CINEMATICA VETORIAL FISICA

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CINEMÁTICA VETORIAL
DESLOCAMENTO
Veja a � gura abaixo:
Quando um móvel realiza uma curva de A para B, o seu 
deslocamento escalar (∆S) é o tamanho da curva. Já o deslocamento 
vetorial (� �S
� ��
) é o módulo do vetor deslocamento. Nesse caso:
DESLOCAMENTO ESCALAR
�S
R
�
�
2
DESLOCAMENTO VETORIAL
Podemos achar o módulo do vetor de duas maneiras:
1ª analiticamente:
Vetor posição inicial (S0): S R0 0
���
� � �,
Vetor posição � nal (S): 

S R� � �,0
� �S S S R R R R S R
� �� � ��� � ��
� � � � � � � � � � �� �0 0 0 2, , ,
2ª geometricamente:
Como o vetor posição inicia-se em A e termina em B, podemos 
perceber que é a hipotenusa de um triângulo isósceles cujos lados 
iguais valem R, ou seja, seu módulo é R 2.
ProBizu
O deslocamento vetorial é menor ou igual ao escalar (� �S
� ��
≤ ∆S). 
Será igual se o movimento for unidirecional, conforme discutido 
no 1º módulo.
VELOCIDADE MÉDIA
A velocidade escalar média (vm), é o deslocamento escalar 
realizado pelo móvel em um intervalo de tempo. Já a velocidade 
vetorial média ( vm
� ��
) é o deslocamento vetorial em um intervalo de 
tempo. Continuando o exemplo acima:
VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA
v
S
tm
� �
�
� �
�R
t2
VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA
v
S
tm
� ��
� ��
� �
�
� �
R
t
2
ACELERAÇÃO
Analogamente às anteriores, a aceleração escalar (a) é a velocidade 
escalar média do móvel em um intervalo de tempo. Já a aceleração 
vetorial (

a ) é o vetor variação de velocidade em um intervalo de 
tempo. Temos, no nosso exemplo:
ACELERAÇÃO ESCALAR
Nesse exemplo, temos que lembrar que, em uma curva, o móvel 
pode sofrer aceleração centrípeta e tangencial. Como a velocidade 
escalar é constante, não há aceleração escalar (tangencial). O fato 
de ser uma curva garante que o vetor velocidade (direção e sentido) 
mude, logo, há aceleração, a centrípeta (v2/R).
atg = 0
ACELERAÇÃO VETORIAL
No ponto A, o vetor velocidade aponta para a direita:
vA = (v,0)
Já em B, aponta para baixo:
vB = (0,–v)
Logo:
v v v v v v v
v v a
v
t
B A 0 0
2
, , ,
v
t
2
Em que v é a velocidade escalar do móvel.
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EXERCÍCIOS DE
FIXAÇÃO
01. (EEAR 2017)
O avião identi� cado na � gura voa horizontalmente da esquerda para 
a direita. Um indivíduo no solo observa um ponto vermelho na ponta 
da hélice. Qual � gura melhor representa a trajetória de tal ponto em 
relação ao observador externo?
a) 
b) 
c) 
d) 
02. (EEAR 2009) Durante a batalha que culminou no afundamento do 
encouraçado alemão Bismarck, os ingleses utilizaram aviões biplanos 
armados com torpedos para serem lançados próximos ao encouraçado. 
A velocidade horizontal do torpedo, desprezando qualquer resistência 
por parte da água e do ar, em relação a um observador inercial, logo 
após atingir a superfície do mar é dada
a) pela soma da velocidade do avião com a velocidade produzida 
pelo motor do torpedo.
b) pela soma das velocidades do motor do torpedo e do navio 
Bismarck.
c) somente pela velocidade do avião.
d) somente pelo motor do torpedo.
03. (EEAR 2016) Um avião de brinquedo voa com uma velocidade de 
módulo igual a 16 km/h, numa região com ventos de velocidade de 
módulo 5 km/h. As direções da velocidade do avião e da velocidade 
do vento formam entre si um ângulo de 60º, conforme � gura abaixo. 
Determine o módulo da velocidade resultante, em km/h, do avião 
nesta região.
a) 19
b) 81
c) 144
d) 201
04. (AFA 1990) O piloto de um barco pretende atravessar um rio 
perpendicularmente à direção da correnteza, apontando o barco 
numa direção que faz um ângulo de 60º com a direção pretendida. Se 
a velocidade do rio for de 5 km/h, a velocidade própria do barco em 
relação à água, deverá ser, em km/h, igual a:
a) 5,8
b) 7,2
c) 8,6
d) 10,0
05. (AFA 1994) No momento da decolagem de uma aeronave, sopra 
um vento, perpendicularmente à pista, com velocidade constante de 
9 m/s em relação ao solo. Ainda em contato com a pista, a aeronave 
desenvolve movimento retilíneo uniformemente variado em relação 
ao vento, cuja aceleração escalar é 6 m/s². A equação da trajetória 
descrita pela aeronave, para um observador � xo na pista, é:
a) 
2x
y 
81
=
b) 
2x
y 
27
=
c) 
x
y 
3
=
d) 
x
y 
2
=
06. (AFA 1994) Um avião voa em relação ao solo, com velocidade 
de 1.200 km/h, tendo direção e sentido de oeste para leste. 
Comunicações com o solo informam que há vento soprando para o 
norte, com velocidade constante de 80 km/h. O vetor que melhor 
representa a velocidade do avião em relação ao vento, conforme a 
� gura abaixo, é o:
x

y

z

t

a) x

b) y

c) z

d) t

07. (AFA 1996) Dois veículos partem de uma origem comum, 
movendo-se perpendicularmente um em relação ao outro. O carro A 
tem seu movimento descrito pela equação horária x(t) = 16t, e o B por 
y(t) = 12t, com a posição medida em metros e o tempo em segundos. 
Observando-se do carro B, a equação horária do movimento do carro 
A é dada por:
a) 12t
b) 14t
c) 16t
d) 20t
08. (AFA 1998)
I. Um objeto é acelerado não somente quando sua velocidade 
escalar varia, mas também quando seu vetor velocidade muda 
de direção.
II. Para descrever completamente o movimento de um objeto basta 
conhecer como varia sua velocidade escalar com o tempo.
III. Um corpo pode ter velocidade escalar nula e estar submetido a 
uma aceleração tangencial nula.
IV. Na expressão da 2ª Lei de Newton, F m a=


, a massa m é chamada 
massa gravitacional.
Das a� rmações acima, são verdadeiras
a) I e II.
b) I e III.
c) I, II e IV.
d) I, III e IV.
09. (AFA 1998) Em relação a um observador parado na margem, a 
velocidade com que um barco sobe o rio vale 8 km/h e a com que 
o mesmo barco desce o rio vale 20 km/h, sempre com movimento 
uniforme. A velocidade da correnteza, em km/h, vale
a) 3
b) 6
c) 8
d) 12
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10. (AFA 2000) Uma esteira rolante com velocidade Ve, transporta 
uma pessoa de A para B em 15 s. Essa mesma distância é percorrida 
em 30 s se a esteira estiver parada e a velocidade da pessoa for 
constante e igual a Vp. Se a pessoa caminhar de A para B, com a 
velocidade Vp, sobre a esteira em movimento, cuja velocidade é Ve, o 
tempo gasto no percurso, em segundos, será
a) 5 b) 10 c) 15 d) 30
EXERCÍCIOS DE
TREINAMENTO
01. (AFA 2002) Sob a chuva que cai verticalmente a 10 3 m/s, um 
carro se desloca horizontalmente com velocidade de 30 m/s. Qual 
deve ser a inclinação do vidro traseiro (em relação à horizontal) para 
que o mesmo não se molhe?
a) 30°. b) 45°. c) 60°. d) 90°.
02. (AFA 2002) Doi s aeroportos, A e B, estão no mesmo meridiano, 
com B 600 km ao sul de A. Um avião P decola de A para B ao mesmo 
tempo que um avião Q, idêntico a P, decola de B para A. Um vento 
de 30 km/h sopra na direção sul-norte. O avião Q chega ao aeroporto 
A 1 hora antes do avião P chegar ao aeroporto B. A velocidade 
dos dois aviões em relação ao ar (admitindo que sejam iguais) é, 
aproximadamente, em km/h,
a) 190. b) 390. c) 90. d) 690.
03. (AFA 2003) Um corpo desenvolve movimento circular em um 
plano horizontal. Se no ponto A a velocidade escalar tem intensidade 
menor que no ponto B, então a opção em que o vetor aceleração em 
C está MELHOR representado é
a) 
b) 
c) 
d) 
04. (AFA 2006) Um operário puxa a extremidade de um cabo que está 
enrolado num cilindro. À medida que o operário puxa o cabo o cilindro 
vai rolando sem escorregar. Quando a distância entre o operário e o 
cilindro for igual a 2 m (ver � gura abaixo), o deslocamento do operário 
em relação ao solo será de
a) 1 m b) 2 m c) 4 m d) 6 m
05. (AFA 2007) Um avião voa na direção leste a 120 km/h para ir da 
cidade A à cidade B. Havendo vento para o sul com velocidade de 50 
km/h, para que o tempo de viagem seja o mesmo, a velocidade do 
avião deverá ser
a) 130 km/h 
b) 145 km/h 
c) 170 km/h
d) 185 km/h
06. (AFA 2007) Uma partícula descreve movimento circular passando 
pelos pontos A e B com velocidades A BV e V
 
, conformea � gura 
abaixo. A opção que representa o vetor aceleração média entre A e B é
a) 
b) 
c) 
d) 
07. (AFA 2008) Considere um pequeno avião voando em trajetória 
retilínea com velocidade constante nas situações a seguir.
(1) A favor do vento.
(2) Perpendicularmente ao vento.
Sabe-se que a velocidade do vento é 75% da velocidade do avião. 
Para uma mesma distância percorrida, a razão , entre os intervalos de 
tempo nas situações (1) e (2), vale
a) 
1
3
b) 
3
5
c) 
5
7
d) 
7
9
08. (AFA 2010) Um carro percorre uma curva circular com velocidade 
linear constante de 15 m/s completando-a em 5 2 s, conforme � gura 
abaixo.
É correto a� rmar que o módulo da aceleração média experimentada 
pelo carro nesse trecho, em m/s², é
a) 0 
b) 1,8 
c) 3,0
d) 5,3
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09. (EN 2017) Dois navios da Marinha de Guerra, as Fragatas 
Independência e Rademaker, encontram-se próximos a um farol. A 
Fragata Independência segue em direção ao norte com velocidade 
15 2 nós e a Fragata Rademaker, em direção ao nordeste com 
velocidade de 20 nós. Considere que ambas as velocidades foram 
medidas em relação ao farol. Se na região há uma corrente marítima 
de 2,0 nós no sentido norte-sul, qual o módulo da velocidade relativa 
da Fragata Independência, em nós, em relação à Fragata Rademaker?
a) 10,0
b) 12,3
c) 13,7
d) 15,8
e) 16,7
10. (ESPCEX 2011) Um bote de assalto deve atravessar um rio de 
largura igual a 800m, numa trajetória perpendicular à sua margem, 
num intervalo de tempo de 1 minuto e 40 segundos, com velocidade 
constante.
Considerando o bote como uma partícula, desprezando a resistência 
do ar e sendo constante e igual a 6 m/s a velocidade da correnteza 
do rio em relação à sua margem, o módulo da velocidade do bote em 
relação à água do rio deverá ser de:
a) 4 m/s
b) 6 m/s
c) 8 m/s
d) 10 m/s
e) 14 m/s
11. (EFOMM 2014)
Um observador X está parado em uma estação quando vê um trem 
passar em MRU (Movimento Retilíneo Uniforme) a 20 km/h, da 
esquerda para a direita, conforme a � gura dada. Nesse momento 
o passageiro Y joga uma bola para cima do ponto A ao ponto B, 
pegando-a de volta. Simultaneamente, um passageiro Z se desloca no 
trem, da esquerda para a direita, com velocidade de 5 km/h. Podemos 
a� rmar que a trajetória da bola vista pelo observador X, a trajetória 
da bola vista pelo passageiro Y, a velocidade do passageiro Z em 
relação ao observador X e a velocidade do passageiro Z, em relação ao 
passageiro Y, são, respectivamente,
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
12. (EFOMM 2010) Observe as � guras a seguir.
Numa região de mar calmo, dois navios, A e B, navegam com 
velocidades, respectivamente, iguais a vA = 5,0 nós no rumo norte e 
vB = 2,0 nós na direção 60° NEE, medidas em relação à terra, conforme 
indica a � gura acima. O comandante do navio B precisa medir a 
velocidade do navio A em relação ao navio B. Que item informa o 
módulo, em nós, e esboça a direção e sentido do vetor velocidade a 
ser medido? Dado: cos60° = 0,5
a) 2,2 
VA/B
b) 4,4 
VA/B
c) 4,4 
VA/B
d) 6,6 
VA/B
e) 6,6 
VA/B
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13. (EFOMM 2013) Dois navios A e B podem mover-se apenas ao 
longo de um plano XY. O navio B estava em repouso na origem 
quando, em t = 0, parte com vetor aceleração constante fazendo um 
ângulo α com o eixo Y. No mesmo instante ( t = 0 ), o navio A passa 
pela posição mostrada na � gura com vetor velocidade constante de 
módulo 5,0 m/s e fazendo um ângulo θ com o eixo Y. Considerando 
que no instante t1 = 20 s, sendo yA(t1) = yB(t1) = 30m, ocorre uma 
colisão entre os navios, o valor de tgα é
Dados: sen(θ) = 0,60; cos(θ) = 0,80.
a) 3
3
b) 1
c) 1,5
d) 3
e) 2
14. (EFOMM 2012) Um barco atravessa um rio de margens paralelas e 
largura de 4,0 km. Devido à correnteza, as componentes da velocidade 
do barco são Vx = 0,50 km/h e Vy = 2,0 km/h. Considerando que, em 
t = 0, o barco parte da origem do sistema cartesiano xy (indicado na 
� gura), as coordenadas de posições, em quilômetros, e o instante, em 
horas, de chegada do barco à outra margem são
a) (1,0; 4,0) e 1,0
b) (1,0; 4,0) e 2,0
c) (2,0; 4,0) e 4,0
d) (16; 4,0) e 4,0
e) (16; 4,0) e 8,0
15. (ITA 2009) Um barco leva 10 horas para subir e 4 horas para 
descer um mesmo trecho do rio Amazonas, mantendo constante o 
módulo de sua velocidade em relação à água. Quanto tempo o barco 
leva para descer esse trecho com os motores desligados?
a) 14 horas e 30 minutos.
b) 13 horas e 20 minutos.
c) 7 horas e 20 minutos.
d) 10 horas.
e) Não é possível resolver porque não foi dada a distância percorrida 
pelo barco.
16. (ITA 2007)
A � gura mostra uma pista de corrida A B C D E F, com seus trechos 
retilíneos e circulares percorridos por um atleta desde o ponto A, de 
onde parte do repouso, até a chegada em F, onde para. Os trechos 
BC, CD e DE são percorridos com a mesma velocidade de módulo 
constante.
Considere as seguintes a� rmações:
I. O movimento do atleta é acelerado nos trechos AB, BC, DE e EF.
II. O sentido da aceleração vetorial média do movimento do atleta é 
o mesmo nos trechos AB e EF.
III. O sentido da aceleração vetorial média do movimento do atleta é 
para sudeste no trecho BC, e, para sudoeste, no DE.
Então, está(ão) correta(s)
a) apenas a I.
b) apenas a I e ll.
c) apenas a I e III.
d) apenas a ll e III.
e) todas.
17. (EFOMM 2011) Observe a � gura a seguir.
30°
a

Um helicóptero decola de sua base que está ao nível do mar, com uma 
aceleração constante de 2,0 m/s2, fazendo um ângulo de 30° com a 
horizontal, conforme indica a � gura acima. Após 10 segundos, qual 
será a altitude do helicóptero, em metros?
Dados: sen30° = 0,50 e cos30° = 0,87
a) 38
b) 45
c) 50
d) 72
e) 87
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18. (FMJ 2019) O piloto de um avião deseja ir em linha reta da cidade 
A para a cidade B. Ele sabe que enfrentará um vento lateral constante 
perpendicular à sua trajetória durante todo o tempo do percurso, 
como mostra a � gura.
O vetor que melhor ilustra a direção e o sentido da velocidade relativa 
ao ar que o piloto deverá proporcionar ao avião durante todo o trajeto 
está representado em
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
19. (OBC 2018) Uma partícula parte do ponto A e percorre uma 
trajetória constituída de duas semicircunferências de raio R = 5,0 m, 
atingindo o ponto B. O intervalo de tempo transcorrido nesse percurso 
foi de 20 s. Adote π = 3.
A velocidade escalar média e o módulo da velocidade vetorial média 
no percurso AB são, respectivamente, iguais a:
a) 0,75 m/s e 0,75 m/s
b) 1,0 m/s e 0,75 m/s
c) 1,0 m/s e 1,5 m/s
d) 1,5 m/s e 1,0 m/s
e) 1,5 m/s e 1,5 m/s
20. (OBC 2018) Pedro, da janela de seu prédio, a 5,0 m do solo, lança 
horizontalmente uma pequena esfera que é recebida por Raphael, 
que se encontra no ponto A do solo. Raphael, ao receber a esfera, 
corre até o ponto B e lança obliquamente a esfera, que é recebida 
por Pedro 7,0 s depois de Pedro ter efetuado o primeiro lançamento. 
A velocidade com que Raphael lança a esfera, tem módulo voR = 12,5 
m/s e ângulo de tiro θ, tal que sen θ = 0,80 e cos θ = 0,60.
Sendo g = 10,0 m/s², o módulo da aceleração da gravidade e 
desprezando-se a resistência do ar, pode-se a� rmar que o módulo 
da velocidade escalar média de Raphael, ao se deslocar de A até B, 
o módulo da velocidade horizontal com que Pedro lançou a esfera 
e o módulo da velocidade, em m/s, com que a esfera, lançada por 
Raphael, é recebida por Pedro , são respectivamente, em m/s:
a) 0,6; 7,5 e 10,5
b) 3,0; 6,5 e 3,0
c) 1,5; 4,9 e 6,0
d) 0,60; 7,5 e 6,0
e) 0,60; 10,5 e 7,5
21. (UFRGS 2016) A � gura abaixo representa um móvel m que 
descreve um movimento circular uniforme de raio R, no sentido 
horário, com velocidade de módulo V.
Assinale a alternativa que melhor representa, respectivamente, os 
vetores velocidade V e aceleração a do móvel quando passa pelo 
ponto I, assinalado na � gura.
a) 
V
a←↑
b) 
V
a 0← =
c) 
V
a←↓
d) 
V
a→↑
e) 
V
a→↓
22.(FEI 2015) Um passageiro está em repouso no ponto mais baixo 
de uma roda gigante de raio R. A roda gigante inicia seu movimento 
acelerando a uma taxa constante. Ao passar pelo ponto mais alto da 
roda, sua velocidade é v. Qual é o módulo da aceleração do passageiro 
quando ele passa pelo ponto mais alto da roda gigante pela primeira 
vez?
a) 
2v
a
2 R
=
π
b) 
2v
a
R
=
c) a v 2 R= ⋅ π
d) 
2 2v 2 R
a
4
+ π
=
π
e) 
2
2va 1 4
2 R
= + π
π
23. (UFRGS 2014) Um móvel percorre uma trajetória fechada, 
representada na � gura abaixo, no sentido anti-horário.
Ao passar pela posição P, o móvel está freando. Assinale a alternativa 
que melhor indica, nessa posição, a orientação do vetor aceleração 
total do móvel.
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
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24. (UFRGS 2012) A � gura abaixo apresenta, em dois instantes, as 
velocidades v1 e v2 de um automóvel que, em um plano horizontal, se 
desloca numa pista circular.
Com base nos dados da � gura, e sabendo-se que os módulos dessas 
velocidades são tais que v1 > v2 é correto a� rmar que
a) a componente centrípeta da aceleração é diferente de zero.
b) a componente tangencial da aceleração apresenta a mesma 
direção e o mesmo sentido da velocidade.
c) o movimento do automóvel é circular uniforme.
d) o movimento do automóvel é uniformemente acelerado.
e) os vetores velocidade e aceleração são perpendiculares entre si.
25. (UFRGS 2003) A � gura representa a trajetória de uma bola que se 
move livremente da esquerda para a direita, batendo repetidamente 
no piso horizontal de um ginásio.
Desconsiderando a pequena resistência que o ar exerce sobre a bola, 
selecione a alternativa que melhor representa – em módulo, direção e 
sentido – a aceleração do centro de gravidade da bola nos pontos P, 
Q e R, respectivamente.
a)  ;  ; ↓
b)  ;  ; Zero
c) ↓ ; ↑ ; Zero
d) ↓ ; ↓ ; Zero
e) ↓ ; ↓ ; ↓
26. (UFG 2008) O excesso de navegação no mundo virtual fez com 
que um cidadão (CI), “ao se sentir obeso”, procurasse um contato 
físico com a realidade e, para tal, contratou um personal amigo (PA) 
para fazer parte de seus exercícios matinais. Suponha que isso tenha 
ocorrido em uma praça quadrada, de lado 300 m, conforme a � gura 
a seguir.
Previamente combinado, as duas pessoas, CI e PA, saíram no 
mesmo instante de suas posições iniciais, A e B, representadas na 
� gura, caminhando no sentido anti-horário. CI partiu do repouso 
com aceleração de 5,0 x 10-3 m/s², e PA andou desde o início com 
velocidade constante de 1,0 m/s. Determine, para a posição em que 
se encontraram:
a) o vetor velocidade média (módulo, direção e sentido) do PA;
b) a velocidade escalar média do CI.
27. (UFMS 2008) Seja um rio sem curvas e de escoamento sereno sem 
turbulências, de largura constante igual a L. Considere o escoamento 
representado por vetores velocidades paralelos às margens e que cresce 
uniformemente com a distância da margem, atingindo o valor máximo 
vmáx no meio do rio. A partir daí a velocidade de escoamento diminui 
uniformemente atingindo o valor nulo nas margens. Isso acontece 
porque o atrito de escoamento é mais intenso próximo às margens. 
Um pescador, na tentativa de atravessar esse rio, parte da margem 
inferior no ponto O com um barco direcionado perpendicularmente 
às margens e com velocidade constante em relação à água, e igual a 
u. As linhas pontilhadas, nas � guras, representam possíveis trajetórias 
descritas pelo barco ao atravessar o rio saindo do ponto O e chegando 
ao ponto P na margem superior.
Com fundamentos nos conceitos da cinemática, assinale a alternativa 
CORRETA.
a) A � gura A representa corretamente a trajetória do barco; e o 
tempo t para atravessar o rio é igual a t = L/(vmáx + u).
b) A � gura B representa corretamente a trajetória do barco; e o 
tempo t para atravessar o rio é igual a t = L/u.
c) A � gura C representa corretamente a trajetória do barco; e o 
tempo t para atravessar o rio é igual a t – L/u.
d) A � gura B representa corretamente a trajetória do barco; e o 
tempo t para atravessar o rio é igual a t = L/(u + vmáx).
e) A � gura D representa corretamente a trajetória do barco; e o 
tempo t para atravessar o rio é igual a t = L/u.
28. (UFPE 2008) Os automóveis A e B se movem com velocidades 
constantes vA = 100 km/h e vB = 82 km/h, em relação ao solo, ao 
longo das estradas EA e EB, indicadas na � gura. Um observador no 
automóvel B mede a velocidade do automóvel A. Determine o valor 
da componente desta velocidade na direção da estrada EA, em km/h.
29. (ITA 2007) Considere que em um tiro de revólver, a bala percorre 
trajetória retilínea com velocidade V c onstante, desde o ponto 
inicial P até o alvo Q. Mostrados na � gura, o aparelho M1 registra 
simultaneamente o sinal sonoro do disparo e o do impacto da bala no 
alvo, o mesmo ocorrendo com o aparelho M2. Sendo VS a velocidade 
do som no ar, então a razão entre as respectivas distâncias dos 
aparelhos M1 e M2 em relação ao alvo Q é
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a) ( ) ( )2 2s s sV V V / V V− −
b) ( ) ( )2 2s s sV V V / V V− −
c) ( ) ( )2 2s sV V V / V V− −
d) ( ) ( )2 2s s sV V V / V V+ −
e) ( ) ( )2 2s s sV V V / V V− +
30. (ITA/1974) Uma pessoa sobe uma escada rolante, que está parada, 
em 90 s. A mesma escada, agora em movimento, transporta a pessoa 
em 60 s. Quanto tempo levaria a pessoa para subir caminhando, se a 
escada estiver em movimento?
31. (ITA/1982) Um nadador que pode desenvolver uma velocidade de 
0,900 m/s na água parada, atravessa um rio de largura D metros, cuja 
correnteza tem uma velocidade de 1,08 km/h. Nadando em linha reta, 
ele quer alcançar um ponto da outra margem situado 
D 3
3
 metros 
abaixo do ponto de partida. Para isso, sua velocidade em relação ao 
rio deve formar com a correnteza o ângulo:
a) 
( )3 33 1 
arcsen
12
+
b) 
3
arcsen
12
c) 0°
d) 
3
arcsen
2
e) o problema não tem solução
32. Em um rio, do ponto A ao ponto B, os quais encontram-se em 
margens opostas pela reta AB move-se uma lancha. O vento sopra 
com uma velocidade em direção perpendicular à margem. A bandeira 
no mastro da lancha forma um ângulo de 60º com a direção do 
movimento da mesma. Determine o valor da razão L
V
V
V
, onde LV

 é a 
velocidade da lancha em relação à margem.
EXERCÍCIOS DE
COMBATE
01. (CFTCE 2004) Uma partícula desloca-se sobre a trajetória formada 
pelas setas que possuem o mesmo comprimento L. A razão entre a 
velocidade escalar média e a velocidade vetorial média é:
a) 
1
3
b) 
2
3
c) 1
d) 
3
2
e) 2
02. (UESC 2011) Considere um móvel que percorre a metade de uma 
pista circular de raio igual a 10,0 m em 10,0 s. Adotando-se 2 como 
sendo 1,4 e p igual a 3, é correto a� rmar:
a) O espaço percorrido pelo móvel é igual a 60,0 m.
b) O deslocamento vetorial do móvel tem módulo igual a 10,0 m.
c) A velocidade vetorial média do móvel tem módulo igual a 2,0 m/s.
d) O módulo da velocidade escalar média do móvel é igual a 1,5 m/s.
e) A velocidade vetorial média e a velocidade escalar média do móvel 
têm a mesma intensidade.
03. (MACKENZIE 2012) Um avião, após deslocar-se 120 km para 
nordeste (NE), desloca-se 160 km para sudeste (SE). Sendo um quarto 
de hora, o tempo total dessa viagem, o módulo da velocidade vetorial 
média do avião, nesse tempo, foi de 
a) 320 km/h. 
b) 480 km/h.
c) 540 km/h.
d) 640 km/h.
e) 800 km/h.
04. (ENEM 2ª APLICAÇÃO 2010) Um 
foguete foi lançado do marco zero de 
uma estação e após alguns segundos 
atingiu a posição (6, 6, 7) no espaço, 
conforme mostra a � gura. As distâncias 
são medidas em quilômetros.
Considerando que o foguete 
continuou sua trajetória, mas se 
deslocou 2 km para frente na direção 
do eixo-x, 3 km para trás na direção 
do eixo-y, e 11 km para frente, na 
direção do eixo-z, então o foguete atingiu a posição 
a) (17, 3, 9).
b) (8, 3, 18).
c) (6, 18, 3).
d) (4, 9, –4).
e) (3, 8, 18).
05. (IFSUL 2016) Uma partícula de certa massa movimenta-se sobre 
um plano horizontal, realizandomeia volta em uma circunferência de 
raio 5,00 m. Considerando π = 3,14 a distância percorrida e o módulo 
do vetor deslocamento são, respectivamente, iguais a: 
a) 15,70 m e 10,00 m.
b) 31,40 m e 10,00 m.
c) 15,70 m e 15,70 m.
d) 10,00 m e 15,70 m.
49
CINEMÁTICA VETORIAL
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06. (EN 2017) Analise a � gura a seguir.
A � gura acima mostra um sistema formado por duas partículas iguais, 
A e B de massas 2,0 kg cada uma, ligadas por uma haste rígida de 
massa desprezível. O sistema encontra-se inicialmente em repouso, 
apoiado em uma superfície horizontal (plano xy) sem atrito. Em t = 0, 
uma força 1 ˆF 8,0iN=

 passa a atuar na partícula A e, simultaneamente, 
uma força 2 ˆF 6,0 jN=

 passa a atuar na partícula B.
Qual é o vetor deslocamento, em metros, do centro de massa do 
sistema de t = 0 a t = 4,0 s?
3ˆ ˆa) 2i j
2
ˆ ˆb) 2i 6 j
ˆ ˆc) 4i 3j
ˆ ˆd) 4i 12j
ˆ ˆe) 16i 12j
�
�
�
�
�
07. (ITA 2011) Um problema clássico da cinemática considera objetos 
que, a partir de certo instante, movem-se conjuntamente com 
velocidade de módulo constante a partir dos vértices de um polígono 
regular, cada qual apontando à posição instantânea do objeto vizinho 
em movimento. A � gura mostra a con� guração desse movimento 
múltiplo no caso de um hexágono regular. 
Considere que o hexágono tinha 10,0 m de lado no instante inicial e 
que os objetos se movimentam com velocidade de módulo constante 
de 2,00 m/s. Após quanto tempo estes se encontrarão e qual deverá 
ser a distância percorrida por cada um dos seis objetos?
a) 5,8 s e 11,5 m
b) 11,5 s e 5,8 m
c) 10,0 s e 20,0 m
d) 20,0 s e 10,0 m
e) 20,0 s e 40,0 m
08. (UEPG 2011) Um projétil, quando é lançado obliquamente, no 
vácuo, descreve uma trajetória parabólica. Essa trajetória é resultante 
de uma composição de dois movimentos independentes. Analisando 
a � gura abaixo, que representa o movimento de um projétil lançado 
obliquamente, assinale o que for correto.
01) As componentes da velocidade do projétil, em qualquer instante 
nas direções x e y, são respectivamente dadas por, Vx = V0 · cosθ
e Vy = V0 · senθ – gt.
02) As componentes do vetor posição do projétil, em qualquer instante, 
são dadas por, x = V0 · cosθ · t e y = V0 · sen -
1
2
gt2.
04) O alcance do projétil na direção horizontal depende da velocidade 
e do ângulo de lançamento.
08) O tempo em que o projétil permanece no ar é t
V sen
g
� 2 0
. �
. 
16) O projétil executa simultaneamente um movimento variado na 
direção vertical e um movimento uniforme na direção horizontal.
09. Uma partícula cuja posição inicial vale (2,4) m possui velocidade 
inicial (1,0) m/s, em relação ao solo. A opção que mostra o vetor 
posição da partícula 1,0 s após o início do movimento é, em metros:
a) (3, -1).
b) (3,1).
c) (1, -5).
d) (3, 5).
e) (3, 0).
10. (FUVEST 2017) A � gura foi obtida em uma câmara de nuvens, 
equipamento que registra trajetórias deixadas por partículas 
eletricamente carregadas. Na � gura, são mostradas as trajetórias dos 
produtos do decaimento de um isótopo do hélio 62( He) em repouso: 
um elétron (e–) e um isótopo de lítio 63( Li) bem como suas respectivas 
quantidades de movimento linear, no instante do decaimento, 
representadas, em escala, pelas setas. Uma terceira partícula, 
denominada antineutrino (v carga zero), é também produzida nesse 
processo.
O vetor que melhor representa a direção e o sentido da quantidade de 
movimento do antineutrino é
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
50
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DESAFIO PRO
1 (IME 2018) Duas partículas e B, carregadas eletricamente com mesmos valores de cargas positivas, partem da origem 
em velocidade nula no instante t = 0, e têm suas componentes 
de aceleração em relação aos eixos X e Y regidas pelas seguintes 
equações temporais:
=
 =
= −
 = −
x
y
x
y
a (t) cos (t)
Partícula A:
a (t) sen (t)
a (t) cos (t)
Partícula B:
a (t) sen (t) cos (t)
O instante tmin, onde 0 ≤ tmin ≤ 2π, em que a força de repulsão 
entre as cargas é mínima é
a) π
3
2
b) π
1
4
c) π
1
2
d) π
3
4
e) π
2 (ITA 2013) Ao passar pelo ponto O, um helicóptero segue na direção norte com velocidade v constante. Nesse 
momento, um avião passa pelo ponto P, a uma distância δ de O, 
e voa para o oeste, em direção a O, com velocidade u também 
constante, conforme mostra a � gura. Considerando t o instante 
em que a distância d entre o helicóptero e o avião for mínima, 
assinale a alternativa correta.
a) A distância percorrida pelo helicóptero no instante em que 
o avião alcança o ponto O é δu/v.
b) A distância do helicóptero ao ponto O no instante t é igual 
a δ +2 2v v u .
c) A distância do avião ao ponto O no instante t é igual a δv²/
(v² + u²).
d) O instante t é igual a δv/(v² + u²).
e) A distância d é igual a 2 2u v u .δ +
3 (ITA 2009) Na � gura, um ciclista percorre o trecho AB com velocidade escalar média de 22,5 km/h e, em seguida, o 
trecho BC de 3,00 km de extensão. No retorno, ao passar em 
B, veri� ca ser de 20,0 km/h sua velocidade escalar média no 
percurso então percorrido, ABCB. Finalmente, ele chega em 
A perfazendo todo o percurso de ida e volta em 1,00 h, com 
velocidade escalar média de 24,0 km/h. Assinale o módulo v do 
vetor velocidade média referente ao percurso ABCB.
a) v = 12,0 km/h
b) v = 12,00 km/h
c) v = 20,0 km/h
d) v = 20,00 km/h
e) v = 36,0 km/h
4 (IME 2016) Dois observadores em movimento acompanham o deslocamento de uma partícula no plano. O observador 
1, considerando estar no centro de seu sistema de coordenadas, 
veri� ca que a partícula descreve um movimento dado pelas 
equações x1(t) = 3cos(t) e y1(t) = 4sen(t), sendo t a variável tempo. 
O observador 2, considerando estar no centro de seu sistema 
de coordenadas, equaciona o movimento da partícula como 
x2(t) = 5cos(t) e y2(t) = 5sen(t). O observador 1 descreveria o 
movimento do observador 2 por meio da equação:
Observações:
- os eixos x1 e x2 são paralelos e possuem o mesmo sentido; e
- os eixos y1 e y2 são paralelos e possuem o mesmo sentido.
a) + =2 29x 16y 25
b) + =
2 2x y
25
9 16
c) + =2 24x y 1
d) + =
2
2x y 1
4
e) + =2 24x y 4
5 (IME 2019)
Uma partícula desloca-se solidária a um trilho circular com 0,5 m 
de raio. Sabe-se que o ângulo θ indicado na � gura, segue a 
equação θ = t2, onde t é o tempo em segundos e θ é o ângulo em 
radianos. O módulo do vetor aceleração da partícula, em t = 1 s, é:
a) √5
b) √2
c) 1
d) 2√5
e) 2
6 A velocidade da correnteza de um rio é V0 = 0 junto à margem 1 e V = 2 m/s do outro lado do rio (margem 2). 
Uma canoa se dirige do ponto A até o ponto B. A velocidade da 
canoa em relação à água é VB = 2 m/s. Determine o ângulo α que 
a velocidade da canoa faz com a margem 1.
Obs.: A velocidade da correnteza cresce proporcionalmente da 
margem 1 até a margem 2.
7 Um cone roda sem deslizamento em um plano. O eixo do cone gira com velocidade ω ao redor da vertical que passa 
através do seu vértice. A altura do cone é h, o ângulo entre o 
eixo e a aresta é igual a α = 30º. Seja Ω a velocidade angular de 
rotação do cone ao redor de seu eixo. Assim sendo, determine 
o valor da razão 
Ω
ω
.
51
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GABARITO
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. B
02. A
03. A
04. A
05. B
06. A
07. D
08. B
09. B
10. B
EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO
01. A
02. A
03. D
04. C
05. A
06. C
07. C
08. C
09. D
10. D
11. D
12. C
13. E
14. B
15. B
16. E
17. C
18. A
19. D
20. E
21. E
22. E
23. D
24. A
25. E
26. a) A � gura abaixo mostra a posição do encontro e o vetor 
deslocamento vetorial de PA.
A diagonal de um quadrado vale: d 2= 
PA
m PA
r 300 2 m
r 300 2
V 0,7 m s
t 600
∆ =
∆
= = ≅
∆



A direção e o sentido estão mostrados na � gura.
b) 1,5 m/s
27. B
28. (VA/B)estradaA = 59 km/h
29. A
30. 36 s
31. A
32. 3
3
EXERCÍCIOS DE COMBATE
01. D
02. C
03. E
04. B
05. A
06. E
07. C
08. 01, 04, 08, 16
09. A
10. D
DESAFIO PRO
01. E
02. C
03. A
04. D
05. A
06. 60º07. Ω
ω
 = 2
ANOTAÇÕES
52
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ANOTAÇÕES