Geometria Vetorial e Transformações Lineares

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Geometria Vetorial e Transformações 
Lineares
Apresentação
Um importante aspecto da álgebra linear está em sua interface com o estudo da geometria das 
transformações lineares. Estas consistem em amplo campo de estudos na Matemática, incluindo 
exemplos como rotações e reflexões. Essa interpretação de objetos geométricos com base em 
transformações lineares se torna muito produtiva por causa da estreita relação que elas têm com 
suas representações matriciais. Tal relação permite que informações das transformações sejam 
obtidas a partir de suas matrizes, e vice-versa.
Para que você possa acompanhar adequadamente esta Unidade, é necessário dominar os conceitos 
de produto e inversão de matrizes.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai estudar a transformação matricial, identificando a 
transformação linear como um caso particular dela. Além disso, verá a relação da transformação 
linear com a inversão de matrizes.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir transformação matricial.•
Identificar a transformação linear como um caso particular de transformação matricial.•
Relacionar a transformação linear com a inversão de matrizes.•
Infográfico
A composição de transformações lineares permite construir transformações complexas a partir de 
outras mais simples e, o melhor, preservando a linearidade destas.
Para a melhor compreensão a respeito desse tema, acesse o Infográfico a seguir.
Conteúdo do livro
Além de fundamentais para o estudo da álgebra linear, as transformações lineares são utilizadas em 
aplicações das mais diversas áreas, por exemplo, computação gráfica, estudo de processos caóticos, 
sistemas de controle em engenharia e filtragem de ruídos em sinais acústicos elétricos.
No capítulo Geometria vetorial e transformações lineares, da obra Álgebra linear, você vai 
aprender as transformações lineares e suas relações com a representação matricial. Além disso, 
entenderá melhor as transformações geométricas no plano e sua estreita relação com as 
transformações lineares e o produto de matrizes.
Boa leitura.
ÁLGEBRA LINEAR
Silvano Antonio Alves Pereira Junior
Geometria vetorial e 
transformações lineares
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir transformações matriciais.
 � Identificar a transformações lineares como casos particulares de trans-
formações matriciais.
 � Relacionar as transformações lineares com inversão de matrizes.
Introdução
Neste capítulo, exploraremos um pouco mais o assunto sobre matrizes. 
Você verá algumas aplicações práticas de matrizes, como no estudo da 
geometria das transformações lineares. Nesta etapa, estaremos seguindo 
uma linha semelhante à apresentada em Nicholson (2006). Seguiremos 
estabelecendo as relações entre transformações lineares e matrizes. 
Finalmente, você será apresentado à conexão entre transformações 
lineares e inversão de matrizes.
Transformações matriciais
Para caminhar na direção do primeiro objetivo, trabalharemos com o plano (R2) 
euclidiano. E para tal fim, não realizaremos distinção entre um ponto e o vetor 
associado ao transporte da origem até esse ponto, conforme Figura 1, a seguir.
Figura 1. O ponto do plano e o vetor associado a ele.
6
4
2
–6 –4 –2 0 2 4 6
v
(x,y)
Como pode ser visto na figura, não há distinção entre o ponto P(x,y) e o 
vetor a ele associado . Nesse contexto, uma transformação matricial 
pode ser definida como o resultado do produto de uma matriz 2x2 pelos vetores 
do plano. Isto é, uma transformação matricial relaciona um vetor do plano à 
sua imagem pelo produto com uma determinada matriz. Dessa forma, serão 
válidas todas as propriedades do produto de matrizes.
Para entender como matrizes se relacionam com transformações geomé-
tricas do plano euclidiano, apresentaremos alguns exemplos.
Considere a matriz R =
1 0
0 –1 . Seja v
→ =
x
y um vetor qualquer do plano euclidiano, 
qual é a imagem do vetor v→ pela transformação R? Tem-se:
Rv→ = = =
1 0
0 –1
x
y
1 × x + 0 × y
0 × x – 1 × y
x
–y
Em palavras, a transformação R reflete o vetor v→ =
x
y em torno do eixo coordenado 
x, conforme Figura 2.
Geometria vetorial e transformações lineares2
v
u
–2
–2
–1
–1
1 2 30
2
1
(x,y)
(x,–y)
Figura 2. Reflexão de vetor em torno do eixo x.
Uma observação interessante sobre essa transformação é que ela é sua própria 
inversa. Isto é, ao aplicarmos a reflexão R duas vezes seguidas, voltamos ao vetor 
original. Tem-se:
RR = 1 0
0 –1
1 0
0 1
1 0
0 –1
=
Esse é um primeiro exemplo de como algumas matrizes se relacionam 
com transformações geométricas. Ali, uma transformação geométrica foi 
induzida por uma matriz.
No próximo exemplo, partiremos de uma transformação geométrica e 
veremos a matriz que induz a mesma transformação.
Considere a transformação geométrica que rotaciona vetores em torno da origem 
(Figura 3) e que leva, por exemplo, o vetor v
→ = 1
0 no vetor u
→ = –1
0
. Essa transformação 
pode ser induzida pela seguinte matriz:
3Geometria vetorial e transformações lineares
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
5 6 7
(–x,–y)
(x,y)
v
u
α = C30º
0
Figura 3. Transformação geométrica rotacionando vetores 180º em torno da origem o x.
De maneira geral, algumas transformações geométricas no plano R2 podem 
ser induzidas, ou representadas, por transformações matriciais. Se T é uma 
transformação geométrica do plano, então, caso exista uma matriz A que 
induza tal transformação, ela deve satisfazer:
para todo v→ no plano R2.
A igualdade acima deve ser válida para v→ no plano R2. Perceba, por exemplo, que a 
rotação de 180º apresentada no exemplo anterior é igual à transformação de reflexão 
em torno do eixo y para os vetores v→ = 1
0
 e u→ = –1
0
, mas não para os demais do 
plano. Com efeito, a matriz que induz a transformação de reflexão em torno do eixo 
y apresenta a seguinte forma:
Ref = –1 0
 0 1
Geometria vetorial e transformações lineares4
Ainda sobre matrizes de rotação no plano, é importante destacar que elas 
apresentam uma forma geral. Dada uma transformação geométrica no plano 
de rotação em torno da origem por um ângulo de θº, a matriz que induz essa 
transformação é dada por: 
Vamos determinar a matriz que induz a rotação de 45º em torno da origem no plano 
euclidiano. Pela forma geral apresentada anteriormente, tem-se: 
Rθ =
cos 45º –sen 45º
sen 45º cos 45º
Lembrando-se de que cos 45º = sin 45º =
√2
2 , obtemos:
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
–
Rθ =
A seguir, você verá um importante resultado apresentado em Nicholson 
(2006), que nos permite determinar as matrizes que induzem reflexões e 
projeções para uma reta que passa pela origem do plano R2.
Teorema: considere a reta y = mx que passa pela origem e tem inclinação m. 
Então, a projeção Pm sobre a reta e a reflexão Qm em torno da reta são ambas 
as transformações matriciais no plano euclidiano. Mais precisamente:
Você poderá encontrar a demonstração desse teorema em Nicholson (2006). 
Veja, a seguir, um exemplo de como podemos utilizar esse resultado.
5Geometria vetorial e transformações lineares
Considere a reta de equação y = 2x. Vamos determinar a reflexão do vetor v→ = 1
–3
 em 
torno dessa reta. Primeiramente, utilizaremos o teorema anteriormente apresentado 
para encontra a matriz Q que induz tal transformação. Como o coeficiente angular 
da reta é m = 2, temos:
Q = ×1
1 + 22
1 – 22 2 × 2
2 × 2 22–1
Q = ×1
5
–3 4
 4 3
Q =
–3
5
4
5
4
5
3
5
Agora, vamos calcular o resultado da ação da matriz Q sobre o vetor v→ = 1
–3
. Obtemos:
Q = = =
–3
5
4
5
4
5
3
5
–3
5
4
5
4
5
3
5
1
–3
–3
–1
× 1 +
× 1 +
× (–3)
× (–3)
Veja, na Figura 4, a representação dessa transformação.
4
2
–2
0–2 2 4 6
–4
–4–6
y = 2x
E
Qv
v
A
D
Figura 4. Reflexão do vetor v
→ = 1
–3 em torno da reta y = 2x.
Cabe destacar que nem toda matrizde ordem 2x2 representa uma transformação 
geométrica do plano.
Geometria vetorial e transformações lineares6
Transformações lineares
Na seção anterior, você aprendeu sobre algumas transformações geométricas 
do plano euclidiano e como elas podem ser representadas por matrizes que 
induzem tais transformações — que eram casos particulares de um conceito 
mais abrangente que ocupa um papel central no estudo da álgebra linear: as 
transformações lineares.
Inicialmente, vamos apresentar a definição de transformação linear, que 
pode ser encontrada em Nicholson (2006) e Anton e Busby (2006).
Definição: seja T: R2 → R2 uma aplicação que a cada vetor v→ do plano associa 
um vetor T v→ também em R2 Diremos que T é uma transformação linear se 
ela satisfizer as seguintes condições.
1. para todo α ∈ R e todo v→ ∈ R2.
2. para todo v→, u→ ∈ R2.
Observe o caso das transformações matriciais estudadas na seção anterior. 
Se T: R2 → R2 for uma transformação matricial, existe uma matriz A, tal que:
para todo v→ no plano R2. Então, podemos verificar que T é, de fato, uma 
transformação linear. Com efeito, dados α ∈ R e v→, u→ ∈ R2, temos:
Segue das propriedades do produto de matrizes que:
Temos, ainda, que:
Novamente, segue das propriedades do produto de matrizes que:
7Geometria vetorial e transformações lineares
Portanto, toda transformação matricial no plano euclidiano é também uma 
transformação linear.
De fato, a relação entre transformações lineares e matrizes é ainda mais 
forte. Temos o seguinte resultado.
Fato: toda transformação linear em R2 tem um representação matricial. 
Veja, a seguir, como encontrar a representação matricial de uma transfor-
mação linear em R2.
Considere a seguinte transformação em R2, T(x,y) = (2x, –y). Primeiramente, vamos 
verificar se T é, de fato, uma transformação linear. Dados α ∈ R e v→, u→ ∈ R2, com v→ = xy 
e u→ =
r
s , tem-se:
T(αv→) = T(αx, αy) = 2(αx, –αy) = α(2x, –y)
Temos, ainda:
T(v→ + u→) = T(x + r, y + s) = (2(x + r), –(y + s)) = (2x + 2r, –y –s) = (2x, –y) + (2r, –s)
Portanto:
T(v→ + u→) = T(v→) + T(u→)
Assim, concluímos que T é uma transformação linear. Agora, vamos determinar a 
forma matricial dessa transformação. Para tal tarefa, precisaremos utilizar o fato de que 
a forma matricial de uma transformação linear T em R2 é dada por:
MT = [T(e1)|E(e2)]
Isto é, MT é uma matriz cujas colunas é a imagem dos vetores canônicos de R
2, e1 =
1
0
 
e e2 =
0
1
, pela transformação T. Neste exemplo, temos:
T(e1) = (2 × 1, –0) = (2, 0) e T(e2) = (2 × 0, –1) = (0, –1)
Dessa maneira:
MT =
2 0
0 –1
Geometria vetorial e transformações lineares8
Existem algumas transformações lineares que merecem destaque. A trans-
formação identidade, por exemplo, é aquela que associa a cada vetor v→ em R2 
a ele mesmo. Isto é:
I2×2(v
→) = v→ para todo v→ ∈ R2
Outra transformação linear que apresenta um papel distinto é a transforma-
ção nula, isto é, aquela que associa todos os vetores do plano ao vetor nulo 0
→
.
Verifiquemos que I2×2 é, de fato, linear. Dados α ∈ R e v
→, u→ ∈ R2 com 
 e , tem-se:
Temos, ainda:
I2×2(v
→ + u→) = I2×2(x + r, y + s) = ((x + r) + (y + s)) = (x + r, y + s) = I2×2(x,y) + I2×2(r,s)
Portanto:
Concluindo que I2×2 é, de fato, uma transformação linear. Conta semelhante 
pode ser realizada para a transformação nula. 
Veja mais um exemplo que relaciona transformações lineares com suas 
representações matriciais.
Seja T uma transformação linear, tal que T(2, 1) = (4, 1) e que T(1, 1) = (2, 1). Qual é a 
forma matricial da transformação T? 
Observe que, neste caso, não temos em mãos a expressão da transformação linear 
para que possamos calcular T(e1) e T(e2). Entretanto, podemos proceder da seguinte 
maneira:
v→ = e2
1
u→ = 1
1
9Geometria vetorial e transformações lineares
Segue das propriedades aritméticas das matrizes e dos vetores que podemos escrever:
e1 = v
→ – u→ e e2 = 2u
→ – v→
Usando a linearidade de T, obtemos:
T(e1) = T(v
→ – u→) = T(v→) – T(u→) = (4,1) – (2,1) = (2,0)
De forma análoga:
T(e2) = T(2u
→ – v→) = T(2u→) – T(v→) = 2T(u→) – T(v→) = 2(2,1) – (4,1) = (4,2) – (4,1) = (0,1)
Finalmente, utilizamos o fato apresentado no exemplo anterior para concluirmos que:
MT =
2 0
0 1
Ainda sobre a forma matricial de transformações lineares, existe uma 
relação de muita importância entre a composição de transformações lineares 
e suas formas matriciais. 
Sejam T e S duas transformações lineares no plano euclidiano com suas 
respectivas formas matriciais dadas por MT e MS. A composição TºS das 
transformações lineares tem, como representação matricial, a matriz dada por 
MTMS. Lembramos aqui que TºS, a composição das transformações, é dada por:
Isto é, primeiramente, aplicamos S e, em seguida, T ao resultado S(v→). 
Veja um exemplo de como podemos utilizar essa informação.
Geometria vetorial e transformações lineares10
Considere as seguintes transformações lineares. T é a transformação de reflexão em 
trono do eixo y, e S é a transformação que realiza uma rotação de 30º em torno da 
origem. Qual é a representação matricial da composição TºS?
O plano é utilizar o resultado apresentado anteriormente, que relaciona composição 
e representação matricial de transformações lineares. Portanto, começamos determi-
nando a representação matricial de cada uma das operações.
Para a transformação T, vimos, na seção anterior, que a representação matricial para 
a reflexão em torno do eixo y é dada por:
MT =
–1 0
 0 1
Para o caso da transformação S, vimos que a forma matricial de uma transformação 
geométrica de rotação de θº em torno da origem é dada por:
Rθ° =
cos θº –sen θº
sen θº cos θº
Nesse caso, temos 30º. Obtemos, portanto:
R30 = =
cos 30º –sen 30º
sen 30º cos 30º
√3
2
1
2
1
2
√3
2
–
Finalmente, para obtermos a representação matricial de TºS, calcularemos o produto 
MTMS. Temos:
√3
2
1
2
1
2
√3
2
–
√3
2
1
2
1
2
√3
2
–
MTMS = = 
–1 0
 0 1
Perceba que, se quiséssemos obter apenas a imagem de um único vetor 
pela composição, poderíamos tê-lo feito da forma direta. 
11Geometria vetorial e transformações lineares
É comum o erro de inverter a ordem do produto das matrizes. Fique atento ao realizar 
esses cálculos e lembre-se de que o produto das matrizes segue a mesma ordem da 
composição das transformações. 
Transformações lineares e inversão de matrizes
Nesta seção, veremos como utilizar a relação entre transformações lineares 
e suas representações matriciais para obter informações de grande utilidade 
no processo de inversão de matrizes. 
Aqui, faremos uma abordagem do assunto semelhante à encontrada em 
Nicholson (2006). 
Assim como para matrizes, existe, também, um conceito de inversa para 
transformações lineares. 
Se T é uma transformação linear no plano euclidiano, diremos que T–1 é 
uma transformação inversa para T, se for válida a seguinte igualdade:
TºT–1 = T–1ºT = I2×2
Em palavras, T–1 é uma transformação inversa para T, se a composição 
desses, seja pela esquerda ou pela direita, resulta no operado identidade.
Na primeira seção, vimos a transformação geométrica que realizava a refle-
xão em torno do eixo x, além de que sua representação matricial era dada por:
Vimos, ainda, que MR era sua própria inversa. Essa matriz MR induz a 
transformação que pode ser representada por R(x,y) = (x,–y). Dada a experiência 
com a forma matricial, seria natural imaginar que R é um bom candidato para 
ser sua própria transformação inversa. Agora, vamos calcular RºR. Temos:
RºR = R(R(x,y)) = R(x,–y) = (x,–(–y)) = (x,y) = I2×2(x,y)
Portanto, R–1 = R.
Geometria vetorial e transformações lineares12
Esse resultado não aconteceu por acaso. Temos o seguinte teorema, que 
também pode ser encontrado em Nicholson (2015).
Teorema: seja T:R2 → R2 uma transformação linear no plano euclidiano com 
representação dada por MT, são equivalentes as seguintes afirmações.
1. T é invertível (isto é, MT é invertível).
2. Existe uma transformação linear S, tal que TºS= SºT = I2×2.
Além disso, a matriz de S é dada por MT
–1.
Aqui, é fundamental destacar a relação entre a transformação e sua forma 
matricial.
T é invertível se, e somente se, MT também for.
Essas relações nos permitem estabelecer um procedimento alternativo para 
encontrar a inversa de algumas matrizes. Veja o exemplo a seguir.
Considere a matriz MT =
cos (60º) –sen (60º)
sen (60º) cos (60º)
, que representa uma rotação de 60º, 
no sentido anti-horário, em torno da origem. Calculando os valores de seno e cosseno, 
MT pode ser escrita como:
MT =
1
2
√3
2
√3
2
1
2
–
Nessa situação, conhecemos bem a transformação geométrica envolvida. Sabemos, 
por exemplo, que a transformação inversa seria uma rotação de –60º no sentido 
horário. Essa transformação teria sua forma matricial dada por:
MT
–1 = cos (–60º) –sen (–60º)
sen (–60º) cos (–60º)
13Geometria vetorial e transformações lineares
Novamente, calculando os valores de seno e cosseno, obtemos:
MT
–1 =
1
2
√3
2
√3
2
1
2–
Essa MT
–1 é nossa candidata à matriz inversa. Vejamos se, de fato, ela é inversa de MT. 
Para tal, basta calcular os produtos MTMT
–1 e MT
–1MT. Temos:
MTMT
–1 = = 
1
2
√3
2
√3
2
1
2–
1
2
√3
2
√3
2
1
2
–
1 0
0 1
De forma semelhante, também obtemos:
MT
–1MT = = 
1
2
√3
2
√3
2
1
2
–
1
2
–√3
2
√3
2
1
2
1 0
0 1
Assim, MT
–1 é, de fato, a inversa da matriz apresentada inicialmente.
O procedimento utilizado no exemplo anterior pode ser sumarizado da 
seguinte maneira.
1. Observar a transformação geométrica induzida pela matriz, caso ela 
exista.
2. Procurar pela transformação inversa.
3. Encontrar a matriz dessa transformação.
Assim como matrizes, transformações lineares também apresentam a noção 
de núcleo, que também se relaciona com o fato de uma transformação linear 
e, por consequência, a matriz que a induz ser ou não invertível.
Vamos denotar que o núcleo por Null(T), de uma transformação linear 
T, é o conjunto de todos os vetores do v→ plano euclidiano, tais que T(v→) = 0.
Geometria vetorial e transformações lineares14
Segue da definição de uma transformação linear que:
 � o vetor nulo 0
→
 sempre pertence ao núcleo de uma transformação linear, 
isto é, ;
 � se v→ ∈ Null(T), então todo múltiplo de v→ também pertencerá.
Essas observações, somadas aos resultados previamente apresentados, nos 
permitem apresentar o seguinte resultado.
Teorema: seja T:R2 → R2 uma transformação linear cuja forma matricial é 
MT, são equivalentes as seguintes informações.
 � det(MT) ≠ 0.
 � Null(T) = {0
→
}.
 � T é invertível.
 � MT é invertível.
Veja, a seguir, um exemplo de aplicação desse resultado.
Considere A uma transformação de rotação de 90º no sentido anti-horário. Qual é o 
núcleo dessa transformação?
Como visto nas seções anteriores, a forma matricial dessa transformação é dada por:
R90 =
cos 90º –sen 90º
sen 45º cos 90º
Calculando os valores de seno e cosseno, obtemos:
R90 =
0 –1
1 0
Não é difícil perceber que o determinante dessa matriz é igual 1 e, portanto, diferente 
de zero. Como consequência do resultado anterior, temos:
Null(T ) = {0
→
}
15Geometria vetorial e transformações lineares
Como um último resultado, apresentamos um teorema que permite identifi-
car rotações e reflexões em torno de retas que passam pela origem a partir dos 
determinantes de suas matrizes. Esse resultado também pode ser encontrado 
em Nicholson (2015). 
Teorema: seja T:R2 → R2 uma transformação linear no plano euclidiano com 
forma matricial dada por MT, temos que:
4. T é uma rotação se, e somente se, det(MT) = 1;
5. T é reflexão se, e somente se, det(MT) = –1.
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. Porto Alegre: Bookman, 2006.
NICHOLSON, W. K. Álgebra linear. 2. ed. Porto Alegre: McGraw-Hill, 2006.
Leitura recomendada
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. L. Álgebra linear. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. (Coleção 
Schaum). 
Geometria vetorial e transformações lineares16
Dica do professor
Ao estudar a relação entre as transformações geométricas e lineares e sua representação 
matricial, obter informação visual sobre o modo de atuação da transformação auxilia muito.
Nesta Dica do Professor, você verá como obter bons insights visuais acerca de uma transformação 
linear.
Acompanhe a seguir.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/8b8a89d97a44e67283e1e1a52368f7de
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Introdução à álgebra linear
Se você deseja aprofundar seus conhecimentos relacionados à álgebra linear, os vídeos do Instituto 
de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) são excelente opção.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
Transformações lineares
Neste vídeo da Khan Academy Brasil, veja o conceito de transformação linear, bem como um 
exemplo de transformação que se encaixa em tal definição e outro que a contraria.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
Álgebra linear contemporânea
O estudo do Capítulo 6 (Transformações lineares) da obra indicada a seguir vai enriquecer seu 
entendimento sobre o conteúdo abordado nesta Unidade de Aprendizagem.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Lista de exercícios
Para aprender transformações lineares, é importante que você treine, fazendo diversas atividades. 
Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões.
https://www.youtube.com/embed/-SU5GH4kBtE
https://www.youtube.com/embed/wEUj7cZtHYo
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
http://publica.sagah.com.br/publicador/objects/attachment/1260945599/SaibaMaislistadeexerccios.pdf?v=692772840