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Lista de Exercícios de Cálculo 3
Décima Primeira Semana
(Teorema do Divergente)
Parte A
1. Calcule a integral do fluxo
˜
S
F · ndS (i) diretamente e (ii) usando o teorema do divergente.
(a) F = (x3 − y3)i + (y3 − z3)j + (z3 − x3)k e D : a região esférica x2 + y2 + z2 ≤ 25, com z ≥ 0.
(b) F =
√
x2 + y2 + z2(xi + yj + zk) e D : A região 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 2.
(c) F = x2i + z2k e D : a caixa |x| ≤ 1, |y| ≤ 3 e 0 ≤ z ≤ 2.
(d) F = ln(x2 + y2)i− 2z
x
arctan
y
x
j + z
√
x2 + y2k e D : O cilindro de paredes espessas 1 ≤ x2 + y2 ≤ 2,
−1 ≤ z ≤ 2.
(e) F = sin yi + cosxj + cos zk e D : O cilindro x2 + y2 ≤ 4, |z| ≤ 2.
(f) F = xyi + yzj + zxk e D : O cone x2 + y2 ≤ 4z2, 0 ≤ z ≤ 2.
(g) F = x2i + xyj + zk e D : A região formada por z ≥ x2 + y2 e z ≤ 1.
(h) F = 2xzi − xyj − z2k e D : A região no primeiro octante cortada pelo plano y + z = 4 e pelo cilindro
elíptico 4x2 + y2 = 16.
2. Sejam z = f(x, y, z) e z = g(x, y, z) funções escalares. Considere o campo vetorial dado por F = f∇g e que
para ele valha o teorema do divergente em alguma região fechada T . Mostre que
˚
T
(
f∇2g +∇f · ∇g
)
dV =
¨
S
f
∂g
∂n
dA,
em que ∂g/∂n é a derivada direcional da função g na direção do vetor normal e exterior a S, n. Essa fórmula é
chamada de Primeira Fórmula de Green. Uma consequência imediata dessa fórmula é a chamada Segunda
Fórmula de Green, que é dada por
˚
T
(
f∇2g − g∇2f
)
dV =
¨
S
(
f
∂g
∂n
− g ∂f
∂n
)
dA.
Verifique as duas identidades considerando
(a) f(x, y, z) = x e g(x, y, z) = x+ y2 + z2 na caixa 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 e 0 ≤ z ≤ 3;
(b) f(x, y, z) = 2x2 + zy e g(x, y, z) = xy2 − z3/3 na esfera x2 + y2 + z2 ≤ 2.
3. Mostre usando o teorema do divergente que o volume da região T , limitada pela superfície S, é
V =
1
3
¨
S
F · ndS,
em que F(x, y, z) = xi + yj + zk. Usando a fórmula encontrada, determine os seguintes volumes:
(a) Cone de raio a e altura h.
(b) Esfera de raio a.
1
Parte B
1. Se um objeto, uma bola por exemplo, é colocado em um líquido, ou ele vai afundar até o fundo, ou flutuar
ou afundar até um certo ponto e depois permanecer suspenso no líquido. Suponha que o fluido tenha uma
densidade de peso constante w e a superfície do fluido coincida com o plano z = 4. Considere que uma bola
esférica permaneça suspensa no fluido e ocupe a região x2 + y2 + (z − 2)2 ≤ 1.
(a) Mostre que a integral de superfície que dá a magnitude da força total sobre a bola, devido a pressão do
fluido, é dada por
Força = lim
n→∞
n∑
k=1
w(4− zk)∆σk =
¨
S
w(4− z)dσ.
(b) Como a bola não está em movimento, ela está sendo mantida suspensa pelo empuxo do líquido. Mostre
que a magnitude desse empuxo sobre a esfera é dado por
Empuxo =
¨
S
w(z − 4)k · ndσ,
em quem n é o vetor normal unitário exterior em (x, y, z). Isto ilustra o princípio de Arquimedes no
qual o empuxo em um objeto imerso é igual o peso do fluido deslocado.
(c) Use o teorema do divergente para encontrar a magnitude do empuxo na parte (b).
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Resumo do Conteúdo
1. Teorema do Divergente (Gauss)
Sejam E uma região sólida em R3 e S = ∂E a superfície dada pela fronteira de E. Suponha que o campo
vetorial F(x, y, z) = P i +Qj + Rk tenha componentes com derivadas parciais contínuas em uma região aberta
que contém E, então ¨
S
F · ndS =
˚
E
∇ · FdV,
em que
∇ · F = ∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
é o divergente do campo vetorial F, e n o vetor normal unitário e exterior a superfície S.
Obs.: se a superfície S tem parametrização dada por r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, então o vetor n é
dado por
n =
ru × rv
|ru × rv|
e a integral do fluxo pode ser reescrita como
¨
S
F · ndS =
¨
D
F(r(u, v)) · (ru × rv)dA,
em que r(D) = ∂E.
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Gabarito
Parte A
1. Respostas
(a) 3750π
(b) 12π
(c) 48
(d) 3π(1− ln 2)
(e) 0
(f) 256π
(g) π/2
(h) −40/3
2. (a) 15 e 12; (b)
3. Respostas
(a) πa2h/3
(b) 4πa3/3
Parte B
1. (c) 4πw/3
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