Integrais Múltiplas e Cálculo Vetorial - IV

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Integrais Múltiplas e 
Cálculo Vetorial
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Ana Lucia Nogueira Junqueira
Revisão Textual:
Profa. Esp. Márcia Ota
Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
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• Introdução
• Campos vetoriais
• Integrais de Linha
• Teorema de Green estendido a uma região com orifício (não conexa)
• Teorema de Stokes
• Comparação Green x Stokes
• Integrais de superfície
• Teorema da Divergência
 · Apresentar as noções de campos vetoriais e operadores vetoriais, como gradiente, 
rotacional, divergente.
 · Apresentar as aplicações de campos vetoriais, notadamente na Física, como fluxo 
e campos conservativos.
 · Introduzir a noção de integral de linha em duas dimensões e o teorema para 
cálculo de integrais curvilíneas. 
 · Introduzir a noção de integral de linha em duas dimensões e os teoremas para 
cálculo de integrais curvilíneas. 
 · Introduzir a noção de integrais de superfície e aplicações.
 · Apresentar os teoremas de Green, Stokes e Gauss e suas aplicações.
 · Apresentar exemplos de cálculo de área de uma região plana delimitada por curvas 
e de volume de sólidos delimitados por superfície como aplicação dos teoremas. 
 · Apresentar outras aplicações desses conceitos, envolvendo integração múltipla.
Caro(a) aluno(a)!
Nesta Unidade , vamos dar continuidade ao estudo de Integração de várias variáveis, agora, 
tratando de Cálculo Vetorial propriamente dito. Para tanto, estudaremos o que são campos 
escalares e campos vetoriais, que precisam ser bem entendidos em suas semelhanças e 
diferenças como elementos matemáticos e físicos. Apresentamos exemplos de alguns campos, 
como os gravitacionais, magnéticos ou de fluxos de fluidos. Merece atenção especial os campos 
vetoriais conservativos, pelas suas características e aplicações. 
Além disso, trataremos de operadores vetoriais, como gradiente, rotacional e divergente e 
o significado de cada um deles quando operado sobre um campo vetorial, destacando que o 
gradiente e o rotacional são campos vetoriais, já o divergente resulta em um campo escalar. 
Vale destacar que, na Contextualização, procuramos apresentar uma diversidade de exemplos 
e aplicações de campos vetoriais. 
Aplicações de integração múltipla e 
Cálculo Vetorial
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Veremos, também, o que são integrais de linha, em campos escalares e vetoriais, ao longo de 
uma curva do plano ou do espaço, bem como os principais conceitos e resultados relacionados 
às integrais de linha. E ainda o que são integrais de superfície. Alerto que veremos curvas e 
superfície orientadas, cujas integrais de linha requerem atenção, uma vez que uma mudança 
de orientação inverte o sinal da integral, resultando numa inversão, por exemplo, do fluxo de 
um campo fluido. 
Importante salientar o nosso olhar especial aos teoremas mais importantes do Cálculo 
Vetorial, Teorema de Green, Teorema de Gauss e Teorema de Stokes, bem como diversos 
exemplos explicitando esses resultados. Destacamos, para além das aplicações desses teoremas, 
o contexto histórico e a relevância dos matemáticos e físicos que os descobriram. No material 
complementar, você encontrará links de acesso a arquivos contendo mais detalhes sobre estes 
teoremas, inclusive as demonstrações.
É sobre tudo isso que vamos tratar nessa unidade, com exemplos variados, diversas 
ilustrações e aplicações dos conceitos, que são fundamentos básicos para outras áreas da 
ciência, notadamente a Física. 
Como ainda estaremos tratando de integração dupla e tripla, reforço a importância do cuidado 
e bastante atenção no procedimento de cálculo das integrais iteradas e na determinação dos 
seus limites de integração, que dependem da definição das curvas, superfícies ou sólidos, em 
que se dá a interação múltipla, bem como de suas parametrizações e mudanças de variáveis, 
quando necessário. 
Por isso, acompanhe o desenvolver da teoria, preste bem atenção às definições, propriedades 
e teoremas, confira os exemplos dados, preparando-se, assim, para resolver as atividades 
propostas na unidade.
Assim sendo, seguem as recomendações de praxe para que sempre sejam lembradas. 
Organize-se para dar conta do estudo em tempo hábil. Não deixe acumular, não se atrase! 
Afinal, em cursos à distância, a disciplina pessoal e organização do tempo são fatores 
fundamentais para que você tenha autonomia e seja o protagonista da construção do seu 
conhecimento. Claro que você terá o acompanhamento do tutor para auxiliá-lo nos estudos, 
mas o caminho é determinado por você. 
Portanto, não deixe as tarefas se acumularem, pois a temática da disciplina requer estudos 
que reservem tempo para reflexão para cumprir o ciclo de aprendizagem, por isso, não deixe 
para última hora. Teremos, como de costume, atividades avaliativas e de reflexão sobre o tema 
da unidade. Fique atento aos prazos! 
Enfim, espera-se que, ao término da unidade, você seja capaz reconhecer, analisar e 
trabalhar com os conceitos do Cálculo Vetorial, uma vez que os fenômenos no mundo físico e 
aplicações, particularmente nas áreas de exatas, envolvem essas noções. Espera-se, acima de 
tudo, que você possa ter compreensão da utilização dessas noções e conceitos nos fenômenos 
em que o Cálculo Vetorial é imprescindível, notadamente nas áreas aplicadas da matemática, 
nas engenharias e na física. 
Bom estudo!
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Contextualização
Nesta unidade, nosso foco é o Cálculo Vetorial. Por isso, pergunto: que aplicações temos 
nesse tema? Então, veja alguns fenômenos que geram campos vetoriais.
Todos já devem ter visto uma cena como essa, nem que tenha sido na TV ou numa foto, 
ou num filme! 
Fonte: iStock/Getty Images
São raios comuns em dia de temporais. Um raio é uma descarga elétrica de grande 
intensidade que ocorre na atmosfera entre regiões eletricamente carregadas, que pode ser no 
interior da nuvem, entre nuvens ou ainda entre nuvem e terra. O raio costuma vir acompanhado 
do relâmpago, que é uma intensa emissão de radiação eletromagnética, também visível, e do 
trovão (som estrondoso) além de outros fenômenos. 
Como fenômenos de alta energia, os raios manifestam-se, usualmente, como um trajeto, 
extremamente, luminoso que percorre longas distâncias, às vezes, com ramificações. A grande 
variação do campo elétrico das descargas na troposfera pode dar origem a eventos luminosos 
na alta atmosfera. 
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Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
Experiência realizada com a Gaiola de Faraday. 
Homem no interior da Gaiola de Faraday fica livre da ação de campo elétrico causado por 
agente externo.
Fonte:3-01.no.comunidades.net
O avião e o carro também funcionam como uma Gaiola de Faraday, tanto que, quando 
atingido por uma descarga elétrica como um raio, o seu interior fica livre da ação do campo 
externo, ou seja, fica blindado. Por isso, seus passageiros não são atingidos.
Campo elétrico: fluxo de corrente elétrica
Fonte: efisica.if.usp.br
Quando uma corrente passa por um condutor, ela produz um campo magnético. O 
condutor fica situado dentro desse campo magnético produzido pela sua corrente. Esse campo 
produz no próprio condutor um fluxo Se a corrente for variável, o seu campo é variável e 
o fluxo também será. E o condutor sendo atravessado por um fluxo variável, sofre indução 
eletromagnética. 
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Campo magnético
Representação do Campo magnético
Fonte: ifserv.fis.unb.br
As primeiras observações de fenômenos magnéticos são muito antigas. Acredita-se que 
essas observações foram realizadas pelos gregos, em uma cidade denominada Magnésia. Eles 
verificaram que existia um certo tipo de pedra que era capaz de atrair pedaços de ferro.
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Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
Quando se fala de magnetismo, que é um ramo da ciência que estuda os materiais 
magnéticos, que possuem a capacidade de atrair ou repelir outros materiais, o primeiro nome 
que vem à mente é o de Tales de Mileto, que foi o primeiro a estudar a capacidade que uma 
substância tem de atrair outra,sem existir contato entre elas. Contudo, na Antiguidade, os 
chineses já possuíam o conhecimento de alguns desses materiais e os usavam em bússolas 
para se orientar quando se deslocavam em missões militares, uma vez que a bússola se orienta, 
segundo o eixo terrestre. 
A bússola foi, então, a primeira aplicação prática dos fenômenos magnéticos. A bússola é 
constituída de um pequeno ímã em forma de losango, chamado agulha magnética, que pode 
movimentar-se livremente. 
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O Ímã Terra
A Terra se comporta como um grande ímã, cujo polo magnético norte é próximo ao polo 
sul geográfico e vice-versa. Os polos geográficos e magnéticos da Terra não coincidem. 
Sabemos que o Sol é a estrela do nosso sistema solar e que emite milhões de partículas 
por segundo para todas as direções do espaço. Percebemos essas radiações eletromagnéticas, 
também chamadas de ventos solares, na forma de luz e calor. A quantidade de radiação que 
chega à Terra é menor por conta da proteção exercida pelo campo magnético terrestre, que 
interage com as radiações eletromagnéticas, fazendo tanto que sejam freadas quanto desviadas 
de sua trajetória original. Por isso, a Terra se comporta como um ímã gigante. 
O primeiro a afirmar que a Terra é um ímã gigante foi o cientista Willian Gilbert, por 
meio de uma experiência simples que pode, facilmente, ser comprovada: ao colocar um ímã 
suspenso, livremente, pelo seu centro de gravidade é possível observar, em repetições diversas 
do experimento, que o ímã sempre se orientava na direção norte-sul, concluindo, portanto, 
que realmente a Terra era um ímã. 
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Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
A experiência de Oersted
Fontes: Wikimedia Commons
Em 1820, o físico dinamarquês Hans Christian Oersted notou que uma corrente elétrica 
fluindo através de um condutor desviava a agulha magnética colocada na extremidade. 
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Substâncias magnéticas
Fonte: clinicaurora.blogs.sapo.pt
Magnetita o imã natural
Ferromagnéticas
são aquelas cujos imãs elementares se orientam quando submetidos à ação 
do campo magnético gerado por um corpo magnético, como o ferro, níquel, 
cobalto e algumas ligas metálicas.
Diamagnéticas
são aquelas cujos ímãs elementares se orientam em sentido contrário ao vetor 
indução magnética, sendo, portanto, repelidas pelo ímã que criou o campo 
magnético, como o bismuto, cobre, ouro, prata, chumbo, etc. 
Força magnética
Fonte: ifserv.fis.unb.br 
Se uma carga de prova q estiver em movimento ela gera um determinado campo 
magnético. Todavia se essa mesma carga elétrica estiver se movimentando dentro de uma 
região de campo magnético, o campo gerado por ela irá interagir com o campo existente, 
ficando a carga q sujeira à ação de uma força de origem magnética. É o que ocorre quando 
aproximamos um ímã de um tubo de raios catódico, o feixe de elétrons dentro do tubo é 
desviado de sua posição original.
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Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
O mesmo fenômeno ocorre quando aproximamos da TV, o ímã de um alto-falante. A 
imagem sofre uma alteração. Na verdade, a tela da TV é um TRC - Tubo de raios catódicos - e 
a imagem é formada por um feixe de elétrons que varre a tela.
Fluxo magnético
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Fluxo sanguíneo
Fonte: John E. Hall e Arthur C. Guyton. Tratado de fisiologia médica, 2011
O método mais utilizado para medida ou aferição (ou mensuração) da pressão arterial é baseado 
nos sons de Korotkov, um médico russo que os observou e descreveu em 1905. Este método baseia-
se na ausculta, por meio de um estetoscópio, de sons produzidos dentro de um vaso sanguíneo. 
Normalmente, o fluxo de sangue em um vaso é considerado laminar, o sangue percorre o interior 
do vaso em camadas sem a produção de ruídos ou sons passíveis de serem auscultados (ouvidos) 
através de um estetoscópio. Por outro lado, quando o fluxo de sangue em um vaso é interrompido, 
ao ser liberado este fluxo trona-se turbilhonar. Ou seja, o sangue percorre o interior do vaso 
produzindo oscilações na direção do fluxo, como ondas bem agitadas. Este fluxo turbilhonar produz 
ruídos ou sons passíveis de serem auscultados (ouvidos) através de um estetoscópio. 
Pressão arterial é medida pela força 
aplicada na parede das arterias
Fonte: museuescola.ibb.unesp.br
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Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
Campo gravitacional
Campo gravitacional é como chamamos a região de perturbação gravitacional que um 
corpo gera ao seu redor. Dois corpos que possuem massa interagem devido ao campo que 
geram ao seu redor. Em outras palavras, um corpo que possui massa tem sua atração exercida 
sobre outros corpos, representada pelo campo vetorial conhecido como campo gravitacional.
Lei da Gravitação Universal
De acordo com a lei da gravitação universal, a força gravitacional que é sentida por um 
corpo é diretamente proporcional ao valor de sua massa gravitacional.
Representação do campo gravitacional da Terra
Fonte: estudopratico.com.br
Campo gerado por um magnetar
Fonte: eso.org
Usando o Very Large Telescope do ESO, astrônomos europeus demontraram pela primeira 
vez que um magnetar - um tipo incomum de estrela de nêutrons com alto valor de campo 
magnético - foi formado a partir de uma estrela com pelo menos 40 vezes mais massa que 
o Sol. O resultado apresenta grandes desafios para as atuais teorias de como as estrelas 
evoluem, uma vez que de uma estrela massiva era esperado que se tornasse um buraco negro, 
não um magnetar. Isto, agora, levanta uma questão fundamental: quão enorme é que uma 
estrela, realmente, tem que ser para se tornar um buraco negro?
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Movimento dos fluidos
Fonte: ciencia-online.net
Dinâmica de fluidos é o ramo da ciência aplicada que se preocupa com o movimento dos 
líquidos e gases. É um dos dois ramos da mecânica dos fluidos, que é o estudo de fluidos e 
como as forças os afetam. O outro ramo é a estática dos fluidos, que trata dos fluidos em 
repouso. Cientistas, em vários domínios, estudam a dinâmica de fluidos. 
A dinâmica de fluidos fornece métodos para o estudo da evolução das estrelas, correntes 
oceânicas, padrões climáticos, placas tectónicas e até mesmo a circulação sanguínea. 
Algumas importantes aplicações tecnológicas da dinâmica dos fluidos incluem os motores 
de foguetes, as turbinas eólicas, os oleodutos e os sistemas de ar condicionado.
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Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
Espaço-tempo turbulento gera redemoinhos de gravidade
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Representação de alguns campos vetoriais
Campos de velocidade
Vetores velocidade ao redor de um escoamento ao redor de um aerofólio em um túnel de 
vento. Fumaça de querosene tornam visíveis as linhas do fluxo.
Fonte: Thomas (2004, p.437)
Velocidade do vento registrada em 1978 pelo satélite SEASAT da Nasa, em 350 mil tomadas 
de medidas sobre os oceanos do mundo, onde se nota uma tempestade na Groenlândia. 
Fonte: Vilches; Corrêa (2005, p.114)
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Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
Campo gradiente
Fonte: Vilches; Corrêa (2005, p.116)
Campo rotacional
Fonte: Vilches; Corrêa (2005, p.116)
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Campo de vetores divergentes com uma esfera de teste no centro
Fonte: igm.mat.br
Ilustramos, aqui, forças magnéticas que geram campos magnéticos de atração ou repulsão. 
Também abordamos a Lei de Gravitação Universal de Newton, sob a qual corpos exercem 
uma força atrativa sobre suas massas na razão inversa do quadrado da distância entre eles. 
A associação de vetores de força com pontos no espaço é chamada de campo gravitacional. 
Ideia similar surge no fluxo de fluidos, submetidos à velocidade de fluição, em cada ponto da 
camada fluida, o fluido tem certa velocidade e cuja associação de vetores é chamada de campo 
de velocidades.
O tema subjacente da unidade é o conceito de fluxo. O que estudaremos tem a ver com o 
ramo da Matemática que se preocupa com a análise de vários tipos de fluxos, como o fluxo 
de um fluido, ou o fluxo da eletricidade. Vale lembrar que os primeirostextos de Cálculo 
de Newton traziam a noção de fluxões e fluentes, que tem como raiz o termo em latim 
fluere (fluir). Iniciaremos com Campos Vetoriais e depois vamos introduzir dois tipos de 
integrais, de linha e de superfície, que vão nos conduzir a tratar de três teoremas básicos 
do Cálculo Vetorial: Teorema de Green, Teorema da Divergência e Teorema de Stokes. 
Esses teoremas proporcionam uma visão profunda da natureza dos fluxos e constituem a base 
de muitos dos princípios mais importantes da Física e da Engenharia. 
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Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
Introdução
Esta unidade vai combinar o conhecimento de vetores com o conhecimento de cálculo 
integral. Dessa forma, vamos estudar campos vetoriais, integrais de linha e de superfície, que 
permitem determinar quantidades na vida real, como área de uma superfície, massa, fluxo, 
trabalho e energia. 
Campos vetoriais
A figura, a seguir, mostra campos vetoriais de padrões dos ventos na Bahia de São Francisco, 
nos Estados Unidos, em março de 2010.
Fonte: Stewart (2012, p. 1056)
Na figura seguinte, uma representação das forças de sustentação da asa de um avião no ar 
e o respectivo campo de vetores do movimento do ar.
Fonte: sbfisica.org.br
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Vale lembrar as funções vetoriais que associam um vetor a um número real e verificamos 
que essas funções são úteis para representar curvas ou movimentos ao longo de uma curva. 
Agora, vamos estudar outros tipos de funções vetoriais que associam um ponto do plano ou 
do espaço a outro ponto do plano ou espaço. Tais funções se chamam campos vetoriais e 
são úteis para representar vários tipos de campos, como campos de forças, de velocidade, 
entre outros.
Definição 1: Um campo vetorial num plano é uma função que associa a cada ponto P do 
plano um único vetor F(P) paralelo ao plano. Analogamente, um campo vetorial no espaço 
tridimensional é uma função que associa a cada ponto P do espaço tridimensional um único 
vetor F(P) do espaço. 
Observe que a definição não faz referência a um sistema de coordenadas, entretanto, para 
fins de cálculo, é usualmente desejável introduzir um sistema de coordenadas, de modo que se 
possa designar as componentes vetoriais. Especificamente, se F(P) for um campo vetorial em 
um sistema de coordenadas cartesianas XY,então o ponto P terá coordenadas (x,y) e o vetor 
associado terá componentes neste mesmo sistema de coordenadas. Assim, o campo F(P) 
pode ser expresso como ( ) ( ) ( ), ,P f x y g x y= +
 
F i j . 
Analogamente, se P tiver coordendas ( ), ,x y z , o vetor F(P) será expresso como 
( ) ( ) ( ) ( ), , , , , ,P f x y z g x y z h x y z= + +
  
F i j k . 
Exemplo 1: 
Um campo vetorial sobre 2 está definido por ( ),x y y x= − +
 
F i j . Esboce alguns de seus 
vetores.
Resolução
Como ( )1,0 =

F j , desenhamos o vetor 

j com início no ponto (1,0). E como ( )0,1 = −

F i 
desenhamos o vetor −

i com início no ponto (0,1). Continuando este processo alguns pontos 
do plano, montamos a tabela, onde ,a b a b= +
 
i j
(x,y) F(x,y) (x,y) F(x,y)
(1,0) ⟨0,1⟩ (-1,0) ⟨0,-1⟩
(2,2) ⟨-2,2⟩ (-2,-2) ⟨2,-2⟩
(3,0) ⟨0,3⟩ (-3,0) ⟨0,-3⟩
(0,1) ⟨-1,0⟩ (0,-1) ⟨1,0⟩
(-2,2) ⟨-2,-2⟩ (2,-2) ⟨2,2⟩
(0,3) ⟨-3,0⟩ (0,-3) ⟨3,0⟩
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Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
A seguir, a figura traz o desenho desses vetores. 
Fonte: Stewart (2012, p. 1057)
Vale observar que o desenho de cada vetor (seta) é tangente à circunferência com centro na 
origem. Para confirmar isso, vamos calcular o produto escalar do vetor posição x y= +
 
r i j 
com o vetor ( ),x y y x= − +
 
F i j .
( ) ( ) ( ). , . 0x y xi yj y x xy yx= + − + = − + =  r F i j
Isso demonstra que ( ),x yF é ortogonal à r e, portanto, é tangente à circunferência com 
centro na origem e raio 2 2x y= +r . Vale também notar que, neste caso,
( ) ( )2 2 2 2,x y y x x y= − + = + =F r
De modo que a magnitude (valor escalar) do vetor ( ),x yF é igual ao raio da circunferência 
naquele ponto. Isso tem importância, porque para desenhar um vetor em escala, necessitamos 
do seu comprimento (valor escalar), direção e sentido. 
Alguns sistemas algébricos computadorizados são capazes de ilustrar campos vetoriais em 
duas ou três dimensões, proporcionando uma representação do campo vetorial que nem 
sempre é possível à mão, porque o computador pode trazer um número bem maior de vetores, 
mesmo que finito. Mas nem sempre em escala real; costuma ser em escala proporcional à 
magnitude verdadeira, o que permite ter uma boa ideia de como se comportam esses campos 
de vetores. Entretanto, representações gráficas de campos vetoriais requerem uma quantidade 
grande de vetores e, portanto, um volume substancial de cálculos, de modo que, em geral, são 
gerados por métodos computacionais, como os da figura seguinte.
Fonte: Anton (2007, p. 1103)
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O campo vetorial em (a) poderia descrever a velocidade da corrente num córrego em várias 
profundidades: no fundo do córrego, a velocidade é zero, mas a corrente aumenta à medida que 
a profundidade diminui, sendo que pontos à mesma profundidade têm a mesma velocidade. 
O campo em (b) poderia descrever a velocidade em pontos de uma roda em movimento: no 
centro da roda, a velocidade é nula e aumenta com a distância do centro, sendo que pontos à 
mesma distância do centro têm a mesma velocidade. 
O campo vetorial em (c) poderia descrever a força de repulsão de uma corrente elétrica, 
quanto mais perto da carga, maior a força repulsora. Note que os vetores de (b) e (c) estão fora 
de escala, seus comprimentos foram reduzidos para maior clareza. 
Fonte: Anton (2007, p. 1103)
Já a figura (d) mostra um campo vetorial no espaço tridimensional. Tais figuras tendem a 
ser confusas e, portanto, de menor valor que representações gráficas de campos vetoriais no 
espaço bidimensional. Note que os vetores de (b) e (c) estão fora de escala, seus comprimentos 
foram reduzidos para maior clareza. Normalmente, esse é o recurso adotado. 
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Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
Exemplo 2:
Esboçar o campo vetorial sobre 3 dado por ( ), ,x y z z=

F k .
Resolução: 
Observe que todos os vetores são verticais, apontam para cima para pontos acima do plano 
XY e, para baixo, para pontos abaixo do plano XY. A magnitude dos vetores aumenta com a 
distância do ponto ao plano XY. Confira a representação gráfica na figura que segue. 
Fonte: Stewart (2012, p. 1058)
Esboçar esse campo vetorial à mão é possível, até porque sua fórmula é bastante simples. 
Entretanto, para os três campos vetoriais seguintes, que são tridimensionais, é necessário 
recorrer a um sistema computacional. 
Fonte: Stewart (2012, p. 1058)
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Exemplo 3: 
Vamos esboçar alguns vetores do campo vetorial dado por
( ), 2x y x y= +
 
F i j
Resolução: 
Para este campo vetorial, os vetores de igual comprimento estão sobre a curva dada por 
( ) ( )2 2 2 2, 2 4x y x y c x y c= + = ⇒ + =F , que são elipses. 
Para c = 1 desenhamos vários vetores 2x y+
 
i j com magnitude 1 em pontos da elipse 4x2 + y2 = 1
Para c = 2, desenhamos vários vetores 2x y+
 
i j com magnitude 2 em pontos da elipse 
4x2 + y2 = 4. 
Veja a figura a seguir. Nesse caso, não é conveniente sobrepor muitos vetores, como por 
exemplo, desenhar os vetores com ponto de aplicação em mais uma elipse além destas duas. 
Isto tornaria confusa a representação do campo. O esboço é importante para termos uma 
ideia de como o campo se comporta. 
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 1060)
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Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
Exemplo 4: 
Esboçar alguns vetores do campo de velocidade dado por:
( ) ( )2 2, , 16x y z x y= − − v k
Onde x2 + y2 < 16. 
Resolução: 
Podemos imaginar que v descreve a velocidade de um fluido através de um tubo de raio 4. 
Os vetores próximos ao eixo Z são maiores do que os que estão próximos da borda do tubo. 
Por exemplo, no ponto (0,0,0) o vetor velocidade é ( )0,0,0 16=

v k . Noponto (0,3,0), o vetor 
velocidade é ( )0,3,0 7=

v k . O esboço está na figura a seguir. 
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 1061)
Uma classe importante de campos vetoriais surge no processo de calcular gradientes. 
Definição 2: Campos gradientes
Se ƒ é uma função de três variáveis, então o gradiente de ƒ é definido como:
( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,f f ff x y z x y z x y z x y z
x y z
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
  
i j k
Essa fórmula define um campo vetorial no espaço tridimensional, denominado campo 
gradiente de ƒ. Analogamente, uma função de duas variáveis define um campo gradiente no 
plano. 
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Vale ressaltar que, em cada ponto, em que o gradiente não for nulo, o vetor aponta na 
direção em que é máxima a taxa de crescimento de ƒ.
Em notação sintética, o operador diferencial gradiente é:
x y z
 ∂ ∂ ∂   ∇ = + +    ∂ ∂ ∂    
  
i j k
Exemplo 5: 
Encontre o gradiente de ( ), ,f x y z xyz= .
Isto é simples, pois já trabalhamos com o vetor gradiente. Então, temos que o campo 
gradiente de ƒ é ( ), ,f x y z yz xz xy∇ = + +
  
i j k . 
Exemplo 6: 
Esboçar o campo gradiente de ƒ(x,y) = x + y.
O gradiente de ƒ é ( ),f x y∇ = +
 
i j . Dessa forma, todos os vetores (com ponto de aplicação 
em cada ponto do plano) têm mesma direção e sentido, com magnitude 2 11 1 2+ = + =
 
i j . 
Já vimos que o gradiente de uma função é ortogonal às curvas de nível da função, no caso, 
x + y = k, k constante, que consiste em uma família de retas com declividade m = -1, cada uma 
delas cruzando o eixo Y no ponto (0,k). Segue uma representação desse campo gradiente.
Fonte: Anton (2007, p. 1105)
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Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
Definição 3: Campos vetoriais conservativos.
Um campo vetorial se diz conservativo se existe uma função diferenciável ƒ tal que f= ∇F 
A função ƒ se chama função potencial para F. 
Exemplo 7: 
O campo vetorial do exemplo 3 é conservativo. Para comprovar, seja a função 
( ) 2 21, 
2
f x y x y= + . Assim, 2f x yj∇ = +


i , então o campo é conservativo. 
Exemplo 8: 
Os campos gravitacionais são definidos pela Lei de Gravidade de Newton, que estabelece 
que a força de atração exercida em uma partícula de massa m1 localizada no ponto (x,y,z), por 
uma partícula de massa m2, localizada em (0,0,0), é dada por:
( ) 1 22 2 2, ,
Gm mx y z
x y z
−=
+ +
F u
Onde G é a constante gravitacional e u é o vetor unitário na direção da origem ao ponto 
(x,y,z). Na figura, a seguir, pode-se ver um campo gravitacional, em que todo vetor F(x,y,z) é 
radial apontando para a origem e cuja magnitude é a mesma em todos os pontos equidistantes 
da origem. Um campo vetorial com essas duas propriedades se chama campo de forças 
centrais.
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 1059)
Utilizando o vetor posição x y z= + +
  
r i j k para o ponto (x,y,z), podemos expressar o 
campo gravitacional F como:
( ) 1 2 1 22 2, ,
Gm m Gm mx y z
 − −= =   
rF u
rr r
Os campos de forças elétricas definidos pela Lei de Coulomb, em expressão semelhante:
( ) 1 2 1 22 2, ,
Gq q Gq qx y z
 − −= =   
rF u
rr r
31
Tanto os campos gravitacionais, quanto de forças elétricas podem ser escritos de forma 
simplificada, sendo k uma constante:
2
k=F u
r
Tal campo de forças se chama um campo quadrático inverso. 
Além disso, campos quadráticos inversos são conservativos, uma vez que 
( ) ( ), , , ,x y z f x y z= ∇F para a função ( ) 2 2 2, ,
kf x y z
x y z
−=
+ +
 para x y z, , , ,( ) ≠ ( )0 0 0 . Verifique!
Teorema 1: Critério para campos vetoriais conservativos no plano.
Sejam M e N duas funções com derivadas parciais primeiras contínuas em um disco aberto 
D. O campo vetorial ( ),x y M N= +
 
F i j é conservativo se, e somente se, 
N M
x y
∂ ∂=
∂ ∂
Demonstração: Vamos mostrar que essa é uma condição necessária. Então, suponhamos 
F conservativo, isto implica que existe uma função ƒ tal que ( ) ( ), ,x y f x y M N= ∇ = +
 
F i j . 
Então, temos:
( ) ( ), ,x xy
Mf x y M f x y
y
∂= ⇒ =
∂
( ) ( ), ,y yx
Nf x y N f x y
x
∂= ⇒ =
∂
Como as derivadas parciais primeiras são contínuas, temos:
( ) ( ), ,xy yx
N Mf x y f x y
x y
∂ ∂= ⇒ =
∂ ∂
Vamos mostrar que a condição é suficiente mais à frente, quando estudarmos o Teorema 
de Green.
Exemplo 9: 
Verifique se os campos vetoriais são conservativos ou não. 
a) ( ) 2,x y x y xyj= +


F i b) ( ), 2x y x yj= +


F i
32
Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
Resolução:
a) ( )
22
2, y y x
x
M xM x y
x y x y xyj M N
N yN xy
  === + ⇒ ⇒ ⇒ ≠ ⇒  == 


F i F não é um campo conservativo.
b) F ( ) 02, 2
0
y
y x
x
MM x
x y x yj M N
NN y
 == = + ⇒ ⇒ ⇒ = ⇒  == 


i F é um campo conservativo. 
 Importante!
O Teorema 1 permite decidir se um campo é conservativo ou se não é. Entretanto, 
não nos diz como encontrar uma função potencial de F. Às vezes, podemos 
encontrar uma função potencial por simples inspeção, como no caso do exemplo 
3, no qual a função ( ) 2 21,
2
f x y x y= + tem a propriedade de ( ), 2f x y x y∇ = +
 
i j .
Exemplo 10:
Encontrar uma função potencial para ( ) ( )2, 2x y xy x y= + − F i j
Resolução: 
Vamos primeiro verificar se F é conservativo. 
[ ]2 2xy x
y
∂ =
∂
 e 2 2x y x
x
∂  − = ∂
. Logo, F é conservativo.
Se ƒ é uma função potencial de F, então ( ) ( ) ( )2, , 2f x y x y xy x y∇ = = + − F i j
Isto implica que: ( ), 2xf x y xy= e ( ) 2,yf x y x y= − .
Para reconstruir a função ƒ destas derivadas parciais, vamos integrar ( ),xf x y com relação a 
x e ƒy(x,y) = 2xy com relação a y, como segue:
( ) ( ) ( )2, , 2 xf x y f x y dx xy dx x y g y= = = +∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2, , 
2y
yf x y f x y dy x y dy x y h x= = − = − +∫ ∫
Note que g(y) é constante em relação a x e h(x) é constante em relação a y. Para 
encontrarmos uma só expressão que represente ƒ(x,y) seja:
( )
2
2
yg y = − e ( )h x k= (constante)
Então, podemos escrever:
( ) ( )
2
2 2,
2
yf x y x y g y k x k= + + = − +
Para verificar, é só formar o gradiente de ƒ e você mesmo pode verificar que é igual ao 
gradiente original. 
33
Definição 4: Rotacional de um campo vetorial.
O rotacional de ( ), ,x y z M N P= + +
  
F i j k é :
( ) ( ) , , , , P N P M N Mrot x y z x y z
y z x z x y
   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇× = − − − + −    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
  
F F i j k
Nota: Se 0rot =F , então dizemos que F é um campo irrotacional.
A notação de produto vetorial usada no rotacional provém de ver o gradiente ∇ƒ como 
resultado do operador diferencial ∇ que atua sobre a função ƒ. Nesse contexto, utilizamos 
a seguinte forma de determinante como ajuda mnemotécnica para recordar a fórmula do 
rotacional. 
( ) ( ) , , , ,
i j k
rot x y z x y z
x y z
M N P
P N P M N M
y z x z x y
∂ ∂ ∂= ∇× =
∂ ∂ ∂
   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − − − + −    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
  
F F
i j k
Exemplo 11:
Encontre o rotacional do seguinte campo de vetores:
( ) ( )2 2, , 2 2x y z xy x z yz= + + +  F i j k . E ainda responda: F é irrotacional?
Resolução: 
O rotacional de F é dado por:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
 , , , ,
2 2
2 22 2
2 2 0 0 2 2 0 0 0 0
i j k i j k
rot x y z x y z
x y z x y z
M N P xy x z yz
y z x yx z
xy yzx z yz xy x z
z z x x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ∇× = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂= − +∂ ∂
+ +
= − + − + − = + + =
  
     
F F
i j k
i j k i j k
Como 0rot =F , F é irrotacional.
34
Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
 Saiba Mais
Qual o significado físico e geométrico do rotacional? 
O significado físico está ligado às forças conservativas. Por exemplo, se o 
rotacional de uma força for nulo, podemos calculá-lo por meio do gradiente 
da energia potencial associada a essa força. Calculando em seguida o trabalho 
dessa força num caminho fechado, veremos que o mesmo é nulo, ou seja, não 
depende do caminho, o que é uma característica de forças conservativas. Vamos 
falarsobre o trabalho realizado por uma força mais à frente. Um exemplo 
importante é o rotacional do campo magnético, que é diferente de zero, ou 
seja, não conservativo e que nos conduz à lei de Ampère. Logo, não existe uma 
energia potencial magnética nesses moldes.
O significado geométrico está ligado a uma curvatura dos campos, isto é, a uma 
medida de quanto, os campos de força, por exemplo, se desviam do seu fluxo 
principal. Seja, por exemplo, um fluxo de linhas de campo. Se neste campo, 
todas as linhas seguem seu fluxo principal sem se desviar, o rotacional é nulo 
(campo de força central-força elétrica). Agora, por exemplo, se algumas linhas 
formam pequenos redemoinhos ao longo de seu fluxo, o rotacional será diferente 
de zero (campo de força não central-força magnética).
O uso primário do rotacional está na seguinte prova para campos vetoriais conservativos 
no espaço. O seguinte critério estabelece que, para campos vetoriais, cujo domínio seja todo 
espaço tridimensional ou um conjunto aberto do espaço tridimensional (como uma esfera 
aberta), o rotacional é nulo em cada ponto do domínio se, e somente se, o campo for 
conservativo. 
Teorema 2: Critério para campos vetoriais conservativos no espaço.
Suponhamos que M,N,P tenham derivadas parciais contínuas numa esfera aberta Q no 
espaço. O campo dado por ( ), ,x y z M N P= + +
  
F i j k é conservativo se, e somente se, 
( ) , , 0rot x y z =F . 
Em outras palavras, F é conservativo se, e somente se:
,P N P M N Me
y z x z x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
35
 Saiba Mais
O Teorema 2 é válido para domínios simplesmente conexos do espaço. Um domínio 
simplesmente conexo no plano ou no espaço é um domínio D para o qual cada curva 
simples fechada em D pode ser reduzida a um ponto em D sem sair de D. 
Fonte: http://www.pbx-brasil.com/calculo03/Notas/Area01/dia07/rotccon.html
Exemplo 12: 
Verifique se o campo ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 2, ,F x y z x y z i x z j x y k= + +   é conservativo ou não. 
Resolução:
Vamos encontrar o rot F .
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 2 22 2 3 2 2
3 2 2 2
2 2 3 2 3
3 2 3
 
2 2 2
2 2 2 0
i j k
y z x yrot x z
x y z x y z x yx z x y x y z x z
x y z x z x y
x x xy x y xz x yz
x y xz xz x yz
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = − +∂ ∂
∂ ∂ ∂
= − − − + −
= − + − ≠
  
  
 
F i j k
i j k
j k
Portanto, o campo de vetores F não é conservativo. 
Para os campos vetoriais no espaço que satisfazem o critério do Teorema 2 e, portanto, são 
conservativos, pode-se encontrar uma função potencial, seguindo o mesmo modelo utilizado 
para campos conservativos do plano, como vimos no exemplo 10. 
http://www.pbx-brasil.com/calculo03/Notas/Area01/dia07/rotccon.html
36
Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
Exemplo 13: 
Vimos que o campo ( ) ( )2 2, , 2 2x y z xy x z yz= + + +  F i j k é irrotacional (exemplo 11), 
portanto, pelo Teorema 2, esse campo é conservativo. Assim sendo, encontre uma função 
potencial ƒ tal que ( ) ( ), , , ,x y z f x y z= ∇F .
Resolução: 
Sabemos que existe uma função potencial de F, suponhamos ƒ uma função tal que 
( ) ( ), , , ,x y z f x y z= ∇F . Isso garante que:
( ), , 2xf x y z xy= , ( ) 2 2, ,yf x y z x y= + e ( ), , 2zf x y z yz=
Podemos, então, integrar ƒ em relação a x,y e z e, assim, obtemos:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
2
, , 2 ,
, , ,
, , 2 ,
f x y z M dx xy dx x y g y z
f x y z N dy x z dy x y yz h x z
f x y z P dz yz dz yz k x y
= = = +
= = + = + +
= = = +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
Comparando as três equações, podemos concluir que:
( ) 2,g y z yz k= + ( ),h x z C= ( ) 2,k x y x y=
Assim: ( ) 2 2, ,f x y z x y yz C= + + , C constante 
Conferindo: ( ) ( )2 2, , 2 2f x y z xy x z yz∇ = + + +  i j k . 
Observação: Para encontrar a função potencial, pode-se também integrar uma derivada 
parcial e depois derivar em relação às outras duas variáveis e acertar as contantes. Dessa 
forma, nesse caso, poderíamos também resolver assim: 
Integrando ƒ em relação a x obtemos: ( ) ( )2, , 2 ,f x y z M dx xy dx x y g y z= = = +∫ ∫
Agora, derivando em relação a y, temos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2, , , , ,y y yf x y z x g x y N g x y z g y z yz h z= + = ⇒ = ⇒ = +
Portanto, ( ) ( )2 2, ,f x y z x y yz h z= + + e, agora, derivando em relação a z temos:
( ) ( ) ( ), , 2zf x y z yz h z P h z C constante= + = ⇒ = =′
Logo: f ( ) 2 2, ,x y z x y yz C= + + , constante.
Vimos aqui o rotacional de um campo vetorial. Outra função importante definida num 
campo vetorial é a divergência, que é uma função escalar.
Definição 5: Divergência de um campo vetorial
A divergência de ( ),x y M N= +
 
F i j é assim definida:
( ) , M Ndiv x y
x y
∂ ∂= +
∂ ∂
F
37
A divergência de ( ), ,x y z M N P= + +
  
F i j k é assim definida:
( ) , , M N Pdiv x y z
x y z
∂ ∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂
F
Se 0div =F , dizemos que F tem divergência nula.
Também para a divergência temos uma expressão que usa a notação do produto escalar 
entre o operador diferencial ∇ e o campo F a saber:
( ) ( ). , , . M N Px y z M N Px y z x y z
  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   ∇ = + + + + = + +     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     
     
F i j k i j k
Em notação sintética: .div = ∇F F
( , , ) ( , , )
( , , ) . ( , , )
rotF x y z F x y z
divF x y z F x y z
= ∇×
= ∇
Exemplo 14
Calcular a divergência do campo vetorial
( ) 2 3, , 2 3x y z x y y z z= + +
  
F i j k
Resolução: 
Pelo definição, identificamos 2M x y= , 32N y z= e 3P z= . Então:
2 2 6 3div xy y z= + +F
 Saiba Mais
A divergência pode ser vista como um tipo de derivadas de um campo vetorial 
F, uma vez que para campos de velocidades de partículas mede o ritmo e fluxos 
de partícula por unidade de volume em um ponto. Em hidrodinâmica, que é o 
estudo do movimento dos fluidos, um campo de velocidades de divergência nula 
se chama incompressível. No estudo de eletricidade e magnetismo, um campo 
vetorial de divergência nula se chama soleinodal. 
Observe que tanto o div F quanto o ( ) , ,rot x y zF dependem do ponto em que estão sendo 
calculados e, portanto, são escritos mais apropriadamente ( ) , ,div x y zF e ( ) , ,rot x y zF . 
Entretanto, mesmo que estas funções sejam escritas em termos de x,y,z, pode-se provar que 
seus valores dependem do ponto, mas não do sistema coordenado selecionado. Isso tem 
importância nas aplicações, pois pemite a físicos e engenheiros calcular o rotacional e a 
divergência de campos vetoriais em qualquer sistema de coordenadas conveniente. 
38
Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
Exemplo 15:
Mostre que é nula a divergência do campo de quadrado inverso a seguir: 
( )
( )
( )3
2 2 2 2
, , cx y z x y z
x y z
= + +
+ +
  
F i j k
Resolução: 
Os cálculos podem ser obtidos mais facilmente se usarmos coordenadas cilíndricas, ou seja, 
( )
1
2 2 2 2 r x y z= + + e expressando o campo assim:
( )
( )
3 3 3 3
2 2 2 2
, , cx cy cz cx cy czx y z
r r rx y z
+ += = + +
+ +
  
  i j kF i j k
Portanto, temos que ,r x r y r ze
x r y r z r
∂ ∂ ∂= = =
∂ ∂ ∂
 e, portanto:
3 3 3 
x y zdiv c
x r y r z r
 ∂ ∂ ∂     = + +      ∂ ∂ ∂      
F
Mas, pela regra da cadeia temos:
( )
( )
3 2
2
23 3 53
1. 3
1 3
xr x r
x xr
x r r rr
 −  ∂    = = − ∂  
Pela similaridade das equações: 
2
3 3 5
1 3y y
y r r r
∂   = − ∂  
 e 
2
3 3 5
1 3z z
z r r r
∂   = − ∂  
Substituindo na expressão da divergência:
2 2 2 2
3 5 3 5
3 3 3 3 3 3 0x y z rdiv c c
r r r r
   + += − = − =   
   
F
Teorema 3: Relação entre divergência e rotacional
Se ( ), ,x y z Mi Nj Pk= + +

 
F é um campo vetorial e M,N,P tem segundas derivadas parciais 
contínuas, então:
( ) 0div rot =F
Demonstração: Já sabemos que dado um campo vetorial G, .div = ∇ GG , portanto: 
( ) ( ) . div rot rot= ∇F F . Também sabemos que: 
 P N P M N Mrot
y z x z x y
x y z
   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − − − + −    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
 ∂ ∂ ∂   ∇ = + +    ∂ ∂ ∂      
  
F i j k
i j k
39
Portanto, o produto escalar do operador diferencial ∇ pelo campo vetorial rot F é:
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
. 
0 0 0 0
P N P M N Mrot
x y z y x z z x y
P N P M N M
x y x z y x y z z x z y
P P N N M M
x y y x x z z x y z z y
   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = − − − + −    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − − + + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − + − + + − = + + =     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     
F
Esta última igualdade se justifica porque M,N,P sendo funções escalares de três variáveis 
com derivadas parciais segundas contínuas, então suas derivadas parciais segundas mistas são 
iguais. E assim, demonstramos o teorema. 
Propriedades envolvendo esses operadores e campos vetoriais.
Sejam F e G campos vetoriais e ƒ uma função escalar. Então, supondo as derivadas parciais 
requeridas contínuas, valem:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
1) 
0
 
4) . . 
5)
6)
7) .
 0
2)
3)
8) Teorema 3
rot rot rot
rot f f
div div div
div rot rot
f
f f f
div f f div f
div rot
+ = +
∇ = ∇× ∇ =
+ = +
× = −
∇× ∇ + ∇× = ∇× ∇×  
∇× = ∇× + ∇ ×
= + ∇
=
F G F G
F G F G
F G F G F G
F F
F F F
F F F
F
40
Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
 Saiba Mais
O Laplaciano 
O operador que resulta aplicando-se o operador “del” sobre si mesmo, denotado 
por ∇2, é chamado operador Laplaciano e tem a forma:
2 2 2
2
2 2 2. x y z
∂ ∂ ∂∇ = ∇ ∇ = + +
∂ ∂ ∂
Quando aplicado a F, o operador laplaciano produz a função:
2 2 2
2
2 2 2
F F FF
x y z
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
Note que ∇2F também pode ser expresso como ( ) div F∇ . A equação ∇2F = 0, 
conhecida como equação de Laplace, pode ser expressa assim:
2 2 2
2 2 2 0
F F F
x y z
∂ ∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂
Essa equação diferencial parcial desempenha importante papel numa variedade 
de aplicações, resultante do fato de ser satisfeita pela função potencial do campo 
de quadrado inverso.
Pierre Simon Laplace (1749-1827)
Fonte: Wikimedia Commons
Pierre Simon Laplace, matemático e físico francês, é referido, às vezes, como o 
Isaac Newton francês, por causa de seu trabalho em Mecânica Celeste, no qual 
resolveu problemas extremamente difíceis, envolvendo interações gravitacionais 
entre planetas. Em particular, foi capaz de demonstrar que nosso sistema solar 
é estável e não está sujeito ao colapso catastrófico como resultado dessas 
interações. Esse problema era crucial na época porque a órbita de Júpiter 
parecia estar encolhendo e a de Saturno expandindo. Laplace mostrou que essas 
eram anomalias periódicas esperadas. Além do exitoso trabalho em Mecãnica 
Celeste, Laplace fundou a Teoria da Probabilidade moderna, mostrou junto com 
Lavoisier que a respiração é um tipo de combustão e desenvolveu métodos que 
desbravaram muitos ramos da matemática pura. É classificado como um dos 
matemáticos mais influentes da história. 
41
Integrais de Linha
Uma propriedade clássica dos campos gravitacionais é que, sob certas restrições físicas, o 
trabalho realizado pela força da gravidade sobre um objeto que se move, entre dois pontos do 
campo, é independente da trajetória desse objeto. Uma das restrições é que a trajetória deve 
ser uma curva suave ou suave por partes. 
Recordando, uma curva plana C, dada por ( ) ( ) ( ) , t x t y t a t b= + ≤ ≤
 
r i j , é suave se 
dx dye
dt dt
 são contínuas em [ ],a b . Analogamente, se a curva C está no espaço e é dada por 
( ) ( ) ( ) ( ) , t x t y t z t a t= + + ≤ ≤
  
r i j k , é suave se ,
dx dy
dt dt e 
dz
dt são contínuas em [ ],a b . 
E uma curva C é suave por partes se o intervalo [ ],a b pode ser dividido em um número finito 
de subintervalos, em cada um dos quais a curva C é suave. 
Exemplo de uma curva suave por partes pode ser vista na figura a seguir, onde C = C1∪ C2 
∪ C3 assim descritas:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
2
3
: 0, 2 , 0, 0 1
: 1, 2, 0,1 2
: 1, 2, 2, 2 3
C x t y t t z t t
C x t t y t z t t
C x t y t z t t t
= = = ≤ ≤
= − = = ≤ ≤
= = = − ≤ ≤
E, portanto, C pode ser dada por:
( ) ( )
( )
2 , 0 1 
1 2 , 1 2
2 2 , 2 3
t t
t t t
t t
 ≤ ≤
= − + ≤ ≤
 + + − ≤ ≤

 
  
j
r i j
i j k
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 1069)
Como C1, C2, C3 são suaves, então C é suave por partes (ou lisa por partes). 
Veremos, agora, outro tipo de integral: integral de linha ou integral ao longo de uma curva 
do plano ou do espaço. 
42
Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
Para introduzir o conceito de integral de linha, consideremos a massa de um cabo de 
comprimento finito, dado por uma curva C o espaço. A densidade (massa por unidade de 
comprimento) do cabo no ponto (x,y,z) é dada por ƒ(x,y,z). Fazendo uma partição na curva C, 
mediante os pontos P1, P2 ,..., Pn, se produz n sub arcos, como indica a figura a seguir.
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 1070)
Então, escolhemos um ponto (xi,yi ,zi ) em cada sub arco. Se o comprimento dos sub arcos 
é pequeno, a massa total do cabo M pode se aproximar da seguinte soma:
( )
1
, ,
i
n
i i i S
i
M f x y z
=
≈ ∆∑ .
 Se |∆| representa o comprimento do maior arco e se |∆|→0, é razoável pensar que que 
o limite desta soma se aproxime da massa do cabo. Isso nos leva à seguinte definição.
Definição 6: Integral de Linha
Se ƒ está definida numa região que contém uma curva suave C de comprimento finito, 
então, a integral de linha de ƒ ao longo de C é dada por:
( ) ( )
( ) ( )
0
1
0
1
, lim ,
, , lim , .
(plano)
(espaço)
i
i
n
i i S
iC
n
i i i S
iC
f x y ds f x y
f x y z ds f x y z
∆ →
=
∆ →
=
= ∆
= ∆
∑∫
∑∫
Sempre que o limite exista. 
Para calcular uma integral de linha é necessário convertê-la em integral definida. E para tal, 
é preciso encontrar os limites de integração, parametrizando C. No caso da curva C ser dada 
por ( ) ( ) ( )r t x t i y t j= +
 
 utilizamos o fato de que: 
( ) ( ) ( )2 2Sd r t dt x t y t dt= = +     ′ ′ ′
Para a curva C no espaço a fórmula é similar, como pode ser vista no teorema seguinte.
Teorema 4: Seja ƒ uma função contínua numa região que contém a curva C. Se C é dada 
por ( ) ( ) ( )t x t y t= +
 
r i j com a t b≤ ≤ então:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2, ,
b
C a
f x y ds f x t y t x t y t dt′= +      ′∫ ∫
43
Se C é dada por ( ) ( ) ( ) ( )t x t y t z t= + +
  
r i j k com a t b≤ ≤ então:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2, , , ,
b
C a
f x y z ds f x t y t z t x t y t z t dt= + +         ′′ ′∫ ∫
Observe que se ( ), , 1f x y z = , a integral de linha proporciona o comprimento de arco da 
curva C, ou seja:
( )1 
b
C a
ds r t dt= =′∫ ∫ comprimento de arco da curva C
Se C é suave por partes, isto é, C = C1 ∪ C2, ... ∪ Cn , então:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
, , , ,
nC C C C
f x y ds f x y ds f x y ds f x y ds= + +…+∫ ∫ ∫ ∫
 
Fonte: Stewart (2012, p. 1064)
Exemplo 16: 
Calcular ( )22
C
x y ds+∫ onde C é a metade superior da circunferência x2 + y2 = 1.
Fonte: Stewart (2012, p. 1064)
Resolução: 
Precisamos primeiro encontrar equações paramétricas para a curva C. Assim, podemos 
descrever 
cos
: ,0
 
x t
C t
y sent
π
=
≤ ≤ =
. 
E como ds é o elemento de arco, então 
2 2
 dx dyds dt
dt dt
   = +      
.
44
Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
Logo, a integral de linha é:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
22 2 2
0
2 3
0 0
 2 2 
1 1 22 2 2 1 1 2
3 3 3
C
x y ds cos t sen t sen t cos t dt
cos t sen t dt t cos t
π
ππ
π π
 + = + − + = 
  = + = − = − − − = +    
∫ ∫
∫
Exemplo 17: 
Integre a função ( ), , 3f x y z x y z= − + sobre a curva C que liga os pontos (0,0,0) e (1,1,1) 
nas situações ilustradas em (a) e (b) da figura a seguir:
Fonte: Thomas (2004, p. 431)
Resolução: 
a) Na ilustração (a) da figura, a curva C é um único segmento retilíneo ligando os pontos 
(0,0,0) e (1,1,1), que podeassim ser parametrizado:
( )
( ) ( ) 2 2 2
 ,0 1
1 1 1 3
t t t t t
t t
= + + ≤
′
≤
= = + + =
  
r i j k 
v r
Além disso, ( )ds t dt= v
Daí, a integral de linha é: ( ) ( )
1
0
, , , , . 3 
C
f x y z ds f t t t dt=∫ ∫
( ) ( )
1 1
12 2 2 3
0
0 0
3 3 2 3 3 0t t t dt t t dt t t = − + = − = − =  ∫ ∫
b) Na ilustração (b) da figura a curva ligando os mesmo dois pontos é dada por C = C1 ∪ C2. 
Vamos escolher uma parametrização mais simples que pudermos imaginar para C1 e C2, 
verificando o comprimento (módulo) dos vetores velocidade em cada caso. 
( )
( )
2 2
1 1 1
2 2 2
2 2 2
: , 0 1 1 1 2
: , 0 1 0 0 1 1
C t t t t
C t j t t
= + ≤ ≤ ⇒ = + =
= + + ≤ ≤ ⇒ = + + =
 
 

r i j v
r i k v
45
Então, a integral de linha fica sendo: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 21 2
1 1
0 0
1 1
2
0 0
1 12 2
3
00
, , , , , , 
, ,0 . 2 1,1, . 1 
3 0 2 1 3 
1 1 2 32 2 2 1 2
2 2 2 2 2 2
C CC C
f x y z ds f x y z ds f x y z ds
f t t dt f t dt
t t dt t dt
t tt t
= +
∪
= +
= − + + − +
            = − + − + = − + − + = − −                  
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
Interpretações da integral de linha
Se C for uma curva no espaço tridimensional que modela um arame fino e se ƒ(x,y,z)=1 é 
a função densidade linear do arame, segue que a massa M do arame é dada por:
( ), , 
C
M f x y z ds= ∫
Se C for uma curva lisa (suave) de comprimento L e se ƒ(x,y,z)=1, então 
C
ds L=∫
Se C for uma curva lisa no plano XY e se ƒ for uma função contínua não-negativa definida 
em C, então ( ),
C
f x y ds∫ pode ser interpretada como a área A da “cortina” que é traçada por 
um segmento de reta vertical que se estende do ponto (x,y) para cima até a altura ƒ(x,y) e se 
move ao longo de C de uma a outra extremidade de C, como ilustra a figura:
Fonte: Anton (2007, p. 1113)
46
Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
Exemplo 18: 
Calcular a área da superfície que se estende verticalmente desde a circunferência x2 + y2 = 1 
no plano XY até o cilindro parabólico z = 1 - x2, conforme ilustra a figura a seguir. Pelo 
interpretação dada no item (c) podemos calcular a área solicitada via integral de linha.
Fonte: Anton (2007, p. 1118)
Resolução: 
A área ( )21 
C
A x ds= −∫ . E a curva C é a circunferência x2 + y2 =1 que fica mais fácil sendo 
parametrizada por , , , 0 2x cost y sen z t t π= = = ≤ ≤ . Atenção que, agora, vamos integrar 
em relação à s. Então, é apenas uma mudança de variáveis cartesianas para polares. Portanto:
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ]( ) ( )( )
2 2
2 2 2
0 0
2
22
0 0
0
1 1 
1 11 2 2 2 .
2 2
C
A x ds cos s ds sen s ds
cos s ds s sen s u a
π π
π
ππ π
= − = − =
 = − = + =  
∫ ∫ ∫
∫
Exemplo 19: 
Calcular ( ) 
C
ysen z ds∫ , onde C é a hélice circular dada pelas equações: 
, , , 0 2x cost y sent z t t π= = = ≤ ≤ 
Fonte: Stewart (2012, p. 1069)
47
Resolução: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 22
0
2 2
2 22 2 2
0 0
22
00
 
1 . 2 
1 2 12 1 2 2 2.
2 2 2
cos
cos
C
dx dy dzy sen z ds sen t sen t dt
dt dt dt
sen t sen t t dt sen t dt
t dt t sen t
π
π π
ππ
π
     = + +                  
= − + + =      
 = − = − =       
∫ ∫
∫ ∫
∫ cos
Definição 7: Integrando um campo vetorial ao longo de uma curva
Se F for um campo vetorial contínuo e C uma curva suave (lisa) orientada; então, a integral 
de linha de F ao longo de C é .
C
d∫F r
Se C é uma curva orientada no plano dada por ( ) ,t t t t b= + ≤ ≤
 
r i j a . Podemos escrever 
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ), , t f x t y t g x t y t= +
 
F r i j e, então, temos:
( )( ) ( ). . 
b
C a
d r t t dt= ′∫ ∫F r F r
A fórmula vale também para curvas orientadas no espaço tridimensional. 
Integral de linha de campos conservativos
Aqui, vamos tratar de integrais de linha em campos de vetores ao longo de uma curva. 
Suponha F um campo de vetores definido numa região aberta U do plano ou do espaço. 
Vamos considerar γ uma curva em U, [ ]: ,a b Uγ → . 
Usando a ideia de somas de Riemann (subdividir a curva em “pedacinhos”), podemos intuir 
que a definição da integral de linha do campo F ao longo de γ:
. ( .( )). (́ )
b
a
F dr F t t dt
γ
γ γ=∫ ∫
Esta definição é feita fazendo uso de uma parametrização específica da curva, embora 
possa se mostrar que a integral de linha assim definida depende apenas do campo, do traço 
da curva e de sua orientação (se é percorrida de γ(a) a γ(b) ou vice-versa). De fato, usando o 
mesmo ds do comprimento de arco, e T o vetor na direção da tangente à curva (T depende 
da orientação nesse caso), com comprimento dado pelo comprimento de arco, onde dr = T 
ds, temos: 
 d ds
γ γ
⋅ = ⋅∫ ∫F r F T
48
Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
Passemos, agora, ao importante caso de campos conservativos.
Já vimos que, por definição, um campo vetorial se diz conservativo se existe uma função 
diferenciável ƒ tal que F = ∇ƒ (ƒ se chama função potencial para F). 
Nessas condições, a integral de linha do campo F sobre a curva γ é:
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ). 
b b
a a
dF dr f dr f t t dt f t dt f b f a
dtγ γ
γ γ γ γ γ⋅ = ∇ ⋅ = ∇ = =′ −∫ ∫ ∫ ∫
onde só foi usada a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Este cálculo é de 
simples interpretação e de profundas consequências: a interpretação é que, ao calcular a 
integral de linha de um campo gradiente, estamos somando pequenas variações de um campo 
que é obtido como variação de uma função potencial. Assim, o que fazemos é calcular a 
variação total desta função. 
A consequência é que a integral de linha de um campo conservativo não depende do 
caminho escolhido entre dois pontos: depende apenas do ponto inicial e do ponto final.
Daí a noção de conservação: o trabalho realizado está sendo passado a uma energia 
potencial, que caso a partícula volte à posição de onde começou (independente do caminho), 
será toda devolvida à partícula. 
Em particular, se o ponto inicial e final coincidirem, a integral de um campo conservativo 
deve se anular. Em outras palavras: 
Se F é conservativo e γ uma curva lisa e fechada definida em U, então . 0F dr
γ
=∫ . Como 
saber se um campo é conservativo? Ou melhor: dado um campo F, como saber se existe uma 
função potencial para ele?
Vimos, no Teorema 1,um critério para campos vetoriais conservativos no plano:
Se M e N são funções de classe C1 em um disco aberto D o campo vetorial ( ),x y M N= +
 
F i j 
é conservativo se, e somente se, N M
x y
∂ ∂=
∂ ∂
. 
Mas vejamos o exemplo: Seja F definida em um aberto ( ){ }2 0,0D = − por:
( ) ( ) 2 2 2 2, , ,
y xF x y M N
x y x y
 −= =  + + 
Verificando se N M
x y
∂ ∂=
∂ ∂
. Sendo 2 2
yM
x y
−=
+
 e 2 2
xN
x y
=
+
, temos:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 22 2 2 2
2 2 2 2
2 22 2 2 2
1. 2
1 2
x y x xN x y
x x y x y
x y y yM x y
y x y x y
+ −∂ − += =
∂ + +
− + − −∂ − += =
∂ + +
Logo, 
N M
x y
∂ ∂=
∂ ∂ . Parece que pelo teorema 1, deveríamos concluir que é conservativo. 
49
Mas vamos testar a integral de linha ( ) :
C
F r dr∫ onde C é a curva fechada: 
( ){ }2 2, : 1C x y x y= + =
Para isto, vamos usar coordenadas polares para a curva, ou seja, x cosθ= e y senθ= , pois 
21 1r r= ⇒ = . Então, uma parametrização do vetor posição é:
( ) ( )
( ) ( )2 2, ,
cos i sen j d sen cos d
sen cosF r sen cos
r r
θ θ θ θ θ θ
θ θθ θ θ
= + ⇒ = − +
− = = −      
 
 
r r i j
Logo, o campo em C pode ser representado vetorialmente por: 
( ) sen cosθ θ θ= − +  
 
F r i j
Daí, ( ) ( ) ( )2 2. 1.F d sen cos d d dθ θ θ θ θ θ = − + = =    r r
( )( ) ( )( )
2
0
. . 2 0
C C
d r d d
π
θ θ θ θ π′= = = ≠∫ ∫ ∫ F r F r
Logo, F não é conservativo. 
A pergunta que fica é: o que está errado nisto? Contradiz o Teorema 1?
Na verdade, não contradiz o teorema. É interessante notar que todo problema surge do 
fato do caminho escolhido dar “uma volta” em torno doponto onde o campo não está 
definido. De outro ponto de vista, a integral de linha “percebeu” que deu esta volta em torno 
de um ponto específico, mesmo sem passar por ele. Esta é uma relação entre domínios do 
plano e possíveis campos diferenciáveis nesses domínios que exigem condições topológicas, 
no caso, conjuntos conexos.
Observe bem que as hipóteses do teorema 1 não são satisfeitas, pois o aberto 
( ){ }2 0,0D = − onde F está definido, não é conexo. Então, basta tomar um caminho fechado, 
mesmo numa curva lisa (que é o caso da circunferência que tomamos), mas que contenha um 
“buraco”, mesmo que apenas um ponto, para que as condições de aplicação do teorema não 
sejam válidas. Observe que, nas hipóteses desse teorema, as funções M(x,y) e N(x,y) são 
contínuas com derivadas parciais contínuas num disco aberto D do plano. E sendo um disco 
aberto é um conjunto conexo. 
Resumindo: vimos neste exemplo que 
N M
x y
∂ ∂=
∂ ∂
 F ser conservativo. 
Logo, 
N M
x y
∂ ∂=
∂ ∂
 é uma condição necessária, mas não suficiente. 
Para que a condição seja também suficiente teríamos que ter o campo definido em um 
conjunto aberto e conexo, de modo que a curva lisa e fechada não circunde nenhum ponto 
onde o campo não seja definido ou suas componentes não sejam de classe C1. 
50
Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
Fórmulas da Física
A massa e o momento de inércia para molas helicoidais, hastes finas e fios distribuídos 
ao longo de uma curva lisa C no espaço, sabendo que δ é a função densidade no ponto são 
assim definidos: 
Massa: ( ), , 
C
M x y z dsδ= ∫
Momentos de inércia: . , . , . yz xz xy
C C C
M x ds M y ds M z dsδ δ δ= = =∫ ∫ ∫
Coordenadas do centro de massa: , , yz xyxz
M MMx y z
M M M
= = =
Momentos de inércia em relação aos eixos e outras retas:
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 , , x y z
C C C
I y z ds I x z ds I x y dsδ δ δ= + = + = +∫ ∫ ∫
2 L
C
I r dsδ= ∫ , onde r(x,y,z) distância do ponto (x,y,z) à reta L e o raio de rotação em 
relação a uma reta L é LL
IR
M
=
Exemplo 20: 
Um arco metálico fino, mais denso na base do que no topo, encontra-se ao longo de uma 
semicircunferência y2 + z2 = 1, z > 0 portanto, no plano YZ, conforme indica a figura a seguir. 
Encontre o centro de massa do arco se a densidade no ponto (x,y,z) do arco for dada por 
( ), , 2x y z zδ = − . 
Fonte: Thomas (2004, p. 433)
Resolução: 
Como o arco está no plano YZ e sua massa é distribuída simetricamente em relação ao eixo 
Z, já sabemos que 0x = e 0y = . Temos, então, que encontrar z. Para tal, parametrizamos o 
arco de circunferência por:
( ) , 0t cost sent t π= + ≤ ≤
 
r j k
51
Para esta parametrização, temos:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 0 1dx dy dzt sent cost
dt dt dt
     = + + = + − + =          
v
Usando as fórmulas adequadas, temos:
( ) ( )
( ) ( )( )( )
0
0
2
0 0
 2 2 .1. 2 2
 2 2 1
82 0,57
2
C C
xy
C C
M ds z ds sent dt
M z ds z z ds sent sent dt
sent dt sen tdt
π
π
π π
δ π
δ
π
= = − = − = −
= = − = −
−= − = ≈
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Portanto, 
8 1 8.
2 2 2 4 4
xyMz
M
π π
π π
− −= = = ⇒
− −
 o centro de massa é o ponto 
( )80,0, 0;0; 0,57
4 4
π
π
−  ≅ − 
52
Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
 Saiba Mais
Uma das aplicações mais importantes das integrais de linha é falar de trabalho 
realizado sobre um objeto que se move num campo de forças. Por exemplo, a 
figura, a seguir, mostra um campo de forças quadrático ao inverso similar ao 
campo gravitacional do Sol. Observe que a magnitude da força, ao longo de 
uma trajetória circular em torno do centro, é constante (em a), enquanto que 
a magnitude da força, ao longo de uma trajetória parabólica, varia de ponto a 
ponto (em b).
Para ver como se pode utilizar a integral de linha para falar do trabalho realizado 
em um campo de forças F, consideramos um objeto que se move ao longo de 
uma trajetória C do campo, como mostra a figura seguinte.
Em cada ponto em C, a força na direção do movimento é (F.T)T
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 1074)
Para determinar o trabalho realizado pela força, só necessitamos considerar a 
parte da força que atua na direção em que se move o objeto (ou na direção 
contrária). Isto significa que, em cada ponto C, podemos considerar a projeção 
F.T da força F sobre o vetor unitário tangente T. Por isso, O trabalho total realizado 
é dado pela seguinte integral: 
( ) ( ), , . , , 
C
W x y z x y z ds= ∫F T
Esta integral de linha aparece em outros contextos e é a base da definição de 
integral de linha de um campo vetorial. Pela definição vale observar que:
( )
( ) ( ) ( )
. . . .
t
ds t dt t d
t
′
′
′
= =′=
r
F T F r F r F r
r
53
Exemplo 21: 
Trabalho realizado por uma força
Calcular o trabalho realizado pelo campo de forças ( )
1, ,
2 2 4
x yx y z = − − +
  
F i j k sobre uma 
partícula que se move ao longo da hélice dada por ( )t cost sent t= + +
  
r i j k desde o ponto 
(1,0,0) até o ponto (-1,0,3p), conforme indica a figura.
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 1075)
Resolução:
Como ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) 
x t cost
t x t y t z t cost cost t y t sent
z t t
=
= + + = + + ⇒ =
 =
     
r i j k i j k
Portanto, o campo de forças pode ser expresso como:
( ) ( ) ( )( ) 1 1 1, ,
2 2 4
x t y t z t cost sent= − − +
  
F i j k
Para encontrar o trabalho realizado pelo campo de forças, ao mover a partícula ao longo 
da curva C, utiliza-se o fato de que ( )t sent cost= − + +′
  
r i j k e escrevemos: 
( ) ( ) ( )( ) ( ), , 
b
C a
W d x t y t z t t dt= ⋅ = ⋅ ′∫ ∫F r F r
( )
]
3
0
3 3
3
0
0 0
1 1 1 . 
2 2 4
1 1 1 1 1 3 
2 2 4 4 4 4
cost sent sent cost dt
sent cost sent cost dt dt t
π
π π
π π
 = − − + − + +  
   = − + = = =    
∫
∫ ∫
     
i j k i j k
Observe que, neste caso, as componentes x e y do campo não interferem em nada no 
trabalho realizado. Isso se deve ao fato de que a componente z do campo é a única parte da 
força que atua na mesma direção (idem para a direção oposta), em que se move a partícula. 
54
Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
Integrais de linha na forma diferencial
Se F é um campo vetorial dado por M N= +
 
F i j e se a curva C for dada por 
( ) ( ) ( )t x t y t= +
 
r i j , então .d Mdx Ndy= +F r e daí a integral de linha é:
( ). 
C C
d M dx Ndy= +∫ ∫F r
Analogamente, se M N P= + +
  
F i j k e ( ) ( ) ( ) ( )t x t y t z t= + +
  
r i j k
( ). 
C C
d M dx Ndy Pdz= + +∫ ∫F r
Agora, veremos como se pode expressar uma integral dupla numa região plana em termos 
de uma integral de linha ao longo da fronteira da região. 
Teorema 5: Teorema de Green
Seja R uma região plana simplesmente conexa, cuja fronteira é uma curva C suave por 
partes, fechada, simples e orientada no sentido anti-horário. Se ƒ(x,y) e g(x,y) forem contínuas 
e tiverem derivadas parciais primeiras contínuas em algum conjunto contendo R, então:
( ) ( ), ,
C R
g ff x y dx g x y dy dA
x y
 ∂ ∂+ = − ∂ ∂ ∫ ∫∫
Vamos omitir a demonstração que pode ser conferida em qualquer livro de Cálculo de várias 
variáveis. O Teorema de Green é um dos grandes teoremas do Cálculo Vetorial. Em matemática 
pura, tem importância semelhante ao Teorema Fundamental do Cálculo. Em matemática 
aplicada, as generalizações do teorema de Green para três dimensões (que veremos mais tarde) 
fornecem a base para teoremas sobre eletricidade, magnetismo e escoamento de fluidos. 
Observação: Já vimos o que é curva conexa no início desta unidade. Uma curva é fechada 
quando o ponto inicial coincide com o ponto final. E uma curva é simples quando não tem 
autointerseção. 
Exemplo 22: 
Use o Teorema de Green para calcular 2
C
x ydx xdy+∫ ao longo do caminho triangular 
mostrado na figura seguinte.
55
Resolução: 
Como ( ) 2,f x y x y= e ( ),g x y x= segue que:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
2 2 2
0 0
11 1 4
22 3 2
0
0 0 0
1
1 11 22 1
2 2 2
x
C R
y x
y
x ydx xdy x x y dA x dy dx
x y
xx y dx x x dx x=
=
  ∂ ∂+ = − = −  ∂ ∂   
  = − = − = − = − =     
∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫
Você pode calcular a integral de linha e verificar que fica mais simples o cálculo, usando o 
Teorema de Green. 
Exemplo 23: 
Calcular ( ) ( )43 7 1senx
C
y e dx x y dy− + + +∫ sabendo que C é a circunferência x2 + y2 = 9. 
Resolução:
A região D limitada pela curva C é o disco x2 + y2 < 9. Portanto, vamos fazer uma mudança 
de coordenadas cartesianas para polares e depois usar o Teorema de Green. A curva é a 
circunferência de centro na origem e raio 3. 
( ) ( ) ( ) ( )
[ ] ( )
4 4
2 3 2 2
32
0
0 0 0 0
3 7 1 7 1 3
7 3 4 2 18 36
senx senx
C D
C
y e dx x y dy x y y e dA
x y
dA rdr d r d d
π π π
θ θ θ π
 ∂ ∂− + + + = + + − − ∂ ∂ 
   = − = = = =     
∫ ∫∫
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Uma notação para integrais de linha ao longo de curvas fechadas simples
É prática comum denotar a integral de linha, ao longo de uma curva fechada simples, por 
um sinal de integral com círculo sobreposto. Daí, a expressão do Teorema de Green fica sendo:
( ) ( ), ,
C
R
g ff x y dx g x y dy dA
x y
 ∂ ∂+ = − ∂ ∂ ∫ ∫∫
Muitas vezes, é mais fácil calcular a integral de linha, usando o Teorema de Green, entranto, 
algumas vezes, a operação é mais simples na direção oposta. Uma aplicação na direção oposta 
ao Teorema de Green é para calcular áreas. Como a área de uma região D é ( )
D
A D dA= ∫∫ , 
selecionamos ƒ e g tal que 1g f
x y
∂ ∂− =
∂ ∂
.
56
Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
Há várias possibilidades, por exemplo:
( ) ( )
( ) ( )
, 0 , 1 0 1
1 1 1 1, , 1
2 2 2 2
 e 
 e 
g ff x y g x y x
x y
g ff x y y g x y x
x y
∂ ∂= = ⇒ − = − =
∂ ∂
∂ ∂  = − = ⇒ − = − = ∂ ∂  
Nesse caso, o Teorema de Green para o cálculo da área de D pode ter as expressões:
( ) 1
2D C C
A D dA xdy xdy ydx= = = −∫∫ ∫ ∫ 
Exemplo 24: 
Determine a área delimitada pela elipse 
2 2
2 2 1
x y
a b
+ = . 
Resolução: 
As equações paramétricas da elipse são , 0 2
x acost
t
y bsent
π
=
≤ ≤ =
.
Aplicando a fórmula ( ) 1
2 C
A D xdy ydx= −∫
( )( ) ( )( )
2 2
0 0
1
2 2
abacost bcost dt bsent asent dt dt ab
π π
π= − − = =∫ ∫
Exemplo 25: 
Teorema de Green para campos conservativos
Calcular a integral de linha 3 23
C
y dx xy dy+∫ , em que C é a trajetória mostrada na figura 
a seguir.
Resolução: 
A partir da integral de linha, M = y3 e N = 3xy2. Então, temos:
23N y
x
∂ =
∂
 e 23
M N My
y x y
∂ ∂ ∂= ⇒ = ⇒
∂ ∂ ∂
 o campo vetorial M N= +
 
F i j é conservativo e, como 
C é uma curva fechada, concluimos que 3 23 0
C
y dx xy dy+ =∫ . 
Observe que se um campo vetorial F satisfizer as condições de aplicação do Teorema de 
Green; então, temos o seguinte resultado:
. 0consecutivo
C
F F dr⇔ =∫conservativo
57
Teorema de Green estendido a uma região com orifício (não conexa)
Exemplo 26: 
Seja R a região interior à elipse 
2 2
1
9 4
x y+ = e exterior à circunferência x2 + y2 = 1. Calcular a 
integral de linha ( )22 2
C
xydx x x dy+ +∫ , onde a curva 1 2C C é a fronteira de R como mostrada 
na figura a seguir.
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 1097)
Resolução: 
Para começar, devemos introduzir os segmentos C3 e C4 como mostrado na figura. Note que 
as curvas C3 e C4 têm orientações opostas, portanto, a integral de linha sobre elas se anulam. 
Além disso, podemos aplicar o Teorema de Green na região R que tem por fronteira 
1 4 2 3R C C C C∂ = + + + para obter:
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
22
2 2 2 2 2 2
2 2 2 3 2 1 10
C R R R
N Mxy dx x x dy dA x x dA dA
x y
A R ab rπ π π π π
 ∂ ∂+ + = − = + − = ∂ ∂ 
 = = − = − = 
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
Formas alternativas para o Teorema de Green para regiões planas
Seja F um campo vetorial no plano, então podemos escrever:
( ), , 0x y z M N= + +
  
F i j k
Portanto, o rotacional de F é dado por:
( ) ( ) , , , ,
i j k
N M N Mrot x y z x y z i j k
x y z z z x y
M N P
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ∇× = = − + + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 

 
F F
Logo, ( ) . N Mrot
x y
 ∂ ∂= − ∂ ∂ 
 
F k k
Em condições apropriadas sobre F, C e R, podemos escrever o Teorema de Green na 
forma vetorial:
( ). . 
C R R
N Md dA rot dA
x y
 ∂ ∂= − = ∂ ∂ ∫ ∫∫ ∫∫

F r F k
58
Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
A extensão dessa forma vetorial do Teorema de Green à superfícies no espaço dá lugar ao 
Teorema de Stokes, que será visto à frente. 
 Saiba Mais
George Green (1793-1841), matemático e físico inglês, abandonou a escola com 
pouca idade para trabalhar com o pai na padaria e, consequentemente, teve pouca 
educação básica formal. Quando seu pai abriu um moinho, o rapaz usava o andar 
superior como sala de estudos, onde aprendeu Física e Matemática sozinho usando 
livros de biblioteca. Em 1828, publicou seu trabalho mais importante, Um Ensaio 
sobre Aplicações da Análise Matemática às Teorias de Eletricidade e Magnetismo. 
Apesar do Teorema de Green já ter aparecido neste trabalho, passou desapercebido. 
Depois da morte de seu pai em 1829, Green foi instigado a fazer um curso superior. 
Em 1833, após quatro anos de estudos autodidaticos para cobrir suas lacunas da 
educação elementar, Green foi aceito na Universidade de Caius, em Cambridge. 
Formou-se quatro anos mais tarde e depois de uma sucessão de trabalhos sobre luz 
e som foi nomeado membro da Universidade Caius; dois anos depois faleceu. Em 
1845, seu trabalho de 1828 foi publicado e as teorias desenvolvidas pelo obscuro 
autodidata, filho de padeiro, ajudaram a desbravar o caminho das teorias modernas 
de eletricidade e magnetismo. Green foi a primeira pessoa a tentar formular uma 
teoria matemática da eletricidade e magnetismo, que serviu de base para as teorias 
de Thomson, Stokes, Rayleigh e Maxwell.
A Biblioteca George Green, da Universidade de Nottingham alberga grande 
parte da coleção de ciência e engenharia da faculdade. Em 1986, o Green Mill 
foi restaurado e se transformou em museu e centro de ciências. Em uma visita 
a Nottingham, em 1930, Albert Einstein comentou que Green estava 20 anos 
à frente do seu tempo. O físico teórico Julian Schwinger, que usou parte do 
trabalho de Green em suas pesquisas de ponta, publicou um tributo intitulado 
“The Greening of Quantum Field Theory: George and I”.
George Gabriel Stokes (1819-903) fez parte de um gupo de físicos matemáticos 
ingleses, conhecidos como Escola de Cambridge, na qual também fizeram parte 
William Thomson (Lorde Kelvin) e James Maxwell. Stokes além de contribuições à 
Física, trabalhou com séries infinitas e equações diferenciais, assim como elaborou 
os resultados de integração, responsáveis pelo Teorema que leva se nome. 
Segundo Buffoni (2004), entre 1845 e 1850, Stokes trabalhou na teoria dos 
fluidos viscosos. Deduziu uma equação (Teorema de Stokes) que poderia ser 
aplicada ao movimento de uma pequena esfera ao cair dentro de um meio 
viscoso, para obter a sua velocidade sob influência de uma força dada, tal como 
a gravidade. Essa equação podia ser usada para explicar a maneira pela qual as 
nuvens flutuavam no ar e as ondas se desfaziam na água. Poder-se-ia também 
utilizá-la em problemas de ordem prática que envolvesse a resistência da água 
aos navios que nela navegassem. Na verdade, a interconexão da ciência é 
sempre de tal ordem que, seis décadas depois de haver sido enunciada, a lei 
de Stokes viria a ser empregada para um objetivo que jamais se poderia prever 
– ajudar a estabelecer a carga elétrica de um único elétron na experiência de 
Millikan. Talvez o evento mais importante no reconhecimento de Stokes como 
um matemático de excelência foi o seu relatório em pesquisas de hidrodinâmica 
apresentado à Associação Britânica para o Avanço de Ciência, em 1846.
59
Como o Teorema de Stokes, num certo sentido, generaliza o Teorema de Green 
para três dimensões, por vezes, O Teorema de Green, embora anterior, é tido 
como caso particular do Teoremade Stokes.
Vejam, a seguir, as imagens destes dois importantes pesquisadores, bem como 
da capa da publicação de Green de 1928.
Fonte: http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2012/03/george-green.html
http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2012/03/george-green.html
60
Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
Teorema de Stokes
Um segundo teorema análogo ao Teorema de Green, com mais dimensões, é o Teorema 
de Stokes, que leva o nome em honra do físico e matemático inglês George Gabriel Stokes. 
O Teorema de Stokes estabelece a relação entre uma integral de superfície sobre uma superfície 
orientada S e uma integral de linha ao longo de uma curva fechada C do espaço que seja fronteira 
ou o bordo da superfície S. Devido à sua generalidade, o Teorema de Stokes tem várias aplicações, 
uma delas como ferramenta teórica em eletromagnetismo e mecânica dos fluidos. 
Uma noção fundamental para poder utilizar esse teorema é a de superfície orientada. Uma 
superfície famosa por não ser orientada é a faixa de Möebius, que pode ser obtida de uma 
faixa retangular finita, colando seus lados menores após uma torção, como indica a figura. 
Fonte: Thomas (2004, p. 473)
Dessa forma, a figura, a seguir, ilustra como deve ser a orientação de uma superfície utilizada 
nas hipótese do Teorema de Stokes.
Fonte: Anton (2007, p. 1174)
61
Teorema 6: Teorema de Stokes
Seja S uma superfície orientada, lisa por partes, e limitada por uma curva C, lisa por partes, 
fechada, simples e com orientação positiva. Se as funções componentes do campo vetorial 
( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,x y z f x y z g x y z h x y z= + +
  
F i j k forem contínuas, com derivadas parciais 
primeiras contínuas, em algum conjunto aberto, contendo S e se T for o vetor unitário tangente 
à C, então:
( ). .
C S
ds rot dS=∫ ∫∫F T F n 
Nota: Observe que a orientação da curva de borda C é compatível, em relação à regra da 
mão direita, como o campo normal n. 
Fonte: Thomas (2004, p. 473)
62
Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
Comparação Green x Stokes
Fonte: Thomas (2004, p. 489)
Exemplo 27: 
Calcule .
C
d∫F r para F i j kx y z y x z, ,( ) = − + +2 2
  
 e C a curva de interseção do plano 2 
e o cilindro x y2 2 1+ = . (veja a figura)
Fonte: Stewart (2012, p. 1125)
Resolução: 
A curva C é uma elipse, conforme ilustra a figura. A integral de linha pode ser calculada 
diretamente, mas para usarmos o Teorema de Stokes, devemos achar o rot �F :
+rot
i j k
x y z
M N P
i j k
x y z
y x z
y= ∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−
= −
2 2
1 2
�
63
A projeção D da superfície S sobre o plano XY é o disco x y2 2 1+ ≤ e, portanto, podemos 
aplicar coordenadas cilíndricas à função z z x y y= ( ) = −, 2 e polares na região plana D. 
Daí, temos:
F T F nro S y A
rse
C C C
∫
∫ ∫
= = +1 2
1 2
0
2
0
1π
θ





 = +











= +


∫
∫
d r r sen d
sen
θ
θ
π
π
0
2 2
3
0
1
0
2
2
2
3
1
2
2
3


 = −










= + =osθ θ π
π1
2
2
3
1
2
2 0
0
2
dA
Em geral, se S1 e S2 são superfícies orientadas, com a mesma curva fronteira orientada C, 
tal que ambas satisfazem as hipóteses do Teorema de Stokes, então:
rot d ot d
S C S
.∫∫
Este fato é útil quando for difícil integrar sobre uma superfície, porém mais fácil integrar 
sobre outra superfície que tenha a mesma borda fronteiriça. 
Em seguida, vamos usar o Teorema de Stokes para elucidar o significado do vetor rotacional. 
Suponha que C seja uma curva fechada e orientada e que v representa o campo de velocidade 
num fluxo de fluidos. Consideremos a integral de linha:
C C
d ds∫ ∫=v r v T. . �
Recordemos que v T. é a componente de v na direção do vetor unitário tangente T. Isto 
significa que, à medida que a direção de v é mais próxima da direção de T, maior é o valor do 
(produto escalar) v T. . Portanto, .
C
d∫ v r é a medida da tendência do fluido a mover-se ao redor 
de C, denominada circulação de v ao redor de C.
Fonte: Stewart (2012, p. 1126)
64
Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
Agora, seja P x y z0 0 0 0, ,( ) um ponto no fluido e Sa um disco pequeno com raio a e centro 
P0. Então ro rot P≈ ( )0 para todos os pontos P em Sa, porque rot F( ) é contínua. 
Portanto, pelo Teorema de Stokes, obtemos a seguinte aproximação à circulação ao longo da 
circunferência fronteiriça Ca:
C S S
S
d rot d r
rot P P dS
a a
a
∫
∫∫≈ ( ) ( ) =
v r n
0 0 rrot P P a
rot
a
d circulaçãode aor
C
. .v r
0 0
2
2
1
( ) ( )
≈ =∫
π
π
eedor deC
área dodiscoS
taxadoritmodecirculação
a
a
=
Esta aproximação é tanto melhor quando a → 0 . Então, temos:
a
d
a
Ca
li
0 2
1
→ ∫π
Esta equação dá a relação entre o rotacional e a circulação. Demonstra-se que é uma 
medida do efeito do giro do fluido em relação ao eixo n. O efeito de rotação é maior em 
relação ao eixo paralelo ao .
Logo, o Teorema de Stokes que pode ser sintetizado da seguinte forma: 
ro .∫∫ ∫=
integral de superfície integral de llinha
afirma que a medida coletiva da tendência rotacional, considerada sobre toda superfície S 
(integral de superfície) é igual à tendência de um fluido a circular ao redor da fronteira (integral 
de linha).
Em outras palavras, o Teorema de Stokes estabelece que o fluxo rotacional de um campo 
de vetores F de classe C1 através de uma superfície orientável S é igual ao trabalho (circulação) 
realizado por F ao longo da curva ∂S cuja orientação é compatível com a de S. 
Por último, o Teorema de Stokes pode ser usado para demonstrar que:
Se rot = 0 sobre a totalidade de 3 , então F é conservativo.
Já vimos que F é conservativo se 
C
d∫ =F r. 0 para toda trajetória fechada C. Agora, dada uma 
curva C, suponhamos que se possa determinar uma superfície orientada S, cuja fronteira é C 
(isto é possível, mas a demonstração exige técnicas avançadas). Nesse caso, o Teorema de 
Stokes dá como resultado:
C S S
ot ∫ =
65
Exemplo 28:
Um líquido é agitado em um recipiente cilíndrico de raio 2, de maneira que seu movimento 
se descreve pelo campo de velocidade F i jx y z y x y x x y, ,( ) = − + + +2 2 2 2
 
, como mostra a 
figura a seguir.
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 1136)
Achar . 
S
rot dS∫∫ F n onde S é a superfície superior do recipiente cilíndrico.
Resolução: 
O rotacional de F é dado por:
k=
+
2 23
�
Tomando n k=

 temos:
rot F ndS x y dA r r dr d r
S R
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫= + =





 = 
2 2
0
2
0
2
0
2
3θ 




= =∫
0
2
0
2
8 16
d
d
θ
θ π
π
66
Unidade: Aplicações de integração múltipla e Cálculo Vetorial
Exemplo 29: 
Seja C o triângulo orientado situado no plano 2 2 6x y z+ + = , conforme mostra a figura.
Larson; Edwards (2010, p. 1133)
Verificar o Teorema de Stokes, calculando cada membro da equação em separado, para um 
campo de vetores F i j kx y z y z x, ,( ) = − + +2
  
. 
Resolução: 
Vamos calcular o rotacional de F. 
rot
i j k
x y z
y z x
y kj= ∂
∂
∂
∂
∂
∂
−
= − − +
2
2
� � �
Considerando z x y g x y= − − = ( )6 2 2 , temos que n i j k= + +2 2
  
, portanto:
C R R
d rot dS y k dA
y
∫ ∫∫ ∫∫= = − − +( ) + +( )
= −
F n i j i j k
� � � � � �
2
2 4(( ) = −( ) = −( ) 


=
∫∫ ∫ ∫ ∫
−
=
= −
dxdy y dxdy y x dy
y
x
x y
0 0
3
0
3
0
3
0
3
0
2 4 2 4
33
2 3 2
0
3
2 10 12 2
3
5 12 9∫ − + −( ) = − + − 








= −y y dy y y y
67
Agora, vamos calcular a integral de linha diretamente. Temos que considerar C como 
a união de três curvas, a saber:
C t t t t
t t t t
1 1
2
1
3 0 3
3
: ,j
F i k r'
( ) = −( ) ≤ ⇒
( ) = − + −( ) ( ) = −
� �
� � �
e ii j
r j k
F i
+
( ) = −( ) + −( ) ≤ ≤ ⇒
( ) = −( ) + −( )
�
� �
�
C t t t t
t t t
2 2
2
6 2 6 3 6
6 2 6
: ,
�� � �
� �
j j k
r i k
F
e r t
C t t t t
t
2
3 3
2
6 18 2 6 9
'
: ,
( ) = − +
( ) = −( ) + − ≤ ≤
( ) = 118 2 6 23−( ) + −( ) ( ) = −t t r t
� � � �
j k i ke '
Daí, o valor da integral de linha