Prévia do material em texto

Página inicial 
DESENVOLVIMENTO 
DA ÁLGEBRA 
Professora : Me. Camila Hiromi Tamura 
Objetivos de aprendizagem 
Apresentar uma breve história sobre a evolução da álgebra. 
Apresentar o desenvolvimento da álgebra no Brasil afim de identificar os problemas enfrentados nos dias atuais no ensino da 
álgebra. 
Apresentar a trajetória do desenvolvimento do pensamento algébrico para uma melhor compreensão das dificuldades vividas 
até hoje. 
Discutir o uso de padrões no desenvolvimento do pensamento algébrico. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
Plano de estudo 
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: 
Uma breve história da álgebra 
Ensino da álgebra no Brasil 
Desenvolvimento do pensamento algébrico 
Padrões do desenvolvimento algébrico 
Introdução 
O ensino-aprendizagem da álgebra é um tema muito abordado nos dias atuais tanto no Brasil como no exterior. O que vimos hoje 
no ensino da álgebra no Brasil é reflexo de várias fases da evolução, assim, uma breve revisão do ensino dessa área e de resultados 
de pesquisas torna-se necessário para a compreensão do que acontece hoje na sala de aula. 
Alfabetizar algebricamente os alunos é um desafio, e as dificuldades desse processo provêm da forma de como a álgebra é 
introduzida aos alunos, de maneira pronta, assim é comum ouvir dos alunos que não sabem quais suas utilizações, aplicações 
práticas. 
O entendimento do desenvolvimento histórico da álgebra é uma ferra- menta que pode auxiliar o professor a perceber a 
complexidade desse campo e buscar na prática docente desenvolver atividades que promovam o desenvolvimento do pensamento 
algébrico. 
O uso da história da matemática para introduzir a álgebra se mostra muito eficaz, conhecendo a história do desenvolvimento do 
pensamento algébrico os alunos tomam ciência de que ele foi construído no decorrer de dois milênios a partir das necessidades do 
homem. Conhecendo as fases do seu desenvolvi- mento, que começa com a álgebra retorica, depois a álgebra sincopada até a 
álgebra simbólica como conhecemos hoje, os alunos podem perceber como a linguagem algébrica é importante para simplificar e 
facilitar as operações e resoluções de problemas. Dessa forma o aluno pode compreender e se apropriar da linguagem algébrica de 
forma significativa, contornando as dificuldades que forem surgindo com relação ao pensamento abstrato. 
Avançar 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial/unidade-1
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial
https://getfireshot.com
Página inicial 
UMA BREVE HISTÓRIA DA ÁLGEBRA 
Caro(a) aluno(a) aqui estudaremos uma breve história da álgebra, com o intuito de conhecermos um pouco sobre o 
desenvolvimento histórico dessa área. 
Conforme os estudos realizados por Eves (1997), as raízes da álgebra encontram-se por volta de 2000 a.C. através da formalização 
e sistematização de algumas técnicas de resolução de problemas da antiguidade. Os primeiros estudos de álgebra foram 
encontrados no Egito, no papiro de Rhind (ou Ahmes) (aproximadamente 1650 a.C.), na qual encontram-se resoluções de 85 
problemas de aritmética e álgebra. Esse papiro é considerado um dos documentos mais antigos e ricos em informações referente a 
matemática egípcia antiga. 
Figura 1: Papiro de Rhind 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
Fonte: Wikipedia (online). 
Alguns séculos depois, chegamos a Muhammad ibn Musa Al-Khowârizmî, que segundo Eves (1997) foi o primeiro matemático a 
usar o termo “álgebra”, originado a partir do título Hisâb al-jabr wa’l muqâ-balah , esse livro fala sobre soluções de equações de 
primeiro e segundo graus, tratados de forma retórica, sem emprego de símbolos. Esse título foi traduzido como “ciência da reunião 
e da oposição”, ou mais livremente como “ciência da transposição e do cancelamento”. Mas o nome álgebra tornou-se conhecido 
pela tradução latina da palavra Al-jabr , sinônimo de ciência das equações. Segundo Sostisso (2011), Al-Khowârizmî divide com 
Diofantino de Alexandria os créditos de fundador da álgebra. As obras de Diofantino buscam soluções exatas, positivas e racionais 
de equações determinadas e indeterminadas, o que o difere da álgebra numérica babilônica. 
De acordo com Gimenez e Lins (1997), comparado ao Diofanto, Al-Khowârizmî desenvolveu uma álgebra pobre pelo ponto de 
vista técnico. Segundo os autores, para Al-khowârizmî os números são associados a segmentos e áreas, ou seja, são vistos como 
grandezas geométricas, já para Diofanto isso não é número. 
O desenvolvimento da álgebra prosseguiu com Al-Karagi, segundo Mol (2013), Al-Karagi teve o mérito de tornar o cálculo 
algébrico independente da geometria. O principal sucessor de Al-Karagi,Al-Samaw’al foi e Al-Samaw’al que estabeleceu várias 
regras algébricas, o que significou um avanço em termos de eficiência em relação à álgebra retórica e um importante passo para o 
desenvolvimento do simbolismo algébrico. 
Um outro nome que se destaca é Scipione del Ferro, de acordo com Sostisso (2011) Scipione foi o primeiro a resolver a equação 
geral do 3° grau, ele não publi- cou seu trabalho, mas revelou o segredo ao seu discípulo Antonio Fior. Alguns anos depois, Nicolo 
Fontana de Brescia, mais conhecido como Tartaglia, anunciou ter descoberto a solução algébrica para a equação cúbica, que foi 
publicado sem autorização por Cardano na sua Ars Magna , um grande tratado em latim de álgebra. Um tempo depois, a equação de 
4° grau foi resolvida por Ludovico Ferrari, um dos discípulos de Cardano, e este também foi publicado em Ars Magna . Em 1824 o 
matemático norueguês Niels Henril Abel demonstrou que as raízes das equações gerais de grau cinco ou maior, não podem ser 
expressas por meio de radicais em termos dos coeficientes respectivos. E em 1858, Charles Hermite apresentou a solução da 
equação geral de 5° grau por meio de funções elípticas. 
Com os processos de resolução das equações algébricas do 3° grau que surgiu a necessidade da introdução 
de um novo tipo de número, denominado números complexos. 
Fonte: Ponte et al. (2009). 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.ime.usp.br%2F%257Emartha%2Fcaem%2Fcomple-&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNG-WtvgWAbozHz9PvgW-NroASxImQ
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.ime.usp.br%2F%257Emartha%2Fcaem%2Fcomple-&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNG-WtvgWAbozHz9PvgW-NroASxImQ
Para saber mais, acesse: <https://w ww.ime .usp.br/~martha/caem/comple xos.pdf>. 
Cardano deixou uma vasta obra abrangendo vários assuntos, mas dentre seus livros, o mais importante é a Ars Magna , o primeiro 
grande tratado em latim dedicado exclusivamente a álgebra 
De acordo com Ponte et al. (2009) uma questão central da teoria das equações é a de saber quantas soluções se pode ter em uma 
equação de grau n. O primeiro matemático a afirmar que uma equação de grau n tem sempre n soluções foi Albert Girard (1595- 
1632), em 1629, num livro intitulado Invention nouvelle em l’algèbre . 
Este Teorema designado com Teorema Fundamental da Álgebra, tem muitas propostas de demonstração, todas elas refutadas, 
numa história muito interessante em que intervêm matemáticos como Leibniz, Euler, d’Alembert e Lagrange. A demonstração foi 
feita de modo considerado satisfatório por Argand e Gauss. 
Segundo Eves (1997), podemos destacar o advogado francês François Viète nascido em 1540, como o pai da álgebra. Embora 
formado em advocacia,tinha paixão pela matemática e dedicava a maior parte do tempo de lazer à matemática. Viète tinha 
trabalhos na trigonometria, álgebra e geometria, mas o seu mais famoso trabalho foi In artem , nesse texto Viéte introduziu a 
prática de se usar vogais para representar incógnitas e consoantes para representar constantes. Viète realizou importantes 
progressos no cálculo algébrico e em suas aplicações. Foi Descartes em 1637 que introduziu a convenção atual de se usar as 
primeiras letras do alfabeto para indicar constantes e as últimas às incógnitas. 
Em função das fases evolutivas da álgebra, segundo Fiorentini, Miguel e Miorim (1993), alguns historiadores da matemática 
consideram, em geral, três estágios: a fase primitiva ou retórica, o intermédio ou sincopado e a fase final ou simbólica. 
A fase retórica se estende dos babilônios até Diofanto, onde tudo era escrito por palavras, ou seja, não eram utilizados símbolos 
nem abreviações, está seria a álgebra dos egípcios, babilônios e gregos prédiofantinos. Segundo Hanke (2008) uma solução 
retórica exigia uma atenção mental muito mais elevada; na fase sincopada foram adotadas algumas abreviações e/ou símbolos 
específicos para expressar suas equações, que surgiu com Diofanto e foi até o início do século XVI. O quadro a seguir mostra uma 
relação entre a linguagem na escrita de equações utilizada por Diofanto, no século IV e a linguagem escrita nos dias atuais. 
Quadro 1: Símbolos gregos x símbolos atuais 
Fonte: Hanke (2008, p. 44) 
Mesmo com sincopação da álgebra, muitas civilizações continuaram usando a álgebra retórica por muitos anos; a fase simbólica é 
marcada pelo momento em que são usados apenas símbolos, que ocorreu por volta do século XVI, com François Viète, mas que se 
consolidou a partir de Descartes, em 1637, e essa simbologia é usada até os dias de hoje. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.ime.usp.br%2F%257Emartha%2Fcaem%2Fcomple-&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNG-WtvgWAbozHz9PvgW-NroASxImQ
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.ime.usp.br%2F%257Emartha%2Fcaem%2Fcomple-&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNG-WtvgWAbozHz9PvgW-NroASxImQ
História da Matemática no Ensino 
A matemática é uma atividade humana, os conceitos são construídos ou desfeitos de acordo com as necessidades de solucionar 
problemas. Segundo Valati e Pacheco, a abstração é a principal característica da matemática e, um dos principais objetivos do 
ensino é a formação de conceitos decorrentes de representações simbólicas que compõem uma linguagem específica. Todavia, a 
apropriação desta linguagem, cons- titui uma grande dificuldade para muitos alunos, que trazem questões como: “Para que serve 
isso?”, “Por que estudar esse conteúdo?” A História da matemática permite ao professor elaborar e organizar abordagens 
pedagógicas que podem contribuir no processo de ensino e aprendizagem da álgebra. 
Grunetti e Rogers (2000 apud Vailati e Pacheco) identificam os debates relativos à história da matemática sob três aspectos 
distintos: 
Aspecto filosófico: A necessidade de visualização da matemática como uma atividade humana e suas relações sócio culturais. 
Aspecto interdisciplinar: A matemática ligada a outras disciplinas. A compreensão do conteúdo matemático torna-se mais 
efetiva mediante as conexões históricas entre diversas áreas do conhecimento. 
Aspecto cultural: A análise das contribuições de várias culturas ou de uma cultura especifica para a evolução da ciência 
matemática. 
Valati e Pacheco acreditam que uma abordagem histórica do desenvolvimento da álgebra pode propiciar aos alunos a participação 
na construção da linguagem simbólica e do conhecimento algébrico. Um percurso pela história da evolução do pensamento 
algébrico pode conduzir o aluno à compreensão de novos significados para a linguagem algébrica, e com isso, suavizar as 
dificuldades relativas ao abstrato e a generalização. 
ENSINO DA ÁLGEBRA NO BRASIL 
Os problemas encarados nos dias atuais no ensino da álgebra no Brasil podem ser um reflexo da evolução da álgebra desde quando 
foi introduzido no currículo até os dias de hoje. Diante disso, é importante sabermos um pouco sobre como tudo aconteceu para 
entendermos o que acontece com seu ensino hoje. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
Ensino da Álgebra antes do Movimento da 
Matemática Moderna 
Segundo Miguel, Fiorentini e Miorim (1992), a preocupação de introduzir o ensino da álgebra no Brasil, em forma de aulas, ocorreu 
com a carta Régia de 19 de agosto de 1799. 
A matemática nas escolas eram divididas em compartimentos estanques, ou seja, de forma isolada, onde se estudava primeiro a 
aritmética, depois a álgebra e em seguida a geometria e trigonometria. Esses conteúdos tinham programas e livros diferentes, e 
não existia a disciplina Matemática. De acordo com os autores a álgebra apresentava um caráter instrumental, útil para resolver 
problemas e equações. 
A Reforma Francisco Campos (Decreto N.21.241- de 4 de abril de 1932) que assumiu a denominação “Matemática” em vez de 
Aritmética, Álgebra, Geometria e Trigonometria. Essa reforma tenta imprimir organicidade ao ensino, onde foi estabelecido 
definitivamente o currículo seriado. 
Ao longo de todo período republicano até meados da década de 60, no ensino da álgebra elementar, a análise dos livros didáticos 
de nossas escolas nos mostraram que os objeto de ensino permaneceram praticamente inalterados: cálculo algébrico 
(compreensão das operações com polinômios), razão e proporção, equações e inequações do 1° grau a uma incógnita, equações de 
várias incógnitas, sistemas de equações, radicais (operações e propriedades), equações do 2° grau, o trinômio do 2° grau, equações 
redutíveis ao 2° grau, problemas do 2° grau e sistema de equações de 2° grau. 
Segundo Araújo (2008) no ensino da álgebra, a maior ênfase era dada às transformações das expressões algébricas, e quase 
sempre os conteúdos eram apresentados de forma mecânica e automatizada, na qual eram trabalhados apenas as regras e os 
“passos” na solução de um problema. Por exemplo, em seu livro-texto de Álgebra Elementar, Trajano (1947) propunha a seguinte 
regra para encontrar o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre expressões: 
Para se achar o M.M.C. de duas ou mais expressões, escrevem-se todas, em linha separadas por vírgulas e 
sublinham-se. Acha-se um fator primo que divide exatamente uma destas expressões, e escreve-se debaixo 
os quocientes, bem como as expressões que não forem divisíveis por ele. Divide-se esta nova linha de 
expressões por um fator primo, que divide uma das expressões; e assim se procede em seguida; e as 
expressões primas dividem-se por si mesmas, para que todos os fatores fiquem à direita, e todos os 
quocientes sejam 1. O continuado produto de todos os fatores primos será o M.M.C. (1947, p. 58). 
De acordo com Miguel, Fiorentini e Miorim (1992), na primeira metade do século XX os manuais didáticos de Álgebra e Geometria 
apresentavam uma visão dualista, con forme o seguinte texto: 
Para os estudantes a Matemática devia assemelhar-se a um monstro de duas cabeças: uma estritamente 
racional, que seria desenvolvida pela Geometria, demonstrando-lhe todas as afirmações com o objetivo de 
elevar o seu espírito – ainda que tudo isso lhe fosse de difícil entendimento – e a outra, estrita- mente 
pragmática, que seria desenvolvida pela Aritmética e pela Álgebra, desfiando regras e fórmulas – 
geralmente aceitas sem justificativas com a finalidade de resolver problemas, em sua maior parte artificiais 
(1992, p. 43). 
O dualismo entre Geometria e Álgebra tem sua origem no pensamento grego, principalmente no pensamento platônico, onde a 
teoria era supervalorizada em relação a prática, assim atribuía à Geometria teórica um caráter nobre, enquanto que à Álgebra um 
caráter inferior. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1https://getfireshot.com
Ensino da Álgebra no Movimento da Matemática Moderna e Pós 
Movimento da Matemática Moderna 
Na década de 60, surgiu o Movimento da Matemática Moderna com o propósito de tentar unificar o ensino dos três campos 
fundamentais da matemática escolar, introduzindo os elementos unificadores, tais como a teoria dos conjuntos, funções, as 
estruturas algébricas. 
A álgebra passou a ocupar um lugar de destaque. Segundo Dieudonné (1973) o ensino da álgebra não se identificava mais com a 
“aplicação cega de regras aritméticas” e nem com “a teoria puramente abstrata de grupos, anéis e corpos”, mas passou a receber 
um maior rigor e assumiu uma acentuada preocupação com as propriedades estruturais dos conteúdos e a precisão da linguagem. 
Assim, a álgebra perdeu seu caráter pragmático, associado à necessidade de resolver problemas. A partir daí, o programa de 
álgebra começava pelo estudo da teoria de conjuntos e a ênfase era nas operações e suas propriedades. 
Na década de 60, surgiu o Movimento da Matemática Moderna com o propósito de tentar unificar o ensino dos três campos 
fundamentais da matemática escolar, introduzindo os elementos unificadores, tais como a teoria dos conjuntos, funções, as 
estruturas algébricas. 
A álgebra passou a ocupar um lugar de destaque. Segundo Dieudonné (1973) o ensino da álgebra não se identificava mais com a 
“aplicação cega de regras aritméticas” e nem com “a teoria puramente abstrata de grupos, anéis e corpos”, mas passou a receber 
um maior rigor e assumiu uma acentuada preocupação com as propriedades estruturais dos conteúdos e a precisão da linguagem. 
Assim, a álgebra perdeu seu caráter pragmático, associado à necessidade de resolver problemas. A partir daí, o programa de 
álgebra começava pelo estudo da teoria de conjuntos e a ênfase era nas operações e suas propriedades. 
De acordo com Araújo (2008), através do Movimento da Matemática Moderna, os conteúdos de geometria deixaram de ser vistos 
como potencialmente ricos e per- deram seu lugar no currículo, dando lugar à álgebra. 
Para Miguel, Fiorentini e Miorim (1992), a álgebra não recebe a devida atenção nos estudos, reflexões e debates a respeito do 
ensino da matemática, apesar de ocupar boa parte dos livros didáticos atuais. Os autores comentam sobre o ensino da álgebra: 
... o modo como a maioria dos professores ainda trabalha a Álgebra – de forma mecânica e automatizada, 
dissociada de qualquer significação social e lógica, enfatizando simplesmente a memorização e a 
manipulação de regras, macetes, símbolos e expressões – tal como ocorria há várias décadas, mostra que o 
seu ensino não tem recebido a devida atenção (1992, p. 40). 
Segundo os mesmos autores, mesmo com o movimento moderno, o ensino da matemática não conseguiu sair da crise em que se 
encontrava, ao contrário disso, a crise tomou outras características, uma vez que a matemática perdeu principalmente seu caráter 
informativo e pragmático, e a prática modernista não conseguiu realizar seu projeto formativo, onde o aluno deveria ter a 
capacidade de aplicar as formas estruturais de pensamento aos mais variados domínios dentro e fora da matemática. No artigo 
publicado em Pró-posições os autores dizem: 
É diante desse quadro contraditório, que se expressa na polarização entre a ênfase tecnicista no “fazer” e a 
ênfase estruturalista no “compreender via fundamentação lógica”, que matemáticos e educadores 
matemáticos passaram a questionar os próprios pressupostos que embasavam o ideário modernista (1992, 
p. 50). 
No final da década de 70, o Movimento da Matemática Moderna entrou em declive no mundo todo e surgem críticas aos 
propósitos desse movimento e tentativas de correções de distorções e excessos cometidos ao longo da trajetória (ARAÚJO, 2008). 
De acordo com Miguel, Fiorentini e Miorim (1992), a álgebra pós matemática moderna retomou seu papel anteriormente ocupado, 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
ou seja, um estudo com a finalidade de resolver problemas e equações. 
Para Lins e Gimenez (1997, p. 106) destacam sobre a álgebra apresentada nos livros didáticos: “técnica (algoritmo) / prática 
(exercícios), na maioria dos livros didáticos disponíveis no mercado brasileiro, encontramos apenas isso”. 
A partir da década de 90, percebemos uma nova forma de pensar a educação algébrica, onde a maior preocupação deixa de ser 
com as regras de manipulações e o foco principal passa a ser a proposta de experiências que desenvolvam o pensa- mento 
algébrico conduzindo à elaboração de uma linguagem simbólica. 
Os PCNs do Ensino Fundamental destacam que à respeito da educação algébrica é necessário: 
... deve-se ter, evidentemente, clareza de seu papel no currículo, além da reflexão de como a criança e o 
adolescente constroem o conhecimento matemático, principalmente quanto à variedade de 
representações. Assim, é mais proveitoso propor situações que levem os alunos a construir noções 
algébricas pela observação de regularidades em tabelas e gráficos, estabelecendo relações, do que 
desenvolver um estudo da Álgebra apenas enfatizando as “manipulações” com expressões e equações de 
uma forma meramente mecânica (BRASIL, 1998, p. 116). 
DESENVOLVIMENTO DO 
PENSAMENTO ALGÉBRICO 
Aqui veremos um pouco sobre a trajetória do desenvolvimento do pensamento algé- brico para um melhor entendimento dos 
problemas vividos hoje em nossas escolas no processo ensino aprendizagem da álgebra. É fundamental percorrermos fatos da 
evolução da matemática que levam à constituição. 
Segundo Hanke (2008), ao longo da história a evolução do pensamento em várias civilizações ocorre de acordo com a Tabela 1. 
Tabela 1: As civilizações e as formas de representação do pensamento algébrico 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
Fonte: Hanke (2008, p. 43). 
No Brasil, a preocupação com o desenvolvimento do pensamento algébrico surgiu apenas no final do século XX. O foco até então 
era a manipulação de expressões algébricas obedecendo determinas regras. 
Diversos autores tem abordado o conceito de pensamento algébrico. Segundo Hanke (2008) o pensamento algébrico existe em 
todas as fases de seu desenvolvimento, até mesmo na sua fase retórica, onde havia ausência total da linguagem simbólica. A 
linguagem algébrica utilizada naquela época era uma linguagem natural. 
Caraça (1984) diz que o pensamento algébrico surgiu antes mesmo de qualquer formalização: 
... o homem na sua necessidade de lutar contra a natureza e no seu desejo de dominá-la, foi levado, 
naturalmente, à observação e ao estudo dos fenômenos, procurando descobrir as suas causas e o seu 
encadeamento. Os resultados, lentamente adquiridos e acumulados, vão constituindo o que, no decurso dos 
séculos da vida consciente da Humanidade, se pode designar pelo nome de Ciência (CARAÇA, 1984, p. 107). 
De acordo com Fiorentini, Miguel e Miorim (1993), o pensamento algébrico pode ser expressado por meio de várias linguagens: 
... não existe uma única forma de se expressar o pensamento algébrico. Ele pode expressar-se através da 
linguagem natural, através da linguagem aritmética, através da linguagem geométrica ou através da criação 
de uma linguagem específica para esse fim, isto é, através de uma linguagem algébrica, de natureza 
estritamente simbólica (FIORENTINI, MIGUEL E MIORIM, 1993, p. 88). 
Como na construção da álgebra, o pensamento algébrico estava presente em todos os momentos. Fiorentini, Fernandes e 
Cristóvão (2006) defendem que antes mesmo da existência de uma linguagem simbólica, o pensamento algébrico pode ser de- 
senvolvido gradativamente. Eles apontam alguns aspectos a serem desenvolvidos, os quais denominam como caracterizadores do 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
pensamento algébrico: 
Estabelecer relações/comparações entre expressõesnuméricas ou padrões geométricos; 
Perceber e tentar expressar as estruturas aritméticas de uma situação problema; 
Produzir mais de um modelo aritmético para uma mesma situação problema; 
Produzir vários significados para uma expressão numérica; 
Interpretar uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou entre duas expressões numéricas; 
Transformar uma expressão aritmética em outra mais simples; 
Desenvolver algum processo de generalização; 
Perceber e tentar expressar regularidades ou invariâncias; 
Desenvolver/criar uma linguagem mais concisa ou sincopada ao expressar-se matematicamente. 
Os PCNs (1998), e Fiorentini, Miguel e Miorim (1993) acreditam que seria adequado introduzir o desenvolvimento do pensamento 
algébrico por meio de atividades que certifique o exercício dos aspectos caracterizadores desse pensamento. 
A sugestão dos PCNs do Ensino Fundamental em relação à educação algébrica é: 
Os adolescentes desenvolvem de forma bastante significativa a habilidade de pensar “abstratamente”, se 
lhes forem proporcionadas experiências variadas envolvendo noções algébricas, a partir dos ciclos iniciais 
de modo informal, em um trabalho articulado com aritmética. Assim, os alunos adquirem base para uma 
aprendizagem de Álgebra mais sólida e rica em significados (BRASIL, 1997, p. 117). 
Assim, não há como continuarmos com o que percebemos na educação algébrica, ou seja, o trabalho listado apenas no 
transformismo algébrico. Hanke (2008) diz, se o objetivo, além de construir uma linguagem simbólica é desenvolver o pensamento 
algébrico, a educação algébrica não pode mais se deter a um único caminho: expressões – equações – problemas. Se faz necessário 
encontrar uma nova proposta de educação algébrica, que vai além das manipulações, que se preocupe com questões sobre o 
desenvolvimento do pensamento algébrico e com a construção do simbolismo como uma linguagem que expressa uma 
generalidade. 
Para Fiorentini, Miguel e Miorim (1993), um trabalho reflexivo faz-se necessário para a construção de uma linguagem que seja 
significativa para o estudante. Dividida em três etapas, onde a primeira é a análise de situações concretas com o objetivo de se 
chegar a uma expressão simbólica. Na segunda percorre-se o caminho inverso, e apenas na terceira a ênfase é o transformismo 
algébrico. Para os autores: 
É esse trabalho reflexivo e analítico sobre situações problema de naturezas diversas, isto é, sobre o modo 
como conduzimos e expressamos o nosso pensamento visando a à resolução de tais situações, que 
possibilitará a construção de uma linguagem simbólica que seja significativa para o estudante (FIORENTINI, 
MIGUEL E MIORIM, 1993, p. 90). 
Eles ainda afirmam que esses trabalhos devem se iniciar nas séries iniciais do Ensino Fundamental, contrapondo a ideia de que o 
aluno deve primeiro dominar o conteú- do de Aritmética e depois aprender a Álgebra. 
Para Lins & Gimenez (1997) a ideia do ensino da álgebra ser precedido pela Aritmética é infundada e prejudicial, segundo eles, “é 
preciso começar mais cedo o trabalho com Álgebra, de modo que ela e a Aritmética desenvolvam-se juntas, uma envolvida no 
desenvolvimento da outra”. Ainda para eles: 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
O que precisamos fazer é entender de que modo a Álgebra e a aritmética se ligam, o que elas têm em 
comum. Feito isso, teremos encontrado uma ver- dadeira raiz, o que nos permitirá repensar a educação 
aritmética e algébrica de forma única (LINS & GIMENEZ, 1997, p. 113). 
Muitas pesquisas defendem que a Educação Algébrica deve promover o desenvolvimento do pensamento algébrico desde as 
séries iniciais, e ir construindo gradativamente a linguagem algébrica e, a partir daí, proporcionar a compreensão e o domínio dos 
transformismos algébricos. 
Os PCNs com o intuito de alcançar tais objetivos, destacam a importância de se desenvolver atividades que levem o aluno a: 
Reconhecer que representações algébricas permitem generalizações sobre propriedades das operações aritméticas, traduzir 
situações problemas e favorecer as possíveis soluções; 
Traduzir informações contidas em tabelas e gráficos em linguagem algébrica e vice-versa, generalizando regularidades e 
identificar os significados das letras; 
Utilizar os conhecimentos sobre as operações numéricas e suas propriedades para construir estratégias de cálculo algébrico 
(BRASIL, 1998, p. 64). 
E ainda: 
Produzir e interpretar diferentes escritas algébricas – expressões, igualdades e desigualdades – identificando as equações, 
inequações e sistemas; 
Resolver situações-problema por meio de equações e inequações do primeiro grau, compreendendo os procedimentos 
envolvidos; 
Observar regularidades e estabelecer leis matemáticas que expressem a relação de dependência entre variáveis (BRASIL, 
1998, p. 81). 
Os PCNs também enfatizam a importância de proporcionar ao aluno atividades que desenvolvam sua capacidade de questionar, 
observar, analisar, argumentar, ou seja, o aluno deve ser uma pessoa ativa no seu processo e ensino-aprendizagem. Para isso, os 
PCNs (1998, p.38) afirmam que é preciso mudar o papel do professor: o papel do professor ganha novas dimensões quando se 
considera o aluno como protagonista da construção de sua aprendizagem. Uma característica desse papel é de organizador da 
aprendizagem; para desempenhá-la além de conhecer as con- dições socioculturais, expectativas e competência cognitiva dos 
alunos, precisará escolher os problemas que possibilitem a construção de conceitos e procedimentos e alimentar os processos de 
resolução que surgirem, sempre tendo em vista os objetivos a que se propõe atingir. 
Qual a sua opinião sobre as mudanças no papel do professor? As escolas dão suporte necessário para que o 
professor realizar ações/atividades em sala de aula? 
Os PCNs do Ensino Fundamental (1998) destacam que o aluno deve estar necessariamente engajado em atividades que 
interrelacionem as diferentes concepções da álgebra, para garantir o desenvolvimento do pensamento algébrico. 
Segundo Araujo (2008) o material mais utilizado pelos professores para acompanhar as solicitações das mudanças são os livros 
didáticos; porém, a maioria deles são escritos para serem usados pelos alunos, assim acabam dando pouco suporte ao trabalho dos 
professores. A autora ainda diz que houve um processo de simplificação nos livros didáticos, que resultou por dificultar o ensino da 
álgebra. Como já dito, dão privilégio a técnica de cálculo com letras que, na maioria das vezes são des- providos de significado. 
Para amenizar esses problemas, é necessário que uma nova postura metodológica se instale na escola, porém os hábitos muito 
consolidados dificultam essa missão. Araujo (2008) acredita na importância de um apoio científico e educacional das universidades 
para que ocorram mudanças. Segundo a autora (2008, p. 342), “o ensino da álgebra nas escolas de ensino básico, deve ser uma das 
preocupações dos cursos de licenciatura em Matemática na busca de uma melhor formação aos professores”. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
O Parecer CNE/CES n° 1302/2001, que define as diretrizes para os Cursos de Matemática, no item 4.2 Licenciatura, recomenda 
que o conteúdo de Fundamentos de Álgebra seja comum em todas as licenciaturas. Afirmam ainda que a parte comum devem 
incluir: 1) conteúdos matemáticos presentes na educação básica nas áreas de álgebra, geometria e análise; 2) conteúdos de áreas 
afins à Matemática, que são fontes originadoras de problemas e campos de aplicação de suas teorias; 3) conteúdos de Ciência da 
Educação, da História e Filosofia das Ciências e da Matemática. 
Como sabemos a ênfase curricular tem recaído sobre a álgebra das estruturas, não havendo orientações específicas quanto ao 
processo de ensino e de aprendizagem da álgebra para os segmentos da educação básica.Segundo os pesquisadores Fiorentini, Miguel e Miorim (1998), Fiorentini, Fernandes e Cristovão (2006), a construção do 
pensamento algébrico se dá de forma gradativa e alguns processos cognitivos envolvidos na aprendizagem da álgebra escolar 
encontram suas raízes no desenvolvimento histórico da álgebra como um sistema simbólico. 
Para Araujo (2008) o entendimento do desenvolvimento histórico da álgebra poderia auxiliar os professores a buscarem na prática 
docente o desenvolvimento de atividades que promovessem o progresso do pensamento algébrico. A autora diz: 
“Por exemplo, o entendimento dos três estágios que ocorrem no desenvolvimento da álgebra, a saber, o 
retórico , o sincopado e o simbólico , pode ser um elemento básico para o professor auxiliar a construção do 
pensamento algébrico do aprendiz desde os primeiros anos da escolaridade, a partir da compreensão dos 
processos individuais de manifestação desse pensamento. Dessa forma, poderá ocorrer uma aprendizagem 
da álgebra de forma mais significativa” (ARAUJO, 2008, p. 344). 
Os PCNs enfatizam sobre a formação inicial e continuada dos professores, que esses programas seriam mais eficientes se 
conduzidos em função das necessidades identificadas na pratica docente. Para muitos alunos a álgebra ainda não tem significado, 
eles ainda se preocupam em gerar métodos para memorizar dados e aplicar fórmulas que logo esquecerão, sem que cheguem a 
desenvolver o pensamento algébrico. Araujo (2008) acredita que para minimizarmos as dificuldades apresentadas aqui, seria 
necessário buscar conscientizar os professores de matemática e os cursos de formação docente de matemática. 
PADRÕES DO DESENVOLVIMENTO 
ALGÉBRICO 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
Nos dias de hoje, desde os tempos mais antigos, o homem sempre foi instigado à procura de regularidades. A própria história da 
Física, da Geografia, da Matemática, etc, nos remete a uma busca constante de um padrão para explicação de determi- nados 
fenômenos proporcionando a evolução de algum aspecto da ciência. 
Devlin (2002) diz que podemos encontrar padrões tanto no mundo físico como no mundo das ideias. Ele diz que esses padrões 
podem ser reais ou imaginários, visuais ou mentais, qualitativos ou quantitativos, estáticos ou dinâmicos, puramente utilitários ou 
assumindo um interesse pouco mais que recreativo. 
Os PCNs (1998) apontam que uma das ferramentas usada para desenvolver o pensamento algébrico pode ser a observação e 
generalização de padrões de regularidades. 
A proposta de ensino e aprendizagem apresentada pelos PCNs (1998) tem sido de uma busca constante para uma significação a 
todos os conteúdos abordados. A utilização do padrão na construção do pensamento algébrico, além de dar significado à 
simbologia e às abstrações algébricas, possibilita o exercício dos elementos caracterizadores do pensamento algébrico. 
Vale et al . (2007) diz: 
Quando apelamos aos padrões no ensino da matemática é normalmente porque queremos ajudar os alunos 
a aprender uma matemática significativa e/oi a envolver-se na sua aprendizagem facultando-lhes um 
ambiente de aprendizagem que tenha algo a ver com a sua realidade e experiências. O estudo de padrões 
vai de encontro a este aspecto, apoiando a aprendizagem dos estudantes para descobrirem relações, 
encontrarem conexões, fazerem generalizações e também previsões (VALE et al., 2007, p. 5) 
Segundo Devlin (2002), considerar a Matemática como a “ciência dos padrões” não será vista como uma má descrição. O autor até 
dá ao seu livro o nome de “Matemática: a ciência dos padrões”, devido a importância que a matemática dá à procura de 
regularidades. 
Mas qual o significado para a palavra padrão? Na literatura, não encontramos uma definição precisa padrão. Vale et al. diz: 
Quando nos confrontamos com o termo padrão, pensamos, de imediato, em padrões visuais tais como os 
que se veem nos tecidos, papel de parede e peças de arte, Mas o conceito de padrão não se esgota apenas 
nestes exemplos. Mas genericamente, padrão é usado quando nos referimos a uma disposição ou arranjo de 
números, formas, cores ou sons onde se detectam regularidades (VALE et al., 2007, p. 1). 
Vários tipos de padrões de forma e de figuras podem ser visualizados pelos nossos olhos, como por exemplo em uma estrela do 
mar, podemos encontrar padrões geo- métricos (Figura 2). 
Figura 2: Estrela do mar 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
Também encontramos padrões em uma colmeia (Figura 3). 
Figura 3: Colmeia 
A partir de uma padrão, a arte dos crochês, tricôs e bordados dão origem a tapetes, adereços, roupas, etc. (Figura 4). 
Figura 4: Tapete de crochê 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
Dentro da matemática, podemos encontrar várias estruturas de padrões que, de acordo com suas características e 
particularidades, podem ser categorizadas em numéricos, visuais, geométricos, figurativo-numérico, geométrico-numéricos, etc. 
Hanke (2008) diz que vários fenômenos, naturais ou não, explicam-se por meio de padrões matemáticos. Como por exemplo, na 
disposição de pétalas na flor de lírio, na flor de girassol, das folhas de algumas plantas. Nas asas de borboletas ou nas plumas de um 
pavão, podem-se identificar padrões geométricos. 
Vale et al. (2007, p. 6) diz que quando consideramos a Matemática como a ciência dos padrões, estamos fazendo uma descrição, 
não só porque os padrões estão presentes na nossa vida e na própria matemática sob várias formas, mas também porque 
acreditamos “construir um tema unificador”. 
Para Hanke (2008) conduzir o ensino da Matemática a partir de experiências com padrões é uma tentativa de torna-los mais 
significativo, de fazer o educando vivenciar o processo de construção da Matemática dando privilégio ao desenvolvimento do 
pensamento algébrico e a criação de uma linguagem simbólica. 
Assim, os conceitos de álgebra podem ser desenvolvidos desde a educação infantil. Inicialmente, levando a criança a descrever 
algum tipo de regularidade, indicar qual o próximo termo de uma determinada sequência, sem nenhuma preocupação. 
Pesquisadores dizem que as sequências de padrões geométricos podem proporcionar ao aluno a introdução 
ao pensamento algébrico. Eles acre- ditam que a introdução do pensamento algébrico pode ser atingida se a 
sequência de ensino: 
Engajar o aluno em atividades que inter-relacionem diferentes aspectos da álgebra, como resolução de 
problemas e não só para encontrar o valor numérico de uma expressão algébrica o atividades 
meramente mecânicas; 
Propuser situações em que o aluno possa investigar padrões, tanto em sucessões numéricas como em 
representações geométricas, identificando suas estruturas para que possa descrevê-los simbolicamente; 
Propuser situações que levem o aluno a construir noções algébricas pela observação de regularidades, e 
não somente manipulações mecânicas de expressões algébricas. 
Fonte: Modanez (2003). 
As várias orientações para o processo do ensino aprendizagem da Álgebra indicam para o importância do desenvolvimento do 
pensamento algébrico. Os alunos pensam algebricamente e já desenvolvem estratégias pessoais de pensamento, antes mesmo de 
estabelecerem contato com os tópicos formais de domínio da álgebra. Portanto, é função do professor, utilizar metodologias de 
ensino que, partindo dessas estratégias informais do aluno, proporcionar o desenvolvimento do pensamento algébrico com o 
intuito de, gradativamente, alcançar de maneira significativa o formalismo algébrico. 
Modanez (2003) defende que umas das abordagens para dominar as dificuldades apresentadas pelos alunos dos Ensinos 
Fundamentais e Médios na manipulação das expressões algébricas e nas resoluções de equações são as atividades de 
generalização de padrões, estabelecendo um meio eficaz para que o alunoconstrua uma linguagem simbólica significativa. 
Hanke (2008) diz que um trabalho relacionado com atividades que exploram padrões de regularidades podem, além de 
proporcionar o desenvolvimento dos ele- mentos caracterizadores do pensamento algébrico, contemplar todas as concepções 
algébricas, tornando-se adequado para todos os níveis de Educação Básica, desde que devidamente adaptado ao nível de cognição 
do aluno que vai desenvolver a atividade. 
Vale et al. (2007) conclui que a ligação dos padrões à álgebra, é um privilégio, pois permite que a descoberta assuma um papel 
fundamental na aprendizagem, permite pensar num estudo da álgebra desde a pré escola, e ainda diz que a abordagem da álgebra 
através de padrões irá permitir uma maior motivação dos alunos, retirando o negativismo que tem estado associado ao estudo da 
álgebra. Os padrões podem ser um ótimo veículo para uma abordagem poderosa à álgebra, sobretudo nos primeiros níveis, como 
suporte do pensamento pré-algébrico. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial/atividades
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial/atividades
Página inicial 
ATIVIDADES 
1. Uma questão central da teoria das equações é a se saber quantas soluções se pode ter em uma equação de grau n. De acordo 
com nossos estudos é correto afirmar que: 
a) Esse problema foi denominado Teorema Fundamental das Equações. 
b) O primeiro matemático a afirmar que uma equação de grau n tem sempre n soluções foi Albert Girard. 
c) A demonstração considerada de modo satisfatório foi feita por Euler. 
d) A demonstração considerada de modo satisfatório foi feita por Gauss e Lagrange. 
e) O matemático Argand foi o primeiro a afirmar que uma equação de grau n tem n soluções. 
2. No final da década de 70 o Movimento da Matemática Moderna entrou em declive no mundo todo. De acordo com nosso estudo 
é correto afirmar que: 
I) A álgebra pós Matemática Moderna retomou seu papel anteriormente ocupado, ou seja, um estudo com a finalidade de 
resolver problemas e equações. 
II) Somente a partir da década de 90 que sugiram uma nova forma de pensar a educação algébrica, onde o foco passa a ser a 
proposta de experiências que desenvolvam o pensamento algébrico. 
III) A álgebra pós Matemática Moderna conseguiu sair da crise, e o foco foi dar ao aluno a capacidade de aplicar as formas 
estruturais de pensamento aos mais variados domínios. 
IV) A álgebra presente nos livros didáticos dessa época apresentavam: técnica/prática. 
Assinale a alternativa que apresenta as afirmativas corretas: 
a) Somente as afirmativas I, II e III estão corretas. 
b) Somente as afirmativas I e IV estão corretas. 
c) Somente as afirmativas I e III estão corretas. 
d) Somente as afirmativas I II e IV estão corretas 
e) Somente as afirmativas I III e IV estão corretas. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/atividades
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
3. Vários fenômenos naturais ou não, explicam-se por meio de padrões matemáticos. De acordo com nossos estudos coloca V para 
verdadeiro e F para Falso. 
( ) Padrões podem ser encontrados na disposição de pétalas na flor de lírio, na flor de girassol, das folhas de algumas plantas. 
( ) Nas asas de uma borboleta e nas plumas de um pavão podem ser encontrados padrões geométricos. 
( ) Pesquisadores consideram a Geometria como “Ciência dos Padrões”. 
( ) Experiências com padrões tem o objetivo de tornar o ensino da álgebra mais significativa. 
A sequência correta para a resposta da questão é: 
a) V, F, V, F. 
b) F, V, F, V. 
c) V, V, V, F. 
d) V, F, V, V 
e) V, V, F, V. 
Resolução das atividades 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/atividades
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial/resumo
Página inicial 
RESUMO 
No presente estudo apresentamos brevemente os aspectos mais marcantes do desenvolvimento histórico da álgebra, desde os 
anos 2000 a.C., como surgiu o nome álgebra, até os dias atuais. 
Apresentamos também o desenvolvimento da álgebra no Brasil, afim de compreendermos as dificuldades presentes até os dias 
atuais. 
Vimos um pouco sobre a trajetória do desenvolvimento do pensamento algébrico para um melhor entendimento dos problemas 
vividos hoje em nossas escolas no processo ensino aprendizagem da álgebra. 
Estudamos os benefícios da introdução através da exploração dos padrões de regularidades no desenvolvimento do pensamento 
algébrico, na capacidade de generalização e a compreensão da linguagem algébrica, tornando o estudo da álgebra mais 
significativa para os alunos. 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/resumo
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial/eu-indico
Página inicial 
Material Complementar 
Leitura 
A matemática do amor: padrões e provas na busca da equação 
definitiva. 
Autor: Hannah Fry 
Editora: Alaude 
Sinopse: Em A matemática do amor, a doutora Hannah Fry conduz o 
leitor por uma fascinante jornada entre padrões que regem a vida 
amorosa e prova – com sabedoria e bom humor – que a matemática é 
uma poderosa ferramenta para desvendar os complicados, irritantes, 
enigmáticos e intrigantes padrões do amor. Este é o terceiro volume da 
coleção TED Books, com livros breves o bastante para serem lidos de uma 
só vez, mas longos o suficiente para aprofundar um assunto. Perfeitos 
para quem tem uma mente curiosa e vontade de aprender cada vez mais. 
Filme 
Ágora, mas no Brasil foi traduzido por Alexandria 
Ano: 2009 
Sinopse: O filme relata a história de Hipátia (Rachel Weisz), filósofa e 
professora em Alexandria, no Egito entre os anos 355 e 415 da nossa era. 
Única personagem feminina do filme, Hipátia ensina filosofia, matemática 
e astronomia na Escola de Alexandria, junto à Biblioteca. Resultante de 
uma cultura iniciada com Alexandre Magno, passando depois pela 
dominação romana, Alexandria é agitada por ideais religiosos diversos: o 
cristianismo, que passou de re- ligião intolerada para religião intolerante, 
convive com o judaísmo e a cultura greco-romana. Hipátia tem entre seus 
alunos Orestes, que a ama, sem ser correspondido, e Sinésius, adepto do 
cristianismo. Seu escravo Davus também a ama, secretamente. Hipátia 
não deseja casar-se, mas se dedica unicamente ao estudo, à filosofia, 
matemática, astronomia, e sua principal preocupação, no relato do filme, 
é com o movimento da terra em torno do sol. 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/eu-indico
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial/refer%C3%AAncias
Página inicial 
REFERÊNCIAS 
ARAUJO, E. A. Ensino de álgebra e formação de professores. Educ. Mat. Pesqui. São Paulo, v.10, n.2, p.331-346, 2008. 
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática, v.3. Brasília, MEC/SEF, 1997. 
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental Parâmetros Curriculares Nacionais, Brasília: MEC/ SEF, 1998. 
CARAÇA, B. de J. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa, Sá da Costa, 1984. 
DEVLIN, K. Matemática: a ciência dos padrões. Porto. Editora Porto, 2002. 
EVES, H. Introdução a Históriada Matemática. Campinas, SP. Editora Unicamp, 1997. 
FIORENTINI, D.; FERNANDES, F. L. P. e CRISTOVÃO, E. M. Um estudo das potencialidades pedagógicas das investigações 
matemáticas no desenvolvimento do pensamento algébrico. São Paulo, 22fl. Faculdade de Educação. Unicamp, 2006. 
FIORENTINI, D.; MIGUEL, A. e MIORIM, M. A. Contribuição para um repensar... a Educação Algébrica elementar. Pro-Posições, v. 
4, n.1 (10), p. 78-91, 1993. 
HANKE, T. A. F. PADRÕES DE REGULARIDADES: Uma abordagem no desenvolvimento do pensamento algébrico. Dissertação de 
Mestrado. PUC, Minas Gerais, 2008. 
LINS, R. C. e GIMENEZ, J. Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século XXI. Campinas, SP, Papirus. 1997. 
MIGUEL, A.; FIORENTINI, D. E MIORIM M. A. Álgebra ou Geometria: para onde Pende o Pêndulo? Pro-Posições, v.3 n.1 (7) p.39- 
54, 1992. 
MODANEZ, L. Das Sequencias de Padrões Geométricos à Introdução ao Pensamento Algébrico. Dissertação de Mestrado. PUC- 
SP, 2003. 
MOL, R. S. Introdução à História da Matemática. Belo Horizonte, MG. Editora CAED-UFMG, 2013. 
PONTE, J. P.; BRANCO, N. e MATOS, A. Álgebra no Ensino Básico. DGIDC, 2009. 
SOSTISSO, A. F. Considerações iniciais de uma professora em formação sobre o ensino de álgebra. Revista da Graduação, v.4, n.2, 
2011. Disponível em < http://revistaseletronicas.pucrs.br/ojs/index.php/graduacao/article/view/10090/7120 >. Acesso em: 22 out 
2020. 
TRAJANO, A. Álgebra Elementar. 22 ed. Rio de Janeiro, Livraria Francisco Alves, 1947. 
VALATI, J. S. e PACHECO, E. R. Usando a história da matemática no ensino da álgebra. Disponível em: 
< http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/702-4.pdf >.Acesso em: 22 out 2020. 
VALE, I.; PALHARES, P.; CABRITA, I. e BORRALHO, A. Os padrões no Ensino e Aprendizagem Álgebra. 2007. Disponível em: 
< https://dspace.uevora.pt/rdpc/bitstream/10174/1416/1/Padr%C3%B5es%20Caminha.pdf > . Acesso em: 22 out 2020. 
WIKIPEDIA. Rhind Mathematical Papyrus. Domínio Público. Disponível em: 
< https://en.wikipedia.org/wiki/Rhind_Mathematical_Papyrus#/media/File:Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg >. Acesso em: 22 out 
2020. 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/refer�ncias
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Frevistaseletronicas.pucrs.br%2Fojs%2Findex.php%2Fgraduacao%2Farticle%2Fview%2F10090%2F7120&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNFwAb_igIt9tA9GK9uqg8BvAIZgNg
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.diaadiaeducacao.pr.gov.br%2Fportals%2Fpde%2Farquivos%2F702-4.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNE_AbLSuwbAtzZKnx81RJi5uTyBcQ
https://www.google.com/url?q=https%3A%2F%2Fdspace.uevora.pt%2Frdpc%2Fbitstream%2F10174%2F1416%2F1%2FPadr%25C3%25B5es%2520Caminha.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNECdKHrR_Ttche-NY3NK32HYyooow
https://www.google.com/url?q=https%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FRhind_Mathematical_Papyrus%23%2Fmedia%2FFile%3ARhind_Mathematical_Papyrus.jpg&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHD6K5wSLKOdRwg9Ufrs-SCXBwm0g
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial/aprofundando
Página inicial 
APROFUNDANDO 
No ensino da álgebra um aspecto relevante é a estrita relação entre o raciocínio matemático e a linguagem algébrica. A linguagem 
dos símbolos é considerada um instrumento fundamental para o ensino da matemática. 
Porém é nítido a dificuldade que muitos alunos apresentam em relação à atribuições de significado às variáveis, aos processos de 
resolução algébrica de equações, e manipulação de estruturas algébricas. 
As seguintes investigações descritas abordam pedagogicamente informações históricas quanto a certos conceitos algébricos. 
A primeira atividade foi denominada “Uma introdução à História da Álgebra”, elaborada a partir de estudos bibliográficos de obras 
que tratam da História da Matemática, desenvolvidas junto a duas classes do 1° ano do Ensino Médio de uma escola pública. 
Algumas semanas antes de iniciar as tarefas, os alunos foram submetidos a uma investigação acerca do que entendiam por álgebra 
e qual o conhecimento sobre a história da mesma: 
71% das respostas obtidas faziam relação entre álgebra e “calculo com letras”. Como nos comentários a seguir: 
“Álgebra são conteúdos que envolvem em seus cálculos, além de números as letras x, y, a, b e assim por diante”. “Cálculos usados no 
cotidiano, aqueles que ajudam a descobrir valores desconhecidos, usam incógnitas, muito úteis”. 
Os 29% restantes disseram não lembrar, não saber o que é álgebra ou destacaram que é uma parte da matemática. 
“É uma matéria dentro da matemática” 
“Álgebra é uma matemática muito complexa e difícil”. 
“Acho que é alguma coisa relacionada com matemática. Mas não sei explicar”. 
100% dos alunos disseram não conhecer a História da Álgebra, mas muitos enfatizaram que tinham curiosidades em saber 
como foi o desenvolvimento da álgebra. 
Na primeira parte, foram apresentados informações referentes à origem do termo “álgebra” e os estágios de desenvolvimento da 
linguagem algébrica (retórico, sincopado e simbólico). 
Na segunda parte a professora fez um relato sobre a álgebra babilônica, destacando os procedimentos utilizados para a resolução 
de problemas típicos encontrados em tabletas de argila (1700 a.C). Os métodos de resolução foram expostos no estilo retórico que 
consistem em descrições verbais de um processo. Foram propostas atividades que pressupõem o uso dos processos verbais para a 
obtenção da solução, com vista à compreensão do raciocínio matemático envolvido, objetivando a generalização do procedimento 
utilizado por meio da álgebra simbólica. 
Foi observado que os alunos não tiveram muita dificuldade em seguir os passos descritos nos métodos babilônicos, mas sim em 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/aprofundando
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
generalizar os procedimentos da resolução na linguagem simbólica atual. 
Na terceira parte foi apresentado um histórico das primeiras utilizações sistemáticas de símbolos algébricos, o período da álgebra 
sincopada. Nessa fase de desenvolvimento algébrico os sinais (símbolos) eram abreviações de palavras. Alguns exemplos de 
antigos manuscritos e suas interpretações na simbologia atual foram expostos aos alunos. Foi realizado por percurso por fases de 
aprimoramento da álgebra sincopada em direção à álgebra simbólica, apresentando diversas representações de equações desde o 
século XV até o século XVII. No século XVII as notações simbólicas tornaram-se estáveis, decorrente da linguagem algébrica, 
inúmeros campos da matemática puderam evoluir. Após passado todas essas informações, foi solicitado aos alunos que 
resolvessem um problema presente na obra “Arithmetica” de Diofanto, e que fossem expostos sua solução na forma genérica. 
Esse problema trata de obter dois números conhecendo a soma e sua diferença entre eles. 
Nesse problema, tivemos um resultado surpreendente, 90% dos alunos apresentaram a solução correta e, utilizando-se da notação 
simbólica atual, foi demonstrado a solução genérica: 
Dados os números A=14, B=10, C=6 e D=4. Seja A a soma dos dois números e C a diferença, então 
Muitos alunos chegaram a generalização utilizando valores numéricos, mas alguns não fizeram uso dos números para obter a 
solução genérica e apresentaram na forma simbólica, como: 
x + y = z 
x - y = w 
E uma última parte da atividade, constituiu em um trabalho de pesquisa e a apresentação dos resultados à turma. Os alunos foram 
divididos em grupos, e cada grupo ficou responsável pelo estudo da história da matemática em diferentes civilizações. Foram 
pesquisados aspectos históricos, culturais, produções matemáticas, registros ou publicações, biografias e 2 problemas 
matemáticos cujas soluções puderamser expostas pelo métodos históricos ou pela álgebra simbólica. 
Alguns grupos elaboraram cartazes, outros slides. Foi observado que a maioria dos problemas matemáticos históricos expostos, 
foram solucionados utilizando-se linguagem simbólica atual. A exploração das situações problema despertou a curiosidade dos 
grupos de alunos na busca de soluções e, em consequência disso, surgiu uma possibilidade para o desenvolvimento do pensamento 
algébrico. 
Fonte: elaborado pela autora 
PARABÉNS! 
Você aprofundou ainda mais seus estudos! 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/aprofundando
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial/editorial
Página inicial 
EDITORIAL 
DIREÇÃO UNICESUMAR 
Reitor Wilson de Matos Silva 
Vice-Reitor Wilson de Matos Silva Filho 
Pró-Reitor de Administração Wilson de Matos Silva Filho 
Pró-Reitor Executivo de EAD William Victor Kendrick de Matos Silva 
Presidente da Mantenedora Cláudio Ferdinandi 
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ . Núcleo de Educação 
a Distância; TAMURA , Camila Hiromi. 
Tópicos Especiais em Álgebra . Camila Hiromi Tamura. 
Maringá-Pr.: UniCesumar, 2017. 
36 p. 
“Pós-graduação Universo - EaD”. 
1. Álgebra. 2. Matemática. 3. EaD. I. Título. 
CDD - 22 ed. 510 
CIP - NBR 12899 - AACR/2 
Pró Reitoria de Ensino EAD Unicesumar 
Diretoria de Design Educacional 
Equipe Produção de Materiais 
Fotos : Shutterstock 
NEAD - Núcleo de Educação a Distância 
Av. Guedner, 1610, Bloco 4 - Jardim Aclimação - Cep 87050-900 
Maringá - Paraná | unicesumar.edu.br | 0800 600 6360 
Retornar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/editorial
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
Página inicial 
ESTUDO DAS 
CONCEPÇÕES 
ALGÉBRICAS 
Professora : Me. Camila Hiromi Tamura 
Objetivos de aprendizagem 
Apresentar o estudo das concepções algébricas. 
Analisar a presença das concepções algébricas nos livros didáticos. 
Analisar as concepções dos alunos em formação em relação a álgebra. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial
Plano de estudo 
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: 
Concepções da Álgebra 
Concepções da Álgebra nos Livros Didáticos 
Álgebra e Educação Algébrica: concepções de alunos em formação 
Introdução 
Na história, o desenvolvimento da notação algébrica aconteceu em três estágios: o retórico, onde os procedimentos era 
apresentados por texto, sem qualquer símbolo, o sincopado, onde são adotadas algumas abreviações, especialmente para 
representar incógnitas e por último o simbólico onde as escritas foram substituídos por símbolos e as letras representam 
incógnitas e variáveis. 
Em muitas pesquisas realizadas em Educação Matemática encontramos evidencias das dificuldades relacionadas ao ensino e 
aprendizagem da álgebra. São analisados os obstáculos na compreensão de noções fundamentais ligadas as diversas concepções 
no estudo da álgebra. 
Com a intenção de contribuir para o ensino e aprendizagem da álgebra, estudaremos agora as diferentes concepções da álgebra, 
que correspondem a importância dada aos diversos usos das variáveis. 
O foco é o ensino da álgebra de forma significativa, e para que ocorram mudanças necessárias no ensino da álgebra, é necessário se 
atentar além dos aspectos formais, a construção do pensamento algébrico. 
Para Usiskin (1995) uma ferramenta eficaz para esse trabalho deve estar marcados em atividades que considerem as quatros 
concepções da Álgebra: Álgebra como aritmética generalizada, Álgebra como estudo de procedimen tos para se resolver certos 
tipos de problemas, Álgebra como estudo de relação entre grandezas e a Álgebra como estudo de suas estruturas. 
Para os professores e pesquisadores, conhecer as concepções presentes nos livros didáticos é fundamental, pois a organização do 
ensino tem esse recurso como um elemento importante para o ensino-aprendizagem nesse nível de ensino. Conhecendo essas 
concepções, o professor utiliza o livro como ferra- menta, porém utilizando de forma mais autônoma, criativa, complementando os 
aspectos que não aparecem ou que são pouco evidenciados. 
Avançar 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial/unidade-2
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial
https://getfireshot.com
Página inicial 
CONCEPÇÕES DA ÁLGEBRA 
As concepções de álgebra, segundo Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), considerando-se o seu desenvolvimento histórico e a 
relação entre o pensamento e a linguagem são denominas: a processológica, a linguístico-estilística, a linguístico-sintático- 
semântico e a linguístico-postulacional. Na Tabela 1 apresentamos a caracterização de casa uma delas. 
Tabela 1: Concepções de Álgebra segundo Fiorentini, Miorim e Miguel 
Fonte: Silva et al. (2015, p. 131). 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/unidade-2
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial
Agora em relação à educação algébrica, os autores fazem a categorização conforme apresentado na Tabela 2. 
Tabela 2: Concepções de Educação Algébrica segundo Fiorentini, Miorim e Miguel 
Fonte: Silva et al. (2015, p. 132). 
Segundo os autores, o aspecto negativo comum às três primeiras concepções, é a redução do pensamento algébrico à linguagem 
algébrica. Há uma ênfase na linguagem simbólica para a qual os alunos não percebam a necessidade, ou seja, a utilização de 
símbolos desprovidos de significados. E podemos afirmar que o pensamento algébrico e a linguagem algébrica não podem ser 
dissociados. 
Para que ocorram mudanças necessárias no ensino da álgebra, é necessário se atentar além dos aspectos formais, a construção do 
pensamento algébrico. 
Para Usiskin (1995) uma ferramenta eficaz para esse trabalho deve estar marcados em atividades que considerem as quatros 
concepções da Álgebra: Álgebra como aritmética generalizada, Álgebra como estudo de procedimentos para se resolver certos 
tipos de problemas, Álgebra como estudo de relação entre grandezas e a Álgebra como estudo de suas estruturas. Ainda para 
Usiskin (1995, p.12), “as variáveis comportam muitas definições, conotações e símbolos. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/unidade-2
https://getfireshot.com
Tentar enquadrar a ideia de variável numa única concepção implica uma super- simplificação que, por sua vez, distorce os objetos 
da Álgebra”. Ou seja, para o autor quando a variável é enquadrada sobre uma única concepção, os alunos continuam com aquela 
visão distorcida de que variáveis são letras que representam números. 
De acordo com a caracterização do pensamento algébrico, acredita-se que seja necessário que o aluno esteja engajado em 
atividades que comtemplem as quatros concepções da Álgebra para assegurar o desenvolvimento do mesmo. 
Para Usiskin: 
... as concepções que temos da Álgebra e a utilização de variáveis estão intrinsecamente relacionadas. As 
finalidades da Álgebra são determinadas por, ou relacionam-se com concepções diferentes da Álgebra , que 
correspondem à diferente importância relativa dada aos diversos usos das variáveis (USISKIN, 1995, p. 12- 
13) (negritos do autor). 
Como dito anteriormente, Usiskin (1995, p. 13) categoriza essas relações como: “Álgebra como aritmética generalizada, Álgebra 
como resolução de equações, Álgebracomo estudo das estruturas e Álgebra como estudo das relações entre grandezas”. 
Álgebra como Aritmética Generalizada 
Idealizar a Álgebra como uma aritmética generalizada constitui-se como ferramenta que pode dar um significado maior à ideia de 
variável. Segundo Fiorentini, Miguel e Miorim (1993), quando a Álgebra é trabalhada sob esse ponto de vista, podemos iniciar o 
processo de construção do pensamento algébrico sem esperar até o 3°ciclo. 
Desde os primeiros anos da educação básica, o educador pode explorar atividades algébricas, ainda que de forma intuitiva. 
Para Usiskin (1995) a Álgebra, introduzida como uma aritmética generalizada, proporciona ao aluno um trabalho menos doloroso e 
mais significativo. Inicialmente não deve haver preocupação por parte do educador com a formalização e o rigor matemático. As 
primeiras experiências devem ser apresentadas de forma intuitiva e exploradas de maneira bem natural. Um exemplo está no 
estudo das propriedades operatórias. Perguntando a uma classe sobre as operações: 
2x1 = ? 
3x1 = ? 
10x1 = ? 
100x1 =? 
E anotando os resultados, assim que surgir a expressão bx1 = ? o aluno responderá, naturalmente que o resultado é igual a“b”. 
Nesse instante, a atividade terá proporciona- do, ao mesmo tempo, um primeiro contato com as variáveis e uma experiência com a 
generalização de padrões, assim o aluno estará começando a pensar algebricamente. 
De acordo com Usiskin (1995), as atividades do tipo observar uma sequência e tentar completá-la, também são eficazes na 
abordagem dessa concepção. 
Como por exemplo: 
Observar a tabela abaixo e completar corretamente a sequência, substituindo o valor de b. Qual a expressão que exprima essa 
regularidade para um valor n qualquer? 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/unidade-2
https://getfireshot.com
Para o desenvolvimento de atividades assim, o aluno deverá observar e descobrir qual a regra de formação da segunda coluna, ou 
seja, descobrir um padrão, e em seguida generalizar e resolver o problema. Ainda para o autor, atividades que envolvem padrões 
são as que mais contribuem para o desenvolvimento do processo de generalização. 
Na concepção da Álgebra como aritmética generalizada, as variáveis (letras) são consideradas como generalizadoras de modelos, e 
sua finalidade é apenas substituir os números. 
Álgebra como Estudo para Resolver certos Tipos de Problemas 
De acordo com Usiskin (1995), essa concepção talvez seja a que receba maior ênfase pelos professores autores de livros didáticos, 
porém se o devido cuidado não for tomado, e os livros forem pautados apenas em métodos, técnicas e regras em que o aluno 
decora e não encontra nenhum significado, perde a sua verdadeira finalidade. 
Para Hanke (2008) ao explorar atividades que abordem resoluções de equações, é muito importante toda atenção e cuidado para 
que não nos detenhamos apenas no desenvolvimento de métodos que, muitas vezes, são decorados e escondem dificuldades, 
constroem conceitos equivocados que podem comprometer todo o desenvolvimento do pensamento algébrico. 
Os Standarts (NCTM, 2000, p. 38) dizem: 
“se os alunos ocupam-se excessivamente na manipulação simbólica antes de desenvolverem uma base 
conceitual para seu trabalho, eles serão incapazes de fazer mais que manipulações mecânicas”. Ainda para o 
autor, é necessário principalmente a construção correta do conceito de equação, do significado de 
equivalência de equações, do significado do sinal de igualdade, e o verdadeiro significado da letra que nesse 
caso deixa de ser apenas algo que substitui um número e é considerada como incógnita. O objetivo central é 
determinar as variáveis que aqui são tratadas como termo desconhecido. No trabalho dessa concepção, 
temos uma ferramenta poderosa, que é a interpretação geométrica da equação de 1° grau e a construção do 
conceito de raiz ou solução como sendo a interseção dessa reta com o eixo “x”. 
Alguns conceitos que para nós professores são muito simples, pelos alunos podem ser vistos como “um bicho de sete cabeças” 
quando trabalhados sem significado. Em uma equação nem sempre o símbolo + significa uma adição a ser efetuada. Por exemplo, 
na equação 3x + 4 = 7, o símbolo + não quer dizer que devemos adicionar 4 a 3x. Diferentemente disso, a regra nos diz que 
devemos realizar operações inversas para determinarmos o valor de x. As regras de transposição, usando operações inversas, na 
maioria das vezes é assimilada pelo aluno como “muda de lado, muda de sinal”, onde começam aparecer os erros tais como: 
3x = 6 
x = 6 - 3 
x = 3 
O sinal do três é positivo, na transposição de membro fica negativo. Muitas vezes fatos como esse decorrem do uso de regras sem 
significado e do uso de técnicas matemáticas desvinculadas de contextos do dia-a-dia. 
Hanke (2008) diz que um outro fato que chama a atenção é o significado que muitos alunos dão ao sinal de igualdade. Eles 
acreditam que a igualdade deter- mina “fazer algo” e nunca enxergam esse sinal como uma noção de equilíbrio, de equivalência. 
Para Freitas (2002), pensar a Álgebra como um método para resolver equações, implica em realizar manipulações orientado pela 
sintaxe (regras) e também pela semântica (significado). Nesse ponto de vista, as regras sintáticas são usadas para manipular ou 
modificar a forma da estrutura algébrica, obtendo equações equivalentes, que proporcionem sua resolução. Devido ao processo 
exigir uma rotina de passos, ele pode levar a uma mecanização. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/unidade-2
https://getfireshot.com
Álgebra como Estudo das estruturas 
Usiskin (1995) afirma que o estudo das estruturas nos cursos superiores envolve estruturas como grupos, anéis, domínios de 
integridade, corpos e espaços vetoriais. Porém, reconhecemos a álgebra como estudo das estruturas (manipulações algébricas) 
pelas propriedades que atribuímos às operações com números reais e polinômios. Para Hanke (2008) o trabalho com essa 
concepção exige um amadurecimento maior do aluno e uma construção significativa do pensamento pré-algébrico, pois aqui, as 
variáveis tornam-se um objeto arbitrário de uma estrutura determinada por certas propriedades. É necessário que os educandos 
tenham facilidade em manipular simbolismos algébricos para poder tratar abstratamente com técnicas adequadas. 
A maioria dos alunos tem as primeiras experiências com essa concepção no início do 4° ciclo do Ensino Fundamental. Aqui o 
objetivo não é obter um resultado para uma determinada expressão, mas sim manipular variáveis de uma forma diferente, usando 
propriedades tão abstratas quanto a expressão a ser manipulada. 
Hanke (2008) diz que usar técnicas ou regras sem sentido, sem significado, dificulta o trabalho, pois geralmente os alunos não 
veem objetivos em simplificar uma expressão, a menos que seja para determinar o valor da variável. A autora usa o exemplo: 
ao ser solicitado que simplifique a expressão: , o aluno não admite que a solução seja x – 3, e acaba 
questionando: é para resolver e determinar o valor de x? Episódios como estes demonstram a falta de 
significado que o aluno tem das estruturas algébricas, bem como a construção errônea de conceitos básicos 
como: a distinção entre equação e expressões algébricas. (Hanke,2008, p.59) 
A finalidade da abordagem de atividades baseadas nessa concepção é o entendi- mento de sistemas que realizam abstrações e 
proporcionar ao educando uma base para a compreensão de níveis mais abstratos e de formalização. 
Usiskin (1995) diz que é necessário uma abordagem de cálculo algébrico de maneira significativa e que estimule o educando a 
manipular estruturas, buscando uma motivação razoável para simplificar, fatorar ou desenvolver expressões. 
Álgebra como Estudo de Relações entre Grandezas 
Hanke (2008) diz que o desenvolvimento do pensamento algébrico, focado nessa concepção, é que dá significado e compreensão 
ao estudo de funções, no 4° ciclodo Ensino Fundamental. Nos primeiros anos dessa etapa, as atividades que estabelecem relações 
entre grandeza podem ser exploradas. Como por exemplo, se a cada quatro balas que uma criança ganha, ela precisa dar uma. Isso 
nos dá a possibilidade de construir um esquema, como mostrado a seguir: 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/unidade-2
https://getfireshot.com
As crianças ainda que nos primeiros anos do Ensino Fundamental, conseguem estabelecer uma relação entre os números de balas 
ganhadas e o número de balas dadas. 
Nessa concepção, as letras são tratadas como variáveis para expressar relações de dependência entre grandezas. 
Nas primeiras séries do Ensino Fundamental, bem antes do aluno ter noção de função, domínio, contradomínio, imagem, etc, o 
desenvolvimento de atividades uti- lizando sequências geométricas (triângulos, quadrados, hexágonos) usando palitos de fósforo, 
são um bom exemplo de relações entre grandezas, onde o objetivo não é a formalização desses conceitos, mas proporcionar ao 
aluno a construção de ideias, mesmo que de forma intuitiva, da relação entre grandezas. 
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNs+EM, 2002), a compreensão das relações funcionais é uma 
das competências a ser desenvolvida pelo aluno. Formular e indicar generalizações e representar relações são processos essências 
no desenvolvimento do pensamento matemático, que ajudam na compreensão da própria estrutura matemática, bem como 
ajudam na resolução de problemas do cotidiano. Segundo os PCNs+EM: 
... O estudo das funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das ciências, 
necessárias para expressar a relação entre grandezas e modelar situações problema, construindo modelos 
descritivos de fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da própria Matemática (BRASIL, 
2002, p. 121). 
Essa compreensão pode ocorrer de forma gradativa, começando pelo intuitivo até o formal, no desenrolar da escolarização, para 
que o educando encontre um signifi- cado naquilo que está estudando. 
Para Ponte (2007), levar o aluno a pensar matematicamente é o grande desafio parra o professor de matemática. Para isso, é 
necessário proporcionar a esse aluno, momentos de vislumbre matemático, onde ele possa analisar, observar, argumentar, 
identificar padrões, generalizar, comunicar, formalizar, etc, ou seja, que ele viva momentos de construção da matemática em sala 
de aula. Ainda para o autor, não basta disponibilizarmos uma lista de exercícios gigantescas e sempre com o mesmo objetivo, é 
necessário apresentar atividades que sejam significativas e motivadoras. Segundo Hanke (2008) um dos fatores responsáveis pelo 
fracasso dos alunos no ensino da Álgebra é a falta de entendimento sobre as várias concepções da Álgebra, pois o entendimento 
das mesmas nos permite uma melhor compreensão sobre os vários conceitos de variáveis. Na Tabela 3, apresentamos de forma 
simples, os vários significados das letras em Álgebra, e também suas finalidades. 
Tabela 3: Os significados das letras em Álgebra e sua finalidade 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/unidade-2
https://getfireshot.com
Fonte: Hanke (2008, p. 61). 
Segundo os PCNs (1998), o desenvolvimento do pensamento algébrico depende fortemente das experiências dos alunos com os 
diversificados significados e finalidades das letras. Ainda para os autores, essas experiências devem estar presentes em todos os 
níveis da Escola Básica, inclusive as séries iniciais do Ensino Fundamental. Os PCNs dizem: 
As atividades algébricas propostas no Ensino Fundamental devem possibilitar que os alunos construam seu 
conhecimento a partir de situações problema que confiram significado à linguagem, aos conceitos e 
procedimentos referentes a esse tema, favorecendo o avanço do aluno quanto às diferentes interpretações 
das letras. Os contextos dos problemas deverão ser diversificados para que eles tenham oportunidade de 
construir a “sintaxe” das representações algébricas, traduzir as situações por meio de equações (ao 
identificar parâmetros, incógnitas e variáveis), e construir as “regras” para re- solução de equações (BRASIL, 
1998, p. 121-122). 
Lins e Gimenez (1997), também reconhecem diversas concepções de atividade al- gébrica e de educação algébrica, que serão 
apresentadas na Tabela 4. 
Tabela 4: Concepções de Álgebra segundo Lins e Gimenez 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/unidade-2
https://getfireshot.com
Fonte: Silva et al. (2015, p. 132). 
Os autores aqui apresentados, defendem que é preciso repensar a educação aritmética e algébrica, não as tratando de forma 
fracionada, uma antecedendo a outra, mas sabendo que uma depende da outra. 
Para um professor é fundamental conhecer as concepções algébricas e de educação algébrica, que devem ser expostas quando 
estão organizando as suas atividades de ensino. 
CONCEPÇÕES DA ÁLGEBRA NOS 
LIVROS DIDÁTICOS 
A álgebra é um importante campo da matemática, e por consequência, da matemática escolar. Contudo não é nada fácil definir 
álgebra e estabelecer os seus limites e abrangência na matemática e no seu ensino na escola básica. Usiskin diz: 
Já não cabe classificar a álgebra apenas como aritmética generalizada, pois ela é muito mais que isso. A 
álgebra continua sendo um veículo para a resolução de problemas, mas também é mais, ela é mais que isso. 
Ela fornece meios para se desenvolverem e se analisarem relações. E é a chave para a caracterização e 
compreensão das estruturas matemáticas. Dados esses trunfos e a matematização crescente da sociedade, 
não é de surpreender que a álgebra seja hoje a área-chave de estudo da matemática da escola secundária e 
que essa posição de destaque provavelmente perdure por muito tempo (USISKIN, 1995, p. 21). 
Quando a criança começa a trabalhar com os números e as relações entre eles, como as de igualdade e de ordem, já podemos 
afirmar que estão presentes elementos do pensamento algébrico. 
Educadores da matemática têm se preocupado com as concepções de álgebra e de educação algébrica, e com as implicações que 
essas concepções têm na organização dos currículos, nos livros didáticos e no ensino aprendizagem dessa área. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/unidade-2
https://getfireshot.com
Segundo Silva et al. (2015) mesmo com o avanço da pesquisa em Educação Matemática, o ensino da álgebra tem desafiado 
professores. Os resultados das avaliações realizadas tem indicado para o Brasil posições muito ruins. 
Para os professores e pesquisadores, conhecer as concepções presentes nos livros didáticos é fundamental, pois a organização do 
ensino tem esse recurso como um ele- mento importante para o ensino-aprendizagem nesse nível de ensino. Conhecendo essas 
concepções, o professor utiliza o livro como ferramenta, porém utilizando de forma mais autônoma, criativa, complementando os 
aspectos que não aparecem ou que são pouco evidenciados. 
De acordo com Lajoto (1996), o livro didático é um material escolar assim como as calculadoras, computadores, mapas, vídeos, 
televisão, dentre outros. Devido ao papel que tem para as atividades dos professores, o livro didático é considerado um dos mais 
essenciais. O autor ainda diz: 
Didático, então, é o livro que vai ser utilizado em aulas e cursos, que provavelmente foi escrito, editado, 
vendido e comprado, tendo em vista essa utilização escolar e sistemática. Sua importância aumenta ainda 
mais em países como o Brasil, onde uma precaríssima situação educacional faz com que ele acabe 
determinando conteúdos e condicionando estratégias de ensino, marcado, pois, de forma decisiva, o que se 
ensina e como se ensina o que se ensina (LAJOLO, 1996, p. 4). 
Hanke (2008) diz que os livros didáticos tem enorme influência sobre os professores da Educação Básica, principalmente nas 
escolas públicas. O acesso aos livros didáticos pelos professores ealunos da rede pública de ensino tornou-se muito fácil, a partir 
da década de 90, as escolas começaram a receber gratuitamente coleções de livros de várias matérias para todas as séries do 
Ensino Fundamental. 
Os livros didáticos são o maior recurso pedagógico do professor. As atividades propostas nos livros para o desenvolvimento do 
pensamento algébrico serão na maioria das vezes as conduzidas em sala de aula. Então, por mais que os documentos oficiais 
destaquem a importância de se trabalhar com atividades que explorem padrões de regularidades, contemplando todas as 
concepções da álgebra na construção da linguagem algébrica, os alunos continuarão não tendo acesso a esse tipo de experiência 
caso os autores de livros didáticos não valorizarem essas atividades. 
Hanke (2008) realizou uma pesquisa com cinco coleções que influenciou o ensino da álgebra na cidade de Para de Minas, que serão 
apresentados a seguir. 
Coleção: Matemática, autor Edwaldo Bianchini 
Essa coleção é composta por quatro volumes, um para casa ano do Ensino Fundamental. Os volumes são divididos em capítulos, 
que apresentam uma estrutura hierárquica englobando, inicialmente, a aritmética, em seguida a álgebra e por fim, a geometria. 
Todos os capítulos são introduzidos por meio de recursos como textos com situações do dia-a-dia, imagens do cotidiano e fatos 
históricos. Depois apresenta a teoria apoiada em alguns exemplos, que auxiliam na compreensão do conteúdo; Parar saber mais , 
um tópico onde são apresentados textos sobre estatística, geometria e história da matemática, usados para aprofundar os 
conteúdos. No final temos Agora é com você! , onde são apresentados atividades relacionadas ao tema exposto. A coleção também 
apresenta seções como Pense mais um pouco ... com questões desafiadoras e Matemática & Jogos , com atividades de 
entretenimento que estimulam a aprendizagem. 
A coleção ainda consta de um suplemento com orientações para o professor, onde encontramos uma apresentação da obra e sua 
estrutura, objetivos gerais e específicos. 
Nessa obra foi encontrado 2770 atividades algébricas, onde Hanke (2008) classificou-as segundo as quatro concepções da 
álgebra. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/unidade-2
https://getfireshot.com
Figura 1: Gráfico de Abordagens algébricas da coleção Matemática 
Fonte: Hanke (2008, p. 74). 
Podemos observar que a ênfase é dada à resolução de equações e ao cálculo algébrico. Essa fato nos chama muito a atenção, não 
apenas pelo alto número de exercícios, mas pela estrutura: repetitivos e mecânicos. 
As atividades que explorem a concepção da álgebra como aritmética generalizada não são encontradas em nenhum dos volumes 
dessa coleção. 
Em uma visão geral da obra, Hanke (2008) diz não perceber uma preocupação do autor na condução de um processo de construção 
da linguagem algébrica. 
Coleção: Tudo é Matemática, autor Luiz Roberto Dante 
Tudo é Matemática é uma coleção composta por quatro volumes, um para cada ano do Ensino Fundamental. Cada volume é 
dividido em capítulos, e cada capítulo em tópicos. Os conteúdos são apresentados de forma intercalada, englobando todos os 
campos da matemática. 
Os capítulos começam com uma introdução problematizando o tema que será estudado. Após, temos alguns exercícios e/ou 
situações problemas. Outras seções como Trocando ideias , Você sabia que... , apresentando uma curiosidade sobre o tema 
trabalhado, Oficina de Matemática , sugere a utilização de algum matéria concreto, Projeto em equipe , permitindo um trabalho em 
equipe, Redação – escrevendo sobre o capítulo , com a proposta de elaborar um texto do que foi estudado, e finalizando Para ler, 
pensar e divertir , trazendo textos com curiosidades ou fatos históricos sobre o conteúdo, um desafio e uma atividade recreativa são 
apresentados. 
Encontramos na coleção ainda, um manual do professor composto de duas partes: uma geral onde o autor caracteriza a obra, 
discute alguns pontos importantes para o ensino da matemática e outra parte específica, com gabarito das questões. 
No manual do professor, quando o autor pontua os objetivos específicos do ensino da matemática, ele deixa claro sua concepção 
sobre o desenvolvimento do pensa- mento algébrico compartilhadas com as ideias apresentadas no referencial teórico. 
Nessa obra foram encontrados 1850 atividades algébricas, categorizadas conforme o gráfico abaixo. 
Figura 2: Gráfico de Abordagens algébricas da coleção Tudo é Matemática 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/unidade-2
https://getfireshot.com
Fonte: Hanke (2008, p. 74). 
Nessa coleção é encontrada uma maior incidência de atividades que comtemplem as quatro concepções da álgebra. Hanke (2008) 
diz que as atividades que buscam o desenvolvimento do pensamento algébrico por meio de generalizações de propriedades e 
operações aritméticas são pontos fortes nos livros do 6° e 7° ano. 
Nessa coleção pode-se perceber o desenvolvimento do raciocínio algébrico de forma gradativa, proporcionando a evolução de 
vários processos matemáticos como: intuição, abstração, generalização, observação de regularidades, comunicação e 
demonstração. 
No geral, a obra, apresenta atividades que, além de capacitarem o aluno para os transformismos algébricos, conduzem à 
elaboração de uma linguagem algébrica trabalhando a “letra” em todas as suas dimensões. 
Coleção: A Conquista da Matemática: a + nova, autores José Ruy Giovanni, Benedito 
Castrucci e José Ruy Giovanni Junior 
Essa coleção é composta por quatro volumes, um para cada ano do Ensino Fundamental. Cada volume é dividido por capítulos. Em 
todos podem ser encontrados todos os campos da matemática onde o primeiro é a aritmética, depois álgebra e finalizando a 
geometria. 
Nos capítulos encontramos tópicos como Troque ideias com seus colegas , estimulando o trabalho em grupo; Tratando a informação , 
onde são interpretados gráficos e tabelas; Explorando , onde o cálculo mental, a geometria, o manuseio de calculadoras recebem 
tratamento especial; Informações matemáticas interessantes , mostra a matemática presente nos diversos lugares; Retomando , com 
atividades extras para uma revisão e melhor fixação do conteúdo; História da matemática , embasando o construção do 
pensamento matemático. Ao final de cada volume encontramos as respostas de todos os exercícios, indicações de leitura, e 
sugestões de projetos a serem desenvolvidos durante o ano letivo. 
O manual do professor também pode ser encontrado, onde constam orientações metodológicas, sugestões de atividades, 
objetivos específicos de casa capitulo, indicações de leituras para enriquecimento da prática pedagógica. 
Encontramos nessa obra 2770 atividades algébricas, caracterizadas e apresenta- das no gráfico 3. 
Figura 3: Gráfico de Abordagens algébricas da coleção A Conquista da Matemática a + nova. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/unidade-2
https://getfireshot.com
Fonte: Hanke (2008, p. 74). 
Aqui podemos observar no campo algébrico a predominância de atividades que contemplam as concepções estudo das estruturas 
e resoluções de equações. 
Os conteúdos algébricos, normalmente são iniciados com uma exploração de situação problema envolvendo figuras ou conceitos 
geométricos. A coleção prioriza o tempo todo a comunicação entre o campo algébrico e geométrico, porem muitas vezes as 
atividades se prendem a aplicações de propriedades e teoremas. 
A concepção estudo de relações entre grandezas aparece apenas no volume do 9° ano no estudo de funções. 
De forma geral, a linguagem algébrica é apresentada, não construída. A ênfase recai na utilização de letras como algo 
desconhecido, com abordagem de sua utilização como variável. Os autores se preocupam o tempo todo em justificar passagem 
algébricas utilizando-se, para isso, a geometria, como na concepção pós Matemática Moderna. Em contrapartida, não encontramos 
um trabalho que comtemple as quatroconcepções da álgebra. 
Coleção: Matemática paratodos, autores Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis 
Essa coleção é composta por quatro livros, uma para cada ano do Ensino Fundamental. Todos os volumes começam com uma carta 
aos alunos e outra aos pais, com argumentos sobra a escolha feita na estrutura da obra. 
Os volumes são divididos em capítulos, em cada capítulo encontramos seções como Problemas e exercícios para sala de aula ; 
Problemas e exercícios para casa , Ação , propondo atividades com materiais auxiliares, jogos, etc. Um toque a mais , onde encontramos 
atividades de investigação, um texto sobre a História da Matemática, uma seção de cálculo mental ou explora uso de calculadoras. 
No final do livro encontra-se sugestões de leitura, problemas e exercícios complementares, dicionário, supertestes e conferindo 
respostas. 
No manual do professor encontramos apresentação da obra e dos autores, comentários sobre o ensino da matemática, 
orientações para o desenvolvimento dos conteúdos e conexões com outras áreas do conhecimento, sugestões de como melhor 
utilizar recursos didáticos, comentários e respostas das questões, indicação de fontes para atuação e aperfeiçoamento docente, 
bloco de folhas especiais para uso em atividades durante o ano. 
Nessa obra encontramos 1330 atividades, caracterizadas e apresentados no gráfico a seguir: 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/unidade-2
https://getfireshot.com
Figura 4: Gráfico de Abordagens algébricas da coleção Matemática Paratodos 
Fonte: Hanke (2008, p. 74). 
A coleção apresenta atividades que exploram as quatro concepções algébricas. Essa coleção tem característica de currículo em 
espiral, ou seja, os autores não se preocupam em esgotar o conteúdo em um único momento. Por vezes, uma mesma atividade é 
retomada com um grau de dificuldade ou propósito diferente. 
No campo algébrico, pode-se perceber uma organização desde o volume do 6° ano, proporcionando ao aluno desenvolver os 
conteúdos em todas as suas dimensões. Nessa coleção são comtempladas diversas atividades algébricas, a “letra” é trabalhada em 
todas as suas dimensões desde o 6° ano. Os autores demonstram uma preocupação com o desenvolvimento do pensamento 
algébrico em detrimento dos transformismos algébricos. 
Coleção: Matemática hoje é feita assim, autor Antonio José Lopes Bigode 
Matemática hoje é feita assim é uma coleção composta por quatro volumes, uma para cada ano do Ensino Fundamental. Cada 
volume é dividido em capítulos e cada capítulo em tópicos. Os conteúdos estão apresentados de forma intercalada e o autor busca 
contemplar todos os campos da matemática em cada volume. 
Cada volume inicia-se com uma biografia do autor, e em seguida, uma apresentação da obra. No final de cada capítulo, temos as 
seções Retomando , que propõe atividades para fixação, Revistinha , com textos de História da Matemática, curiosidades, desafios, 
atividades práticas, etc. 
No final de cada volume temos um glossário, uma seção Para saber e gostar mais de Matemátic a , que contém uma lista de obras 
literárias e coleções de paradidáticos que podem enriquecer o trabalho, respostas das questões e referências bibliográficas. A 
coleção apresenta também o “Projeto Pedagógico”, com orientações para o professor, que engloba na primeira parte, objetivos 
gerais e discussão de questões atuais do ensino da matemática, na segunda parte que o autor denomina gestão em sala de aula , traz 
algumas orientações para uma melhor utilização do material. Aborda: o uso do caderno, a lição de casa, as atividades em grupo, o 
laboratório, os projetos, os recursos didáticos entre outros. Em seguida, são apresentadas algumas considerações sobre casa 
capítulo, com sugestões de atividades suplementares e orientações 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/unidade-2
https://getfireshot.com
didáticas. E no final, traz uma bibliografia relacionada à Educação Matemática. Aqui encontramos 1500 atividades algébricas 
caracterizadas como segue: 
Figura 5: Gráfico de Abordagens algébricas da coleção Matemática hoje é feita assim 
Fonte: Hanke (2008, p. 74). 
Os vários papeis do conhecimento algébrico são comtemplados nessa obra. Muitas atividades abordadas pelo autor contemplam 
mais de uma concepção algébrica, proporcionando ao aluno que ele construa gradativamente, a linguagem algébrica. São 
realizadas conexões entre a álgebra e a geometria, recorrendo a figuras geométricas, o autor explora também atividades com 
padrões que preparam o aluno para o estudo das relações entre grandezas. 
Em toda obra, foi observado a valorização de conhecimentos extra-escolares dos alunos. A interação entre os professores, bem 
como o desenvolvimento de habilidades como: observação. Exploração e investigação, argumentação, relação, comunicação oral e 
escrita são estimulados. 
Por meio da análise realizada por Hanke (2008), podemos observar em três das cinco coleções uma abordagem de atividades que 
exploram a utilização de padrões de regularidades na construção do pensamento algébrico. Essas três coleções possibilitam aos 
alunos uma compreensão da linguagem algébrica, bem como a utilização da “letra” abordando as concepções da Álgebra, como: 
aritmética generalizada, resolução de equações, estudo de estruturas e de relações entre grandezas, sem deixar de lado aspectos 
que envolvam o “transformismo algébrico”. Em contrapartida nas outras duas obras notamos uma concepção de ensino da álgebra 
baseado em estudo de estruturas e resolução de equações. 
De acordo com a pesquisa, ainda encontramos livros didáticos que não contemplam as quatro concepções da álgebra, o que leva o 
aluno à não compreensão do estudo da álgebra e do desenvolvimento do pensamento algébrico. Cabe aos professores analisar os 
livros adotados pelas escolas, compreender as concepções al- gébricas presentes nas atividades, e utilizar o livro de forma mais 
autônoma, criativa, complementando os aspectos que não aparecem ou que são pouco evidenciados. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/unidade-2
https://getfireshot.com
ÁLGEBRA E EDUCAÇÃO: CONCEPÇÕES 
DE ALUNOS EM FORMAÇÃO 
Nos currículos de Licenciatura em Matemática, a disciplina de Álgebra, em geral, representa para os alunos a primeira 
oportunidade de fazer suas próprias demonstrações. No entanto, na álgebra existe um nível de abstração que provoca, tanto na 
educação básica quanto no ensino superior, um momento de ruptura com conceitos e procedimentos já internalizados pelos 
alunos. 
Souza e Diniz (1994, p. 4), nas propostas de atividades para o ensino da álgebra, definem o campo do saber como “a linguagem da 
matemática utilizada para expressar fatos genéricos” e destacam quatro funções distintas para o seu uso: generalização da 
aritmética, estudo de processos para resolução de problemas, expressão da variação de grandezas e estudo de estruturas 
matemáticas. 
Como em Usiskin (1995), essa classificação está relacionada com os diferentes usos das variáveis e envolve apenas aspectos do 
processo de ensino-aprendizagem. Porém, Cury et al. (2002) diz que existem outros fatores que precisam ser considerados 
quando se planeja uma aula ou um conjunto de atividades que envolvam conceito algébricos, como por exemplo os estilos de 
aprendizagem dos alunos. “Temos diferentes estilos de aprendizagem, ou seja, características e preferências quanto à forma de 
apropriação e processamento das informações para construir novos conhecimentos”. Entre os vários modelos de estilos de 
aprendizagem, apresentados em publicações de psicologia da educação, Cury et al . (2002) destaca o de Felder-Silverman, que 
classifica os aprendizes em cinco dimensões: ativos/reflexivos; sensoriais/intuitivos; visuais/verbais; indutivos/dedutivos e 
sequenciais/globais. 
É importante notar, que não existe um estilo “puro” e que as características indicam apenas o estilo preferencial. 
Descrevendo resumidamenteas características de cada estilo e combinando as descrições com situações da Educação algébrica 
temos: 
Ativo/Reflexivo: Os ativos preferem aprender agindo sobre algo, testando, aplicando, manipulando, discutindo ou explicando o 
conteúdo para os outros. Preferem o trabalho em grupo. Essa preferência é explorada pela concepção linguística-pragmática da 
educação algébrica, pois os alunos ativos, ao aprenderem algo sobre determinado conteúdo, procuram logo repetir, em 
exercícios semelhantes, os passos que aprenderam. 
O aluno reflexivo prefere pensar sobre as informações, processando-as introspectivamente antes de trabalhar com elas. Para 
esse aprendiz, a tendência fundamentalista-estrutural é a mais interessante, pois ele tem mais possibilidades de compreender 
as razões pelas quais são explanadas as propriedades das operações e o seu papel no transformismo algébrico. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/unidade-2
https://getfireshot.com
Sensitivo/Intuitivo: Os sensoriais preferem as informações praticas, concretas, os fatos, as observações, o que vêm através dos 
sentidos. São metódicos, preferem resolver os problemas através de testagens. 
Por exemplo, se o professor apresentar as relações entre a álgebra e a física, usando uma balança de dois pratos para ensinar a 
resolução de equações, esse aluno terá condições de entender, porque observou a experiência. Para esses alunos, é adequado a 
concepção fundamentalista-analógica da educação matemática. 
Os intuitivos fixam-se mais nos conceitos e teorias, no que surge através da reflexão, da imaginação. Dessa forma, ainda que 
tenham compreendi- do a analogia, aos intuitivos não basta essa ideia, e necessário refletir sobre o que aprendeu e voltar às 
definições várias vezes. 
Visual/Verbal: Os visuais em atividades de ensino-aprendizagem preferem as que vêm por imagens, diagramas, gráficos, 
esquemas, enquanto os verbais preferem captar o que é falado, o que está escrito, as fórmulas que estão listadas. 
Por exemplo, o aluno visual é o que necessita das “muletas” representa- das pelos grafos, quando vão verificar propriedades de 
uma determinada relação em um conjunto discreto. Os verbais, nesse caso, vão diretamente para a definição, aplicando-as aos 
pares de relação, independentemente da representação. 
Indutivo/Dedutivo: Muito se tem discutido sobre a melhor forma de apresentar um assunto, ou seja, se devemos partir do geral 
para o particular ou vice-versa. Os indutivos preferem primeiramente os casos específicos (as observações, os resultados de 
experiências, os exemplos gráficos ou numéricos) para depois chegar à compreensão dos princípios e teorias. Os dedutivos, ao 
contrário, preferem ter primeiramente a visão geral da teoria e depois deduzir as suas aplicações para os casos específicos. 
Sequencial/ Global: Os sequencias gostam de aprender passo a passo, de forma que cada informação seja obtida logicamente 
da anterior. São capazes de resolver problemas ainda que não tenham uma compreensão global do assunto, suas soluções são 
ordenadas e fáceis de entender. Os globais captam as informações quase que aleatoriamente, não vendo as conexões, são 
capazes de resolver problemas complexos rapidamente, apesar de ter dificuldade em explicar as sequências de passos de seus 
raciocínios. 
Em uma pesquisa realizada por Cury et al . (2002) sobre a opinião dos alunos da graduação sobre a indução matemática, foi 
observado que a maior parte dos alunos pensam na aprendizagem da indução sob o enfoque da concepção linguística-pragmática, 
por estarem preocupados com a obtenção de regras, de artifícios, buscando apenas a resolução de um problema proposto, como 
mostrado nas frases dos alunos: 
“Em relação às nossas aulas reparei que as dúvidas são algo sobre: como começar (qual lado começar) uma 
demonstração; como resolver e chegar na conclusão de uma indução finita, etc” 
“Quando a professora resolve os exercícios e vai explicando, parece fácil, mas quando cabe a nós resolver, 
mostrar e demonstrar, sinto-me ‘perder o chão dos pés’ e então pergunto: ‘Onde foi parar o que eu aprendi?’ 
Sinto-me incapaz de articular um raciocínio, não consigo visualizar o que devo fazer, tampou- co chegar aos 
artifícios que me levarão à solução da questão”. 
“Realmente, de tudo que eu já vi, e aprendi anteriormente, uma aula sobre indução é diferente de tudo que 
eu já pude imaginar logicamente é uma matéria que exige muita atenção e dedicação pois só assim é que 
conseguimos assimilar os exercícios e resolvê-los” (CURY et al. 2002, p. 10). 
Analisando as frases pensando em estilos de aprendizagem, vemos que a preferência cai sobre os estilos 
ativo, sensitivo e sequencial, pois os alunos querem agir logo, repetindo passos realizados pelo professor, 
são metódicos e querem que cada etapa da demonstração seja obtida da anterior, sempre da mesma forma. 
Porém, é importante frisar que os estilos variam quanto aos conteúdos estudados e ao conhecimento 
construído. 
Geralmente, nos curso de licenciatura, algumas disciplinas de matemática são rotuladas como “espaço de demonstração”, 
enquanto as outras seguem “esquema de técnicas matemáticas”. No primeiro caso são introduzidos com métodos de 
demonstração ou os fundamentos de lógica matemática, no segundo caso, em geral não são oferecidos espaços para discussões 
acerca dos fundamentos da matemática e as demonstrações, quando ocorrem, são feitas por meio de transformismos algébricos. 
As propostas que visem fornecer ao aluno mais oportunidades de demonstração em geral baseiam-se em visões ligadas apenas ao 
ensino. Devem ser levados em conta aspectos que se relacionam com os estilos de aprendizagem dos alunos, características e 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/unidade-2
https://getfireshot.com
preferências quanto à forma de construção de novos conhecimentos, propondo novas situações para a Educação Algébrica. Cury 
et al. (2002) conclui: 
Conhecer as concepções de Álgebra e de Educação Algébrica dos estudantes é um elemento importante 
para as novas reformulações curriculares, pois permite discussões sobre as finalidades do estudo dessa 
disciplina e sobre as inter-relações existentes entre os conteúdos estudados no curso superior e aqueles 
apresentados nos níveis fundamental e médio (CURY et al. 2002, p. 12). 
Barrantes e Blanco (2004) dizem que a concepção dos futuros professores sobre a matemática e seu processo formativo, ou seja, 
as experiências que os que os professores tiverem enquanto estudantes influenciarão diretamente, de forma positiva ou negativa, 
em suas ações futuras como docente. 
Para Garnica (2008) as concepções não são estáticas, envolvem crenças, percepções, experiências previas, etc. a partir dos quais 
nos consideramos aptos a agir. Identificamos na ação efetiva que as práticas poder ser desveladas e não através dos discursos que 
promovemos sobre elas. Ele deixa claro que “Concepções são, portanto, suporte para a ação. Mantendo-se relativamente estáveis, 
as concepções criam em nós alguns hábitos, algumas formas de intervenção que julgamos seguras” (GARNICA, 2008, p. 499). 
Dessa forma, de acordo com Peirce (1998 apud GARNICA, 2008, p. 501) para abordarmos as concepções, precisamos determinar 
qual hábito de ação elas produzem, pois o significado do pensamento está intimamente ligado aos hábitos que esta permite criar. 
Agora para Tompson (1997, apud FIGUEIREDO, 2007, p. 40), as concepções de professores incluem suas crenças, visões e 
preferências sobre o conteúdo e seu ensino, que desempenham papel importante no que se refere a sua eficiência como media- 
dores primários entre conteúdos e alunos. O autor ainda ressalta que: 
Quanto mais é aprendido sobre concepções de Matemática e do ensino de Matemática do professor, mais 
se torna importante entender como essas concepções são formadas e modificadas. Somente então, as 
descobertas estarão disponíveis para aquelesenvolvidos na preparação profissional de professores, 
tentando melhorar a qualidade da educação matemática em sala de aula. (THOMPSON, apud FIGUEIREDO, 
2007, p. 42-43). 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/unidade-2
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial/atividades
Página inicial 
ATIVIDADES 
1. As concepções da Educação Algébrica segundo Fiorentini, Miorim e Miguel são deno- minas: Linguístico-pragmática, 
fundamentalista estrutural, fundamentalista analógico e uma sem nome. De acordo com nossos estudos complete as lacunas: 
I) A Concepção tem como característica: aquisição de técnicas, ainda que mecânicas. Compõe-se de uma sequência de tópicos 
iniciados pelas expressões algébricas, seguidos de operações com essas expressões, e por último, a aplicação das técnicas na 
resolução dos problemas. 
II) A Concepção tem como característica: é marcada pela utilização de figuras geométricos-visuais e pela justificação das 
passagens do transformismo algébrico por meio de recursos analógicos geométricos. 
III) A concepção tem como característica: baseia-se na ideia de que o pensamento algébrico pode ser expresso em várias 
linguagens que não só a simbólica. 
IV) A concepção tem como característica: coloca ênfase nas propriedades das operações e nas estruturas que elas definem, 
pressupondo que o seu domínio garantiria a compreensão das estruturas em diferentes contextos. 
O item que completa as lacunas de forma correta é: 
a) Linguístico-pragmática, ii) fundamentalista estrutural, iii) fundamentalista analógico e iv) Não denominada. 
b) Fundamentalista estrutural, ii) fundamentalista analógico, iii) Linguístico-pragmática, e iv) Não denominada. 
c) Linguístico-pragmática, ii) fundamentalista analógico, iii) Não denominada e iv) fundamentalista estrutural. 
d) Não denominada ii) Linguístico-pragmática, iii) fundamentalista analógico e iv) fundamentalista estrutural. 
e) Fundamentalista estrutural, ii) fundamentalista analógico, iii) Não denominada e 
iv) ) Linguístico-pragmática. 
2. Os livro didático ainda é o material didático mais usado pelos professores na sala de aula. De acordo com nosso estudo coloca V 
para verdadeiro e F para falso. 
( ) Educadores estão cada vez mais preocupados com as concepções presentes nos livros didáticos. 
( ) Para os professores conhecer as concepções presentes nos livros didáticos é fundamental. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/atividades
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial
( ) O livro didático não é considerado um material escolar. 
( ) O professor deve sempre seguir a ordem dos conteúdos nos livros didáticos. 
( ) A partir da década de 90 os livros didáticos começaram a ser distribuídos gratui- tamente para as escolas públicas. 
A sequência correta para a resposta da questão é: 
a) V,V,F,V,V. 
b) V,F,V,V,V. 
c) F,V,F,V,F. 
d) V,F,V,F,V. 
e) V,V,F,F,V. 
3. Muitos são os estilos de aprendizagem dos alunos, aqui estudamos sobre os estilos apontados por Felder-Silverman. De acordo 
com esses estilos de aprendizagem relacione as colunas: 
(1) Ativo 
(2) Sensoriais 
(3) Visuais 
(4) Indutivos 
(5) Sequenciais 
(A) Gostam de aprender passo a passo, de forma que cada informação seja obtida logicamente da anterior. 
(B) Preferem as informações práticas, concretas, as fatos, as observações. 
(C) Em atividades de ensino-aprendizagem preferem as que vem por imagens, diagramas, gráficos, esquemas. 
(D) Preferem aprender agindo sobre algo, testando, aplicando, manipulando, discutindo ou explicando o conteúdo para outros. 
(E) Preferem primeiramente os casos específicos, (os resultados de experiências, os exemplos gráficos) para depois chegar à 
compreensão dos princípios e teorias. 
Assinale a alternativa que apresenta a relação correta: 
a) 1 – A, 2 – B, 3 – C, 4 – D, 5 – E. 
b) 1 – B, 2 – C, 3 – A, 4 – E, 5 – D. 
c) 1 – A, 2 – C, 3 – E, 4 – D, 5 – B. 
d) 1 – D, 2 – B, 3 – C, 4 – E, 5 - A. 
e) 1 – D, 2 – B, 3 – C, 4 – A, 5 – E. 
Resolução das atividades 
Avançar 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/atividades
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial/resumo
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/atividades
https://getfireshot.com
Página inicial 
RESUMO 
Neste encontro apresentamos as várias concepções da álgebra, segundo autores como Eves (2004), Fiorentini, Miorim e Miguel 
(1993), Usiskin (1995) entre outros. 
Foram apresentados também, a análise dos livros didáticos, como estão sendo abordados os conteúdos algébricos nessas coleções 
e qual a importância dada nas atividades propostas ao desenvolvimento do pensamento algébrico, fazendo uma relação entre os 
encontrados nos livros e os apresentados aqui. 
E por final, apresentamos uma análise de como vem se constituindo as concepções de futuros professores e Matemática em 
relação ao ensino de álgebra na Educação básica, a partir das vivencias que tiveram ou tem durante a graduação. 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/resumo
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial/eu-indico
Página inicial 
Material Complementar 
Leitura 
O Romance das Equações Algébricas 
Autor: Gilberto G. Garbi 
Editora: Livraria da Física 
Sinopse: O Romance das Equações Algébricas representa algo inovador 
no Brasil e há de exercer duradoura influência nos métodos de ensino da 
Matemática em nosso país. Trata-se de uma obra que será muito bem 
recebida por professores, alunos e aficionados e está destinada a 
despertar em muitos jovens vocações até então desconhecidas para uma 
ciência que, ainda hoje injustificadamente, costuma ser envolta em um 
manto de mistério e encarada com infundado temor. 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/eu-indico
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial/refer%C3%AAncias
Página inicial 
REFERÊNCIAS 
BARRANTES, M.; BLANCO, L. J. Estudo das recordações, expectativas e concepções dos profesores em formação sobre ensino- 
aprendizagem da geometría. Educação Matemática em Revista. Ano11. n. 17 p. 29-39. 2004. 
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília: MEC/SEF, 1998. 
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. PCN + Ensino Médio: Orientações Educacionais aos Parâmetros Curriculares 
Nacionais, pp. 111-144. 2002. 
CURY. H. N.; LANNES, W.; BROLEZZI, A. C. e VIANNA, C. R. Álgebra e Educação Algébrica: Concepções de Alunos e Professores 
de Matemática. Educação Matemática em Revista, Rio Grande do Sul, v.4 n.4, pp. 9-15, 2002. 
FIGUEIREDO, A. C. Saberes e concepções de Educação Algébrica em Curso de Licenciatura em Matemática. Tese (Doutorado em 
Educação Matemática) – PUC, SP, 2007. 
FREITAS, M. A. Equação do 1°grau: métodos de resolução e análise de erros no Ensino Médio. PUC. São Paulo, 2002 (Dissertação 
de mestrado). 
FIORENTINI, D.; MIORIM, Â. e MIGUEL, A. Contribuição para um Repensar a Educação. Álgebra Elementar. Pró-posições, v.4, n. 1, 
pp. 78-91. 
HANKE, T. A. F. PADRÕES DE REGULARIDADES: Uma abordagem no desenvolvimento do pensamento algébrico. Dissertação de 
Mestrado. PUC, Minas Gerais, 2008. 
LAJOLO, M. Livro didático: um (quase) manual de usuário. Em Aberto, Brasília, ano 16, n.69. 1996. 
LINS, R. C. e GIMENEZ, J. Perspectivasem Aritmética e Álgebra para o século XXI. Campinas, SP, Papirus. 1997. 
PIRES, F. S. e SOUZA, M. C. Indícios de concepções sobre o conceito de álgebra e de seu ensino em cursos de formação de 
professores de matemática, 2010. Disponível em: < http://www.enrede.ufscar.br/participantes_arquivos/E1_Pires_TA.pdf >. Acesso 
em 22 out 2020. 
PONTE, J. P. M. Investigar, ensinar e aprender. Disponível em: < http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/docs-pt/03- 
Ponte(Profmat).pdf >. Acesso em 22 out 2020. 
SILVA, J. T.; IBRAHIM, S. A.; RESENDE, M. R. e FERNANDES, F. As Concepções e Álgebra e de Educação Algébrica – uma análise de 
livros didáticos do 8° ano. Revista Profissão Docente, v.15 n.33, pp. 127-145, 2015. 
SOUZA, E. R. de e DINIZ, M.I. de S. V. Álgebra: das variáveis às equações e funções. São Paulo: IME-USP, 1994. 
USISKIN, Z. Concepções sobre a Álgebra da escola média e utilizações das variáveis: As ideias da Álgebra. Trad. Hygino H. 
Domingues. São Paulo: Ed. Atual, 1995. 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/refer�ncias
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.enrede.ufscar.br%2Fparticipantes_arquivos%2FE1_Pires_TA.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHU_xwUO1w3J01ZpzLID0lhR6CIxQ
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.educ.fc.ul.pt%2Fdocentes%2Fjponte%2Fdocs-pt%2F03-Ponte%28Profmat%29.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNG01JLNzBfwBJQ6fA_FVDDKBpQ6hw
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.educ.fc.ul.pt%2Fdocentes%2Fjponte%2Fdocs-pt%2F03-Ponte%28Profmat%29.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNG01JLNzBfwBJQ6fA_FVDDKBpQ6hw
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial/aprofundando
Página inicial 
APROFUNDANDO 
Foram realizadas atividades que investigam as concepções de alunos sobre a álgebra. Foram apresentados questões como: a) 
Como você relaciona a álgebra do curso superior com a do ensino fundamental e médio? b) O que deve ser feito para que o 
aprendizado da álgebra se torne mais fácil? 
Participaram 18 alunos do curso de licenciatura em matemática de duas universidades. As perguntas foram res pondidas por 
escrito e analisadas pelos professores. Os alunos emitiram opiniões sobre o que é a álgebra e sobre as diferentes visões dessa 
disciplina quando é vista no ensino fundamental, médio e superior. As frases foram agrupadas e interpretadas de acordo com as 
teorias feitas por Fiorentini, Miorim e Miguel (1993). 
Os primeiros conjuntos de ideias são: 
“Acho que a álgebra nos proporciona a capacidade de demonstrar propriedades, principalmente no estudo de conjuntos 
numéricos.” 
“A relação da álgebra do ensino superior com o ensino fundamental está basicamente no conceito de conjuntos numéricos. O 
estudo dos números naturais e inteiros onde se definem operações com algumas aplicações práticas.” 
“A álgebra no ensino fundamental e médio é uma aplicação de certas regras como de sinais, propriedades da adição, multiplicação e 
tantas outras.” 
Essas frases parecem ser características da concepção processológica, pois há a preocupação com a sequência de passos, com as 
demonstrações de propriedades dos conjuntos numéricos. 
Nas seguintes frases nota-se a ideia de abstração, evidenciando uma concepção linguístico-postulacional: 
“Temos ainda uma capacidade muito aquém do necessário para abstrair o conteúdo, uma vez que somos submetidos a demonstrar 
um teorema ou acontecimento de uma operação que não assimilamos na sua totalidade.” 
“Sendo a álgebra uma abstração, à medida que desenvolvemos novos conhecimentos e nossa capacidade de abstrair adquirimos 
novos conhecimentos e aumentamos nossa capacidade para adquirir aprendizagem.” 
“A álgebra desenvolve nosso raciocínio com o objeto de fundamentar a matemática.” “Acredito que o estudo da álgebra contribui 
para o desenvolvimento do raciocínio lógico.” 
As próximas frases apontam as características da concepção de educação algébrica denominada linguística-pragmática: 
“Acredito que praticar é um dos melhores meios de aprendizagem, ou seja, fazer vários exercícios, com diferentes situações, 
estimulando, assim, o raciocínio individual e possibilitando uma maior aprendizado do grupo.” 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/aprofundando
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial
“Na minha opinião penso que um número maior de exercícios facilitaria o aprendizado da álgebra.” 
“O que pode ser feito para que a álgebra seja mais compreensiva: - Melhor contato (comunicação) entre professor e aluno; - Mais 
exercícios para que possamos fazê-los dentro de sala de aula; - Resolução de exercícios feitos pelo professor passo-a-passo.” 
Abaixo exemplo de concepção fundamentalista-estrutural: 
“Esta álgebra do ensino superior nos dá os instrumentos necessários para realmente provar (através de demonstrações) as teorias 
que nos eram dadas e aceitas como verdadeiras nos ensinos fundamental e médio”. 
“Se obtivermos o domínio de conceitos algébricos teremos maior oportunidade de conseguir sucesso na busca da eficiência do 
processo ensino-aprendizagem.” 
“O professor deve mostrar a forma correta de pensar em relação a problemas onde o nível de abstração é elevado.” 
Nessas frases os alunos evidenciam uma concepção de ensino bastante rígida, colocando no professor a responsabilidade pelo 
“saber pensar.” 
Fonte: Cury et al. (2002). 
REFERÊNCIAS 
CURY. H. N.; LANNES, W.; BROLEZZI, A. C. e VIANNA, C. R. Álgebra e Educação Algébrica: Concepções de Alunos e Professores 
de Matemática. Educação Matemática em Revista, Rio Grande do Sul, v.4 n.4, pp. 9-15, 2002. 
FIORENTINI, D.; MIORIM, Â. e MIGUEL, A. Contribuição para um Repensar a Educação. Álgebra Elementar. Pró-posições, v.4, n. 1, 
pp. 78- 91. 
PARABÉNS! 
Você aprofundou ainda mais seus estudos! 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/aprofundando
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial/editorial
Página inicial 
EDITORIAL 
DIREÇÃO UNICESUMAR 
Reitor Wilson de Matos Silva 
Vice-Reitor Wilson de Matos Silva Filho 
Pró-Reitor de Administração Wilson de Matos Silva Filho 
Pró-Reitor Executivo de EAD William Victor Kendrick de Matos Silva 
Presidente da Mantenedora Cláudio Ferdinandi 
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ . Núcleo de Educação 
a Distância; TAMURA , Camila Hiromi. 
Tópicos Especiais em Álgebra . Camila Hiromi Tamura. 
Maringá-Pr.: UniCesumar, 2017. 
43 p. 
“Pós-graduação Universo - EaD”. 
1. Álgebra. 2. Matemática. 3. EaD. I. Título. 
CDD - 22 ed. 510 
CIP - NBR 12899 - AACR/2 
Pró Reitoria de Ensino EAD Unicesumar 
Diretoria de Design Educacional 
Equipe Produção de Materiais 
Fotos : Shutterstock 
NEAD - Núcleo de Educação a Distância 
Av. Guedner, 1610, Bloco 4 - Jardim Aclimação - Cep 87050-900 
Maringá - Paraná | unicesumar.edu.br | 0800 600 6360 
Retornar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/editorial
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial
Página inicial 
ENSINO DE ÁLGEBRA 
NO ENSINO 
FUNDAMENTAL 
Professora : Me. Camila Hiromi Tamura 
Objetivos de aprendizagem 
Apresentar ideias do ensino da álgebra no ensino fundamental. 
Apresentar as principais dificuldades dos alunos no aprendizado da álgebra. 
Apresentar os principais erros cometidos pelos alunos no resolução de problemas. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p�gina-inicial
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p%C3%A1gina-inicialhttps://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p%C3%A1gina-inicial
Plano de estudo 
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: 
Álgebra no Ensino Fundamental 
Dificuldade dos Alunos no Ensino da Álgebra 
Principais Erros Cometidos pelos Alunos 
Introdução 
A partir da experiência docente, bem como o tempo de estudante, podemos constatar que muitos alunos apresentam grande 
dificuldade no ensino a álgebra, particularmente na resolução de problemas que envolvem uma tradução da linguagem escrita 
corrente para a linguagem algébrica. 
Podemos analisar uma certa resistência por parte de alguns alunos em estudar conteúdos do campo da álgebra, talvez por 
julgarem a álgebra como difícil de entender, esses alunos se fecham à aprendizagem de conceitos novos. 
Ao ensinar a álgebra, um dos grandes objetivos é desenvolver nos alunos o pensamento algébrico que vai muito além da simples 
capacidade da manipulação de símbolos. 
Cremos que identificando os tipos de erros que os alunos cometem e investigando as razões desses erros, entenderemos o porquê 
dos alunos terem tanta dificuldade em álgebra. 
Dessa forma, nesse estudo apresentamos uma revisão de literatura e breves reflexões sobre as principais dificuldades 
apresentadas pelos alunos que se iniciam no estudo da álgebra. 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p�gina-inicial
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p%C3%A1gina-inicial/unidade-3
Página inicial 
ÁLGEBRA NO ENSINO FUNDAMENTAL 
Os PCNs de matemática do Ensino Fundamental trazem as diretrizes gerais para o ensino da matemática nesta etapa. Na parte 
que se destina a álgebra, os PCNs afirmam: “O estudo da Álgebra constitui um espaço bastante significativo para que o aluno 
desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização, além de lhe possibilitar a aquisição de uma poderosa 
ferramenta para resolver problemas”. 
Ao mesmo tempo em que se destaca a importância da álgebra, existe uma preocupação em como ela é ensinada. 
Existem muitas formas de ensinar matemática, porém ainda a mais utilizada é aquela em que o professor explica um determinado 
conteúdo, enfatiza suas regras e aplica uma lista imensa de exercícios para o aluno “fixar” a técnica ensinada. O professor faz tudo 
para o aluno, quando surgem dúvidas ele vai e resolve todo processo e o aluno apenas faz a cópia, sem muitas vezes entender o 
significado dos procedi- mentos realizados. Sobre isso os PCNs dizem: 
É importante destacar que as situações de aprendizagem precisam estar centradas na construção de 
significados, na elaboração de estratégias e na resolução de problemas em que o aluno desenvolve 
processos importantes como intuição, analogia, indução e dedução, e não atividades voltadas para a 
memorização, desprovidas de compreensão ou de um trabalho que privilegie uma formação precoce dos 
conceitos (BRASIL, 1998, p. 63). 
Contudo, esse ensino é quase sempre conduzido pelos livros didáticos nos quais podemos verificar uma predominância de 
exercícios para aplicação de técnicas que não estimulam o desenvolvimento do pensamento algébrico. Além disso, Cruz (2005) diz 
que não há em muitos livros uma ligação entre os conteúdos de aritmética e álgebra que ofereça ao aluno a oportunidade de 
construir conexões entre as letras e os números e assim não concebem a álgebra como ferramenta para provar regras e relações 
numéricas. 
Segundo Silva (2007), há uma grande dificuldade de ensinar álgebra, um dos fatores é o material didático mais usado pelos 
professores, o livro didático que, em sua maioria, introduz a álgebra por meio de uma linguagem formal, falando sobre equações, 
primeiro membro, segundo membro, operação inversa, ou seja, conceitos desprovidos de significados para o aluno. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p�gina-inicial/unidade-3
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p%C3%A1gina-inicial
Atualmente a álgebra pode ser caracterizada por ter o foco no estudo de relações matemáticas abstratas, na resolução de 
equações e inequações, no uso de fórmulas, o estudo dos conjuntos numéricos, onde na maioria das vezes as operações são 
definidas de modo abstrato. 
No processo de Educação Matemática, os alunos tem suas experiências com a álgebra desde as séries iniciais do Ensino 
Fundamental, embora os primeiros contatos não sejam de modo formalizado. 
A partir do 6° ano os alunos começam a aprender a álgebra formal, caracteriza- do pela representação dos valores desconhecidos, 
por símbolos e uso de fórmulas, agora as equações do 1° grau e sua resolução são introduzidas no 7° ano, quando o aluno começa a 
se familiarizar com os conceitos de valor desconhecido. 
A partir do 8° ano, as escritas abstratas passam a ser o foco das aulas de matemática. De acordo com Schneider (2013), ao longo 
desse ano os alunos estudarão: Produção histórico cultural; sequências; conceitos; operações com polinômios; pro- dutos notáveis, 
fatoração de polinômios; mínimo múltiplo comum de polinômios; frações algébricas; equações e inequações; sistema de equações 
de 1° grau. 
A partir desse momento, se acordo com Usiskin (1995) devem ser desenvolvi- dos os cinco aspectos da linguagem algébrica com 
relação aos símbolos: incógnita, fórmulas, generalizações de padrões, variáveis e relações. 
De acordo com os Principios e Estándares para la Educación Matemática do NCTM (2000 apud GROENWALD, 2014), as grandes 
ideias do pensamento algébrico envolvem representação, raciocínio proporcional, significado de variáveis, padrões e funções, 
igualdades, raciocínio dedutivo e indutivo. No estudo da álgebra, durante o desenvolvimento destas competências, enfatiza-se o 
uso de símbolos como uma parte fundamental do aprendizado proficiente da álgebra e consequentemente da solução de 
problemas que necessitam a aplicação da álgebra na sua solução. 
Segundo Groenwald (2014), considerando os conteúdos algébricos incluídos nos programas escolares do Ensino Fundamental, 
uma abordagem centrada na aplica- ção de algoritmos e manipulação mecânica de símbolos mostra-se problemática, já que, para 
avançar na compreensão dos conceitos algébricos é necessário que o aluno desenvolva um pensamento matemático de nível 
elevado. De acordo com Resnick citado por Lins e Gimenez (1997), raciocínio de alto nível é quando é necessário estabelecer 
relações, e faz com que a pessoa estabeleça processos não-algorítmicos, requer um nível de abstração mais elevado, o qual permite 
relações entre os conhecimentos já adquiridos, exigindo mais que a aplicação de regras e algoritmo. 
O ensino tradicional da matemática, tem em suas características, a transmissão de informações, onde os alunos são “treinados” por 
meio de sequências de exercícios para enfatizarem o uso de técnicas e processos exaustivos sem a preocupação de produzir 
significados e dar sentido a essas técnicas. Os alunos não são estimula- dos a pensar de forma autônoma. 
Para Zenere (2005, apud Silva, 2007), é indispensável reconhecer que diferentes propostas selecionadas para sala de aula 
expressam as visões ou ideias que queremos promover através do ensino. É necessário primeiramente mudar a forma como os 
professores desenvolvem suas aulas, pois o ensino de manipulações mecanizadas e de algoritmos aprendidos não garantem 
sozinhos o sucesso dos alunos. 
Bianchini e Silva (2005) dizem que o professor precisa investigar e considerar os conhecimentos espontâneos dos alunos para a 
partir daí elaborar situações de aprendizagem de forma significativa. Um dos meios que a escola deve utilizar para que os alunos se 
envolvam e aprendam novos conteúdos, elaborando significados aos saberes matemáticos é uma aprendizagem significativa. 
Dessa forma, Lins e Gimenez (1997), dizem que, na aritmética e na álgebra, a mudança de perspectiva mais importanterefere-se a 
passarmos a pensar em termos de significados, e não, pensarmos em termos de técnicas ou conteúdo. 
Pesquisadores afirmam que a aprendizagem significativa ocorre quando o aluno é capaz de perceber que os 
conhecimentos escolares são úteis para sua vida fora da escola. Para proporcionar aprendizagem 
significativa umas das estratégias é a sequência didática. 
Para saber mais, acesse: < https://novaescola.org.br/conteudo/2197/estrategias-didaticas-para-o-ensino- 
da-matematica > 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p�gina-inicial/unidade-3
https://getfireshot.com
https://www.google.com/url?q=https%3A%2F%2Fnovaescola.org.br%2Fconteudo%2F2197%2Festrategias-didaticas-para-o-ensino-da-matematica&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNGs1XXGo2JzMYbU5jAQgMb0T7-K5Q
https://www.google.com/url?q=https%3A%2F%2Fnovaescola.org.br%2Fconteudo%2F2197%2Festrategias-didaticas-para-o-ensino-da-matematica&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNGs1XXGo2JzMYbU5jAQgMb0T7-K5Q
DIFICULDADES DOS ALUNOS NO 
ESTUDO DE ÁLGEBRA 
Não é segredo para ninguém que os alunos apresentam grande dificuldade no estudo da álgebra, e em particular, na resolução de 
problemas que envolvam uma tradução da linguagem escrita corrente para a linguagem algébrica. 
Em um estudo feito na Inglaterra, onde foram relatadas recordações de adultos sobre suas experiências ao aprender matemática 
na escola, muitos deles consideraram a matemática como sendo uma das matérias mais difíceis. O seguinte comentário a respeito 
desse estudo mostra essa opinião: “a álgebra é uma fonte de confusão e atitudes negativas consideráveis entre os alunos”(BOOTH, 
1995, p. 23). Umas das razões para essa conclusão é que os alunos parecem achar a álgebra difícil. 
Segundo Usiskin (1995) a álgebra é a “área-chave” de estudo da matemática escolar, uma vez que ela fornece meios para a 
caracterização e a compreensão das estruturas matemáticas. 
Ao ensinar a álgebra, um dos grandes objetivos é desenvolver nos alunos o pensamento algébrico, que vai muito além da simples 
capacidade da manipulação de símbolos. 
Acreditamos que uma maneira de tentar descobrir o que torna a álgebra difícil é identificar os tipos de erros que os iniciantes no 
estudo dessa matéria comumente cometem e investigar as razões desses erros. 
Segundo Socas et. al (1996, apud VELOSO E FERREIRA, 2011, p. 60), “no ensino-aprendizagem da álgebra, como em toda a 
matemática, nos encontramos com uma grande variedade de dificuldades”. Primeiramente os autores comentam as dificuldades 
relacionadas à natureza da álgebra e aqueles que surgem dos processos de desenvolvimento cognitivo dos alunos e da estrutura e 
organização de suas experiências. Após os autores citam a natureza dos currículos, à organização das aulas e os métodos de ensino 
usados. Por último, os autores citam as dificuldades devido a atitudes efetivas e não racionais dos alunos com a álgebra. 
Booth (1995), fundamentado numa pesquisa realizada no Reino Unido, que buscou identificar os tipos de erros que os alunos 
frequentemente cometem em álgebra e investigar as razões desses erros, apresentam quatro principais aspectos que podem levar 
o aluno a terem dificuldade na aprendizagem da álgebra: 
1. O foco da atividade e a natureza das “respostas”: 
Em aritmética, o foco da atividade é encontrar determinadas respostas nu- méricas particulares. Na álgebra, 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p�gina-inicial/unidade-3
https://getfireshot.com
porém, é diferente. Na álgebra o foco é estabelecer procedimento e relações e expressá-los numa forma 
simplifica- da geral. Uma razão para se estabelecerem essas afirmações gerais e usá-las como “regras de 
procedimento” para a resolução de problemas adequados e, então, achar respostas numéricas, mas o foco 
imediato é o estabelecimen- to, a expressão e manipulação da própria afirmação geral. Muitos alunos não 
percebem isso e continuam achando que devem dar uma resposta numé- rica (BOOTH, 1995, p. 24). 
Muitas vezes para os alunos aceitar a resposta final como uma expressão algébrica simplificada não são o suficiente, eles 
acreditam que devem apresentar uma respos- ta numérica. 
2. O uso de notação e da convenção em álgebra: 
Uma outra fonte de confusão para os alunos diz respeito a interpretação de símbolos operatórios. Em aritmética, os símbolos de 
soma, subtração, multiplicação, divisão e uma igualdade são interpretados geralmente em termos de ações a serem efetua- das, de 
maneira que + significa efetivamente realizar uma soma e = significa escrever a resposta. Agora na álgebra, a ideia do que o 
símbolo da adição pode ser tanto a indicação de uma soma como a ação, ou de que o símbolo de igualdade possa re- presentar uma 
relação de equivalência e não uma resposta propriamente dita pode não ser percebida de imediato pelos alunos. 
Ponte (2005) destaca os erros que ocorrem com frequência pelos alunos com os símbolos operatórios: 
Outra dificuldade, ainda, é compreender as mudanças de significado, na Aritmética e na Álgebra, dos 
símbolos + e =, bem como das convenções adotadas; assim, em Aritmética, 23 tem um significado aditivo (20 
+ 3), enquanto que em Álgebra 2x tem um significado multiplicativo (2 x x); em Aritmética 3 
+ 5 significa uma “operação para fazer” (cujo resultado é 8), mas em Álgebra x + 3 representa uma unidade 
irredutível (enquanto não se concretizar a variável x) (PONTE, 2005, p. 39). 
A aritmética leva a números e a álgebra a simplificações. Porém uma não está des- ligada da outra, pois a álgebra deve ser encarada 
como a “aritmética generalizada. 
Segundo Booth (1995), a álgebra exige uma precisão mações enquanto que na aritmética não é exigido: 
Outro ponto mais crucial em álgebra do que em aritmética é a necessidade de uma precisão absoluta no 
registro de afirmações. Essa precisão, é claro, também é importante na aritmética, mas as consequências de 
impropriedades nesse aspecto podem ser menores se o aluno sabe o que se pretende e efetua a operação 
correta, independentemente do que está escrito. Em aritmética faz pouca diferença o aluno escrever 12 : 3 
ou 3 : 12, desde que ele efetue corretamente o cálculo. Em álgebra, porém, é crucial a diferença entre p : q e 
q : p (BOOTH, 1995, p. 29). 
A esse assunto, a autora vê a falta de rigor em aritmética como uma desatenção nas aulas de matemática às afirmações verbais 
corretas e precisas das ideias matemáti cas. Booth ainda diz: 
Alguns alunos acham que a divisão, como a adição, é comutativa. Outros não veem necessidade de 
distinguir as duas formas, acreditando que o maior número sempre deverá ser dividido pelo menor. Isso 
parece decorrer da re- comendação bem-intencionada feito pelo professor de matemática, no início do 
aprendizado da divisão, e da própria experiência dos alunos, pois todos os problemas de divisão 
encontrados em aritmética elementar, de fato, exigem que o número maior seja dividido pelo menor 
(BOOTH, 1995, p. 29-30). 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p�gina-inicial/unidade-3
https://getfireshot.com
Podemos observar que o aprendizado da álgebra está diretamente ligada ao conhecimento aritmético que o aluno possui. 
O papel do professor nesse caso é fundamental, ele precisa estar sempre atento para que não ocorra uma fixação exagerada de 
alguns conceitos, produzindo uma impressão muito grande de inutilidade de tal conteúdo. Portanto, é importante que seja 
desenvolvidos nos alunos a capacidade de representação de fenômenos e situações na forma algébrica além da habilidade na 
manipulação dos símbolos. 
3. O significado das letras e das variáveis 
Segundo Booth (1995) uma das diferenças mais flagrantes entre a aritmética e a álgebra é a utilização, nesta última, de letras para 
indicar valores. Booth afirma: 
As letras também aparecem em aritmética, mas de maneira bastante diferente. A letra m , por exemplo, pode 
ser utilizada em aritmética para representar “metros”, mas não para representar o número de metros, como 
em álgebra.A confusão decorrente dessa mudança de uso pode resultar numa “falta de referencial 
numérico”, por parte do aluno, ao interpretar o significado das letras em álgebra (BOOTH, 1995, p. 30). 
Ponte (2005) afirma que os alunos em geral apresentam dificuldades com o uso de letras para representar variáveis e incógnitas, 
não conseguindo associar uma letra como representando um número desconhecido e não percebendo o sentido de uma expressão 
algébrica. 
Contudo, Booth (1995) concorda que mesmo quando os alunos interpretem as letras como representantes de números, há uma 
forte disposição a considerar as letras como valores específicos, únicos e possíveis de serem determinados. 
Enfatizamos a importância das diferentes concepções da álgebra de acordo com o papel que as variáveis podem assumir, nos mais 
variados contextos algébricos. Acreditamos que conhecendo os vários significados que as letras assumem de acordo com o 
contexto em que está empregada, o aluno aceite uma expressão algébrica como resposta de algum exercício ou problema. 
Um dos fatores responsáveis pelo fracasso dos alunos no ensino da álgebra, é a falta de entendimento sobre 
as várias concepções da álgebra, pois o entendimento das mesmas nos permite uma melhor compreensão 
sobre os vários conceitos de variáveis. 
A seguir apresentamos de forma simples o significado das letras em álgebra e também sua finalidade. 
Aritmética generalizada: propriedades das operações, generalizações de padrões aritméticos. Letras 
como generalização do modelo aritmético. 
Estudo de relações entre grandezas: Variação de grandezas. Letras como variáveis para expressar 
relações e funções. 
Resolução de equações: Resolução de equações. Letras como símbolo abstrato. 
Estudo de estruturas: Cálculo algébrico, obtenção de expressões equivalentes. Letras como símbolo 
abstrato. 
4. Os tipos de relações e métodos usados em aritmética 
Como já abordado anteriormente, a álgebra não é isolada da aritmética, na realida- de, em muitos aspectos, a álgebra e 
considerada a “aritmética generalizada”. Booth conclui: 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p�gina-inicial/unidade-3
https://getfireshot.com
E nisso está a fonte das dificuldades. Para compreender a generalização das relações e procedimentos 
aritméticos é preciso primeiro que tais relações e procedimentos sejam apreendidos dentro do contexto 
aritmético. Se não forem reconhecidos, ou se os alunos tiverem concepções erradas a respeito deles, seu 
desempenho em álgebra poderá ser afetado. Nesse caso, as dificuldades que o aluno tem em álgebra não 
são tanto em álgebra propriamente dita, mas de problemas em aritmética que não foram corrigidos 
(BOOTH, 1995, p. 33). 
Para Gil (2008 apud VELOSO E FERREIRA, 2011, p. 63) “algumas barreiras se configuram na Álgebra pelo fato do aluno trazer para 
o contexto algébrico, dificuldades herdadas do aprendizado no contexto aritmético ou por estenderem para o estudo algébrico, 
procedimentos aritméticos que não procedem”. 
Booth (1995) diz que um dos aspectos em que as ideias aritméticas dos alunos podem influir em seu desempenho é o uso dos 
parênteses. Muitas crianças não usam parênteses porque acham que a sequência escrita de operações determina a ordem em que 
os cálculos devem ser efetuados. 
Um outro ponto apontado por Booth (1995) é o uso de métodos informais em aritmética, o que pode ter implicações na habilidade 
do aluno para estabelecer ou compreender afirmações gerais em álgebra. A autora exemplifica: 
Se um aluno geralmente não determina o número total de elementos de dois conjuntos de, digamos 35 e 19 
alunos utilizando a noção de adição, como 35 + 9, mas resolve o problema, utilizando o processo de 
contagem, então é pouco provável que o número total de elementos de dois conjuntos de x e y elementos 
seja prontamente representado por x + y . Neste caso, a dificuldade não está tanto em generalizar a partir do 
exemplo aritmético, mas de ter um procedimento adequado, e uma representação desse procedimento em 
aritmética, para a partir dele fazer uma generalização inicial (BOOTH, 1995, p. 35). 
Dessa forma, a autora destaca a importância do professor em convencer o aluno de que o seu método informal de resolução pode 
ser eficaz em determinados tipos de problema, mas em outros o método poderá falhar. Assim cabe ao professor reconhecer e 
apresentar as limitações do método informal utilizado pelo aluno e dessa maneira, o aluno poderá chegar a reconhecer a 
necessidade de um procedimento mais geral, ou seja, formal. 
A seguir apresentaremos os resultados de uma pesquisa realizada por Gonçalves (2013) com uma turma do 8° ano da cidade de 
Pará de Minas, para identificar as dificuldades existentes no aprendizado da álgebra, abrangendo a utilização do simbolismo 
algébrico e as maneiras que os alunos utilizam para transformar a linguagem corrente para a algébrica. 
Na primeira atividade Gonçalves (2013) buscava verificar se o aluno conseguia transformar a linguagem corrente para a linguagem 
simbólica, formando dessa forma uma expressão algébrica. Nessa atividade a autora observou que nenhum dos alunos conseguiu 
resolver de forma correta, ela afirma: “Há uma ideia nos alunos de que toda expressão deve chegar a uma igualdade e isso coíbe os 
pensamentos deles de aceitar uma simples expressão como resposta”. (p.29) 
Na segunda atividade, o objetivo era reduzir um polinômio, mostrando o conhecimento em relação à simplificação de expressões. 
Nessa atividade a maioria dos alunos mostraram novamente a dificuldade de aceitar uma expressão como resposta, buscando 
chegar a uma igualdade. Foi notado também a dificuldade de alguns alunos ao unir tais termos de diferentes partes literais, 
demostrando uma possibilidade futura de erros onde os alunos terão que trabalhar com variáveis diferentes (Figura 1). 
Figura 1: Exemplo de soma de termos diferentes 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p�gina-inicial/unidade-3
https://getfireshot.com
Fonte: Gonçalves (2011, p. 30). 
Uma outra atividade desafiava o aluno a montar uma equação, porém dessa vez com uma igualdade. O objetivo era verificar se o 
aluno entende a necessidade da incógnita para descobrir o valor numérico e organizar os dados com as operações corretas, para 
depois realizar o cálculo. Nessa atividade um aluno montou a equação corretamente, porém ao pensar que a incógnita era igual a 
zero, fez os cálculos errados, além de notar também um erro aritmético na questão, onde ele somou os termos antes de resolver a 
multiplicação, esquecendo a prioridade nas operações, (Figura 2). 
Figura 2: Erros cometidos por alunos 
Fonte: Gonçalves (2011, p. 32). 
Na quinta atividade, o objetivo era encontrar o perímetro de um retângulo com lados dados em forma de expressão. Os alunos 
novamente tiveram dificuldade de acei- tarem a resposta sem fechamento, essa questão nenhum aluno acertou (Figura 3). 
Figura 3: Erros cometidos por alunos ao não aceitarem uma expressão como resposta 
Fonte: Gonçalves (2011, p. 33). 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p�gina-inicial/unidade-3
https://getfireshot.com
Podemos observar na Figura 3 que o aluno chegou a encontrar a resposta correta, mas pela dificuldade de aceitar a resposta como 
expressão, continuou o cálculo de maneira errônea. 
Em uma última atividade, utilizando sequência de figura, a grande maioria dos alunos apresentaram muita dificuldade, deixando as 
questões em branco. Nessa atividade a autora afirma que foi possível observar que é grande a dificuldade dos alunos em trabalhar 
com questões abstratas. Ela conclui: 
... quando veem a figura ou a desenham para ter algo concreto para raciocinar, conseguem resolvê-la, caso 
contrário, ficam perdidos sem conseguir desenvolver a generalização da atividade, onde deveriam montar 
uma fórmula pelo modo convencional para resolver o problema (GONÇALVES, 2011, p. 36). 
Podemos observar que os alunos apresentam grande dificuldades em transformara linguagem corrente em algébrica, até mesmo 
quando são apresentado fatos cotidianos. Em sua pesquisa Gonçalves (2011) chega a conclusão de que entre as principais 
dificuldades no aprendizado da álgebra estão a não aceitação das questões sem fechamento, dificuldades em interpretar e 
simbolizar matematicamente os conteúdos algébricos através da resolução de problemas e manipulação algébrica. Um outro fator 
que ela relata é que os alunos ainda possuem muitas dificuldades no desenvolvimento do pensamento algébrico, pois não 
conseguem trabalhar com o abstrato e com generalizações. 
Em pesquisa realizada por Schneider (2013), ele apresenta as dificuldades citadas pelos alunos dividida em três frentes principais: 
1. Uso de letras representando valores desconhecidos ou mistura de letras com números; 
2. Dificuldade em matemática básica: equação de 1° grau, sinais, multiplicação, divisão, números negativos, decimais, radiciação, 
entre outras operações básicas estudadas em anos anteriores; 
3. Falta de interesse, essa foi a dificuldade mais citada pelos alunos. Os alunos citaram falta de interesse, falta de atenção nas 
aulas, falta de esforço, como fatores que remetem a dificuldade no processo de ensino-aprendizagem. 
O autor aponta ainda que alguns alunos citaram o tipo de explicação do professor como gerador de dificuldades, dificuldade de 
memorização, e ainda, a vergonha de perguntar quando surgem dúvidas. 
Schneider (2013) conclui que apesar das dificuldades próprias à álgebra, é fundamental o papel do professor na função de 
mediador da aprendizagem, no que diz respeito a forma de apresentar o conteúdo, de forma que traga motivação ao aluno em 
estudar, prestar atenção nas aulas. O autor ainda diz: 
Cabe à escola disponibilizar as ferramentas necessárias para que o professor possa exercer seu papel de 
mediador por meio de estrutura física e material. E cabe, ainda, ao aluno estar aberto ao professor e ao 
conteúdo, pois não haverá aprendizagem se cada um dos três indivíduos não cumprir seu papel 
(SCHNEIDER, 2013, p. 17). 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p�gina-inicial/unidade-3
https://getfireshot.com
PRINCIPAIS ERROS COMETIDOS PELOS 
ALUNOS 
De acordo com Robayna et al. (1996, apud ZANETTE, 2009), o professor conhecer os erros cometidos pelos alunos que se iniciam 
em álgebra é importante porque, dessa forma, saberemos como eles interpretam os problemas e como utilizam os diferen- tes 
procedimentos algébricos. Além de possivelmente identificar as dificuldades dos alunos no aprendizado da álgebra. 
Ainda segundo Robayna et al . (1996, apud Zanette 2009), alguns erros ocorrem devido o uso inadequado de alguma fórmula tirada 
de algum texto ou livro e apli- cada incorretamente em uma situação diferente. Os autores ainda enumeram cinco tipos de erro, 
que para eles, são fatores importantes, pois levam o aluno a usar uma fórmula de forma incorreta, e são: Erros relativos ao mau uso 
da propriedade dis- tributiva, mau uso dos recíprocos, erros de cancelamento, erros gerados pela falsa generalização de números e 
uso de métodos informais por parte dos estudantes. 
Mau uso da propriedade distributiva 
Usar a propriedade distributiva de forma inapropriada pode gerar pelo menos três tipos de erros, o mais comum é quando o aluno 
não considera o parênteses e faz a distribuição apenas no primeiro termo. 
x (y + z) = xy + z 
Os autores ainda chamam a atenção para o caso dos alunos não consegui- rem aplicar a propriedade distributiva pela direita: 
(y + z) x = ? 
É comum encontrarmos também erros do tipo: 
√(x + y)=√x + √y (x + y)2 = x2 + y2 
x (y . z)=(x . y) . (x . z) 
Robayna et al . (1996, apud Zanette 2009) ainda salientam a importância da explicação aos alunos para quais operações a 
propriedade distributiva é válida. 
Erros relativos ao uso dos recíprocos 
Segundo Robayna et al . (1996, apud Zanette 2009) os erros aqui mostra- dos, são consequência dos erros cometidos na aritmética: 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p�gina-inicial/unidade-3
https://getfireshot.com
Erros devido a falsas generalizações dos números 
Os autores (apud ZANETTE, 2009, p. 26) dizem: “A necessidade de generalizar os números na álgebra surge com muitíssima 
frequência, pois permite formular uma regra geral a partir de um problema-exemplo com os números essenciais”. 
O exemplo a seguir mostra tal generalização na resolução rápida de problemas: 
(x - 2) (x - 5) = 0 ⇒(x - 2) = 0 ou (x - 5) = 0 ⇒ x = 2 ou x = 5 
Os alunos não tendo consciência de que o que torna a generalização pos- sível ser o zero, acabam cometendo erros como: 
(x - a) (x - b) = k ⇒ (x - a) = k ou (x - b) =k ⇒ x = a+ k ou x=b + k 
O uso de métodos informais por parte dos estudantes 
Quando a resolução do problema se mostra simples, muitos alunos tendem a não resolver utilizando métodos apresentados em 
sala de aula, e sim métodos próprios que acreditam ser mais rápidos ou fáceis. Porém, esses métodos informais, quando o 
enunciado do exercício torna-se um pouco mais elaborado, acabam deixando margens para o aluno cometer erros. 
Como o exemplo apresentado por Robayna et al . (1996, apud ZANETTE, 2009) 
... um aluno para encontrar o número total de elementos nos conjuntos de 27 e 30 elementos não usa a 
noção de soma, representada por 27 + 30, mas sim resolve o problema contando, é um pouco mais provável 
que o aluno represente por x + y elementos o número total de elementos dos conjuntos x e y elementos. 
Aqui a dificuldade está tanto na generalização do exemplo aritmético quanto na hora de escolher um 
procedimento apropriado e a sua representação em aritmética a partir de qualquer generalizar (ROBAYNA 
et al . (1996, apud ZANETTE, 2009), p. 27). 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p�gina-inicial/unidade-3
https://getfireshot.com
Marquis (1997) também aponta por meio de exemplos um conjuntos de erros comuns em álgebra: 
Entre outros erros. 
Diagnosticando os diferentes erros cometidos pelos alunos em álgebra, os professores de matemática tem uma ferramenta a mais 
para tentar entender o raciocínio que levou os alunos a cometer tais erros. Essa compreensão é importante para que os 
professores possam estabelecer procedimentos de ensino aprendizagem que leve o aluno a evitar seus equívocos conceituais e de 
procedimento algébricos. 
Principais Erros Encontrados na Resolução de Equações de 1° 
Grau 
Nas equação de primeiro grau, são encontrados grande parte dos erros de aprendizagem de álgebra. A suposição é que esses erros 
ocorrem porque é nesse tipo de igualdade que acontece o primeiro contato dos alunos com as ideias da álgebra. Ou seja, começam 
surgir abstrações, o que requer o entendimento do significado das letras, símbolos e domínio dos conceitos da aritmética. 
Em pesquisa feita por Zanette (2009) ele detectou que equívocos como 2 + x = 2x são críticos e fazem com que o aluno erre o 
resultado. O autor toma a seguinte equação como exemplo para ilustrar alguns erros cometidos pelos alunos: 
3x + 7 = 6x - 2 
Muitos alunos não têm claro os significados do símbolo de adição e subtração, devido a isso, muitos deles fazem 10x = 4x , 
juntando os termos que não são semelhantes. Podemos perceber que falta para os alunos o entendimento do significado de 
equivalência do símbolo de igualdade, o que leva-os ao erro em somar e subtrair ao mesmo tempo em membros diferentes. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p�gina-inicial/unidade-3
https://getfireshot.com
Um outro fato que o autor aponta é que é muito comum os alunos não saberem que a propriedade comutativa não é válida para 
subtração. Como no exemplo a seguir: 
3x + 7 = 2 
3x + 7 - 7 = 7 - 2 
3x = 7 - 2 
3x = 5 
Podemos perceber que os alunos 3 de forma correta ao eliminar o sete no primeiro membro, porém colocaram o sete no segundo 
membro com o sinal positivo e mudaram o sinal do 2 para negativo. Para esses alunos 7 - 2 é o mesmo que 2 - 7 com a ideia de que a 
subtraçãoé comutativa. 
Alguns outros erros graves são apontados pelo autor quando o aluno tem a necessidade de juntar termos semelhantes: 
3x - 8 = 5 - 10x 
3x + 10x = 5 + 8 
13x² = 13 
Ao realizar esse procedimento. O aluno aplica a propriedade de multiplicação de fatores de mesma base para a adição. 
Para que possamos corrigir o erro na aprendizagem a partir da fonte, é muito importante analisarmos dos erros cometidos pelos 
alunos em álgebra. 
Nesse estudo pudemos verificar que muitos erros partem da não elaboração dos diversos conceitos da aritmética e mesmo do 
desenvolvimento do pensamento algébrico. Devido a isso, os erros são revelados em questões como os diferentes significados das 
operações e seus respectivos símbolos matemáticos. 
Zanette (2009) acredita que o motivo de tantas ocorrências se deve ao fato de o aluno estar iniciando na álgebra mais abstrata, 
sem ligação com situações reais. Ele diz ainda que é predominante entre os alunos o pensamento aritmético, eles procuram sentido 
na aritmética para resolver as proposições algébricas. 
O grande desafio do docente é procurar proporcionar atividades de ensino diversificados, buscando sempre se apropriar de novos 
conceitos quanto a questão do processo no ensino da álgebra. 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p�gina-inicial/unidade-3
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p%C3%A1gina-inicial/atividades
Página inicial 
ATIVIDADES 
1. A grosso modo, a Álgebra é um dos ramos da matemática que recorre a números, letras e símbolos para generalizar as diversas 
operações aritméticas. De acordo com nossos estudos é correto afirmar que: 
I) Os PCNS dizem que o estudo da álgebra constitui um espaço bastante significativo para que o aluno desenvolva e exercite sua 
capacidade de abstração e generalização, além de lhe possibilitar a aquisição de uma poderosa ferramenta para resolver 
problemas 
II) O ensino da álgebra quase sempre é conduzido pelos livros didáticos nos quais podemos verificar uma predominância de 
exercícios para aplicação de técnicas que estimulam o desenvolvimento do pensamento algébrico. 
III) A maioria dos livros apresentam uma ligação entre os conteúdos de aritmética e álgebra que oferece ao aluno a oportunidade 
de construir conexões entre as letras e os números, proporcionando um aprendizado significativo. 
IV) No processo de Educação Matemática, os alunos tem suas primeiras experiências com a álgebra desde as series inicias do 
Ensino Fundamental, mesmo que sejam de modo informal. 
Assinale a alternativa que apresenta as afirmativas corretas: 
a) Somente as alternativas I e II estão corretas. 
b) Somente as alternativas II e III estão corretas. 
c) Somente as alternativas I e IV estão corretas. 
d) Somente as alternativas I, II e IV estão corretas. 
e) Somente as alternativas I, III e IV estão corretas 
2. Na matemática, em particular no estudo da álgebra, é muito comum que alunos cometam muitos erros. De acordo com nossos 
estudos é correto afirmar que: 
( )Para o professor identificar os erros cometidos pelos alunos não é significativo, pois não alteraria sua metodologia de ensino. 
( )É muito importante os professores conhecerem os erros cometidos pelos alunos, porque dessa forma saberão como os alunos 
interpretam os problemas e como utilizam os diferentes procedimentos algébricos. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p�gina-inicial/atividades
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p%C3%A1gina-inicial
( )Alguns erros ocorrem devido o uso inadequado de alguma fórmula tirada de algum texto ou livro e aplicada incorretamente em 
uma situação diferente. 
( )Muitos erros partem da não elaboração dos diversos conceitos da aritmética e mesmo do desenvolvimento do pensamento 
algébrico. 
A sequência correta para a resposta da questão é: 
a) F, V, F, V. 
b) F, V, V, V. 
c) F, V, F, V. 
d) V, V, F, V. 
e) V, V, F, V. 
3. Muitos estudiosos preocupados com o ensino da álgebra fazem suas pesquisas vol- tadas para essa área. De acordo com nossos 
estudos, relacione os pesquisadores com seus comentários: 
A) Socas et al (1996) 
B) Booth (1995) 
C) Ponte (2005) 
D) Gonçalves (2011) 
E) Scheider (2013) 
1) “Cabe à escola disponibilizar as ferramentas necessárias para que o professor possa exercer seu papel de mediador por meio de 
estrutura física e material. E cabe, ainda, ao aluno estar aberto ao professor e ao conteúdo, pois não haverá apren- dizagem se cada 
um dos três indivíduos não cumprir seu papel”. 
2) “...quando veem a figura ou a desenham para ter algo concreto para raciocinar, conseguem resolvê-la, caso contrário, ficam 
perdidos sem conseguir desenvol- ver a generalização da atividade, onde deveriam montar uma formula pelo modo convencional 
para resolver o problema”. 
3) “Outra dificuldade, ainda, é compreender as mudanças de significado, na Aritmética e na Álgebra, dos símbolos + e =, bem como 
das convenções adotadas; assim, em Aritmética, 23 tem um significado aditivo (20 + 3), enquanto em Álgebra 2x tem um 
significado multiplicativo (2 x X); em Aritmética 3+5 significa uma “ope- ração a fazer” (cujo resultado é 8), mas em Álgebra x+3 
representa uma unidade irredutível (enquanto não se concretizar a variável x)”. 
4) “No ensino aprendizagem da álgebra como em toda a matemática, nos encon- tramos com uma grande variedade de 
dificuldades”. 
5) “E nisso está a fonte das dificuldades. Para compreender a generalização das relações e procedimentos aritméticos é preciso 
primeiro que tais relações e pro- cedimentos sejam apreendidos dentro do contexto aritmético. Se não forem reconhecidos, ou se 
os alunos tiverem concepções erradas a respeito deles, seu desempenho em álgebra poderá ser afetado. Nesse caso, as 
dificuldades que o aluno tem em álgebra não são tanto em álgebra propriamente dita, mas de pro- blemas em aritmética que não 
foram corrigidos”. 
Assinale a alternativa que apresenta a relação correta: 
a) A – 1, B – 2, C – 3, D – 4, E – 5. 
b) A – 5, B – 1, C – 4, D – 2, D – 3. 
c) A – 1, B – 5, C – 4, D – 3, E – 2. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p�gina-inicial/atividades
https://getfireshot.com
d) A – 2, B – 3, C – 4, D – 1, E – 1. 
e) A – 4, B – 5, C – 3, D – 2, E – 1. 
Resolução das atividades 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p�gina-inicial/atividades
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p%C3%A1gina-inicial/resumo
Página inicial 
RESUMO 
Este encontro baseia-se em reflexão sobre o ensino e a aprendizagem da álgebra no Ensino Fundamental. 
A Álgebra embora seja fundamental no currículo de matemática, é uma das áreas que oferece maiores dificuldades para os 
professores e alunos. Abordamos as dificuldades e os principais erros que os alunos apresentam ao iniciarem os estudos da 
álgebra, com o intuito de corrigir os erros a partir da fonte. 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p�gina-inicial/resumo
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p%C3%A1gina-inicial/eu-indico
Página inicial 
Material Complementar 
Leitura 
O Diabo dos Números 
Autor: Hans Magnus Enzensberger 
Editora: Companhia das Letras 
Sinopse: Matemática? Aquela montanha de números sem sentido? 
Aqueles cálculos que não servem para calcular nada? Não, nem pensar. 
Robert, o menino do pijama azul, fazia parte dessa maioria que acham os 
números não só monstruosos, mas também absurdos e inúteis. Um dia, 
entretanto ele começa a sonhar com um certo Teplotaxt, um diabo que 
pinta e borda com a matemática. No total, são doze sonhos, e a cada 
sonho e tal Teplotaxl faz malabarismostão interessantes que os números 
simplesmente deixam de ser malditos. Ficam claros para Robert. Claros e 
diabolicamente divertidos. 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p�gina-inicial/eu-indico
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p%C3%A1gina-inicial/refer%C3%AAncias
Página inicial 
REFERÊNCIAS 
BOOTH, L. R. Dificuldades das crianças que se iniciam em álgebra. In: COXFORD, A. F. e SHULTE, A. P. As ideias da álgebra. São 
Paulo: Atual, 1995. 
GONÇALVES, J. A. Dificuldades dos alunos que iniciam no estudo da álgebra. Monografia. Para de Minas, MG, 2013. 
GROENWALD, C. L. O. Pensamento Aritmético e Pensamento Algébrico no Ensino Fundamental. IV EIEMAT Escola de Inverno de 
Educação Matemática. 2014. 
MARQUIS, J. Erros comuns em álgebra: In: COXFORD, A. e SHULTE, A. As ideias da Álgebra. São Paulo, Atual, 1997. 
PONTE, J. P. Álgebra no currículo escolar. Educação e Matemática. N. 85, 2005. 
PONTE, J. P.; BRANCO, N. e MATOS, A. Álgebra no Ensino Básico. DGIDC, 2009. 
SILVA, J. O Ensino da Álgebra no Ensino Fundamental: Dificuldades e Desafios. Monografia de especialização. 2013. 
SILVA, R. N. Álgebra e Aritmética no Ensino Fundamental: Um estudo de como ensiná-las de forma integrada e com base em 
significados, 2007. Disponível em: < https://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/22007/RondineleNunesdaSilva.pdf >. Acesso: 22 out 
2020. 
SCHNEIDER, A. A Aprendizagem da Álgebra nos Anos Finais do Ensino Fundamental. Monografia. Florianópolis, 2013. 
USISKIN, Z. Concepções sobre a Álgebra da escola média e utilizações das variáveis: As ideias da Álgebra. Trad. Hygino H. 
Domingues. São Paulo: Ed. Atual, 1995. 
VELOSO, D. S. e FERREIRA, A. C. Uma reflexão sobre as dificuldades dos alunos que se iniciam no estudo da álgebra. Revista da 
Educação Matemática da UPOA, vol. 1, p. 59-65, 2011. 
ZANETTE, R. G. R. Erros cometidos em álgebra por alunos do 8° e 9° anos do Ensino Fundamental. Monografia. Criciúma, SC, 2009. 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p�gina-inicial/refer�ncias
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p%C3%A1gina-inicial
https://www.google.com/url?q=https%3A%2F%2Fwww.ucb.br%2Fsites%2F100%2F103%2FTCC%2F22007%2FRondineleNunesdaSilva.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHsofyIVAoh2CMxyAFuo2yGqugE7w
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p%C3%A1gina-inicial/aprofundando
Página inicial 
APROFUNDANDO 
O trabalho foi realizado com alunos do 6° e 7° anos de três escolas distintas, com a intenção de identificar os reais motivos das 
dificuldades com relação ao ensino da álgebra. A pesquisa se realizou através de questões contendo problemas onde envolvam 
álgebra. As questões são compostas por diferentes graus de dificuldade. 
A pesquisa teve um desenvolvimento de caráter exploratório. Os questionários abertos tem como principal objetivo permitir que 
os alunos revelem e justifiquem sua própria opinião sem ter que escolher entre visão já pré-estabelecida. 
Na análise da questões foi considerado interpretação, a qual resultou conclusões que, alguns alunos utilizaram o raciocínio 
algébrico e outros não utilizaram o mesmo raciocínio. 
Tabela 1 - Resultados que os alunos obtiveram na resolução das questões propostas utilizando raciocínio algébrico versus 
raciocínio não algébrico. 
Fonte: Silva (2013, p. 28). 
De acordo com as três questões analisadas, foi constatado que alguns alunos utilizaram do raciocínio algébrico e outros não. De 
acordo com Orton e Orton (1999, apud Silva 2013) o raciocínio algébrico é um pensamento linear quando este é desenvolvido a 
partir de uma simbologia que emprega uma linha de raciocínio lógico para determinar generalizações a partir de uma determinada 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p�gina-inicial/aprofundando
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p%C3%A1gina-inicial
incógnita. 
Figura 1 – Expressões algébricas 
Fonte: arquivo da autora. 
A figura 1 apresenta um exemplo das atividades desenvolvidas durante a pesquisa contendo expressões algébricas. 
Nestas atividades avaliou-se a utilização do raciocínio algébrico, os quais perpassaram desde uma expressão algébrica simples até 
uma equação, e que foi fundamental para conhecer os processos de raciocínio dos alunos. 
Essas atividades foram muito importantes para compreender o raciocínio matemático dos alunos, bem como diagnosticar 
eventuais lacunas no desenvolvimento do raciocínio ao longo do ensino fundamental. 
Também pode ser avaliada a necessidade do estudo da álgebra e como esta tem ainda uma compreensão pouco consistente, 
conforme ressalta Panossian (2008 apud Silva 2013) numa pesquisa sobre manifestações do pensamento e da linguagem algébrica 
de estudantes, que reconhecer as manifestações do pensamento e da linguagem algébrica dos estudantes é elemento relevante a 
ser considerado pelos professores na organização do ensino da álgebra. 
Com relação à investigação desenvolvida sobre as questões do ensino, o autor (SILVA, 2013) conclui que muitos professores têm 
passado por situações nada satisfatórias nesse processo. Ele ressalta ainda que em muitos casos os professores não recebem apoio 
da direção ou coordenação das escolas para minimizar tais problemas. Não basta somente o professor faze a sua parte, mas cada 
um deve contribuir para que as transformações ocorram. 
Dessa forma, a resposta a respeito dessa problemática está embasada no argumento de que o ensino-aprendizagem da álgebra 
deva contribuir de forma relevante para a formação cultural, social e intelectual dos nossos alunos do Ensino Fundamental. 
Esperamos que a Matemática enquanto ciência da educação possa solucionar os diversos problemas oriundos nestas dificuldades. 
O autor ainda sugere que os professores possam se apropriar de novos conceitos quanto a questão do processo no ensino da 
álgebra, diagnosticando o aluno como todo, e sobretudo valorizando a participação e criatividade dos alunos na dala de aula, 
priorizando a cidadania e a inclusão social. 
Fonte: Silva (2013). 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p�gina-inicial/aprofundando
https://getfireshot.com
REFERÊNCIAS 
SILVA, J. O Ensino da Álgebra no Ensino Fundamental: Dificuldades e Desafios. Monografia de especialização. 2013 
PARABÉNS! 
Você aprofundou ainda mais seus estudos! 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p�gina-inicial/aprofundando
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p%C3%A1gina-inicial/editorial
Página inicial 
EDITORIAL 
DIREÇÃO UNICESUMAR 
Reitor Wilson de Matos Silva 
Vice-Reitor Wilson de Matos Silva Filho 
Pró-Reitor de Administração Wilson de Matos Silva Filho 
Pró-Reitor Executivo de EAD William Victor Kendrick de Matos Silva 
Presidente da Mantenedora Cláudio Ferdinandi 
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ . Núcleo de Educação 
a Distância; TAMURA , Camila Hiromi. 
Tópicos Especiais em Álgebra . Camila Hiromi Tamura. 
Maringá-Pr.: UniCesumar, 2017. 
33 p. 
“Pós-graduação Universo - EaD”. 
1. Álgebra. 2. Matemática. 3. EaD. I. Título. 
CDD - 22 ed. 510 
CIP - NBR 12899 - AACR/2 
Pró Reitoria de Ensino EAD Unicesumar 
Diretoria de Design Educacional 
Equipe Produção de Materiais 
Fotos : Shutterstock 
NEAD - Núcleo de Educação a Distância 
Av. Guedner, 1610, Bloco 4 - Jardim Aclimação - Cep 87050-900 
Maringá - Paraná | unicesumar.edu.br | 0800 600 6360 
Retornar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p�gina-inicial/editorial
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p%C3%A1gina-inicialhttps://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea3/p%C3%A1gina-inicial
Página inicial 
O USO DE MATERIAIS 
DIDÁTICOS 
MANIPULÁVEIS NO 
ENSINO DE ÁLGEBRA 
Professora : Me. Camila Hiromi Tamura. 
Objetivos de aprendizagem 
Apresentar conceitos de materiais didáticos manipuláveis, tais como a opinião de pesquisadores sobre o uso dos mesmos. 
Apresentar exemplos de materiais didáticos que podem ser utilizados em sala de aula. 
Apresentar o material Algeplan, bem como o seu uso. 
Apresentar um breve estudos sobre equações e inequações. 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/view/postea4/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/view/postea4/p%C3%A1gina-inicial
Plano de estudo 
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: 
Material Didático. 
Utilizando Materiais Didáticos Manipuláveis. 
Algeplan. 
Equações e Inequações 
Introdução 
Nos últimos séculos muitos educadores famosos ressaltaram a importância do apoio visual ou do visual-tátil como facilitador para 
a aprendizagem. Como por exemplo, por volta de 1650, Comenius escreveu que o ensino deveria dar-se do concreto ao abstrato. 
Em 1680 Locke dizia da necessidade da experiência sensível para alcançar o conhecimento. Rousseau, cerca de 1780 recomendou 
a experiência direta sobre objetos, visando a aprendizagem. Em 1800 Pestalozzi e Froebel também afirmam que o ensino deveria 
começar pelo concreto, na mesma época, Herbart defendeu que a aprendizagem começa pelo campo sensorial. Poincaré 
aconselhava o uso de imagens vivas para clarear verdades matemáticas. Mais recentemente, Montessori nos deixou muitos 
exemplos de matérias didáticos e atividades de ensino que valoriza a aprendizagem através dos sentidos. Vygotsky e Bruner 
concordam que as experiências no mundo real formam o caminho para a criança construir seu raciocínio. 
Acredita-se que o uso de materiais manipuláveis produz uma maior clareza na aprendizagem dos alunos, de todas as idades e 
níveis de escolaridade. A introdução dos conceitos matemáticos utilizando materiais manipuláveis, pode trazer mais interesse nos 
alunos, fazendo com que a matemática se torne mais intensa e viva, e que suas ideias abstratas apresentem mais significado 
através das experiências com objetos reais. 
Enfim, não nos resta dúvidas de como os materiais didáticos manipuláveis nos ajudam como facilitadores da aprendizagem. 
Mesmo diante das inúmeras vantagens, os professores precisam ter consciência de que os materiais são apenas um elemento 
auxiliar e um recurso metodológico nas aulas de matemática, ou seja, a eficácia depende muito de como o professor mediar os 
processos de ensino e aprendizagem na construção do conhecimento matemático. 
Avançar 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/view/postea4/p%C3%A1gina-inicial/unidade-4
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial
https://getfireshot.com
Página inicial 
MATERIAL DIDÁTICO 
Caro(a) aluno(a) segundo Lorenzato (2012), qualquer instrumento útil no processo de ensino-aprendizagem é considerado 
material didático (MD). Portanto, MD pode ser um giz, uma calculadora, um filme, um livro, um quebra-cabeça um jogo, uma 
embalagem, uma transparência, entre muitos outros. 
Os MD podem desempenhar várias funções, conforme o objetivo que se quer alcançar. De acordo com Lorenzato (2012) o 
professor deve analisar para qual objetivo ele deseja usar o MD, como por exemplo: apresentar um assunto, motivar o aluno, 
auxiliar na memorização de resultados, facilitar a redescoberta, etc. 
Mesmo diante de inúmeras vantagens, o MD é apenas um meio de auxiliar o ensino, de alternativa metodológica à disposição do 
professor e do aluno. E sua eficácia depende de como o professor irá mediar os processos de ensino e aprendizagem na construção 
do conhecimento matemático. Lorenzato (2012, p. 18) reforça: “O MD não é garantia de um bom ensino, nem de uma 
aprendizagem significativa e não substitui o professor. 
Segundo Reys (1996, apud CAMACHO, 2012) os objetos ou coisas que o aluno é capaz de sentir, tocar, manipular e movimentar, 
são considerados materiais manipuláveis. Podendo ser objetos reais que têm aplicação no dia-a-dia, ou objetos que são usados 
para representar uma ideia. 
De acordo com Camacho (2012) a utilização de materiais manipuláveis é um recurso fundamental para a aprendizagem da 
matemática, uma vez que estes são matérias didáticos que ajudam no desenvolvimento da iniciativa e autonomia, permitindo que 
o aluno alcance uma maior sensibilidade, na construção de conceitos, verificando uma melhoria significativa na compreensão dos 
conteúdos matemáticos. 
Matos e Serrazina (1996, apud CAVALCANTE et al.) apontam como vantagens para o uso de materiais manipuláveis: 
A possibilidade de o aluno estabelecer relações com a Matemática; 
A interação com o material permite ao aluno momentos de meditação, busca por respostas, formulação de soluções e novos 
questionamentos; 
Um objeto pode ser utilizado para introduzir um conceito ou uma noção, servindo como ponto de apoio para as interferências 
por parte do professor; 
A manipulação sobre estes materiais podem ajudar os alunos na percepção de seus atributos e no teste de algumas 
propriedades; 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/unidade-4
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/view/postea4/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/view/postea4/p%C3%A1gina-inicial
Os materiais manipuláveis adaptam casos mais próximos da realidade, permitindo uma melhor compreensão dos problemas e 
facilitando a procura de soluções. 
Dessa forma, é importante salientar que a utilização de materiais didáticos e matérias didáticos manipuláveis permitirá um maior 
desenvolvimento do aluno na sua própria aprendizagem, potencializando o desenvolvimento de diversas capacidades e atitudes, 
bem como a compreensão dos conceitos e das ideias matemáticas. 
De acordo com Serrazina (1990 apud LORENZATO, 2012) ao fazer uma análise na utilização do material didático no ensino da 
matemática, ele observa que é necessário ter um cuidado especial quando se pretende fazer uso desse recurso, e que nesse 
aspecto o professor tem um papel fundamental. Devido a isso, deve-se investir para que a formação de professores de matemática 
contemple essas questões. 
Fiorentini e Miorim (1990) afirmam que devemos refletir sobre a proposta político- pedagógica, sobre o papel histórico da escola, 
sobre o tipo de sociedade que queremos, sobre o tipo de aluno que queremos formar, sobre qual matemática acreditamos ser 
importante para esse aluno, antes de optarmos por um material ou jogo. 
Ao aluno deve ser dado o direito de aprender. Não um “aprender” repetitivo, mecânico, em que se faz sem saber o porquê e o que 
se faz. Mas um aprender significativo, onde o aluno participe raciocinando, compreendendo, reelaborando o saber historicamente 
produzido e superando, dessa fora, sua visão fragmentada e parcial da realidade, e o material manipulável ou os jogos podem ser 
fundamentais para que isso ocorra. 
Fiorentini e Miorim, acreditam que durante a construção de um material, o aluno tem a oportunidade de aprender matemática de 
uma forma mais efetiva. 
Em especial na álgebra, são encontradas dificuldades relativas à linguagem algébrica, em situações de resoluções de problemas, 
como em cálculos algébricos, realizados quando falta a compreensão dos alunos aos conceitos associados. 
Há muitas discussões em relação a utilização de matérias manipuláveis. Em muitos livros didáticos atuais, encontramos o incentivo 
da sua utilização, o que vem sendo incorporado pelos professores, mas ainda encontramos muitos que desvalorizam seu uso. 
E qual a sua opinião sobre o uso de materiais manipuláveis para auxiliar na compreensãode conceitos da 
álgebra? 
De acordo com Nogueira (2005, apud Ferreira e Nogueira, 2009) ao optar pela utilização de materiais didáticos manipuláveis o 
professor pode ter o propósitos diferentes, entre eles, de facilitar a compreensão de um determinado conceito, ou para motivar os 
alunos em problemas que exigem conhecimentos avançados. O professor sempre deve ter em mente que o aluno não construirá o 
conhecimento matemático apenas manipulando os objetos/jogos. Cabe ao professor encaminhar o aluno a observar os aspectos 
do material que sejam relevantes para a construção do conceito em questão. Antes de apresentar o material deve-se explorar 
todas as possibilidades, para que não ocorram surpresas e para evitar também que o material seja utilizado apenas como um 
brinquedo. 
Ferreira e Nogueira (2009) afirmam que levando em consideração a natureza abstrata do conceitos da álgebra, os professores 
precisar elaborar muito bem suas ações, a passagem das ações concretas para a abstratas deve ser cuidadosamente preparada e 
não pode deixar de ser adequada. E para que as atividades de elaboração de conhecimento não se transforme em uma aula 
expositiva e mecanizada, essas ações precisam ser dosadas. Para verificar que o aluno está realizando as abstrações necessárias e 
esperadas, a observação pelo professor deve ser constante. 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/unidade-4
https://getfireshot.com
UTILIZANDO MATERIAIS DIDÁTICOS 
MANIPULÁVEIS 
Aqui apresentaremos alguns exemplos de atividades que podem ser aplicadas em sala de aula utilizando matérias didáticos 
manipuláveis. 
Acreditamos que essas atividades, além de auxiliar como facilitador no processo de ensino e aprendizagem da álgebra, contribuem 
para a formação social e intelectual e, ainda exerce um papel importante no desenvolvimento de habilidade de percepção, atenção 
e socialização. 
Utilizando o Jogo “Pega Vareta” 
Aqui vamos utilizar o “pega vareta” como instrumento de auxilio pedagógico na introdução da álgebra, onde os alunos já devem 
apresentar conhecimento prévios sobre polinômios. 
Esse jogo é composto por 25 varetas distribuídas em cinco cores diferentes: 1 preta, 6 amarelas, 6 azuis, 6 verdes e 6 vermelhas, 
conforme na figura 1. 
Figura 1: Jogo pega vareta. 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/unidade-4
https://getfireshot.com
Cada cor de vareta representa uma incógnita correspondente como mostrado na tabela 1 e, 
consequentemente representará uma expressão algébrica. 
Tabela 1: Tabela de incógnitas correspondentes a cada cor. 
Fonte: a autora. 
Devem ser formados grupos de 3 a 5 pessoas. As varetas são lançados como no jogo tradicional. Um jogar por vez deverá tentar 
pegar as varetas sem mexer nas outras, conforme for conseguindo continua pegando as varetas. Ao terminar a sua jogada, deverá 
fazer as anotações numa tabela. Como apresentado no exemplo a seguir: 
Supondo que o jogador 1 tenha pegado 1 vareta amarela, 3 azuis, 2 verdes e 2 vermelhas. Deverá preencher a tabela 2 da seguinte 
forma: 
Tabela 2: Tabela que corresponde a quantidade de varetas pegas pelo jogar 1 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/unidade-4
https://getfireshot.com
Fonte: a autora. 
Assim, o jogador 1 terá formado a expressão algébrica 1y + 3z + 2w + 2t. 
Após todos os jogadores terem formado a sua expressão algébrica, vamos para o segundo passo do jogo, descobrir quem será o 
vencedor. 
Para isso devemos construir uma outra tabela (tabela 3) para os valores numéricos correspondentes a cada cor: 
Tabela 3: Tabela de valores correspondentes a cada cor 
Fonte: a autora. 
Vence o jogador que obter a maior pontuação. Utilizando o exemplo do jogador 1, ele obteve 1 . 5 + 3 . 3 + 2 . 2 + 2 . (1) = 3 + 9 + 2 - 
2 = 12 pontos. 
Cavalcante (2015), destaca que através desse jogo os alunos desenvolveram competências e habilidades em relação à introdução 
do estudo da álgebra, ampliando os conhecimentos sobre adição algébrica de polinômios e valor numérico. Além de contribuir para 
a aprendizagem do conteúdo e, ainda proporcionar o avanço da coordenação motora e o equilíbrio emocional. 
Brincando com a Álgebra 
A proposta aqui é ensinar as operações algébricas “brincando”, ou seja, de uma maneira mais descontraída, através de um jogo 
denominado “brincando com a álgebra”. 
A construção do material é feita de forma simples e rápida. Serão necessários formas de pizza, 4 tipos de graõs/sementes 
diferentes e tintas de cores diferentes. Os alunos devem desenhar (conforme figura 2) nas formas de pizza, quatro círculos 
inscritos, que serão chamados de faixas circulares, destacando com sinais positivos e negativos alternados. Pintar as faixas de 
cores diferentes. 
Figura 2: Jogo brincando com a álgebra 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/unidade-4
https://getfireshot.com
Fonte: Tamaributi (youtube, online). 
A atividade pode ser desenvolvida em grupo de quatro pessoas, em duas pessoas, ou até mesmo individualmente. O jogo consiste 
em jogar as sementes, como por exemplo milho, feijão, arroz e pipoca no centro da forma. Cada semente representa uma incógnita 
como mostrado na Tabela 4. 
Tabela 4: Tabela de incógnitas correspondentes a cada semente. 
Fonte: a autora. 
É necessário jogar quatro rodadas, uma para cada semente. O Jogo é da seguinte forma: 
1. Jogando com as sementes de milho, o primeiro jogador joga as sementes do milho no centro da forma, a distribuição nas faixas 
positivas ou negativas determinam a construção da expressão algébrica. 
O aluno joga uma quantidade de milho na forma, os quais vão cair nas faixas, a quantidade de milho que cair em cada faixa equivale 
a quantidade de ganhos ou perdas, dependendo do sinal ser positivo ou negativo. Por exemplo: 
O jogador 1 jogou 5 sementes de milho, 3 caíram em faixas positivas e 2 em faixas negativas, então esse jogador obteve três 
ganhos +3x e duas perdas 
-2x, o que resulta em +3x - 2x = +1x. 
Após todos os jogadores terem jogado o milho, começa outra rodada juntamente com o feijão. Lembrando que o feijão representa 
a incógnita “y”. 
2. O primeiro jogador joga as sementes de milho e as de feijão na forma. Como na rodada anterior, a distribuição nas faixas 
determina a construção das expressões, porém agora com duas variáveis. Por exemplo: 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/unidade-4
https://getfireshot.com
O jogador joga 5 sementes de milho e 5 sementes de feijão, destas 4 sementes de milho caíram na faixa positiva e 1 na negativa, 2 
feijões caíram na faixa positiva e 3 na faixa negativa. Assim ele obteve +4x, -1x, +2y e -3y, o que resulta na expressão +4x - 1x +2y - 
3y = 3x - 1y. 
E dessa forma o jogo segue sucessivamente, aumentando os tipos de semente, ou seja, aumentando a quantidade de variáveis. Na 
medida que os alunos vão dominando as operações das expressões com monômios, binômios, são acrescentados mais sementes 
diferentes até atingirem as operações com polinômios. 
Utilizando Material Concreto para Resolução de Equações do 1° 
Grau 
Aqui apresentaremos um método de resolução de equações do primeiro grau com o uso de material concreto, produzido pelos 
próprios alunos, encontrado no trabalho de Pinheiro (2013). Foram produzidos: 
20 cartões azuis em formato quadrado que valem uma unidade positiva (+1). 
20 cartões vermelhos em formato quadrado que valem um unidade negativa (-1). 
10 cartões azuis com um lado curvo que valem uma unidade incógnita positiva (+x). 
10 cartões vermelhos com um lado curvo que valem uma unidade incógnita negativa (-x). 
1 barra preta com o comprimento igual a largura da mesa para representar a igualdade(=). 
Como apresentados cada cartão tem um valor, vamos construir uma equação por meio desses cartões, como por exemplo, a 
expressão -5+x=4-2x pode ser representado por meio de cartões como mostrado na Figura 3. 
Figura 3: Representação da resolução 
Fonte: Pinheiro (2013, p. 47).Na sequência para obtermos a resolução da equação, devemos realizar as operações com os cartões, acrescentar quantidades 
iguais do mesmo cartão em ambos os lados da barra, eliminar pares de opostos (+1 e - 1, + x e - x) toda vez que aparecerem no 
mesmo lado, dividir em quantidades iguais a quantidade de cartões de cada lado, assim por diante. 
Utilizando o exemplo da equação acima, a resolução passo a passo é dado a seguir: 
1. Somar 2x, Figura 4 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/unidade-4
https://getfireshot.com
Figura 4: Representação da resolução – passo 1 
Fonte: Pinheiro (2013, p. 48). 
2. Eliminar os pares opostos (+x e –x), Figura 5 
Figura 5: Representação da resolução – passo 2 
Fonte: Pinheiro (2013, p. 48). 
3. Somar 5 unidades (+5) Figura 6 
Figura 6: Representação da resolução – passo 3 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/unidade-4
https://getfireshot.com
Fonte: Pinheiro (2013, p. 48). 
4. Eliminar pares opostos (+1 e -1) Figura 7 
Figura 7: Representação da resolução – passo 4 
Fonte: Pinheiro (2013, p. 49). 
5. Dividir por 3 Figura 8 
Figura 8: Representação da resolução – passo 5 
Fonte: Pinheiro (2013, p. 49). 
Assim a solução da equação é 1 cartão azul com o lado curvo igual 3 cartões azuis quadrados, ou seja, em linguagem algébrica a 
solução da equação é x=3. 
Pinheiro (2013) diz que observando o desenvolvimento dessa atividade em sala de aula, notou que a maior parte dos alunos 
compreendeu bem o procedimento e realizou a atividade sem dificuldade. 
Esse tipo de atividade desenvolve a compreensão da igualdade e da realização de operações inversas na resolução de equações. 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/unidade-4
https://getfireshot.com
Acreditamos que o uso de atividades matemática recreativa ajuda a criança a desenvolver o raciocínio 
lógico, estimular o pensamento crítico, a criatividade e a capacidade de resolver problemas. Adivinhações 
matemáticas e de jogos educacionais constituem recursos potenciais para se atingir este objetivo. O jogo, 
por exemplo, cria um ambiente favorável â participação dos alunos em situações didáticas envolvendo o 
conteúdo ensino pelo simples prazer de jogar. 
Fonte: Mattos, Oliveira e Rezende (2015). 
Para saber mais, acesse: < http://www.ufjf.br/emem/files/2015/10/ATIVIDADES-L%C3%9ADICAS-PARA- 
O-ENSINO-DE-ARITM%C3%89TICA-E-%C3%81LGEBRA.pdf > 
ALGEPLAN 
O Algeplan é um material didático composto por 40 peças que relaciona figuras geométricas (quadrados e retângulos), (Figura 9) 
dos seguintes tipos: 
Quadrados: 4 quadrados de lados x, onde cada um terá área x2 e perímetro 4x (amarelo); 4 quadrados de lados y (y < x) com 
área y2 e perímetro 4y (azul) e 12 quadrados menores de lado 1, a unidade, área 1 e perímetro 4 (vermelho). 
Retangulos: 4 de lados x e y, de área xy e perímetro 2(x+y) (rosa), 8 de lados x e 1, área x e perímetro 2(x+1) (branco) e 8 de 
lados y e 1, área y e perímetro 2(y+1) (roxo). 
O material Algeplan pode ser encontrado em lojas especializadas ou pode ser confeccionado em cartolina, papel cartão, EVA, como 
acharem melhor. 
Figura 9: Peças do Algeplan 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/unidade-4
https://getfireshot.com
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.ufjf.br%2Femem%2Ffiles%2F2015%2F10%2FATIVIDADES-L%25C3%259ADICAS-PARA-O-ENSINO-DE-ARITM%25C3%2589TICA-E-%25C3%2581LGEBRA.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNEBEy6yBAbYnbQMql72iGab5yFMCA
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.ufjf.br%2Femem%2Ffiles%2F2015%2F10%2FATIVIDADES-L%25C3%259ADICAS-PARA-O-ENSINO-DE-ARITM%25C3%2589TICA-E-%25C3%2581LGEBRA.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNEBEy6yBAbYnbQMql72iGab5yFMCA
Fonte: Rosa et al. (2006). 
As peças podem também ser construídas em duas cores distintas, uma representando os termos positivos e a outra termos 
negativos. Aqui as negativas estão representadas pela cor cinza. 
O objetivo principal do uso do Algeplan, é relacionar as figuras geométricas (quadrados e retângulos) com expressões algébricas, 
auxiliando como um material de apoio ao ensino de expressões algébricas, monômios, polinômios e fatoração de trinômios de 
segundo grau (Rosa et al. 2006). 
Agora apresentaremos algumas modelagens do uso de Algeplan: 
Modelagens das expressões algébricas: Modelagem da expressão algébricas com as diferentes peças, 2x2 = y0 + 2xy + 3 é 
representado: 
Figura 10: Representação da expressão 2x = y + 2xy + 3 2 2 
Fonte: Rosa et al. (2006). 
Adição, subtração e simplificação: Modelagem da expressão (x + 2x - 4) + (-3x + 2). Primeiro foi feito a modelagem da 2 
expressão (x + 2x - 4) e (-3x+ 2), observando que as peças cinzas representam quantidades opostas e efetuando o 2 
“cancelamento”, obtemos x - x - 2. 2 
Figura 11: Representação da expressão (x + 2x - 4) + (-3x + 2) 2 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/unidade-4
https://getfireshot.com
Fonte: Rosa et al. (2006). 
Multiplicação: Inicialmente será apresentado uma modelagem das representações dos produtos de acordo com as regras de 
sinais. Por exemplo: 
Figura 12: Representação de produtos de acordo com regras de sinais. 
Fonte: Rosa et al. (2006). 
A partir daí, apresentaremos a situação 2y (2x + 3) = 4xy + 6y: 
Figura 13: Representação do produto 2y (2x + 3) = 4xy + 6y. 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/unidade-4
https://getfireshot.com
Fonte: Rosa et al. (2006) 
Agora o caso (x - 1)) x + 1)=x - 1: 2 
Figura 14: Representação do produto (x - 1)) x + 1) = x -1 2 
Fonte: Rosa et al. (2006). 
Fatoração: Aqui o objetivo é levar o aluno a perceber as propriedades que permitem fatorar um trinômio do segundo grau ax + 2 
bx + c em uma expressão do tipo (ax + p) (x + q),com p e q inteiros. Para realizarmos a fatoração, se estabelece o seguinte: Um 
trinômio do 2° grau da forma ax + bx + c , com a , b e c inteiros e a > 0, pode ser fatorado se, e somente se, for possível formar um 2 
“retângulo” com as peças que o representam (Nesse caso pode ser usado os pares de peças que se cancelam). As dimensões do 
retângulo formado representam os fatores do trinômio. Aqui usaremos apenas as peças x , x e 1 e seus opostos. 2 
Figura 15: Peças utilizadas na fatoração 
Fonte: Rosa et al. (2006). 
Figura 16: Fatoração do trinômio x + 3x + 2 2 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/unidade-4
https://getfireshot.com
Fonte: Rosa et al. (2006). 
Dessa forma, x + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2). 2 
Exemplo 2: Fatorando o trinômio x + 6x - 7. Foi utilizado uma peça x , seis peças x e sete peças -1. Podemos observar que não é 2 2 
possível formar um retângulo com essas peças, porém é possível notar que os espaços têm tamanhos das peças x. Devido a isso 
utilizaremos outras duas peças com tamanho x, entretando elas devem ser possíveis de cancelar, para não alterar o resultado. Logo 
usaremos uma peça x e outra –x. 
Figura 17: Fatoração do trinômio x + 6x - 7 2 
Fonte: Rosa et al. (2006). 
Nesse caso obtemos x + 6x - 7 = (x - 1) (x + 7). 2 
Exemplo 3: Fatorando 2x + 8x + 6. Utilizamos duas peças x , oito peças x e seis peças 1. 2 2 
Figura 18: Fatoração do trinômio 2x + 8x + 6 2 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/unidade-4
https://getfireshot.com
Fonte: Rosa et al. (2006). 
Por fim obtemos 2x2 + 8x + 6 = (x + 3) (2x + 2). 
Rosa et al. (2006) conclui que quando o material manipulável Algeplan é utilizado auxiliando o aprendizado de expressões 
algébricas, os alunos mostraram-se mais criativos, e motivados, apresentando uma familiarização maior com a teoria. 
De acordo com Franke et al.(2015), o uso do Algeplan auxilia no desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos. Para os 
autores o fato de desenvolverem atividades com apelo visual do recurso, ajudaram-nos a compreender os conceitos algébricos. 
Bertoli e Schuhmacher (2013) dizem que o Algeplan serve de auxílio para o professor, tornando as aulas mais atraentes, e 
enriquece a construção do conhecimento. Osautores ainda afimaram que o Algeplan é um excelente recurso didático se for bem 
explorado, trará resultados positivos, fazendo também que os alunos apresentem mais interesse pela matemática. Eles ainda 
dizem que não basta utilizar o Algeplan, cabe ao professor saber utilizar-se se seu conhecimento científico, fazendo as mediações 
corretas, com erros e acertos, contudo com entusiasmo e seriedade. Os docentes estão encarregados de relacionar a teoria com a 
prática, dando oportunidade aos 
A educação está em nossas mãos enquanto docentes precisamos nos preocupar com uma formação que 
seja um processo desenvolvido plenamente, respeitando individualidades, culturas, contextos e 
conhecimentos prévios de nossos estudantes. A pesquisa e atualização precisam ser continuas e é uma das 
mais eficazes fórmulas de ensino-aprendizagem, pois quem acredita na transformação não esmorece na 
primeira derrota, mas é nela que encontra forças para continuar o caminho que levará à realização dos 
objetivos almejados (BERTOLI E SCHUHMACHER, 2013, p. 14). 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/unidade-4
https://getfireshot.com
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES 
Definir o que é uma “equação” de um modo correto para os alunos do ensino básico não é uma tarefa fácil. De acordo com Ponte et 
al. (2009), o primeiro passo da escrita de expressões de ser: 
Essas expressões decorrem de forma natural no trabalho com números e operações, e o professor pode fazer referência a ela 
simplesmente dizendo que são equações. Ou ainda, dizer que equação é uma igualdade como a indicada, onde existe um valor 
desconhecido. 
Ainda de acordo com os autores, uma maneira de promover o uso de linguagem simbólica é através de resoluções simples, como: 
Aqui o objetivo é que os alunos consigam entender o significado das operações que nela surgem, bem como suas operações 
inversas. 
De acordo com Ponte et al (2009), a uma certa altura essas expressões passarão a ser escritas usando letras para designar 
a“incógnita”, termo que pode aparecer de forma natural no trabalho na sala de aula. Os autores ainda dizem que possivelmente 
alguns alunos sugiram que em vez de 1 +____ = 9 se escreva 1 + x = 9. Caso essa sugestão não surja espontaneamente da parte dos 
alunos, cabe ao professor estabelecer o momento certo para introduzir a linguagem algébrica aos seus alunos. 
Após essa fase, os alunos já devem compreender que uma equação envolve uma igualdade entre duas expressões, onde alguns 
valores são desconhecidos. 
Agora estudaremos de forma breve métodos de resolução de equações de 1° e 2° grau, afim de proporcionar ao aluno uma 
compreensão mais elevada. 
Equação do 1°Grau 
Uma equação do 1° grau (primeiro grau) é uma igualdade entre expressões, que as transformam em uma identidade numérica. Por 
exemplo: 
x + 4 = 9 
Essa equação se torna uma identidade tomando x = 5 ⇒ 9 = 9, ou seja, temos uma identidade. 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/unidade-4
https://getfireshot.com
O termo x na equação, é denominada incógnita ou variável da equação, e no caso de equações de primeiro grau, a incógnita tem 
expoente 1, e o número 5 é chamado de solução da equação, conjunto verdade ou raiz. 
Nas equações temos que o que vem antes da igualdade é chamado de primeiro membro e o que vem depois da igualdade 
chamando de segundo membro. 
2x + 3 = 4x - 1 
1° membro 2° membro 
Além disso, cada parcela a ser somada, subtraída, multiplicada ou dividida em uma equação é chamada de termo. No exemplo 
acima, os termos dessa equação são: 2x, 3, 4x e 1. 
Na resolução de equações do 1° grau, um passo importante é o domínio das regras práticas de resolução de equações, baseados 
nos princípios básicos de equivalência. Porém antes da utilização dessas regras, é importante os alunos começarem a resolução 
pelas equações simples, envolvendo no máximo duas operações, como: 
4x + 4 = 28 10 = 5 + 5x 
4 - 3x = 10 40 = 25 - 3x 
E a partir daí, os alunos vão começando a compreender as regras de resolução de equações. 
O princípio de equivalência que indica que podemos substituir uma expressão dada por outra expressão equivalente, em muitos 
casos, deixou de ser enunciado, porém está é uma ideia algébrica fundamental que os alunos precisam compreender para ter 
sucesso na sua aprendizagem. Para auxiliar a compreensão do aluno nos procedimentos de resolução de equações, vamos associar 
a uma equação uma antiga balança de dois pratos em equilíbrio. 
O exemplo da Figura 19 mostra que mesmo trocando os pratos de lados, a balança continua equilibrada, o que mostra aos alunos 
que trocando os membros da equação o igualdade continua, ou seja, 5x - 4 = 3x + 2 é o mesmo que 3x + 2 = 5x - 4. 
Figura 19: Balança trocando os pratos 
Fonte: Slideplayer (online). 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/unidade-4
https://getfireshot.com
Um outro exemplo utilizando a balança é que não se altera a relação de igualdade se uma mesma operação for realizada em ambas 
as equações, Como mostrado na Figura 2, dividindo ambos os lados da equação 10x + 300 = 500 por 10, obteremos a equação x + 
30 = 50. 
Figura 20: Balança realizando operações em ambos os lados 
Fonte: Imenes e Lellis (2010, p. 90). 
Facilitando a resolução da equações. O uso da balança facilita a compreensão da operação de eliminar os mesmo termo de ambos 
membros, e também a operação de multiplicar ou dividir ambos os membros pelo mesmo número positivo. Porém demos ter a 
atenção de que muitos alunos nunca viram uma balança de dois pratos, e não tem um entendimento do seu funcionamento. Dessa 
forma, a aprendizagem dos alunos depende muito de como este material é usado, e cabe ao professor conduzir esse aprendizado. 
Equação do 2° Grau 
Uma equação do 2° grau (segundo grau) com uma incógnita é da forma 
ax + bx + c = 0 2 
onde a, b, c ∈ R e a ≠ 0, com a coeficiente de x , b coeficiente de x e c coeficiente do termo independente. 2 
De acordo com Ponte (2009), o estudo das equações de 2° grau com uma incógnita, começa com as equações incompletas, ou seja, 
quando o b = 0 ou c = 0, que podem ser resolvidas de maneira simples por transformações algébrica. Como por exemplo: 
x - 6 = 0, x - 3x = 0 2 2 
Na equação x2 - 6 = 0 é preciso ter a atenção de que possui duas soluções, uma positiva e outra negativa: 
x - 6 = 0 ⇔ x = 6 ⇔ x = ±√6. 2 2 
No caso da equação x² - 3x = 0, o processo de resolução consiste em colocar um fator em evidencia: 
x - 3x = 0 ⇔ x (x - 3) = 0 2 
Utilizando o fato de que o produto de dois números só será zero quando pelo menos um dos números for zero, temos: 
x (x - 3) = 0 ⇔ x = 0 ou x - 3 = 0 ⇔ x = 0 ou x = 3. 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/unidade-4
https://getfireshot.com
No entanto para uma equação geral onde todos os coeficientes são diferentes de 0, temos um processo que nos permite resolver 
qualquer equação do 2° grau, denominada fórmula de Bhaskara. 
Como todos nós sabemos, dada por: 
Alguns livros adotam a fórmula de Bhaskara como: 
Onde Δ = b - 4ac. 2 
Temos que nem toda equação do 2° grau é possível, ou seja, possui raízes. Analisando o sinal do binômio b² - 4ac (Δ) podemos 
reconhecer se a equação é possível ou impossível, e se possível, se tem uma ou duas raízes distintas: 
b ² - 4ac < 0, a equação é impossível, isto é, não tem raízes reais; 
b ² - 4ac = 0, a equação é possível e tem apenas uma raiz; 
b ² - 4ac > 0, a equação é possível e tem duas raízes distintas. 
Imenes e Lellis (2010) também aconselham a começar o estudo de equações do 2° grau apresentando uma equação que possa ser 
resolvida facilmente, como x² - 6 = 0, uma equação que possa ser resolvida colocando a incógnita em evidencia, como x² - 3x = 0, 
apresentar uma equação do 2° grau que possa ser resolvido fatorando o trinômio quadrado perfeito, como x² - 4x + 4 = 0. 
Para muitos alunos apenas utilizar uma fórmula pronta sem explicar como se chegou a ela traz um desconforto, segundo Imenese 
Lellis (2010) é aconselhável apresentar a dedução da fórmula posteriormente, quando os alunos estiverem mais familiarizados 
com o uso da equação e assim mais “experientes”. 
Os autores ainda enfatizam que os alunos provavelmente não serão capazes de reproduzir os cálculos e raciocínios da 
demonstração, porem o objetivo não é esse mesmo, mas sim o de mostrar que fatos e fórmulas matemáticas não veem do acaso e 
nem são regras impostas, eles sempre têm uma razão de ser, uma justificativa. Basta que os alunos adquiram uma leve noção sobre 
a origem das fórmulas e os raciocínios que conduzem a elas, mesmo que as ideias não fiquem inteiramente claras, os alunos terão a 
ideia de que a matemática é lógica e resulta de habilidades de desenvolver raciocínios e argumentações. 
Casos em que se é possível encontrar 2 raízes reais, podemos observar algumas relações. 
As raízes de uma equação do 2 ° grau são determinadas a partir das relações 
Com base nessas informações chegamos às expressões que determinam a soma e o produto das raízes. 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/unidade-4
https://getfireshot.com
Com a utilização dessas expressões podemos determinar as raízes de algumas equações do 2° grau sem 
aplicar a fórmula de Bhaskara. 
Para saber mais, acesse: < http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/soma-produto-das-raizes- 
uma-equacao-2-grau.htm >. 
Inequações do 1° Grau 
De acordo com Ponte et al. (2009), para compreender o conceito de inequação e a natureza do seu conjunto-solução, os alunos 
devem começar a resolver inequações simples, reconhecendo a equivalência entre x < y e y < x. 
As inequações a princípio devem ter apenas um passo, como por exemplo, analisando a desigualdade x + 3 < 7 podemos afirmar 
que essa desigualdade é válida para valores de x como 0, -1, 3, ou seja, apenas se x < 3. 
Ponte et al. (2009) diz que essas inequações como do exemplo devem ser resolvidas sem utilização de regras, e os alunos devem 
representar o conjunto-solução na reta real, sob a forma de intervalo, observando que este conjunto é infinito e muitas vezes 
ilimitado. Nesse caso, é fundamental que os alunos compreendam os intervalos como subconjunto de R. 
Para a resolução de inequações mais complexas, introduzem-se então as regras de resolução. É importante verificar que as regras 
para a resolução de inequações não se alteram em relação às regras conhecidas para as equações (transposição de termos e 
multiplicação de ambos os membros por um mesmo número positivo), e são diferentes quando utilizamos a multiplicação de 
ambos os membros por um mesmo número negativo. 
Ponte et al (2009, p.156), diz que a razão desta dessa diferença deve ser analisada pelos alunos, tendo por base desigualdades 
numéricas: “- O que acontece quando multiplico ambos os membros da desigualdade 2 < 3 por 4? E por -4? –O que acontece 
quando multiplico ambos os membros da desigualdade 20 > 10, por 2? E por -2”. 
A resolução de inequações baseia-se na noção de desigualdade, proporcionando aos alunos um tipo de raciocínio muito diferente 
do que usa na resolução de equações. O conjunto solução como dito, é muitas vezes infinito e ilimitado e trabalhamos com 
frequência com a conjunção e disjunção de condições em conjuntos infinitos. 
Ponte et al. (2009) aponta que as dificuldades comuns dos alunos na resolução de inequações está associado a: 
i. Não compreender o que é uma inaquação e qual a natureza do seu conjunto-solução; 
ii. Aplicar indevidamente as regras de resolução das equações. Multiplicando ambos os membros por um número negativo sem 
inverter a desigualdade; 
iii. Estabelecer incorretamente a interseção e reunião de conjuntos-solução em situações de conjunção e disjunção de condições. 
Os autores ainda defendem que o uso de representações geométricas desempenha um papel positivo na aprendizagem dos alunos, 
uma vez que os ajuda a compreender melhor o que é uma inequação e a natureza do seu conjunto-solução. 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/unidade-4
https://getfireshot.com
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fmundoeducacao.bol.uol.com.br%2Fmatematica%2Fsoma-produto-das-raizes-uma-equacao-2-grau.htm&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNGjZ5RwXnTcUL0fbO07VUDRFx4Chg
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fmundoeducacao.bol.uol.com.br%2Fmatematica%2Fsoma-produto-das-raizes-uma-equacao-2-grau.htm&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNGjZ5RwXnTcUL0fbO07VUDRFx4Chg
https://sites.google.com/view/postea4/p%C3%A1gina-inicial/atividades
Página inicial 
ATIVIDADES 
1. Muitos são os estudiosos que pesquisam a respeito dos materiais didáticos manipuláveis. Matos e Serrazina (1996) apontam 
alguns pontos sobre o uso desses materiais. Sobre a opinião desses autores, assinale a questão INCORRETA. 
a) A utilização do material possibilita o aluno a estabelecer relações com a matemática. 
b) A interação com o material permite ao aluno momentos de meditação, busca por respostas, formulação de soluções e novos 
questionamentos. 
c) Qualquer objeto pode ser utilizado para introduzir um conceito ou uma noção. 
d) A Manipulação sobre estes matérias podem ajudar os alunos na percepção de seus atributos e no teste de algumas 
propriedades. 
e) Os materiais manipuláveis adaptam casos mais próximos da realidade. 
2. Entre muitos materiais manipuláveis temos um denominado “brincando com a álgebra”. De acordo com esse material e nossos 
estudos, coloco V para verdadeiro e F para falso. 
( ) O objetivo do material é ensinar as operações algébricas 
( ) O objetivo do material é auxiliar a resolução de equações do 2° grau. 
( ) O objetivo do material é auxiliar a resolução de inequações. 
( ) O material auxilia nas operações com monômios, binômios, até polinômios. 
( ) A construção do material manipulável é feita de forma simples e rápida. 
A sequência correta para a resposta da questão é: 
a) V, F, V, F, V. 
b) V, V, F, V, F. 
c) V, F, V, F, F. 
d) F, V, V, V, F. 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/atividades
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/view/postea4/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/view/postea4/p%C3%A1gina-inicial
e) V, F, F, V, V. 
3. Uma equação é uma expressão algébrica munida de uma igualdade. Já a inequação é uma expressão que possui propriedade de 
expressar desigualdades. De acordo com nossos estudos é correto afirmar que: 
I) Uma equação do primeiro grau é da forma ax + b = c, onde o x é a incógnita. 
II) Uma equação do segundo grau é da forma ax² + bx + c = 0, com a,b e c valores quaisquer pertencentes ao reais. 
III) A equação do segundo grau x² + 2x – 3 = 0, possui duas raízes reais. 
IV) Dada a inequação 3x + 1 < 4x – 3. Se multiplicarmos ambos os membros por -1, obteremos -3x – 1 > -4x + 3. 
Assinale a alternativa que apresenta as afirmativas corretas: 
a) Somente as alternativas I e II estão corretas. 
b) Somente as alternativas I e III estão corretas. 
c) Somente as alternativas I, II e III estão corretas. 
d) Somente as alternativas I, III e IV estão corretas 
e) Todas as alternativas estão corretas. 
Resolução das atividades 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/atividades
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/view/postea4/p%C3%A1gina-inicial/resumo
Página inicial 
RESUMO 
Neste estudo apresentamos um pouco sobre os materiais didáticos manipuláveis, as opiniões de pesquisadores como Fiorentini e 
Miorin, Lorenzato, Nogueira entre outros, a respeito do seu uso. 
Apresentamos alguns exemplos de materiais manipuláveis que podem ser usados em sala de aula para auxiliar na compreensão de 
conceitos da álgebra. 
Através desse trabalho, pretende-se dar um auxílio aos docentes da área da matemática, para que possam utilizar os materiais 
didáticos manipuláveis no ensino de equações do primeiro grau, polinômios, fatoração, utilizando jogos como pega vareta, 
brincando com a álgebra, Algeplan.Por final apresentamos as equação e inequações bem como métodos de resolução. 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/resumo
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/view/postea4/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/view/postea4/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/view/postea4/p%C3%A1gina-inicial/eu-indico
Página inicial 
Material Complementar 
Leitura 
O laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores 
Autor: Sergio Lorenzato 
Editora: Autores associados 
Sinopse : Avanços tecnológicos sempre desafiam professores a 
conceberem novos caminhos para a educação; de modo análogo, 
diferentes concepções de ensino e de aprendizagem podem originar 
diferentes concepções de laboratórios de ensino de matemática (LEM). 
Esse livro apresenta muitas questões referentes ao LEM, mostra o 
insubstituível papel que este pode desempenhar no ensino e na 
aprendizagem da matemática. 
Leitura 
Quebra-Cabeças, Truques e Jogos com Palitos de Fósforo 
Autor: Gilbert Obermair 
Editora: Ediouro 
Sinopse: Há quebra-cabeças geométricos para os gênios da matemática, 
jogos de palavras para os literetos, e problemas para as cabeças lógicas de 
todas as idades. 
Você pode reciclar o fósforo usado. Ele tem dezenas de utilidades 
divertidas que podem ser aprendidas com esse livro. Exemplo: De 19 
palitos tire um para que sobrem 20. É só o começo. 
Na Web 
Um vídeo que explica como utilizar o material manipulável Brincando 
com a álgebra. 
Acesse 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/eu-indico
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/view/postea4/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/view/postea4/p%C3%A1gina-inicial
https://www.youtube.com/watch?v=139CkqAivCQ&t=180s
https://sites.google.com/view/postea4/p%C3%A1gina-inicial/refer%C3%AAncias
Página inicial 
REFERÊNCIAS 
BERTOLI, V. e SCHUHMACHER, E. Aprendendo polinômios utilizando o Algeplan: uma pratica no Ensino da Matemática para o 
Ensino Fundamental. VI Congresso Internacional de Ensino da Matemática. Canoas, RS. 2013. 
CAMACHO, M. S. F.P. Materiais Manipuláveis no Processo Ensino/Aprendizagem da Matemática. Dissertação de Mestrado. 
Universidade da Madeira, 2012. 
CAVALCANTE, M. T. M.; MANGUEIRA, R. T. S. e SANTOS, J. J. C. O uso dos materiais didáticos manipuláveis no ensino de álgebra 
como forma de estímulo à aprendizagem.2015. Disponível em: 
< http://www.editorarealize.com.br/revistas/conedu/trabalhos/TRABALHO_EV045_MD1_SA8_ID809_06092015225325.pdf >. 
Acesso em 22 out 2020. 
FERREIRA, L. L. A. e NOGUEIRA, C. M. I. O desenvolvimento da linguagem algébrica e sua compreensão por meio da álgebra 
geométrica. X EPREM. 2009. 
FIORENTINI, D. MIORIM, M. A.. Uma reflexão sobre o uso de materiais concretos e jogos no ensino da matemática. São Paulo. 
Boletim da SBEM. N. 7.1990, 
FRANKE, D. L.; CARNELOSSO, E. M.; NIEMEYER, J.; KIEFER, J. G.; IORA, M.; MARIANI, R. C. P. e FERREIRA, I. F. O algeplan como 
um recurso didático para ensinar e aprender expressões algébricas de coeficientes inteiros. Lages, SC. 2015. 
IMENES, L. M. e LELLIS, M. Matemática, Guia do professor, 8° ano. Ed. Moderna, 2010. 
LORENZATO, S. O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. 3 ed. Campinas, SP. Autores associados, 
2012. (Coleção formação de professores). 
PINHEIRO, P. A. Introdução ao Estudo da Álgebra no Ensino Fundamental. Dissertação de mestrado. 
Universidade Federal de São Carlos. São Carlos, 2013. 
ROSA, R. A.; DIAS, F. M.; MEDEIROS, L. T. e FANTI, E. L. C. O Algeplan como um recurso didático na 
exploração de expressões algébricas e fatoração. III Bienal da SBM – IME/UFG, 2006. 
SILVA, Marcos Noé Pedro da. Soma e Produto das Raízes de uma Equação do 2o grau. Mundo Educação. Disponível em: 
< http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/soma-produto-das-raizes-uma-equacao-2-grau.htm >. Acesso em 22 out 
2020. 
SLIDEPLAYER. Uma balança está com os pratos em equilíbrio. Disponível em: 
http://slideplayer.com.br/slide/358603/2/images/2/1 ).+Uma+balan%C3%A7a+est%C3%A1+com+os+pratos+em+equil%C3%AD 
brio.+O.jpg. Acesso em 22 out 2020. 
TAMARIBUTI, C. V. N. Brincando com a Álgebra na Matemática. XXIII Semana Acadêmica da Matemática. Disponível em: 
< http://projetos.unioeste.br/cursos/cascavel/matematica/xxiiisam/ artigos/15.pdf>. Acesso em 22 out 2020. 
TAMARIBUTI, Cleidi. Untitled 37.avi Brincando com a Álgebra na Matemática. Publicado em 14/04/2010. Youtube. Disponível em: 
< https://www.youtube.com/watch?v=139CkqAivCQ >. Acesso em 22 out 2020. 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/refer�ncias
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/view/postea4/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/view/postea4/p%C3%A1gina-inicial
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.editorarealize.com.br%2Frevistas%2Fconedu%2Ftrabalhos%2FTRABALHO_EV045_MD1_SA8_ID809_06092015225325.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHsGIdwdtYfPoEiQFpMixwUUr3lig
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fmundoeducacao.bol.uol.com.br%2Fmatematica%2Fsoma-produto-das-raizes-uma-equacao-2-grau.htm&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNGjZ5RwXnTcUL0fbO07VUDRFx4Chg
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fslideplayer.com.br%2Fslide%2F358603%2F2%2Fimages%2F2%2F1&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHwoAM220F4PwgLWNIIGXiQKWEBwg
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fprojetos.unioeste.br%2Fcursos%2Fcascavel%2Fmatematica%2Fxxiiisam%2F&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHfrTpcctWjgA0FkQK8ba2Gsw9IwA
https://www.youtube.com/watch?v=139CkqAivCQ
https://sites.google.com/view/postea4/p%C3%A1gina-inicial/aprofundando
Página inicial 
APROFUNDANDO 
De onde veio a fórmula de Bhaskara? 
Os historiadores encontraram indícios de que na civilização da Babilônia, por volta de 1700 a.C., já eram resolvidas algumas 
equações e 2° grau. Depois dessa época remota, parece ter sido Al-Khowarizmi, matemático de língua árabe do século IX, o maior 
especialista no assunto. Ele viveu em Bagdá e é considerado um dos criadores da Álgebra. Em um dos seus livros, Al-Khowariszmi 
apresentou exemplos de como resolver equações de 2° grau. O interessante é que ele não usava fórmulas nem símbolos 
algébricos; trabalhava apenas com palavras e figuras! Se você resolver a equação x² + 10x – 39 = 0 usando a fórmula, encontrará, 
além de x = 3, a solução x = -13. Al-Kho- warizmi, porém, nem cogitava que a equação pudesse ter uma solução negativa, uma vez 
que ele raciocinava com quantidades positivas, isto é, áreas e medidas de lado de figuras. 
Entre os séculos XVI e XVII, quando os matemáticos já sabiam calcular com letras, somar monômios e polinômios e fatorar, eles 
obtive- ram a fórmula de Bhaskara seguindo as idéias de Al-Khowrizmi. 
Para chegar à fórmula, buscamos resolver esta equação: ax2 + bx + c = 0, que transformamos em ax² + bx = - c. Assim como Al- 
Khowa- rizmi tentava associar ax² + bx com um quadrado, nós tentaremos a partir dessa expressão, obter um trinômio quadrado 
perfeito. Isso é feito efetuando uma mesma operação dos dois lados da equação. 
ax ² +bx=-c 
Multiplicando ambos os membros por 4a 
4a ² x ² +4abx=-4ac 
Observando a expressão 4a2 x2+4abx, o que falta para ser um trinômio quadrado perfeito? Vamos somar ambos os membros por 
b2. 
4a ² x ² +4abx+b ² =b ² -4ac 
Agora do lado esquerdo dessa igualdade temos um trinômio quadrado perfeito. Fatorando-o, obtemos: 
(2ax+b)2=b2-4ac 
Se o número b2-4ac é negativo, não conseguimos extrair sua raiz, e já sabemos o porquê. Supondo, então, que b2-4ac é positivo, 
temos dois números ( um positivo outro negativo) que, elevados ao quadrado, resultem b2-4ac. Por isso escrevemos: 
2ax+b=± √b ² -4ac 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/aprofundando
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/view/postea4/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/view/postea4/p%C3%A1gina-inicial
No caso em que b2-4ac é nulo, a formulanos dá um único resultado. Pode-se dizer então que a equação tem uma só solução, mas o 
costume é dizer que são duas soluções iguais. 
Repare que a fórmula leva o nome de Bhaskara, matemático indiano do século XII, e usamos apenas ideias de Al-Khowarizmi e de 
matemáticos europeus do século XVI. Bhaskara não poderia ter deduzido a fórmula, porque ele não trabalhava ainda com letras. 
Por que, então, associa-se seu nome a fórmula? 
Talvez porque, segundo se crê, ele tenha sido o primeiro a indicar que a equação deveria ter duas soluções, reconhecendo que há 
dois 
números que elevados ao quadrado resultam em um quadrado perfeito. Isso teria sido um passo adiante em relação a Al- 
Khowarizmi. 
Fonte: Imenes e Lellis (2010). 
REFERÊNCIAS 
IMENES, L. M. e LELLIS, M. Matemática, Guia do professor, 8° ano. Ed. Moderna, 2010. 
PARABÉNS! 
Você aprofundou ainda mais seus estudos! 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/aprofundando
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/view/postea4/p%C3%A1gina-inicial/editorial
Página inicial 
EDITORIAL 
DIREÇÃO UNICESUMAR 
Reitor Wilson de Matos Silva 
Vice-Reitor Wilson de Matos Silva Filho 
Pró-Reitor de Administração Wilson de Matos Silva Filho 
Pró-Reitor Executivo de EAD William Victor Kendrick de Matos Silva 
Presidente da Mantenedora Cláudio Ferdinandi 
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ . Núcleo de Educação 
a Distância; TAMURA , Camila Hiromi. 
Tópicos Especiais em Álgebra . Camila Hiromi Tamura. 
Maringá-Pr.: UniCesumar, 2017. 
41 p. 
“Pós-graduação Universo - EaD”. 
1. Álgebra. 2. Matemática. 3. EaD. I. Título. 
CDD - 22 ed. 510 
CIP - NBR 12899 - AACR/2 
Pró Reitoria de Ensino EAD Unicesumar 
Diretoria de Design Educacional 
Equipe Produção de Materiais 
Fotos : Shutterstock 
NEAD - Núcleo de Educação a Distância 
Av. Guedner, 1610, Bloco 4 - Jardim Aclimação - Cep 87050-900 
Maringá - Paraná | unicesumar.edu.br | 0800 600 6360 
Retornar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/view/postea4/p�gina-inicial/editorial
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/view/postea4/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/view/postea4/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/view/postea4/p%C3%A1gina-inicial