Eletrodinâmica Clássica e suas Aplicações

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DESCRIÇÃO
A construção dos conceitos fundamentais das leis de indução eletromagnética, em que variações de
fluxos de campos elétricos e/ou magnéticos geram fenômenos físicos, e suas aplicações físicas e
tecnológicas como a força eletromotriz, a corrente de deslocamento de Maxwell, as Ondas
eletromagnéticas e os circuitos elétricos com correntes não uniformes. A moderna teoria eletrodinâmica
clássica é apresentada e analisada de forma completa por meio das quatro Equações de Maxwell em
representação integral.
PROPÓSITO
Compreender a teoria eletrodinâmica clássica como sendo a teoria dos campos elétricos e magnéticos
puros ou em interação com a matéria e de suas fontes. Vamos abordar as leis de indução
eletromagnéticas, em que variações temporais de fluxos de campos elétricos e/ou magnéticos geram
fenômenos físicos, como a indução eletromagnética, a força eletromotriz, a corrente de deslocamento
de Maxwell, as Ondas eletromagnéticas e os circuitos elétricos com correntes não-uniformes, para citar
alguns dos mais evidentes. Todos os fenômenos eletromagnéticos são descritos pelas quatro
equações de Maxwell, que completam as leis fundamentais do eletromagnetismo. As consequências
fenomenológicas dessas leis e suas equações fundamentais, dentro dos limites de escalas e energias
da teoria, são o nosso contato com o Universo e nossa vida tecnologia moderna.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, revise seus estudos nos princípios da Álgebra Vetorial e do
Cálculo Diferencial e Integral. Também será útil ter em mãos uma calculadora científica.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Aplicar a Lei de Faraday-Lenz, a Força Eletromotriz e a Indução Eletromagnética
MÓDULO 2
Aplicar a Corrente de Deslocamento de Maxwell, as Equações de Maxwell e as Ondas
Eletromagnéticas
MÓDULO 3
Analisar os Circuitos RC, LR, LC e LRC
INTRODUÇÃO
ELETRODINÂMICA
Das quatro interações fundamentais da natureza (interação Nuclear Forte, Nuclear Fraca, Gravitacional
e Eletromagnética), a interação eletromagnética é, sem dúvida, a que mais nos afeta como civilização
moderna, em uma abordagem prática.
Certamente, todas as quatro interações fundamentais são essenciais para a compreensão dos
fenômenos do Universo como os conhecemos hoje e para a compreensão da vida. Entretanto, seria
impensável vivermos atualmente sem os recursos modernos que a compreensão da eletrodinâmica
clássica nos propiciou.
A geração de energia elétrica, os motores elétricos, a eletricidade e a eletrônica, os meios de
comunicações e telecomunicações, a informática e a computação, nossa observação da natureza e do
universo, nossas sociedades conectadas por meio da troca de dados e informações, além da Química
e da Biologia, tudo isso gira em torno da Eletrodinâmica Clássica, quando consideramos seus limites
efetivos de escala e energias para esses fenômenos.
Na imagem de abertura do Tema, vemos antenas de comunicação com satélites artificiais que estão
em órbita do planeta, como um símbolo de nossa tecnologia baseada na eletrodinâmica clássica.
 
 SAIBA MAIS
Assista ao vídeo do YouTube intitulado: Como o pouso na lua foi filmado?, do canal Dobra Espacial,
que aborda as tecnologias eletromagnéticas de comunicação envolvidas em um dos maiores passos
tecnológicos da humanidade, a chegada à Lua.
Abordaremos, aqui, a fundamentação, a compreensão e a aplicação das leis de indução
eletromagnéticas: a Lei de Faraday-Lenz e a Lei de Ampère-Maxwell. Vamos verificar que fluxos de
campos elétricos e magnéticos variáveis geram fenômenos físicos. Estudaremos esses fenômenos,
como se processam e como são aplicados tecnologicamente. Por fim, analisaremos elementos
fundamentais das ondas eletromagnéticas e a estrutura básica dos modernos circuitos elétricos e
eletrônicos.
 
Bons estudos!
MÓDULO 1
 Aplicar a Lei de Faraday-Lenz, Força Eletromotriz e a Indução Eletromagnética
INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
A indução eletromagnética é o fenômeno que foi observado e estudado, primeira e separadamente, por
Michael Faraday e Joseph Henry, no início de 1830, resultando na Lei de Faraday-Lenz.
Essencialmente é a capacidade de sistemas condutivos gerarem tensões elétricas (f.e.m.) e, como
consequência, correntes elétricas em circulação (em circuitos) quando o Fluxo de Campo Magnético
variar no tempo.
 EXEMPLO
Tomemos um circuito de enrolamento condutivo: uma Bobina ou um Solenoide. Façamos um imã
natural alinhar-se ao eixo dessa Bobina. Ao variarmos continuamente a distância do imã ao centro da
bobina, uma corrente elétrica induzida circulará na bobina, enquanto o imã estiver em movimento.
A razão é que o número de linhas de Campo Magnético que atravessam a área da bobina, que é o
Fluxo de Campo Magnético, ao variar no tempo, induz uma diferença de potencial gerada na bobina e,
portanto, uma Corrente Elétrica de Indução, como na figura a seguir:
 
Fonte: Shutterstock.com
 Legenda: Indução de Faraday-Lenz por campos magnéticos de imãs.
A corrente elétrica induzida terá orientação contrária (oposta) à modificação do fluxo de campo
magnético que a provoca, que é a variação temporal do fluxo magnético. Ou seja, se o número de
linhas de campo magnético que atravessam a bobina crescer, o que significa fluxo magnético
crescente, que ocorre quando o imã se aproxima da bobina, a corrente elétrica induzida na bobina será
no sentido contrário a esse crescimento, gerando um campo magnético autoinduzido no sentido
contrário ao crescimento do fluxo do campo na bobina, de acordo com a regra da mão direita (ver
figura a seguir).
Se o número de linhas de campo magnético decrescer, o que significa fluxo magnético decrescente, a
corrente induzida na bobina será no sentido contrário a esse decrescimento, gerando um campo
magnético autoinduzido no sentido contrário a esse decrescimento do fluxo de campo na bobina, de
acordo com a regra da mão direita (ver figura a seguir).
 
Fonte: Shutterstock.com
 Legenda: Corrente induzida e o campo magnético autoinduzido na bobina.
Assim, ao aproximarmos o imã da bobina, a corrente induzida terá uma orientação de forma a gerar um
campo magnético autoinduzido para anular esse crescimento do fluxo magnético.
Da mesma maneira, ao afastarmos o imã da bobina, a corrente induzida terá orientação de forma a
gerar um campo autoinduzido para anular esse decrescimento do fluxo magnético. Aparentemente, a
natureza busca equilibrar o fluxo de campo magnético variável, gerando tensões induzidas (f.e.m.)
(Força eletromotriz) , que formam correntes elétricas, para equilibrar essas variações de fluxo. Esse é
o fenômeno da indução eletromagnética de Faraday-Lenz.
Observando a figura anterior, temos:
BOBINAS À ESQUERDA
Mostram as linhas de campo magnético atravessando sua área e a corrente elétrica induzida com a
orientação oposta à modificação do fluxo de campo magnético que a gera.
BOBINAS À DIREITA
Mostram a corrente elétrica induzida pela modificação do fluxo de campo magnético, de forma a
produzir um campo magnético autoinduzido na mesma bobina que anula a variação do fluxo de campo
magnético pela aproximação ou afastamento do imã.
Certamente, você já percebeu que ao desligarmos um circuito elétrico, de iluminação por exemplo,
uma centelha elétrica surge no interruptor. Esse foi o fenômeno observado por Joseph Henry e que
compõe o fenômeno de Faraday-Lenz.
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Ao desligar o circuito elétrico, provocamos uma grande variação decrescente do fluxo de campo
magnético, e a consequência é o surgimento de uma tensão elétrica induzida (f.e.m.) que gera uma
corrente elétrica no sentido oposto a essa variação decrescente do fluxo, tentando manter a estrutura
de fluxo magnético anterior. Assim, a corrente induzida tentará preservar a corrente elétrica anterior à
interrupção. Como a variação do fluxo de campo magnético foi intensa, indo a zero muito rapidamente,
uma grande f.e.m. é induzida, chegando a romper a rigidez dielétrica do ar no ponto de aberturado
circuito e formando uma descarga em arco, que vemos como uma centelha elétrica. No entanto, essa
intensa f.e.m. induzida no circuito é rapidamente consumida pela resistência elétrica do mesmo
circuito, por efeito Joule, já que o circuito foi desligado de sua fonte de tensão e a f.e.m. induzida deixa
de ter sua causa.
Esse mecanismo, semelhante a uma propriedade inercial eletromagnética, é conhecido como Lei de
Lenz, que abordaremos mais à frente, como uma característica da Lei de Faraday-Lenz.
 ATENÇÃO
O comportamento descrito pela Lei de Lenz nos fenômenos de indução eletromagnética, que
chamamos de inércia eletromagnética, nada tem a ver com o princípio da inércia da mecânica clássica,
que tem origem no princípio de conservação do momentum linear. Esse comportamento de Lenz, de
equilíbrio da estrutura de fluxo de campo magnético, tem origem no fenômeno de Faraday-Lenz,
entendido como Lei Fundamental da Natureza, e no princípio de conservação de energia que o rege.
O fenômeno da indução eletromagnética não é mera curiosidade. Na verdade, é uma lei fundamental
da Natureza e a utilizamos em boa parte de nossa sociedade moderna tecnológica, gerando energia
elétrica, utilizando motores elétricos, em comunicações eletromagnéticas, circuitos eletromagnéticos
etc.
Todos os sistemas elétricos condutivos e circuitos elétricos possuem propriedades indutivas. No
entanto, desenvolvemos componentes elétricos próprios com essa característica acentuada: os
indutores.
INDUTORES
Indutores são componentes elétricos e eletrônicos responsáveis por acentuar o Fenômeno de Faraday.
São acumuladores de Energia Magnética, como Solenoides, Toroides e Bobinas com certo número de
enrolamento, com certa área de seção e comprimento. Todos os circuitos com enrolamentos elétricos
condutivos, como motores elétricos, dínamos ou geradores, possuem grande indutância e são, do
ponto de vista dos circuitos elétricos e eletrônicos, indutores.
 
Fonte: Shutterstock.com
Em Magnetostática, aprendemos a calcular a autoindutância L e a indutância mútua M de indutores
simples submetidos a fluxos de campos magnéticos uniformes, onde as linhas de campo magnético
têm a mesma direção e calculados em regime quase-estático.
Na figura a seguir, um circuito indutivo, com sua autoindutância, induz no circuito vizinho uma
indutância mútua, e, pelo fenômeno de Faraday, uma diferença de potencial elétrica é gerada nesse
segundo circuito: uma f.e.m. ― força eletromotriz; nomenclatura histórica que significa, nesse caso,
tensão elétrica indutiva. Aqui, também chamaremos de f.e.m., fontes de tensão elétrica de origem
química, como em baterias ou pilhas.
 
Fonte: Shutterstock.com
Você certamente já viu um circuito indutivo, como o da figura acima, em uma escova de dentes elétrica
ou um sistema indutivo para carregamento de telefones celulares. Na figura, repare que no circuito da
esquerda, alimentado por uma fonte de tensão alternada, o Solenoide funciona como um Eletroímã
alternado , sendo a fonte do fluxo de campo magnético variável indutor no circuito vizinho. Na verdade,
circuitos como esse são bem mais comuns, sendo encontrados em geradores elétricos,
transformadores de tensão e circuitos oscilantes em geral.
 VOCÊ SABIA
O nome de força eletromotriz ― f.e.m. ― nada tem a ver com a grandeza física força, sendo a origem
desse nome histórica. Designam fontes de tensão elétrica, cujo campo elétrico tem origem em
conversões de energia de outra natureza, como a indução eletromagnética, reações químicas,
decaimentos radioativos, efeito fotoelétrico, efeito piezoelétrico ou efeito termoelétrico. Os campos
elétricos envolvidos que geram as diferenças de potenciais elétricos de uma f.e.m., como
nesses exemplos citados, não são conservativos como os campos eletrostáticos, no sentido que
o trabalho mecânico W em uma trajetória fechada não resulta ser zero.
FORÇA ELETROMOTRIZ (F.E.M.)
DEMONSTRAÇÃO
Quando definimos a diferença de potencial elétrico, ∆V, para uma distribuição discreta ou contínua de
cargas elétricas entre dois pontos espaciais, a e b, estabelecemos que:
∆
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No entanto, também compreendemos que, como os campos eletrostáticos de quaisquer distribuições
de cargas elétricas são conservativos, a diferença de potencial elétrico em uma circulação fechada,
onde a=b, será necessariamente zero. Ou seja, para campos eletrostáticos, temos que:
∆V=-∮E→.DL→=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considere um circuito elétrico simples com uma bateria elétrica, como fonte de f.e.m., e uma lâmpada,
como resistor. Ao fecharmos o interruptor do circuito, uma corrente elétrica, I, circulará por todo o
circuito.
A corrente elétrica, terá orientação convencionada do potencial mais alto ao potencial mais baixo, no
sentido horário na figura a seguir.
Repare que internamente à bateria, essa corrente elétrica seguirá também do potencial mais alto ao
potencial mais baixo, mas no sentido oposto à circulação no restante do circuito. Se, quisermos ser
mais fiéis ao fenômeno da condução elétrica, lembrando que o sentido das correntes elétricas dos
portadores de cargas é, na verdade, oposto à convenção, seguindo dos terminais negativos aos
terminais positivos, ainda assim, a corrente elétrica no circuito terá sentido contrário à circulação
interna na bateria.
 
Fonte: Shutterstock.com
Em circuitos elétricos com uma f.e.m., ε, fornecida por uma bateria elétrica comum como fonte elétrica,
ou por geradores elétricos, por exemplo, onde há (no circuito) circulação fechada de corrente elétrica, I,
os experimentos de Faraday e Henry nos mostraram que podemos definir a f.e.m como:
Ε=∮F→.DL→
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde o campo de força vetorial f→, nessa equação, é a soma de duas contribuições responsáveis pela
condução elétrica e a consequente corrente elétrica num circuito elétrico:
F→=FS→+E→
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E→ é o campo eletrostático usual responsável pela condução elétrica nos filamentos condutores em
um circuito elétrico, e fs→ é o campo de força vetorial de um agente físico responsável pela fonte
geradora da f.e.m., normalmente confinado ao setor de geração elétrica do circuito, uma bateria, por
exemplo, mas pode ser qualquer agente físico capaz de produzir uma f.e.m.
Portanto, podemos redefinir a f.e.m. , ε, ao longo do circuito elétrico fechado como:
Ε=∮F→.DL→=∮FS→.DL→
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pois
F→=FS→+E→ E ∮E→.DL→=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E assim,
Ε=∮FS→.DL→
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao fecharmos o circuito elétrico, o sentido da corrente elétrica nos filamentos e demais partes do
circuito elétrico é oposto ao sentido de condução dos portadores de cargas no interior da bateria, aqui
usada como fonte elétrica, como foi explicado anteriormente.
Assim, desconsiderando a questão de resistências internas naturais dessa bateria para simplificar a
argumentação, o efeito líquido do campo de força vetorial f→ sobre os portadores de cargas internos à
bateria ideal será zero, f→=fs→+E→=0. Ou seja:
FS→+E→=0 ⟹ FS→=-E→
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a diferença de potencial elétrico entre os terminais a e b da bateria será:
∆V=-∫ABE→.DL→=∫ABFS→.DL→= ∮FS→.DL→=Ε 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde a última integral à direita foi generalizada para uma integral fechada, pois fs→=0 fora da bateria.
DESSA MANEIRA, IDENTIFICAMOS QUE A FORÇA
ELETROMOTRIZ Ε, PARA EFEITOS PRÁTICOS EM
CIRCUITOS ELÉTRICOS, TERÁ O MESMO STATUS
DOS POTENCIAIS ELETROSTÁTICOS QUANTO A
SER A CAUSADA CONDUÇÃO ELÉTRICA, APESAR
DE SUA ORIGEM SER TOTALMENTE DIFERENTE.
 
 ATENÇÃO
Mesmo que fs→ seja dimensionalmente igual ao campo eletrostático, uma força por unidade de
carga elétrica, claramente difere do campo eletrostático por não ser conservativo. Ou seja, essa
última integral de linha ao longo de uma trajetória fechada não é zero. Não fosse assim, não haveria
corrente elétrica em qualquer circuito elétrico fechado e alimentado por uma f.e.m.
Repare que estamos falando de um campo vetorial fs→, causa da força eletromotriz, que difere do
campo eletrostático conservativo, e assim não invalida nossas compreensões sobre a definição do
potencial eletrostático V, mas que, no entanto, produz efeitos elétricos.
Esse campo vetorial fs→ não conservativo tem origem em outros fenômenos não elétricos, mas que
conferem efeitos elétricos. Como exemplo, temos reações químicas em baterias, indução
eletromagnética, efeitos fotoelétrico, termoelétrico (em termopares), piezoelétrico etc.
Essencialmente, a f.e.m., ε , tem dimensão de potencial elétrico, apesar de sua origem totalmente
diversa do potencial eletrostático, tanto teórica como fenomenologicamente. Do ponto de vista prático,
a f.e.m., ε , será definida como a integral de um campo de força vetorial fs→por unidade de carga
elétrica. Alguns autores chamam a f.e.m., ε , de trabalho por unidade de carga elétrica. No entanto,
essa interpretação não é totalmente adequada, pois, como veremos, fs→ ;pode ser uma força
magnética, e o trabalho de uma força magnética é sempre zero, como sabemos, por atuar em direção
perpendicular ao deslocamento provocado aos portadores de cargas elétricas.
Falando em termos matemáticos, o potencial eletrostático, V , é uma função escalar, pois o campo
eletrostático satisfaz a lei de Gauss do campo elétrico. O campo eletrostático E→ é divergente,
∇→.E→≠0 como afirma a lei de Gauss. Assim, dos teoremas vetoriais do cálculo diferencial, o
rotacional do campo eletrostático (divergente) será nulo (∇→×E→=0) e, portanto, a integral de linha de
E→ em trajetória fechada será zero, como sabemos. Assim, pudemos definir matematicamente, para
os fenômenos eletrostáticos: E→= -∇→ V.
Portanto, o campo de força fs→ não é conservativo no sentido do campo eletrostático E→ e a
definição da f.e.m., ε, como uma integral de linha fechada.
Ε=∮FS→.DL→
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Não satisfaz a definição e construção matemática do potencial eletrostático, V. Logo, o campo de força
fs→ não tem a mesma origem que o campo eletrostático, apesar de ser dimensionalmente equivalente,
uma força por unidade de carga elétrica.
 DICA
Para efetuar a integral acima, devido ao produto escalar no integrando, tomaremos a componente do
campo de força vetorial fs→ na direção da trajetória de integração na qual se estabelece a f.e.m.
LEI DE FARADAY-LENZ
Até aqui, estudamos a fenomenologia da indução eletromagnética e a força eletromotriz (f.e.m.) . As
aplicações da força eletromotriz (f.e.m.) de movimento, provocada pela força magnética, estão
mais à frente em Mão na Massa 1 e 2. Sugere-se, para melhor compreensão didática que, neste
momento, você pratique esses dois exercícios para, em seguida, retornar a este ponto, a Lei de
Faraday-Lenz.
VAMOS ABORDAR AGORA OS EXPERIMENTOS DE
FARADAY, ANALISAR E APLICAR A LEI DE FARADAY
DA INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA.
 
Em seus experimentos, Michael Faraday nos reportou, em 1831, três classes de fenômenos,
aparentemente distintos. Vamos descrevê-los em termos do mesmo esquema de aparato experimental,
mas fazendo pequenas e importantes modificações:
 
Fonte: EnsineMe.
EXPERIMENTO 1
Um circuito resistivo foi puxado para a direita, na presença de um campo magnético uniforme,
perpendicular e orientado para dentro da tela (região hachurada), o que fez o circuito conduzir uma
corrente elétrica I.
 
Fonte: EnsineMe.
EXPERIMENTO 2
A fonte do campo magnético uniforme, perpendicular, orientado para dentro da tela (região hachurada)
e que age sobre um circuito resistivo, foi puxada para esquerda, relativamente ao circuito que
permanece em repouso, o que fez o circuito conduzir uma corrente elétrica I.
 
Fonte: EnsineMe.
EXPERIMENTO 3
O campo magnético perpendicular, orientado para dentro da tela (região hachurada) e que age sobre
um circuito resistivo, foi alterado, fazendo-o variar em intensidade, mantidas as posições de repouso do
circuito e da fonte do campo magnético, o que o fez conduzir uma corrente elétrica I.
Nas três situações, a corrente elétrica medida experimentalmente foi a mesma. Repare que são três
situações completamente diferentes.
No primeiro experimento, temos uma força eletromotriz de movimento, é fácil entender que a causa da
corrente elétrica em condução no circuito se deve à força magnética que age sobre as cargas elétricas
livres no trecho do circuito que é perpendicular ao campo magnético e à velocidade do circuito. Uma
típica f.e.m. de movimento (Ver Mão na Massa 1 e 2). Nos outros dois trechos, as forças magnéticas no
circuito se opõem e não contribuem à corrente elétrica.
No segundo experimento, contudo, o circuito permanece em repouso e nenhuma força magnética atua
sobre as cargas elétricas livres no circuito. Não se trata de um problema de f.e.m. de movimento.
Então, o que faz gerar uma f.e.m. e uma corrente elétrica em condução no circuito?
A surpreendente resposta de Faraday transformou nossa sociedade e a compreensão dos fenômenos
eletromagnéticos: o campo magnético variável induz um campo elétrico.
Na verdade, para ser mais genérico, a variação temporal do fluxo do campo magnético gera uma
f.e.m.:
Ε=-DΦMDT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O fluxo do campo magnético ϕm já foi definido:
DΦM= B→.N^ DA= B→DA COS Θ 
 
ΦM=∫DΦM=∫B→.N^ DA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde o ângulo θ entre o vetor campo magnético e o vetor normal n^ ao elemento de área dA foi
incorporado com o produto escalar. Repare que usamos a mesma construção de fluxo de campo
elétrico.
 RESUMINDO
Essa postulação de Faraday, puramente fenomenológica, nos permitiu a compreensão do que ocorre
no segundo experimento. Ou seja, ao variar o fluxo do campo magnético, variando a área de atuação
do campo sobre o circuito, uma f.e.m. é gerada no circuito por meio de um campo elétrico induzido. A
origem desse campo elétrico induzido, como já discutido, não é eletrostática. Portanto, esse campo
elétrico não é conservativo, no sentido dos campos eletrostáticos. Sua indução deve-se à variação do
fluxo de campo magnético.
É interessante pensar que entre os experimentos 1 e 2 não há somente uma mudança de movimento
relativo, como seria o caso em um problema da mecânica clássica. Ao alterar relativamente quem se
move, se o circuito ou a fonte do campo magnético, temos fortes implicações fenomenológicas. No
primeiro caso, temos força magnética, enquanto no segundo temos um campo elétrico induzido.
No terceiro experimento, temos um campo magnético variável e, assim, uma f.e.m. gerada por meio de
um campo elétrico induzido, como no segundo experimento.
Aparentemente, como pensou-se à época, tratava-se de uma coincidência. Dois fenômenos
completamente diversos, produzindo os mesmos efeitos. Mas essa “ingênua” coincidência foi o grande
argumento teórico, além da medida experimental da constância de velocidade da luz, que motivou
Albert Einstein, em 1905, a propor a sua Teoria da Relatividade Especial. Por meio dessa teoria,
compreendemos hoje que não havia coincidência, os fenômenos eletromagnéticos são relativísticos.
 SAIBA MAIS
Leia mais sobre a Eletrodinâmica Relativística no livro Eletrodinâmica, de David J. Griffiths.
No primeiro experimento, a f.e.m. tem origem magnética por meio de uma força magnética, mas, nos
dois outros experimentos, tem origem elétrica, induzida de fluxos de campos magnéticos variáveis.Em
ambos os casos, podemos calcular a f.e.m. gerada pela Lei de Faraday-Lenz:
Ε=-DΦMDT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O sinal da equação acima é a Lei de Lenz, cuja única função é nos orientar quanto ao comportamento
inercial eletromagnético, como já discutido. Para toda variação do fluxo de campo magnético, haverá
uma f.e.m. induzida de tal modo a produzir uma corrente elétrica com orientação que gere um fluxo
contrário a essa variação. A natureza quer preservar as estruturas de fluxo de campo magnéticos
cancelando sua variação.
A Lei de Faraday-Lenz é compreendida hoje como lei fundamental da Eletrodinâmica Clássica:
Ε=∮E→. DL→=-DΦMDT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O campo elétrico E→ na Lei de Faraday-Lenz é um campo dinâmico, induzido pela variação temporal
do fluxo magnético. No entanto, se o fluxo magnético for constante, obtém-se o campo eletrostático
conservativo, onde∮E→. d→l=0. Assim, temos dois tipos de campos elétricos na teoria eletrodinâmica
clássica: um campo eletrostático e um campo E→ dinâmico. No entanto, ambos satisfazem e
contribuem à Força de Lorentz,
F→=Q E→+Q V→×B→
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As figuras a seguir exemplificam, novamente, o fenômeno de Faraday-Lenz, da geração de f.e.m. e de
condução de correntes elétricas por indução eletromagnética contrária à variação do fluxo de campo
magnético.
Na figura seguinte, temos o problema clássico da indução de Faraday-Lenz, com corrente elétrica
induzida contrária ao crescimento do fluxo de campo magnético.
 
Fonte: Shutterstock.com
Na figura seguinte, um fenômeno muito interessante: um tubo de cobre é posicionado na vertical e, em
seu interior, deixa-se cair livremente um ímã de grande momento magnético (neodímio) que, ao cair,
faz variar o fluxo de campo magnético no material condutor do tubo. Assim, Correntes Elétricas de
Foucault são induzidas em circulação no tubo, que tentam cancelar a variação do fluxo provocado
pela queda do imã. O resultado é que forças magnéticas opostas agem sobre o imã em queda e ele
tem uma aceleração de queda diminuída.
CORRENTES ELÉTRICAS DE FOUCAULT
São correntes elétricas induzidas internamente aos materiais condutores, como consequência da Lei
de Faraday e geralmente responsáveis por aquecimento desses materiais por efeito Joule. Algumas
aplicações tecnológicas ainda pouco exploradas são os fogões de indução, fornos e forjas de indução,
além de mecanismos de frenagem mecânica eletromagnética e sistemas de reaproveitamento
energético eletromagnéticos em veículos, motores e máquinas.
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Fonte: Shutterstock.com
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE UM GERADOR ELÉTRICO SIMPLES, QUE, ESSENCIALMENTE, É
UM CIRCUITO ELÉTRICO FECHADO, QUE SE MOVE COM VELOCIDADE
CONSTANTE EM MÓDULO PARA A DIREITA, NA PRESENÇA DE UM CAMPO
MAGNÉTICO UNIFORME, B→, QUE APONTA PARA DENTRO DA TELA,
PERPENDICULARMENTE À VELOCIDADE V→. UM RESISTOR ELÉTRICO R FAZ
PARTE DO CIRCUITO. CALCULE A F.E.M., Ε, GERADA NO CIRCUITO POR ESSE
MOVIMENTO NA PRESENÇA DO CAMPO MAGNÉTICO:
A) ε=V→B→x
B) ε=V→B→h
C) ε=RB→h
D) ε=V→B→
E) ε=0
2. NO PROBLEMA CLÁSSICO DO DISCO DE FARADAY, UM DÍNAMO
CONHECIDO COMO GERADOR HOMOPOLAR, CONSIDERE UM DISCO
CONDUTOR DE RAIO A QUE GIRA COM VELOCIDADE ANGULAR Ω EM UM
EIXO FIXO NA PRESENÇA DE UM CAMPO MAGNÉTICO B→ UNIFORME, NA
MESMA DIREÇÃO DO EIXO DO DISCO, NO SENTIDO DE BAIXO PARA CIMA,
COMO NA FIGURA A SEGUIR. UM CIRCUITO COM RESISTOR R FOI COLOCADO
EM CONTATO COM O DISCO E SEU EIXO ATRAVÉS DE ESCOVAS
CONDUTORAS DESLIZANTES, POR ONDE CIRCULARÁ UMA CORRENTE
ELÉTRICA I. CALCULE O VALOR DESSA CORRENTE ELÉTRICA I:
A) I=ωB→ a2R
B) I=ωB→
C) I=ωB→ aR
D) I=ωB→ a22
E) I=ωB→ a22R
3. CONSIDERE UMA ÁREA DO ESPAÇO VAZIO EM FORMA DE DISCO, COMO
NA FIGURA A SEGUIR, ATRAVESSADO POR UM CAMPO MAGNÉTICO
VARIÁVEL B→T, PERPENDICULAR A ESSA ÁREA. CONSIDERANDO UM ANEL
DE RAIO R PERTENCENTE A ESSE DISCO DE ESPAÇO, COMO UMA CURVA DE
AMPÈRE, CALCULE O VETOR CAMPO ELÉTRICO INDUZIDO AO LONGO DESSE
ANEL DE RAIO R.
E→= - dB→(t)dt θ^
E→= - r2 dB→(t)dt
E→= - r2 dB→(t)dt θ^
E→= - r2 B→(t)θ^
E→= - B→t
4. UM GERADOR ALTERNADOR SIMPLES, COMO NA FIGURA A SEGUIR,
COMUMENTE CHAMADO DE GERADOR C.A., É UM DISPOSITIVO CAPAZ DE
GERAR UMA F.E.M., Ε, CONSTITUÍDO DE UMA ÚNICA ESPIRA RETANGULAR,
DE ÁREA A, QUE GIRA COM VELOCIDADE ANGULAR Ω CONSTANTE, EM
TORNO DE UM EIXO DE ROTAÇÃO NA PRESENÇA DE UM CAMPO MAGNÉTICO
B→ UNIFORME E DE MÓDULO CONSTANTE. CONSIDERE QUE, NO INSTANTE
INICIAL T=0, A SUPERFÍCIE DA ESPIRA ESTEJA ALINHADA
PERPENDICULARMENTE AO CAMPO MAGNÉTICO, OU SEJA, EM T=0, O
ÂNGULO DE ROTAÇÃO É Φ=0. NÃO SE PREOCUPE COM O INÍCIO DO
MOVIMENTO DE ROTAÇÃO. CALCULE A F.E.M. INDUZIDA:
A)
ε= B→ Acos ωt
A)
B)
ε=ω B→ Asen ωt
B)
C)
ε=B→ Asen ωt
C)
D)
ε=- ω A dB→dt
D)
E)
ε=ω B→ Acos ωt
E)
5. UM GERADOR COMUTADOR SIMPLES, COMUMENTE CHAMADO DE
GERADOR C.C., COMO NA FIGURA A SEGUIR, É UM DISPOSITIVO CAPAZ DE
GERAR UMA F.E.M., Ε, CONSTITUÍDO DE UMA ESPIRA RETANGULAR, DE
ÁREA A, QUE GIRA COM VELOCIDADE ANGULAR Ω CONSTANTE, EM TORNO
DE UM EIXO DE ROTAÇÃO NA PRESENÇA DE UM CAMPO MAGNÉTICO B→
UNIFORME E DE MÓDULO CONSTANTE. CONSIDERE QUE, NO INSTANTE
INICIAL T=0, A SUPERFÍCIE DA ESPIRA ESTEJA ALINHADA
PERPENDICULARMENTE AO CAMPO MAGNÉTICO, OU SEJA, EM T=0 , O
ÂNGULO DE ROTAÇÃO É Φ=0. NÃO SE PREOCUPE COM O INÍCIO DO
MOVIMENTO DE ROTAÇÃO. CALCULE A F.E.M. INDUZIDA MÉDIA, ΕMÉDIA:
εmédia=ω B→ Asen ωt
εmédia=ω B→ Acos ωt
εmédia= ω B→ Aπ
εmédia=ω B→ A
εmédia=2 ω B→ Aπ
6. UM GERADOR DE HASTE DESLIZANTE É UM DISPOSITIVO GERADOR
ELÉTRICO COM UMA HASTE DE TAMANHO H QUE PODE DESLIZAR
HORIZONTALMENTE, COMO NA FIGURA A SEGUIR. UM CAMPO MAGNÉTICO
UNIFORME E CONSTANTE EM MÓDULO ATUA PERPENDICULARMENTE AO
CIRCUITO GERADOR, COM ORIENTAÇÃO PARA DENTRO DA TELA. CALCULE
A F.E.M. INDUZIDA AO PUXARMOS A HASTE PARA A DIREITA COM
VELOCIDADE V→ CONSTANTE EM MÓDULO:
ε=- B→ hV→
ε=B→ hV→
ε=- R hV→
ε=- B→ hV→R
ε=- B→ h
TEORIA NA PRÁTICA
Vamos revisitar o problema do gerador comutador, comumente chamado de gerador C.C., como na
figura a seguir, um dispositivo capaz de gerar uma f.e.m., ε, constituído de um enrolamento de N
espiras quadradas paralelas e justapostas, de área A, que giram com velocidade angular ω constante,
em torno de um eixo de rotação na presença de um campo magnético B→ uniforme e de módulo
constante. Considere que no instante inicial, t=0, as superfícies das espiras estejam alinhadas
perpendicularmente ao campo magnético, ou seja, em t=0 , o ângulo de rotação é ϕ=0. Não se
preocupe em como o movimento de rotação se iniciou. Entretanto, agora vamos obter a velocidade de
rotação angular das espiras necessária para obter-se uma f.e.m. média de 127 V. Então, considere os
seguintes dados: N=500 espiras, A=(0,10 m) 2, B→=0,20 T. Calcule a velocidade angular de rotação
das espiras para se obter Emédia=127 V.
 
Fonte: Shutterstock.com
RESOLUÇÃO
A variação do fluxo de campo magnético se dará pela rotação da espira. O ângulo entre o campo B→ 
e o vetor normal do plano da espira será uma função do tempo, ϕ(t)=ωt. Diferente do gerador
alternador, a f.e.m. induzida tem valor sempre positivo, portanto, calcularemos seu módulo. Devemos
levar em consideração que temos N espiras. Assim, modificamos ligeiramente a expressão da Lei de
Faraday, introduzindo o fator N:
 
 
ℰ=-NDΦMDT 
 
ΦM= ∫B→. N^ DA= B→ ACOS Φ=B→ ACOS ΩT 
 
E=N Ω B→ A SEN ΩT 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para obter a f.e.m. induzida média precisamos calcular ( sen ωt )média , como o valor médio da
integral da função senoidal no intervalo de meio ciclo de rotação, T/2, quando 0 ≤ ω t ≤ π, ou seja,
quando 0 ≤ t ≤πω , pois a função seno é positiva na primeira metade do ciclo.
( SEN (ΩT) )MÉDIA=1Π/Ω∫0Π/ΩSEN ΩTDT= -
COS Ω ΠΩ+COS (0)Ω ΠΩ=2Π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagemhorizontal
Então, como já obtido antes,
 
Emédia=2 N ω B→ Aπ 
 
Substituindo os dados fornecidos, temos:
 
Ω= Π EMÉDIA2 N B→ A= Π (127 V)2 500)
(0,20 T(0,10 M)2=199,49 RAD/S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
 
Lembrando que 1 V=1Wbs=1 T.m2s. Além disso, 1 Rotação/s = 2 π rad/s, então:
Ω=199,49RADS. ROTAÇÃO2 Π RAD≅31,75 ROT/S 
 
Ω=31,75ROTS . 60SMIN≅1905 ROT/MIN.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA – O GERADOR
COMUTADOR 
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Aplicar a Corrente de Deslocamento de Maxwell, as Equações de Maxwell e as Ondas
Eletromagnéticas
CORRENTE DE DESLOCAMENTO DE
MAXWELL
Em Magnetostática, analisamos e aplicamos a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético à
corrente elétrica não variável, como sua fonte:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde μ0 é a constante magnética do vácuo, chamada de permeabilidade do vácuo, mas certamente
podemos adaptar a equação a qualquer meio material. E a corrente elétrica Ic, é a resultante das
∮  
c
→
B ⋅ d
→
l = μ0Ic
correntes elétricas que atravessam a curva de Ampère C, que serve de suporte da integração acima e
onde detectaremos o campo . Ou seja, a Lei de Ampère se presta à Magnetostática.
No entanto, acabamos de analisar os fenômenos eletrodinâmicos de Faraday, nos quais verificamos
que variações temporais de fluxos de campo magnético induzem campos elétricos.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que as duas equações anteriores possuem integrais de linha ao lado esquerdo semelhantes,
mas ao lado direito são completamente diferentes. Uma se presta aos fenômenos magnetostáticos e a
outra aos fenômenos eletrodinâmicos.
POR QUE A NATUREZA “ESCOLHERIA” ESSE
DESEQUILÍBRIO ENTRE OS FENÔMENOS
ELÉTRICOS E MAGNÉTICOS?
 
Por ora, aprendemos e analisamos que existem campos elétricos estáticos, que satisfazem a Lei de
Coulomb e a Lei de Gauss, e também temos campos elétricos dinâmicos que satisfazem a Lei de
Faraday-Lenz. Ainda aprendemos e analisamos os campos magnetostáticos, que satisfazem a Lei de
Ampère.
Por que não existiriam campos magnéticos dinâmicos induzidos por variações de fluxos de campos
elétricos? Isso sim demonstraria que a natureza eletromagnética é simétrica em relação aos dois
fenômenos, elétricos e magnéticos.
Essas foram as indagações feitas por James C. Maxwell, quando, em 1865, apresentou seus trabalhos
sobre os fenômenos eletromagnéticos. Maxwell apresentou sua resposta puramente teórica, sem
qualquer demonstração empírica, apenas baseado na razão, na Matemática e na hipótese de que a
natureza deve ser simétrica em seus fenômenos, ao menos nos fenômenos eletromagnéticos.
Ainda que sua análise não seja hoje considerada totalmente correta, pois baseou-se na hipótese de
existência de um meio de propagação dos fenômenos eletromagnéticos, à época chamado de Éter ,
sua construção matemática e a análise de suas simetrias e princípios físicos representou um marco
→
B
ε = ∮
→
E .  d
→
l = − dΦm
dt
javascript:void(0)
para as ciências físicas. Após os trabalhos de Maxwell, passamos a nomear a teoria de
Eletromagnetismo de Maxwell e hoje chamamos de Teoria Eletrodinâmica Clássica.
A hipótese do Éter eletromagnético passou a ser desacreditada com a experiência de Michelson e
Morley que, com aparato de interferometria óptica de grande precisão, mediu a constância de
velocidade da luz em todos os referenciais.
ÉTER
A hipótese do éter propunha a existência de um meio (Éter), uma substância ou campo que
preencheria o espaço, considerado necessário como meio de transmissão para a propagação das
interações eletromagnéticas. No entanto, essa hipótese foi sendo abandonada a partir das
experiências da constância da velocidade da luz, de Albert Michelson e Edward Morley (1887), e da
Teoria da relatividade Especial de Einstein (1905), que prescinde da existência do Éter.
ENTÃO, VAMOS À CORREÇÃO DA LEI DE AMPÈRE
POR MAXWELL
 
DEMONSTRAÇÃO
 EXEMPLO
Tomemos um circuito elétrico onde inserimos um capacitor. Se pensarmos no modelo clássico de um
capacitor, como duas placas paralelas separadas por um espaço sem condução elétrica, a questão se
faz. Se há condução elétrica e, portanto, corrente elétrica nas linhas condutoras do circuito, com
campos magnéticos gerados a partir dessas conduções de correntes elétricas, como é possível que
haja continuidade da corrente elétrica no circuito se temos uma região de não condução interna ao
capacitor?
Vamos lembrar que, ao acionarmos um capacitor em um circuito, mesmo que com corrente elétrica
constante, este não se carrega instantaneamente, como já foi discutido. Cargas elétricas começam a
se acumular nas paredes do capacitor e, após um intervalo de tempo finito, ele se apesenta carregado.
Assim, no interior do capacitor, um campo elétrico variável se estabelece, crescendo em intensidade
durante o processo de carga. Da mesma maneira, o campo elétrico varia durante o processo de
descarga.
Então, internamente a um capacitor, mesmo num circuito de corrente contínua, o campo elétrico interno
ao capacitor varia em intensidade, crescendo durante o processo de carga e decrescendo durante o
processo de descarga.
Como a área do capacitor é definida quando de sua construção, o que contribui para sua capacitância,
como já vimos, o fluxo de campo elétrico internamente ao capacitor irá variar com a variação da
intensidade do campo elétrico.
Na figura a seguir, temos um capacitor de placas planas e paralelas, pertencente a um circuito elétrico
com uma corrente elétrica ligada, cargas se acumulando em suas paredes e um campo elétrico
variável (linhas pontilhadas azuis) se estabelecendo.
Se calcularmos o fluxo de campo elétrico interno ao capacitor, por meio da Lei de Gauss, e sua
variação temporal, considerando o meio interno sendo o vácuo, por exemplo, temos:
 
 
ΦE =  
 
∮
c
→
E . n̂ dA =
qint.
ϵ0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O último termo à direita, Ib, dimensionalmente igual à corrente elétrica, foi chamado por Maxwell de
corrente de deslocamento elétrico. Ou seja, uma corrente elétrica equivalente surge na região onde
não há corrente elétrica usual devido à variação do fluxo de campo elétrico, num fenômeno simétrico
ao de Faraday.
Assim, Maxwell, postulou que a Lei de Ampère deveria ser corrigida para incluir este novo termo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou melhor,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E essa equação passou a ser chamada de Lei de Ampère-Maxwell.
Na figura anterior, repare as linhas pontilhadas circulares que representam o campo magnético gerado
pela variação do fluxo de campo elétrico. Veja que agora não há mais inconsistências entre a teoria e a
fenomenologia, o campo magnético detectável nas imediações do capacitor tem causa na corrente de
deslocamento de Maxwell.
Onde os fenômenos são magnetostáticos, vale o primeiro termo, de Ampère, à direita da equação
anterior. Quando os fenômenos são dinâmicos, vale o segundo termo, de Maxwell, à direita da mesma
equação. E assim, há continuidade da corrente elétrica em um circuito com condução elétrica mesmo
com a inserção de capacitores.
Na verdade, as consequências do termo de Maxwell vão muito além disso, como vamos discutir à
frente, com as ondas eletromagnéticas de Maxwell.
Em 1887, as experiências de Heinrich Hertz enfim demonstraram o que Maxwell afirmara 22 anos
antes, as ondas eletromagnéticas eram reais. O termo de Maxwell adicionado à teoria eletromagnética
=    ( )=   =  IddΦEdt
d
dt
qint.
ϵ0
1
ϵ0
dqint.
dt
1
ϵ0
∮  
c
→
B ⋅ d
→
l = μ0Ic + μ0Id
  ∮  
c
→
B ⋅ d
→
l = μ0Ic + μ0ϵ0
dΦE
dt
tinha sua necessidade comprovada experimentalmente.
NESSE MOMENTO, SOMOS LEVADOS ÀS
EQUAÇÕES DEMAXWELL DO
ELETROMAGNETISMO.
 
EQUAÇÕES DE MAXWELL
Do que vimos até agora, podemos elencar as leis fundamentais do eletromagnetismo, com fontes
materiais (carga elétrica e corrente elétrica), numa representação integral em apenas quatro equações
que chamaremos de Equações de Maxwell:
 Escolha uma das Etapas a seguir.
A LEI DE GAUSS DA ELETROSTÁTICA
A LEI DE GAUSS DA MAGNETOSTÁTICA
A LEI DE FARADAY-LENZ
A LEI DE AMPÈRE-MAXWELL
Que somado à Força de Lorentz:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
∮
c
→
E . n̂ dA =
qint.
ϵ0
 
∮
c
→
B . n̂ dA = 0
∮
→
E .  d
→
l = −
dΦm
dt
∮  
c
→
B ⋅ d
→
l = μ0Ic + μ0ϵ0
dΦE
dt
→
F = q 
→
E + q 
→
V ×
→
B
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Traduzem todas as propriedades, os fenômenos e os efeitos da Teoria Eletrodinâmica Clássica no
vácuo, dentro dos limites de escalas e energias da teoria. Certamente, dentro da matéria, devemos
adaptar essas equações, mas sua estrutura e fenômenos principais não vão se alterar.
Temos uma versão em representação diferencial das Equações de Maxwell. Vamos apresentá-la para
não perder a oportunidade, mas sua demonstração por meio de teoremas vetoriais de Gauss e Stokes
não será feita aqui.
Equações de Maxwell em representação diferencial:
 Escolha uma das Etapas a seguir.
A LEI DE GAUSS DA ELETROSTÁTICA
A LEI DE GAUSS DA MAGNETOSTÁTICA
A LEI DE FARADAY-LENZ
A LEI DE AMPÈRE-MAXWELL
Onde é a densidade volumétrica de carga elétrica, e é o vetor densidade de corrente elétrica,
ambos já definidos anteriormente.
 RECOMENDAÇÃO
Pesquise os teoremas do cálculo vetorial de Gauss e Stokes para converter a representação
integral das equações de Maxwell em sua representação diferencial e apreciar a beleza dessa
matemática.
Agora, vamos elencar diversas informações que as equações de Maxwell nos trazem:
Campos eletrostáticos têm origem em cargas eletrostáticas;
Campos eletrostáticos são vetoriais e divergentes;
Campos eletrostáticos satisfazem à lei de Coulomb e à lei de Gauss;
→
∇ ⋅
→
E = ρ1ϵ0
→
∇ ⋅
→
B = 0
→
∇ ×
→
E = − ∂
→
B
∂t
→
∇ ×
→
B = μ0 
→
j + μ0ϵ0
∂
→
E
∂t
ρ
→
j
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Não existem cargas puntuais magnéticas;
Campos magnetostáticos são vetoriais e rotacionais;
Variações de fluxos de campos magnéticos induzem campos elétricos dinâmicos;
Campos magnetostáticos têm origem em correntes elétricas;
Campos magnetostáticos satisfazem à Lei de Biot-Savart e à lei de Ampère;
Variações de fluxos de campos elétricos induzem campos magnéticos dinâmicos;
Variações de campos elétricos e de campos magnéticos estão associados;
Não é possível desassociar campos dinâmicos eletromagnéticos;
Os campos eletromagnéticos propagam à velocidade da Luz.
Essas são algumas poucas conclusões que saltam aos olhos quando vemos essas equações.
Poderíamos ainda citar, por exemplo, que os campos eletromagnéticos transportam energia e
momentum, que todos os fenômenos ópticos estão nelas descritos, que podemos extrair informações
sobre radiação eletromagnética de baixas e altas energias, que elas são a base de toda a Química,
mas tudo isso está além dos objetivos deste conteúdo. Muito mais está contido nessas quatro simples
e belas equações. Diversas áreas científicas e de engenharias nasceram a partir delas, além de
grande parte de nossos avanços científicos e tecnológicos.
ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
Ondas eletromagnéticas são soluções previstas pelas equações de Maxwell. Todas as características
das ondas mecânicas, acrescidas de informação vetorial de polarização, se verificam. Os fenômenos
luminosos e eletromagnéticos em geral são descritos em representação ondulatória. A partir de
Maxwell, essa representação eletromagnética ondulatória deixou de ser uma abordagem conceitual de
tratamento, quando comparada a uma abordagem de partículas, e passou a ser uma consequência
necessária das Equações de Maxwell.
Chamamos a variedade de ondas eletromagnéticas existentes na natureza, que diferem por
comprimento de onda ou frequência, que definiremos a seguir, de espectro eletromagnético.
 Espectro Eletromagnético
Todas as classes de ondas eletromagnéticas são descritas num continuum de frequências ou de
comprimentos de onda que formam esse espectro. Desde o infravermelho profundo até o ultravioleta
profundo, passando pela estreita faixa da Luz visível, a radiofrequência, as micro-ondas, os raios X, os
raios gama, os sinais típicos de TV em UHF e VHF, até a radiação cósmica, todos esses comprimentos
de onda são eletromagnéticos.
Os mais energéticos, como os de alta frequência, são classificados como ionizantes, pois são capazes
de afetar a matéria, em particular os tecidos biológicos. Os de baixa frequência são não ionizantes,
pois não afetam a matéria biológica.
Quanto maior a frequência, menor o comprimento de onda. Quanto menor o comprimento de onda,
maior será a frequência.
E quanto maior a frequência, portanto de menor comprimento de onda, mais energética será a
radiação eletromagnética.
Não faz muito tempo, quando desejávamos nos comunicar entre duas localidades quaisquer, digamos
duas cidades A e B, podíamos fazê-lo, majoritariamente, por carta ou por comunicação telefônica,
incluindo o telegrama e o fax. No primeiro caso, transportávamos partículas (cartas), informação,
matéria e, por conseguinte, energia. No segundo caso, transportávamos somente informação e
energia, mas não transportávamos matéria, como no exemplo anterior.
A segunda alternativa nos é útil para definirmos o conceito de ondas: o transporte de energia entre dois
pontos, sem necessariamente transportar matéria, como no sentido usual e simples do termo.
Nesse sentido, podemos ter diferentes tipos de ondas: ondas sonoras ou de pressão, ondas
eletromagnéticas, ondas de matéria (que vemos no estudo de Mecânica Quântica), ondas mecânicas
ou, ainda, ondas mais complexas de serem descritas e compreendidas, tais como as chamadas ondas
não lineares do tipo solitônicas.
Em geral, em qualquer tratamento ondulatório, temos algumas grandezas físicas que caracterizam uma
descrição ondulatória. Essas grandezas são conhecidas como:
Comprimento de onda
Frequência
Amplitude
Período de oscilação
Número de onda
Frequência angular
Diferença de fase
Velocidade propagação
javascript:void(0)
Esses são, em geral, os ingredientes que constituem qualquer onda.
Exemplo de formação de uma onda mecânica: as Tsunamis.
Sólitons são soluções ondulatória não-lineares ou exóticas, solitárias. Representam, essencialmente,
soluções ondulatórias em pacotes.
 Representação de uma Tsunami
 EXEMPLO
Pense na seguinte situação: quando efetuamos uma batida sobre uma mesa, provocamos uma
vibração mecânica nessa mesa, que é o meio onde essa vibração se propaga, carregando consigo
energia e informação, sem transportar matéria, no sentido usual. Dizemos, então, que uma onda
mecânica foi gerada e propagada.
O número de oscilações, ou vibrações, que temos por unidade de tempo, é o que definimos como a
frequência de vibração da onda.
Na mais simples representação algébrica de uma onda, podemos associá-la com funções senoidais ou
cossenoidais. Uma representação constituída por altos e baixos que chamamos de cristas e vales. A
distância entre duas cristas, ou dois vales, sendo definida como o comprimento de onda . O número
de vezes, por unidade de tempo, em que a oscilação ocorre será a frequência de oscilação da onda.
O valor máximo da oscilação, representa o que chamamos de amplitude A da onda. A amplitude,
portanto, é um valor de pico de uma onda. O tempo necessário para que ocorra uma oscilação
completa, de 0 a 2 radianos, é o que definimos por período de oscilação T da onda.
λ
f
π
Então, as grandezas físicas de uma representação ondulatória são:
 – Amplitude da onda – valor máximo da solução ondulatória; 
 – Frequência – número de oscilações porunidade de tempo, com unidade SI Hertz (Hz) ou ; 
 – Comprimento de onda – comprimento de uma oscilação completa de 0 a 2 radianos, com unidade
SI Metro (m); 
 – Período de oscilação – tempo de uma oscilação completa de 0 a 2 radianos, com unidade SI
Segundos (s).
A velocidade de propagação ondulatória (em módulo), conhecida como velocidade de fase, é definida
por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde a frequência f é o inverso do período de oscilação T,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nos fenômenos eletromagnéticos, a velocidade de propagação é a velocidade da Luz c, uma constante
universal da natureza. Assim, para qualquer onda eletromagnética, temos:
A
f s−1
λ π
T π
V =  λ /T = λ f
f = 1/T
c = λ f
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, costumamos nos referir às diferentes ondas eletromagnéticas por seu comprimento de onda ou
por sua frequência, inversamente relacionados pela constância de velocidade da Luz.
 RELEMBRANDO
Então, novamente: quanto maior a frequência, menor o comprimento de onda. Quanto menor o
comprimento de onda, maior será a frequência. A velocidade da luz é constante universal da natureza,
não importando qual referencial se utiliza para medi-la, ou para qual direção a medimos, mesmo que
em movimentos mecânicos relativos.
Ainda temos duas grandezas derivadas das anteriores e muito utilizadas:
 – Número de onda, com unidade SI (radianos/m)
 – Frequência angular, com unidade SI (radianos/s)
 EXEMPLO
Pense no problema unidimensional de uma corda vibrando como uma senoide. A vibração será
descrita por uma função
ou
Onde é a constante de diferença de fase, chamada de constante de fase, que descreve o ângulo
inicial de partida da função quando e .
Por convenção, o argumento da função ondulatória estará em radianos.
Essa representação de onda escalar unidimensional descreve a evolução do fenômeno da vibração da
corda num plano e, por isso, a chamaremos de onda plana unidimensional.
As ondas se propagam de duas formas distintas, dependendo de sua natureza. Se as vibrações
ondulatórias ocorrem numa direção, digamos a direção , e a propagação se verifica na direção
k
k = 2π/λ
ω
ω = 2π f
y(x, t)= A sen(kx − ωt + δ)
y(x, t)= A sen( x − 2πf t + δ)2π
λ
δ
x = 0 t = 0
x
ortogonal (perpendicular) à vibração da onda, direção , diremos que é uma onda transversal. A onda
vibra em uma direção e a propagação é ortogonal à direção de vibração.
 Onda Transversa Propagante
No outro caso, se a direção de propagação é a mesma em que ocorre a vibração, dizemos que a onda
é longitudinal. Esse é o caso que se verifica quando uma pessoa fala, quando ondas de pressão do ar
são geradas e se propagam na mesma direção de vibração da onda, transportando informação, o que
nós conhecemos como ondas sonoras. Da mesma maneira, caixas acústicas produzem ondas de
pressão de ar longitudinais e som.
 Onda Longitudinal Propagante
As ondas eletromagnéticas são ondas transversais e podem ser representadas como soluções de onda
plana nos casos mais simples. No entanto, apresentarão um ingrediente a mais, a polarização, que
representa seu caráter vetorial.
y
 EXEMPLO
Tomemos duas soluções ondulatórias, no espaço tridimensional, uma elétrica e outra magnética.
Ambas propagam na mesma direção, , chamado de vetor de onda, uma generalização vetorial do
número de onda , com a mesma frequência angular e a mesma diferença de fase , mas com
polarizações ortogonais, para o caso livre de matéria. Não vamos confundir com a direção de um
sistema coordenado . 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Onde e são os vetores unitários de polarização.
Como são soluções ondulatórias transversais, para radiação pura temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Além disso, na ausência de matéria, os campos e são ortogonais,
→
k
k ω δ
→
k z
xyz
→
E (→r ; t)= E0 sen(
→
k .
→
r − ωt +  δ) p̂
→
B (→r ; t)= B0 sen(
→
k .
→
r − ωt +  δ) q̂
p̂ q̂
→
E  e 
→
B  
→
k .
→
E =  
→
k .
→
B = 0
→
E
→
B
 
Se tomarmos a lei de Faraday-Lenz em representação diferencial, e substituirmos as soluções
ondulatórias anteriores, temos:
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
 
 
Mas, como e ,
 
 
 
Assim,
→
E .
→
B = 0
→
∇   ×  
→
E = − ∂
→
B
∂t
→
∇   ×  
→
E (→r ; t)= −
∂
→
B (→r ;t)
∂t
→
∇   ×  [E0 sen(
→
k .
→
r − ωt +  δ) p̂]= − [B0 sen(
→
k .
→
r − ω∂∂t
→
k   ×  
→
E = ω
→
B
→
B = ×  
→
E
→
k
ω
k = 2π/λ ω = 2π f
c = λ f =   =  2π
∣
∣
∣
→
k
∣
∣
∣
ω
2π
ω
∣
∣
∣
→
k
∣
∣
∣
ω =
∣
∣
∣
→
k
∣
∣
∣
C
→
B = ×  
→
E        ⟹       
→
B = k̂  ×  
→
E  
→
k
∣
∣
∣
→
k
∣
∣
∣
c
1
c
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Onde é a direção de propagação. Não vamos confundir com o vetor unitário da direção de um
sistema coordenado . Ou seja, os campos e são ortogonais entre si e são ortogonais à
direção de propagação. Além disso, se tivermos uma onda elétrica, teremos induzida uma onda
magnética e vice-versa, satisfazendo a relação anterior. 
Se tomarmos os módulos desta última equação, encontramos a relação entre as amplitudes dos
campos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Portanto, as amplitudes dos campos e , satisfazem .
Podemos observar as ondas eletromagnéticas, com componente elétrica e magnética, em cada ponto
da direção de propagação, , como planos que se sucedem. Chamamos esses planos sucessivos de
frentes de onda.
k̂ k̂ z
xyz
→
E
→
B
∣
∣
∣
→
B
∣
∣
∣
=  
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
           ⟹               = c       ⟹          = c 1c
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
∣
∣
∣
→
B
∣
∣
∣
E0
B0
→
E
→
B E0 = c B0
k̂
Se tomarmos as soluções de onda plana dos campos e e diferenciarmos duas vezes no espaço
e no tempo, obteremos a Equação da Onda. Vamos simplificar as soluções ondulatórias para um
campo propagando na direção com polarização em , o que satisfaz o que já analisamos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos derivar em e em , duas vezes:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
→
E
→
B
→
E x ĵ
→
E (x; t)= E0 sen(k.x − ωt +  δ) ĵ
x t
= −ω E0 cos(kx − ωt + δ)ĵ
∂
→
E
∂t
⟹        = E0 sen(k
1
ω2
∂2
→
E
∂t2
= ω2E0 sen(kx − ωt + δ) ȷ̂
∂2
→
E
∂t2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao igualarmos as duas equações à direita, temos:
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como já vimos que,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
= −k E0 cos(kx − ωt + δ)ĵ
∂
→
E
∂x
⟹        = E0 sen(k
1
k2
∂2
→
E
∂x2
= k2E0 sen(kx − ωt + δ) ȷ̂
∂2
→
E
∂x2
=1
ω2
∂2
→
E
∂t2
1
k2
∂2
→
E
∂x2
  −      = 0∂
2
→
E
∂x2
k2
ω2
∂2
→
E
∂t2
ω =
∣
∣
∣
→
k
∣
∣
∣
c           ⟹           c =   ω∣
∣
∣
→
k
∣
∣
∣
  −      = 0∂
2
→
E
∂x2
1
c2
∂2
→
E
∂t2
Da mesma maneira, podemos fazer para o campo :
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essas são as equações de onda dos campos e na direção , o que nos mostra que sua
velocidade de propagação é a velocidade da Luz, .
Podemos generalizar as equações de onda para as três dimensões espaciais:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde o Operador diferencial Laplaciano em coordenadas , será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontale
→
B
  −      = 0∂
2
→
B
∂x2
1
c2
∂2
→
B
∂t2
→
E  
→
B x
c
→
∇
2→
E   −      = 01
c2
∂2
→
E
∂t2
→
∇
2→
B   −      = 01
c2
∂2
→
B
∂t2
xyz
∇2
→
E = + +∂
2
→
E
∂x2
∂2
→
E
∂y2
∂2
→
E
∂z2
∇2
→
B = + +∂
2
→
B
∂x2
∂2
→
B
∂y2
∂2
→
B
∂z2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se quisermos demonstrar essas equações de onda diretamente das equações de Maxwell,
encontraremos a importante relação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As ondas eletromagnéticas possuem diversas propriedades, como a Polarização, a Difração, a
Interferência, a Refração e a Reflexão, para citar as principais, como são conhecidas as propriedades
ópticas da radiação eletromagnética como a Luz.
Na verdade, a verificação dessas propriedades em qualquer fenômeno físico é a forma de classificar o
fenômeno como sendo ondulatório. Esse foi o critério usado nos primórdios da Mecânica Quântica,
quando compreendemos que elétrons podem ser descritos como ondas de matéria, pois feixes de
elétrons apresentam algumas dessas propriedades, em um dos princípios mais fundamentais da Física
Quântica, a dualidade Onda-Partícula.
 SAIBA MAIS
Sobre a Energia e o Momentum Linear em Ondas Eletromagnéticas, e sobre Ondas Eletromagnéticas
Estacionárias, em Física III – Sears & Zemansky. 14. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2015. Volume 3.
Sobre as propriedades ópticas da Luz em Física IV – Sears & Zemansky. 14. ed. São Paulo: Addison
Wesley, 2015.
Pesquise também sobre o conceito de Dualidade Onda-Partícula, um dos postulados da Física
Quântica.
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
c = 1
√μ0ϵ0
Um transformador de tensão ideal é um dispositivo com dois subsistemas, um primário e outro
secundário, que são circuitos enrolamentos no entorno de um núcleo de ferro, composto por lâminas
de ferro separadas por material isolante, para se evitar a perda de energia por efeito das correntes de
Foucault.
O enrolamento primário, com espiras é alimentado por uma f.e.m. variável e induz uma f.e.m.
variável no sistema secundário, com espiras. Entre os subsistemas primário e secundário, não
há condução elétrica, apenas compartilham o fluxo de campo magnético de forma ideal. Obtenha uma
relação entre os subsistemas desse transformador, de forma a podermos aumentar ou abaixar a
tensão de saída no secundário.
 Transformadores de tensão
RESOLUÇÃO
Os circuitos primário e secundário, em um transformador ideal, compartilham o fluxo de campo
magnético variável por número de enrolamentos, pois será o mesmo por cada enrolamento no
primário e no secundário. Da Lei de Faraday-Lenz, temos:
Mas, em cada enrolamento do primário e do secundário, , será o mesmo. Assim,
 e 
E, portanto,
Da relação entre o número de enrolamentos no secundário e no primário, o transformador aumentará
ou abaixará a tensão de saída no secundário.
N1 E1
E2 N2
ΦB
E = −N
dΦB
dt
dΦB
dt
E1 = −N1
dΦB
dt
E2 = −N2
dΦB
dt
=                  ⟹                 =  
E1
N1
E2
N2
E2
E1
N2
N1
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
 Analisar os Circuitos RC, LR, LC e LRC.
Neste módulo, muito amplo, vamos analisar os elementos fundamentais e essenciais aos circuitos com
comportamentos não uniformes.
Circuitos não uniformes incluem grande variedade de combinações de componentes possíveis. Então,
vamos dividir em classes representativas de circuitos. Em todos, verificaremos uma variação da
corrente elétrica em intervalos frequentes. Nosso ponto de partida são as regras de Kirchhoff.
Antes, porém, vamos analisar associações de indutores.
ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES
DEMONSTRAÇÃO
Se quisermos associar indutores em série ou em paralelo, como na figura anterior, não devemos nos
esquecer da Lei de Faraday e da definição de autoindutância:
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em geral, nos circuitos com indutores, usamos a convenção de uso de sinais das correntes para o
equacionamento dos circuitos com as regras de Kirchhoff. Ou seja, indutores serão tratados como
consumidores de energia.
ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE
A f.e.m. total será a soma das tensões elétricas induzidas nos N indutores em série da figura. 
 
 
 
Como a corrente elétrica será a mesma, 
 
 
 
Logo, 
 
ASSOCIAÇÃO 
EM PARALELO
A corrente elétrica será a soma das correntes em cada indutor da figura. 
 
 
 
Então, 
 
E = − dΦB
dt
ΦB = L I          ⟹        E = −L
d I
dt
ER =  E1 + E2 + … + EN
Leq =  L1 + L2 + … + LN
d I
dt
d I
dt
d I
dt
d I
dt
Leq = L1 + L2 + …LN = ∑
N
j=1 Lj
IR =  I1 + I2 + … + IN
 
 
 
 
Como as tensões serão as mesmas em paralelo, 
 
Como o objetivo neste módulo é muito prático, vamos desenvolver as classes de circuitos como
exercícios Mão na Massa, mas antes vamos elencá-los sempre em malha única, representando cada
componente como seu equivalente, lembrando que podemos associar seus componentes de muitos
modos, com diferentes objetivos.
CIRCUITO RC
Circuito com resistor e capacitor . Podemos analisá-lo em carga ou em descarga do capacitor. Os
capacitores têm um tempo crítico característico de carga e descarga, supondo uma f.e.m. de tensão
contínua.
CIRCUITO RL
=   + + … +
d IR
dt
d I1
dt
d I2
dt
d IN
dt
=   + + … +ER
LR
E1
L1
E2
L2
ER
LR
=   + + … + = ∑Nj=1  
1
LR
1
L1
1
L2
1
LR
1
Lj
R C
Circuito com resistor e indutor . Podemos analisá-lo com ou sem fonte elétrica. Os indutores têm
um tempo crítico característico para atingir a corrente máxima e mínima, supondo uma f.e.m. de tensão
contínua.
CIRCUITO LC
Circuito com capacitor e indutor . Idealmente de resistência nula. São circuitos oscilantes,
continuamente trocando a energia acumulada no capacitor e no indutor. Usualmente usados para
controle de frequências altas ou baixas, a depender do arranjo.
CIRCUITO RLC
Circuito com capacitor , resistor e indutor . São os clássicos circuitos oscilantes, com as três
propriedades explicitadas. Quando alimentados por fontes alternadas externas, são harmônicos. São a
base da eletrônica analógica. Apresentam-se em diversos arranjos como filtros.
R L
C L
C R L
CIRCUITO RLC
O protótipo RLC de uma única malha é um clássico oscilador eletromagnético com fonte externa
alternada.
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
Vamos analisar um circuito LRC ideal, em série, com fonte harmônica, , onde ω é a
frequência angular da f.e.m.
E = E0 cos (ωt)
RESOLUÇÃO
CIRCUITO RLC COM F.E.M. ALTERNADA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste Tema de Eletrodinâmica, abordamos a fundamentação, a compreensão e a aplicação das leis de
indução eletromagnéticas: a Lei de Faraday-Lenz e a Lei de Ampère-Maxwell. Verificamos que fluxos
de campos elétricos e magnéticos variáveis geram fenômenos físicos. Estudamos quais são esses
fenômenos, como se processam e como são aplicados tecnologicamente. Analisamos as Equações de
Maxwell, os elementos fundamentais das ondas eletromagnéticas e os elementos da estrutura básica
dos circuitos elétricos e eletrônicos modernos.
 PODCAST
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
TIPLER, P. A. Física para cientistas e engenheiros. Volume 2. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física III – Sears & Zemansky. 14. ed. São Paulo: Addison Wesley,
2015. Volume 3.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: eletromagnetismo. 10. ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2018. Volume 3.
GRIFFITHS, David J.; Eletrodinâmica. 3. ed. São Paulo: Pearson, 2019.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física básica: eletromagnetismo. 1. ed. digital. São Paulo: Blucher,
2018.
BARROS, L. M. Física teórica experimental III. 1. ed. Rio de Janeiro: SESES, 2017.
EXPLORE+
Leia sobre as Correntes de Foucault em YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física III – Sears &
Zemansky, 2015.
Leia sobre Radiação Eletromagnética no canal da USP: Astroweb ― Radiação Eletromagnética
(cap. 4) ― Profa. Dra. Elisabbete Maria de Gouveia Dal Pino.Leia sobre Motores Elétricos em TIPLER, P. A. Física Para Cientistas e Engenheiros. 6. ed. Volume
2. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
Leia sobre Supercondutividade e efeito Meissner em: YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. FÍSICA III –
Sears & Zemansky. 14. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2015. Volume 3.
Busque os Simuladores de Indução Eletromagnética do Projeto Phet, da Universidade do Colorado,
Boulder.
Leia sobre a técnica dos diagramas fasoriais na solução dos circuitos elétricos C.A. em HALLIDAY, D.;
RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: eletromagnetismo. 10. ed. v. 13. Rio De
Janeiro: LTC, 2018. Volume 3.
CONTEUDISTA
Gentil Oliveira Pires
 CURRÍCULO LATTES
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