GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - IPEMIG

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GEOMETRIA ANALÍTICA E 
ÁLGEBRA LINEAR 
BELO HORIZONTE / MG 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
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SUMÁRIO 
1 SISTEMA LINEAR ...................................................................................... 6 
1.1 Equação linear ..................................................................................... 6 
1.2 Sistema linear ....................................................................................... 6 
1.2.1 CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS LINEARES ............................... 6 
1.2.2 MATRIZ ASSOCIADA A UM SISTEMA LINEAR ............................ 7 
2 ESPAÇOS VETORIAIS............................................................................... 7 
2.1 Propriedades ...................................................................................... 13 
2.1.1 PROPOSIÇÃO 1 .......................................................................... 13 
3 SUBESPAÇOS VETORIAIS ..................................................................... 14 
3.1 Interseção e Soma de Subespaços .................................................... 16 
3.1.1 PROPOSIÇÃO 2 .......................................................................... 16 
3.1.2 PROPOSIÇÃO 3 .......................................................................... 16 
3.1.3 PROPOSIÇÃO 4 .......................................................................... 17 
3.1.4 PROPOSIÇÃO 5 .......................................................................... 17 
Observação 5: É obvio que ..................................................................... 19 
3.1.5 Proposição 6: ............................................................................... 19 
4 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL ......................................................... 20 
4.1 DEFINIÇÃO 1 ..................................................................................... 20 
4.1.1 Teorema 1 .................................................................................... 21 
4.1.2 Teorema 2 .................................................................................... 22 
4.1.3 Teorema 3 .................................................................................... 23 
4.1.4 Teorema 4 .................................................................................... 23 
4.1.5 Teorema 5 .................................................................................... 24 
4.2 DEFINIÇÃO 2 ..................................................................................... 24 
4.2.1 PROPOSIÇÃO 1 .......................................................................... 25 
4.2.2 Teorema de Baire 1 ...................................................................... 25 
5 TRANSFORMAÇÕES LINEARES ............................................................ 25 
5.1 Introdução .......................................................................................... 25 
5.1.1 DEFINIÇÃO 1 ............................................................................... 26 
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5.1.2 PROPOSIÇÃO 1 .......................................................................... 28 
5.2 O Espaço Vetorial ........................................................ 28 
5.2.1 PROPOSIÇÃO 2 .......................................................................... 29 
5.3 Teorema 1 .......................................................................................... 29 
5.3.2 PROPOSIÇÃO 3 .......................................................................... 32 
5.3.3 PROPOSIÇÃO 4 .......................................................................... 32 
5.3.4 PROPOSIÇÃO 5 .......................................................................... 32 
5.3.5 PROPOSIÇÃO 6 .......................................................................... 33 
5.3.6 PROPOSIÇÃO 7 .......................................................................... 33 
5.3.7 PROPOSIÇÃO 8 .......................................................................... 34 
5.3.8 PROPOSIÇÃO 9 .......................................................................... 34 
5.3.9 PROPOSIÇÃO 10 ........................................................................ 34 
6 MATRIZES ................................................................................................ 35 
6.1 Tipos de matrizes ............................................................................... 36 
6.1.1 MATRIZ COLUNA ........................................................................ 36 
6.1.2 MATRIZ LINHA ............................................................................ 37 
6.1.3 MATRIZ NULA – 0 ....................................................................... 37 
6.1.4 MATRIZ QUADRADA ................................................................... 37 
6.1.5 MATRIZ DIAGONAL..................................................................... 38 
6.1.6 MATRIZ IDENTIDADE - 𝐼 ............................................................. 38 
6.1.7 MATRIZ TRANSPOSTA - 𝐴t , 𝐴′................................................... 38 
6.1.8 MATRIZ SIMÉTRICA.................................................................... 38 
6.1.9 MATRIZ ANTISSIMÉTRICA ......................................................... 39 
6.1.10 MATRIZ TRIANGULAR .............................................................. 39 
6.1.11 SUBMATRIZES .......................................................................... 39 
6.2 Operações com matrizes .................................................................... 40 
6.2.1 SOMA ........................................................................................... 40 
6.2.2 MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR .............................................. 41 
6.2.3 Multiplicação entre matrizes ......................................................... 41 
7 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR ...................................... 43 
8 CONCEITOS PRIMITIVOS ....................................................................... 45 
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8.1 Postulados sobre pontos e retas ........................................................ 47 
8.2 Postulados sobre o plano e o espaço................................................. 48 
9 SEGMENTO DE RETA ............................................................................. 48 
9.1 Postulado de Euclides ou das retas paralelas .................................... 49 
9.1.1 Determinação de um plano .......................................................... 50 
9.2 Perpendicularismo entre reta e plano ................................................. 52 
9.3 Perpendicularismo entre planos ......................................................... 54 
9.3.1 Projeção ortogonal ....................................................................... 54 
9.3.2 Distâncias ..................................................................................... 55 
10 PRODUTO VETORIAL, MISTO E ESCALAR ........................................ 56 
10.1 Produto vetorial ............................................................................... 56 
10.2 Produto misto .................................................................................. 59 
10.3 Produto escalar ............................................................................... 62 
10.4 Propriedades do produto escalar .................................................... 62 
10.5 Ângulo entre dois vetores................................................................ 62 
10.6 Vetores ortogonais .......................................................................... 63 
11 COMBINAÇÕES LINEARES ................................................................. 63 
12 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR ..................................... 65 
12.1 Linearmente Independentes............................................................ 65 
13 BASES EDIMENSÃO ........................................................................... 67 
13.1 Base ................................................................................................ 67 
13.2 Dimensão ........................................................................................ 67 
13.3 Base e Dimensão ............................................................................ 68 
13.4 Processo Prático: Base ................................................................... 68 
13.5 Teorema da Dimensão .................................................................... 69 
14 CÓNICAS .............................................................................................. 69 
14.1 Elipse .............................................................................................. 70 
14.2 Parábola .......................................................................................... 71 
14.3 Hipérbole ......................................................................................... 72 
15 REFERENCIA BIBLIOGRAFIA BÁSICA ................................................ 74 
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16 REFERENCIA BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR ............................... 74 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 SISTEMA LINEAR 
Sistemas lineares é um conjunto de equações lineares, com m 
equações e n incógnitas. A solução de um sistema linear é a solução de 
todas as equações lineares. Existem muitas maneiras de resolver um 
sistema de equações lineares ou sistemas lineares, como quiser chama-
los. 
1.1 Equação linear 
Antes disso, porém, vamos entender o que é uma equação linear 
para depois estudarmos e entendermos sistemas lineares. 
Uma equação linear é qualquer equação da forma: a1x1 + a2x2 + 
a3x3 + … + anxn = b onde a1, a2, a3, …, an são números reais e b 
é um termo independente. Caso b = 0, a equação é chamada de linear 
homogênea. 
1.2 Sistema linear 
Um sistema linear tem a seguinte forma: 
 
Cuja solução pertence aos números reais e o conjunto solução do 
sistema é solução de todas as equações lineares do sistema. 
 
1.2.1 CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS LINEARES 
Os sistemas lineares são classificados de acordo com o número 
de soluções apresentados pelos mesmos. Assim, os sistemas lineares 
podem ser classificados como: 
SPD – Sistema Possível e Determinado – possui uma única 
solução. 
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SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas 
soluções. 
SI – Sistema Impossível – não possui solução. 
 
1.2.2 MATRIZ ASSOCIADA A UM SISTEMA LINEAR 
Podemos associar a um sistema linear algumas matrizes, onde os 
seus coeficientes ocuparão linhas e colunas da matriz. 
Seja o sistema: 
 
Matriz incompleta: formada apenas pelos coeficientes do sistema. 
 
Matriz completa: formada pelos coeficientes do sistema, mas os 
temos independentes. 
 
EQUAÇÃO MATRICIAL DOS SISTEMAS LINEARES 
 
A partir dessa equação matricial pode se resolver o sistema1. 
2 ESPAÇOS VETORIAIS 
Neste capítulo introduziremos o conceito de espaço vetorial que ser 
usado em todo o decorrer do curso. 
Porém, antes de apresentarmos a definição de espaço vetorial, passemos a 
analisar em paralelo dois objetos: o conjunto formado pelas funções f: ℝ → ℝ, 
 
1 Texto extraído de: www.matematicabasica.net.com 
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denotado por Ϝ(ℝ; ℝ) e o conjunto das matrizes quadradas de ordem 𝓃 com 
coeficientes reais que denotaremos por ℳn(ℝ), ou simplesmente, por ℳn. 
A soma de duas funções 𝑓 𝑒 𝑔 de Ϝ(ℝ; ℝ) é definida como sendo a função 𝑓 + 
𝑔 ∈ Ϝ(ℝ; ℝ) dada por (𝑓 + 𝑔) (𝑥) + 𝑔(𝑥). 
Note também que se λ ∈ ℝ podemos multiplicar a função 𝑓 pelo escalar λ, da 
seguinte forma (𝜆𝑓)(𝑥) = 𝜆(𝑓(𝑥)), resultando num elemento de Ϝ(ℝ). 
Com relação a ℳn podemos somar duas matrizes quadradas de ordem 𝓃, 𝐴 
=(𝑎ij)n×n e 𝐵 =(𝑏ij)n×n, colocando 𝐴 + 𝐵 =(𝑎ij + 𝑏ij)n×n, que é um elemento de 
ℳn. 
Com a relação à multiplicação de 𝐴 =(𝑎ij)n×n por um escalar 𝜆 ∈ ℝ, é natural 
e definimos 𝜆𝐴 = (𝜆𝑎ij)n×n , o qual também pertence a ℳn. 
O que estes dois conjuntos acima, com estas estruturas de adição de seus 
elementos e multiplicação de seus elementos por escalares, têm comum? Vejamos: 
 
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Podemos ver que tanto os conjuntos das funções definidas na reta a valores 
reais como o das matrizes quadradas quando munidos de somas e multiplicação por 
escalares adequadas apresentam propriedades algébricas comuns. Na verdade, 
muitos outros conjuntos munidos de operações apropriadas apresentam propriedades 
semelhantes às acima. 
É por isso que ao invés de estudarmos cada um separadamente estudaremos 
um conjunto arbitrário e não vazio, 𝑽; sobre o qual supomos estar definidas uma 
operação de adição, isto é, para cada 𝒖; 𝒗 ∈ 𝑽 existe um único elemento de 𝑽 
associado, chamado a soma entre 𝑢 e 𝑣 e denotado por 𝑢 + 𝑣; e uma multiplicação 
por escalar, isto é, para cada 𝒖 ∈ 𝑽 e 𝝀 ∈ ℝ existe um único elemento de 𝑽 associado, 
chamado de produto de 𝒖 pelo escalar 𝝀 e denotado por 𝝀𝒖: 
Um conjunto 𝑽 como acima munido de uma adição e de uma multiplicação por 
escalar é e um espaço vetorial se para quaisquer 𝒖, 𝒗 𝑒 𝒘 𝑒𝑚 𝑽 e para todo 𝝀, 𝒖 ∈ 
ℝ são validas as seguintes propriedades: 
 
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É comum chamarmos os elementos de um espaço vetorial de vetores, 
independentemente da natureza dos mesmos. Também chamamos de escalares os 
números reais quando estes desempenham o seu papel na ação de multiplicar um 
vetor. O elemento 0 na propriedade ev3 é único, pois qualquer outro 𝟎′ ∈ 𝑽 
satisfazendo a mesma propriedade ev3 então, pelas propriedades ev3 e ev1 teríamos 
𝟎′ = 𝟎 + 𝟎′ = 𝟎′ + 𝟎 = 𝟎, isto é, 𝟎 = 𝟎′. 
Em um espaço vetorial, pela propriedade ev4, para cada 𝒖 ∈ 𝑽 existe 𝒗 ∈ 𝑽 tal 
que 𝒖 + 𝒗 = 𝟎. Na verdade, para cada 𝒖 ∈ 𝑽 existe somente um elemento 𝒗 ∈ 𝑽 com 
essa propriedade. De fato, dado 𝒖 ∈ 𝑽 se 𝒗 𝒆 𝒗′ em 𝑽 são tais que 𝒖 + 𝒗 = 𝟎 e 𝑢 + 𝑣′ 
= 0 então, combinando estas equações com as propriedades ev1,ev2 e ev3, obtemos 
𝒗 = 𝒗 + 𝟎 = 𝒗 + (𝒖 + 𝒗′) = (𝒗 + 𝒖) + 𝒗′ = (𝒖 + 𝒗) + 𝒗′ = 𝒗′ , isto é 𝒗 = 𝒗′. Denotaremos 
𝒗 por −𝒖 e 𝒖 − 𝒗 por 𝒖 + (−𝒗). 
As quatro primeiras propriedades referem-se apenas à operação de adição e 
são conhecidas, respectivamente, por propriedade comutativa, propriedade 
associatividade, existência do elemento neutro e existência do elemento inverso. A 
quinta e a oitava propriedades são exclusivas da multiplicação por escalar e também 
podem ser chamadas de associatividade e elemento neutro da multiplicação, 
respectivamente. A sexta e a sétima propriedades relacionam as duas operações e 
são ambas conhecidas por distributividade. 
A rigor, a definição de espaço vetorial que demos acima se refere a espaços 
vetoriais reais visto que estamos permitindo que os escalares sejam apenas números 
 
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reais. A noção de espaço vetorial complexo pode ser feita naturalmente a partir da 
definição acima com as devidas mudanças. Mais precisamente, pedimos que seja 
satisfeitas as propriedades ev1 a ev4 e ev8 enquanto que as propriedades ev5 a ev7 
devem valer para todo λ, µ ∈ ℂ. No entanto, embora importante, não usaremos o 
conceito de espaço vetorial complexo. 
Talvez o exemplo mais simples de espaço vetorial seja o conjunto dos números 
reais com a adição e multiplicação usuais. Mais geralmente, para cada 𝒏 ∈ ℕ, 
podemos transformar o conjunto das 𝑛-uplas ordenadas de números reais, ℝn , em 
um espaço vetorial definindo a adição de duas 𝑛 -uplas ordenadas,𝒙 = (𝒙1,...,𝒙n) e 𝒚 = (𝒚1, … , 𝒚n), adicionando-se coordenada a coordenada, 
isto é, 
 𝒙 + 𝒚 = (𝒙1 +𝒚1,...,𝒙n + 𝒚n) e produto de uma 𝒏-upla 𝒙 = 
(𝒙1 ,..., 𝒙n) por um escalar 𝝀 ∈ ℝ por 
 𝝀𝒙 = (𝝀𝒙1,..., 𝝀𝒙n ). 
E uma rotina bem simples verificar que desse modo ℝn é um espaço vetorial. 
Deixamos como exercício esta tarefa. 
Verifique também que os seguintes exemplos são espaços vetoriais. 
1° Exemplo: Sejam 𝒏 ∈ ℕ 𝐞 𝐕 = 𝓟n(ℝ) o conjunto formado pelo polinômio nulo 
e por todos os polinômios de grau menor ou igual a 𝒏 com coeficientes reais. 
Definimos a adição e a multiplicação por escalar da seguinte maneira: 
 
 
2° Exemplo: Sejam 𝑨⊂ ℝ e 𝔉(𝑨; ℝ) o conjunto de todas as funções 𝒇: 𝑨 → ℝ . 
Se 𝒇, 𝒈 ∈ 𝕱(𝑨;ℝ) e 𝝀 ∈ ℝ defina 𝒇 + 𝒈: 𝑨 → ℝ por (𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 
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𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) e (𝝀𝒇)(𝒙) = 𝝀𝒇(𝒙), 𝒙 ∈ 𝑨. Então, 𝕱(𝑨;ℝ) com esta adição e produto 
por escalar é um espaço vetorial. 
3° Exemplo: O conjunto das funções contínuas definidas num intervalo 𝐈 ⊂ ℝ 
munido das operações de adição e multiplicação usuais (como aquelas definidas em 
𝕱(𝑰;ℝ)). Notação: 𝐂(𝑰;ℝ). 
4° Exemplo: O conjunto das funções com derivadas contínuas até ordem 𝐊 ∈ 
ℕ, (𝐊 é fixo) definidas num intervalo aberto 𝐈 ⊂ ℝ munido das operações de adição 
e multiplicação usuais (como aquelas definidas em 𝕱(𝑰;ℝ)). Notação: CK(𝑰; ℝ). 
5° Exemplo: O conjunto das funções com todas as derivadas contínuas 
definidas num intervalo aberto 𝐈 ⊂ ℝ munido das operações de adição e 
multiplicação usuais (como aquelas definidas em 𝕱(𝑰;ℝ)). Notação: C ∞ (𝑰; ℝ). 
6° Exemplo: O conjunto das matrizes 𝑚 por 𝑛com coeficientes reais: 𝑴m×n(ℝ) 
munido de operações análogas àquelas definidas em 𝑴n(ℝ). 
Os espaços vetoriais acima envolvem operações com as quais você já deve 
estar familiarizado. O próximo exemplo é um pouco mais sofisticado do que os 
anteriores e por isso mostraremos as oito propriedades. Como conjunto tomaremos 𝑽 
= 𝟎 ∞ , o semieixo positivo da reta real. Este conjunto quando munido às operações 
usuais de soma e multiplicação não é um espaço vetorial, visto que não possui 
elemento neutro para a adição. No entanto, se para 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑽 𝐞 𝝀 ∈ ℝ, definirmos a 
soma entre 𝒙 e 𝒚 por 𝒙 ⊞ 𝒚 = 𝒙𝒚, (o produto usual entre 𝒙 e 𝒚) e o produto de 𝒙 
pelo escalar λ como λ𝒙 = 𝒙𝛌, então 𝑽 se torna um espaço vetorial. De fato, 
verifiquemos uma a uma as oito propriedades. 
 
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2 
2.1 Propriedades 
Das oito propriedades que definem um espaço vetorial podemos concluir várias 
outras. Listaremos algumas destas propriedades na seguinte 
 
2.1.1 PROPOSIÇÃO 1 
Seja um espaço vetorial. Temos 
 
 
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Prova: 
 
 
 
3 SUBESPAÇOS VETORIAIS 
Muitas vezes nos depararemos com certos subconjuntos de um espaço vetorial 
que possuem a propriedade de que a soma de dois de seus elementos é um elemento 
do próprio subconjunto bem como quando multiplicamos um elemento do subconjunto 
por um escalar, o resultado continua pertencendo ao subconjunto. 
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Seja 𝑉 um espaço vetorial. Dizemos que 𝑊 ⊂ 𝑉 é um subespaço vetorial de 𝑉 
se forem satisfeitas as seguintes condições: 
 
 
Observação 1: Note que todo subespaço vetorial 𝑊 de um espaço vetorial 𝑉 
é ele próprio um espaço vetorial. As propriedades comutativa, associativa, 
distributivas e ev8 são herdadas do próprio espaço vetorial 𝑉 . O elemento neutro da 
adição é um elemento de 𝑊 por sv1. Finalmente, se 𝑢 ∈ 𝑊 então −𝑢 = (−1)𝑢 ∈ 𝑊 
pelo item 4 da proposição 1 e por sv3. 
Observação 2: Obviamente {0} e 𝑉 são subespaços vetoriais do espaço 
vetorial V. São chamados de subespaços vetoriais triviais. 
Observação 3: Note que 𝑊 é subespaço vetorial de 𝑉 se e somente se são 
válidas as seguintes condições: 
 
Vejamos um exemplo: 
Exemplo 1: 
 
Exemplo 2: 
 
 
 
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3.1 Interseção e Soma de Subespaços 
3.1.1 PROPOSIÇÃO 2 
(Interseção de subespaços) Sejam 𝑈 e 𝑊 subespa- cos vetoriais de 𝑉. Então 
𝑈 ∩ 𝑊 é subespaço vetorial de 𝑉. 
Prova: 
 
Questão: Com a notação da proposição acima, podemos armar que 
𝑈 ∪ 𝑊 é subespaço vetorial de 𝑉? 
Resposta: Não. Basta considerar 𝑉 = ℝ2, 𝑈 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ;𝑥 + 𝑦 
= 0} e 𝑊 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ; 𝑥 − 𝑦 = 0}. Note que (1, −1) ∈ 𝑈 ⊂ 𝑈 ∪ 𝑊 
e (1, 1) ∈ 𝑊 ⊂ 𝑈 ∪ 𝑊 mas (1, −1) + (1, 1) = (2, 0) ∉ 𝑈 ∪ 𝑊 . 
Se 𝑈 e 𝑊 são subespaços vetoriais de um espaço vetorial 𝑉 e 𝑉′ é 
um subespaço de 𝑉 que contenha 𝑈 e 𝑊 , isto é, 𝑈 ∪ 𝑊 ⊂ 𝑉′ então 𝑉′ 
terá que conter todos os vetores da forma 𝑢 + 𝑤, 𝑢 ∈ 𝑈 e 𝑤 ∈ 𝑊. Isto 
motiva a seguinte Definição: Sejam e subespaços vetoriais de um 
espaço vetorial . 
Definimos a soma de e como 
. 
 
3.1.2 PROPOSIÇÃO 3 
(Soma de subespaços) sejam , e como na definição acima. Então + 
 é um subespaço vetorial de . Além do mais, . 
Prova: 
Verifiquemos que é subespaço vetorial de . 
 
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Ainda usando a notação acima, suponha que seja um subespaço de que 
contenha e . Neste caso, para todo e todo temos 
 , ou seja, + . 
Esta observação nos permite registrar a seguinte 
3.1.3 PROPOSIÇÃO 4 
Sejam um espaço vetorial e e subespaços vetoriais de . Então + 
é o menor subespaço vetorial de que contém . Em outras palavras, se 
 é um subespaço vetorial de que contém então 
. 
Definição: Sejam e subespaços vetoriais de um espaço vetorial . 
Dizemos que é a soma direta de e se . Neste caso 
usaremos a notação para representar . 
Observação 4: Note que trivialmente se e são 
subespaços vetoriais. 
3.1.4 PROPOSIÇÃO 5 
 (Soma direta de subespaços vetoriais) Sejam 𝑈 e 𝑊 subespaços vetoriais de 
um espaço vetorial 𝑉. Temos 𝑉 = 𝑈 ⨁ 𝑊 se e somente se para cada 𝑣 ∈ 𝑉 existirem 
um único 𝑢 ∈ 𝑈 e um único 𝑤 ∈ 𝑊 satisfazendo 𝑣 = 𝑢 + 𝑤. 
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Exemplo 1: Verifique que ℝ3 é a soma direta de 𝑈 = {𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3;𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 
0} e 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3; 𝑥 = 𝑦 = 0}. 
 
Resta agora mostra que 𝑈 ∩ 𝑊 = {0}. Seja (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑈 ∩ 𝑊. Temos 
 {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 = 0
𝑦 = 0
 ≼===≫ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,0,0). 
 
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Definição: Sejam 𝑼1, . . . ,𝑼n subespaços vetoriais de um espaço vetorial 
𝑽. 𝑨 soma de 𝑼1 a 𝑼n é definida por 
 
Definição: Sejam 𝑼1, . . . , 𝑼n subespaços vetoriais de um espaço vetorial 𝑽. 
Dizemos que a soma de 𝑼1 a 𝑼n é uma soma direta se 
 
em que o termo deve ser omitido da soma. Neste caso usaremos a notação 
1 n para denotar a soma de 1 a n. 
 
Observação 5: É obvio que 
 
se 1, . . . , n são subespaços vetoriais. 
 
3.1.5 Proposição 6: 
 Sejam 1, . . . , n subespaços vetoriais de um espaço vetorial 
. Então 1 · · · n se e somente se para cada existe, para 
cada 
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 , um único j tal que 1+· · ·+ n. 
Prova: A prova é análoga à da proposição 5. 
Exemplo 2: Mostre que 2 é soma direta dos seguintes subespaços 
vetoriais 
1 = { 0; 0 }, 2 = { 1 ; 1 } e 3 = { 2 2 ; 2 }. 
 
 
4 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL 
Estamos interessados em encontrar, dentro de um espaço vetorial 𝑽 , um 
subconjunto 𝐁 ⊂ 𝑽 , tal que qualquer vetor de 𝑽 seja uma combinação linear de 
elementos de 𝐁. Em outras palavras, queremos determinar um conjunto de vetores 
que gere 𝑽 e tal que todos elementos sejam realmente necessários para gerar 𝐕. Se 
pudermosencontrar tais vetores, teremos os alicerces de nosso espaço, com estes 
vetores fazendo o papel de 𝒊, 𝒋, 𝒌 na Geometria Analítica no Espaço. Denominares um 
conjunto de vetores desse tipo de base, mais precisamente: 
4.1 DEFINIÇÃO 1 
Seja 𝐕 um espaço vetorial sobre um corpo 𝕂. Dizemos que um subconjunto 𝐁 
de 𝐕 é uma base de 𝐕 se (𝑖)ℬ for um conjunto gerador de 𝑉 ; e (𝑖𝑖)ℬ for linearmente 
independente. 
 
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Fonte: istockphoto.com 
 
 
 
 
 
 
4.1.1 Teorema 1 
Seja {0} 6= 𝑉 um espaço vetorial sobre 𝕂. Então 𝑉 possui pelo menos uma 
base. 
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então β = 0, caso contrário teríamos 
 
contradizendo o fato de 𝑤 ∉ [𝐵] . Portanto igualdade a torna-se 
 
Consequentemente pois 𝐵 é I. 𝑖. E como consequência 
temos que 
, mas isto é um absurdo, visto que este fato contradiz a 
maximalidade 𝐵. 
Assim [𝐵] = 𝑉. 
 O teorema abaixo apresenta duas caracterizações de base. 
4.1.2 Teorema 2 
Sejam 𝑉 um espaço vetorial sobre 𝕂 e ℬ um subconjunto de 𝑉 . As seguintes 
afirmações são equivalentes: 
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4.1.3 Teorema 3 
Seja 𝑉 um espaço vetorial sobre 𝕂. 
 
Demonstração. Para provar (𝑖), aplicamos o Lema de Zorn a família de 
conjuntos 
 
munida da ordem parcial de inclusão. Concluímos que 𝐹 tem um elemento 
maximal 𝐵 . Se existir algum elemento 𝑢 ∈ 𝑇[𝐵], então 𝐵 ∪ {𝑢} é l.i. contradizendo a 
maximalidade de 𝐵 . Logo, 𝑇 ⊂ [𝐵] e, consequentemente, [𝑇] ⊂ [𝐵]. Segue que 𝑉 
= [𝐵], e, portanto, [𝐵] é base de 𝑉. Partes (𝑖𝑖) e (𝑖𝑖𝑖) seguem de (𝑖). 
4.1.4 Teorema 4 
Sejam 𝑉 um espaço vetorial sobre 𝕂 e 𝐵 e 𝐶 bases de 𝑉. Então, cada 
elemento de 𝐵 pode ser substituído por algum elemento de 𝐶 de modo que o conjunto 
resultante ainda é uma base de 𝑉. 
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completando a prova. 
No teorema a seguir, utilizamos a noção de cardinalidade. Lembremos que dois 
conjuntos 𝐴 e 𝐵 tem a mesma cardinalidade quando existe uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 
bijetora. 
4.1.5 Teorema 5 
Sejam 𝑉 um espaço vetorial sobre 𝕂 e 𝐵, 𝐶 bases de 𝑉. Então 𝐵 e 𝐶 tem a 
mesma cardinalidade. O teorema 5 consolida a seguinte definição. 
4.2 DEFINIÇÃO 2 
Seja 𝑉 um espaço vetorial sobre 𝕂. A dimensão de 𝑉 sobre 𝕂, denotada por 
dim 𝕂 𝑉 ou simplesmente por dim 𝑉, é a cardinalidade de qualquer base de 𝑉 sobre 𝕂. 
Começamos nossa discussão sobre espaços vetoriais indagando sobre a 
existência de um certo tipo de subconjunto 𝐵 de 𝑉 , que tivesse as seguintes 
propriedades; 𝐵 linearmente independente e [𝐵] = 𝑉. Para este tipo de subconjunto 
de 𝑉 demos o nome de base algébrica. 
Agora estamos interessados em saber algo sobre a cardinalidade do conjunto 
𝐵, mas particularmente quando 𝑑𝑖𝑚𝕂𝑉 = ∞, gostaríamos de saber se 𝐵 é 
enumerável. O próximo resultado nos fornece um método que nos permite decidir se 
alguns espaços vetoriais têm base enumerável. Mais precisamente: 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
25 
 
4.2.1 PROPOSIÇÃO 1 
 
A proposição 1 é consequência do: 
4.2.2 Teorema de Baire 1 
Seja ( 𝑀, 𝑑 ) um espaço métrico completo e (Fn)n∈N uma sequência de 
subconjuntos fechados de 
 
5 TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
5.1 Introdução 
Até agora foi estudado os espaços vetoriais e seus subespaços, introduzimos 
os conceitos como dependência e independência linear e, a partir disto, pudemos 
descrevê-los de maneira mais simples usando para isto geradores e, mais 
especificamente, bases. De certa forma já temos em mãos tudo o que precisamos 
para trabalhar com espaços vetoriais. 
 
Fonte: ifs.edu.br 
É necessário estar familiarizado com o conceito de funções, principalmente 
com aquelas que estão definidas em um subconjunto da reta e tomam seus valores 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
26 
 
também no conjunto dos números reais. Nosso próximo passo é estudar funções que 
têm como domínio um espaço vetorial e que tomam seus valores em um outro espaço 
vetorial. Note que os valores tomados são, na verdade, vetores. No entanto, deve-se 
restringir a apenas alguns tipos especiais dentre estas funções. 
Pois o maior interesse é em funções que preservem as operações existentes 
no espaço vetorial que atua como o seu domínio e aquelas do espaço vetorial que age 
como contradomínio. Por exemplo, por preservar a adição de vetores entendemos que 
ao tomar dois vetores no domínio da função o valor que esta deve ter para a soma 
destes dois vetores é a soma dos valores que ela possui para cada um dos vetores. 
De maneira semelhante a função deve preservar o produto por escalar. Funções com 
estas propriedades são chamadas de transformações lineares. Mais precisamente, 
temos. 
5.1.1 DEFINIÇÃO 1 
Sejam 𝑈 e 𝑉 espaços vetoriais. Dizemos que uma função 𝑇 ∶ 𝑈 → 𝑉 é uma 
transformação linear se forem verificadas as seguintes condições: 
 
Observação 1 : Note que 𝑇 ∶ 𝑈 → 𝑉 é uma transformação linear se e somente 
se 𝑇(𝜆𝑢 + 𝜇𝑣) = 𝜆𝑇(𝑢) + 𝜇𝑇(𝑣), para todo 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑈, 𝜆, 𝜇 ∈ ℝ. 
 
Observação 2: Note que pela propriedade 2 temos 
 
Ou seja, toda transformação linear de 𝑈 em 𝑉 leva o elemento neutro de 𝑈 no 
elemento neutro de 𝑉. A seguir listamos alguns exemplos de transformações lineares 
definidas em vários espaços vetoriais que já tratamos no decorrer do curso. 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
27 
 
 
Os exemplos abaixo são de funções entre espaços vetoriais que não são 
transformações lineares. 
 
para toda função 𝑓 ∈ 𝐶([0, 1]; ℝ). 
Se 𝑇 fosse linear deveria ter por 2, 𝑇(−𝑓) = −𝑇(𝑓) para toda função 𝑓 ∈ 
𝐶([0, 1]; ℝ). Para ver que isto não ocorre, basta tomar f como sendo a função 
constante igual a 1. Temos neste caso que 𝑇(−1) = 1 = 𝑇(1). 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
28 
 
5.1.2 PROPOSIÇÃO 1 
Seja 𝑈 um espaço vetorial com base 𝑢1, . . . , 𝑢n. Toda transformação linear 𝑇 
∶ 𝑈 → 𝑉 fica determinada por 𝑇(𝑢1), . . . , 𝑇(𝑢n), ou seja, conhecidos estes vetores, 
conhece-se 𝑇(𝑢) para qualquer 𝑢 ∈ 𝑈. 
Prova: Já que 𝑢1, . . . , 𝑢n formam uma base de 𝑈, dado 𝑢 ∈ 𝑈 existem α1, . . 
. , 𝛼1 ∈ ℝ tais que 𝑢 = 𝛼1𝑢1 + · · · + 𝛼n𝑢n. Deste modo, 
 
Verifica-se facilmente que a transformação 𝑇 definida como acima é linear e 
satisfaz as condições pedidas. 
5.2 O Espaço Vetorial 
Sejam 𝑈 e 𝑉 espaços vetoriais. O conjunto de todas as 
transformações lineares 𝑇 ∶ 𝑈 → 𝑉 é denotad o por (𝑈, 𝑉). Quando 𝑈 
= 𝑉 usamos a notação (𝑈) ≐ (𝑈, 𝑈). 
 
É um simples exercício de verificação o fato de definidas acima ser um espaço 
vetorial. Note que o elemento neutro da adição é a transformação nula, isto é, 
 definida por . 
 
 ( 𝑈 , 𝑉 ) com as operações 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
29 
 
Registraremos isto na seguinte 
 
5.2.1 PROPOSIÇÃO 2 
 com as operações acima é um espaço vetorial. 
5.2.1.1 DEFINIÇÃO 1 
 Se é um espaço vetorial, definimos o espaço dual de como sendo 
 , isto é, é formado pelas transformações lineares . 
Estas transformações lineares também são chamadas de funcionais lineares definidos 
em . 
5.3 Teorema 1 
Se é um espaço vetorial de dimensão e é um espaço vetorial de 
dimensão então tem dimensão . 
Prova: Fixemos duas bases, uma formada por vetores 1, . . . , n de e outra 
formada por 1, . . . , m, vetores de . 
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
30 
 
e como 𝑣1, . . . , 𝑣m são linearmente independentes, segue-se que 𝛼k1 = · · · =𝛼km = 0. Portanto 𝑇11, . . . , 𝑇nm são linearmente independentes. 
Seja 𝑇 ∈ (𝑈, 𝑉) . Se 𝑢 ∈ 𝑈 então 𝑢 = 𝑥1 𝑥1 + · · · + 𝑥n 𝑢n, para certos 
números reais 𝑥1, . . . , 𝑥n. Como 𝑇 é linear 
 
 
COROLÁRIO: 
Se 𝑉 é um espaço de dimensão 𝑛 então o seu dual também tem dimensão 𝑛. 
Pelo corolário, se 𝑈 tem dimensão 𝑛 então o seu dual, 𝑈′ , tem a mesma dimensão. 
Seguindo os passos da demonstração do teorema 1, se 𝑢1, . . . , 𝑢n formam uma base 
𝐵 de 𝑈 então os funcionais lineares 𝑓1, . . . , 𝑓n : 𝑈 → ℝ dados por 𝑓j(𝑢) = 𝑓j(𝑥1 𝑢1 + 
· · · + 𝑥n 𝑥n) = 𝑥j , 𝑗 = 1, . . . , 𝑛, formam uma base de 𝑈′ . Esta base é chamada de 
base dual da base 𝐵. 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
31 
 
 
 
5.3.1.1 DEFINIÇÃO 2 
Sejam 𝑈, 𝑉 e 𝑊 espaços vetoriais. Se 𝑇 ∈ (𝑈, 𝑉) e 𝑆 ∈ (𝑉, 𝑊) definimos 
a composta 𝑆 ∘ 𝑇: 𝑈 → 𝑊 por 𝑆 ∘ 𝑇(𝑢) = 𝑆(𝑇(𝑢)), 𝑢 ∈ 𝑈. 
Exemplo: Considere 𝑇, 𝑆 ∈ (ℝ 2) dadas por 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 0) e 𝑆(𝑥, 
𝑦) = (𝑥, 2𝑦). Encontre 𝑇 ∘ 𝑆 e 𝑆 ∘ 𝑇. 
 
5.3.1.2 DEFINIÇÃO 3 
Se 𝑇 ∈ (𝑈), definimos 𝑇1 = 𝑇 e 𝑇n = 𝑇 ∘ 𝑇n−1 para 𝑛 ≥ 2. 
 
5.3.1.3 DEFINIÇÃO 4 
𝑇 ∈ (𝑈) é chamada de nilpotente se existir algum inteiro positivo 𝑛 tal que 
𝑇n = 0, a transformação nula. Obviamente a transformação nula é um exemplo 
de uma transformação nilpotente. 
 
Exemplo: 
Mostre que 𝑇 : ℝ2 → ℝ2 dada por 𝑇(𝑥, 𝑦) = (0, 𝑥)é um operador nilpotente. 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
32 
 
 
 
5.3.2 PROPOSIÇÃO 3 
Sejam 𝑇 ∈ (𝑈, 𝑉) e 𝑆 ∈ (𝑉, 𝑊). Então 𝑆 ∘ 𝑇 ∈ (𝑈, 𝑊). 
Prova: Dados 𝑢,𝑣 ∈ 𝑈 e λ, µ ∈ ℝ temos 
 
 
5.3.3 PROPOSIÇÃO 4 
Sejam 𝑇 ∈ (𝑈, 𝑉) e 𝑆 ∈ (𝑉, 𝑊) e ℝ ∈ (𝑊, 𝑋), onde 𝑈, 𝑉, 𝑊 e 𝑋 
são espaços vetoriais. Então (𝑅 ∘ 𝑆) ∘ 𝑇 = 𝑅 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇). 
 
5.3.4 PROPOSIÇÃO 5 
 Se 𝑆, 𝑇 ∈ (𝑈, 𝑉), 𝑅 ∈ (𝑉, 𝑊) então 𝑅 ∘ (𝑆 + 𝑇) = 𝑅 ∘ 𝑆 + 𝑅 ∘ 𝑇 . 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
33 
 
5.3.5 PROPOSIÇÃO 6 
Se 𝑇 ∈ (𝑈, 𝑉) e 𝐼V ∈ (𝑉) é a identidade em 𝑉 , isto é, 
𝐼(𝑣) = 𝑣, 𝑣 ∈ 𝑉, e 𝐼U ∈ 
 
5.3.5.1 DEFINIÇÃO 5 
Diremos que 𝑇 ∈ (𝑈, 𝑉) possui inversa se existir 𝑆 ∶ 𝑉→ 
𝑈 tal que 𝑆 ∘ 
𝑇(𝑢) = 𝑢 para todo 𝑢 ∈ 𝑈 e 𝑇 ∘ 𝑆(𝑣) = 𝑣 para todo 𝑣 ∈ 𝑉. Em 
outras palavras, 𝑇 ∘ 𝑆 = 𝐼V e 𝑆 ∘ 𝑇 = 𝐼U, onde 𝐼U : 𝑈 → 𝑈 é a identidade 
em 𝑈 e 𝐼V : 𝑉 → 𝑉 é a identidade em 𝑉. 
 
5.3.6 PROPOSIÇÃO 7 
 Se 𝑇 ∈ (𝑈, 𝑉) possui uma inversa então está inversa é 
única. 
 
5.3.6.1 DEFINIÇÃO 6 
Uma transformação linear 𝑇: 𝑈 → 𝑉 é 
 ( 𝑈 ) é a identidade em 𝑈 , então 𝐼 V ◦ 𝑇 = 𝑇 e 𝑇 ◦ 𝐼 U = 𝑇 . 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
34 
 
 
5.3.7 PROPOSIÇÃO 8 
 Uma transformação linear 𝑇: 𝑈 → 𝑉 é injetora se e somente se 𝑇(𝑢) = 0: 
implicar em 𝑢 = 0. 
5.3.8 PROPOSIÇÃO 9 
A fim de que 𝑇 ∈ (𝑈, 𝑉) possua inversa é necessário e suficiente que 𝑇 
seja bijetora. 
 
5.3.9 PROPOSIÇÃO 10 
Se 𝑇 ∈ (𝑈, 𝑉) possui inversa 𝑇−1 : 𝑉 → 𝑈 então 𝑇−1 ∈ (𝑉, 𝑈). 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
35 
 
6 MATRIZES 
O estudo das matrizes possibilita o tratamento de dados de forma simplificada, 
permitindo, dentre outras coisas, a fácil visualização da informação. A manipulação de 
matrizes está presente em todas as áreas de conhecimento, seja nas áreas que lidam 
com a Matemática diretamente como também em áreas de Humanas e Saúde, por 
exemplo. 
Uma matriz é um conjunto de dados dispostos em uma tabela onde cada dado 
é referenciado por linhas e colunas. A arrumação dos dados dessa forma permite não 
apenas sua organização, mas também possibilita novas maneiras de manipular esses 
dados. As matrizes podem ser compostas de qualquer tipo de números (reais ou 
complexos), de funções e até de submatrizes. Para identificar uma matriz, nós 
precisamos conhecer algumas informações: representação, ordem e termo geral. 
REPRESENTAÇÃO: A forma para representarmos uma matriz será utilizando 
parênteses ou colchetes: 
 
ORDEM: A ordem da matriz informa sobre o seu tamanho e faz menção à 
quantidade de linhas e colunas que ela contém. 
 𝑚 𝑥 𝑛 → 𝑚 linhas e n colunas 
Quando uma matriz apresenta o mesmo número de linhas e colunas diz que a 
matriz tem ordem 𝑛 (𝑛 = número de linhas = número de colunas). 
 
TERMO GERAL: Algumas matrizes possuem certa relação entre seus 
elementos. Quando for possível escrever todos os elementos de uma matriz através 
de uma regra, então a matriz possui um termo geral ( 𝑎ij), onde i indica a linha e 𝑗, a 
coluna. 
 
Exemplo: 
Sabendo que a matriz 𝐵 tem ordem 2x3 e que seu termo geral é dado por 
𝑏ij=𝑖+2𝑗, encontre 𝐵. Como o número de linhas é igual a 2, e o número de colunas 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
36 
 
igual a 3, então sabemos que o índice 𝑖 varia de 1 até 2 e o índice 𝑗 de 1 até 3. Logo, 
a matriz terá a forma: 
 
 
6.1 Tipos de matrizes 
Existem algumas matrizes que possuem características especiais e estas 
podem facilitar alguns cálculos ou análises em determinadas situações. Vamos 
conhecê-las. 
 
6.1.1 MATRIZ COLUNA 
Matriz formada por apenas uma coluna. 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
37 
 
 
 
6.1.2 MATRIZ LINHA 
Matriz formada por apenas uma linha. 
 
 
6.1.3 MATRIZ NULA – 0 
Matriz onde todos os seus elementos são zero, ou seja, seu termo geral é 
sempre zero qualquer que seja 𝑖 𝑒 𝑗. 
 
6.1.4 MATRIZ QUADRADA 
Matriz onde a quantidade de linhas é igual à quantidade de colunas. 
 
 
Considerando as matrizes quadradas, denominam-se como elementos da 
diagonal principal os elementos que apresentam 𝑖 = 𝑗(𝑎11, 𝑎22, 𝑎33, ... 𝑎nn). 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
38 
 
6.1.5 MATRIZ DIAGONAL 
Matriz onde os elementos da diagonal principal são não nulos e os fora da 
diagonal principal são nulos. 
 
6.1.6 MATRIZ IDENTIDADE - 𝐼 
Matriz onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os fora da 
diagonal principal são nulos. 
 
6.1.7 MATRIZ TRANSPOSTA - 𝐴t , 𝐴′ 
A matriz transposta é obtida a partir de qualquer matriz se trocando as linhas 
pelas colunas. 
 
6.1.8 MATRIZ SIMÉTRICA 
Uma matriz é simétrica se ela for igual a sua transposta. 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
39 
 
6.1.9 MATRIZ ANTISSIMÉTRICA 
Uma matriz é antissimétrica se ela for igual a menos sua transposta. 
 
6.1.10 MATRIZ TRIANGULAR 
Superior: Uma matriz é triangular superior quando todos os elementos abaixo 
da diagonal principal são nulos. 
 
Inferior: Uma matriz é triangular inferior quando todos os elementos acima da 
diagonal principal são nulos. 
 
 
6.1.11 SUBMATRIZES 
 Uma matriz também pode ser composta por matrizes, quando isso ocorre 
chamamos de submatrizes. Como exemplo, mostro uma matriz A composta por 
submatrizes B, C, D e E. 
 
Note que as submatrizes não podem ter qualquer dimensão, pois isso implicaria 
em uma desordem. Se A tem dimensão 𝑚𝑥𝑛, então o número de linhas de B mais o 
número de linhas de D deve ser igual a m e o número de colunas de B mais o número 
de colunas de C deve ser igual a n. Além disso, o número de linhas de B deve ser 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
40 
 
igual ao número de linhas de C, assim como as linhas de D e E, o mesmo para as 
colunas de B, C, D e E. Um exemplo para as matrizes B, C, D e E poderia ser: 
B3×3 , C3×2 , D2×3 e E2×2 , resultando em A5×5 . 
6.2 Operações com matrizes 
6.2.1 SOMA 
Para que seja possível somar duas ou mais matrizes, é necessário que todas 
as matrizes envolvidas tenham a mesma ordem, ordem esta que também será 
compartilhada com a matriz resultante. 
Supondo a soma de matrizes: Cm×n = Am×n + Bm×n O termo geral da matriz 
resultante C é: 
 cij=aij+ bij Onde aij e bij são os termos das matrizes A e B. 
 
Exemplo: 
 
6.2.1.1 Propriedades da soma 
Considerando as matrizes A, B C e 0: 
A + B = B + A (Comutativa) A + ( B + C) = ( A + B ) + C (Associativa) 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
41 
 
 A + 0 = A (Elemento nulo) Obs.: essa propriedade também é válida para a 
subtração. 
 
6.2.2 MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR 
Para multiplicar um escalar por uma matriz, basta multiplicar cada elemento 
da matriz por esse escalar. 
 
6.2.2.1 Propriedades da multiplicação por escalar 
 
Considerando as matrizes 𝐴mxn, 𝐵mxn matrizes e 𝑘1 e 𝑘2 escalares: 
𝑘1 ( 𝐴 + 𝐵 ) = 𝑘1 𝐴 + 𝑘1 𝐵 
( 𝑘1 + 𝑘2 ) 𝐴 = 𝑘1 𝐴 + 𝑘2 𝐴 
0.𝐴 = 0 (0 – escalar e 0 – matriz nula) 
𝑘1 ( 𝑘2 𝐴 ) = ( 𝑘1 𝑘2 ) 𝐴 
 
6.2.3 Multiplicação entre matrizes 
Para que seja possível multiplicar duas matrizes, é necessário observar a 
ordem das matrizes envolvidas. Sejam 𝐴mxn e 𝐵pxq, a multiplicação 𝐴. 𝐵 apenas será 
possível se 𝑛 = 𝑝, já a multiplicação 𝐵. 𝐴 apenas será possível se 𝑞 = 𝑚. 
Sendo 𝐶 = 𝐴: 𝐵 e os termos gerais de 𝐴 e 𝐵, respectivamente, 𝑎ij e 𝑏ij, o termo 
geral de 𝐶 é dado por: 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
42 
 
 
Onde 𝑝 é o número de colunas de 𝐴 que deve ser o mesmo número de linhas 
de 𝐵. 
Exemplo: 
Conhecendo as matrizes 𝐻 e 𝐺, é possível a multiplicação 𝐻.𝐺? E 𝐺:𝐻? 
 
Para multiplicarmos 𝐻.𝐺 é necessário que o número de colunas da primeira 
matriz (𝐻) seja igual ao número de linhas da segunda matriz (𝐺). Nesse caso, 𝐻2x2 e 
𝐺3x2, a multiplicação não pode ser feita, já que 𝐻 tem 2 colunas e 𝐺 tem 3 linhas. Para 
analisar a multiplicação 𝐺. 𝐻 procederemos da mesma forma, o número de colunas 
da primeira matriz (𝐺) é igual a 2 e o número de linhas da segunda matriz (𝐻) é igual 
a 2, portanto a multiplicação 𝐺. 𝐻 pode ser feita: 
 
 
6.2.3.1 Propriedades gerais 
Considerando as matrizes 𝐴, 𝐵, 𝐶, a matriz nula 0, o escalar 𝐾, a matriz 
identidade 𝐼 e que as operações sejam possíveis. 
• 𝐴 𝐼 = 𝐼 𝐴 = 𝐴 
• 𝐴 ( 𝐵 + 𝐶 ) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 
• ( 𝐴 + 𝐵 ) . 𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐴𝐵 
• 𝐴 ( 𝐴𝐶) = ( 𝐴𝐵 ) 𝐶 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
43 
 
𝐴 0 = 0 𝐴 = 0 
• 𝐴 é simétrica se 𝐴 = 𝐴t 
• ( 𝐴 + 𝐵 )t = 𝐴t + 𝐵t 
• ( 𝐴t )t = 𝐴 
• ( 𝐾 𝐴)t = 𝐾 𝐴t 
• ( 𝐴 𝐵 )t = 𝐵t 𝐴2 
 
7 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
Nesta seção, veremos que se 𝑉 e 𝑊 são espaços vetoriais de dimensão finita, 
com bases fixadas, então uma transformação linear 𝑇 ∶ 𝑉 → 𝑊 pode ser representada 
por uma matriz. A vantagem de uma tal representação é que muitos problemas 
associados às transformações lineares entre espaços de dimensão finita podem ser 
resolvidos com a teoria das matrizes, como veremos na próxima seção e nos capítulos 
a seguir. 
Seja 𝑇 ∶ 𝑉 → 𝑊 uma transformação linear, em que dim 𝑉 = 𝑛 e dim 𝑊 = 𝑛. 
Sejam 𝛼 = {𝑣 1, 𝑣 2, . . . , 𝑣 n} e 𝛽 = {𝑤 1, 𝑤 2, . . . , 𝑤 m} bases de 𝑉 e 𝑊 , 
respectivamente. Como 𝛽 é uma base de 𝑊, podemos determinar de modo único 
números reais 𝑎ij , com 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, tais que 
 
2 Texto extraído de: www.sedis.ufrn.br 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
44 
 
 
 
Exemplo: 
 Sejam 𝛼 = {(1, 1),(0, 2)} e 𝛽 = {(1, 0, 1),(0, 1, 0),(1, 2, 0)}, bases de 
ℝ2 e ℝ3 , respectivamente. Calculemos [𝑇] 𝛼 𝛽 , onde 𝑇 : ℝ2 → ℝ3 é dada 
por 𝑇 (𝑥, 𝑦) = (2𝑥, 
𝑥 − 𝑦, 2𝑦). 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
45 
 
 
 
8 CONCEITOS PRIMITIVOS 
A chamada Geometria Plana Elementar Euclidiana consiste num sistema 
axiomático, que se fundamenta em alguns conceitos iniciais referentes a um conjunto 
de objetos denominados figuras geométricas, e às relações entre eles. 
5 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
46 
 
As primeiras afirmações do sistema são aceitas sem demonstração: são 
chamados axiomas ou postulados. O número de afirmações desse tipo deve ser o 
menor possível. 
A partir dos conceitos iniciais aceitos sem definições dos axiomas, são feitas 
novas afirmações, que então, sim, devem ser demonstradas. As afirmações que 
necessitam de prova são denominadas teoremas ou preposições. À medida que o 
estudo do sistema vai sendo desenvolvido, são feitas novas definições e apresentados 
novos axiomas, quando isso for estritamente necessário. 
Consideramos conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definição) na 
Geometria Espacial os conceitos de ponto, reta e plano. No nosso dia-a-dia temos 
uma ideia do que essas palavras significam e isso nos basta. Em nosso estudo de 
Geometria vamos representar os pontos com letras latinas maiúsculas (A, B, C, ...), 
retas com letras latinas minúsculas (r, s, t, ...) e planos com letras gregas minúsculas. 
Quando estudamos Geometria fazemos desenhos representando as figuras e 
as relações entre elas. Esses desenhos podem ser feitos à mão livre apenas para nos 
ajudar a pensar em determinados problemas, mas eles podem ser feitos também com 
régua e compasso, e o próprio desenho, feito com precisão, pode ser a solução do 
problema que estamos resolvendo. 
Habitualmente, usamos a seguinte notação: 
 
Pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto 
 
 A 
 
Retas: letras minúsculas do nosso alfabeto 
 
 
Planos: letras minúsculas do alfabeto grego 
 
 
 
 
 
Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos. 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
47 
 
Por exemplo: 
Em relação à figura abaixo, podemos escrever: 
 
 
Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem 
demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria. Temos 
como axioma fundamental: existem infinitos pontos, retas e planos. 
8.1 Postulados sobre pontos e retas 
P1) A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos. 
 
 
 
P2) Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas. 
 
P3) Por dois pontos distintos passa uma única reta. 
 
P4) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semi-retas. 
 
 
Axiomas 
A 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
48 
 
 
8.2 Postulados sobre o plano e o espaço 
P5) Por três pontos não-colineares passa um único plano. 
 
 
 
P6) O plano é infinito, isto é, ilimitado. 
 
P7) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos. 
 
 
P8) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões 
chamadas semiplanos. 
P9) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas semi 
espaços. 
 
9 SEGMENTO DE RETA 
Posições relativas de duas retas no espaço, duas retas distintas 
podem ser concorrentes, paralelas ou reversas: 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
49 
 
 
 
Temos que considerar dois casos particulares: 
 
1º) Retas perpendiculares: 
 
 
2º) Retas ortogonais: 
 
 
9.1 Postulado de Euclides ou das retas paralelas 
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
50 
 
9.1.1 Determinação de um plano 
 
Lembrando que, pelo postulado 5, que estudamos na aula passada, um único 
plano passa por três pontos não-colineares, um plano também pode ser determinado 
por: 
Uma reta e um ponto não pertencente a essa reta: 
 
 
 
Duas retas distintas concorrentes: 
 
 
 
Duas retas paralelas distintas: 
 
 
 
Posições relativas de reta e plano 
 
Vamos considerar as seguintes 
situações: a) reta contida no plano 
Se uma reta r tem dois pontos distintos num plano α, então r está 
contida nesse plano: 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
51 
 
 
b) reta concorrente ou incidente ao plano 
Dizemos que a reta r “fura” o plano α ou que r e α são concorrentes 
em P quando r ∩ α = {P}: 
 
Observação:A reta r é reversa a todas as retas do plano que não 
passam pelo ponto P. 
 
c) reta paralela ao plano 
Se uma reta r e um plano α não tem um ponto em comum, então a 
reta r é paralela a uma reta t contida no plano α, portanto, r // α r // t e t 
α => r // α 
Em α existem infinitas retas paralelas, reversas ou ortogonais a r. 
 
 
P11) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua 
intersecção é dada por uma única reta que passa por esse ponto. 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
52 
 
9.2 Perpendicularismo entre reta e plano 
Uma reta r é perpendicular a um plano α se, e somente se, r é perpendicular a 
todas as retas de α que passam pelo ponto de intersecção de r e α. 
 
Note que: 
Se uma reta r é perpendicular a um plano α, então ela é perpendicular ou 
ortogonal a toda reta de α. 
 
 
Para que uma reta r seja perpendicular a um plano α, basta ser perpendicular 
a duas retas concorrentes, contidas em α: 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
53 
 
Observe, na figura abaixo, por que não basta que r seja perpendicular a uma 
única reta t de α para que seja perpendicular ao plano: 
 
 
Posições relativas de dois planos 
 
Consideramos as seguintes situações: 
 
 
a) planos coincidentes ou iguais 
 
 
b) planos concorrentes ou secantes 
Dois planos, α e β, são concorrentes quando sua intersecção é uma 
única reta: 
 
 
c) planos paralelos 
Dois planos, α e β, são paralelos quando sua intersecção é vazia: 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
54 
 
 
9.3 Perpendicularismo entre planos 
Dois planos, α e β, são perpendiculares se, e somente se, existe uma reta de 
um deles que é perpendicular ao outro: 
 
Observação: Existem infinitos planos perpendiculares a um plano dado; esses 
planos podem ser paralelos entre si ou secantes. 
 
9.3.1 Projeção ortogonal 
A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano α é a intersecção do plano 
com a reta perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P: 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
55 
 
A projeção ortogonal de uma figura geométrica F (qualquer conjunto de pontos) 
sobre um plano α é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de F sobre 
α: 
 
 
 
9.3.2 Distâncias 
A distância entre um ponto e um plano é a medida do segmento cujos extremos 
são o ponto e sua projeção ortogonal sobre o plano: 
 
A distância entre uma reta e um plano paralelo é a distância entre um ponto 
qualquer da reta e o plano: 
 
A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer 
de um deles e o outro plano: 
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A distância entre duas retas reversas, r e s, é a distância entre um ponto 
qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira reta: 
 
10 PRODUTO VETORIAL, MISTO E ESCALAR 
10.1 Produto vetorial 
A introdução do produto vetorial é motivada pelo fato de que, para a solução de 
vários problemas em Geometria, é necessário encontrar um vetor ortogonal a dois 
outros vetores não colineares u e v dados. Como achar, então, um terceiro vetor w 
ortogonal a ambos? A resposta a essa pergunta, do ponto de vista geométrico, é bem 
simples, pois basta tomar o plano determinado pelas duas retas que contêm os 
vetores u e v, em seguida, considerar uma terceira reta perpendicular a esse plano. 
Agora, basta escolher um vetor w sobre essa reta com a mesma origem de u e v. Veja 
a ilustração na figura a seguir. 
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Do ponto de vista algébrico, a pergunta anterior é dada nos cálculos a seguir. 
Você vai observar que os cálculos são extensos, mas são meras repetições de contas 
simples, tais como multiplicar uma equação por um número e somar ou subtrair duas 
equações membro a membro. Senão vejamos, para que w seja ortogonal a u e v, 
(Produto escalar), devemos ter os produtos escalares de w por u e v nulos, ou 
seja, 
 
 
 
 
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59 
 
 
10.2 Produto misto 
Para vetores v e w no espaço, sabemos que seu produto vetorial v u w ainda é 
um vetor no espaço. Desse modo, dado um terceiro vetor u, também no espaço, 
podese fazer o produto escalar de u por v u w, obtendo-se um número real. Esse 
produto é dito o produto misto dos vetores u, v, e w, que é representado por 𝑢 ∙ (𝑣 × 
𝑤). 
 
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Mostraremos agora que o valor absoluto do produto misto, a saber|𝑢 ∙ (𝑣 × 𝑤)|, 
tem uma interpretação geométrica bastante interessante. Esse valor absoluto 
representa o volume do paralelepípedo determinado por 𝑢, 𝑣 e 𝑤, descrito na figura a 
seguir. 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
61 
 
 
 
Para confirmar esse fato, lembremos que o volume de um paralelepípedo é 
dado multiplicando a área da base pela sua altura. No nosso caso, sabemos que a 
área da base é a área do paralelogramo determinado por 𝑣 e 𝑤, a qual é ||𝑣 × 𝑤||, 
como mostrado no parágrafo anterior. 
Para determinação da altura ℎ desse paralelepípedo, chamamos de 𝜑 ângulo 
entre os vetores 𝑢 𝑒 𝑣 × 𝑤.Observe que ℎ = ||𝑢|| cos𝜑. Veja isso na figura seguinte. 
 
 
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10.3 Produto escalar 
Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d), definimos o produto escalar entre os 
vetores u e v, como o número real obtido por: 
u.v = a.c + b.d 
Exemplos: 
O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é: 
u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14 
O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é: 
u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19 
10.4 Propriedades do produto escalar 
Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar: 
v.w = w.v 
v.v = |v| |v| = |v|2 
u.(v+w) = u.v + u.w 
(kv).w = v.(kw) = k(v.w) 
|kv| = |k| |v| |u.v| <= |u| |v| (desigualdade de 
Schwarz) |u+v| <= |u| + |v| (desigualdade 
triangular) 
Obs: <= significa menor ou igual 
10.5 Ângulo entre dois vetores 
O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma: 
u.v = |u| |v| cos(x), onde x é o ângulo formado entre u e v 
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63 
 
 
 
 
 
Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x 
entre dois vetores genéricos u e v, como: 
 
 
desde que nenhum deles seja nulo. 
10.6 Vetores ortogonais 
Dois vetores u e v são ortogonais se: 
u.v = 0 
11 COMBINAÇÕES LINEARES 
Seja V um espaço vetorial Real ou Complexo. Um vetor v é uma Combinação 
Linear de m vetores u1, u2, ..., um se existem escalares k1, k2 , ..., km , tais que: 
v = k1u1 + k2u2 + ... + kmum 
Ou seja: quando a equação vetorial v = x1u1 + x2u2 + ... + xmum tem solução 
para os xi escalares. 
Os escalares solução são chamados de coeficientes de v na combinação linear. 
Exemplo : Em R³ , u1 = ( 1 , -1/5 , 3 ) e u2 = ( 0 , 𝜋 , 6/7 ) 
Então: v = -5 u1 + 3 u2 é uma Combinação Linear, com coeficientes -5 e 3 . 
Exemplo: Dado o sistema não homogêneo de m equações com n incógnitas: 
 + ... + 
 + ... + 
. . . . 
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64 
 
. . . . 
 + ... + 
Este sistema é equivalente à equação vetorial: 
𝑥1 (
𝑎1,1
𝑎2,1
⋮
𝑎𝑚,1
) + 𝑥2 (
𝑎1,2
𝑎2,2
⋮
𝑎𝑚,2
) + ⋯ + 𝑥𝑛 (
𝑎1,𝑛
𝑎2,𝑛
⋮
𝑎𝑚,𝑛
) = (
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑚
) 
Portanto, o vetor coluna v cujas coordenadas são (b1, b2, ... ,bm) é uma 
Combinação Linear dos vetores colunas u i , quando o sistema tem solução. 
Ou seja : x1u + x2u2 + ... + xnun = v , onde ui e v são vetores coluna. 
Se o sistema tem solução, então v é uma combinação linear dos vetores ui com 
coeficientes x1 , ... , xn que são a solução do sistema. 
Exemplo: 
Sejam = ( 3 , 1 , 4 ) ; = ( 2 , 1 , 3 ) ; = ( 4 , 2 , -2 ) ; v = ( 1 , 
2 , 3 ) 
A equação vetorial 
𝑥1(
3
1
4
) + 𝑥2 (
2
1
3
) + 𝑥3 (
4
2
−2
) = (
1
2
3
) 
 
tem solução, isto é: x1 = -3, x2 = 5, x3 = 0. 
Portanto, v é uma combinação linear dos vetores u1, u2, u3, com os coeficientes 
-3 , 5 e 0. 
( 1 , 2 , 3 ) = -3u1 + 5u2 + 0u3 
 
Exemplo: 
No espaço Vetorial das matrizes m x n , se A 1 , A 2 , ... , A k são k matrizes, 
a1A1 + a2A2+ ... + akAk com a1, a2 , ... , ak escalares é uma combinação Linear . 
Se m = 2 e n = 3, sejam: 
𝐴1 = [√3 0 −1
0 𝜋 6
] 
𝐴2 = [
1
3
−5 −1
2 √2 6
] 
𝐴3 = 
1
2
𝐴1 + 𝐴2 
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 é uma Combinação Linear de e com coeficientes 
1/2 e 2. 
12 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 
Os vetores de um espaço vetorial são Linearmente Dependentes se existem 
escalares não simultaneamente nulos, tais que : 
 
Isto é, a equação vetorial + ... + tem solução 
não trivial, onde os são escalares. 
Caso a equação vetorial tenha como solução todos os = 0 ,então os 
vetores são ditos 
12.1 Linearmente Independentes 
Dado um sistema homogêneo de m equações com n incógnitas: 
 + ... + 
 + ... + 
. . . . 
. . . . 
 + ... + 
Este sistema é equivalente à equação vetorial: 
𝑥1 (
𝑎1,1
𝑎2,1
⋮
𝑎𝑚,1
) + 𝑥2 (
𝑎1,2
𝑎2,2
⋮
𝑎𝑚,2
) + ⋯ + 𝑥𝑛 (
𝑎1,𝑛
𝑎2,𝑛
⋮
𝑎𝑚,𝑛
) = (
0
0
0
) 
Ou seja : x1u1 + x2u2 + ... + xnun = 0 são vetores coluna . 
 + ... + 
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Se o sistema homogêneo tem solução não trivial, os vetores u1, u2, ... , un são 
Linearmente Dependentes. Porém, se a equação tem somente a solução trivial (zero), 
então os vetores são Linearmente Independentes 
Dada uma matriz ( m x n ), onde cada linha representa um vetor linha: 
Se o posto da matriz for m , então os vetores linha são L.I. . Caso a matriz seja 
quadrada (n = m) , então o determinante será diferente de 0 (det ¹ 0) . Se o posto da 
matriz for menor do que m , então os vetores linha são L.D. Caso a matriz seja 
quadrada ( n = m ), então o determinante será igual a zero (det = 0) . 
Exemplos : 
1) Sejam os vetores = ( 1 , 1 , 1 ) , = ( 1 , 1 , 0 ) , = ( 
1 , 0 , 0 ). Para verificar a independência linear dos vetores devemos 
considerar a combinação linear nula: 
𝑥 (
1
1
1
) + 𝑦 (
1
1
0
) + 𝑧 (
1
0
0
) = (
0
0
0
) 
 
que equivale a: 
 
 
 
A solução do sistema é a trivial, ou seja : x = y = z = 0 . Logo, os vetores são 
L.I. 
𝐴 = [
1 1 1
1 1 0
1 0 0
] 
Rank(A) 
Det(A) 
 
Conclusão: O posto de A é 3 e é igual a m. A matriz A é quadrada (3 x 3) e 
seu determinante é igual a -1. Portanto, os vetores linha que formam A são L.I. 
 
Espaço para teste 
 
https://www.dm.ufscar.br/profs/yolanda/cursos/al1/maple/comb4.html
https://www.dm.ufscar.br/profs/yolanda/cursos/al1/maple/comb4.html
https://www.dm.ufscar.br/profs/yolanda/cursos/al1/maple/comb4.html
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𝑥 (
1
1
1
) + 𝑦 (
2
−1
3
) + 𝑧 (
1
−5
3
) = (
0
0
0
) 
 
Equivale a: 
 
 
 
A solução do sistema é : x = 3; y = - 2; z = 1. Logo, os vetores 
 = ( 1 , 1 , 1 ) , = ( 2 ,-1, 3 ) e = ( 1 , -5 , 3 ) são L.D. . 
 
𝐴 = [
1 1 1
2 −1 3
1 −5 3
] 
 
rank(A); 
det(A); 
 
 
13 BASES E DIMENSÃO 
13.1 Base 
Teorema: Seja 𝑆 = {𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛} ⊂ 𝑉 sistema de geradores do espaço vetorial 
V. Então dentre os vetores de existe uma base para V. 
Teorema: Seja V um espaço vetorial gerado por um conjunto finito de vetores 
𝑆 = {𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛} ⊂ 𝑉 . Então qualquer conjunto com mais do que n vetores é 
necessariamente linearmente dependente (L.D.). 
13.2 Dimensão 
Corolário: Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número 
de elementos. 
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Definição: Dado um espaço vetorial finitamente gerado, 
denominamos dimensão de V ao número de vetores de uma base de V. 
 
13.3 Base e Dimensão 
Teorema: Qualquer conjunto L.I. de vetores de um espaço vetorial 
V de dimensão finita pode ser completado de modo a se tornar uma base 
para V. 
Corolário: Se dim(V) = n, qualquer conjunto com n vetores L.I. formam uma 
base de V . 
 
Dimensão – Exemplos: 
 
 
 
 
13.4 Processo Prático: Base 
• A permuta de dois vetores, dentre os geradores, não altera o 
subespaço gerado. 
• A substituição de um vetor por uma combinação linear dele com 
outros do conjunto, não altera o subespaço gerado. 
• Vetores geradores na forma escalonada formam um conjunto L.I. 
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13.5 Teorema da Dimensão 
Teorema: Sejam U e W dois subespaços vetoriais de um dado 
espaço vetorial com dimensão finita, então: 
dim(U) ≤ dim(V) 
dim(W) ≤ dim(V) 
 
dim(U + W) = dim(U) + dim(W) – dim(U ∩ W) 
 
Proposição: Se W é um subespaço vetorial de 〈𝑉, +, . 〉 
14 CÓNICAS 
As cónicas são curvas planas obtidas por intersecção de um cone circular recto 
com um plano. 
Se o plano intersecta todas as geratrizes do cone, a curva obtida é uma elipse. 
Se o plano é paralelo apenas a uma geratriz, a curva obtida é uma parábola. 
Se o plano é paralelo a duas geratrizes, a curva obtida é uma hipérbole. 
 
 
 
Equação Geral das Cónicas (eq. de 2° grau em x e y): 
 
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Se B2 − 4AC < 0, (1) é a equação de uma elipse. 
Se B2 − 4AC = 0, (1) é a equação de uma parábola. 
Se B2 − 4AC > 0, (1) é a equação de uma hipérbole. 
 
14.1 Elipse 
Elipse é o conjunto dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos 
fixos (focos) é constante e maior que a distância entre eles. 
 
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14.2 Parábola 
Parábola é o conjunto dos pontos do plano equidistantes de um ponto fixo (foco) 
e de uma recta (directriz), que não contém o ponto. 
 
 
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14.3 Hipérbole 
Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das 
distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante e menor que a distância entre eles. 
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7 
 
 
 
 
 
 
7 Texto extraído de: www.mat.uc.pt.com.br 
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15 REFERENCIA BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
BOULOS, P., Geometria analítica: Um Tratamento Vetorial. 3ª ed. Pearson 
Education do Brasil, São Paulo, 2005. 
 
STEINBRUCH, A. E.; WINTERLE, P. Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books 
do Brasil, 1987. 
 
BOLDRINI, J.L.; COSTA, S. I. R.; FIGUEIREDO, V. L. Álgebra Linear, 3ª ed., São 
Paulo: Harbra, 1980. 
 
16 REFERENCIA BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
SILVA, V. E.; REIS, G. L. Geometria Analítica. Rio de Janeiro: LTC, 1985. 
 
STEINBRUCH, A. Álgebra Linear e Geometria Analítica. São Paulo: Editora Mc 
Graw-Hill do Brasil. 1975. 
 
KOLMAN, B. Álgebra Linear. Rio de Janeiro: Editora Guanabara, 1998. 
 
ANTON, H. Álgebra Linear, Editora Campus Ltda. 3ªed. Rio de Janeiro:1982. 
 
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo: Makron, 1987.