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AULA 9
Métodos Numéricos
Zeros de Funções Reais
Professor Leônidas de Oliveira Brandão
Professor Leônidas de Oliveira Brandão
Métodos Numéricos
Engenharia - Univesp
Fase II de métodos: métodos iterativos
- Método das Secantes
Zeros de Funções Reais
Dificuldade de Newton-Raphson:
 computar a derivada x
k+1
=x
k
-
URL: https://pt.wikipedia.org/wiki/Método_das_secantes
Método das Secantes
f(x
k
)
f'(x
k
)
Newton-Raphson: x
k+1
=x
k
-
Secantes: substituir f'(x
k
) por
Método das Secantes
f(x
k
)
f'(x
k
)
f(x
k
)-f(x
k-1
)
x
k
-x
k-1
 
Newton-Raphson: x
k+1
=x
k
-
Secantes: substituir f'(x
k
) por
ou seja, x
k+1
=x
k
- f(x
k
) 
Método das Secantes
f(x
k
)
f'(x
k
)
f(x
k
)-f(x
k-1
)
x
k
-x
k-1
 x
k
-x
k-1
 
f(x
k
)-f(x
k-1
)
Significado de: x
k+1
=x
k
- f(x
k
) 
para simplificar redação usemos
 a = x
k-1
 e b
 
= x
k
 
Método das Secantes
x
k
-x
k-1
 
f(x
k
)-f(x
k-1
)
Significado de: x
k+1
=x
k
- f(x
k
) 
para simplificar redação usemos
 a = x
k-1
 e b
 
= x
k
 
 x
k+1 
= b
 
- f(b) = 
Método das Secantes
x
k
-x
k-1
 
f(x
k
)-f(x
k-1
)
b-a
 
f(b)-f(a)
bf(b)-bf(a) - bf(b)+af(b)
 
f(b)-f(a)
Significado de: x
k+1
=x
k
- f(x
k
) 
para simplificar redação usemos
 a = x
k-1
 e b
 
= x
k
 
 x
k+1 
= b
 
- f(b) = 
Método das Secantes
x
k
-x
k-1
 
f(x
k
)-f(x
k-1
)
b-a
 
f(b)-f(a)
bf(b)-bf(a) - bf(b)+af(b)
 
f(b)-f(a)
Significado de: x
k+1
=x
k
- f(x
k
) 
para simplificar redação usemos
 a = x
k-1
 e b
 
= x
k
 
 x
k+1 
= b
 
- f(b) = 
Método das Secantes
x
k
-x
k-1
 
f(x
k
)-f(x
k-1
)
b-a
 
f(b)-f(a)
 -bf(a) +af(b)
 
f(b)-f(a)
Significado de: x
k+1
=x
k
- f(x
k
) 
para simplificar redação usemos
 a = x
k-1
 e b
 
= x
k
 
 x
k+1 
= 
Método das Secantes
x
k
-x
k-1
 
f(x
k
)-f(x
k-1
)
af(b) - bf(a)
 
f(b)-f(a)
Significado de: x
k+1
=x
k
- f(x
k
) 
para simplificar redação usemos
 a = x
k-1
 e b
 
= x
k
 
 x
k+1 
= 
Método das Secantes
x
k
-x
k-1
 
f(x
k
)-f(x
k-1
)
af(b) - bf(a)
 
f(b)-f(a)
Mesma obtida no 
Método Falsa Posicão
 x =
 
af(b)-bf(a)
f(b)-f(a)
Interpretacão Geométrica
 x
k+1
=
Secantes a
 (x
k-1
,f(x
k-1
)) e (x
k
,f(x
k
))
Método das Secantes
y=f(x)
x
1
x
0
x
2
x
k-1
f(x
k
)-x
k
f(x
k-1
)
f(x
k
)-f(x
k-1
)
Interpretacão Geométrica
 x
k+1
=
Secantes a
 (x
k-1
,f(x
k-1
)) e (x
k
,f(x
k
))
Método das Secantes
y=f(x)
x
1
x
0
x
2
x
k-1
f(x
k
)-x
k
f(x
k-1
)
f(x
k
)-f(x
k-1
)
x
3
Interpretacão Geométrica
 x
k+1
=
Secantes a
 (x
k-1
,f(x
k-1
)) e (x
k
,f(x
k
))
Método das Secantes
y=f(x)
x
1
x
0
x
2
x
k-1
f(x
k
)-x
k
f(x
k-1
)
f(x
k
)-f(x
k-1
)
x
4
x
3
Método das Secantes
Computar x
k+1
 = T(x
k
)
 
preparação
 |f(x
k+1
)| < ε
1
|x
k+1
-x
k
| < ε
2 
sim
resposta/fim
não
x
k-1
f(x
k
)-x
k
f(x
k-1
)
f(x
k
)-f(x
k-1
)
x
k+1
 = 
Exemplo: f(x)=x3-3x2-x+3
φ(x)=x3-3x2+3
x
0
=0.5
x
1
=1.5
x
2
=T(x
0
,x
1
)=1.0
f(x
2
)≈0 => pare! f(x)
x
x
1
x
0
Método das Secantes
Critério para convergência
Semelhante ao método de Newton-Raphson
Entretanto:
- A razão de convergência não chega a ser 
 quadrática (apesar de maior que linear)
- Se f(x
k
)≈f(x
k-1
) o método diverge...
Método das Secantes
Sobre a convergência
1. Bisseção
2. Falsa posição
3. Ponto fixo
4. Newton-Raphson
5. Secantes
Comparação entre os métodos
basta continuidade 
da função
Sobre a convergência
1. Bisseção
2. Falsa posição
3. Ponto fixo
4. Newton-Raphson
5. Secantes
Comparação entre os métodos
condições mais 
restritivas sobre a 
função
Complexidade computacional
1. Bisseção
2. Falsa posição
3. Ponto fixo
4. Newton-Raphson
5. Secantes
Comparação entre os métodos
x = 
af(b)-bf(a)
f(b)-f(a)
x
k+1
=φ(x
k
) = x
k
 + A(x
k
)f(x
k
) x
k
x = (a
k
+b
k
)/2
x
k-1
f(x
k
)-x
k
f(x
k-1
)
f(x
k
)-f(x
k-1
)xk+1 = 
f(x
k
)
f'(x
k
)xk+1 = 
Convergência
1. Bisseção
2. Falsa posição
3. Ponto fixo
4. Newton-Raphson
5. Secantes
Comparação entre os métodos
linear
linear
linear
quadrático
entre linear/quadrático
- Método da Secante
 Aproximação para derivada
 Convergência pior que Newton-Raphson
- Comparamos 4 métodos já examinados:
 Bisseção, Falsa posição, Ponto fixo, Newton-Raphson,
 Secantes
Bons estudos! Até a próxima aula!
Resumo: Zeros de Funções Reais
 
 
AULA 9
Métodos Numéricos
Zeros de Funções Reais
Professor Leônidas de Oliveira Brandão
 
 
Professor Leônidas de Oliveira Brandão
Métodos Numéricos
Engenharia - Univesp
Fase II de métodos: métodos iterativos
- Método das Secantes
Zeros de Funções Reais
 
 
Dificuldade de Newton-Raphson:
 computar a derivada x
k+1
=x
k
-
URL: https://pt.wikipedia.org/wiki/Método_das_secantes
Método das Secantes
f(x
k
)
f'(x
k
)
 
 
Newton-Raphson: x
k+1
=x
k
-
Secantes: substituir f'(x
k
) por
Método das Secantes
f(x
k
)
f'(x
k
)
f(x
k
)-f(x
k-1
)
x
k
-x
k-1
 
 
 
Newton-Raphson: x
k+1
=x
k
-
Secantes: substituir f'(x
k
) por
ou seja, x
k+1
=x
k
- f(x
k
) 
Método das Secantes
f(x
k
)
f'(x
k
)
f(x
k
)-f(x
k-1
)
x
k
-x
k-1
 x
k
-x
k-1
 
f(x
k
)-f(x
k-1
)
 
 
Significado de: x
k+1
=x
k
- f(x
k
) 
para simplificar redação usemos
 a = x
k-1
 e b
 
= x
k
 
Método das Secantes
x
k
-x
k-1
 
f(x
k
)-f(x
k-1
)
 
 
Significado de: x
k+1
=x
k
- f(x
k
) 
para simplificar redação usemos
 a = x
k-1
 e b
 
= x
k
 
 x
k+1 
= b
 
- f(b) = 
Método das Secantes
x
k
-x
k-1
 
f(x
k
)-f(x
k-1
)
b-a
 
f(b)-f(a)
bf(b)-bf(a) - bf(b)+af(b)
 
f(b)-f(a)
 
 
Significado de: x
k+1
=x
k
- f(x
k
) 
para simplificar redação usemos
 a = x
k-1
 e b
 
= x
k
 
 x
k+1 
= b
 
- f(b) = 
Método das Secantes
x
k
-x
k-1
 
f(x
k
)-f(x
k-1
)
b-a
 
f(b)-f(a)
bf(b)-bf(a) - bf(b)+af(b)
 
f(b)-f(a)
 
 
Significado de: x
k+1
=x
k
- f(x
k
) 
para simplificar redação usemos
 a = x
k-1
 e b
 
= x
k
 
 x
k+1 
= b
 
- f(b) = 
Método das Secantes
x
k
-x
k-1
 
f(x
k
)-f(x
k-1
)
b-a
 
f(b)-f(a)
 -bf(a) +af(b)
 
f(b)-f(a)
 
 
Significado de: x
k+1
=x
k
- f(x
k
) 
para simplificar redação usemos
 a = x
k-1
 e b
 
= x
k
 
 x
k+1 
= 
Método das Secantes
x
k
-x
k-1
 
f(x
k
)-f(x
k-1
)
af(b) - bf(a)
 
f(b)-f(a)
 
 
Significado de: x
k+1
=x
k
- f(x
k
) 
para simplificar redação usemos
 a = x
k-1
 e b
 
= x
k
 
 x
k+1 
= 
Método das Secantes
x
k
-x
k-1
 
f(x
k
)-f(x
k-1
)
af(b) - bf(a)
 
f(b)-f(a)
Mesma obtida no 
Método Falsa Posicão
 x =
 
af(b)-bf(a)
f(b)-f(a)
 
 
Interpretacão Geométrica
 x
k+1
=
Secantes a
 (x
k-1
,f(x
k-1
)) e (x
k
,f(x
k
))
Método das Secantes
y=f(x)
x
1
x
0
x
2
x
k-1
f(x
k
)-x
k
f(x
k-1
)
f(x
k
)-f(x
k-1
)
 
 
Interpretacão Geométrica
 x
k+1
=
Secantes a
 (x
k-1
,f(x
k-1
)) e (x
k
,f(x
k
))
Método das Secantes
y=f(x)
x
1
x
0
x
2
x
k-1
f(x
k
)-x
k
f(x
k-1
)
f(x
k
)-f(x
k-1
)
x
3
 
 
Interpretacão Geométrica
 x
k+1
=
Secantes a
 (x
k-1
,f(x
k-1
)) e (x
k
,f(x
k
))
Método das Secantes
y=f(x)
x
1
x
0
x
2
x
k-1
f(x
k
)-x
k
f(x
k-1
)
f(x
k
)-f(x
k-1
)
x
4
x
3
 
 
Método das Secantes
Computar x
k+1
 = T(x
k
)
 
preparação
 |f(x
k+1
)| < ε
1
|x
k+1
-x
k
| < ε
2 
sim
resposta/fim
não
x
k-1
f(x
k
)-x
k
f(x
k-1
)
f(x
k
)-f(xk-1
)
x
k+1
 = 
 
 
Exemplo: f(x)=x3-3x2-x+3
φ(x)=x3-3x2+3
x
0
=0.5
x
1
=1.5
x
2
=T(x
0
,x
1
)=1.0
f(x
2
)≈0 => pare! f(x)
x
x
1
x
0
Método das Secantes
 
 
Critério para convergência
Semelhante ao método de Newton-Raphson
Entretanto:
- A razão de convergência não chega a ser 
 quadrática (apesar de maior que linear)
- Se f(x
k
)≈f(x
k-1
) o método diverge...
Método das Secantes
 
 
Sobre a convergência
1. Bisseção
2. Falsa posição
3. Ponto fixo
4. Newton-Raphson
5. Secantes
Comparação entre os métodos
basta continuidade 
da função
 
 
Sobre a convergência
1. Bisseção
2. Falsa posição
3. Ponto fixo
4. Newton-Raphson
5. Secantes
Comparação entre os métodos
condições mais 
restritivas sobre a 
função
 
 
Complexidade computacional
1. Bisseção
2. Falsa posição
3. Ponto fixo
4. Newton-Raphson
5. Secantes
Comparação entre os métodos
x = 
af(b)-bf(a)
f(b)-f(a)
x
k+1
=φ(x
k
) = x
k
 + A(x
k
)f(x
k
) x
k
x = (a
k
+b
k
)/2
x
k-1
f(x
k
)-x
k
f(x
k-1
)
f(x
k
)-f(x
k-1
)xk+1 = 
f(x
k
)
f'(x
k
)xk+1 = 
 
 
Convergência
1. Bisseção
2. Falsa posição
3. Ponto fixo
4. Newton-Raphson
5. Secantes
Comparação entre os métodos
linear
linear
linear
quadrático
entre linear/quadrático
 
 
- Método da Secante
 Aproximação para derivada
 Convergência pior que Newton-Raphson
- Comparamos 4 métodos já examinados:
 Bisseção, Falsa posição, Ponto fixo, Newton-Raphson,
 Secantes
Bons estudos! Até a próxima aula!
Resumo: Zeros de Funções Reais