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AULA 13 Métodos Numéricos Sistemas Lineares Professor Leônidas de Oliveira Brandão Professor Leônidas de Oliveira Brandão Métodos Numéricos Engenharia - Univesp Métodos iterativos - Fatorações LU Sistemas Lineares Sistemas Lineares Problema Dada uma matriz e um vetor , encontrar tal que A=LU Fatoração LU A matriz A é escrita como onde é uma matriz triangular inferior e é triangular superior URL: https://pt.wikipedia.org/wiki/Decomposição_LU A=LU Fatoração LU A matriz A é escrita como onde é uma matriz triangular inferior e é triangular superior. L 0 ... 0 ⋮ U 0 ... 0 ⋮ Fatoração LU Resolução do sistema linear Se A=LU então podemos reescrever o sistema como LUx=b Fatoração LU Resolução do sistema linear Para resolver esse sistema, resolvemos primeiro o sistema triangular e, em seguida, resolvemos o sistema triangular Ly=b Ux=y Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Os fatores podem ser calculados através do processo de eliminação de Gauss Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Na etapa do método de eliminação de Gauss Um múltiplo da linha k é subtraído de cada linha 0 ... m nk ⋮ 1 Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Essa operação é equivalente a pré-multiplicar pela matriz de transformacão elementar : Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Note que é fácil obter a inversa de : Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Exemplos: usar n=4 e simplificar Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Exemplos: usar n=4 e simplificar Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Exemplos: usar n=4 e simplificar Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Exemplos: usar n=4 e simplificar Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Exemplos: usar n=4 e simplificar Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Exemplos: usar n=4 e simplificar Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Teorema. Se L 1 e L 2 são matrizes triangulares inferiores, então L 1 L 2 é também trinagular inferior Então é triangular inferior Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Dessa forma, ao final do processo, obtemos Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Como Tomando obtemos Fatoração LU Definição. Para k=1,...,n, a k-ésima submatriz principal de A, denotada por , é a matriz obtida pela remoção das n-k últimas linhas e n-k últimas colunas de A Fatoração LU Definição. Para k=1,...,n, a k-ésima submatriz principal de A, denotada por , é a matriz obtida pela remoção das n-k últimas linhas e n-k últimas colunas de A Fatoração LU Definição. Para k=1,...,n, a k-ésima submatriz principal de A, denotada por , é a matriz obtida pela remoção das n-k últimas linhas e n-k últimas colunas de A Fatoração LU Teorema. Se for não singular para todo então existe uma única matriz triangular inferior L e uma única matriz triangular superior U tais que A=LU Fatoração LU Exemplo: Fatoração LU Exemplo: Multiplicadores e então Fatoração LU Exemplo: Multiplicadores e registrar os multiplicadores nos "0" Fatoração LU Exemplo: Multiplicadores registrar os multiplicadores nos "0" Fatoração LU Exemplo: Os fatores L e U são: e Resumo: Fatoração LU Examinamos 1. Matrizes triangulares inferior e superior 2. Matriz de transformação é inferior 3. Sua inversa também é inferior 4. Método LU Bons estudos! Até a próxima aula! AULA 13 Métodos Numéricos Sistemas Lineares Professor Leônidas de Oliveira Brandão Professor Leônidas de Oliveira Brandão Métodos Numéricos Engenharia - Univesp Métodos iterativos - Fatorações LU Sistemas Lineares Sistemas Lineares Problema Dada uma matriz e um vetor , encontrar tal que A=LU Fatoração LU A matriz A é escrita como onde é uma matriz triangular inferior e é triangular superior URL: https://pt.wikipedia.org/wiki/Decomposição_LU A=LU Fatoração LU A matriz A é escrita como onde é uma matriz triangular inferior e é triangular superior. L 0 ... 0 ⋮ U 0 ... 0 ⋮ Fatoração LU Resolução do sistema linear Se A=LU então podemos reescrever o sistema como LUx=b Fatoração LU Resolução do sistema linear Para resolver esse sistema, resolvemos primeiro o sistema triangular e, em seguida, resolvemos o sistema triangular Ly=b Ux=y Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Os fatores podem ser calculados através do processo de eliminação de Gauss Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Na etapa do método de eliminação de Gauss Um múltiplo da linha k é subtraído de cada linha 0 ... m nk ⋮ 1 Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Essa operação é equivalente a pré-multiplicar pela matriz de transformacão elementar : Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Note que é fácil obter a inversa de : Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Exemplos: usar n=4 e simplificar Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Exemplos: usar n=4 e simplificar Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Exemplos: usar n=4 e simplificar Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Exemplos: usar n=4 e simplificar Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Exemplos: usar n=4 e simplificar Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Exemplos: usar n=4 e simplificar Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Teorema. Se L 1 e L 2 são matrizes triangulares inferiores, então L 1 L 2 é também trinagular inferior Então é triangular inferior Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Dessa forma, ao final do processo, obtemos Fatoração LU Cálculo dos fatores L e U Como Tomando obtemos Fatoração LU Definição. Para k=1,...,n, a k-ésima submatriz principal de A, denotada por , é a matriz obtida pela remoção das n-k últimas linhas e n-k últimas colunas de A Fatoração LU Definição. Para k=1,...,n, a k-ésima submatriz principal de A, denotada por , é a matriz obtida pela remoção das n-k últimas linhas e n-k últimas colunas de A Fatoração LU Definição. Para k=1,...,n, a k-ésima submatriz principal de A, denotada por , é a matriz obtida pela remoção das n-k últimas linhas e n-k últimas colunas de A Fatoração LU Teorema. Se for não singular para todo então existe uma única matriz triangular inferior L e uma única matriz triangular superior U tais que A=LU Fatoração LU Exemplo: Fatoração LU Exemplo: Multiplicadores e então Fatoração LU Exemplo: Multiplicadores e registrar os multiplicadores nos "0" Fatoração LU Exemplo: Multiplicadores registrar os multiplicadores nos "0" Fatoração LU Exemplo: Os fatores L e U são: e Resumo: Fatoração LU Examinamos 1. Matrizes triangulares inferior e superior 2. Matriz de transformação é inferior 3. Sua inversa também é inferior 4. Método LU Bons estudos! Até a próxima aula!
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