Apostila 3 de ÁLGEBRALINEAR

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ÁLGEBRA LINEAR - Capítulo 3
Espaços 
Vetores no plano e no Espaço 
Muitas grandezas físicas, como velocidade, força, deslocamento e impulso, para serem completamente identificada, precisam além da magnitude, da direção e do sentido. Essas grandezas são chamadas grandezas vetoriais ou simplesmente vetores .
Geometricamente, vetores são representados por 
segmentos (de reta) orientados ( segmentos de retas com um sentido de percurso ) no plano ou no espaço. A ponta da seta do segmento orientado é chamada ponto final ou extremidade e o outro no extremo é chamado de ponto inicial ou origem do segmento orientado. A direção e o sentido do segmento orientado identifica a direção e o sentido do vetor. O comprimento do orientado representa a magnitude do vetor. 
Um vetor pode ser representado por vários segmentos orientados. Este fato é análogo ao que ocorre com os números racionais e as frações. Duas frações representam o mesmo número racional se o numerador e o denominador de cada uma delas estiverem na mesma proporção. Por exemplo, as frações 1/2, 2/4 e 3/6 representam o mesmo número racional. De forma análoga, dizemos que dois segmentos orientados representam o mesmo vetor se possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido. A definição de igualdade de vetores também é análoga a igualdade de números racionais. 
Dois números racionais 
são iguais, quando 
. Analogamente, dizemos que dois vetores são iguais se eles possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido. 
Na figura 3.1 temos 4 segmentos orientados, com origem em pontos diferentes, que representam o mesmo vetor, ou seja são considerados com vetores iguais, pois possuem a mesma direção, mesmo sentido e o mesmo comprimento. Se o ponto inicial de um representante de um vetor 
 é 
 e o ponto final é 
, então escrevemos 
 
 
 B
 
 A
Soma de vetores e multiplicação por Escala 
A soma, V + W, de dois vetores V e W é determinada da seguinte forma: 
Tome um seguimento orientado que representa V ; 
Tome um seguimento orientado que representa W, com origem na extremidade de V;
O vetor V +W é representado pelo seguimento que vai da origem de V até extremidade de W . 
Da figura 3.2, deduzimos que a soma de vetores é comutativa, ou seja, V+W =W +V (3.1)
para quaisquer vetores V e W. Observamos também que a soma V +W está na diagonal do paralelogramo determinado por V e W, quando estão representados com a mesma origem.
 Da figura 3.3, deduzimos que a soma de vetores é associativa, ou seja,
 V+(W +U ) =( V + W ) + U (3.2)
para quaisquer vetores V, W e U. 
O vetor que tem a sua origem coincidindo com a sua extremidade é chamada vetor nulo e denominado por 0. Segue então que V + 0 = 0+ V = V (3.3)
para todo vetor V. 
Para qualquer vetor V, o simétrico de V, denotado por - V, é o vetor que tem mesmo comprimento, mesma direção e sentido contrário ao de V. 
Segue então, que V + (- V) = 0 (3.4)
Definimos a diferença W menos V, por W – V = W + (- V). 
Segue desta definição, de ( 3.1) , ( 3.2), ( 3.4), e de ( 3.3 ) que 
 W + ( V – W ) = ( V – W ) + W = V + ( - W + W ) = V + 0 = V. 
Assim, a diferença V – W é um vetor que somado a W dá V, portanto ele vai da extremidade de W até extremidade de V, deste que V e W estejam representados por segmentos orientados com a mesma origem 
 A multiplicação de um vetor V por um escalar 
V, é determinada pelo vetor que possui as seguintes características: 
 É o vetor nulo, se 
 ou V =0. 
 Caso contrário, 
Tem comprimento 
 vezes o comprimento de V 
A direção é a mesma de V ( Neste caso dizemos que eles são paralelos ) 
Tem o mesmo sentido de V, se 
>0 e tem o sentido contrário ao de V, se 
 
As propriedades da multiplicação por escalar serão apresentadas mais a frente. Se W = 
 V, dizemos que W é um múltiplo escalar de V. É fácil ver que dois vetores não nulos são paralelos ( ou colineares ) se, e somente se, um é um múltiplo escalar do outro. 
As operações com vetores podem ser definidas utilizado um sistema de coordenadas retangulares. Em primeiro lugar, vamos considerar os vetores no plano.
Seja V um vetor no plano. Definimos as componentes de V como sendo as coordenadas (
 ) do ponto final do representante de V que ponto inicial na origem. 
Escrevemos simplesmente 
 
Assim, as coordenadas de um ponto P são iguais as componentes do vetor 
 que vai da origem do sistema de coordenadas ao ponto P. Em particular, o vetor nulo 0 = (0,0). 
Em termos das componentes, podemos realizar facilmente as operações: soma de vetores e multiplicação de vetor por escalar. 
Como ilustrado na figura 3.8, a soma de dois vetores 
e 
=
 é dada por 
Como ilustrado na figura 3.9, a multiplicação de um vetor V =
 por escalar 
 é dada por 
Definimos as componentes de um vetor no espaço de forma análoga a que fizemos com vetores no plano. Vamos inicialmente introduzir um sistema de coordenadas retangulares no espaço. Para isto, escolhemos um ponto como origem 
 e como eixos coordenados, três retas orientadas ( com sentido de percurso definido ), passando pela origem, perpendiculares entre si. Este serão os eixos 
O eixo z é vertical. Os eixos 
 são horizontais e satisfazem a seguinte propriedade: 
Suponha que giramos o eixo 
 pelo menor ângulo até que coincida com o eixo y. Se os dedos da mão direita apontam na direção do semi-eixo 
 positivo de forma que o semi-eixo y positivo esteja do lado da palma da mão, então o polegar aponta no sentido do semi-eixo z positivo. Cada par de eixos determina um plano chamado de plano coordenado. Portanto os três planos coordenados são: 
 
 A cada ponto P no espaço associamos um terno de números ( 
 ), chamado de coordenadas do ponto P como segue.
Passe três planos por P paralelos aos planos coordenados. 
A interseção do plano paralelo ao plano 
 passando por p, com o eixo z determina a coordenada z. 
A interseção do plano paralelo ao plano 
, passando por p, com o eixo y determina a coordenada y .
A interseção do plano paralelo ao plano yz , passando por p, com o eixo 
 determina a coordenada 
.
Alternativamente, podemos encontrar as coordenadas de um ponto p como segue. 
Trace uma reta paralela ao eixo z passando por p, 
A interseção da reta paralela ao eixo z, passando por p, com plano 
 é o ponto P’. As coordenadas de P’ , ( 
 ) no sistema de coordenadas 
 são as duas primeiras coordenadas de P. 
A terceira coordenada é igual ao comprimento do segmento P P’, se P estiver acima do plano 
 e ao comprimento do segmento PP’ com sinal negativo, se P estiver abaixo do plano 
 
Agora estamos prontos para utilizarmos um sistema de coordenadas cartesianas também nas operações de vetores no espaço. Seja V um vetor no espaço. Como no caso de vetores do plano, definimos as componentes de V como sendo as coordenadas ( 
 ) , do ponto final do representante de V que tem ponto inicial na origem. 
Escrevemos simplesmente 
Assim, as coordenadas de um ponto P são iguais as componentes do vetor 
que vai da origem do sistema de coordenadas ao ponto P. Em particular, o vento nulo, 0= (0,0,0) .
Assim como fizemos para vetores no plano, para vetores no espaço a soma de vetores e a multiplicação de vetor por escalar podem ser realizadas em termos das componentes.
Se V = 
 e W = 
então a adição de V com é dada por 
 
Se 
 e 
é um escalar, então a multiplicação de V por 
é dada por 
 
.
Exemplo 3.1. Se 
então. 
 V+W = (1+2, -2+4,3 + (-1)) =(3,2,2), 3V=(3.1,3(-2),3.3=(3,-6,9).
Quando um vetor V está representado por um segmento orientado com ponto inicial fora da origem (figura 3.13 ), digamos em 
, e ponto finalem 
,então as componentes do vetor V são dadas por 
=
-
= (
,
Portanto, as componentes de V são obtidas subtraído-se as coordenadas do ponto Q (extremidade ) das do ponto P (origem ) .O mesmo se aplica a vetores no plano. 
Exemplo3. 2. As componentes do vetor V que tem um representante com ponto inicial P = (5/2, 1,2) e ponto final Q= (0,5/2,5/2) são dadas por 
 V= 
 = ( 0-5/2, 5/2-1, 5/2-2) =(-5/2, 3/2, 1/2).
Observação. O vetor é ‘’ livre’’’, ele não tem posição fixa, ao contrário do ponto e do segmento orientado. Por exemplo, o vetor V = (-5/2, 3/2, 1/2), no exemplo acima, estava representado por um segmento orientado com a origem no ponto P ( 5/2,1,2) . Mas poderia ser representado por um segmento orientado cujo ponto inicial poderia estar em qualquer outro ponto. 
Um vetor V = (
pode também ser escrito na notação matricial como uma matriz linha ou como uma matriz coluna: 
 V = 
 ou 
 
Estas notações podem ser justificadas pelo fato de que as operações matriciais 
 
=
Ou 
 
 
Produzem os mesmos resultados que as operações vetoriais 
 
O mesmo vale, naturalmente, para vetores no plano. 
 No teorema seguinte enunciamos as propriedades mais importantes da soma de vetores e multiplicação de vetores por escalar.
Teorema 3.1. Sejam 
, 
 
 vetores e 
 e 
 escalares. São válidas as seguintes propriedades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Demonstração. Segue diretamente das propriedades da álgebra matricial ( teorema 1.1. ) 
Exemplo 3.3. Vamos usar vetores e as suas propriedades para provar um resultado conhecido de geometria plana.Seja um triângulo ABC e sejam M e N os pontos médios de AC e BC, respectivamente. Vamos provar que M N é paralelo a AB e tem comprimento igual a metade do comprimento de AB 
Devemos provar que 
=
 
. 
 
Agora, partir da figura temos que. 
 
Como 
é ponto médio de AC e N é ponto médio de BC, então 
 
 
 
 e 
 
 
Logo, 
 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 +
 
=
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 =
�� EMBED Equation.3 .
Exemplo 3.4. Dados quadro pontos 
 Vamos escrever 
como uma soma de múltiplos escalares de
e 
, que é clamada combinação linear de 
 e 
 
Como 
�� EMBED Equation.3 então os vetores 
e 
são paralelos e, portanto o ponto o ponto X só pode estar na reta definida por A e B. Vamos desenhá-lo entre A e B, mas isto não vai representar nenhuma restrição.
 O vetor que vai de C para X, pode ser 
escrito como uma soma de um vetor que
 vai de C para A com um vetor que vai de
 A para X,
 
=
+
�� EMBED Equation.3 .
Agora, por hipótese 
, o que implica que 
.
Mas 
, portanto 
�� EMBED Equation.3 Logo,
 
 
Observe que para 
para 
para
 para 
Exemplo 3.5. Vamos mostrar, usando vetores que ponto médio de um segmento que une os pontos 
 e 
 é 
 
O ponto M é o ponto médio de AB se, e somente se, 
Então, aplicando o exemplo anterior (com o ponto C sendo a origem O), 
 Como as coordenadas de um ponto são iguais as componentes do vetor que da origem até aquele ponto, segue-se que 
+
 e M = 
.
 �
�
�
 � 
�
Figura 3.6: As componentes do vetor V no plano. Figura 3.7: As coordenadas de P são iguais as coordenadas de 
�
Figura 3.8: A soma de dois vetores no plano Figura 3.6: A multiplicação de vetor por escalar no plano 
��
�
 
�
Norma e Produto Escalar 
Já vimos o comprimento de um vetor V é definido como sendo o comprimento de qualquer um dos seguimentos orientados que o representam. O comprimento do vetor V também é chamado de norma de V e é denotado (a) por 
=
�� EMBED Equation.3 
No caso em que 
�� EMBED Equation.3 é um vetor no plano, e por 
 =
 
No caso em que 
 é um vetor no espaço (verifique usando as figuras 3.14 e 3.15 ). 
Um vetor de norma igual a 1 é chamado de vetor unitário.
A distância entre dois pontos 
 e 
 é igual á norma do vetor 
 (figura 3.13) . Como 
 então a distância de P a Q é dada por 
= 
Analogamente, a distancia entre dois pontos 
 e 
 no plano é igual à norma do vetor 
,que é dada por dist
=
. �
 Exemplo 3.6. A norma do vetor 
 é 
A distância entre os pontos 
e 
 é
�� EMBED Equation.3 
Se 
 e 
 é um escalar, então da definição da multiplicação de vetor por escalar e da norma de um vetor segue-se que 
 ou seja 
 
 (3.5)
Dado um vetor V não nulo o vetor 
é um vetor unitário na direção de V, pois por (3.5) temos que 
 =
 
Exemplo 3.7. Um vetor unitário na direção do vetor 
 é o vetor 
 
 
O ângulo entre dois vetores não nulos, V e W, é definido pelo ângulo 
 determinado por V e W que
satisfaz 
 quando eles estão representados com a mesma origem. 
Quando o ângulo 
 entre dois vetores V W é reto 
, ou um deles é o vetor nulo, dizemos que os 
vetores V e W são ortogonais ou perpendiculares entre si. 
Vamos definir, agora, um produto entre dois vetores cujo resultado é um escalar. Por isso ele é chamado
produto escalar. Este produto tem aplicação, por exemplo, em Física: O trabalho realizado por uma força
é o produto escalar do vetor força pelo vetor deslocamento, quando a força aplicada é constante.
Definição 3.1. O produto escalar ou interno de dois vetores V e W é definido por 
 
 
 
 em que 
 é o ângulo entre eles .
Quando os vetores são dados em termos das suas componentes não sabemos diretamente o ângulo entre
eles. Por isso , precisamos de uma forma de calcular o produto escalar que não necessite do ângulo entre
os vetores . 
Se V e W são dois vetores não nulos e 
 é o ângulo entre eles, então pela lei dos cossenos,
 
 
Assim 
 
 (3.6) 
Já temos uma fórmula para calcular o produto escalar que não depende diretamente do ângulo entre eles.
Substituindo –se as coordenadas dos vetores em (3.6) Obtemos uma expressão mais simples para o 
cálculo do produto interno.
Por exemplo, se V = 
 e 
 são vetores no espaço, então substituindo-se 
 em (3.6) os termos 
e 
 são concentrada e obtemos 
 
Teorema 3.2. O produto escalar ou interno 
, entre dois vetores é dado por 
 
, 
Se 
e W = 
 são vetores no plano e por 
 
Se 
 e 
=
 são vetores no espaço. 
Exemplo 3.8. Sejam 
 e W = 
. O produto escalar de V por W é dado por 
 
 
 Podemos usar o teorema 3.2 para determinar o ângulo entre dois vetores não nulos, V e W. O cosseno do ângulo entre V e W é, então, dado por 
 
 Se V e W são vetores não nulos e 
 é o ângulo entre eles, então 
a) 
 é agudo 
 se, e somente 
b) 
 é reto 
 se, e somente se, 
 e 
c) 
 é obtuso ( 90º < 
180º ) Se, e somente se, V 
.
Exemplo 3.9. Vamos determinar o ângulo entre uma diagonal de um cubo e uma de suas arestas. Sejam 
, 
 e 
�� EMBED Equation.3 ( figura 3.18 ). Uma diagonal do cubo é representada pelo vetor D dado por 
�� EMBED Equation.3 
Então o ângulo entre D e 
 satisfaz cos 
 
 ou seja 
Teorema 3.3. Sejam U, V e W vetores e 
 um escalar. São válidas as seguintes propriedades: 
 (comutatividade ) 
 
 (distributividade) 
 ( associatividade) 
�� EMBED Equation.3 
 
Demonstração. Sejam 
 
 
 
 = 
 
 é uma soma de quadrados, por isso é sempre maior ou igual a zero e é zero se, e somente se, todas as parcelas são iguais a zero. 
Projeção Ortogonal 
Dados dois vetores V e W a proteção ortogonal de V sobre W denotada por 
é o vetor que é paralelo a 
 tal que 
 seja ortogonal a W ( figura 3.19) 
Proposição 3.4. Seja W um vetor não nulo. Então, projeção ortogonal de um vetor V em W é dada por 
 
 
Demonstração. Sejam 
 Como 
 é paralelo a 
, então 
 
 (3.7)
Assim, 
Multiplicando-se escalarmente
 por 
 e usado o teorema 3.3 
obtemos 
 
 
 (3.8)
Mas, 
 é ortogonal a 
, então 
 Portanto, de (3.8) obtemos 
 
.
Substituindo este valor de 
 na equação ( 3.7) segue-se o resultado.
Exemplo 3.10. Sejam 
 e 
. Vamos encontrar dois vetores 
 tais que 
é paralelo a W e 
é perpendicular a 
 . Vamos encontrar dois vetores 
 e 
 tais que 
 é paralelo W e 
 é perpendicular a W ( figura 3.19). Temos que 
 
 
 
 
 
 
 Exercícios Numéricos 
Determine o vetor X, tal que 
Determine o vetor X, tal que 
Determine as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o vetor 
 sabendo-se que sua origem está no ponto 
Quais são as coordenadas do ponto P’ , simétrico do ponto 
 em relação ao ponto 
(Sugestão: o ponto P’ é tal que o vetor 
)
Verifique se os pontos dados a seguir são colineares, isto é, permanecem a uma mesma reta: 
 
 
e 
Dados os pontos 
Determine o ponto D tal que 
e 
sejam vértices consecutivos de um paralelogramo.
Verifique se o vetor 
é combinação linear (soma de múltiplos escalares) de V e W : 
 
 
e 
 
 
 e 
Sejam 
 e 
Determine vetores unitários paralelos aos vetores 
 
 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
Ache o vetor unitário da bissetriz do ângulo entre os vetores 
 e 
. ( Sugestão : observe que a soma de dois vetores está na direção da bissetriz se, e somente se, os dois tiverem o mesmo comprimento. Portanto, tome múltiplos escalares de 
 e 
de forma que eles tenham o mesmo comprimento e tome o vetor unitário na direção da soma deles .)
 Determine o valor de 
 para o qual os vetores 
e 
=
são perpendiculares. 
Demonstre que não existe 
tal que os vetores 
e
são perpendiculares.
Ache o ângulo entre os seguintes pares de vetores: 
Decomponha 
�� EMBED Equation.3 como a soma de dois vetores 
e 
com 
paralelo ao vetor 
 e 
ortogonal a este último. (Sugestão : revise o Exemplo 3.10) 
Sabe que o valor 
é ortogonal a 
tem norma 
e sendo 
 o ângulo entre 
e 
tem-se 
 Ache 
.
Mostre que 
=
são vértices de um triângulo retângulo. Em qual dos vértices está o ângulo reto ? 
Equações de retas e planos 
Equação do plano 
 Existe uma analogia entre uma reta no plano e um plano no espaço. No plano, a equação de uma reta é determinada se forem dados sua inclinação e um de seus pontos. No espaço, a inclinação de um plano é dada por um vetor perpendicular a ele e a equação de um plano é determinada se são dados um vetor perpendicular a ele e um de seus pontos. 
Proposição 3.5. A equação de um plano 
 que possa por um ponto 
 e é perpendicular ao vetor 
 é 
 (3.9)
onde 
A equação (3.9) é chamada equação geral do plano 
 e o vetor N é chamado vetor normal do plano. 
Demonstração. Um ponto 
 pertence ao plano 
se, e somente se, o vetor 
for perpendicular ao vetor N, ou seja, 
 (3.10)
Como, 
 a equação (3.10) pode ser reescrita como 
 
 
ou seja: 
 
 �
Exemplo 3.11. Vamos encontrar a equação do plano 
 que passa pelo 
e é perpendicular ao vetor 
. Da proposição anterior, equação do plano é da forma 
 
 
onde os coeficientes de 
 são as componentes do vetor normal, ou seja, 
 Assim, equação de 
 é da forma 
Para determinar o coeficiente 
, basta usando o fato de que 
 pertence a 
. Mas o ponto 
pertence a 
se, e somente se, as suas coordenadas satisfazem a equação de 
 , ou seja, 
 
 
De onde tiramos que 
. Finalmente, a equação do plano 
 é 
 
No plano, a equação de uma reta é determinada se forem dados dois pontos da reta. Analogamente, no espaço, a equação de um plano é determinada se são dados três pontos 
 não colineares ( isto é permanentes a uma mesma reta ). Com os três pontos podemos ‘’ formar os vetores 
 e 
( figura 3.25). 
�
�
�
Exemplo 3.12. Vamos encontrar a equação do plano 
 que passa pelos pontos 
 Com os três pontos podemos ‘’ formar’’ os vetores 
 e 
O vetor normal do plano, 
 é ortogonal a estes três vetores. De onde obtemos um sistema homogêneo com três equações 
 e três incógnitas 
, que tem solução não trivial se, e somente se, o determinante da matriz do sistema é igual a zero (Teorema 2.15) ou seja, se e somente se, 
 det 
 (3.11)
Mas 
 
 V=
 W=
Então, a equação do plano é 
det 
 =
 A equação do plano também é determinada se ao invés de serem dados três pontos, dados um ponto 
 do plano e dois vetores paralelos ao plano 
que eles sejam não colineares. Ou ainda se forem dados dois pontos 
do plano e um vetor paralelo ao plano 
já que neste caso podemos formar o vetor 
 que é também paralelo ao plano.
 Temos três vetores paralelos ao plano: 
O vetor normal do plano, 
 é ortogonal a estes três vetores. De onde obtemos um sistema homogêneo com três equações 
e três incógnitas (a, b e, c), que tem solução não trivial se, e somente se, o determinante da matriz do sistema é igual a zero (Teorema 2.15), ou seja, se e somente, 
 det 
 (3.12)
Assim, um pouco 
 pertence a um plano 
que passa pelo 
 e é paralelos aos vetores 
 e 
( não paralelos ) se, e somente se, a equação (3.12) é verdadeira. 
Observação. Não faz sentido dizer que um vetor pertence a um plano. Pois por um lado um plano é um conjunto de pontos e por outro, os vetores são ‘’ livres, podem ser ‘’colocados ‘’em qualquer ponto. O correto é dizer que um vetor é paralelo a um plano. 
3.2.2 Equações da reta
 Vamos supor que uma reta 
 é paralela a um 
 não nulo e que passa por um ponto 
 Um ponto 
 pertence a reta r se, e somente se, o vetor 
 é paralelo ao vetor 
, isto é se o vetor
 é um múltiplo escalar de 
ou seja,
 
 (3.13)
Em termos de componentes (3.13) pode ser escrito como 
 
De onde segue-se que 
 e 
 Isto prova o resultado seguinte. 
Proposição 3.6. As equações. 
 
 para todo 
 
 (3.14)
são de uma reta 
que passa por um ponto 
 e é paralela ao vetor 
 As equações (3.14) são chamadas equações paramétricas da reta 
. O vetor 
 é chamado vetor diretor da reta 
.
O parâmetro 
 pode ser interpretado como o instante de tempo, se o ponto 
 descreve o movimento de uma partícula em movimento retilíneo uniforme com vetor velocidade V=
 Observe que para 
 para 
 e assim por diante.
�
 
 � 
As equações (3.14), podem ser reescritas como= 
 
Observação. Não faz sentido dizer que o vetor está contido na reta. Por um lado, a reta é um conjunto de pontos e por outro lado, um vetor não tem posição fixa. 
Exemplo 3.13. A reta que passa por 
 e é paralelos ao vetor 
 tem equações paramétricas 
 
 para todo 
 
Exemplo 3.14. Vamos encontrar as equações paramétricas da reta 
 que passa pelos pontos 
 e 
.O vetor 
 
=
é paralelo a 
e o ponto 
 pertence a 
. Portanto, as equações paramétricas de 
 são 
 
�� EMBED Equation.3 Para todo 
 
Podemos também encontrar a interseção da reta 
com os planos coordenados
 A equação do plano 
, do plano
e do plano 
 Substituindo 
 nas equações de 
, obtemos 
ou seja, o ponto de interseção de 
 com o plano 
 é 
.
De forma análoga, encontramos que 
 é o ponto de interseção de 
com o plano 
 e 
 é o ponto de interseção de 
 com o plano 
Exemplo 3.15. Vamos encontrar as equações paramétricas da reta 
, interseção dos planos 
 
 
 
 
 (3.15)
Podemos encontrar as equações paramétricas de 
 determinando a solução geral do sistema (3.15). Para isto devemos escalonar a matriz do sistema (3.15) :
 
Precisamos ‘’ zerar o outro elemento da 1ª coluna, que é a coluna do pivô, para isto, adicionamos á 2ª linha, menos a 1ª linha.
 
 
Agora, já podemos obter facilmente a solução geral do sistema dado já que ele é equivalente ao sistema 
 
A variável 
é uma variável livre. Podemos dar a ela um valor arbitrário, digamos 
, para 
 qualquer. Assim, a solução geral do sistema dado é 
 
 Para todo 
 (3.16)
Exercícios Numéricos 
3.2.1. Ache a equação do plano paralelo ao plano 
 e que passa por 
3.2.2. Encontre a equação do plano que passa pelo ponto 
 e é perpendicular aos planos 
.
3.2.3. Encontre a equação do plano que passa pelos pontos 
 e 
 e é perpendicular ao plano 
 
3.2.4. Dadas as retas 
e 
obtenha uma equação geral para o plano determinado por 
e 
3.2.5. Sejam P=
e 
 
Mostre que 
 
Obtenha uma geral do plano determinamos por 
e 
. 
3.2.6. Dados os planos 
determine o plano que contém 
e é ortogonal ao vetor 
 
3.2.7. Quais dos seguintes pares de plano se cortam segundo uma reta?
 
 
 
 e 
3.2.8. Encontre as equações da reta que passa pelo ponto 
e é perpendicular ao plano 
3.2.9. Ache a equação da reta que passa pelo ponto 
e é paralelos aos planos 
3.2.10. Seja 
a reta determinada pela interseção dos planos 
 e 
 Ache a equação do plano que passa por 
e contém a reta 
.
Os Espaços 
Já vimos que os vetores no plano são identificados com os pares ordenados com os pares ordenados de números reais e que vetores no espaço são identificados com ternos ordenados de números reais. Muito do que estudamos sobre vetores no plano e no espaço pode ser estendido para 
-úplas de números reais em que 
 pode ser um número inteiro positivo. 
Definição 3.2. Para cada inteiro positivo 
 o espaço (vetorial) 
 é definido pelo conjunto de todas as 
-úplas ordenadas 
 de números reais . 
 O conjunto 
é simplesmente o conjunto dos números reais. O conjunto 
é o conjunto dos pares de números reais e o 
 é o conjunto dos ternos de números reais.
 No 
o terno de números 
pode ser interpretado geometricamente de duas maneiras : pode ser visto como um ponto, neste caso 
 e 
 são as coordenadas do ponto ( figura 3.31) ,ou como um vetor, neste caso 
 e 
são as componentes do vetor ( Figura 3.32). Também no 
 uma 
-úpla pode ser pensada como um vetor ou como um ponto. Por exemplo, a quintúpla 
 pode ser pensada como um ponto no 
 quanto consideramos 
 como um elemento do conjunto 
, ou como um vetor do 
,quando fazemos operações com 
, como as que iremos definir adiante. Vamos chamar os elementos do 
 de pontos ou de vetores dependentes da situação. 
Dois vetores 
 e 
 no 
 são considerados iguais se 
As operações de soma de vetores e multiplicação de vetor escalar no 
são definidas de maneira análoga ao que fizemos no plano e no espaço.
�
Definição 3.3 
 A soma de dois vetores 
 e 
do 
 é definida por 
; (3.17)
 A multiplicação de um vetor 
Do 
 por um escalar 
é definida por 
 
 (3.18)
 O vetor nulo do 
 é denotado por 0 e é definido por 
 Se 
 é um vetor do 
, então o simétrico de V é denotado por 
 e é definido por 
. A diferença de dois vetores no 
 é definida por 
. Se 
são vetores do 
tais que 
 para algum escalar 
, então dizemos que 
 é um múltiplo escalar de V.
Um vetor 
 do 
 pode também ser escrito na notação matricial como uma matriz linha ou como uma matriz coluna: 
 
 ou 
 
Estas notações podem ser justificadas pelo fato de que as operações matriciais 
 
 
 =
, 
=
Ou 
 
 
 
 Produzem os mesmos resultados que as operações vetoriais 
 
 
No teorema seguinte enunciamos as propriedades mais importantes da soma de vetores e multiplicação de vetores por escalar no 
 
Teorema 3.7. Sejam 
e 
 vetores do 
 e 
 e 
 escalares. São válidas as seguintes propriedades: 
 
 
 
 
 
 
 
;
 
; 
 
 
 
 
 
Demonstração. Segue diretamente das propriedades da álgebra matricial ( Teorema 1.1) 
O conceito de vetores pode ser generalizado ainda mais. Um conjunto não vazio onde estão definidas as operações de soma e multiplicação por escalar é chamada espaço vetorial se satisfaz as oito propriedades do Teorema 3.7
 
3.3.1 Combinação linear 
Uma combinação linear de vetores 
 é simplesmente uma soma de múltiplos escalares de 
Definição 3.4. Um vetor 
 é uma combinação linear dos vetores 
 
 se existem escalares 
 que satisfazem à equação 
 
 (3.19)
ou seja, se a equação vetorial ( 3.19) possui solução. Neste caso, dizemos também que V pode ser escrito como uma combinação linear de 
 
Se 
, então a equação ( 3.19) se reduz a 
 ou seja, 
é uma combinação linear de 
 se, e somente 
 é múltiplo escalar de 
 
Exemplo 3.16 Sejam 
 e 
 vetores de 
 O vetor 
 não é uma combinação linear de 
, pois a equação 
 
 (3.20)
que pode ser escrita como 
ou ainda, 
 é equivalente ao sistema 
 que não possui solução. 
Exemplo 3.17. O vetor 
 é uma combinação linear de 
 e 
, pois a equação 
 (3.21)
ou 
ou ainda,
� 
é equivalente ao sistema 
 que possui solução. 
Exemplo 3.18. O vetor nulo 0 é sempre combinação linear de quaisquer vetores 
�� EMBED Equation.3 
pois 
.
Exemplo 3.19. Todo vetor 
 do 
 é uma combinação linear de 
 
 e 
 pois,
 
 Para verificarmos se um vetor B é combinação linear de um conjunto de vetores 
, escrevemos a equação vetorial 
 (3.22)
�
e verificamos se ela tem solução. Se 
são vetores do 
 a equação ( 3.22 ) , pode ser escrita como 
 
 
 =
 que é equivalente ao sistema linear 
 
em que as colunas de 
 são os vetores 
 escritos como matrizes colunas, ou seja, 
 e
. Isto prova o seguinte resultado.Proposição 3.8. Sejam 
 uma matriz 
 uma matriz 
 O vetor 
 é combinação linear das colunas de 
 se, e somente se o sistema 
tem solução. 
3.3.2 Independência Linear 
Definição 3.5 Dizemos que um conjunto 
de vetores do 
é linearmente independente ( L .I.) se a equação vetorial 
 
 (3.23) 
só possui a solução trivial, ou seja, se a única forma de escrever o vetor nulo como combinação linear dos vetores 
 é aquela em que todos os escalares são iguais a zero. Caso contrário, isto é, se ( 3.23 ) possui solução não trivial, dizemos que o conjunto 
 é linearmente dependente 
.
Exemplo 3.20. Um conjunto finito de vetores do 
 que contém o vetor nulo é 
., pois se 
 é tal que 
 para algum 
 então 
 
Exemplo 3.21. Um conjunto formado por um único vetor do 
não nulo é 
 pois 
 é equivalente a 
 ou 
Mas 
; portanto 
Exemplo. 3.22. Se 
 é um conjunto de vetores 
. , então qualquer conjunto finito de vetores que contenha 
 é também 
 pois a equação. 
 
 admite solução não trivial.
Exemplo 3.23. Um conjunto formado por dois vetores do 
 é 
se ,e somente se, a equação 
 possui solução não trivial. Mas se isto acontece, então um dos escalares 
 ou 
 pode ser diferente de zero. Se 
 então 
�� EMBED Equation.3 e se 
, então 
�� EMBED Equation.3 Ou seja, se 
 é 
 então um dos vetores e múltiplo escalar do outro 
 Reciprocamente, se um vetor é múltiplo escalar do outro, digamos se 
 então 
 e assim eles são 
Portanto, podemos dizer que dois vetores são 
se, e somente se, um é um múltiplo escalar do outro . 
Por exemplo, o conjunto 
 em que 
e 
, é 
 pois um vetor não é múltiplo escalar do outro. 
�
 �
�
 Exemplo 3.24. Um conjunto formado por três vetores de 
, 
 é 
 se, e somente se, a equação 
 possui solução não trivial. Mas se isto acontece , então um dos escalares 
 ou 
 ou 
 pode ser diferente de zero. Se 
 então 
 ou seja, o vetor 
 é combinação linear de 
 e 
.De forma que semelhante, Se 
 então 
 é combinação linear de 
 e 
e se 
 então 
é combinação linear de 
 e 
.
 Assim, se três vetores 
 do 
 são 
então um deles é uma combinação linear dos outros dois, ou seja, um deles é uma soma de múltiplos escalares dos outros dois. No 
 temos que se três vetores não nulos são 
 Então ou os três são paralelos ( figura 3.38 ) ou dois deles são paralelos ( figura 3.39 ), ou os três são coplanares , isto é são paralelos a um mesmo plano ( figura (3.40) 
 Reciprocamente, se um vetor é uma combinação linear dos outros dois digamos se 
 então 
 e assim eles são 
Portanto, podemos dizer que três vetores são 
 se, somente se, um deles é uma combinação linear dos outros dois. No 
, se três vetores são 
 então eles não são coplanares ( Figura 3.41) .
Exemplo 3.25. Vamos mostrar que os vetores 
 são 
 em particular os vetores 
 e 
 são 
 A equação
 pode ser escritas como 
Logo, 
, que é equivalente ao sistema 
Para descobrir se um conjunto de vetores 
é 
precisamos saber se a equação vetorial
 
 (3.24)
tem somente a solução trivial. Se 
são vetores do 
 a equação ( 3.24) pode ser escritas como 
 
�� EMBED Equation.3 =
 
que e equivalente ao sistema linear homogêneo 
 em que as colunas de 
 são os vetores 
 escritos como matrizes colunas, ou seja, 
 e 
. Isto prova o seguinte resultado. 
Proposição 3.9 Seja 
 uma matriz 
 As colunas de 
são linearmente independentes se, e somente se, o sistema 
 tem somente a solução trivial.
 Se 
 então as colunas de 
 são linearmente independentes se e, e somente se, det 
 
 Três ou mais vetores no 
assim como quatro ou mais vetores no 
 e mais de 
 vetores no 
são sempre 
 Pois nestes casos, o problema de verificar se eles são ou 
 leva a um sistema linear homogêneo com mais incógnitas do que equações, que pelo Teorema 1.6 tem sempre solução não trivial.
Corolário 3.10. Em 
um conjunto com mais de 
vetores é 
 Exemplo 3.26. Considere os vetores 
e 
 de 
Para sabermos se eles são 
 ou 
 escrevemos a equação 
 
Esta equação vetorial é equivalente ao sistema linear 
 em que 
 
Escalonando a matriz 
 podemos obter a sua escalonada reduzida 
 
Concluímos, então que o sistema 
 possui somente a solução trivial 
 Portanto os vetores 
e 
 são 
Exemplo 3.27. Sejam 
 e 
 vetores do 
Para sabemos se eles são 
ou 
 Escrevemos a equação 
 
 (3.25)
Esta equação vetorial é equivalente ao sistema linear 
 em que 
 
A matriz 
 é equivalente por linhas á matriz escalonada reduzida 
 
Assim a variável 
 pode ser uma variável livre que pode, portanto, assumir qualquer valor. Concluímos que o sistema 
e a equação vetorial ( 3.25.) têm solução não trivial.Portanto, 
 e 
 são 
 A Expressão ‘’ linearmente dependente ‘’ sugere que os vetores dependem uns dos outros em algum sentido. O teorema seguinte mostra que este realmente é o caso.
Teorema 3.11. Um conjunto 
 
 de vetores de 
 é linearmente dependente 
 se somente se, pelo menos dos vetores 
 for combinação linear dos outros vetores de 
 
Demonstração. Vamos dividir a demonstração em duas partes: 
 Se 
 e uma combinação linear dos demais vetores do conjunto 
, isto é, se existem escalares 
 tais que 
 
então somando-se 
 a ambos os membros ficamos com 
 
 (3.27) 
Isto implica que a equação 
 admite solução não trivial, pois o coeficiente de 
em ( 3.27 ) é -1. Portanto, 
 é 
 
 
 Se 
 é 
 então a equação: 
 (3.28)
admite solução não trivial, o que significa que pelos menos um 
 é diretamente de zero. Então,
multiplicando-se a equação ( 3.28 ) por 
 e subtraindo-se 
obtemos 
 
 
Portanto, um vetor 
 é combinação linear dos outros vetores de 
 
Observação. Na demonstração da segunda parte, vemos que o vetor, cujo escalar na combinação linear, puder ser diferente de zero, pode ser escrito como combinação linear dos outros. 
 Exemplo 3.28. Sejam 
, 
 e 
Vetores do 
 Vamos escrever um dos vetores como combinação linear dos outros vetores dois. Vimos no Exemplo 3.27 que estes vetores são 
 De ( 3.26 ) segue-se que 
 se, e somente se, 
 e 
, para todo 
 Substituindo-se os valores de 
 e 
na equação acima, ficamos com 
 
 
Tomando-se 
 obtemos 
 
�� EMBED Equation.3 
multiplicando-se por -5 e somando-se 
. temos que 
. Observe que, neste exemplo, qualquer dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. O próximo exemplo mostra que nem sempre acontece. 
Exemplo 3.29. Sejam 
 e 
 
 é 
mas 
 não é combinação linear de 
 ( figura 3.39 ) . 
Exercícios Numéricos 
3.3.1 Quais dos seguintes vetores são combinação linear de 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3.2. Quais dos seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes? 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3.3. Para quais valores de 
 o conjunto de vetores 
 é 
3.3.4.Suponha que 
 é um conjunto linearmente independente de vetores de 
Responda se 
é linearmente dependente ou independente nos seguintes casos : 
 
 
�� EMBED Equation.3 
 
 
 
C
N
M
B
A
C
B
X
A
V
W
�V
W
W+V
V+W
V+W
W+U
(V+W)+U
V + (W + U)
W
U
V – W 
-W
WV
V
W
V – W 
v
-2v
3v
� EMBED Equation.3 ���
0
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
x
y
� EMBED Equation.3 ���
0
x
� EMBED Equation.3 ���
y
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
x
W
V+W
V
Figura 3.2: V + W = W + V
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
y
y
z
� EMBED Equation.3 ���
Figura 3.10: As coordenadas de um ponto no espaço
 x
y
� EMBED Equation.3 ���
z
y
x
� EMBED Equation.3 ���
 � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
z
z
 P’ 
� EMBED Equation.3 ���
y
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
z
� EMBED Equation.3 ���
y 
x
0
 x
y
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
z
z
� EMBED Equation.3 ���
Q
0
x
y
P-
V
z
y
x
� EMBED Equation.3 ���
Figura 3.14: A norma de um vetor V no plano
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
z
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
y
 x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
x
x
y
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
z
z
y
� EMBED Equation.3 ���
x
z
y
� EMBED Equation.3 ���
y
x
� EMBED Equation.3 ���
z
x
Figura 3.24: Planos ax+by+cz = 0 e ax+by+cz = d
z
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
z
y
x
Figura 3.23: Planos ax+by +cz=0
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
z
y
x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
z
x
y
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
y
x
r
� EMBED Equation.3 ���
z
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
z
x
y
V
r
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
y
x
z
z
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
x
y
z
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
z
x
� EMBED Equation.3 ���
y
V=� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
z
x
y
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
z
x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
y
z
x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
y
x
z
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
y
z
x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
z
y
x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
y
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
z
x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
y
Figura 3.1: Segmentos orientados representando o mesmo vetor
V
Figura 3.3.
V + (W + U) = (V + W) + U
Figura 3.4: A diferença V – W 
Figura 3.5: Multiplicação de vetor por escalar
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
V
� EMBED Equation.3 ���*� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
y
Figura 3.11: As componentes de um vetor no espaço
Figura 3.12: As coordenadas de P são iguais de � EMBED Equation.3 ���
 Figura 3.13: � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Figura 3.15 : A norma de um vetor V no espaço
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
V
W
V
W
Figura 3.16. Ângulo entre dois vetores
� EMBED Equation.3 ���
W
V
V-W
� EMBED Equation.3 ���
W
V
V-W
Figura 3.17 – Ângulo entre dois vetores e a diferença entre eles
X
Y
Z
(0 ,0, 1)
(0, 1, 0)
(1, 0, 0)
(1, 1, 1)
Figura 3.18: Ângulo entre a diagonal de um cubo e uma de suas arestas
� EMBED Equation.3 ���
Figura 3.19: Projeção ortogonal do vetor V sobre o vetor W
V-projwV
projwV
W
V
projwV
V
V-projwV
W
� EMBED Equation.3 ���
Figura 3.20: Plano perpendicular a N = (a , b , c) e que passa por � EMBED Equation.3 ���
Figura 3.21:Planos ax-d=0 , by+d=0 , cz+d=0
z
y
x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
z
y
x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
z
x
y
Figura 3.22: Planos by+cz+d=0 , ax+cz+d=0 e ax+by+d=0
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Figura 3.25: Plano que passa por três pontos 
Figura 3.26: Reta paralela ao vetor � EMBED Equation.3 ���
Figura 3.31: condenadas � EMBED Equation.3 ��� 
Figura 3.32: componentes � EMBED Equation.3 ���
Figura 3.33: O vetor V não é combinação linear de � EMBED Equation.3 ��� e � EMBED Equation.3 ��� 
Figura 3.34: O vetor V é combinação linear de � EMBED Equation.3 ��� e � EMBED Equation.3 ���
Figura 3.35: � EMBED Equation.3 ���
Figura 3.36: Dois vetores linearmente dependentes 
Figura 3.37: dois 
Figura 3.37: Dois vetores linearmente independentes
� EMBED Equation.3 ���
Figura 3.38: Três vetores linearmente dependentes ( paralelos ) 
Figura 3.39: Tres vetores linearmente dependentes(dois paralelos)
Figura 3.40: Três vetores linearmente dependentes ( coplanares ) 
Figura 3.41: Tres vetores linearmente independentes
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