Metodo-Lower-Uper

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Metodo Lower Uper (LU)
Decomposição LU (Lower Upper)
Um dos motivos para introduzir a decomposição LU é que ela fornece uma maneira eficiente de calcular a matriz inversa, a qual tem muitas aplicações na engenharia; ela também fornece um meio de avaliar o condicionamento do sistema. 
A decomposição pode ser dividida em dois passos: 
1. Passo de decomposição: a matriz A é fatorada em duas matrizes triangulares, uma inferior L com elementos da diagonal principal iguais a 1 e uma superior U,onde, realizando a multiplicação L×U, obtemos a matriz A.
2. Resolução do sistema: 
L e U são usadas para determinar a solução do sistema, x, através do processo:
Ax = b. Ax= b.
Se A = LU, então LUx = y. Defina um vetor de incógnitas auxiliar, y:LyUx=b,ou seja, Ux = y. Ux= y.Logo, Ly = b. 
Observe que no sistema acima, L é uma matriz triangular inferior, b é a matriz de termos independentes do sistema original e y é o vetor de incognitas auxiliar. Resolvendo 
Ly=b usando substituição progressiva, podemos usar a relação Ux=y para encontrar x por substituição regressiva, já que U é triangular superior. 
Exemplo: consideremos a matriz
A=
a) Verificar se A satisfaz as condicos de decomposicao LU;
b) Decompor A em LU;
c) Use a decomposicao LU do item;
d) Usea decomposicao LU do item.
Resoluçao:
a) Devemos ter a decomposicao A =LU, onde
L= e U=
Determinacao de L e U
A matriz U sera a matiz A apos o processo de eliminação.
Os elementos de L(ij) serão os factores usados para zerar o elemento da linha i abaixo do pivor da coluna.
A= 
a11 = 1
mL2 = -5 L2---L2-mL2 L 1 L2L2-mL2L2 ̵ mx4
mL3 = 3 L3---L3-mL3 L1 -551 3 ̵ 3 x 1= 0 
 6 2 ̵ 3 x 2= ̵ 4
 1 ̵ 3 x (̵ 3) = 8 
A=
3º Passo: Actualizacao 
m = = ̵ 
L3L3 –mL3L2 
0 + x 0 = 0 	
̵ 4 + x 16 = 0
8 + x ( ̵ 13) = 
L = 
4º Passo: Determinacao do L e U
L = L = 
5º Passo:
L x y = b = = 
 = 1
 + = 46 
 = 1
 + = 
 + ̵ + = 1
 
y = 
U x x = y = = 
X =