CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS

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INTEGRAIS TRIPLAS 
 
 
1. 
 
 
Marque a alternativa que apresenta a 
integral ∭V e(x2+y2)3/2dV∭� �(�2+�2)3/2�� em coordenadas cilíndricas, 
onde V é o sólido limitado inferiormente pelo cone z2 =x2+y2�2 =�2+�2 e 
superiormente pelo paraboloide z =4−x2−y2� =4−�2−�2 
 
 
2π∫04∫04−x2−y2∫√ x2+y2 eρ2 dzdρdθ∫02�∫04∫�2+�24−�2−�2 ��2 ����
�� 
 
 
2π∫02∫04−x2−y2∫√ x2+y2 ρ3 dzdρdθ∫02�∫02∫�2+�24−�2−�2 �3 �����
� 
 
 
2π∫02∫04−x2−y2∫√ x2+y2 ρ2eρ3 senθ dzdρdθ∫02�∫02∫�2+�24−�2−�2 �2��3
 ���� ������ 
 
 
π∫01∫04−x2−y2∫√ x2+y2 ρeρ3 dzdρdθ∫0�∫01∫�2+�24−�2−�2 ���3 ����
�� 
 
2π∫02∫04−x2−y2∫√ x2+y2 ρeρ2 dzdρdθ∫02�∫02∫�2+�24−�2−�2 ���2 ���
��� 
Data Resp.: 22/03/2023 08:35:07 
 
Explicação: 
A resposta correta 
é: 2π∫02∫04−x2−y2∫√ x2+y2 ρeρ2 dzdρdθ∫02�∫02∫�2+�24−�2−�2 ���2 ����
�� 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine o valor da 
integral ∭V 64z dxdydz∭� 64� ������, onde V está 
contido na região definida 
por {(r,φ,θ)∈R3/ 1≤r≤2, 0≤θ≤π4 e 0≤φ≤π4}{(�,�,�)∈�3/ 1
≤�≤2, 0≤�≤�4 � 0≤�≤�4}. 
 
 
15π15� 
 
 
25π25� 
 
 
20π20� 
 
 
10π10� 
 
 
30π30� 
Data Resp.: 22/03/2023 08:38:20 
 
Explicação: 
A resposta correta é: 15π15� 
 
 
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FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS E SUAS DERIVADAS 
 
 
3. 
 
 
Determine a derivada direcional da função f(x,y) =2x2y+5�(�,�) =2�2�+5, na 
direção do vetor (√ 3 2, −12)(32, −12) no ponto (x,y) = (1,1). 
 
 
2√3 +123+1 
 
 
2√3−123−1 
 
 
1−√31−3 
 
 
√3 +13+1 
 
 
2√3 23 
Data Resp.: 22/03/2023 08:38:59 
 
Explicação: 
A resposta correta é: 2√3 +123+1 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Considere a 
função g(x,y) =arctg(2x+y)�(�,�) =�����(2
�+�). Sabe-se que x(u,v)=u22v e y(u,v)=uv. Determine 
o valor da 
expressão 37 (∂g∂u+∂g∂v)37 (∂�∂�+∂�∂�) para 
(u,v)=(1,2). 
 
 
15 
 
13 
 
 
12 
 
 
14 
 
 
11 
Data Resp.: 22/03/2023 08:40:10 
 
Explicação: 
A resposta correta é: 13 
 
 
 
 
 
 
 
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INTEGRAIS DUPLAS 
 
 
5. 
 
 
Determine ∬Ssen (x2+y2)dx dx∬���� (�2+�2)
�� ��, usando a integral dupla na forma polar, onde S 
é a região definida 
por x2+y2≤π e x≥0�2+�2≤� � �≥0. 
 
 
 
π� 
 
 
4π4� 
 
 
3π3� 
 
 
5π5� 
 
2π2� 
Data Resp.: 22/03/2023 08:40:49 
 
Explicação: 
A resposta correta é: 2π2� 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determine o volume do sólido que fica abaixo 
da paraboloide z =9−x2−y2� =9−�2−�2 e acima do 
disco x2+y2= 4�2+�2= 4. 
 
 
 
54π54� 
 
28π28� 
 
 
38π38� 
 
 
18π18� 
 
 
14π14� 
Data Resp.: 22/03/2023 08:41:17 
 
Explicação: 
A resposta correta é: 28π28� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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INTEGRAIS DE LINHA E CAMPOS VETORIAIS 
 
 
7. 
 
 
Uma ferramenta matemática muito importante é a integral de linha, pois 
permite trabalhar com um campo vetorial, quando se depende de várias 
variáveis. Considere o campo vetorial f:R3↦R3�:�3↦�3 definido 
por f(x,y,z)=(yzexyz,xzexyz,xyexyz)�(�,�,�)=(������,��
����,������). O trabalho de f� ao longo da espiral descrita 
pelo 
caminho g(t)=(5cos(t),5sen(t),t2),tϵ[0,π4]�(�)=(5���(�),5��
�(�),�2),��[0,�4] é: 
 
 
e25π232�25�232 
 
e25π232−1�25�232−1 
 
 
e25π232−2�25�232−2 
 
 
e25π232−3�25�232−3 
 
 
e25π232−4�25�232−4 
Data Resp.: 22/03/2023 08:44:39 
 
Explicação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8. 
 
 
Uma ferramenta matemática muito importante é a integral de linha, pois permite trabalhar com um 
campo escalar, quando se depende de várias variáveis. Em um avião a hélice desloca-se em linha 
reta a uma velocidade constante igual a 1. A hélice do avião tem raio r e roda a velocidade 
constante, efetuando w voltas por unidade de tempo. O comprimento da trajetória descrita por um 
extremo da hélice quando o avião se desloca L unidades de comprimento é: 
 
 
∫C1=L√1+4π2w2 .∫�1=�1+4�2�2. 
 
 
∫C1=L√4π2r2w2 .∫�1=�4�2�2�2. 
 
∫C1=L√1+4π2r2w2 .∫�1=�1+4�2�2�2. 
 
 
∫C1=L√1+4r2w2 .∫�1=�1+4�2�2. 
 
 
∫C1=L√1+4π2r2 .∫�1=�1+4�2�2. 
Data Resp.: 22/03/2023 08:46:02 
 
Explicação: 
 
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FUNÇÕES VETORIAIS 
 
 
9. 
 
 
A área definida pela equação ρ =cos 3θ� =��� 3� , para o intervalo 0 
< θ� < κ� , com κ� > 0, vale π16�16 . Qual é o valor de κ� ? 
 
 
 π8�8 
 
 π32�32 
 
 π16�16 
 
 π2�2 
 π4�4 
Data Resp.: 22/03/2023 08:46:38 
 
Explicação: 
A resposta correta é π4�4 
 
 
 
 
 
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10. 
 
 
 Qual é a equação polar da curva definida pela 
função →G (u) =⟨2u, 2u⟩�→ (�) =⟨2�, 2�⟩ , com u>0 ? 
 
 
 
 ρ =θ� =� 
 
 θ =π4� =�4 
 
 
 ρ =1+senθ� =1+���� 
 
 
 ρ =2� =2 
 
 
 ρ =cosθ� =���� 
Data Resp.: 22/03/2023 08:47:02 
 
Explicação: 
A resposta correta é θ =π4� =�4 
 
 
 
 
 
 
 Não Respondida Não Gravada Gravada 
 
 
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