1 - Vetores Força

Prévia do material em texto

MECÂNICA GERAL 
Vetores Força
Prof. Samuell Aquino Holanda
Definição de Mecânica
Mecânica é o ramo das ciências físicas que trata do estado de repouso ou
movimento de corpos sujeitos à ação de forças, sendo subdividida em:
• Mecânica dos Corpos Rígidos;
• Mecânica dos Corpos Deformáveis;
• Mecânica dos Fluidos.
Definição de Mecânica
Mecânica dos Corpos Rígidos:
Estática
Dinâmica
A Estática trata do equilíbrio dos corpos.
Um corpo em equilíbrio encontra-se em repouso ou em movimento
retilíneo uniforme.
Conceitos Fundamentais - Grandezas Básicas
• Sistema Internacional e Sistema Usual Americano.
SI AMERICANO
Comprimento Metro (m) Pé (ft) / Polegada (in)
Massa Quilograma (kg) Slug
Força Newton (N) Libras (lb)
Grandezas Básicas
• Fator de Conversão
AMERICANO SI
Comprimento 1 pé = 0,3048 m
1 polegada = 0,0254 m
Massa 1 slug = 14,5938 kg
Força 1 lb = 4,4482 N
Prefixos
Grandezas Básicas
• Grandezas Escalares
• Grandezas Vetoriais
Força Posição Momento
Temperatura Massa Tempo Potência
Idealizações
As Idealizações são formas simplificadas de representar fenômenos físicos. 
As idealizações comumente empregadas na Estática são:
Possui massa, mas suas dimensões são 
desprezíveis;
Corpo Rígido: 
Força Concentrada: 
Partícula ou Ponto Material: 
Efeito de uma carga atuando em um único ponto
do corpo.
Combinação de um grande número de partículas, que
permanecem a mesma distância entre si antes e depois
da aplicação de uma força.
Forças, vetores e operações vetoriais
Como são representadas as grandezas físicas?
Escalar: Possui magnitude. 
Exemplos: Massa, Volume, Comprimento.
Regra de Adição: Aritmética Simples.
Vetorial: Possui intensidade, direção e sentido. 
Exemplos: Força, Posição, Velocidade.
Regra de Adição: Lei do Paralelogramo.
Representação: A ou A
Um vetor é representado graficamente por um flecha, ou seta, usada para definir sua
intensidade direção e sentido. A intensidade do vetor é o comprimento da flecha, a direção é
definida pelo ângulo entre o eixo de referência e a linha de ação da flecha e o sentido é
indicado pela ponta da flecha.
Representação Gráfica de um Vetor
Lei do paralelogramo: Duas forças ‘componentes’, F1 e F2 se somam conforme a lei do
paralelogramo, dando uma força resultante FR que forma a diagonal do
paralelogramo, que na impossibilidade de utilizar métodos gráficos apropriados, pode
ser calculada pela lei dos cossenos ou lei dos senos.
Adição de Forças
Adição de Forças
𝜽
𝜶
𝜷
𝑭𝑹 = 𝑭𝟏
𝟐 + 𝑭𝟐
𝟐 − 𝟐𝑭𝟏𝑭𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜽
Lei dos cossenos:
Adição de Forças
𝑭𝟏 = 𝑭𝑹
𝟐 + 𝑭𝟐
𝟐 − 𝟐𝑭𝑹𝑭𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜷
𝑭𝟐 = 𝑭𝑹
𝟐 + 𝑭𝟏
𝟐 − 𝟐𝑭𝑹𝑭𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝜶
Lei dos senos:
𝑭𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝜶
=
𝑭𝑹
𝐬𝐢𝐧 𝜽
=
𝑭𝟏
𝐬𝐢𝐧 𝜷
Adição de Forças
𝜶
𝜷
A= 𝑩𝟐 + 𝑪𝟐 − 𝟐𝑭𝟏𝑭𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟗𝟎°
Lei dos cossenos:
A= 𝑩𝟐 + 𝑪𝟐 (Teorema de Pitágoras)
Lei dos senos:
𝑪
𝐬𝐢𝐧 𝜶
=
𝑨
𝐬𝐢𝐧 𝟗𝟎°
=
𝑩
𝐬𝐢𝐧 𝜷
𝑪 = 𝑨 𝐬𝐢𝐧 𝜶
𝑩 = 𝑨 𝐬𝐢𝐧 𝜷
A Lei do Paralelogramo e a trigonometria podem ser utilizadas também para
encontrar as componentes de um vetor em eixos quaisquer.
Decomposição de Forças
EXEMPLO 
1
Determine a magnitude da força
resultante e sua direção medida
no sentido anti-horário a partir da
força resultante até o eixo positivo
de x.
EXEMPLO 2
A figura ao lado apresenta um sistema de barras que suporta uma
caixa que pesa 1000 lb. Decomponha essa força em suas
componentes ao longo das barras AP e BP.
PBP = 1931,85 lb
PAP = 2732,05 lb
EXEMPLO 2
EXEMPLO 2
EXEMPLO 3
A intensidade da resultante da
ação das forças ilustradas na
figura é de 500 N e ela está
direcionada sobre o eixo Y no
sentido positivo.
Determine a magnitude da
força F e o ângulo θ.
Quando é necessário obter a resultante de
mais de duas forças, é mais simples,
determinar os componentes de todas as
forças em relação à eixos específicos,
somar algebricamente esses componentes
e depois gerar a resultante, em vez de
aplicar sucessivamente a lei do
paralelogramo.
Adição em um Sistema de Forças
Duas ou mais forças que atuam sobre o mesmo ponto são chamadas de forças
concorrentes. Elas não precisam ter a mesma direção, simplesmente atuam
sobre o mesmo ponto. Se possuírem a mesma direção, serão forças colineares.
Duas forças colineares não precisam ser concorrentes, elas podem ter
diferentes pontos de aplicação ao longo da mesma linha de ação.
Duas ou mais forças cujos vetores estão no mesmo plano são chamadas de
forças coplanares.
Sistemas de Forças
x
y
P
Q
R x
y
P
Q
R
Tipos de Sistema de Forças
x
y
P
Q
R
x
y
z
R
P
Q
No caso em que os dois vetores A e B têm a mesma linha de ação, a lei do
paralelogramo reduz-se a uma adição algébrica convencional, uma soma de escalar R
= A+B.
SISTEMA DE FORÇAS COLINEARES
Adição em um Sistema de Forças
• Adição de um Sistema de Forças Coplanares (2D);
• Adição de um Sistema de Forças Não Coplanares (3D);
Adição em um Sistema de Forças
Adição de um sistema de forças coplanares
Quando uma força é decomposta em duas
componente ao longo dos eixo x e y, as
componentes são, então chamadas de
componentes retangulares.
Podemos representar essas componentes usando a
notação escalar ou a notação vetorial cartesiana.
Adição de um sistema de forças coplanares
Também é possível representar os componentes x e y de uma força em termos
de vetores cartesianos unitários i e j. Eles são vetores unitários porque possuem
intensidade adimensional 1, logo, são usados para designar as direções x e y.
Notação Vetorial
𝑭 = 𝐹𝑋 Ԧ𝒊 + 𝐹𝑌 Ԧ𝒋
Resultantes de forças coplanares
O vetor resultante é, portanto,
Adição de um sistema de forças coplanares
INTENSIDADE
DIREÇÃO
Resultantes de forças coplanares
Adição de um sistema de forças coplanares
Adição de um sistema de forças coplanares
As componentes retangulares da força F são determinadas usando a lei do
paralelogramo. Uma vez que o triângulo de forças formado por F e suas
componentes, FX e FY, é um triângulo retângulo, a intensidade das componentes
pode ser determinada através das relações trigonométricas válidas para triângulos
retângulos.
Notação Escalar
sin 𝜃 =
𝑐𝑜
ℎ
→ sin 𝜃 =
𝐹𝑌
𝐹
→ 𝐹𝑌 = 𝐹 sin 𝜃
cos 𝜃 =
𝑐𝑎
ℎ
→ cos 𝜃 =
𝐹𝑋
𝐹
→ 𝐹𝑋 = 𝐹 cos 𝜃
Adição de um sistema de forças coplanares
Em vez de usar o ângulo θ, a direção de F pode ser definida por um pequeno
triângulo de inclinação, como ilustra a figura.
Como esse triângulo e o triângulo maior sombreado são semelhantes o
comprimento proporcional dos lados fornece, a intensidade das componentes.
Notação Escalar
𝐹𝑋
𝐹
=
𝑎
𝑐
→ 𝐹𝑋 = 𝐹.
𝑎
𝑐
𝐹𝑌
𝐹
=
𝑏
𝑐
→ 𝐹𝑌 = 𝐹.
𝑏
𝑐
EXEMPLO 5
Um pequeno poste AB tem um
parafuso olhal atarraxado em
seu topo. Três cabos amarrados
ao parafuso aplicam as forças
mostradas.
(a) Determine a força resultante
aplicada no parafuso pelos três
cabos, utilizando a
representação vetorial
cartesiana.
EXEMPLO 5
(b) O fabricante do parafuso especifica uma carga de funcionamento máxima de 9300 N na
direção do eixo do parafuso. Quando as cargas não estiverem na direção do eixo, o
fabricante especifica uma redução na carga de funcionamento utilizando os multiplicadores
mostrados abaixo. Determine se o tamanho deste parafuso é satisfatório para a carga
encontrada anteriormente.
Em três dimensões, o conjunto de vetores unitários i, j e k é usado para designar as
direções x, y e z, respectivamente.
VETORES CARTESIANOS UNITÁRIOS
Adição em um Sistema de Forças Tridimensionais
𝐀 = 𝐀𝐗 + 𝐀𝐘 + 𝐀𝐙 𝐀 = 𝐴𝑋𝐢 + 𝐴𝑌𝐣 + 𝐴𝑍𝐤
Adição em um Sistema de Forças Tridimensionais
𝐀 = 𝑨𝑿² + 𝑨𝒀² + 𝑨𝒁²
INTENSIDADE
DIREÇÃO
?
Adição em um Sistema de Forças Tridimensionais
A orientação de A é definida pelos ângulos
diretores coordenados α, β e γ. Medidos entre
a origem de A e os eixos positivos x, y e z, a
partir da origem de A.
Adição em um Sistema de Forças Tridimensionais
α
β
γ
Adição em um Sistema de Forças Tridimensionaishttps://ggbm.at/pje3TjeJhttp://gg.gg/decomposi-oESPA-O-PLANO-EIXO
http://gg.gg/angulosdiretores
http://gg.gg/decomposi-oESPA-O-PLANO-EIXO _ X
http://gg.gg/angulosdiretores _ X
https://ggbm.at/pje3TjeJ _ X
Ângulos Diretores 
http://gg.gg/decomposi-oESPA-O-PLANO-EIXO
http://gg.gg/angulosdiretores
https://ggbm.at/pje3TjeJ
Adição em um Sistema de Forças Tridimensionais
𝐀 = 𝑨𝑿² + 𝑨𝒀² + 𝑨𝒁²
INTENSIDADE
DIREÇÃO (cossenos diretores)
Adição em um Sistema de Forças Tridimensionais
(cosα)² + (cos𝛽)² + (cos𝛾)² = 1
EXEMPLO 6 
Expresse cada força na forma vetorial cartesiana e determine os ângulos diretores de cada
uma.
F1 = {53.1i - 44.5j + 40k} lb
a1 = 48.4°
b1 = 124°
g1 = 60°
F2 = {-130k} lb
a2 = 90°
b2 = 90°
g2 = 180°
EXEMPLO 7
Expresse cada força na forma vetorial cartesiana e determine a intensidade e os ângulos
diretores coordenados da força resultante.
FR = 430 N
a = 28.9°
b = 67.3°
g = 107°
O vetor posição é importante na
formulação de um vetor força
cartesiano orientado entre dois
pontos quaisquer no espaço.
Mais adiante, vamos usá-lo para
determinar o momento de uma
força.
Vetor Posição
O vetor posição r é definido como um vetor fixo que localiza um ponto do espaço em relação
a outro. Por exemplo, se r se estende da origem das coordenadas O, até um ponto P(x,y,z),
então r pode ser escrito na forma de vetor cartesiano como:
𝐫 = x𝐢 + y𝐣 + z𝐤
Vetor Posição
O vetor posição orientado de A para B, denominado, rAB, é definido como:
𝐫𝑨𝑩 = (𝑋𝐵 − 𝑋𝐴)𝐢 + (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴)𝐣 + (𝑍𝐵 − 𝑍𝐴)𝐤
Vetor Posição
EXEMPLO 8
Determine a distância entre os pontos A e B.
Frequentemente, nos problemas de estática tridimensional, a direção de uma força é
definida por dois pontos pelos quais passa sua linha de ação.
Uma força pode ser representada através do vetor
unitário (que indica a orientação da força) e da
intensidade da força.
Para tanto, é necessário:
a) Determinar o vetor posição rAB a partir de dois
pontos da linha;
b) Determinar o vetor unitário que descreve a
direção da linha: uAB = rAB /rAB ;
c) Multiplicar o vetor unitário pela intensidade da
força: F = F.uAB
Vetor Força Orientado ao Longo de uma Reta
𝐀 = 𝐴𝑋𝐢 + 𝐴𝑌𝐣 + 𝐴𝑍𝐤 𝐀 = Acosα𝐢 + Acos𝛽𝐣 + Acos𝛾𝐤 𝐀 = A(cosα𝐢 + cos𝛽𝐣 + cos𝛾𝐤)
𝒖𝒂 = (cosα𝐢 + cos𝛽𝐣 + cos𝛾𝐤)
|𝒖𝒂| = 1
(cosα)² + (cos𝛽)² + (cos𝛾)² = 1
𝒖𝒂 = (
𝐴𝑥
𝐴
𝐢 +
𝐴𝑦
𝐴
𝐣 +
𝐴𝑧
𝐴
𝐤)
Vetor Unitário 
EXEMPLO 9
(a) Represente cada uma das forças como um vetor
cartesiano.
(b) Determine a intensidade e a direção da força
resultante que age no ponto A.