MECÂNICA CLÁSSICA

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AT 1
2 32
S
U
M
Á
R
IO
3 INTRODUÇÃO
5 UNIDADE 1 - Elementos Fundamentais da Mecânica Newtoniana
6 1.1 As leis de Newton
7 1.2 Força e massa
8 1.3 Sistemas de referência 
9 1.4 Lei de Newton associada à atração da gravidade 
10 1.5 Medidas e limitações da Mecânica de Newton
12 UNIDADE 2 - Movimento de Partículas em uma Dimensão
12 2.1 Sistemas de referência 
13 2.2 Coordenadas cartesianas e posição 
13 2.3 Generalizando para duas e três dimensões
15 2.4 Movimento e repouso
15 2.5 Definindo formalmente a trajetória
16 2.6 Cinemática envolvendo o movimento em uma dimensão
20 UNIDADE 3 - Oscilador Harmônico e Propriedades Fundamentais
20 3.1 Conceitos fundamentais 
22 3.2 Equações do movimento harmônico simples
23 3.3 A energia associada ao movimento harmônico simples
24 3.4 Oscilador harmônico amortecido
25 3.5 Oscilador harmônico forçado
28 UNIDADE 4 - Movimentos Bidimensional e Tridimensional Envolvendo Partículas
28 4.1 Vetor posição e vetor velocidade
29 4.2 Vetor aceleração
31 4.3 Movimento de um projétil
35 4.4 Força central
38 UNIDADE 5 - Unidades de Medidas
40 REFERÊNCIAS
2 33
INTRODUÇÃO
É sabido que a Mecânica é a parte da 
Física que estuda o movimento dos cor-
pos. Ela é dividida em Cinemática, Dinâ-
mica e Estática e, especificamente falan-
do, é de fundamental importância para 
a descrição de propriedades e resolução 
de problemas particulares no contexto 
da Engenharia e, em especial, para a par-
te da Engenharia Civil. Grosso modo, de 
forma bem simples, visualizamos que:
 Cinemática – descreve o movimen-
to dos objetos sem se preocupar com 
suas causas, abrangendo os conteúdos 
de movimento retilíneo uniforme, mo-
vimento uniformemente variado, gran-
dezas vetoriais nos movimentos e movi-
mento circular;
 Dinâmica – é o estudo dos movi-
mentos e suas causas. Tem como base de 
seus conteúdos as Leis de Newton;
 Estática – estuda o equilíbrio de um 
sistema sob a ação de várias forças.
É interessante observarmos que de 
acordo com Hibbeler (2005), é muito com-
plicado nas entrelinhas estabelecermos 
o nascimento da Mecânica e dos seus es-
tudos relacionados, já que existem regis-
tros de que ela está intimamente ligada 
às considerações de astros celestes des-
de as mais remotas civilizações. Assim, a 
partir da consideração da periodicidade 
do movimento dos astros que foram fei-
tos os primeiros calendários na Mesopo-
tâmia, por exemplo, por volta do ano de 
2700 a.C. Dessa forma, um pulo relevante 
na Mecânica aconteceu na Grécia antiga 
a partir da Filosofia Natural, que exercia 
uma “busca pela verdade”. Os principais 
nomes dessa fase foram Aristóteles, que 
definia o movimento como um atributo 
do ser em movimento, e Arquimedes, que 
descreveu os estudos específicos sobre 
estática e hidrostática. 
Segundo Meriam (2009), o conheci-
mento dos gregos prevaleceu durante 
muitos séculos, entretanto, a partir do 
século XV, com o Renascimento, que a 
ciência começou a modernizar-se, Galileu 
Galilei se tornou o principal pesquisador 
da área em tais tempos. Em verdade, po-
demos dizer que foi ele quem introduziu 
o conceito de movimento uniforme e es-
tudou o movimento do pêndulo simples e 
de projéteis diversos, propondo também 
que o Sol seria o centro do Sistema Solar, 
e não a Terra, como se acreditava em pe-
ríodos anteriores. Salientamos ainda, que 
no mesmo período da morte de Galileu, 
tivemos o nascimento de Isaac Newton, 
um grande filósofo, matemático e físico 
que propôs as três Leis fundamentais da 
dinâmica em sua obra denominada “Prin-
cípios Matemáticos da Filosofia Natural”, 
publicada em 1687. As teorias apresen-
tadas por Newton pareciam ser perfeitas 
e descreviam, até então, o movimento de 
todos os corpos. 
Tome nota: a Mecânica é 
uma das partes da Física e sen-
do a mais antiga de todas, já 
que é responsável pela descri-
ção dos estudos dos fenôme-
nos que ocorrem na natureza e, 
especificamente falando, o que 
primeiro chamou a atenção da 
4 54
humanidade foi o movimento 
dos corpos. Logo, criaram a Me-
cânica para que estudássemos 
os movimentos e o repouso dos 
corpos em geral.
Entretanto, no início do século XX, de 
acordo com Silva (2011), Albert Einstein 
publicou a teoria da relatividade, que 
afirmou que os eventos físicos são os 
mesmos para quaisquer referenciais com 
velocidade relativa constante. As Leis de 
Newton passaram a ser consideradas vá-
lidas apenas para velocidades muito me-
nores do que a da luz. Entretanto, as leis 
propostas por Newton são suficientes 
para o estudo dos movimentos observa-
dos na superfície da Terra, por isso ainda 
são consideradas relevantes para a Física 
Clássica. 
De outra forma, segundo Hibbeler 
(2005), os princípios da estática desen-
volveram-se na história a muito tempo, 
porque podiam ser formulados simples-
mente a partir das medições da geome-
tria e da força. Estudos sobre polia, plano 
inclinado e torção aparecem em registros 
antigos, da época em que as necessida-
des da engenharia limitavam-se princi-
palmente à construção de edifícios e má-
quinas. 
A disciplina de Mecânica é um momen-
to que envolve a aplicação dos conceitos 
da Física em relação ao movimento dos 
corpos no contexto da Engenharia. Vá-
rias situações do dia a dia do engenheiro 
serão analisadas, com o objetivo de fi-
xarmos a teoria de uma forma bem mais 
simples e prática. Sem abrir mão da com-
plexidade dos temas propostos, o con-
teúdo foi cuidadosamente selecionado 
e apresentado de modo a permitir que 
sua aprendizagem aconteça de forma 
simples e agradável. Sugerimos que leia 
atentamente cada parte deste material 
de apoio. 
Nesse sentido, o objetivo geral da nos-
sa disciplina é apresentar um aparato 
teórico e prático envolvendo a aplicabili-
dade da Mecânica no contexto da Enge-
nharia e, em particular, no contexto da 
Engenharia Civil, desde definições e mé-
todos utilizados para a resolução de pro-
blemas práticos dessas áreas. 
Pois bem, as palavras acima são nos-
sa justificativa para o módulo em estu-
do. Desde já, desejamos sucesso, não só 
nesta disciplina, mas em todo o curso.
4 55
UNIDADE 1 - Elementos Fundamentais 
da Mecânica Newtoniana
É interessante já ficar claro que na 
área da Mecânica, procuramos descrever 
um conjunto de leis físicas que forneçam 
um método matemático para descre-
ver o movimento de um ponto material 
ou de um conjunto de pontos materiais. 
Estabeleceremos os conceitos de ponto 
material e conjunto de pontos materiais 
mais adiante. Além disso, deve ser nota-
do que a formulação newtoniana da Me-
cânica Clássica baseia-se em quatro con-
ceitos fundamentais, a saber: Distância 
(Espaço), Tempo, Massa e Força.
Figura 1: Conceitos fundamentais da Mecânica.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
Dessa forma:
 a “Distância (Espaço)” é entendida 
de forma intuitiva com base em conside-
rações geométricas;
 o “Tempo” corresponde à medida da 
sucessão dos acontecimentos e é capaz 
de ser definida por um observador qual-
quer. É da inter-relação entre os concei-
tos de distância e tempo que surge o es-
tudo do movimento, aparecendo, então, 
as definições de velocidade e aceleração 
de um ponto material (Estudo da Cinemá-
tica);
 a “Massa”, embora utilizada intuiti-
vamente, requer para a sua elaboração 
e compreensão o uso das próprias leis 
fundamentais da Mecânica Clássica (as 
conhecidas Leis de Newton);
 a “Força”, que está intimamente re-
lacionada com a alteração do estado de 
movimento de uma partícula. Do ponto 
de vista físico, as forças são os agentes 
6 7
responsáveis pela mudança da velocida-
de de um objeto. Se ele muda de veloci-
dade então sobre ele age uma força (ou 
mais forças).
Importante: as leis físicas, 
introduzidas logo de iníciopor 
Newton, são a base de toda a 
Mecânica Clássica, apoiadas em 
observações experimentais. Es-
sas leis podem ser entendidas 
como postulados ditados pela 
Natureza. Suas implicações es-
tão de acordo com a observação 
da natureza, então, consistente-
mente, podem aceitar-se estes 
postulados como verdadeiros. 
Eles assumem, portanto, a cate-
goria de leis físicas, isto é, verda-
des manifestadas pela própria 
natureza.
1.1 As leis de Newton
Segundo Hibbeler (2005), as leis de 
Newton podem ser enunciadas como se-
gue:
Primeira lei de Newton: todo o cor-
po permanece no seu estado de repouso, 
ou de movimento uniforme retilíneo, a 
não ser que seja compelido a mudar esse 
estado devido à ação de forças aplicadas.
Figura 2: Interpretando a primeira lei de Newton.
Fonte: Hibbler (2005). 
Segunda lei de Newton: a variação 
de movimento é proporcional à força apli-
cada, e dá-se na direção da reta segundo 
a qual a força está aplicada.
Figura 3: Interpretando a segunda lei de Newton.
Fonte: Hibbler (2005). 
Terceira lei de Newton: a toda a 
ação sempre se opõe uma reação igual; 
ou seja, as ações mútuas de dois corpos 
são sempre iguais e dirigidas às partes 
contrárias.
Figura 4: Interpretando a terceira lei de Newton.
Fonte: Hibbler (2005). 
Notemos que a primeira lei, pode ser 
interpretada como a Lei da Inércia. Gros-
so modo, no universo newtoniano, essa 
lei associa à alteração do estado de mo-
vimento de um corpo, o aparecimento de 
uma grandeza denominada força aplica-
da. Uma consequência importante dessa 
lei é a existência de sistemas de referên-
cia e referenciais inerciais, que serão ca-
racterizados a posteriori.
Importante: por inércia, um 
corpo em repouso tende a con-
tinuar em repouso. Por exemplo: 
por isso que quando um indivíduo 
6 7
está em pé dentro de um ônibus 
e este “dá uma arrancada” forte, 
este indivíduo é jogado para trás, 
pois tende a permanecer parado.
A segunda lei associa a força aplicada 
com a variação de movimento, ou seja, 
a variação temporal da quantidade 
de movimento, que é o produto da massa 
pela velocidade Tal expres-
são característica é comumente conhe-
cida como a expressão da segunda lei de 
Newton. 
A terceira lei adiciona uma propriedade 
nova ao conceito de força, que é o seu as-
pecto de dualidade, ou seja, a existência 
de ação e reação simultâneas. Tal fato é de 
fundamental importância no contexto da 
Engenharia como um todo. Existe, todavia, 
chamarmos a atenção para o fato de essa 
terceira lei não ser uma Lei Geral da Natu-
reza, isto é, não sendo válida para todo tipo 
de força. Ela só se aplica às forças que resul-
tam da interação de dois pontos materiais 
e cuja direção coincide com a linha que une 
os pontos, ou seja, só se aplica às chamadas 
forças centrais. Cabe ressaltar ainda que, de 
acordo com Hibbeler (2005), Newton ainda 
observou que a força resultante que se faz 
sentir sobre o corpo corresponde à soma de 
cada uma das forças, no caso de elas atua-
rem separadamente. Esse corolário enun-
ciado por Newton constitui o princípio da 
independência dos efeitos das forças, ou o 
princípio da composição das forças.
Tome nota: as três leis e a 
regra da composição de forças 
constituem os princípios básicos 
da Mecânica newtoniana e so-
bre os quais é edificada toda a 
Dinâmica.
1.2 Força e massa
De acordo com Hibbeler (2005), a 
obra de Newton foi sujeita, logo após a 
sua publicação, a muitas críticas pesa-
das, sobretudo no que diz respeito aos 
seus conceitos fundamentais, levando 
em consideração os conceitos de massa 
e de força. Neste sentido, pergunta-se: 
Seria, efetivamente, necessária a defini-
ção a priori da força para construir toda a 
Mecânica? E o conceito de massa? O que 
significava quantidade de matéria, qual a 
sua relação com a inércia? 
Os conceitos de força e massa corres-
pondem a fórmulas de cunho matemático 
que associam medidas de espaço e tem-
po. Grosso modo, o valor da massa de um 
ponto material corresponde ao quocien-
te entre a mesma e a de um outro ponto 
de massa unitária, um padrão escolhido. 
Logo, segundo Hibbeler (2005), a primei-
ra lei de Newton pode ser vista como: 
A aceleração de um ponto mate-
rial é sempre produzida por outros 
pontos materiais; se o ponto mate-
rial é um ponto isolado, isto é, infini-
tamente afastado de qualquer ou-
tro, a sua aceleração é nula, ou, por 
outras palavras, a sua velocidade é 
constante (o movimento é uniforme) 
ou é também nula (o ponto está em 
repouso). 
Importante: a segunda lei 
de Newton corresponde efeti-
vamente à definição de força. A 
força é determinada pelas inte-
rações induzidas pelos corpos, 
uns sobre os outros, segundo as 
linhas que os unem; identificar os 
corpos que atuam sobre o corpo 
8 9
em estudo corresponde a identi-
ficar as forças que atuam sobre 
este.
A caracterização da massa é feita com 
base no estudo do movimento e o conhe-
cimento da força resulta do produto da 
massa pela aceleração. Da necessidade 
de quatro conceitos fundamentais (espa-
ço, tempo, massa e força) na formulação 
newtoniana, a Mecânica Clássica passa a 
precisar somente de dois conceitos es-
senciais, espaço e tempo.
Uma das formas mais correntes de 
determinar a massa de um corpo não é 
a que se acabou de apresentar, mas sim 
pesá-lo (o que também corresponde a 
uma comparação com um corpo padrão). 
Este procedimento baseia-se no conhe-
cimento que o peso do corpo, , cor-
responde à força gravitacional que atua 
sobre ele. Pela segunda lei de Newton: , 
e m que é a aceleração da 
gravidade local.
Cabe mencionar que massa inercial é a 
massa que determina a aceleração de um 
corpo quando sujeito à ação de uma for-
ça, e massa gravitacional é a massa que 
determina a força gravitacional existen-
te entre um corpo e outros corpos.
As modelagens ou idealizações são 
meios usados na Mecânica para simplifi-
car a aplicação da teoria. Em particular, 
vamos definir três modelos importantes.
Conceito: uma partícula possui mas-
sa, mas em um tamanho que pode ser 
desprezado.
Exemplo: imaginemos um caminhão 
que percorre determinado caminho. Ao 
longo de uma estrada ele pode ser consi-
derado uma partícula, pois, o seu tama-
nho é desprezível em relação à estrada. 
Entretanto, este mesmo caminhão se for 
colocado em um galpão, já não poderá ser 
considerado uma partícula, pois, seu ta-
manho não é desprezível em relação ao 
local onde se encontra.
Quando um corpo é modelado como 
uma partícula, os princípios da Mecânica 
reduzem-se a uma forma muito simplifi-
cada, uma vez que a geometria do corpo 
não estará envolvida na análise do pro-
blema.
Conceito: um corpo rígido pode ser 
considerado a combinação de um grande 
número de partículas que permanecem a 
uma distância fixa umas das outras, tanto 
antes como depois da aplicação da carga. 
Na maioria dos casos, as deformações 
reais ocorrem em estruturas, máquinas, 
mecanismos e similares são relativamen-
te pequenas, e a hipótese de corpo é ade-
quada para a análise.
1.3 Sistemas de referência 
De acordo com Meriam (2009), New-
ton tinha consciência de que as suas leis 
dinâmicas do movimento só faziam senti-
do se definisse um sistema de eixos, um 
referencial ou sistema de referência, em 
relação ao qual se pudessem fazer as me-
didas sobre o movimento dos corpos. As-
sim, nos enunciados das Leis de Newton, 
não se faz qualquer menção ao sistema 
de referência em relação aos quais essas 
leis são verdadeiras. E isso acontece por-
que o próprio Newton admitiu, previa-
mente ao enunciado das leis, a existência 
de um espaço absoluto que na sua pró-
pria natureza, sem comparação a nada de 
exterior, permanece sempre o mesmo e 
é imóvel, o que o obrigou também a defi-
8 9
nir um espaço relativo, correspondendoa 
uma dimensão ou medida móvel do espa-
ço absoluto. Portanto, do ponto de vista 
newtoniano, o movimento a que se refe-
rem as suas leis é o movimento absoluto 
que possui como referencial o espaço ab-
soluto.
Será que existe de fato essa entidade 
em relação à qual tudo se move? E por ser 
de grande dificuldade, não impossível, 
responder a esta questão, o problema 
passa a ser colocado de forma inversa: 
admitem-se como válidas as leis de New-
ton (elas podem ser comprovadas expe-
rimentalmente) e, nestas condições, de-
fine-se o sistema de eixos necessário à 
legitimação dessa validade. O tal espaço 
absoluto é definido como aquele em rela-
ção ao qual se verificam os três postula-
dos newtonianos, contrariamente à pre-
sunção inicial, ou seja, o enunciado das 
leis implica a existência prévia do espaço 
absoluto.
Tal como Newton admitiu, a existência 
do espaço absoluto, também definiu o 
tempo absoluto, verdadeiro e matemáti-
co que da sua própria natureza fluiria de 
uma forma igual sem relação com qual-
quer coisa de exterior.
Conceito: define-se referencial de 
inércia como aquele em relação ao qual 
são válidas as leis de Newton. Todavia, 
ainda de acordo com a Primeira Lei, qual-
quer sistema de eixos, movendo-se com 
velocidade uniforme e retilineamente em 
relação ao referencial absoluto, também 
será um referencial de inércia. Estes são 
os sistemas de eixos privilegiados que se 
utilizam na Mecânica Clássica.
Em termos específicos, na física new-
toniana, espaço e tempo são duas enti-
dades completamente distintas, sendo 
esta última independente do sistema de 
eixos usado; o tempo flui de igual forma 
em todos os referenciais.
Numa primeira aproximação, pode di-
zer-se que os referenciais ligados à Terra 
são referenciais inerciais. Esses referen-
ciais utilizam-se, para o estudo, de fenô-
menos em que o movimento da Terra não 
influencia grandemente a observação 
e experimentação. Contudo, para ou-
tros fenômenos, observação das estre-
las, movimento dos planetas do sistema 
solar, o referencial ligado à Terra não se 
comporta como um referencial inercial.
Conceito: chama-se observador a 
qualquer sistema físico capaz de efetuar 
medidas. Na Mecânica, o observador terá 
que estar munido de uma régua e de um 
relógio, de modo a conhecer as suas gran-
dezas fundamentais que são o espaço e o 
tempo, respectivamente.
1.4 Lei de Newton associa-
da à atração da gravidade 
De acordo com Meriam (2009), após a 
explicação de suas três leis do movimen-
to, Newton postulou a lei que governa a 
atração gravitacional entre duas partícu-
las quaisquer. Matematicamente, escre-
ve-se que: 
Sendo:
F = força gravitacional entre duas par-
tículas;
G = constante da gravitação universal; 
10 11
6,67 x 10-11 m3/kg.s2;
m1 e m2 = massa de cada uma das 
partículas;
r = distância entre as duas partículas.
O que seria o peso? Saberia descre-
ver? Assim sendo, segundo a equação 
anterior, quaisquer duas partículas ou 
corpos possuem uma força de atração 
mútua (gravitacional) agindo entre eles. 
Entretanto, no caso de uma partícula lo-
calizada sobre ou próxima à superfície da 
Terra, a única força da gravidade com in-
tensidade considerável é aquela entre a 
Terra e a partícula. Consequentemente, 
essa força, denominada peso, será a úni-
ca força que consideraremos no estudo 
da mecânica.
W = m . g
Note que através de uma simples com-
paração com F = m.a, podemos ver que g 
é a aceleração devido à gravidade. Como 
ela depende de r, então o peso de um cor-
po não é uma quantidade absoluta. Em 
vez disso, sua intensidade é determinada 
onde a medição foi feita. Para a maioria 
dos cálculos de Engenharia, no entanto, 
g é determinada ao nível do mar e na la-
titude de 45º, que é considerado o ‘local 
padrão’.
1.5 Medidas e limitações 
da Mecânica de Newton
Como já falamos anteriormente, toda a 
construção da Mecânica Clássica baseia-
-se em dois conceitos fundamentais: o 
espaço e o tempo; deles derivam uma sé-
rie de grandezas, tais como o momento, 
linear e cinético, a energia, entre outros.
Neste sentido, os cálculos dessas 
grandezas, os resultados que se obtêm, 
dependem dos aparelhos usados para as 
medições de espaço e de tempo; quanto 
mais precisos forem os aparelhos, mais 
rigorosos serão os resultados numéricos 
a que se chegará. Todavia, existem limi-
tações físicas objetivas para a precisão 
das medidas efetuadas.
Heisenberg mostrou em 1927, com o 
Princípio da Incerteza, que sob a ótica 
das dimensões atômicas o ato de medir 
implica a introdução de importantes per-
turbações no objeto da medição. Esse 
fato implica que, para um elétron, não é 
possível conhecer, medir, o valor da sua 
posição e da sua velocidade, do seu mo-
mento linear, com uma precisão infinita.
Se no mundo atômico não é possível 
o conhecimento simultâneo da posição 
e do momento linear, as leis da Mecânica 
Clássica, bem como todas as suas conse-
quências, não são passíveis de ser aplica-
das neste domínio. Para o infinitamente 
pequeno, desenvolveu-se uma nova des-
crição da Mecânica conhecida como a Me-
cânica Quântica.
Tome nota: outra limitação 
da Mecânica de Newton tem 
a ver com o princípio da exis-
tência de um tempo absoluto, 
isto é, com a capacidade de um 
observador saber se dois acon-
tecimentos, situados a uma 
distância qualquer ocorrem si-
multaneamente. Essa capacida-
de implicaria a possibilidade de 
uma comunicação, envio de si-
nais, permitindo a comparação 
da simultaneidade, a uma velo-
cidade infinita, isto é, o conhe-
cimento instantâneo do que se 
10 11
passa em qualquer ponto do es-
paço. Sabe-se que a velocidade 
máxima com que se pode trans-
mitir qualquer sinal é da ordem 
de:
Essa limitação imposta pela própria 
natureza levou à construção de uma 
nova mecânica, a Teoria da Relatividade 
Restrita, elaborada por Einstein.
A Mecânica de Newton está assim su-
jeita às limitações fundamentais para 
dois domínios particulares de fenômenos 
naturais: o muito pequeno e o muito rá-
pido.
É interessante observarmos que New-
ton revolucionou a ciência de uma forma 
geral com sua teoria sobre as leis do mo-
vimento e suas propriedades peculiares. 
Ele descreveu as leis básicas do movi-
mento (da dinâmica) e a da gravitação e 
estabeleceu a universalidade das leis fí-
sicas. As leis que valem na Terra se apli-
cam igualmente a qualquer parte do Uni-
verso. Sua lei da gravitação é conhecida, 
por isso, como lei da Gravitação Univer-
sal.
Observemos também que algumas 
das leis ou definições de Newton já es-
tavam, previamente, compreendidas nos 
trabalhos de Galileu, Descartes e Chris-
tian Huygens. Entretanto, o mérito dife-
renciado de Newton está no fato de ter 
construído uma formulação teórica de 
leis e definições bem estruturada, que 
contemplava todos os aspectos do movi-
mento então conhecidos, onde quer que 
ocorressem. Ao introduzir o cálculo dife-
rencial na descrição de fenômenos físi-
cos, foi possível a descrição quantitativa 
dos fenômenos e a presciência de outros 
com grande precisão, causando um gran-
de impacto na cultura científica. 
Outra contribuição fundamental dada 
por Newton à ciência foi a lei da Gravita-
ção Universal, uma das leis fundamentais 
de interação no universo físico. Newton 
percebeu que, se dois corpos de massa ma 
e mb estão a uma distância d, então sur-
ge, em cada um deles, uma força gravi-
tacional que é diretamente proporcional 
às massas, inversamente proporcional ao 
quadrado da distância entre eles, tem a 
direção da linha que une os dois corpos e 
o sentido de atração entre eles. Assim, a 
força atuante numa maçã que cai ao chão 
tem a mesma origem que aquela que 
atua para sustentar a Lua em órbita, mas 
tem intensidade menor do que estaúlti-
ma, segundo o quadrado da razão entre a 
distância da Lua e o raio da Terra.
A partir da lei da Gravitação Universal 
e das leis do Movimento, foi possível for-
mular o movimento dos corpos celestes 
– a mecânica celeste – a partir de ingre-
dientes básicos. A previsão do posiciona-
mento e velocidade dos corpos celestes 
passou a ser possível com grande preci-
são. Newton aplicou a lei da Gravitação 
universal para entender o movimento 
dos planetas em torno do Sol. 
12 1312
UNIDADE 2 - Movimento de Partículas 
em uma Dimensão
A Mecânica é a área da Física que estu-
da o movimento dos objetos. Por razões 
de organização e estruturação de seu 
conhecimento, a Mecânica é dividida ou 
separada em duas áreas: a Cinemática e 
a Dinâmica.
É interessante notarmos que na Ci-
nemática são analisados os conceitos 
utilizados para descrever o movimento, 
surgindo a velocidade, aceleração e tra-
jetória. Na Dinâmica, estudamos as leis 
do movimento, isto é, as leis que deter-
minam que tipo de movimento terá um 
objeto, conhecidas as forças que atuam 
sobre ele.
Neste instante é de nosso interesse a 
descrição da parte da Cinemática, mais 
precisamente o movimento unidimen-
sional de uma partícula. A generalização, 
que trataremos do Movimento em Duas 
ou Três Dimensões será visto a posterio-
ri.
2.1 Sistemas de referência 
Quando se fala que um objeto está em 
movimento, significa que sua posição 
está mudando com o passar do tempo. No 
entanto, é fácil constatar que o conceito 
de movimento é relativo, isto é, um obje-
to pode estar em movimento em relação 
a outro, mas pode estar em repouso em 
relação a um terceiro objeto. 
Consideremos uma xícara sobre uma 
mesa de um vagão-restaurante que se 
encontra movimento. Observe a Figura 
5 a seguir. Em relação ao vagão, a xícara 
(e a mesa) está em repouso (e assim ela 
é vista pelos passageiros). No entanto, 
em relação à Terra, a xícara está em mo-
vimento.
Figura 5: Conceito de movimento relativo.
Fonte: Meriam (2009).
12 1313
Percebe-se aqui a importância de um 
sistema tido como referência para o es-
tudo do movimento dos objetos e, por-
tanto, no estudo da Mecânica.
Além de o conceito de movimento ser 
relativo (isto é, depender do sistema de 
referência), outras grandezas físicas são 
também relativas. Esse é o caso da posi-
ção de uma partícula. 
2.2 Coordenadas cartesia-
nas e posição 
A forma mais utilizada, do ponto de 
vista matemático, de especificarmos a 
posição de um objeto é devida ao mate-
mático francês René Descartes. Vamos 
ilustrar esse procedimento, analisando o 
caso de uma joaninha que se movimenta 
ao longo de um fio retilíneo, conforme 
Figura 6 na sequência. Nesse caso, dize-
mos que o movimento é unidimensional, 
ou seja, em uma única direção. 
Figura 6: Conceito de movimento unidimensional.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
Para especificarmos a posição da joa-
ninha no fio, temos que adotar um pon-
to como referência. Assim, denomina-se 
esse ponto simplesmente de origem “O” 
(origem do sistema de coordenadas). A 
partir desse ponto de origem, especifica-
mos a coordenada do objeto da seguinte 
forma: primeiramente, determinamos a 
distância do objeto até a origem. A coor-
denada será o valor dessa distância se o 
objeto estiver à direita da origem, ou será 
o valor dela precedido pelo sinal menos 
se ele estiver à esquerda. Note de for-
ma clara que isso é uma padronização. Se 
adotarmos outra, devemos especificá-la.
Para especificar a convenção que ado-
tamos, fazemos uso de uma flecha. O 
sentido da flecha apenas indica o sentido 
no qual a coordenada terá um valor posi-
tivo. As coordenadas terão valores nega-
tivos quando a posição estiver na direção 
oposta à da flecha a partir da origem. 
2.3 Generalizando para 
duas e três dimensões
Segundo Meriam (2009), a extensão 
para o caso de duas dimensões pode ser 
entendida a partir do movimento de uma 
bola sobre uma mesa. As duas coordena-
das (x, y) da posição P da bola seriam de-
terminadas conforme Figura 7 a seguir. 
Primeiramente, adota-se uma origem (O) 
do sistema de coordenadas. Em seguida, 
faz-se passar pela origem dois eixos or-
togonais (isto é, retas perpendiculares) e 
para cada um dos eixos damos uma orien-
14 15
tação.
Agora traçamos, a partir de P, duas re-
tas paralelas aos eixos e tracejadas, até 
elas encontrarem os eixos Ox e Oy, res-
pectivamente. Esses pontos de encontro 
das retas tracejadas com os eixos defi-
nem as coordenadas da posição do corpo. 
Figura 7: Coordenadas em duas dimensões (x,y).
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
No caso do movimento no espaço tridi-
mensional Figura 8 a seguir, é suficiente 
acrescentarmos mais um eixo (z). Primei-
ramente, traçamos uma reta paralela ao 
eixo z até encontrar o plano xy em P. Para 
a coordenada z, adota-se o mesmo proce-
dimento do caso unidimensional ao longo 
dessa reta paralela z. Para as demais co-
ordenadas, adota-se o ponto onde a reta 
intercepta o plano xy.
Podemos, então, concluir que, utili-
zando um sistema de coordenadas carte-
sianas, a posição P de um objeto pode ser 
inteiramente especificada por meio do 
conjunto de coordenadas x, y, z, ou seja, 
temos que P = (x, y, z).
Figura 8: Coordenadas em três dimen-
sões (x,y,z).
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
14 15
2.4 Movimento e repouso
A partir do que foi colocado inicial-
mente, pode-se definir de maneira mais 
estruturada os principais conceitos da 
Mecânica. Em um primeiro instante, tra-
taremos de um objeto de dimensões 
muito pequenas e, por isso, nós o repre-
sentaremos como um ponto no espaço e 
o chamaremos de ponto material ou par-
tícula. Um objeto menos idealizado pode 
ser tratado como uma coleção de pon-
tos materiais e lidaremos com ele mais 
adiante. Logo na sequência, introduzi-
mos um sistema de referência e, para tal, 
utilizaremos um conjunto de três eixos 
ortogonais (perpendiculares entre si). Tal 
sistema, um tanto quanto abstrato, é ab-
solutamente fundamental na Mecânica. 
Dizemos que um corpo está em re-
pouso se a sua posição não muda com o 
tempo. Se, no entanto, sua posição variar 
com o tempo, ele estará em movimento. 
Observe que, se um objeto estiver em 
movimento, à medida que o tempo passa, 
suas coordenadas (x, y, z) (ou pelo menos 
uma delas) mudarão.
Figura 9: Variação de posição de um ponto.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
2.5	 Definindo	 formalmen-
te a trajetória
Para interpretarmos a noção de traje-
tória, basta considerarmos uma situação 
ilustrativa bem simples. Vamos imaginar 
o movimento de uma mosca voando no 
espaço. Agora, tiremos fotos em interva-
los de tempo regulares e muito curtos e 
superponhamos as fotos. O resultado se-
ria o que se vê na Figura 10 a seguir. 
 
Figura 10: Fotos de uma mosca em movimento.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
16 17
Quando interligamos os diversos pon-
tos pelos quais a mosca passou, obtemos 
uma curva no espaço conforme Figura 11 
a seguir. Essa curva é a trajetória percor-
rida pela mosca. Cada ponto da trajetória 
representa um ponto pelo qual a mosca 
passou em algum instante de tempo.
Figura 11: Conceito de trajetória.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
A trajetória é, portanto, o lugar geo-
métrico dos pontos pelos quais a partícu-
la passou ao longo do tempo. 
2.6 Cinemática envolven-
do o movimento em uma 
dimensão
Consideremos primeiramente o caso 
do movimento de uma partícula deslo-
cando-se ao longo de uma linha reta. 
Nesse caso, sua posição fica inteiramen-
te caracterizada, atribuindo-se à partícu-
la sua coordenada “X”. Observe a Figura 
12 a seguir. 
Figura 12: Movimento de uma partícula.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
a) Velocidade instantânea
O conceito de velocidade estáintima-
mente ligado à variação da posição. Se a 
posição de um objeto muda com o tempo, 
ele está animado de velocidade. Se ele 
está em repouso, sua velocidade é nula. 
Figura 13: Variação de posição de um 
ponto.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
16 17
Digamos que, no tempo t1, a partícula 
estava em x1 e que, no instante t2, ela 
está em x2. Admitiremos t2 > t1. 
Logo, no intervalo de tempo t1 dado 
por ∆t = t2 - t1 , houve uma variação da 
posição,∆x , dada por ∆x = x1 - x2 . Defi-
nimos então a velocidade escalar média 
(vm) como a razão entre a variação da co-
ordenada e o intervalo de tempo decorri-
do pela expressão:
Importante: observe-se que 
a velocidade escalar média sem-
pre faz referência a dois instantes 
de tempo (por isso, falamos em 
média). No entanto, a velocidade 
na qual temos maior interesse é a 
velocidade num determinado ins-
tante de tempo. Tal velocidade é 
denominada velocidade instan-
tânea.
Para definirmos a velocidade instan-
tânea, devemos recorrer a um conceito 
matemático conhecido como limite. Note 
que a velocidade média é definida to-
mando-se dois instantes de tempo. Para 
defini-la num determinado instante, bas-
ta tomarmos intervalos de tempo cada 
vez menores. Dessa forma, estamos as-
segurando que, cada vez mais, não exis-
ta diferença entre t2 e t1. Portanto, esta-
remos falando, ao tomarmos o limite no 
qual ∆t tende a zero, de um só instante 
de tempo. Definimos, portanto, a veloci-
dade instantânea no instante t1 através 
do processo limite . O proces-
so limite definido acima tem o nome de 
derivada da função x(t) com respeito ao 
tempo e se representa:
b) Aceleração instantânea e acele-
ração média
Se a velocidade de um objeto varia 
com o tempo, diz-se que ele tem acele-
ração. Se a velocidade é constante (isto 
é, não varia com o tempo), a sua acele-
ração é nula. Formalmente, isto é, ma-
tematicamente, definimos a aceleração 
escalar média de uma partícula como o 
quociente entre a variação de velocida-
de e o intervalo de tempo, ou seja, por 
 
 
 conforme nos mostra a Figura 14 a se-
guir. 
Figura 14: Conceito de aceleração escalar média.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
De maior importância do que a acele-
ração média é a aceleração instantânea. 
Como o nome indica, o interesse é a ob-
tenção da aceleração num determinado 
instante de tempo. A maneira de defi-
ni-la, a partir da aceleração média, é to-
marmos intervalos de tempo cada vez 
menores, isto é, tomarmos o limite em 
que o intervalo se aproxima de zero. Esta 
é a situação na qual t2 é muito próximo 
de t1. Referimos, portanto, à aceleração 
escalar instantânea através do processo 
limite , ou ainda, 
c) Movimento com aceleração cons-
tante
18 19
O movimento acelerado mais simples 
é o movimento retilíneo com aceleração 
constante. Neste caso, a velocidade varia 
com a mesma taxa durante o movimento. 
Vamos deduzir as equações fundamen-
tais para o movimento retilíneo com ace-
leração constante. Na igualdade anterior, 
podemos substituir a aceleração média 
pela aceleração (instantânea) constante 
“a”:
Faça t1 = 0 e suponha que t2 seja um 
instante posterior arbitrário t. Utilizando 
v0 para a velocidade no instante t = 0; a 
velocidade para qualquer instante t é v. 
Então, a equação anterior pode ser rees-
crita como 
, ou seja, v=v0+at .
A seguir, descreveremos uma expres-
são para a posição da partícula que se 
move com aceleração constante. Desig-
namos simplesmente por x a posição em 
um instante posterior t. Para o intervalo 
de tempo ∆t = t - t0 e para o deslocamen-
to correspondente ∆x = x – x0, vem que . 
Para a aceleração constante, a veloci-
dade média é dada por: 
Substituindo essa expressão de v na 
igualdade anterior, obtemos:
E, finalmente, escrevemos:
Importante: v2=v20 + 2a(x-x0). 
Podemos obter uma outra equa-
ção útil igualando as das expres-
sões de vm dadas anteriormente, 
e multiplicando os dois membros 
por t. Ou seja, podemos escrever 
As equações colocadas anteriormente 
são as equações do movimento com acele-
ração constante. Usando essas equações, 
podemos resolver qualquer problema que 
envolva o movimento retilíneo com acelera-
ção constante.
d) Queda livre de corpos
A queda livre é um caso particular de mo-
vimento com aceleração constante, sendo 
interpretado inicialmente por Galileu Galilei, 
de modo correto, como ocorre a queda livre 
dos corpos, quando soltos próximos à super-
fície da Terra. 
Desprezando a ação do ar, ele enunciou: 
todos os corpos soltos num mesmo local, 
livres da resistência do ar, caem com uma 
mesma aceleração, quaisquer que sejam 
suas massas. Essa aceleração é denominada 
gravidade (g). Observe a Figura 15 a seguir.
 
Figura 15: A experiência 
de Galileu.
Fonte: Elaborado pelo 
próprio autor.
18 19
Importante: em torno da Terra, g vale 
aproximadamente 10 m/s2.
Agora, vamos considerar um objeto em 
queda vertical, a partir do repouso, num 
local em que o efeito do ar pode ser des-
prezado e a aceleração da gravidade seja 
constante e igual a g, conforme Figura 16 
a seguir. Orientando-se a trajetória para 
baixo, o objeto realizará um movimento 
uniformemente variado (MUV) com ace-
leração escalar igual a g. Ou seja:
Figura 16: Queda de um objeto a partir do repouso.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
Por meio da equação horária do deslo-
camento de Movimento Uniformemente 
Variado (MUV), podemos relacionar a al-
tura descida (h) com seu respectivo tem-
po de queda (t) da seguinte forma:
A velocidade escalar (v) adquirida após 
certo tempo (t) de queda é dada por:
Por outro lado, podemos expressar a 
velocidade atingida (v) em função da al-
tura descida (h). Usando a equação de 
Torricelli, temos:
Assim, a velocidade escalar atingida é 
diretamente proporcional ao tempo de 
queda e, ao mesmo tempo, diretamente 
proporcional à raiz quadrada da altura 
descida.
20 2120
UNIDADE 3 - Oscilador Harmônico e 
Propriedades Fundamentais
3.1 Conceitos fundamen-
tais 
Você já ouviu falar em oscilador? Sabe-
ria descrever oscilações? Já presenciou 
algum tipo de oscilação na prática do dia 
a dia? Neste sentido, a vibração de um 
cristal de quartzo em um relógio, a osci-
lação de um pêndulo de um relógio an-
tigo de parede, as vibrações sonoras de 
um instrumento de sopro, as oscilações 
produzidas pelos pistões no motor de um 
automóvel, são exemplos clássicos de 
movimentos que se repetem de forma 
indefinida. Especificamente falando, é 
o movimento periódico ou oscilação que 
será discutido neste instante. O entendi-
mento do movimento periódico será es-
sencial para os estudos futuros sobre on-
das, o som, as correntes elétricas e a luz.
Na Figura 17 a seguir, indicamos um 
sistema que pode executar um movi-
mento periódico. Um corpo de massa m 
se move ao longo de um trilho horizontal 
sem atrito, tal como no caso de um trilho 
de ar linear, de modo que ele pode se mo-
ver apenas ao longo do eixo Ox. A mola 
presa ao corpo possuiu massa desprezí-
vel e pode ser comprimida ou esticada. A 
extremidade esquerda da mola é manti-
da fixa, e a sua extremidade direita está 
presa ao corpo. Vamos analisar como as 
oscilações ocorrem neste sistema.
 
Figura 17: Oscilador harmônico simples.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
20 2121
Quando deslocamos o corpo para a di-
reita até a posição x = A e, na sequência 
o libertamos, a força resultante e a ace-
leração são orientadas para a esquerda. 
A velocidade aumenta até o corpo atingir 
a posição de equilíbrio O. Quando o corpo 
está no ponto O, a força resultante que 
atua sobre ele é igual a zero, entretanto, 
devido ao seu movimento, ele atravessa 
a posição de equilíbrio. 
No outro lado da posição de equilíbrio, 
sua velocidade está orientadapara a es-
querda, entretanto, sua aceleração está 
orientada para a direita. Logo, a veloci-
dade diminui até que o corpo para mo-
mentaneamente. No caso da mola ide-
al, ela para no ponto x = - A. A seguir, o 
corpo se acelera para a direita, atravessa 
novamente a posição e para momenta-
neamente no ponto x = A, repetindo o 
processo inteiro. O corpo está oscilando! 
Caso não existisse atrito nem outra for-
ça capaz de remover a energia mecânica 
do sistema, este movimento se repetiria 
eternamente. A força (chamada de res-
tauradora) obrigaria sempre o corpo a 
voltar para a sua posição de equilíbrio e 
ele toda vez atravessaria de posição.
A seguir definimos alguns termos que 
serão usados na discussão sobre o movi-
mento periódico.
Conceito: a amplitude do movimento, 
designado por A, é o módulo máximo do 
vetor deslocamento do corpo a partir da 
posição de equilíbrio; isto é, o valor máxi-
mo de x em módulo. Ele é sempre positi-
vo. Sua unidade no sistema internacional 
(SI) é o metro (m). O ciclo é a uma oscilação 
completa, digamos de A até -A e retornan-
do ao ponto A. O período, T, é o tempo cor-
respondente a um ciclo.
A frequência, f, é o número de ciclos na 
unidade de tempo. Ela é sempre positiva. 
No SI sua unidade é hertz (Hz)
A equação da frequência é: 
A frequência angular , é vezes 
a frequência:
Falaremos da frequência angular um 
pouco mais a frente. O tipo mais simples 
de oscilação ocorre quando a força res-
tauradora F é diretamente proporcional 
ao deslocamento x da posição de equilí-
brio. Isso ocorre quando a mola da Figura 
17 é ideal, ou seja, quando ela obedece à 
lei de Hooke. A constante de proporcio-
nalidade k entre F e x é a constante da 
força ou constante da mola. Logo, o com-
ponente x da força F que a mola exerce 
sobre o corpo é 
F(x) = -k x 
As molas reais obedecem esta lei para 
pequenos deslocamentos. 
Esta relação fornece corretamente o 
módulo e o sinal da força, independente-
mente do valor de x ser positivo, negati-
vo ou nulo. A constante da mola k é sem-
pre positiva e possui unidades de N/m (ou 
kg/s2). Estamos supondo que não existe 
atrito, de modo que a igualdade anterior 
fornece a força resultante sobre o corpo.
Das leis de Newton sabe-se que:
 F = m a 
22 23
Igualando as duas últimas equações, 
vem que: 
Importante: o sinal negativo 
indica que a aceleração possui 
sempre sentido contrário ao do 
descolamento. Esta aceleração 
não é constante, de modo que 
não podemos usar as fórmulas 
do movimento unidimensional de 
uma partícula.
Problema – Um transdutor ultrassô-
nico (uma espécie de alto-falante), usa-
do para diagnóstico médico, oscila com 
uma frequência igual a 6,7 MHz. Quan-
to dura uma oscilação e qual é a frequ-
ência angular?
Solução – neste caso, temos que: 
Logicamente, vem que é igual a:
Uma vibração muito rápida correspon-
de a valores elevados de e de f e a va-
lores pequenos de T; uma vibração lenta 
corresponde a e f pequenos e valo-
res de T elevados.
3.2 Equações do movimen-
to harmônico simples
A frequência angular estabelece a 
conexão entre a oscilação e o movimento 
circular uniforme. Podemos interpretar a 
próxima igualdade como uma relação 
para a frequência angular de um corpo de 
massa m que executa um movimento 
harmônico simples sobre o qual atua uma 
força restauradora com uma constante 
de mola k.
A equação a seguir calcula o desloca-
mento x em função do tempo para um os-
cilador harmônico.
A constante Φ é comumente conheci-
da como ângulo de fase. Ela nos informa 
em que ponto do ciclo o movimento se 
encontra para t = 0.
A Figura 18 a seguir nos mostra um 
gráfico da expressão anterior para o caso 
de Φ = 0.
Figura 18: Gráfico de x contra t para x= A cos (ωt + 
Φ) (Φ=0) .
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
A Figura 19, na sequência, mostra um 
gráfico da posição em função do tempo 
para movimentos harmônicos simples 
com mesma frequência e amplitude, mas 
com fases diferentes.
 
Figura 19: MHS com fases diferentes.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
22 23
A equação a seguir apresenta a fórmu-
la de como calcular o ângulo de fase, ou 
seja:
E a igualdade na sequência descreve 
o cálculo da amplitude no MHS, ou seja, 
tem-se que:
3.3 A energia associada ao 
movimento harmônico sim-
ples
A energia cinética do corpo da Figura 
19 é dada pela igualdade característica: 
Enquanto que a energia potencial da 
mola é descrita por:
A energia mecânica total E = K + U é 
conservada e caracterizada matematica-
mente pela expressão: 
(Equação 3.10)
A energia mecânica total E, é também 
frequentemente relacionada diretamen-
te com a amplitude A do movimento. 
Quando o corpo atinge o ponto x = A, seu 
deslocamento máximo a partir do ponto 
de equilíbrio, ele para momentaneamen-
te e depois retorna para o seu ponto de 
equilíbrio. Ou seja, quando x = A (ou x = 
- A), v = 0. Para este ponto a energia é in-
teiramente potencial. 
 (Equação 3.11)
Como E é constante, ela permanece 
sempre igual a E em qualquer outro pon-
to. Combinando esta expressão (Equação 
3.11) com a Equação 3.10 obtemos:
Essa é a expressão da energia mecâ-
nica total no movimento harmônico sim-
ples.
A Figura 20 a seguir nos mostra a co-
nexão entre a amplitude A e a corres-
pondente energia mecânica total E. Se 
tentássemos fazer x maior do que A (ou 
menor do que -A), U seria maior do que 
E, e K seria negativo. Entretanto, K não 
pode ser nunca negativa, logo x não pode 
ser maior do que A nem menor do que -A.
Note que para cada ponto x a soma dos 
valores de K e de U é sempre igual ao va-
lor constante de E.
Figura 20: Energia cinética K, energia Potencial U e 
energia mecânica total E em função da posição no MHS.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
24 25
3.4 Oscilador harmônico 
amortecido
O sistema oscilante ideal discutido na 
seção anterior não relacionava a força de 
atrito, ou seja, não possuía atrito. Para 
esse sistema, a força é conservativa, a 
energia mecânica total é constante e, 
quando o sistema começa a oscilar, ele 
continua oscilando eternamente sem ne-
nhuma diminuição da amplitude. 
Contudo, os sistemas reais sempre 
possuem alguma força não conservati-
va e a amplitude das oscilações vai dimi-
nuindo com o tempo, a menos que seja 
fornecida alguma energia para suprir a 
dissipação da energia mecânica.
A diminuição da amplitude provocada 
por uma força dissipativa é comumente 
denominada por amortecimento, e o mo-
vimento correspondente denomina-se 
oscilação amortecida. Nesse caso, exis-
te uma força de atrito adicional que atua 
sobre o corpo, dada por: F= -b v ,
Sendo, 
é a velocidade, e b é uma constante 
que descreve a intensidade da força de 
amortecimento. O sinal negativo indi-
ca que a força possui sempre um senti-
do contrário ao da velocidade. Portanto, 
a força resultante sobre o corpo é dada 
por:
 E a segunda lei de Newton para o sis-
tema é
A igualdade anterior pode ser resolvida 
utilizando a teoria das equações diferen-
ciais. Quando a força de amortecimento 
é relativamente pequena, o movimento é 
descrito por:
A frequência angular ω’ é dada por:
O movimento descrito pela igualdade 
anterior é diferente do caso sem amorte-
cimento de dois modos. Primeiro, a ampli-
tude Ae-(b/2m)t não é constante e diminui 
com o tempo por causa do fator decres-
cente e-(b/2m)t . A Figura 21 é um gráfico 
da equação de que mostra que quanto 
maior for o valor de b mais rapidamente 
diminuirá a amplitude.
Figura 21: Gráfico da Equação 3.7 para Φ = 0.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
24 25
Segundo, a frequência angular ω’ não 
é mais igual a , entretanto, 
é ligeiramente menor. Ela tende a zero 
quando b é tão grande que:
Quando a igualdade anterioré satisfei-
ta, ocorre o que conhecemos como sendo 
o amortecimento crítico. O sistema não 
oscila mais e, ao ser deslocado e liberta-
do, retorna para sua posição de equilíbrio 
sem oscilar.
A condição b maior que cor-
responde ao superamortecimento. Nova-
mente, o sistema não oscila, entretanto, 
retorna para a sua posição de equilíbrio 
mais lentamente do que no caso do amor-
tecimento crítico.
Para b menor do que o valor crítico, quan-
do a igualdade é 
verificada, a condição denomina-se suba-
mortecimento. O sistema oscila com uma 
amplitude que diminui continuamente.
3.5 Oscilador harmônico 
forçado
Quando um oscilador amortecido é 
deixado livre, suas oscilações tendem a 
parar. Entretanto, podemos manter cons-
tante a amplitude das oscilações aplican-
do uma força que varia periodicamente, 
com dado período e uma frequência fixa. 
Como exemplo, imagine uma criança osci-
lando no balanço de um parquinho. Você 
pode manter constante a amplitude das 
oscilações se fornecer a ela um pequeno 
empurrão no final de cada ciclo. Essa for-
ça adicional é chamada de força propul-
sora.
Quando aplicamos uma força propul-
sora variando periodicamente com uma 
frequência angular ωd a um oscilador 
harmônico amortecido, o movimento re-
sultante é uma oscilação forçada ou uma 
oscilação com força propulsora. Trata-se 
de um movimento diferente do ocorrido 
quando simplesmente deslocamos o sis-
tema da sua posição de equilíbrio e o dei-
xamos livre; neste casso, o sistema oscila 
com uma frequência angular natural ω’ , 
determinado por m, k e b como na igual-
dade 
Contudo, no caso de uma oscilação for-
çada, a frequência angular da oscilação 
da massa é igual à frequência angular da 
força propulsora ωd . Esta frequência não 
é igual à frequência angular ω’ com a qual 
o sistema oscilaria caso ele não estivesse 
submetido à ação da força. Quando você 
segura as cordas do balanço da criança 
no parquinho, pode forçá-lo a oscilar com 
qualquer frequência que desejar.
O caso mais simples a ser analisado é 
o de uma força que varia em termos da 
função seno, com a forma:
Quando variamos a frequência angular 
ωd da força propulsora, a amplitude da 
oscilação forçada resultante varia de 
modo como mostra Figura 22 a seguir. O 
eixo horizontal indica a reação entre a 
frequência angular ωd e a frequência an-
g u l a r da oscilação natural 
não amortecida. Os números ao lado das 
26 27
curvas indicam os valores das grandezas 
adimensionais , que caracteri-
zam a quantidade do amortecimento. A 
curva com pico mais elevado possui 
 , a curva seguinte possui 
, e assim por diante. À medida 
que b aumenta, o pico torna-se mais lar-
go e a amplitude se torna menor e se 
desloca para frequências menores. 
Quando b é maior do que , o pico 
desaparece completamente.
Quando existe um amortecimento 
muito pequeno (b pequeno), a amplitude 
tende a crescer fortemente até atingir 
um pico agudo no momento em que a fre-
quência angular ωd da força propulsora 
torna-se igual à frequência angular natu-
ral ω’ . Quando o amortecimento aumen-
ta mais (b grande), o pico se torna mais 
largo e a amplitude se torna menor e se 
desloca para frequências menores.
Figura 22: Oscilação forçada.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
A equação que nos mostra a amplitude 
A de um oscilador forçado é descrita ma-
tematicamente como segue.
Problema – A extremidade esquerda 
de uma mola horizontal é mantida fixa. 
Ligamos um dinamômetro na extremi-
dade livre da mola e puxamos para a di-
reita; verificamos que a força que estica 
a mola é proporcional ao deslocamento 
e que, a uma força de 6,0 N, produz um 
deslocamento igual a 0,030 m. A seguir, 
removemos o dinamômetro e amarramos 
a extremidade livre a um corpo de 0,50 
kg, puxamos o corpo até uma distância 
de 0,020 m, libertamos e observamos o 
MHS resultante. Assim sendo, pede-se:
a) Calcule a constante da mola.
b) Calcule o período da oscilação.
c) Admita um deslocamento inicial 
de +0,050 m e uma velocidade inicial de 
+0,40 m/s. Calcule o período, a amplitude 
e o ângulo de fase.
d) Calcule a energia mecânica total.
Figura 23: A descrição geométrica do problema.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
Solução – neste caso, temos que:
a) Quando x = 0,030 m, a força que a 
mola exerce sobre o dinamômetro é F = - 
6,0 N. Logo, escrevemos:
b) Os dados são m = 0,050 kg e k = 200 
N/m = 200 kg/s2, dessa maneira, vem 
26 27
que: 
A frequência é caracterizada como se-
gue:
O período T é o inverso da frequência f, 
assim sendo, temos que:
c) O período é exatamente igual ao ob-
tido T = 0,31 s, pois, em um MHS, o perí-
odo não depende da amplitude, somente 
dos valores de k e de m. Portanto, vem 
que:
Para encontrarmos o ângulo de fase, 
usamos a expressão 
como segue:
d) A energia total possui o mesmo va-
lor para todos os pontos durante o movi-
mento: 
 
28 2928
UNIDADE 4 - Movimentos Bidimensional e 
Tridimensional Envolvendo Partículas
4.1 Vetor posição e vetor 
velocidade
Consideremos uma partícula que es-
teja em um ponto P em dado instante. O 
vetor posição da partícula neste 
instante é um vetor que vai da origem do 
sistema de coordenadas até o ponto P. 
Observe a Figura 24 a seguir. Essa figura 
também mostra que as coordenadas car-
tesianas x, y e z do ponto P são compo-
nentes x, y e z do vetor r. Usando os veto-
res unitários podemos escrever:
Figura 24: Vetor posição .
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
Quando uma partícula se desloca no 
espaço, a trajetória descrita normalmen-
te é uma curva, conforme nos mostra a 
Figura 25 a seguir. Durante um intervalo 
de tempo ∆t , a partícula se move de um 
ponto P1, onde o vetor posição é , até o 
ponto P2, onde o vetor posição é . A varia-
ção da posição (o deslocamento) duran-
te esse intervalo de tempo é ∆r = r2 - r1. 
Definimos a velocidade média vm identi-
camente como fizemos anteriormente, 
como o deslocamento dividido pelo inter-
valo de tempo:
Figura 25: Movimento de uma partícula do ponto P1 
ao ponto P2 .
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
A velocidade instantânea é definida 
tal como feito anteriormente, ela é o li-
mite da velocidade média quando o inter-
valo tende a zero, sendo igual à taxa de 
variação do vetor posição com o tempo. A 
diferença fundamental é que agora a po-
sição r e a velocidade instantânea v são 
vetores:
Normalmente, é mais fácil calcular o 
vetor velocidade instantânea usando 
componentes. Durante qualquer deslo-
camento as variações ∆x, ∆y e ∆z 
28 2929
das três coordenadas da partícula são os 
componentes de ∆r. Daí se conclui que 
os componentes vx, vy e vz da velocidade 
instantânea v são simplesmente as deri-
vadas das coordenadas x,y e z em relação 
ao tempo. Ou seja,
O módulo do vetor velocidade instan-
tânea v – isto é, a velocidade escalar – é 
dado em termos dos compontente vx, vy 
e vz pelo Teorema de Pitágoras. Ou seja, 
escrevemos:
A Figura 26 a seguir mostra a situação 
quando a partícula se move no plano xy. 
Nesse caso, o eixo z e vz são nulos. Então, 
a velocidade escalar (o módulo do vetor 
v) é dada por: 
E a direção da velocidade instantânea 
v é dada pelo ângulo indicado na Figura 
26 a seguir. Então, temos que:
Figura 26: Os dois componentes da velocidade para 
um movimento no plano.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
Problema – Um rinoceronte está na 
origem do sistema de coordenadas para 
t1 = 0. Para o intervalo de tempo entre 
t1 = 0 e t2 = 12,0 s, sua velocidade média 
possui componente x = -3,8 m/s e compo-
nente y = 4,9 m/s. Para t2 = 12,0 s:
a) Quais são as coordenadas x e y do 
rinoceronte?
b) Qual a distância entre a origem e o 
rinoceronte?
Solução: Neste caso, temos que:
a) x = (vx, média) ∆t = (-3,8m/s)(12,0 
s) = - 45,6 m 
e
y = (vy, média)∆t = (4.9 m/s)(12.0 s) 
= 58,8 m.
b) 
4.2 Vetor aceleração
Assim como no caso do movimento 
unidimensional, a aceleração indica como 
a velocidade de uma partícua está va-
riando. Entretanto, agora vamos genera-
lizar o conceito de aceleração para incluir 
variações do módulo da velocidade (isto 
é, da velocidade escalar) e variações da 
direção da velocidade (isto é, da direção 
e do sentido do movimento no espaço).
Na Figura 27 a seguir, uma partícula 
está se movendo ao longo de uma traje-
tória curva. Os vetores v1 e v2 represen-
tam, respectivamente, o vetor velocida-
de instantânea da partícula no instante 
t1 quando ela está no ponto P1, e o vetor 
velocidade instantânea da particula no 
instante t1 quando ela está no ponto P2.
30 31
As duas velocidades podem possuir 
módulos e direções diferentes. Defi-
nimos o vetor aceleração média am da 
partícula quando ela se move de P1 a P2 
como a variação vetorial da velocidade, 
v2 - v1=∆v dividida pelo intervalo de tem-
po t2 - t1=∆t: Ou seja, temos que:
Como descrito anteriormente, defini-
mos a aceleração instantânea a no pon-
to P1 como o limite da aceleração média 
quando o ponto P1 se aproxima do ponto 
P2, e ∆v e ∆t tendem simultaneamente 
a zero; a aceleração instantânea também 
é igual à taxa de variação da velocida-
de instantânea com o tempo. Como não 
estamos nos restringindo ao movimen-
to retilíneo, a aceleração instantânea é 
agora uma grandeza vetorial:
O vetor velocidade v é tangente à tra-
jetória da partícula. Entretanto, a cons-
trução indicada na Figura 28, na sequ-
ência, nos mostra que o vetor aceleração 
instantânea a de uma partíula em mo-
vimento sempre aponta para o lado côn-
cavo de uma trajetória curva, ou seja, 
para o lado interno de qualquer volta 
que a partícula esteja fazendo. Nota-se 
também que, quando uma partícula se 
move ao longo de uma trajetória curva, 
sua aceleração é sempre diferente de 
zero, mesmo quando sua velocidade es-
calar é constante. A definição mais pre-
cisa da igualdade mostra que 
pode existir aceleração diferente de zero 
quando houver qualquer variação do ve-
tor velocidade, incluindo apenas variação 
da direção deste vetor sem variação da 
velocidade escalar ou, então, variação 
simutânea da direção da velocidade es-
calar.
Para dar um exemplo de que uma partí-
cula possui aceleração diferente de zero 
quando ela descreve uma trajetória curva 
com velocidade constante, lembre-se da 
sua sensação quando está viajando em 
um carro. Quando o carro acelera, você 
tente a se mover em sentido contrário 
ao da aceleração dele. Logo, você tende 
 Figura 27: Partícula se movendo em uma trajetória curva.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
→
→
→
→
30 31
a ser emprurrado para a traseira do carro 
quando ele acelera para a frente (aumen-
ta de velociade) e, para a frente do car-
ro quando ele acelera para trás (diminui 
de velocidade). Quando o carro faz uma 
curva em uma estrada plana, você tende 
a ser empurrado para fora da curva; indi-
cando que o carro possui uma aceleração 
para dentro da curva.
Normalmente, estamos interessados 
no vetor aceleração instantânea e não 
na aceleração média. A partir de agora, 
quando mencionarmos a palavra “ace-
leração”, queremos nos referir ao vetor 
aceleração instantânea.
Cada componente do vetor aceleração 
instantânea é dado pela derivação do 
respectivo componente do vetor veloci-
dade:
O módulo do vetor aceleração instan-
tânea a – isto é, a aceleração escalar – é 
dado em termos dos compontentes ax, ay 
e az pelo Teorema de Pitágoras: 
Para a situação, quando a partícula se 
move no plano xy, o eixo z e a aceleração 
vz são nulos. Então, a aceleração escalar 
(o módulo do vetor a ) é dada por: 
E a direção da aceleração instantânea 
a é dada pelo ângulo α . Então, temos 
que: 
Problema – A velocidade de um ca-
chorro correndo em um campo aberto 
possui componente v
x
 = 2,6 m/s, v
y
 = -1,8 
m/s para t1 = 10,0s. Para um intervalo de 
tempo entre t1 = 10,0 s e t2 = 20,0 s, a ace-
leração média do cachorro possui módulo 
igual a 0,45 m/s2, formando um ângulo 
de 31,0º, medido considerando a rotação 
do eixo +Ox para o eixo +Oy.
a) Quais são os componentes x e y da 
velocidade do cachorro?
b) Qual o módulo da velocidade do ca-
chorro?
Solução – neste caso, temos que:
a) Devemos encontrar os componen-
tes da aceleração nas direções x e y. Estes 
componentes são dados por:
ax = a cos α0
ay = a sen α0
Dessa forma, vem que:
ax = (0,45) cos 31,0° = 0,39 m/s2;
ay = (0,45) sen 31,0° = 0,23 m/s2.
Utilizando a equação v=v0+at , temos 
que:
vx = 2,6 + (0,39) (10,0) = 6,5 m/s;
vy = -1,8 + (0,23) (10,0) = 0,52 m/s.
b) Aplicando o módulo da velocidade, 
vemos facilmente que:
4.3 Movimento de um pro-
jétil
A fim de analisarmos este tipo de mo-
vimento, começaremos com um mode-
lo idealizado, representando o projétil 
→
32 33
como uma partícula com aceleração (de-
vido à gravidade) constante em módulo, 
direção e sentido. Iremos desprezar os 
efeitos de resistência do ar e a curvatura 
e rotação da Terra.
Notamos inicialmente que o movimen-
to de um projétil está sempre confinado 
em um plano vertical determinado pela 
direção da velocidade inicial. Observe a 
Figura 28 a seguir. Isso ocorre porque a 
aceleração da gravidade é sempre ver-
tical. Logo, o movimento de um projétil 
ocorre em duas dimensões. O plano do 
movimento será considerado o plano xy, 
sendo o eixo Ox horizontal, e o eixo Oy 
vertical e orientado de baixo para cima.
Figura 28: Movimento de um projétil.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
A chave para analisarmos o movimento 
de um projétil é tratar os componentes x 
e y separadamente. O componente x da 
aceleração é igual a zero, e o componente 
y é constante e igual a –g.
Podemos expressar todas as relações 
vetoriais para a posição, velocidade e ace-
leração usando equações separadas para 
os componentes horizontais e perpendi-
culares. O movimento efetivo do projétil é 
a superposição destes movimentos sepa-
rados. Os componentes de a são:
ax = 0
ay = -g
Sendo: g = 9,8 m/s2.
Podemos utilizar as equações descritas 
anteriormente de modo direto. Exemplifi-
cando, suponha que no instante t=0, a par-
tícula esteja em repouso no ponto (x0 e y0) 
e que, nesse instante, sua velocidade inicial 
possua componente v0x e v0y. Os compo-
nentes da aceleração são ax = 0 e ay = -g. 
Considerando inicialmente o movimento no 
eixo Ox, substituindo v por vx, v0 por v0x e a 
por 0 obtemos que:
vx = v0x
x = x0 + v0xt 
Para o movimento no eixo Oy, substituin-
do x por y, v por vy, v0 por v0y e a por –g, en-
contramos:
vy = v0y – gt 
Normalmente, é mais simples considerar 
a posição inicial (t = 0) como a origem. Nes-
se caso x0 = y0 = 0.
A Figura 29 a seguir, mostra-nos a tra-
jetória de um projétil que começa na (ou 
atravessa a) origem em dado instante t=0. 
Os componentes da posição, da velocidade 
e da aceleração são indicados para inter-
valos de tempos iguais; o componente x 
da aceleração é igual a zero, portanto, vx é 
constante. O componente y da aceleração 
é constante e não nulo, de modo que vy va-
ria de quantidades iguais em intervalos de 
tempo iguais. No ponto mais elevado da sua 
trajetória vy = 0.
32 33
Podemos também representar a velo-
cidade inicial v0 por seu módulo v0 (a velo-
cidade escalar inicial), seu ângulo α0 com 
o sentido positivo do eixo Ox. Em termos 
dessas grandezas, os componentes v0x e 
v0y da velocidade inicial são:
v0x=v0 cos α0 v0y =v0 sen α0 
Equação 3.15
Usando este resultado nas relações 
indicadas pela equação até a 
equação x=Ae-(b/2m)t cos(ω't+Φ) e fazendo 
x0= y0, vem que:
x = (v0 cos α0 ) t 
vx= v0 cos α0 
vy = v0 sen α0 - gt 
Essas equações descrevem a posição e 
a velocidade de um projétil na Figura 30 a 
seguir, em qualquer instante t. Dessas re-
lações, podemos extrair muitas informa-
ções. Por exemplo, em qualquer instante, 
a distância r entre o projétil e a origem (o 
módulo do vetor posição r) é dada por:
A velocidade escalar do projétil (o mó-
dulo de sua velocidade), em qualquer ins-
tante, é dada por: 
A direção e o sentido da velocidade em 
termos do ângulo que ela faz com o sen-
Figura 29: Trajetória de um corpo.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
→
34 35
tido positivo de Ox são dados por: 
 
O vetor velocidade v em cada ponto é 
tangente à trajetória no referido ponto. 
Podemos deduzir a equação da forma da 
trajetória em termos de x e de y eliminan-
do t. Pelas equações 
que supõem x0 =y0 = 0, obtemos:
Não se preocupe com os detalhes des-
ta equação; o ponto importante é sua 
forma geral. As grandezas v0, tan α0 , cos 
α0 e g são constantes, de modo que esta 
equação tem a forma:
y = bx – cx2
Sendo que b e c são constantes. Trata-
-se da equação da parábola. A trajetória 
de um projétil, com nosso modelo simpli-
ficado, é sempre uma parábola. Esta fo-
tografia estroboscópica de uma bola sal-
tando mostra justamente essa trajetória 
parabólica depois de cada salto.
Figura 30: Trajetória parabólica de uma bola de 
tênis.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
Problema – Um motociclista se proje-
ta para fora da borda de um penhasco. No 
ponto exato da borda, sua velocidade é ho-
rizontal e possui módulo igual a 9 m/s. Pe-
de-se:
a) a posição do motociclista;
b) a distância da borda do penhasco;
c) a velocidade depois de 0,50 s. 
Solução – neste caso, temos que:
a) Escolhendo a origem na borda do 
penhasco, onde o motociclista começa a 
se tornar um projétil, temos:
x0 = 0;
y0 = 0.
A velocidade é puramente horizontal 
(ou seja, α0 = 0), de modo que a velocida-
de inicial possui os componentes:
v0x = v0 cos α0 = 9,0 cos 0º = 9 m/s;
v0y = v0 sen α0 = 9,0 sen 0º = 0 m/s.
Quanto ao t = 0,50, temos:
b) Da equação , temos:
c) Das equações vx = v0 cos e vy = v0 
sen α0 - gt, temos:
O motociclista possui a mesma velo-
cidade horizontal vx que possuía no mo-
mento t = 0 em que ele abandona a borda 
do penhasco, entretanto, surge uma ve-
→
34 35
locidade vertical vy dirigida para baixo (no 
sentido negativo do eixo Oy).
Figura 31: Interpretação geométrica do problema.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
4.4 Força central
a) Força de atração entre os corpos
A interação entre dois corpos de mas-
sa M e m é descrita em termos de uma 
força atrativa, conforme Figura 32 a se-
guir, cuja direção é a reta que passa pelo 
centro dos dois corpos e cujo módulo é 
dado pela equação matemática dada por:
Figura 32: Força de atração.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
Sendo G a constante da gravitação 
universal G = 6,67.10-11 Nm2/kg2, e r é a 
distância entre os centros dos corpos.
b) Interpretando a aceleração da 
gravidade
É denominada intensidade do campo 
gravitacional, ou aceleração da gravida-
de g em um ponto P distante r do centro 
do planeta de massa M, a força sobre a 
unidade de massa situada no ponto P é 
dada por:
Figura 33: Aceleração da gravidade.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
c) Força central
Considere que uma força F atuante so-
bre uma partícula de massa m, como está 
representado na Figura 34 a seguir, é tal 
que:
a) ela é sempre dirigida de m para um 
ponto fixo O ou em sentido contrário;
b) seu módulo depende somente da 
distância r de m a O.
Figura 34: Representação de uma força central.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
Uma força assim é chamada de força 
central ou campo de força central, em 
que O é o centro de força. 
Uma força é central quando o vetor po-
sição r é paralelo ao vetor força F. O mo-
mento da força M = r x F = 0. Da relação 
entre o momento das forças que atuam 
→ →
→
36 37
sobre a partícula e o momento angular 
(Teorema do momento angular), conclu-
ímos que:
O momento angular permanece cons-
tante em módulo, direção e sentido. O 
momento angular L de uma partícula é 
o vetor resultado do produto vetorial 
L = r x m v , cuja direção é perpendicular 
ao plano determinado pelo vetor posição 
r e o vetor velocidade v. 
Como o vetor L permanece constan-
te em direção, r e v estão em um plano 
perpendicular à direção fixa de L . Con-
cluímos que a trajetória do móvel estará 
contida em um plano perpendicular ao 
vetor momento angular L .
Quando os vetores, r e v são parale-
los, logo a direção do movimento passa 
pela origem, o momento angular L = 0. 
A partícula descreve um movimento re-
tilíneo, cuja aceleração não é constante. 
Observe a Figura 35 a seguir. 
Figura 35: Força Central.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
d) Força de atração
Suponhamos que uma partícula de 
massa m se move desde a posição A até a 
posição B nas proximidades de um corpo 
fixo de massa M.
Figura 36: Força de atração.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
Vamos calcular o trabalho realizado 
pela força atração F . Neste caso, temos 
que:
O trabalho infinitesimal é o produto 
escalar do vetor força F pelo vetor deslo-
camento dl , tangente à trajetória.
dW =F . F = F.dl.cos (180 - θ) = - F.dl.cos 
Φ = - F. dr, sendo dr o deslocamento in-
finitesimal da partícula na direção radial.
Para calcular o trabalho total, integra-
mos entre a posição inicial A, distante rA 
do centro de forças e a posição final B, 
distante rB do centro fixo de forças.
O trabalho W não depende do caminho 
seguido pela partícula para ir da posição 
A à posição B. A força de atração F , que 
exerce o corpo fixo de massa M sobre a 
partícula de massa m, é conservativa.Tal 
função é denominada energia potencial. 
A fórmula da energia potencial é escrita 
como:
O nível zero de energia potencial foi 
estabelecido no infinito, para r = infinito, 
Ep = 0.
O fato de que a força de atração ser 
→ → →
→
→ →
→
→
→
→→
→
→
→
→ →
→
36 37
conservativa implica que a energia total 
(cinética mais potencial) da partícula é 
constante, em qualquer ponto da traje-
tória.
sendo 1/2 mv2 a energia cinética (Ec) da 
partícula.
e) Queda livre de grandes distân-
cias
Examinamos a situação mais simples, 
aquela na qual o momento angular L = 0 
(movimento retilíneo), em que somente é 
necessário aplicar o princípio de conser-
vação da energia.
Figura 37: Aplicando o princípio de conservação de 
energia.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
Admitindo uma altura h < R, pequena 
em comparação com o raio da Terra. O 
tempo t e a velocidade v com que o corpo 
atinge a superfície da Terra são calcula-
dos mediante as equações:
sendo g, a aceleração da gravidade na 
superfície da Terra que supomos cons-
tante (9,8 m/s2).
Vamos descrever o movimento de um 
corpo que é deixado cair desde uma dis-
tância r > R do centro da Terra até atingir 
a sua superfície. Como a força de atração 
depende da distância r entre o centro da 
Terra e o objeto, a aceleração não é cons-
tante. No entanto, o princípio de conser-
vação da energia nos permite calcular a 
velocidade v com a qual atingirá a super-
fície da Terra.
Sendo:
m é a massa do corpo;
M é a massa da Terra;
R é o raio da Terra;
r é a distância entre o centro do corpo 
à superfície da Terra.
Problema – Deixamos cair um objeto 
situado a h = 20.000 km de altura. Calcule 
a velocidade com a qual atinge a superfície 
da Terra. Os dados são:
Raio da Terra - R = 6,37.106 m
Massa da Terra - M = 5,98.1024 kg
Constante - G = 6,67.10-11 Nm2/kg2
Solução – neste caso, temos que:
r = 20,0.106 + 6,37.106 = 26,37 . 106 m
Substituindona equação:
Vem que, v = 9.746 m/s.
38 3938
UNIDADE 5 - Unidades de Medidas
As quatro quantidades básicas – com-
primento, tempo, massa e força – não são 
todas independentes umas das outras; na 
verdade, elas são relacionadas pela se-
gunda lei do movimento de Newton, F = 
ma. A igualdade F = ma é mantida apenas 
se três das quatro unidades, chamadas 
unidades básicas, estiverem definidas e a 
quarta unidade for derivada da equação.
a) Unidades SI
O Sistema Internacional de Unidades, 
abreviado como SI, do francês Système 
International d’Unités, é uma versão 
moderna do sistema métrico, que rece-
beu aceitação mundial. Como mostra o 
Quadro 1 a seguir, o sistema SI define o 
comprimento em metros (m), o tempo em 
segundos (s) e a massa em quilogramas 
(kg). A unidade de força chamada ‘new-
ton’ (N), é derivada de F = ma. Portanto, 
1 newton é igual a força necessária para 
fornecer a 1 (um) quilograma de massa 
uma aceleração de 1 m/s2(N = kg.m/s2).
38 3939
b) Prefixos
Quando uma quantidade numérica é 
muito grande ou muito pequena, as uni-
dades usadas para definir seu tamanho 
podem ser modificadas usando um prefi-
xo. Alguns dos prefixos usados no SI são 
mostrados no Quadro 2 a seguir.
40 4140
REFERÊNCIAS
BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON, Jr., E. 
Russell. Mecânica Vetorial para engenhei-
ros: estática. 5 ed. Ver. São Paulo: Pear-
son, 1994.
HIBBELER, R. C. Estática: mecânica 
para engenharia. 10. Ed. São Paulo: Pear-
son, 2005.
LANDAU, L.LIFCHITZ, E. Mecânica. São 
Paulo: Hemus – Livraria Editora.
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Estática: 
mecânica para engenharia. Volume 1. 6. 
Ed Rio de Janeiro: LTC, 2009.
MAIA, L.P.M. Mecânica Vetorial. Rio de 
Janeiro: Editora UFRJ.
SHAMES, I. H., Estática: mecânica para 
engenharia. 4. Ed. São Paulo: Ed. Prentice 
Hall, 2002. V.1. (BV).
SILVA, Larissa. Mecânica estática. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall. 2011 (BV).
SYMON, K. R. Mecânica. Rio de Janeiro: 
Ed. Campus, 1982.
RICARDO, Octavio Gaspar de Souza. 
Teoria das estruturas. SP: Mcgraw-hill, 
1978.
40 4141
	INTRODUÇÃO
	UNIDADE 1 - Elementos Fundamentais da Mecânica Newtoniana
	1.1	As leis de Newton
	1.2	Força e massa
	1.3	Sistemas de referência 
	1.4	Lei de Newton associada à atração da gravidade 
	1.5	Medidas e limitações da Mecânica de Newton
	UNIDADE 2 - Movimento de Partículas em uma Dimensão
	2.1	Sistemas de referência 
	2.2	Coordenadas cartesianas e posição 
	2.3	Generalizando para duas e três dimensões
	2.4	Movimento e repouso
	2.5	Definindo formalmente a trajetória
	2.6	Cinemática envolvendo o movimento em uma dimensão
	UNIDADE 3 - Oscilador Harmônico e Propriedades Fundamentais
	3.1	Conceitos fundamentais 
	3.2	Equações do movimento harmônico simples
	3.3	A energia associada ao movimento harmônico simples
	3.4	Oscilador harmônico amortecido
	3.5	Oscilador harmônico forçado
	UNIDADE 4 - Movimentos Bidimensional e Tridimensional Envolvendo Partículas
	4.1	Vetor posição e vetor velocidade
	4.2	Vetor aceleração
	4.3	Movimento de um projétil
	4.4	Força central
	UNIDADE 5 - Unidades de Medidas
	REFERÊNCIAS