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Fundamentos de Equações Diferenciais
Segunda Lista de Exercícios - 02/2016
Série de Fourier
1. Dada f : R→ R uma função periódica de período T , integrável em qualquer intervalo, mostre que
ˆ a+T
a
f(x)dx =
ˆ T
0
f(x)dx,
no qual a é um número real qualquer fixado.
2. A soma de duas funções periódicas de períodos diferentes podem, ou não, ser periódicas. Exemplifique ambos
os casos.
3. Mostre que, se f1 : R → R é periódica de período T1 e f2 : R → R é periódica de período T2, e se existem
m,n ∈ Z tais que mT1 = nT2, então f1 + f2 é periódica de período mT1.
4. Mostre que sin ax+ sin bx é periódica se, e somente se, a/b ∈ Q.
5. Mostre que se f : R→ R for uma função par, e f(x) 6= 0, então 1/f é uma função par. Mesmo problema para
funções ímpares.
6. Se f : R → R for uma função par diferenciável então f ′ será ímpar. Mostre também que, se f : R → R é
ímpar e diferenciável, então f ′ é par.
7. Determine os coeficientes de Fourier para as funções:
(a) f(x) = 2 cos(πx) + e sin(3πx)
(b) f(x) = x definida no intervalo [−e, e] periódica de período 2e.
(c) f(x) = ex + e−x definida no intervalo [−1, 1] periódica de período 2.
(d) f(x) = cosαx, α ∈ R 6=0.
8. Determine as séries de Fourier das seguintes funções apenas utilizando relações trigonométricas.
(a) f(x) = sin2(x)
(b) f(x) = cos5(x)
9. Calcule a série de Fourier da onda senoidal retificada, isto é,
f(x) =
{
sinx se sin(x) ≥ 0
0 caso contrário.
10. Use a série de Fourier da função
f(x) = cosαx, α ∈ R∗
para mostrar que
cotαπ =
1
π
(
1
α
−
∞∑
n=1
2α
n2 − α2
)
,
quando α não é inteiro.
1
11. Quais são as relações entre os coeficientes de Fourier da função f(x), periódica de período 2L, e da função
g(x) = f(x+ α), em que α é uma constante?
12. Use a forma complexa para obter as séries de Fourier das seguintes funções.
(a) f(x) = cos(αx) e g(x) = sin(αx) definidas em −π ≤ x ≤ π, periódicas de período 2π e α um número não
inteiro.
(b) f(x) = eαx definida em −π ≤ x ≤ π, periódica de período 2π e α um número não inteiro.
13. Determine as funções cujas séries de Fourier estão abaixo indicadas.
∞∑
n=1
cosnx
n!
e
∞∑
n=1
sinnx
n!
.
14. Mostre que
cothπ =
1
π
+
2
π
(
1
1 + 12
+
1
1 + 22
+
1
1 + 32
+ · · ·
)
,
em que cothx = cosh xsinh x =
ex+e−x
ex−e−x é a função cotangente hiperbólica.
Equação do Calor
1. Encontre a solução em série do problema de valor inicial e fronteira para a equação do calor ut = uxx para
0 < x < 1, com condição inicial u(x, 0) = f(x) quando uma extremidade da barra é mantida a 0◦ e a outra é
isolada. Discuta o comportamento assintótico da solução quando t→∞.
2. Uma barra de metal de comprimento ` = 1 e difusividade térmica γ = 1 é totalmente isolada, incluindo suas
extremidades. Suponha que a distribuição inicial de temperatura seja
u(x, 0) =
{
x, 0 ≤ x ≤ 12
1− x, 12 ≤ x ≤ 1
.
(a) Use a série de Fourier para escrever a distribuição de temperatura no tempo t > 0.
(b) Qual é a distribuição da temperatura de equilíbrio na barra, isto é, para t→∞?
3. Resolva o problema de valor inicial e de fronteira
ut = c
2uxx
ux(x, t) = ux(L, t) + αu(L, t) = 0, t > 0
u(x, 0) = f(x), 0 < x < L.
4. Resolva o problema de valor inicial e de fronteira
ut = c
2uxx + g(x)
ux(x, 0) = ux(L, t) = 0, t > 0
u(x, 0) = f(x), 0 < x < L.
Equação da Onda
1. Resolva o problema de valor inicial e de fronteira
utt = c
2uxx
u(x, t) = α, u(L, t) = β, t > 0
u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), 0 < x < L,
em que α, β são constantes. Para tal realize uma mudança de variáveis adequada de forma que o problema
transformado possua as condições de fronteira homogêneas.
2
2. Use o método da separação de variáveis para determinar a solução do problema de valor inicial e de fronteira
relacionado a equação da onda:
∂2u
∂t2
+ 2β
∂u
∂t
=
∂2u
∂x2
, (x, t) ∈ [0, π]× R+, 0 < β < 1
com u(0, t) = u(π, t) = 0, para t > 0, u(x, 0) = x(π − x) e ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ π.
3. Mostre que a solução para o problema da onda utt = c2uxx, com condições de contorno u(0, t) = u(L, t) = 0
e com u(x, 0) = 0 e ut(x, 0) = g(x), pode ser escrita, em termos da extensão periódica ímpar de g(x), g∗(x),
na seguinte forma integral:
u(x, t) =
1
2c
ˆ x+ct
x−ct
g∗(s)ds
4. Considere uma corda elástica, de comprimento L, fixada nas suas duas extermiades. Uma das extremidades é
fixada em uma altura de referência (por exemplo, u(x, 0) = 0). A outra, por um erro de montagem, é fixada
em uma pequena altura ε. Resolva este problema e compare a sua solução com o caso em que a corda é
montada corretamente. O som produzido pela corda montada com o desvio de altura será diferente daquele
esperando?
Equação de Laplace
1. Determine relações entre as constantes a, b, c e d de modo que u(x, y) = ax3 + 3bx2y + 3cxy2 + dy3 seja
harmônica.
2. Mostre que a equação de Laplace em coordenadas polares é
∂2v
∂r2
+
1
r
∂v
∂r
+
1
r2
∂2v
∂θ2
= 0.
3. Determine a função u(x, y) que seja harmônica na região x2 + y2 < 1 e tal que quando x2 + y2 = 1, tenhamos
u(x, y) = 1 +
y√
x2 + y2
.
4. Mostre que a função
v(r, θ) =
∞∑
n=0
rn (an cosnθ + bn sinnθ)
definida para r < ρ e 0 ≤ θ ≤ 2π, pode ser escrita como
v(r, θ) =
1
2π
ˆ 2π
0
ρ2 − r2
ρ2 + r2 − 2ρr cos(θ − α)
f(α)dα.
Essa fórmula é conhecida como fórmula de Poisson.
3
Resumo do Conteúdo
• A série de Fourier de uma função f : R→ R periódica de período 2L é dada por
f(x) ∼ a0
2
+
∞∑
k=1
[
ak cos
(
kπ
L
x
)
+ bk sin
(
kπ
L
x
)]
,
e seus coeficientes por
ak =
1
L
ˆ L
−L
f(x) cos
(
kπ
L
x
)
dx, k ≥ 0
bk =
1
L
ˆ L
−L
f(x) sin
(
kπ
L
x
)
dx, k ≥ 1.
• A forma complexa da série de Fourier de uma função f : R→ R periódica de período 2L é dada por
f(x) ∼
∞∑
n=−∞
cne
iknx,
com kn = nπx/L e
cn =
1
2L
ˆ L
−L
f(x)e−iknxdx, n ∈ Z.
• Paridade: Uma função f : R → R é dita par se, dado x ∈ R, f(x) = f(−x). Além disso, dada uma função
f : R→ R tal que f(x) = −f(−x) para todo x ∈ R dizemos que ela é ímpar .
– Para f(x) par os coeficientes de Fourier são dados por
ak =
2
L
ˆ L
0
f(x) cos
(
kπ
L
x
)
dx, k ≥ 0
bk = 0, k ≥ 1.
– Para f(x) ímpar os coeficientes de Fourier são dados por
ak = 0, k ≥ 0
bk =
2
L
ˆ L
−L
f(x) sin
(
kπ
L
x
)
dx, k ≥ 1.
• Teorema de Fourier
Seja f : R → R uma função seccionalmente diferenciável de período 2L. Então, a série de Fourier de f
converge em cada ponto x para
1
2
[
lim
y→x+
f(y) + lim
y→x−
f(y)
]
,
isto é,
1
2
[
lim
y→x+
f(y) + lim
y→x−
f(y)
]
=
1
2
a0 +
∞∑
n=1
(
an cos
nπx
L
+ bn sin
nπx
L
)
.
4