Funções básicas

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Funções básicas
Profª. Aneuri Souza de Amorim
Descrição
Conceitos iniciais da matemática para a solução de equações de primeiro grau e de segundo grau, bem como de funções exponenciais e
logarítmicas, além de suas representações e interpretações gráficas.
Propósito
A análise e a compreensão de fenômenos e situações do cotidiano na área da saúde demandam a construção e a interpretação de gráficos por
meio da solução de equações de primeiro e segundo grau e das funções exponenciais e logarítmicas, o que torna esses conhecimentos
matemáticos essenciais à sua atuação profissional.
Preparação
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos uma calculadora científica, papel, caneta e régua para a resolução dos exercícios algébricos e
confecção de gráficos no plano cartesiano.
Objetivos
Módulo 1
Funções de primeiro grau
Demonstrar as propriedades e aplicação das funções de primeiro grau e seus gráficos.
Módulo 2
Funções de segundo grau
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Demonstrar as propriedades e aplicação das funções de segundo grau e seus gráficos.
Módulo 3
Funções exponenciais
Demonstrar as propriedades e aplicação das funções exponenciais e seus gráficos.
Módulo 4
Funções logarítmicas
Demonstrar as propriedades e aplicação das funções logarítmicas e seus gráficos.
Introdução
Na área de saúde, é comum o uso de variadas funções matemáticas para descrever diversos comportamentos, como o crescimento linear da
resposta de um grupo de pacientes a dado medicamento, por exemplo.
A compreensão dessas funções matemáticas, suas soluções próprias e as particularidades nas construções de representações gráficas permitem
aos profissionais de saúde representar diferentes fenômenos e interpretar o comportamento de funções pelo uso de gráficos.

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1 - Funções de primeiro grau
Ao �nal deste módulo, você será capaz de demonstrar as propriedades e aplicação das funções de primeiro grau e seus grá�cos.
Características da função de primeiro grau
A função de primeiro grau é caracterizada por uma relação entre duas variáveis Y e X, que podem ser representadas no plano cartesiano, sendo Y
representado no eixo vertical e X no eixo horizontal. Com esse tipo de equação, estuda-se a variação de Y quando X varia de forma linear, ou seja,
quando X tem expoente 1. Essa função tem como principal finalidade escrever uma fórmula matemática na qual consigamos atribuir valores à
variável X e obtermos o valor de Y. Sua equação é:
Rotacione a tela. 
Em que:
X e Y são as variáveis.
 e são os coeficientes.
Para que esta função exista:
Rotacione a tela. 
Equações algébricas em situações contextualizadas com funções de primeiro grau
Existem diferentes aplicações da função de primeiro grau em variadas áreas, inclusive no nosso dia a dia. Devemos ser capazes de observar se há a
possibilidade de escrever uma fórmula matemática que permita encontrar um valor desejado atribuindo valores para uma dada variável e realizando
operações matemáticas descritas nesse tipo de função.
A título de exemplo, podemos pensar em uma situação do cotidiano: uma pessoa vai almoçar em um restaurante que serve comida por quilo. O
valor do quilograma da comida é R$30, porém, para pagamentos no cartão de crédito, o restaurante cobra uma taxa fixa de R$5.
Analisando essa situação, uma pessoa pode saber quanto gastará assim que souber o peso total dos alimentos que selecionou, basta transformar
essa descrição em uma equação matemática. Se pensarmos em calcular o valor final a pagar, essa é a variável que queremos calcular, Y; como a
quantidade de comida em quilograma varia de pessoa para pessoa, essa é a variável X, para a qual serão atribuídos valores diferentes a fim de
calcular o resultado final. Sendo assim, a equação estruturada ficará da seguinte forma:
Rotacione a tela. 
Em que:
Y representa o que queremos saber, o valor final a pagar.
30 é o valor por cada quilograma selecionado no prato.
Y = aX + b
a b
a ≠ 0
Y = 30X + 5
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X é o valor em quilograma da quantidade colocada no prato.
5 é o valor fixo cobrado para pagamento com cartão de crédito.
Dessa forma, podemos prever o gasto para pagamento no cartão de crédito da quantidade de comida selecionada.
Suponha que uma pessoa colocou no prato 0,3kg e outra 0,5kg, quanto cada uma irá pagar?

Pessoa 1

Pessoa 2
Assim, conseguimos prever os valores a serem pagos para qualquer peso de comida.
Atenção!
A lei de formação da função de primeiro grau possui sempre um valor constante (coeficiente b) somado ao produto de uma quantidade fixa e um
valor variável na forma linear (coeficiente a), ou seja, com expoente 1.
Vamos analisar outra situação para compreender melhor essa lei de formação.
Suponhamos a importação de vacinas feitas pelo Brasil para o tratamento de uma doença que está atingindo uma grande parcela da população.
Essas vacinas serão transportadas de forma rápida diretamente da China para o Brasil, em voo direto, a um custo total de US$2 milhões. A
negociação foi feita diretamente com o laboratório produtor e conseguiu-se o preço de US$10 por dose de vacina. Vamos estruturar e escrever essa
lei de formação usando a função de primeiro grau.
Rotacione a tela. 
Em que:
Y representa o custo total que queremos calcular.
X representa a quantidade de doses de vacina.
10 é o preço por unidade de vacina.
Y = 30 ⋅ 0, 3 + 5
Y = 9 + 5 = 14

Y = 30 ⋅ 0, 5 + 5
Y = 15 + 5 = 20
Y = 10X + 2.000.000
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2.000.000 é o valor do transporte do produto.
Dessa forma, pode-se planejar o gasto final da compra de qualquer quantidade de vacina. Por exemplo, quanto se gastará caso sejam compradas 50
milhões de doses dessa vacina? Basta resolvermos e calcularmos a equação da seguinte forma:
Rotacione a tela. 
Imagine uma pesquisa que avalia o crescimento de uma bactéria no corpo humano. Observou-se que, no primeiro dia de contato com o ser humano,
já surgem 1.000 bactérias na pessoa contaminada e que, a cada dia que passa sem tratamento médico, há um crescimento de 20 bactérias por dia.
Vamos estruturar a lei de formação da situação descrita na forma de uma equação matemática, partindo dos seguintes dados: uma parte inicial
constante de 1.000 bactérias no primeiro dia de contato com ser humano e uma parte variável de 20 bactérias por dia nos demais dias. Obtemos a
seguinte equação:
Rotacione a tela. 
Suponha agora que um médico queira saber quantas bactérias tem seu paciente que teve contato com o microrganismo 15 dias antes da consulta,
para assim poder prever a quantidade de medicação que vai prescrever. Será possível calcular essa quantidade de bactérias nesse período de
tempo da seguinte forma:
 bacterias
Rotacione a tela. 
A função de primeiro grau tem uma parte constante e uma parte variável, descrita por sua variável com expoente 1, de forma linear.
Equação de primeiro grau
Veja como resolver uma equação de primeiro grau.
Construção do grá�co relacionado à função
Também chamada de função afim, a função de primeiro grau pode ser descrita conforme visto anteriormente:
Y = 10(50.000.000) + 2.000.000
Y = 500.000.000 + 2.000.000
Y = 502.000.000
Y = 20X + 1.000
Y = 20(15) + 1.000
Y = 300 + 1.000
Y = 1.300

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Rotacione a tela. 
Nesse caso:
X e Y são as variáveis.
 e são os coeficientes.
Para que esta função exista:
Rotacione a tela. 
Essa função descreve uma reta em um plano cartesiano bidimensional, comseus termos identificados da seguinte forma:
Y são os valores do par ordenado no eixo Y.
X são os valores do par ordenado no eixo X.
 é chamado de coeficiente angular da reta.
 é chamado de coeficiente linear da reta.
Para a construção de um gráfico de uma reta em um plano cartesiano, resolvemos a equação anterior atribuindo valores a X e obtendo valores
correspondentes para Y. Contudo, antes de iniciarmos a construção da reta, apresentaremos o plano cartesiano e os pares ordenados, que serão
necessários para a representação da reta.
Gráfico: Representação dos eixos cartesianos X e Y e sua divisão em quadrantes.
O eixo X, também chamado de abscissa, é o eixo horizontal do plano cartesiano; já o eixo Y, conhecido como ordenada, é o eixo vertical desse plano.
Os dois eixos se cruzam em um único ponto que chamamos de origem dos eixos.
Qualquer ponto a ser representado no plano cartesiano deve possuir um par ordenado da forma (X, Y), sempre nessa ordem: o primeiro corresponde
ao valor do eixo X, o segundo, ao valor do eixo Y. Então, um ponto qualquer P pode ser identificado e representado no plano cartesiano, como
podemos ver a seguir:
Gráfico: Plano cartesiano em escala com o ponto P (2, 5) representado.
Y = aX + b
a b
a ≠ 0
a
b
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Nessa imagem, vemos o ponto P (2, 5) representado no plano cartesiano: seu valor no eixo X é 2 e seu valor no eixo Y é 5. Assim, devemos marcar o
ponto de interseção entre esses dois valores, que corresponde ao ponto P (2, 5).
Para representar a função de primeiro grau no plano, que é uma reta, vamos escolher valores para X (eixo horizontal do plano) e calcular o valor
correspondente de Y (eixo vertical do plano), obtendo assim alguns pares ordenados. Então, ligaremos os pontos e traçaremos a reta formada pelos
resultados da equação da função de primeiro grau.
Vamos traçar o gráfico da reta dada por esta função de primeiro grau:
Rotacione a tela. 
Existe ainda uma particularidade: entre dois pontos no plano cartesiano, só é possível traçarmos uma única reta. Logo, precisamos apenas de dois
pares ordenados para traçarmos a reta. Escolheremos, então, dois valores da variável X para encontrar o valor correspondente da variável Y e assim
obter dois pares ordenados.
Inicialmente, consideraremos X = 1, portanto, devemos substituir esse valor na equação da reta anterior.
Rotacione a tela. 
Então, quando X for 1, Y vale 5, e assim temos o primeiro par ordenado: (1,5).
Consideraremos agora X = -1.
Rotacione a tela. 
Então, quando X for –1, Y vale 3, e assim temos o segundo par ordenado: (-1,3)
Podemos resumir os cálculos na seguinte tabela:
X Y
1 1
-1 3
Aneuri de Amorim.
Finalmente, vamos marcar esses pontos no plano cartesiano e traçar a reta que os une.
Y = X + 4
Y = (1) + 4
Y = 1 + 4
Y = 5
Y = (−1) + 4
Y = −1 + 4
Y = 3
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Gráfico: Plano cartesiano em escala com os pontos (1, 5) e (–1, 3) e a reta representados na imagem.
Grá�co da função de primeiro grau
Veja como construir um gráfico da função de primeiro grau.
Inferências sobre um grá�co e seus coe�cientes
Resumindo, aprendemos que a função de primeiro grau é descrita pela equação geral:
Rotacione a tela. 
Aprendemos também como se constrói um gráfico atribuindo valores para X e calculando valores para Y e, além disso, vimos que o gráfico dessa
função no plano cartesiano sempre será uma reta. Contudo, podemos construir esse gráfico e analisar algumas características e particularidades a
partir da análise dos coeficientes a e b da equação.
Vamos avançar para mais um tópico!
Coe�ciente angular
O coeficiente a é chamado de coeficiente angular da reta, pois representa a sua inclinação. Temos duas possibilidades:
Gráfico: Reta , representando o coeficiente angular crescente .
Y = X + 4

Y = aX + b
Y = 2X − 3 a > 0
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Coe�ciente angular positivo: a > 0
Significa que a inclinação da reta será positiva, isto é, será uma reta crescente e o ângulo com o eixo será menor do que .
A reta apresentada a seguir foi construída usando a seguinte equação:
Em que 
Gráfico: Reta , representando o coeficiente angular crescente .
Coe�ciente angular negativo: a < 0
Significa que a inclinação da reta será negativa, portanto, uma reta decrescente. Nesse caso, o ângulo com o eixo será maior do que .
Esta reta negativa foi construída a partir da seguinte equação:
Podemos ver, nessa equação, que a=-2, logo, a 
Coe�ciente linear
O coeficiente b é chamado de coeficiente linear da reta. Ele representa o ponto em que a reta irá tocar o eixo Y e sempre será o par ordenado (0, b),
obtido ao assumir o valor X = 0 na equação geral da reta:
Rotacione a tela. 
Nos dois gráficos anteriores, podemos ver que os pontos onde as retas tocam o eixo Y podem ser obtidos por suas equações.
No primeiro grá�co
A equação da reta é dada por: 
Podemos ver que a reta toca o eixo no ponto .
X 90∘
Y = 2X − 3
a = 2(a > 0)
Y = −4X + 4 a > 0
X 90∘
Y = −2X + 2
< 0.
Y = aX + b
Y = a(0) + b
Y = 0
Y = 2X − 3
b = −3
Y (0, −3)
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No segundo grá�co
A equação da reta é dada por: 
Temos: 
Logo, a reta toca o eixo no ponto .
Há ainda outra propriedade que devemos conhecer: a raiz da reta.
A raiz da reta, é o ponto onde a reta toca o eixo X, no qual Y = 0.
Observando a equação da reta como exemplo:
Rotacione a tela. 
Para obter sua raiz, sempre fazemos com que Y = 0 e assim teremos:
Rotacione a tela. 
A raiz dessa equação da reta será X = 1, logo, a reta irá tocar o eixo X no ponto (1, 0), conforme demonstrado no gráfico:
Grafico: Raiz da reta .
Aplicações da função de primeiro grau
Veja como resolver problemas reais usando a função de primeiro grau.
Demonstração
Y = −2X + 2
b = 2
Y (0, 2)
Y = −2X + 2
Y = 0
Y = −2X + 2
4X = 4
X =
2
2
= 1
Y = −4X + 4

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Como já vimos, para traçarmos uma reta no plano cartesiano são necessários apenas dois pontos, dois pares ordenados (X, Y). Sendo assim,
podemos escolher um ponto em que a reta toca o eixo Y, dado pelo coeficiente linear da reta e, um ponto em que a reta toca o eixo X, dado pela raiz
da reta.
Utilizaremos, para demonstração, a reta dada pela equação:
Rotacione a tela. 
Comparando com a equação geral da reta:
Rotacione a tela. 
Podemos ver que: e 
Se , o coeficiente angular é negativo, logo, a reta é decrescente. Considerando que , a reta tocará o eixo em .
Para vermos isso, basta assumir na equação.
Rotacione a tela. 
Então, já temos um ponto (0, 2) para traçar a reta. Falta o segundo ponto, que é a raiz, obtida ao considerar Y=0 na equação e calcular o valor de X.
Rotacione a tela. 
Resolvendo: X = 2
Logo, temos o segundo ponto da reta: (2, 0).
Traçando a reta, teremos a seguinte imagem:
Gráfico da reta . Estão representados no gráfico o ponto em que a reta toca o eixo Y (coeficiente linear da reta) e o ponto em que toca o eixo X (raiz da reta).
Mão na massa
Questão 1
Y = −X + 2
Y = aX + b
a = −1 b = 2
a < 0 b = 2 Y (0, b) = (0, 2)
X = 0
Y = −(0) + 2
Y = 2
0 = −X + 2
Y = −X + 2

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Marque a afirmativa correta relacionada à reta da equação .
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20equa%C3%A7%C3%A3o%20geral%20da%20reta%20%C3%A9%20%5C(Y%3Da%20X%2Bb%5C)%2C%20onde%20a%20representa%2
1%5C)%2C%20logo%2C%20%5C(a%3C0%5C)%2C%20sendo%20uma%20reta%20decrescente.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20Questão 2
Marque a afirmativa correta com relação à equação da reta .
Y = −X + 1
A Representa uma reta crescente, pois o coeficiente angular é .a = −1
B Representa uma reta decrescente, pois o coeficiente angular é .a = −1
C Representa uma reta crescente, pois o coeficiente angular é .a = 1
D Representa uma reta decrescente, pois o coeficiente angular é .a = 1
E Representa uma reta constante, pois o coeficiente angular é .a = 1
Y = 3X + 2
A Essa reta possui coeficiente linear .b = 3
B Essa reta possui coeficiente linear .b = −3
C Essa reta não possui coeficiente linear.
D Essa reta possui coeficiente linear .b = 2
E Essa reta possui coeficiente linear .b = −2
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Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20equa%C3%A7%C3%A3o%20geral%20da%20reta%20%C3%A9%20%5C(Y%3Da%20X%2Bb%5C)%2C%20onde%20b%20representa%
Questão 3
Sobre a equação , é correto afirmar que
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20equa%C3%A7%C3%A3o%20geral%20da%20reta%20%C3%A9%20%5C(Y%3Da%20X%2Bb%5C)%2C%20onde%20a%20representa%2
1%5C)%2C%20logo%2C%20%5C(a%3C0%5C)%2C%20sendo%20assim%20uma%20reta%20decrescente.%200%20ponto%20onde%20a%20reta%20toc
Questão 4
Sobre a equação , podemos afirmar que é uma reta
Y = −X + 2
A representa uma reta crescente e toca o eixo Y no ponto (0, -2).
B representa uma reta decrescente e toca o eixo Y no ponto (2, 0).
C representa uma reta crescente e toca o eixo Y no ponto (2, 0).
D não representa uma reta.
E representa uma reta decrescente e toca o eixo Y no ponto (0, 2).
Y = 2X + 3
A decrescente, pois , que toca o eixo Y no ponto (0, 2).a = 3(a > 0)
B crescente, pois , que toca o eixo Y no ponto (0, 3).a = 2(a > 0)
C crescente, pois , que toca o eixo Y no ponto (3, 0).a = 2(a > 0)
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Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20equa%C3%A7%C3%A3o%20geral%20da%20reta%20%C3%A9%20%5C(Y%3Da%20X%2Bb%5C)%2C%20onde%20a%20representa%2
Questão 5
Observando o gráfico a seguir, marque a opção com a resposta correta:
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EObservando%20o%20gr%C3%A1fico%2C%20vemos%20que%20a%20reta%20toca%20o%20eixo%20%5C(Y%5C)%20no%20ponto%20%5
Questão 6
Indique o valor da raiz da reta .
D decrescente, pois , que toca o eixo Y no ponto (3, 0).a = 2(a > 0)
E crescente, pois , que toca o eixo Y no ponto (0, 0).a = 2(a > 0)
A Reta com coeficiente linear 3 e raiz 5.
B Reta com coeficiente linear 5 e raiz 3.
C Reta com coeficiente angular 3 e raiz 5.
D Reta com coeficiente angular 5 e raiz 3.
E Reta com coeficiente linear 3 e coeficiente angular 5.
Y = −2X + 4
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Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPara%20encontrar%20a%20raiz%20dessa%20fun%C3%A7%C3%A3o%2C%20basta%20considerar%20%5C(Y%3D0%5C)%20e%20substit
2%20X%2B4%0A%24%24%0A%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0AResolvendo%3A%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%24%24%0A2%20X%3D4%20X%3D%5Cfrac%7B4%7D
Teoria na prática
As funções de primeiro grau têm grande aplicação no nosso dia a dia e em diferentes áreas do conhecimento. Sempre que observamos um
crescimento ou um decrescimento de forma linear entre duas variáveis, teremos aí representada uma função de primeiro grau.
Suponha a análise da ação de dado medicamento em um grupo grande de pessoas da população. Foi observado que o número de pessoas curadas
(Y) crescia de forma linear de acordo com a quantidade de medicação dada (X), seguindo a seguinte equação:
Rotacione a tela. 
Podemos afirmar que se nenhum medicamento (X = 0) for dado à população analisada, teremos uma quantidade pequena de pessoas curadas (Y =
100). Contudo, é possível ver que quanto mais medicação dada, maior será a quantidade de pessoas curadas.
Pode-se analisar os dados usando os conceitos da equação da reta:
0 coeficiente angular da reta: , logo, a reta é crescente, pois .
0 coeficiente linear da reta: , assim, a reta toca o eixo em .
Se nenhum medicamento for dado, 100 pessoas se curam.
Vamos supor que são dados 100 medicamentos (X = 100):
A X = 0,5
B X = -2
C X = 2
D X = -0,5
E X = 4
_black
Y = 5X + 100
a = 5 a > 0
b = 100 Y (0, 100)
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Rotacione a tela. 
Quando 100 medicamentos são dados (X = 100), 600 pessoas são curadas (Y = 600).
O gráfico nos mostra um crescimento linear grande.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Dada a função de primeiro grau:
Assinale a opção que apresenta o valor da raiz dessa função:
Y = 5(100) + 100
Y = 500 + 100
Y = 600
Y = 4X − 2
A X = 0,5
B X = 2
C X = -0,5
D X = -2
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Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20raiz%20da%20fun%C3%A7%C3%A3o%20%C3%A9%20o%20valor%20de%20x%20que%20torna%20y%20%3D%200.%20Se%20x%20
Questão 2
Qual o ponto onde a reta dada pela equação a seguir toca o eixo ?
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EQuando%20uma%20reta%20toca%20o%20eixo%20y%2C%20isso%20significa%20que%20seu%20valor%20em%20x%20%C3%A9%20zer
2%0A%3Cbr%3E%3Cbr%3EPortanto%2C%20o%20ponto%20%C3%A9%20(0%2C%20-
2)%0A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
E X = 4
Y
Y = 2X − 2
A (0,0)
B (-2,0)
C (2,0)
D (0,-2)
E (0,2)
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2 - Funções de segundo grau
Ao �nal deste módulo, você será capaz de demonstrar as propriedades e aplicação das funções de segundo grau e seus grá�cos.
Características da função de segundo grau
A função de segundo grau apresenta uma relação entre duas variáveis, Y e X, que podem ser representadas no plano cartesiano, sendo Y
representado no eixo vertical e X no eixo horizontal. Estuda-se, com esse tipo de equação, como fica a variação da variável Y quando a variável X
varia de forma quadrática, ou seja, quando X tem expoente 2. Essa função tem como principal finalidade escrever uma fórmula matemática na qual
consigamos atribuir valores à variável X e obtermos o valor de Y. Sua equação é:
Rotacione a tela. 
Em que:
X e Y são as variáveis.
, e são os coeficientes.
Para que esta função exista:
Rotacione a tela. 
Equações algébricas em situações contextualizadas com funções de segundo grau
Existem diversas aplicações da função de segundo grau em diferentes áreas, inclusive no nosso dia a dia. O importante é saber observar, em cada
situação, se há a possibilidade de escrever uma fórmula matemática que permita encontrar um valor desejado, atribuindo valores para uma dada
variável e realizando operações matemáticas descritas nesse tipo de função.
As aplicações mais conhecidas da função de segundo grau estão na área da física, com a função horária de movimento retilíneo uniformemente
variado, mas existem outras aplicações nas áreas de negócios e ciências, desde de que se consiga descrever da seguinte forma:
Y = aX2 + bX + c
a b c
a ≠ 0
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Rotacione a tela. 
A solução dessa equação, quando representadaem um gráfico no plano cartesiano, apresenta-se como uma parábola. Assim, é muito usada para
analisar crescimentos e decrescimentos de uma variável (X) em função de outra variável (Y).
Considere um exemplo hipotético: um médico pesquisa a absorção em miligramas (Y) de dado medicamento em função do tempo (X). A equação
que descreve essa análise é dada por:
Rotacione a tela. 
Vamos analisar o que ocorre na quantidade de medicação absorvida (Y) com o passar do tempo.
0,5 hora após a ingestão
Ou seja, meia hora após a ingestão, é absorvido da medicação.
1 hora após a ingestão
Conclui-se que 1 hora após a ingestão o organismo não absorve a medicação.
2 horas após a ingestão
Isso significa que 2 horas após a ingestão o organismo absorve da medicação.
Podemos observar que essa função não tem o mesmo comportamento da função de primeiro grau, pois ela apresenta um valor inicial que diminuiu
e depois cresceu novamente.
Ainda no exemplo da análise de absorção de um medicamento, considere que a equação que descreve esse processo seja:
Rotacione a tela. 
Y = aX2 + bX + c
Y = X2 + 2X + 1
X = 0, 5
Y = (0, 5)2 − 2(0, 5) + 1
Y = 0, 25 − 1 + 1 = 0, 25
0, 25mg
X = 1
Y = (1)2 − 2(1) + 1
Y = 1 − 2 + 1 = 0
X = 2
Y = (2)2 − 2(2) + 1
Y = 4 − 4 + 1 = 1
1mg
Y = −X2 + 2X + 1
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Essa também é uma função de segundo grau, mas com um sinal negativo no termo .
Vamos analisar o comportamento apresentado acerca da quantidade de medicação absorvida (Y) com o passar do tempo.
0,5 hora após a ingestão
Isto é, meia hora após a ingestão, seria absorvido 1,75mg da medicação.
1 hora após a ingestão
Isso significa que 1 hora após a ingestão o organismo absorve da medicação.
2 horas após a ingestão
Conclui-se que 2 horas após a ingestão o organismo absorve da medicação.
Podemos observar que há um rápido crescimento da absorção da medicação até 1 hora após a ingestão; após 2 horas, a quantidade absorvida
começa a diminuir.
O comportamento apresentado é diverso nas duas situações hipotéticas, e isso ocorre principalmente em razão do sinal negativo na frente do termo
X², que diferencia as duas funções de segundo grau. Veremos esse aspecto em mais detalhes na sequência.
Equações de segundo grau
Veja como resolver equações de segundo grau.
x2
X = 0, 5
Y = −(0, 5)2 + 2(0, 5) + 1
Y = −0, 25 + 1 + 1 = 1, 75
X = 1
Y = −(1)2 + 2(1) + 1
Y = −1 + 2 + 1 = 2
2mg
X = 2
Y = −(2)2 + 2(2) + 1
Y = −4 + 4 + 1 = 1
1mg

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Construção do grá�co relacionado à função do segundo grau
Também chamada de função quadrática, a função de segundo grau pode ser descrita como visto anteriormente:
Rotacione a tela. 
Em que:
X e Y são as variáveis.
, e são os coeficientes.
Para que esta função exista:
Rotacione a tela. 
Essa função é representada graficamente por uma parábola em um plano cartesiano bidimensional. Para a construção do gráfico, precisamos
saber:
A parábola tocará o eixo Y no ponto em que X=0. Substituindo na equação, teremos:
Rotacione a tela. 
Y = aX2 + bX + c
a b c
a ≠ 0
Primeiro
Ponto em que a parábola tocará o eixo Y.
Segundo
Ponto ou pontos em que a parábola tocará o eixo X.
Terceiro
Vértice da parábola, isto é, o ponto em que ela muda de direção.
Y = a(0)2 + b(0) + c
Y = c
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Portanto, o ponto em que a parábola toca o eixo Y é sempre o par ordenado (0, c).
A parábola pode tocar o eixo X mais de uma vez, diferentemente da reta da função de primeiro grau. Quando há esse encontro entre parábola e eixo
X, chamamos o(s) ponto(s) de raízes da parábola. Para obter a raiz, consideramos Y=0 e:
Por fim, para a construção do gráfico da parábola, precisaremos do vértice, que é dado por um ponto com coordenadas (X, Y) que são:
X do vértice
Y do vértice
Vértice
Vamos representar graficamente a função de segundo grau dada pela equação:
Rotacione a tela. 
Observando a equação geral da função de segundo grau: , podemos identificar os coeficientes a, b e c.
Coeficientes
a 2
b -1
c -1
Thaiane Andrade.
Em seguida, acompanhando o passo a passo é possível:
Substituímos na equação
geral da parábola:
.0 = aX2 + bX + c
Ou melhor escrevendo:
.aX2 + bX + c = 0
Essa equação é solucionada
pela fórmula de Bhaskara,
dada por: .X1,2 = −b±
√Δ
2a
Substituímos na equação
geral da parábola:
.0 = aX2 + bX + c
XV =
−b
2a
YV =
−Δ
4a
V = ( −b2a ,
−Δ
4a )
Y = 2X2 − X − 1
Y = aX2 + bX + c
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Os pontos encontrados que permitirão desenhar a parábola no plano cartesiano são:
Ponto em que a parábola tocará o eixo Y: (0,-1).
Pontos em que a parábola tocará eixo X (raízes da parábola): (1,0) e (-0,5,0).
Vértice da parábola: (0,25 ,-1,125).
Gráfico: Parábola dada pela equação .
Grá�co da função do 2º grau
Veja como resolver passo a passo a construção do gráfico.
Interpretação do grá�co da função de segundo grau — parábola
Como já mencionado, a função de segundo grau, também conhecida como função quadrática, é descrita pela equação geral:
Rotacione a tela. 
Você já entendeu como é construído o gráfico da parábola, característico das funções de segundo grau, então, vamos analisá-lo a partir de alguns
pontos notáveis da parábola.
As parábolas possuem algumas características particulares que podem ser observadas mesmo antes de sua representação gráfica final, como as
concavidades e a quantidade de vezes que a parábola pode tocar o eixo X.
Primeiro passo 
Segundo passo 
Terceiro passo 
Y = 2X2 − X − 1

Y = aX2 + bX + c
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A concavidade da parábola pode ser voltada para cima ou para baixo. Quando a equação de segundo grau tem o coeficiente a positivo, ,
teremos uma parábola com concavidade voltada para cima (U). Quando o coeficiente a é negativo, , teremos uma parábola com concavidade
voltada para baixo .
Gráfico: Parábola de equação com e concavidade para cima.
Gráfico: Parábola de equação com e concavidade para baixo.
Outro ponto importante a ser analisado na equação da parábola é o número de encontros com o eixo X que ela fará. Deve-se observar, antes de
representar graficamente, quantas vezes a parábola tocará o eixo X, ou seja, quantas raízes ela possui. As possibilidades são:
Análise do grá�co da função de segundo grau
Veja como analisar o gráfico da função de segundo grau.
Demonstração
a > 0
a < 0
(∩)
a > 0
a < 0
Parábola com duas raízes 
Parábola com uma raiz 
Parábola sem raiz 

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Para exemplificar, veremos a construção do gráfico de uma parábola que não toca o eixo X, isto é, que não tem nenhuma raiz. Entretanto, a parábola
existe e pode ser representada graficamente.
Considere a seguinte função de segundo grau:
Rotacione a tela. 
Coeficientes
a 1
b -2
c 1
Thaiane Andrade.
Em seguida, acompanhando o passo a passo é possível:
Mão na massa
Questão 1
Marque a afirmativa correta relacionada à concavidade da parábola .
Y = X2 − 2X + 2
Primeiro passo 
Segundo passo 
Terceiro passo 
Quarto passo 

Y = 2X2 − 2X + 1
A Representa uma parábola com concavidade para cima, pois .a = −2
B Representa uma parábola com concavidade para cima, pois .a = 2
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Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20equa%C3%A7%C3%A3o%20geral%20da%20par%C3%A1bola%20%C3%A9%20%5C(Y%3Da%20X%5E2%2Bb%20X%2Bc%5C).%20NaQuestão 2
Marque a afirmativa correta relacionada à concavidade da parábola .
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20equa%C3%A7%C3%A3o%20geral%20da%20par%C3%A1bola%20%C3%A9%20%5C(Y%3Da%20X%5E2%2Bb%20X%2Bc%5C).%20Na
2%3C0%5C)%2C%20logo%2C%20representa%20uma%20par%C3%A1bola%20com%20concavidade%20para%20baixo.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%
Questão 3
Analisando a equação da parábola a seguir, diga em que ponto a figura irá tocar o eixo 
C Representa uma parábola com concavidade para cima, pois .a = 1
D Representa uma parábola com concavidade para cima, pois .a = −1
E Representa uma parábola sem concavidade, pois .a = 2
Y = −2X2 + 2X − 1
A Essa parábola tem concavidade para baixo, pois .a = −2
B Essa parábola tem concavidade para cima, pois .a = 2
C Essa parábola tem concavidade para cima, pois .a = 1
D Essa parábola tem concavidade para baixo, pois .a = −1
E Essa parábola não tem concavidade, pois .a = 2
Y : Y = 2X2 + X − 1
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Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20equa%C3%A7%C3%A3o%20geral%20da%20par%C3%A1bola%20%C3%A9%20%5C(Y%3Da%20X%5E2%2Bb%20X%2Bc%5C).%20Na
1%5C).%20Ciente%20de%20que%20o%20ponto%20em%20que%20a%20par%C3%A1bola%20toca%20o%20eixo%20Y%20%C3%A9%20representado%2
1).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 4
Quando solucionamos a equação de uma parábola e encontramos um valor de , o que isso representa?
Parabéns! A alternativa D está correta.
A A parábola toca o eixo Y no ponto (-1,0).
B A parábola toca o eixo Y no ponto (0,2).
C A parábola toca o eixo Y no ponto (0,1).
D A parábola não toca o eixo Y.
E A parábola toca o eixo Y no ponto (0,-1).
Y = aX2 + bX + c Δ < 0
A Representa uma parábola que não tem raiz, logo, não existe a parábola.
B Representa uma parábola que não tem raiz, logo, toca o eixo X duas vezes.
C Representa uma parábola que tem duas raízes, logo, toca o eixo X duas vezes.
D Representa uma parábola que não tem raiz, logo, toca o eixo X uma vez.
E Representa uma parábola que não tem raiz, logo, não toca o eixo X.
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%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EConforme%20j%C3%A1%20apresentado%2C%20uma%20equa%C3%A7%C3%A3o%20de%20segundo%20grau%20%C3%A9%20solucion
b%20%5Cpm%20%5Csqrt%7B%5CDelta%7D%7D%7B2%20a%7D%20%5CDelta%3Db%5E2-
4%20a%20c%0A%24%24%0A%3Cbr%3E%3Cbr%3EQuando%20encontramos%20%5C(%5CDelta%3C0%5C)%2C%20significa%20que%20n%C3%A3o%20
Questão 5
Dada a equação de segundo grau , qual o valor de e o que ele representa?
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ENa%20solu%C3%A7%C3%A3o%20da%20f%C3%B3rmula%20de%20Bhaskara%2C%20temos%20o%20c%C3%A1lculo%20do%20%5C(%5
4%20a%20c%5C).%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%24%24%0A%5CDelta%3D(-4)%5E2-4(1)(3)%3D16-
12%3D4%0A%24%24%0A%3Cbr%3E%3Cbr%3EQuando%20encontramos%20%5C(%5CDelta%3E0%5C)%2C%20significa%20que%20a%20par%C3%A1bo
Questão 6
Quando solucionamos a equação de uma parábola , encontramos um valor de , o que isso significa?
Y = X2 − 4X + 3 Δ
A , o que representa que a parábola toca o eixo em dois pontos.Δ = 4 X
B , o que representa que a parábola toca o eixo em dois pontos.Δ = −4 X
C , o que representa que a parábola não toca o eixo .Δ = −4 X
D , o que representa que a parábola toca o eixo em um ponto.Δ = 0 X
E , o que representa que a parábola toca o eixo em dois pontos. .Δ = 0 X
Y = aX2 + bX + c Δ = 0
A Significa que a parábola não tem raiz, logo, não existe a parábola.
B Significa que a parábola não tem raiz, logo, toca o eixo X duas vezes.
C Significa que a parábola tem duas raízes, logo, toca o eixo X duas vezes.
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Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EConforme%20j%C3%A1%20apresentado%2C%20uma%20equa%C3%A7%C3%A3o%20de%20segundo%20grau%20%C3%A9%20solucion
b%20%5Cpm%20%5Csqrt%7B%5CDelta%7D%7D%7B2%20a%7D%20%5CDelta%3Db%5E2-
4%20a%20c%0A%24%24%0A%3Cbr%3E%3Cbr%3EQuando%20encontramos%20%5C(%5CDelta%3D0%5C)%2C%20significa%20que%20h%C3%A1%20u
Teoria na prática
Voltando à análise inicial deste módulo, apresentamos uma situação hipotética, na qual era pesquisada a quantidade de incorporação de um
medicamento ao longo do tempo, dada pela equação:
Rotacione a tela. 
Com os conhecimentos acumulados até aqui, podemos traçar o gráfico e analisá-lo.
Os coeficientes são:
Coeficientes
a 1
b -2
c 1
Elaborado por Thaiane Andrade.
Usando a fórmula de Bhaskara:
Rotacione a tela. 
D Significa que a parábola tem uma raiz, logo, toca o eixo X uma vez.
E Significa que a parábola não tem raiz, logo, não toca o eixo X.
_black
Y = X2 − 2X + 1
X1,2 =
−b ± √Δ
2a
Δ = b2 − 4ac
Δ = (−2)2 − 4(1)(1) = 4 − 4 = 0
X1,2 =
−(−2) ± √0
2 ⋅ 1
=
2 ± 0
2
=
2
2
= 1
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Como , só temos uma raiz . Portanto, a parábola toca o eixo no ponto .
Sabemos que a parábola sempre toca o eixo no ponto , logo, temos o ponto .
0 vértice da parábola será calculado com base na fórmula já apresentada:
Rotacione a tela. 
Podemos verificar que o vértice coincide com a raiz.
Com esses pontos, o gráfico já pode ser formado:
Gráfico: Parábola , com concavidade para cima e tocando o eixo em um único ponto.
Analisando esse gráfico, o eixo Y representa a absorção em mg do medicamento, já o eixo X, o tempo em horas de absorção. É possível observar
que há uma grande absorção assim que a medicação é administrada, visível pelo ponto em que a parábola toca o eixo Y. Vemos também que a
absorção é nula após 1 hora da administração do medicamento, indicada pelo ponto onde a parábola toca o eixo X. A sequência da parábola
demonstra que a absorção vai aumentando com o passar do tempo.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Considere a seguinte função de segundo grau:
Marque a opção que apresenta o ponto em que a parábola toca o eixo Y.
Δ = 0 X1 = X2 = 1 X (1, 0)
Y (0, c) (0, 1)
V = ( −b
2a
, −
Δ
4a
)
( −(−2)
2.1
, −
0
4.1
) = ( 2
2
, 0) = (1, 0)
Y = X2 − 2X + 1 X
Y = 3X2 − 2X + 1
A (0,1).
11/03/2023, 13:11 Funções básicas
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Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPara%20saber%20em%20qual%20ponto%20a%20par%C3%A1bola%20toca%20o%20eixo%20y%2C%20basta%20colocarmos%20x%20%
%202X%20%2B%201%3Cbr%3E%0AY%20%3D%203.0%20-
%202.0%20%2B%201%3Cbr%3E%0AY%20%3D%201%0A%0A%3Cbr%3E%3Cbr%3EPortanto%2C%20o%20ponto%20%C3%A9%20(0%2C1).%3C%2Fp%3E
Questão 2
Marque a opção correta com relação à parábola da seguinte equação:
Parabéns! A alternativa D está correta.
B (1,0).
C (0,3).
D (0, -2).
E (-2,0).
Y = −2X2 + 3X − 1
A É uma parábola com a concavidade para baixo, pois .a = −1
B É uma parábola com a concavidade para baixo, pois .a = 3
C É uma parábola com a concavidade para cima, pois .a = −1
D É uma parábola com a concavidade para baixo, pois .a = −2
E É uma parábola com a concavidade para baixo, pois .a = −3
11/03/2023, 13:11 Funções básicas
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%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EEssa%20par%C3%A1bola%20tem%20concavidade%20voltada%20para%20baixo%2C%20uma%20vez%20que%20o%20coeficiente%20%
2).%20%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%203 - Funções exponenciais
Ao �nal deste módulo, você será capaz de demonstrar as propriedades e aplicação das funções exponenciais e seus grá�cos.
Características da função exponencial
A função exponencial representa uma relação entre duas variáveis Y e X, que podem ser representadas no plano cartesiano, sendo Y representado
no eixo vertical e X no eixo horizontal. Esse tipo de equação é utilizado para estudar a variação de Y quando X varia de forma exponencial, ou seja,
quando X é o expoente. A principal finalidade dessa equação é escrever uma fórmula matemática na qual consigamos atribuir valores à variável X e
obtermos o valor de Y. Sua equação é:
Rotacione a tela. 
Em que:
 é chamado de base.
x é chamado de expoente.
Para que esta função exista:
 e 
Rotacione a tela. 
Veja alguns exemplos:
• 
• 
Y = aX
a
a > 0 a ≠ 1
Y = 3x
Y = (0, 4)X
11/03/2023, 13:11 Funções básicas
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• 
A função exponencial tem uma característica diferente das funções de primeiro e de segundo grau: a variável X está no expoente de uma base.
Sendo assim, para que a função exista no conjunto dos números reais, a base a deve seguir duas condições: e . Vamos analisá-las:
Grá�cos de funções exponenciais
Os gráficos das funções exponenciais nunca tocam o eixo X, pois esse tipo de função não possui raiz. Desse modo, a construção do gráfico se
baseia em atribuir valores para a variável X e calcular o valor correspondente da variável Y.
As funções exponenciais são categorizadas segundo o valor de sua base, lembrando que há duas condições para tais valores — ser positiva e
diferente de 1.
Função exponencial crescente
Sempre que o valor de , a função exponencial é definida como crescente. Para exemplificar, representaremos graficamente a seguinte função:
Rotacione a tela. 
Vamos escolher valores de X e calcular o valor de Y:
Rotacione a tela. 
Ao calcularmos com os números inteiros subsequentes, obtemos os valores a seguir:
X Y
-3 0,125
-2 0,25
-1 0,5
Y = (√5)X
a > 0 a ≠ 1
a = 0 
a = 1 
a < 0 
a > 1
Y = 2X
X = −3
Y = 2−3 = 0, 125
X = −2
Y = 2−2 = 0, 25
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X Y
0 1
1 2
2 4
3 8
Thaiane Andrade.
Podemos perceber que a função exponencial sempre toca o eixo Y no ponto (0, 1) quando temos X=0, Y=1, pois qualquer número elevado a zero é
igual a 1.
Gráfico: Função exponencial crescente .
Ainda, é possível observar por que essa é uma função crescente: conforme o valor de aumenta, o valor de Y também cresce. 0 crescimento inicial
é pequeno, mas depois vai aumentando consideravelmente. Essa é uma característica das funções exponenciais com base .
Função exponencial decrescente
Sempre que o valor de , a função é classificada como decrescente. Quando a base é maior do que zero e menor do que 1, seu valor é um
número fracionário.
A título de exemplo, representaremos graficamente esta função:
Rotacione a tela. 
Vamos escolher valores de X e calcular o valor de Y:
Rotacione a tela. 
Ao calcularmos com os números inteiros subsequentes, obtemos os valores a seguir:
Y = 2X
X
a > 1
0 < a > 1
Y = ( 1
2
)
x
= (0, 5)X
X = −3
Y = ( 1
2
)
x
= (0, 5)X
Y = ( 1
2
)
x
= (0, 5)X
Y = ( 1
2
)
x
= (0, 5)X
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X Y
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 0,5
2 0,25
Thaiane Andrade.
Conforme já vimos, a função exponencial sempre toca o eixo Y no ponto (0,1).
Gráfico: Função exponencial decrescente .
Assim, é possível observar por que essa é uma função decrescente: à medida que o valor de X aumenta, o valor de Y decresce. Os valores iniciais
são grandes, depois diminuem bastante. Essa é uma característica das funções exponenciais com base entre 0 e 1.
Grá�co exponencial
Veja como construir um gráfico crescente e outro decrescente.
Problemas com funções exponenciais
As funções exponenciais são muito usadas na área da saúde, pois diversos comportamentos analisados podem ser explicados e estudados por
esse tipo de relação entre variáveis.
Suponhamos que um pesquisador esteja analisando o crescimento de uma bactéria em uma cultura. Ele observa que a função do crescimento do
número de bactérias (Y) com o passar do tempo (X) é dada pela equação:
Y = (0, 5)X

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Rotacione a tela. 
Em que X representa o tempo em horas e Y representa o número de bactérias na placa.
Conforme já vimos, essa função tem a base 2, que é maior do que 1 , e sempre que isso ocorre temos uma função exponencial crescente. A
partir da equação, podemos prever o número de bactérias que estarão presentes na placa em qualquer valor de tempo, lembrando que no tempo
inicial, X=0, teremos como resultado Y=1, isto é, uma bactéria na placa. Veja a resolução da equação:
Rotacione a tela. 
Analisaremos agora duas situações considerando diferentes períodos de tempo:
1º caso: X = 192 horas
2º caso: X = 384 horas
Podemos perceber que o crescimento do número de bactérias é muito maior conforme o tempo passa. Esse tipo de equação, chamada de função
resposta, tem como característica um crescimento muito acentuado.
Ao final de 2019, surgiu a covid-19. No mundo todo, seu comportamento foi semelhante a um crescimento exponencial, e depois de implementadas
algumas medidas, como distanciamento social, uso de máscaras e vacinação em massa, iniciou-se uma diminuição também exponencial. Esse
comportamento pode ser exemplificado no gráfico.
Gráfico: Crescimento e o decrescimento da covid-19 como funções exponenciais.
Análise do grá�co exponencial
Veja a análise de um gráfico exponencial.
Y = 2X/24
(a > 1)
X = 0
Y = 20/24 = 20 = 1
Y = 2192/24 = 28 = 256
Y = 2384/24 = 216 = 65.536

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Demonstração
Vamos supor que um país esteja fazendo tudo que é possível, com medidas bastante rígidas, para controlar a covid-19 e diminuir o número de
casos graves em seu sistema de hospitalização. A partir da análise dos dados, delineou-se uma previsão, representada pela função exponencial a
seguir:
Rotacione a tela. 
Como vemos, a base dessa função é do tipo , logo, é uma função exponencial decrescente. Sendo o tempo em meses e 
o número de internações, usaremos essa equação para calcular a diminuição do número de internações prevista com o passar do tempo em meses.

1º caso: X = 1 mês
Y= 1.000.000 (0,25)1=1.000.000 (0,25 )= 250.000

2º caso: X = 2 meses
Y= 1.000.000 (0,25)2 = 1.000.000 (0,0625) = 62.500

3º caso: X = 4 meses
Y= 1.000.000 (0,25)4 = 1.000.000 (0,003906) = 3.906 aproximadamente

4º caso: X = 6 meses
Y= 1.000.000(0,25)6 = 1.000.000 (0,000244) = 244 aproximadamente
Ao observar esses cálculos, vemos que o tempo está aumentando um pouco, entretanto, o número de casos diminui muito mais rapidamente, o que
é uma característica das funções exponenciais decrescentes.
Y = 1.000.000(0, 25)X
0 < a < 1, a = 0, 25 X Y

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Mão na massa
Questão 1
Assinale a afirmativa correta sobre a função exponencial .
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EConsiderando%20a%20equa%C3%A7%C3%A3o%20geral%20da%20fun%C3%A7%C3%A3o%20exponencial%2C%20%5C(Y%3Da%5Ex%5
Questão 2
Marque a afirmativa que caracteriza corretamente esta função exponencial: .
Y = 3x
A É uma função exponencial crescente, pois a base é .a < 0
B É uma função exponencial crescente, pois a base é .a = 3 > 1
C É uma função exponencial decrescente, pois a base é .a = 3 > 1
D É uma função exponencial crescente, pois a base é .a = X
E É uma funçãoexponencial crescente, pois a base é .a > 0
Y = (0, 2)x
A Função exponencial decrescente, pois a base é , logo, (0 < a < 1).a = 0, 2
B Função exponencial crescente, pois a base é , logo, .a = 0, 2 a > 0
C Função exponencial decrescente, pois a base é .a = X
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Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EConsiderando%20a%20equa%C3%A7%C3%A3o%20geral%20da%20fun%C3%A7%C3%A3o%20exponencial%2C%20%5C(Y%3Da%5Ex%5
Questão 3
Assinale a afirmativa correta relacionada ao ponto da função exponencial que toca o eixo X.
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAs%20fun%C3%A7%C3%B5es%20exponenciais%20n%C3%A3o%20possuem%20ra%C3%ADzes%2C%20o%20que%20significa%20que%
Questão 4
Marque a afirmativa correta quanto ao ponto da função exponencial que toca o eixo Y.
D Função exponencial crescente, pois a base é .a = X
E Função exponencial constante, pois a base é (0 < a < 1).
Y = 4x
A O ponto (0,1) toca o eixo X.
B O ponto (0,0) toca o eixo X.
C O ponto (4,0) toca o eixo X.
D O ponto (0,4) toca o eixo X.
E As funções exponenciais não tocam o eixo X, pois esse tipo de função não tem raiz.
Y = 4x
A O ponto (0,4) toca o eixo Y.
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Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ETodas%20as%20fun%C3%A7%C3%B5es%20exponenciais%20do%20tipo%20%5C(Y%3Da%5EX%5C)%20tocam%20o%20eixo%20Y%20n
Questão 5
Considere a equação do . Qual o valor de para ?
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPara%20resolver%2C%20basta%20solucionar%20a%20equa%C3%A7%C3%A3o%3A%20%5C(Y%3D3%5E4%3D81%5C).%3C%2Fp%3E%0
Questão 6
B O ponto (0, 0) toca o eixo Y.
C O ponto (4, 0) toca o eixo Y.
D O ponto (0, 1) toca o eixo Y.
E As funções exponenciais não tocam o eixo Y, pois esse tipo de função não tem raiz.
Y = 3x Y X = 4
A Y = 81
B Y = 12
C Y = 4/3
D Y = 3/4
E Y = 1/12
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Considere a equação do . Qual o valor de quando e , respectivamente?
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPara%20chegar%20%C3%A0%20resposta%2C%20%C3%A9%20necess%C3%A1rio%20solucionar%20a%20equa%C3%A7%C3%A3o.%3C
Teoria na prática
Ao observar o gráfico de uma função exponencial, podemos fazer algumas análises com base na forma dos gráficos, identificando se o que está
representado é um comportamento crescente ou decrescente.
A pandemia de covid-19 tem provocado análises de crescimentos e decrescimentos exponenciais de número de infectados, número de internados
ou número de mortos em função do tempo.
Utilizaremos o gráfico a seguir para uma análise desses comportamentos:
Gráfico: Crescimento e o decrescimento da covid-19 como funções exponenciais.
Nesse gráfico, o eixo vertical representa o número de pessoas infectadas pelo vírus e o eixo horizontal indica o tempo em meses. Conhecendo o
comportamento das funções exponenciais, podemos observar que no ano de 2020 há um crescimento exponencial do mês 1 até o mês 12,
seguindo o comportamento de uma função exponencial de base . Então, por efeito de alguma ação, o número de casos começa a diminuir de
Y = (0, 5)x Y X = 2 X = 4
A Y = 0,0625 e Y = 0,25.
B Y = 1 e Y = 2.
C Y = 2 e Y = 1.
D Y = 0,25 e Y = 0,0625.
E Y = 0,5 e Y = 0,25.
_black
a > 1
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forma acentuada, seguindo as características de uma função exponencial com base , como vimos em alguns exemplos numéricos ao
longo desse estudo.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Considere a seguinte função exponencial: .
Assinale a opção que indica corretamente onde a função toca o eixo Y.
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPara%20saber%20o%20ponto%20onde%20a%20fun%C3%A7%C3%A3o%20toca%20o%20eixo%20Y%2C%20vamos%20colocar%20x%20
Questão 2
Marque a opção que indica o valor de para nesta equação: .
0 < a < 1
Y = 6X
A A função toca o eixo Y em (0,1).
B A função toca o eixo Y em (1,0).
C A função toca o eixo Y em (0,3).
D A função toca o eixo Y em (0,20).
E A função toca o eixo Y em (20,0).
Y X = −2 Y = (0, 5)X
A Y = 0,5
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Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EBasta%20substituir%20X%20%3D%20-
2%20na%20equa%C3%A7%C3%A3o%2C%20para%20encontrarmos%20o%20Y.%20Para%20facilitar%2C%20colocaremos%200%2C5%20na%20forma%
2%3C%2Fsup%3E%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0APodemos%20expressar%20isso%20assim%3A%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0AY%20%3D%20(2)%3Csup%3E2%3C
4 - Funções logarítmicas
Ao �nal deste módulo, você será capaz de demonstrar as propriedades e aplicação das funções logarítmicas e seus grá�cos.
Logaritmo
Sejam a e b números reais positivos e chamamos logaritmo de a na base b ao expoente X tal que:
Rotacione a tela. 
B Y = -1
C Y = -0,25
D Y = 4
E Y = -2
b ≠ 1
bx = a
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Então:
Rotacione a tela. 
Em que:
 é chamado de logaritmando.
 é a base.
Função logarítmica
Veja como é calculada a função logarítmica:
Rotacione a tela. 
Em que se lê “logaritmo de 32 na base 2 é igual a X”.
O que queremos calcular é o valor de X e, para isso, usamos a função exponencial, transformando esse cálculo de forma a encontrar o valor de X
que torne a seguinte equação verdadeira: 
Para solucionar esse tipo de equação, devemos encontrar o valor correspondente de 32 na base 2, que podemos fatorar, encontrando:
Após a fatoração:
A função logarítmica possui algumas propriedades que auxiliam bastante na interpretação e na solução de equações baseadas neste tipo de
função. Vejamos essas propriedades:
logb(a) = X
a
b
log2(32) = X
2x − 32
Temos que:
32 = 25
Logo:
 log2 32 = X 2
X = 32
2X = 25
Como as bases são iguais (2),
a única solução possível é
quando os expoentes são
iguais:
X = 5
Então:
log2 32 = 5
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Temos ainda:

Logaritmo da potência

Logaritmo do produto

Logaritmo do quociente
Quando a base do logaritmo é 10, ela não deve ser indicada: .
Logaritmo
Veja como calcular uma função logarítmica.
Grá�cos de funções logarítmicas
Para traçarmos um gráfico de uma função logarítmica, devemos selecionar valores de X e calcular o valor de Y associado, resolvendo a função
logarítmica na base desejada, da seguinte forma:
loga a = 1 
loga 1 = 0 
loga a
m = m 
loga b
m = m ⋅ loga b
loga(b ⋅ c) = loga b + loga c
loga
b
c = loga b − loga c
log10 a = loga

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Rotacione a tela. 
Vamos atribuir valores para a variável X e, sabendo o valor da base a — base 2 ou base 10, por exemplo —, obtemos o valor de Y correspondente.
A fim de exemplificar a construção de um gráfico que represente a função logarítmica, usaremos um exemplo numérico. Então, analisaremos
algumas particularidades de seus gráficos.
Considere a seguinte função logarítmica:
Rotacione a tela. 
A base do logaritmo selecionado é 2. Utilizando uma calculadoracientífica, vamos calcular o logaritmo com diversos valores para X, conforme
apresentado no quadro a seguir:
X Y
0,125 -3
0,25 -2
0,5 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
Aneuri de Amorim.
Ao representar os pares ordenados (X, Y) no plano cartesiano, desenha-se o seguinte gráfico:
Gráfico da função .
A função logarítmica tem algumas características que podemos ver no gráfico anterior.
Esse tipo de função nunca toca o eixo Y, isto é, não há a possibilidade de um par ordenado (0, Y), pois o X nunca assumirá o valor de zero. Não é
possível, por exemplo, . Em síntese, não existe logaritmo de zero em nenhuma base.
Podemos perceber outra característica importante no gráfico dessa função: ela toca o eixo X (raiz da função) no ponto (1,0). Como vimos, em uma
das propriedades, logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero. Logo, ao assumirmos (X=1), teremos:
Y = loga X
Y = log2 X
log2 X
log2 0, 125 =
log2 0, 25 =
log2 0, 5 =
log2 1 =
log2 2 =
log2 4 =
log2 8 =
Y = log2 X
Y = log2 0
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Rotacione a tela. 
Portanto, independentemente da base selecionada, toda função logarítmica tem como raiz (1, 0) e tocará o eixo X nesse ponto.
Rotacione a tela. 
Ainda, pode-se destacar que, quando a base é maior do que 1, a função é crescente. Nesse caso, os valores assumidos por X maiores que 1 têm
logaritmos positivos; já os valores de X entre 0 e 1 tem logaritmos negativos.
Quando a base é menor do que 1, os números maiores que 1 têm logaritmos negativos e aqueles entre 0 e 1 têm logaritmos positivos. Nos casos
em que a base do logaritmo é um valor entre 0 e 1, a função é decrescente, veja:
Considere a seguinte função:
Rotacione a tela. 
Ao atribuir os valores de X e calcular o Y usando uma calculadora científica, obtemos estes resultados:
X Y
0,125 3
0,25 2
0,5 1
1 0
2 -1
4 -2
8 -3
Aneuri de Amorim.
É possível, então, construir o seguinte gráfico:
Gráfico da função .
Como a base dessa função logarítmica vale 0,5, logo, está entre 0 e 1, seu gráfico mostra que é uma função decrescente.
Y = loga
log1 = 0
X = 1 e Y = 0
Y = log0,5 X
Y = log0,5 X
log0,5 0, 125 =
log0,5 0, 25 =
log0,5 0, 5 =
log0,5 1 =
log0,5 2 =
log0,5 4 =
log0,5 8 =
Y = log0,5 X
11/03/2023, 13:11 Funções básicas
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O grá�co logarítmico
Veja como construir o gráfico da função logarítmica.
Problemas com funções logarítmicas
As funções logarítmicas e suas propriedades podem ser aplicadas em funções exponenciais para analisarmos o comportamento ou calcularmos a
variável X que se encontra no expoente.
Utilizaremos como exemplo a função exponencial, conhecida anteriormente, que descreve o crescimento do número de bactérias (Y) com o passar
do tempo (X), dada pela equação:
Rotacione a tela. 
Em que X representa o tempo em horas e Y representa o número de bactérias na placa.
Anteriormente, atribuímos valores de tempo a X para encontrarmos a quantidade de bactérias que estaria presente na placa analisada. Aplicando a
função logarítmica, podemos definir valores para a quantidade de bactérias e calcular, então, o tempo necessário para chegar a esse número.
Matematicamente, aplicamos uma função logarítmica aos dois lados do sinal de igual.
Dessa forma, é possível calcularmos quanto tempo será necessário para obtermos certa quantidade de bactérias.
Agora, vamos analisar quanto tempo é necessário para termos as seguintes quantidades de bactérias (Y):
1º Caso
Y= 256 bactérias
X = 24log2(256) = 24(8) = 192
2º Caso

Y = 2X/24
Nesse exemplo, utilizaremos
a base 2:
log2(Y ) = log2 (2X/24)
Há uma propriedade que
podemos aplicar:
loga a
m = m
Então:
log2(Y ) =
X
24
Para deixarmos o X como
variável, resolvemos:
X = 24 log2(Y )
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https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212sa/03104/index.html# 49/57
X= 20.000 bactérias
X = 24log2(20.000) = 24(14,2877) = 343
3º Caso
X= 200.000 bactérias
X= 24log2(200.000) = 24(17,6096) = 422
Problemas com funções logarítmicas
Veja como resolver um problema real usando a função logarítmica.
Demonstração
Utilizaremos algumas propriedades da função logarítmica para exercitar os trabalhos algébricos desse tipo de função.
Sabendo que e , vamos calcular o valor de:
O intuito aqui é usar as propriedades para melhorar o raciocínio lógico, logo, não utilizaremos a calculadora científica.
Podemos resolver usando apenas os valores fornecidos de e . Veja como:
Mão na massa
Questão 1

log10 2 = 0, 301 log10 3 = 0, 477
log10 64
log10 12
log10 2 log10 3
log10 64 
log10 12 

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Assinale a afirmativa correta com relação à função logarítmica a seguir: .
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EConsiderando%20a%20equa%C3%A7%C3%A3o%20geral%20da%20fun%C3%A7%C3%A3o%20logar%C3%ADtmica%2C%20%5C(Y%3D%
Questão 2
Marque a afirmativa correta acerca da função logarítmica a seguir: .
Parabéns! A alternativa A está correta.
Y = log10 X
A Representa uma função crescente, pois a base é .a < 0
B Representa uma função crescente, pois a base é .a = 10 > 1
C Representa uma função decrescente, pois a base é .a = 10 > 1
D Representa uma função crescente, pois esse tipo de função sempre é crescente.
E Representa uma função decrescente, pois esse tipo de função sempre é decrescente.
Y = log0,5 X
A Representa uma função decrescente, pois a base é (0 < a < 1 ).
B Representa uma função crescente, pois a base é (0 < a < 1).
C Representa uma função decrescente, pois a base a é positiva.
D Representa uma função decrescente, pois a base a é negativa.
E Representa uma função crescente, pois esse tipo de função sempre é crescente.
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%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EConsiderando%20a%20equa%C3%A7%C3%A3o%20geral%20da%20fun%C3%A7%C3%A3o%20logar%C3%ADtmica%2C%20%5C(Y%3D%
Questão 3
Assinale a afirmativa que apresenta o cálculo correto do seguinte logaritmo: .
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20solu%C3%A7%C3%A3o%20desse%20logaritmo%20%C3%A9%20dada%20por%3A%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%24%24%0A2%5Ex%3
lo%20com%20uma%20base%202.%20Assim%2C%20podemos%20escrever%3A%0A%0A%24%24%0A2%5Ex%3D8%3D2%5E3%0A%24%24%0A%0A%3C
Questão 4
Assinale a afirmativa que indica o ponto em que a função a seguir toca o eixo X.
log2 8 = X
A X=4.
B X=8.
C 22 = 8, log0, X = 2
D 22 = 8, log 0, X = 8
E 22 = 23, log 0, x = 3
Y = log2 X
A A função toca o eixo Y no ponto (2, 0).
B A função toca o eixo X no ponto (0, 0).
C A função toca o eixo X no ponto (0, 1).
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Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ETodas%20as%20fun%C3%A7%C3%B5es%20logar%C3%ADtmicas%20tocam%20o%20eixo%20X%20no%20ponto%20(1%2C%200).%3C%
Questão 5
Considere a função:
Marque a opção que indica o ponto em que ela toca o eixo Y.
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAs%20fun%C3%A7%C3%B5es%20logar%C3%ADtmicas%20n%C3%A3o%20tocam%20o%20eixo%20Y.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%2
Questão 6
Marque a alternativa que indica a aplicação adequada de uma propriedade para solucionar a equação a seguir: .
D A função toca o eixo X no ponto (1, 0).
E Esse tipo de função não toca o eixo X.
Y = log2 X
A Essa função não toca o eixo Y.
B Essa função não toca o eixo X.
C Essa função toca o eixo Y em (0,1).D Essa função toca o eixo Y em (1,0).
E Essa função toca o eixo Y em (0,2).
log10 2
6
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Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20propriedade%20a%20ser%20usada%20%C3%A9%3A%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%5C(%0A%5Clog%20_a%20b%5Em%3Dm%20%5Clo
Teoria na prática
Exemplificamos o uso da função exponencial em uma análise da diminuição dos casos graves de covid-19 com o passar do tempo, sendo utilizada
a função a seguir:
Rotacione a tela. 
No exemplo, escolhemos um valor de X que representa o tempo em meses e calculamos o número de casos graves, expresso pela variável Y.
Com a aplicação da função logarítmica, é possível definirmos o número de casos (Y) e calcularmos quanto tempo (X) levará para alcançar esse
valor. Para isso, devemos aplicar a função logarítmica aos dois lados do sinal de igual da equação anterior. Utilizaremos o logaritmo de base 2, mas
poderia ser qualquer base.
Rotacione a tela. 
Aplicamos, então, a propriedade do logaritmo do produto. Observe:
Rotacione a tela 
A log10 2
6 = 6 − log10 2
B log10 2
6 = 2 log10 6
C log10 2
6 = log10 2 − log10 6
D log10 2
6 = 6 log10 2
E log10 2
6 = log10 2 + log10 6
_black
Y = 1.000.000(0, 25)x
log2(Y ) = log2 (1.000.000 ⋅ (0, 25)
X)
log2(Y ) = log2(1.000.000) + log2(0, 25)
X
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Rotacione a tela. 
Calculando o logaritmo e aplicando a propriedade do logaritmo do expoente, teremos:
Rotacione a tela. 
1º Caso
 casos 
Considerando o resultado, este seria o nosso ponto de partida: um milhão de casos de covid-19 no momento do início do estudo.
2º Caso
 casos 
Com o cálculo, concluímos que levará 1 mês para chegar a 250 mil casos.
3º Caso
 casos 
Por meio da função logarítmica, constata-se que serão necessários 4 meses para chegar a 10 mil casos de covid-19.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Considere esta função logarítmica: .
Qual o valor de Y para X=2?
log2(Y ) = 20 + X log2(0, 25)
log2(Y ) = 20 − 2X
2X = 20 − log2(Y )
X =
20 − log2(Y )
2
Y = 1.000.000 X = 20−log2(1.000.000)2 =
20−20
2 = 0
Y = 250.000 X = 20−log2(250.000)2 =
20−18
2 =
2
2 = 1
Y = 10.000 X = 20−log2(1.000.000)2 =
20−20
2 = 0
Y = log2 X
A Y=1
B Y=2
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Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EBasta%20substituir%20o%20valor%20de%20X%20na%20equa%C3%A7%C3%A3o.%20Vamos%20l%C3%A1%3F%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A
Questão 2
Considere as duas funções logarítmicas:
- 1a função: 
-2a função: 
É correto afirmar que
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20primeira%20fun%C3%A7%C3%A3o%20%C3%A9%20crescente%2C%20pois%20a%20base%20%C3%A9%202%2C%20um%20n%C3%
C Y=0
D Y=-1
E Y=-2
Y = log2 X
Y = log0,5 X
A a primeira é uma função constante e a segunda é uma função decrescente.
B as duas funções são decrescentes.
C as duas funções são crescentes.
D a primeira é uma função crescente e a segunda é uma função decrescente.
E a primeira é uma função decrescente e a segunda é uma função crescente.
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Considerações �nais
Neste conteúdo, você adquiriu conhecimentos de matemática e agora está mais preparado e dotado dos recursos necessários para avançar na sua
profissão. Foram apresentados conceitos e aplicações de diferentes funções matemáticas: função de primeiro grau, de segundo grau, exponencial e
logarítmica.
Essas funções são muito utilizadas no dia a dia, bem como na descrição de situações, estudos e análises na área da saúde, conforme as
características dessas funções e dos dados analisados. Neste estudo, você observou esse uso em crescimentos lineares e exponenciais de
bactérias em uma amostra, por exemplo. Portanto, todos os conceitos aqui apresentados são de grande utilidade para a sua formação profissional.
Podcast
Para encerrar, ouça sobre as funções e como aplicá-las no dia a dia do profissional de saúde.

Referências
MAIO, W. de (coord.); BARBONI, A.; PAULETTE, W. Fundamentos da matemática: cálculo e análise. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
GUIMARÃES, L. G. S. et al. Bases matemáticas para engenharia. Rio de Janeiro: SESES, 2015.
REGRA DE TRÊS. Matemática Didática. Consultado na internet em: 18 ago. 2021.
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Confira a indicação que separamos especialmente para você!
No portal Educa+ Brasil, você pode ler mais sobre as funções logarítmica e exponencial.