também em
metros.
Após a determinação das áreas, é possível calcular o ângulo 𝛼 de acordo com a
equação 2.37, que será importante no cálculo das tensões primárias. Dessa forma, 𝛼 pode
ser expresso por:
𝑡𝑎𝑛4𝛼 = 1 + 𝑡ℎ/2𝑏𝑓𝑢𝑓1 + 𝑡𝑑/𝑏𝑟𝑢𝑟
(3.26)
Capítulo 3. Metodologia 47
Substituindo o resultado da equação 3.26 nas equações 2.38, 2.39 e 2.40 é possível
determinar as tensão-chave para o estudo. Alinhando esses resultados àqueles encontrados
por meio de simulação no ANSYS, é possível verificar a carga crítica de flambagem da
rede e compará-lo ao obtido analiticamente.
48
4 Modelagem no ANSYS
4.1 Moldura quadrada
4.1.1 Geometria e conexões
Para este estudo foram usados os line bodies em vez dos solid bodies. Estes são
criados a partir da ferramenta lines from points presentes na aplicação Design Modeler
do software. Dessa maneira, é necessário criar os pontos nas coordenadas desejadas, que
serão equivalentes aos nós da estrutura.
Criados os nós, basta conectá-los com as linhas. Como a estrutura estudada tem
seus elementos externos associados por pinos, é necessário que cada corpo de linha seja
independente. Para isso, foram geradas 6 linhas, uma para cada elemento, usando a ope-
ração de add frozen, a qual permite que corpos diferentes sejam criados sem que estejam
fixados um no outro. Já para as diagonais foi necessário simular a condição de engaste a
título de comparação com a viga.
O próximo passo é aplicar uma seção transversal nos line bodies criados. O raio
escolhido para as diagonais e para o restante dos elementos foi obtido a partir dos cálculos
da viga. Os elementos formando a moldura tem raio de 10,8 milímetros, resultando em
um valor de área semelhante as flanges e aos reforçadores. Já o raio das diagonais foi
estipulado a partir do peso necessário para a estrutura, resultando em 6 milímetros.
Figura 19 – Cross section solids gerados, Fonte: Autor.
Com o modelo 3D pronto, parte-se para o ANSYS Mechanical. Para criar a condi-
ção de pinado (tradução livre) foi necessário utilizar a Revolute Joint. Essa joint restringe
a translação nos três eixos e a rotação em X e em Y, liberando a rotação em Z. E para as
diagonais foi usada a conexão Fixed, que restringe todos os graus de liberdade.
Capítulo 4. Modelagem no ANSYS 49
O tamanho de elemento de malha escolhido foi de 5 milímetros software. O princi-
pal elemento utilizado é o BEAM188 (descrição dada no anexo "Elemento BEAM188"). A
quantidade de nós e elementos totais foi de 826 e 410, respectivamente. Após a aplicação
do material, liga de alumínio, a massa final da estrutura é de 1,49 quilogramas.
4.1.2 Condições de contorno
A estrutura conta com um apoio de primeiro gênero e um de segundo (vide figura
17a). Ou seja, o nó 1 tem liberdade de translação no eixo Y e rotação em Z e o nó 2
pode apenas rotacionar em Z. Também é necessário restringir o movimento dos nós 3
e 4, permitindo apenas a translação em X e em Y. Dessa forma, foram aplicados dois
displacements distintos e estes podem ser vistos na tabela 2 abaixo. Para os mesmos nós
é aplicada a condição de rotação fixa (fixed rotation) liberando apenas a rotação em Z.
Tabela 2 – Condições de contorno dos apoios nos nós 1 e 2
Componente Nó 1 Nó 2 Nó 3 Nó 4
Translação em X 0 0 Livre Livre
Translação em Y Livre 0 Livre Livre
Translação em Z 0 0 0 0
Rotação em X 0 0 - -
Rotação em Y 0 0 - -
Rotação em Z Livre Livre - -
Fonte: Autor
A força é aplicada no sentido positivo do eixo Y no nó 3 e tem valor de 1 N.
Figura 20 – Força aplicada no nó 3, Fonte: Autor.
4.2 Placa fina engastada
Foi criada uma superfície quadrada de lado igual a 30 centímetros e espessura de 2
milímetros de liga de alumínio. Essas dimensões foram escolhidas com base na limitação
do espaço, caso a estrutura seja construída, e na literatura, para a espessura da placa
Capítulo 4. Modelagem no ANSYS 50
fina. Para o engaste nas extremidades foi usado o fixed support na aresta esquerda e o
nodal displacement e o nodal rotation nas arestas restantes. A carga de 1 N foi aplicada
no sentido positivo do eixo Y, como na seção anterior.
Figura 21 – Força aplicada na placa, Fonte: Autor.
O tamanho do elemento de malha escolhido foi de 5 milímetros, resultando em
3721 nós e 3600 elementos.
4.3 Diagonal-tension field beams
4.3.1 Geometria e conexões
Para a análise no software foi necessário definir todos os parâmetros da viga e o
material, mesmo dos outros casos. Os valores escolhidos são mostrados a seguir:
Tabela 3 – Parâmetros definidos para a viga
Parâmetro Valor [mm]
h 300
d = L 300
t 2
br 50
bf 100
ur 3
uf 3
Fonte: Autor
Desenha-se a estrutura no Design Modeler e o resultado pode ser visto a seguir
com a sinalização dos parâmetros.
Capítulo 4. Modelagem no ANSYS 51
Figura 22 – Diagonal-tension field beam, Fonte: Autor.
Foi escolhida uma malha com tamanho de elemento igual a 6 milímetros, o menor
tamanho suportado pela versão gratuita do software, resultando em quantidade de nós e
de elementos totais iguais a 21241 e 4984, respectivamente. Após a atribuição do material,
a estrutura tem massa de 1,49 quilogramas.
4.3.2 Condições de contorno
As flanges e o reforçador são fixados à rede, já que esta é engastada nas quatro
extremidades. Para isso, foram criadas regiões de contato manuais (manual contact regi-
ons) entre a rede e o reforçador, a rede e as flanges e entre as flanges e o reforçador. As
faces sempre são classificadas como target e as edges dos outros elementos entram como
contacts. Criando esse tipo de conexão garante-se que os elementos estão soldados.
O Fixed Support foi adicionado ao lado esquerdo das flanges, como se a estrutura
estivesse engastada em uma parede. No lado direito é aplicada a força unitária P na aresta
da rede, como pode ser visto na figura 23 abaixo.
Figura 23 – Engaste e força aplicada P, Fonte: Autor.
52
5 Resultados e discussão
5.1 Moldura quadrada
5.1.1 Deslocamentos, reações e esforços internos
A partir dos cálculos realizados, a distribuição dos esforços na estrutura e seu
formato deformado podem ser compreendidos. Os resultados dos esforços internos e das
reações dependem do cálculo dos deslocamentos, no método adotado.
5.1.1.1 Deslocamentos
Resgatando a equação 3.6 é fácil entender que os fatores que influenciam a estru-
tura seriam: a carga aplicada, o comprimento da viga, o raio da seção transversal e o
parâmetro x, quando aplicável.
Tabela 4 – Expressões para os deslocamentosDeslocamento U Expressão [m]
U1 = U2 = U3 = U4 = U7 0
U5 𝑃𝑙/𝐸𝜋𝑟2(4, 83𝑥2 − 3, 83)
U6 3, 83𝑃𝑙/𝐸𝜋𝑟2(4, 83𝑥2 − 3, 83)
U8 3, 83𝑃𝑙/𝐸𝜋𝑟2(4, 83𝑥2 − 3, 83)
Fonte: Autor
A carga aplicada P é diretamente proporcional a deformação da estrutura, assim
como o comprimento l. Já o raio r e a constante a são inversamente proporcionais. Isso
acontece porque afetam diretamente o momento de inércia I da seção transversal. Quanto
maior o raio, maior o momento de inércia e, por consequência, mais resistente se torna a
estrutura.
5.1.1.2 Reações de apoio
A partir das equações 3.13, 3.14 e 3.15, substituindo as expressões para os deslo-
camentos em ambos os casos, tem-se:
Tabela 5 – Expressões para as reações
Reação Expressão [N]
H1 −𝑃/(4, 83𝑥2 − 3, 83)
H2 ≈ 𝑃/(4, 83𝑥2 − 3, 83)
V2 ≈ −𝑃/(4, 83𝑥2 − 3, 83)
Fonte: Autor
Capítulo 5. Resultados e discussão 53
5.1.1.3 Esforços internos
A partir das equações 3.16, 3.17, 3.18, 3.19 e 3.20.
Tabela 6 – Expressões para os esforços internos de cada elemento
Elemento Esforço interno [N]
1 0
2 −
√
2𝑃
3 𝑃/(4, 83𝑥2 − 3, 83)
4 0
5 0
Fonte: Autor
Vale lembrar que para as expressões dispostas nas tabelas 4, 5 e 6 o valor do
parâmetro x é positivo e depende da relação entre os raios r e R dos elementos, como
mostrado na equação 3.3. Para o caso com duas diagonais, basta dividir o valor do esforço
interno do elemento 2, já que a carga direcionada ao centro da moldura permanece a
mesma, porém com um elemento extra.
5.1.2 Carga crítica de flambagem
5.1.2.1 Resultado a partir da formulação de Euler para colunas
A carga crítica do elemento 2 é expressa por 𝑃 (2)𝑐𝑟 = 𝜋
3𝐸𝑥4𝑟4
2𝑙2 . Substituindo os
mesmos valores para r e l de 6 [mm] e 30 [cm], respectivamente, resultando em uma carga
crítica de 15850,41 N.
Pela formulação da equação da carga crítica de flambagem 𝑃𝑐𝑟, quanto maior o
comprimento do elemento, a carga crítica diminui (vide equação 2.13), por isso o elemento
2 flamba primeiro. O que será confirmado pela simulação.
Também é interessante analisar como a variação do parâmetro x, mostrado na
equação 3.3, afeta o valor da Carga Crítica do elemento diagonal. Esse comportamento é
apresentado no gráfico 24 abaixo.
Capítulo 5. Resultados e discussão 54
Figura 24 – Variação da Carga Crítica de acordo com o prâmetro x, Fonte: Autor.
5.1.2.2 ANSYS
A simulação numérica executada no ANSYS é linear e é capaz apenas de retornar
o valor do multiplicador de carga e uma noção geral de como o elemento/ estrutura se
comporta em determinado cenário. A flambagem irá acontecer no 4º modo e este pode
ser visto na figura 25 a seguir.
(a) Vista frontal (b) Vista isométrica
(c) Vista lateral (d) Vista superior
Figura 25 – Flambagem da moldura quadrada, Fonte: Autor
Sendo o valor do multiplicador de carga igual a 20851, e a carga no elemento
diagonal descrita por 0, 752, a carga crítica no elemento é igual a 15679,95 N. O resultado
analítico obtido foi de 15850,41 N, dessa maneira, o erro é de 1,07%.
Capítulo 5. Resultados e discussão 55
5.2 Placa fina engastada nas quatro extremidades
5.2.1 Método de Kirchoff-Love
De acordo com o referido gráfico (Figura 11) e com a razão entre a altura e largura
da placa sendo igual a 1, o valor de 𝜅 seria de, aproximadamente, 10,57 a partir de uma
interpolação linear.
Considerando também as dimensões dispostas na tabela 3 e as propriedades da
liga de alumínio mostradas em anexo, a equação 2.36 resulta em:
𝜎𝑐𝑟 =
10, 57𝜋27, 1𝐸 + 10
12(1 − (0, 33)2)
(︃
2.10−3
30.10−2
)︃2
(5.1)
Sendo, então, a tensão crítica igual a
𝜎𝑐𝑟 = 30, 75𝑀𝑃𝑎 (5.2)
Para determinar a carga crítica de flambagem basta multiplicar a tensão pela área
em que ela é aplicada. Nesse caso, na face lateral da placa, de dimensões iguais a altura
h vezes a espessura t.
Essa área resulta em
𝐴𝑙 = ℎ.𝑡 = (30.10−2 × 2.10−3) = 6.10−4𝑚2 (5.3)
Dessa forma
𝜎𝑐𝑟 × 𝐴 = 𝑃𝑐𝑟 = 18452, 69𝑁 (5.4)
5.2.2 ANSYS
A simulação retornou um valor de 19304 N para a carga crítica de flambagem da
placa. O fenômeno pode ser observado na figura 26 abaixo.
Capítulo 5. Resultados e discussão 56
(a) Vista frontal (b) Vista isométrica
(c) Vista lateral (d) Vista superior
Figura 26 – Flambagem da placa fina, Fonte: Autor
O resultado analítico para a carga crítica de flambagem de uma placa fina engas-
tada em suas quatro extremidades retornando um valor de 18452,69 N mostra um erro
percentual da simulação de 4,61%.
5.3 Diagonal-tension field beams
5.3.1 Tensões primárias
Para o ângulo 𝛼, de acordo com a equação 2.37:
tan4𝛼 = 1+(2.10
−3)(30.10−2)/(100.10−3)(3.10−3)
1+(2.10−3)(30.10−2)/(50.10−3)(3.10−3)
tan4𝛼 = 0, 5
𝛼 = 40, 06∘ (5.5)
Para a força nas flanges:
F𝑓 = 1.600.10
−3
30.10−2 −
1
2𝑡𝑎𝑛(40,06)
𝐹𝑓 = 1, 40𝑁 (5.6)
Pode-se obter a tensão normal nas flanges basta substituir o valor da força obtido
na expressão: 𝜎 = 𝐹/𝐴. Assim,
𝜎𝑁 = 4666, 67𝑃𝑎 (5.7)
Capítulo 5. Resultados e discussão 57
Para a tensão de cisalhamento:
𝜎𝑠 = 1(2.10−3)(30.10−2)𝑡𝑎𝑛𝑔(40,06)
𝜎𝑠 = 1982, 04𝑃𝑎 (5.8)
Para a tensão na rede:
𝜎𝑟𝑒𝑑𝑒 = 2.1(30.10−2)(2.10−3)𝑠𝑒𝑛(2.40,06)
𝜎𝑟𝑒𝑑𝑒 = 3383, 51𝑃𝑎 (5.9)
5.3.2 ANSYS
5.3.2.1 Tensões principais
A figura 27 apresenta os resultados obtidos através da simulação.
(a) Tensão na rede (b) Tensão de cisalhamento
(c) Tensão normal
Figura 27 – Resultado das tensões primárias no ANSYS
Fonte: Autor
Os valores mostrados na tabela 7 abaixo foram retirados no nó central da placa
para a tensão de cisalhamento e tensão equivalente, e no centro da seção transversal da
flange para a tensão normal.
Capítulo 5. Resultados e discussão 58
Tabela 7 – Resultados para as tensões primárias no ANSYS
Variável Valor [Pa]
𝜎𝑁 4665,3
𝜎𝑠 1863,9
𝜎𝑟𝑒𝑑𝑒 3228,3
Fonte: Autor
5.3.2.2 Carga crítica de flambagem da rede
A carga crítica de flambagem retornada pelo software é de 20802 N e acontece no
5º modo, os anteriores apresentaram o multiplicador de carga com sinal negativo, e este é
mostrado na figura 28 a seguir. Nela é fácil observar o formato de onda, característico do
fenômeno de flambagem, e também um padrão similar ao apresentado por (KUHN, 1956)
e visto na figura 12.
(a) Vista frontal (b) Vista isométrica
(c) Vista lateral (d) Vista superior
Figura 28 – 5º modo de flambagem, Fonte: Autor
O erro percentual associado é de 12,73%. Esse erro é devido as aproximações
necessárias ao se passar de uma simples placa fina engastada para uma viga de campo de
tensão diagonal.
Para que apareçam mais dobras é necessário aumentar a carga e isto pode ser visto
no 8º modo representado na figura 29 abaixo, apenas como demonstração das dobras que
também aparecem na figura 12.
Capítulo 5. Resultados e discussão 59
(a) Vista frontal (b) Vista isométrica
(c) Vista lateral (d) Vista superior
Figura 29 – 8º modo de flambagem, Fonte: Autor
5.4 Discussão
O comportamento da estrutura com a moldura quadrada é semelhante ao da
Diagonal-tension field beam, o que já era esperado e foi comprovado com as simulações.
O padrão de deformação e a maneira que a estrutura se comporta são análogos. Isso fica
claro quando compara-se as figuras 28 e 25.
Falando-se em performance, as vigas de tensão diagonal foram feitas para serem
mais eficientes do que outras estruturas semelhantes. Isso é comprovado quando compa-
rados aqui a moldura quadrada com a viga. Ambas tendo pesos similares, a viga tem
uma carga crítica maior (cerca de 20000 N), ou seja, precisa de uma carga aplicada maior
para que ocorra a flambagem. Já na moldura, sua diagonal flamba com uma carga de,
aproximadamente, 15700 N.
Além de ser mais resistente a flambagem, as vigas de tensão diagonal tem um pro-
cesso fabricação muito mais fácil, desde a conexão dos elementos, até a manipulação deles.
A viga pode ser construída de maneira a facilitar ainda mais a visualização da flambagem
da rede, modificando a espessura da rede, sua altura e comprimento (espaçamento entre
os reforçadores).
Neste trabalho, a viga de tensão diagonal foi demonstradacom uma baia apenas,
para simplificar a análise. Porém, o princípio de funcionamento é o mesmo, basta adicionar
mais baias para visualizar o comportamento se repetir em cada uma, como mostrado na
figura 12. Além disso, aqui as tensões primárias foram calculadas e tiveram seu resultado
obtido no ANSYS para nortear a solução, foi outra maneira de confirmar que as condições
de contorno e aplicação da carga estavam corretas.
60
6 Conclusão
As vigas de campo de tensão diagonal englobam uma série de conceitos muito
interessantes que devem ser observados. Desde o seu surgimento até maneiras que ela
pode ser mais eficientes que outras estruturas de configuração semelhante.
Neste trabalho, estudou-se a flambagem nessa estrutura. Desde a revisão bibliográ-
fica sobre o fenômeno, até a teoria das vigas trabalhada por (KUHN, 1956). Destrinchar
essa estrutura um pouco mais complexa em algo mais simples, a moldura quadrada, foi
fundamental para o melhor entendimento de toda a teoria.
Analisando a moldura, primeiro com uma diagonal, possibilitou compreender a
distribuição dos esforços e como ela se comporta bem como qual é a expressão para a
carga que chega na diagonal. Além disso, a carga crítica é calculada para uma coluna bi-
engastada de seção circular, retornando o valor da carga crítica para o raio de 6 milímetros
de 15850,41 N.
Partindo para a simulação com as duas diagonais é importante relembrar que o
software retorna um valor de multiplicador de carga, o qual deve ser multiplicado pela
carga aplicada no elemento desejado para determinar a carga crítica de flambagem dele.
Assim, pega-se o valor da carga compressiva de 0,752P (sendo P a carga unitária) na
diagonal e multiplica-se o resultado da simulação, 20851, por ele. Obtém-se o valor de
15679,95 N para a carga crítica, tendo um erro percentual de 1,07% que é dentro da
margem aceitável.
Partindo para a análise da viga, seu peso é similar ao da moldura, justamente
para poder-se comparar a eficiência de cada uma com relação a flambagem. As tensões
primárias foram calculadas e seu resultado foi obtido por simulação para confirmar se as
condições de contorno aplicada estariam corretas.
Com relação à carga crítica, usou-se a hipótese de Kirchoff-Love para calcular a
carga crítica de flambagem de uma placa fina engastada nas suas quatro extremidades
resultando em 18452,69 N. A simulação da viga retornou o valor de 20802 N para a
flambagem da rede. O erro percentual envolvido é de 12,731% e estima-se que esteja
associado as diferentes aproximações necessárias dentro de cada uma das hipóteses (placa
fina e viga de campo de tensão diagonal).
A diagonal da moldura flamba antes da rede na viga. Isso é demonstrativo da
eficiência das vigas, considerando que ambas tem o peso muito próximo e a espessura da
rede é menor do que o diâmetro da seção transversal da diagonal. Isso apenas confirma
que o propósito pelo qual as vigas de campo de tensão diagonal foram criadas é cumprido.
Capítulo 6. Conclusão 61
A visualização da flambagem nas vigas com aspecto similar à figura 12, inúmeras
dobras, é possível por meio do aumento da carga aplicada P. Outra semelhança com a
flambagem de colunas, pode-se ver os modos de flambagem conforme a carga aumenta.
A estrutura da viga pode ser alterada de diversas maneiras com objetivo de obser-
var a mudança no seu comportamento. Alterando a área dos reforçadores e das flanges,
a espessura da rede, a distância entre os reforçadores, a distância entre as flanges e o
número de baias. Tudo isso pode ser manipulado objetivando facilitar a fabricação dessa
estrutura.
6.1 Sugestão de trabalhos futuros
O estudo feito aqui sobre as vigas de campo de tensão diagonal pode ser usado em
uma série de trabalhos no futuro.
Com relação à moldura quadrada, pode ser fabricada uma bancada de testes a
partir dos parâmetros definidos, testando diferentes condições de contorno. Pode ser feito
um estudo de pós-flambagem ou até mesmo um estudo de otimização dessa estrutura,
pensando em qual seria a menor seção transversal possível para que o fenômeno fosse
visualizado com maior facilidade.
Já quando se fala da viga, as possibilidades também são extensas. O estudo de
pós-flambagem também é interessante aqui, a construção da bancada de testes com uma
baia ou mais, testas diferentes condições de contorno que sejam mais próximas do que
acontece na indústria, teste de diferentes materiais.
A eficiência da viga pode ser comprovada experimentalmente e isso seria de grande
valia para a formação de um engenheiro. Entender como surgem novas configurações
estruturais e a importância de se continuar pesquisando para que, cada vez mais, se use
menos material e se tenha mais eficiência.
62
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Referências 63
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TURNER, M. J. et al. Stiffness and deflection analysis of complex structures. Journal of
the aeronautical sciences, v. 23, n. 9, 1956. Citado na página 27.
64
APÊNDICE A – Ângulo de rotação do
sistema local para o global
Tabela 8 – Ângulo de rotação do sistema local para o global
Nº
do
elemento
Nº
coord.
local
Nº
coord.
global
Ilustração 𝜃
1 12
1
2 90º
2 12
2
3 -45º
3 12
1
3 0º
4 12
2
4 0º
5 12
3
4 -90º
Fonte: Autor
65
APÊNDICE B – Matrizes de rigidez global
dos elementos
[𝐾](1)𝑔 =
𝐸𝜋𝑟2
𝑙
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0 0 0 0
0 1 0 −1
0 0 0 0
0 −1 0 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (B.1)
[𝐾](2)𝑔 =
𝐸𝜋𝑥2𝑟2
𝑙
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0, 3535 −0, 3535 −0, 3535 0, 3535
−0, 3535 0, 3535 0, 3535 −0, 3535
−0, 3535 0, 3535 0, 3535 −0, 3535
0, 3535 −0, 3535 −0, 3535 0, 3535
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (B.2)
[𝐾](3)𝑔 =
𝐸𝜋𝑟2
𝑙
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 −1 0
0 0 0 0
−1 0 1 0
0 0 0 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (B.3)
[𝐾](4)𝑔 =
𝐸𝜋𝑟2
𝑙
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 −1 0
0 0 0 0
−1 0 1 0
0 0 0 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (B.4)
[𝐾](5)𝑔 =
𝐸𝜋𝑟2
𝑙
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0 0 0 0
0 1 0 −1
0 0 0 0
0 −1 0 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (B.5)
66
APÊNDICE C – Assemblagem de matrizes
A assemblagem das matrizes segue o seguinte processo:⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
𝑈1 𝑈2 𝑈3 𝑈4 𝑈5 𝑈6 𝑈7 𝑈8
𝐾
(1)
11 +𝐾
(3)
11 𝐾
(1)
12 +𝐾
(3)
12 𝐾
(1)
13 𝐾
(1)
14 𝐾
(3)
13 𝐾
(3)
14 0 0 𝑈1
𝐾
(1)
21 +𝐾
(3)
21 𝐾
(1)
22 +𝐾
(3)
22 𝐾
(1)
23 𝐾
(1)
24 𝐾
(3)
23 𝐾
(3)
24 0 0 𝑈2
𝐾
(1)
31 𝐾
(1)
32 𝐾
(1)
33 +𝐾
(2)
11 +𝐾
(4)
11 𝐾
(1)
34 +𝐾
(2)
12 +𝐾
(4)
12 𝐾
(2)
13 𝐾
(2)
14 𝐾
(4)
13 𝐾
(4)
14 𝑈3
𝐾
(1)
41 𝐾
(1)
42 𝐾
(1)
43 +𝐾
(2)
21 +𝐾
(4)
21 𝐾
(1)
44 +𝐾222 +𝐾
(4)
22 𝐾
(2)
23 𝐾
(2)
24 𝐾
(4)
23 𝐾
(4)
24 𝑈4
𝐾
(3)
31 𝐾
(3)
32 𝐾
(2)
31 𝐾
(2)
32 𝐾
(2)
33 +𝐾
(3)
33 +𝐾
(5)
11 𝐾
(2)
34 +𝐾
(3)
34 +𝐾
(5)
12 𝐾
(5)
13 𝐾
(5)
14 𝑈5
𝐾
(3)
41 𝐾
(3)
42 𝐾
(2)
41 𝐾
(2)
42 𝐾
(2)
43 +𝐾
(3)
43 +𝐾
(5)
21 𝐾
(2)
44 +𝐾
(3)
44 +𝐾
(5)
22 𝐾
(5)
23 𝐾
(5)
24 𝑈6
0 0 𝐾(4)31 𝐾
(4)
32 𝐾
(5)
31 𝐾
(5)
32 𝐾
(5)
33 𝐾
(5)
34 𝑈7
0 0 𝐾(4)41 𝐾
(4)
42 𝐾
(5)
41 𝐾
(5)
42 𝐾
(5)
43 𝐾
(5)
44 𝑈8
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦