AFRFB_racioc_logico_traumatizados_exercicios_Aula 13

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CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
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AULA 13 – Estatística descritiva: Medidas de posição 
I. INTRODUÇÃO. .......................................................................................................................................3 
1. Estatística descritiva e inferencial . .........................................................................................................3 
2. População e amostra. ............................................................................................................................3 
3. Amostragem aleatória. ..........................................................................................................................4 
II. FORMAS DE APRESENTAÇÃO DE DADOS................................................................................................5 
III. FORMAS NÃO AGRUPADAS DE APRESENTAÇÃO DE DADOS ...................................................................5 
1. Dados brutos. ........................................................................................................................................5 
2. Rol . .......................................................................................................................................................5 
3. Diagrama de ramos e folhas . .................................................................................................................8 
IV. DADOS TABELADOS – AGRUPADOS POR VALOR . 10 
1. Freqüências. 11 
2. Freqüências absolutas . 11 
3. Freqüências relativas. 15 
V. FORMAS GRÁFICAS DE APRESENTAÇÃO DE DADOS. 21 
1. Colunas justapostas. 21 
2. Colunas compostas. 21 
3. Gráfico de setores . 22 
VI. DADOS TABELADOS: AGRUPADOS EM CLASSES . 22 
VII. FORMAS GRÁFICAS DE APRESENTAÇÃO DE DADOS EM CLASSES. 25 
1. Histograma . 25 
2. Polígono de freqüências . 26 
VIII. MEDIDAS DE POSIÇÃO . 29 
IX. MÉDIA. 29 
1. Média aritmética para dados em rol . 29 
2. Propriedades da média aritmética. 33 
3. Média para dados agrupados por valor. 36 
4. Média para dados em classe. 42 
 
 
 
 
 
 
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5. Média ponderada. 52 
6. Média geométrica e média harmônica. 61 
X. MODA. 67 
1. Moda para dados em rol e para dados agrupados por valor . 67 
2. Moda para dados em classe. 69 
3. Moda quando as amplitudes de classe são diferentes. 78 
XI. MEDIANA E MEDIDAS SEPARATRIZES . 81 
1. Mediana para dados em rol. 82 
2. Mediana para dados agrupados por valor. 90 
3. Demais medidas separatrizes para dados em rol ou agrupados por valor . 93 
4. Medidas separatrizes para dados em classe.. 98 
XII. LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSO . 135 
XIII. GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSO . 156 
 
 
 
 
 
 
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I. INTRODUÇÃO 
1. Estatística descritiva e inferencial 
A estatística é usualmente dividida em duas partes: a descritiva e a inferencial. 
A estatística descritiva, como o próprio nome indica, busca descrever um conjunto de dados 
por meio de algumas medidas. Acho que a melhor maneira de entender é por meio de um 
exemplo. 
Considere uma pesquisa sobre o salário das pessoas de um bairro. Entrevistamos diversos 
moradores e anotamos seus salários. Um trecho de nossas anotações poderia ser representado 
assim: 
Salários dos moradores bairro Nova Vila: 
R$ 5.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 7.000,00; R$ 1.000,00; R$ 4.000,00, R$ 2.000,00, 
R$ 4.000,00, R$ 3.000,00, R$ 6.000,00... 
E a lista prosseguiria, com dezenas e dezenas de salários. Só que simplesmente pegar esta 
listagem e apresentar para alguém não permite, de imediato, tirar conclusões sobre as pessoas 
deste bairro. São predominantemente de classe média, baixa, alta? O bairro é mais ou menos 
homogêneo ou abriga pessoas ricas e pobres? 
Se em vez de apresentarmos toda a nossa listagem dissermos que o salário médio das pessoas 
pesquisadas no bairro Nova Vila é de R$ 3.600,00, aí sim já podemos começar a tirar algumas 
conclusões. Esta média descreve, de maneira sucinta, todo o nosso conjunto de dados. É uma 
medida típica na estatística descritiva. 
Já a estatística inferencial tem outro propósito. Se quisermos, a partir da média obtida nesta 
nossa pesquisa, calcular qual a provável média salarial de todos os moradores do bairro, 
usaremos ferramentas de estatística inferencial. Seu intuito é fazer generalizações, a partir de 
alguns valores conhecidos. 
2. População e amostra 
Voltemos ao exemplo da seção anterior, em que queríamos pesquisar o salário das pessoas do 
bairro Nova Vila. O conjunto formado pelos salários de todas as pessoas do bairro é a nossa 
população. 
População: conjunto de todos os elementos que possuem uma determinada característica em 
comum. 
No nosso caso, estamos interessados nos dados que representam salários de pessoas que 
moram no bairro Nova Vila. Esta é a característica de interesse. 
Se entrevistarmos todas as pessoas do bairro, estamos realizando um censo. Agora, 
dependendo da população, fica inviável entrevistar todo mundo. Imagine se for um bairro 
muito grande. De repente não se tem tempo suficiente para esperar que todo mundo seja 
 
 
 
 
 
 
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entrevistado. Ou não se tem dinheiro para pagar toda a quantidade de pessoal que seria 
necessária para coletar tais dados. Nestes casos, em vez de entrevistarmos todo mundo, 
escolhemos uma amostra. 
Amostra: qualquer subconjunto não vazio da população. 
Apesar de eu ter dito “qualquer subconjunto”, este “qualquer” tem exceção. O conjunto de 
todos os salários dos moradores (= população) é um subconjunto de si mesmo. Então uma 
definição mais correta de amostra seria: qualquer subconjunto não vazio da população, exceto 
a própria população. 
O termo apropriado seria: subconjunto próprio. 
Um subconjunto próprio é aquele que difere do conjunto original. Com isso, nossa definição 
de amostra passa a ser: 
Amostra: qualquer subconjunto próprio e não vazio da população 
Há diversos fatores que nos levam a fazer uma amostragem. No exemplo da pesquisa salarial 
com os moradores do bairro Nova Vila, já demos algumas razões (tempo, custo). Há outras. 
Considere que se deseje testar a resistência de uma dada mercadoria, produzida em série por 
uma empresa. O teste consiste em submeter esta mercadoria a pressões cada vez maiores, até 
que ele arrebente. Não podemos testar todas as mercadorias produzidas. Se não, não sobra 
nenhum produto e o teste fica sem o menor sentido. Seria o caso daquela piada comum do 
português (com todo respeito aos portugueses) que risca todos os fósforos da caixa para ver se 
estão funcionando. Neste caso, testando toda a população, temos uma situação absurda. 
EC 1 ARCE 2006 [FCC] 
O processo estatístico que consiste em uma avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se 
todos os componentes da população, denomina-se: 
a) amostragem 
b) estimação 
c) censo 
d) parametrização 
e) correlação 
Resolução: 
Quando temos acesso a todos os valores da população, estamos realizando um censo. 
Gabarito: C. 
3. Amostragem aleatória 
 
 
 
 
 
 
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Há diversos tipos de amostragem. A amostragem aleatória simples é a mais cobrada em 
provas de concursos.De forma bem resumida, podemos dizer que se trata da amostragem 
feita de forma que cada elemento da população tem a mesma chance de ser escolhido. Por 
exemplo: queremos escolher alguns empregados de uma empresa para realizar uma entrevista. 
Escrevemos os nomes de todos os funcionários em pedaços de papel de mesmo tamanho. 
Colocamos todos os nomes em um saco. Misturamos bem todos os papéis. Feito isto 
sorteamos 5 nomes. Este é um exemplo de amostragem aleatória simples. Todos os 
funcionários têm a mesma chance de serem escolhidos. Além disso, qualquer combinação de 
cinco pessoas tem a mesma chance de ser sorteada. 
Por enquanto, esta noção de amostragem aleatória está ótima. Falamos mais sobre ela 
depois que entrarmos em estatística inferencial. 
II. FORMAS DE APRESENTAÇÃO DE DADOS 
Antes de estudarmos as medidas que descrevem de forma sucinta um conjunto de dados, 
precisamos saber de quais formas os dados podem ser apresentados. Basicamente, eles podem 
ser organizados das seguintes formas: 
· em ROL 
· em uma tabela, agrupados por valor 
· em uma tabela, agrupados em classes. 
Há ainda as chamadas formas gráficas, que acabam guardando correspondência a pelo menos 
uma das formas básicas acima indicadas. 
III. FORMAS NÃO AGRUPADAS DE APRESENTAÇÃO DE DADOS 
1. Dados brutos 
Voltemos ao bairro Nova Vila. Vamos supor que efetuamos a tal pesquisa no bairro. 
Entrevistamos apenas dez pessoas. Os resultados obtidos foram: 
Salário dos moradores da Nova Vila – amostra com dez salários: R$ 5.000,00; R$ 2.000,00; 
R$ 2.000,00; R$ 7.000,00; R$ 1.000,00; R$ 4.000,00, R$ 2.000,00, R$ 4.000,00, R$ 3.000,00, 
R$ 6.000,00. 
O que significa a listagem acima? Significa que chegamos para um primeiro morador e 
perguntamos: qual o seu salário? Ele responde: R$ 5.000,00. A gente pega e anota este valor. 
Fazemos a mesma pergunta para uma segunda pessoa. Ela responde: R$ 2.000,00. A gente 
pega e anota este valor. E assim por diante. 
A estes dados desorganizados, chamamos de dados brutos. Eles estão simplesmente 
na ordem em que foram coletados. Não receberam qualquer tratamento. 
2. Rol 
Se colocarmos nossos dados em ordem crescente (ou decrescente) temos um 
ROL. Geralmente em concurso só aparece o rol crescente. O rol da nossa pesquisa ficaria 
 
 
 
 
 
 
 
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Rol: R$ 1.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 3.000,00; R$ 4.000,00; R$ 
4.000,00; R$ 5.000,00; R$ 6.000,00; R$ 7.000,00. 
O rol já é uma primeira forma de organizar nossos dados. É também uma maneira de 
apresentarmos nossos dados. Como ainda vamos utilizar este exemplo durante algum tempo 
ao longo do curso, vamos simplificar a escrita. Vamos tirar o símbolo ‘R$’ e indicar apenas as 
unidades de milhar. 
Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7. 
Então rol é apenas isto. Nada mais é que um conjunto de números (resultados de uma 
pesquisa, de um experimento etc.), colocados em ordem crescente (ou decrescente). 
É muito comum que se queira referir a um elemento em particular da nossa série de dados. 
Uma notação muito usual é: iX (lê-se “xis, índice i”). É utilizada para nos referimos ao “i-
ésimo” elemento. Vamos dar um exemplo. 
Quem é o terceiro elemento? A pergunta pode ser reescrita como: 
Qual o valor de 3X ? 
Resposta: o terceiro elemento é 2 ( ) 23 =X 
Para chegar à resposta, simplesmente nos dirigimos ao Rol e contamos. O primeiro elemento 
é o 1, o segundo elemento é o 2 e o terceiro elemento também é 2. 
Abaixo seguem mais valores de iX : 
X1 = 1; X2 = 2; X3 = 2; X4 = 2; X5 = 3; X6 = 4; X7 = 4; X8 = 5; X9 = 6; X10 = 7. 
Somatório 
Conhecendo esta notação, podemos apresentar uma ferramenta muito importante em 
estatística: o SOMATÓRIO. 
O símbolo de somatório é: ∑ 
A utilidade do somatório é possibilitar uma escrita mais compacta. 
Desejamos saber qual o salário total das pessoas pesquisadas. Ou seja, queremos somar todos 
os valores de salários das dez pessoas entrevistadas. 
Precisamos fazer o seguinte: 
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 = 36. 
O salário total das dez pessoas entrevistadas é de R$ 36.000,00. 
Em vez de escrever desta forma, poderíamos escrever: 
 
 
 
 
 
 
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∑
=
10
1 i
iX =36 
O que significa esta simbologia? Significa que queremos somar valores (pois há um símbolo 
de somatório). Que valores queremos somar? Queremos somar valores de Xi. Quais valores de 
Xi? Aqueles para os quais ‘i’ vai de 1 até 10. 
A expressão ∑
=
10
1 i
iX =36 nada mais é que uma forma compacta de escrever X1 + X2 + X3 + X4 + 
X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 = 36. 
Passemos para um outro exemplo. Para a nossa mesma série de dados, vamos calcular ∑
=
5
2 i
iX . 
Sabemos que queremos somar valores (pois há um símbolo de somatório). Queremos somar 
valores de Xi para os quais ‘i’ vai de 2 até 5. Assim, queremos calcular a seguinte soma: 
X2 + X3 + X4 + X5 
Substituindo os valores, ficamos com: 
∑
=
5
2 i
iX = X2 + X3 + X4 + X5 = 2 + 2 + 2 + 3 = 9. 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
EP 1 Considere a seguinte seqüência de dados: 
2, 6, 1, 4, 6. 
Obtenha o rol correspondente 
EP 2 Considere a seguinte seqüência de dados: 
3, 1, 4, 2, 7, 3 
Obtenha o valor de ∑
=
3
1 i
iX 
EP 3 Para a mesma seqüência de dados do exercício anterior, obtenha ( )∑
=
4
1
2
i
iX . 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Resolução - EP 1. 
ROL: 1, 2, 4, 6, 6 
Resolução EP 2: 
 
 
 
 
 
 
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Primeiro passo: obtendo o ROL. 
ROL: 1, 2, 3, 3, 4, 7 
Identificando os termos. 
X1=1; X2=2; X3=3; X4=3; X5=4; X6=7 
Fazendo a soma: 
6 32 132
3
1
1 = ++ =+ +=∑
=
X XX X
i
i 
Resolução EP 3: 
Fazendo a soma: 
( )∑
=
= ++ += ++ +=
4
1
22222 23 99 41 33 21
i
iX . 
3. Diagrama de ramos e folhas 
A primeira forma de organização de dados que nós vimos foi o ROL. 
Pois bem, existe uma outra forma de apresentação de dados que guarda perfeita 
correspondência com o ROL. Costumo dizer que é um “ROL modificado”. É o diagrama de 
ramos e folhas. 
No diagrama de ramos e folhas nós separamos cada número em duas partes. 
Os diagramas que mais caem em prova separam a unidade de um lado e o resto do número do 
outro lado. Assim, considere o seguinte ROL: 
10, 11, 13, 14, 15, 15, 16, 18, 18, 19, 20, 22, 25, 26, 29. 
Se quiséssemos representar esses dados por meio de um diagrama de ramos e folhas, ficaria 
assim: 
1 0134 
1 556889 
2 02 
2 569 
Observem como separamos cada número em duas partes. Na coluna da esquerda temos as 
dezenas. As dezenas seriam os ramos. Do lado direito, temos as unidades, que seriam as 
folhas. As folhas se prendem aos ramos. 
Assim, “1” – espaço – “0134”, num diagrama de ramos e folhas, significa que, no ROL 
original, nós temos os números 10, 11, 13, 14. 
Outro detalhe. É muito comum que os diagramas de ramos e folhas separem as unidades em 
dois grupos: de 0 a 4 e de 5 a 9. 
Para entendermos isso, vamos focar nos números que iniciam com 1 (10, 11, 13, ..., 19). 
Foram necessárias duas linhas para representar tais números. Na primeira linha, 
 
 
 
 
 
 
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representamos os números de 10 a 14 (logo, o algarismo das unidades variou de 0 a 4). Na 
segundalinha, representamos os números de 15 a 19 (unidade variando de 5 a 9). 
Então é isso. Os diagramas que mais caem em concursos adotam as seguintes regras: 
· separam as unidades do resto do número (a unidade seria a folha) 
· para cada dezena são necessárias duas linhas: uma para as unidades de 0 a 4; outra para 
as unidades de 5 a 9 
Por fim, cumpre destacar que não existe uma regra fixa para construção do diagrama de ramos 
e folhas. A idéia é apenas isso: dividir os números em duas partes. Em concursos, geralmente 
separamos as unidades do restante do número. O algarismo das unidades corresponderia às 
folhas. Mas seria perfeitamente possível, por exemplo, o seguinte ROL: 
ROL: 1,23; 1,24; 1,56; 1,89; 2,31; 2,87; 3,14; 3,67; 4,45; 4,67; 4,89 
E poderíamos construir o seguinte diagrama: 
1 23, 24, 56, 89 
2 31, 87 
3 14, 67 
4 45, 67, 89 
Novamente separamos os números em duas partes. Mas as folhas agora são os números após a 
vírgula. E os ramos são as unidades. Além disso, não foram necessárias duas linhas para os 
números iniciados com 1 (“um vírgula qualquer coisa”). Idem para os números iniciados com 
2, 3 e 4. 
EP 4 Considere o seguinte ROL: 
23, 24, 25, 26, 28, 28, 32, 38, 43, 44, 48, 51, 55, 59, 60, 65, 76, 79, 82. 
Elabore o diagrama de ramos e folhas correspondente, adotando as seguintes regras: 
- separe as unidades (folhas) das dezenas (ramos) 
- para cada dezena, utilize duas linhas: uma para algarismos das unidades indo de 0 a 4; outra 
indo de 5 a 9. 
Resolução: 
2 3, 4 
2 5, 6, 8, 8 
3 2 
3 8 
4 3, 4 
4 8 
5 1 
5 5, 9 
6 0 
 
 
 
 
 
 
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10
6 5 
7 
7 6, 9 
8 2 
Notem que a primeira linha correspondente à dezena “setenta” está em branco, pois não há 
nenhum número entre 70 e 74. 
IV. DADOS TABELADOS – AGRUPADOS POR VALOR 
Voltemos ao nosso rol lá do começo da aula, formado pelos salários das pessoas do Bairro 
Nova Vila. 
Rol: R$ 1.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 3.000,00; R$4.000,00; R$ 
4.000,00; R$ 5.000,00; R$ 6.000,00; R$ 7.000,00. 
Simplificando a escrita, temos: 
ROL (salários em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7. 
Como são apenas dez dados, até que não é tão difícil trabalhar com o ROL. Agora, imagine 
que tivessem sido entrevistadas cem mil pessoas. Já pensou ficar escrevendo: “1, 1, 1, 1, 1, 1, 
1, ....” uma quinhentas vezes. Depois “2, 2, 2, 2 ...” umas mil vezes e assim por diante. 
Isso sem levar em conta que ainda poderíamos ter valores como 1,1 (mil e cem reais) ou 2,25 
(dois mil duzentos e cinqüenta reais). 
Com um número muito grande de dados, trabalhar com o ROL pode não ser a melhor opção. 
Pois bem, uma outra maneira de se trabalhar com os dados é agrupar os valores iguais. 
Colocamos os dados em uma tabela, indicando a freqüência com que cada valor acontece. 
Salários (em R$ 1.000,00) Freqüência absoluta simples 
1 1 
2 3 
3 1 
4 2 
5 1 
6 1 
7 1 
Daqui a pouco falamos sobre os vários tipos de freqüência. Por hora, basta saber que a 
freqüência absoluta simples nos indica quantas vezes um valor ocorre. 
A freqüência do valor 1 (=mil reais) é 1. Isto significa que temos uma pessoa com o salário de 
mil reais. 
A freqüência do valor 2 (= dois mil reais) é 3. Isto significa que temos três pessoas com 
salário de dois mil reais. Ou ainda, o salário de dois mil reais ocorre três vezes. 
Assim, em vez de escrever “2, 2, 2” (indicando que o valor dois ocorre três vezes), apenas 
colocamos sua freqüência absoluta simples. Agrupamos todos os salários de R$ 2.000,00 em 
uma única linha. Dizemos que estamos agrupando os dados por valor. 
A freqüência do valor 3 (=três mil reais) é 1. Isto significa que temos uma pessoa com o 
salário de três mil reais. Ou ainda, o salário de três mil reais ocorre uma vez. E assim por 
diante. 
 
 
 
 
 
 
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É comum chamar essa relação de valores e suas respectivas freqüências (que pode ser 
expressa tanto por meio de tabelas, quanto de gráficos) de distribuição de freqüências. 
Vamos agora estudar os outros tipos de freqüência. 
1. Freqüências 
Um conceito recorrente em estatística é o conceito de freqüência. São de quatro tipos: 
· freqüência absoluta simples ( f ); 
· freqüência absoluta acumulada ( F ); 
· freqüência relativa simples ( fr ); 
· freqüência relativa acumulada ( Fr ). 
Todas as freqüências guardam relação com o número de ocorrências de um valor ou classe de 
valores. Em seguida, analisaremos cada tipo de freqüência. 
2. Freqüências absolutas 
A freqüência absoluta simples indica o número de ocorrências de um valor ou classe de 
valores (obs: ainda nesta aula veremos o que é uma classe – ver fl. 22). 
Para exemplificar, voltemos aos nossos dados (1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7). 
Quantos valores iguais a 2 nós temos? (ou ainda: quantas pessoas ganham R$ 2.000,00?). 
Resposta: são três valores iguais a 2 (ou ainda: três pessoas ganham R$ 2.000,00). 
Dizemos que a freqüência absoluta simples do número 2 é 3. 
O número 4 ocorre 2 vezes. Assim, a freqüência absoluta simples do número 4 é 2. 
A tabela abaixo mostra as freqüências para cada valor de X. 
Salários (em R$ 1.000,00) Freqüência absoluta simples 
1 1 
2 3 
3 1 
4 2 
5 1 
6 1 
7 1 
TOTAL 10 
Quando os dados estão agrupados por valor, é natural que a gente queira se referir a um 
específico valor e sua freqüência. Para tanto, usamos a notação iX (“xis” índice “i”) para nos 
referirmos a cada valor e if (“efe” índice “i”) para nos referirmos a cada freqüência. 
Deste modo, o primeiro valor é 1. Dizemos que 11 =X . Sua freqüência também é igual a 1. 
Dizemos que 1f 1 = . 
 
 
 
 
 
 
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O segundo valor é 2. Ou seja, 22 =X . E sua freqüência é igual a 3. Portanto, 3f 2 = . 
Repare que o total das freqüências absolutas simples é 10. E 10 é justamente o número de 
pessoas pesquisadas. Isto não é coincidência. 
Na tabela acima, indicamos quantas pessoas ganham cada um dos salários. Se são 10 pessoas, 
é natural esperar que, somando todas as freqüências, obtenhamos justamente 10. 
Como regra geral, se tivermos ‘n’ elementos, podemos dizer que: 
n fi =∑ 
Para o caso acima, temos 7 valores de freqüência. O somatório de todas as freqüências fica: 
7654321
7
1
ffffffff
i
i + ++ ++ +=∑
=
10 11 12 13 1
7
1
= ++ ++ ++ =∑
=i
if 
Valor 
observado (X)
Freqüência absoluta 
simples
1 1
2 3
3 1
4 2
5 1
6 1
7 1
TOTAL 10
sempre igual a n
A freqüência absoluta acumulada nos dá quantos valores são menores ou iguais ao valor 
observado. Para a nossa seqüência de dados, podemos construir a seguinte tabela: 
Salários (em R$ 1.000,00) Freqüência absoluta 
acumulada 
1 1 
2 4 
3 5 
4 7 
5 8 
6 9 
7 10 
Tomemos como exemplo o valor 4 (linha em vermelho). 
Quantos valores menores ou iguais a 4 nós temos? (ou ainda: quantas pessoas ganham de R$ 
4.000,00 pra baixo?) 
 
 
 
 
 
 
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Resposta: temos 7 valores menores ou iguais a 4 (são eles: 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4). Ou ainda: sete 
pessoas ganham salários menores ou iguais a R$ 4.000,00. 
Portanto, a freqüência acumulada do valor 4 é 7. 
Note que a última freqüência acumulada é igual a 10 (exatamente o número de dados). Isto 
não é coincidência. Se omaior valor é 7, então todos os dados serão menores ou iguais a 7. 
Portanto, a freqüência absoluta acumulada do valor 7 é 10. 
Valor 
observado (X)
Freqüência absoluta 
acumulada
1 1
2 4
3 5
4 7
5 8
6 9
7 10
sempre igual a n
É importante saber como se faz para, a partir da freqüência absoluta simples, chegar à 
freqüência absoluta acumulada. 
Suponha que temos apenas os valores de freqüências simples e queremos obter as freqüências 
acumuladas. Como fazer? 
A primeira linha da coluna de freqüência acumulada coincide com a de freqüência simples. 
Assim, o primeiro valor de freqüência acumulada é igual a 1. 
Valor 
observado (X)
Freqüência absoluta 
simples
Freqüência absoluta 
acumulada
1 1 1
2 3
3 1
4 2
5 1
6 1
7 1 
A partir da segunda linha, os valores começam a se diferenciar. Tomamos o valor de 
freqüência acumulada da linha anterior (no caso ‘1’). Tomamos o valor da freqüência simples 
da linha atual (no caso ‘3’). Somamos os dois (1+3 = 4) e preenchemos a segunda linha da 
coluna de freqüência acumulada. Esta seqüência está expressa nas linhas de cor vermelha. 
Valor 
observado (X)
Freqüência absoluta 
simples
Freqüência absoluta 
acumulada
1 1 1
2 3 4
3 1
4 2
5 1
6 1
7 1
1+3=4
Para a linha seguinte, a mesma coisa. 
 
 
 
 
 
 
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Valor 
observado (X)
Freqüência absoluta 
simples
Freqüência absoluta 
acumulada
1 1 1
2 3 4
3 1 5
4 2
5 1
6 1
7 1
4+1=5
E o mesmo raciocínio segue até a última linha. 
Valor
observado (X)
Freqüência absoluta 
simples
Freqüência absoluta 
acumulada
Memória 
de cálculo
1 1 1 =1
2 3 4 =1+3
3 1 5 =4+1
4 2 7 =5+2
5 1 8 =7+1
6 1 9 =8+1
7 1 10 =9+1 
É também importante saber como se calcula, a partir da tabela de freqüências acumuladas, os 
valores de freqüências simples. Basta fazer o procedimento inverso do descrito acima. 
Valor 
observado (X)
Freqüência 
absoluta simples
Freqüência 
absoluta acumulada
1 1 1
2 4
3 5
4 7
5 8
6 9
7 10 
A primeira freqüência simples coincide com a primeira freqüência acumulada. 
A partir da segunda linha, os valores começam a diferenciar. Tomamos o valor de freqüência 
acumulada da linha atual (no caso, 4). Tomamos o valor de freqüência acumulada da linha 
anterior (no caso, 1). Subtraímos um do outro. E obtemos a freqüência simples da linha atual. 
Este procedimento está expresso nas linhas azuis. 
Para a linha seguinte, a mesma coisa. 
 
 
 
 
 
 
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Valor 
observado (X)
Freqüência 
absoluta simples
Freqüência 
absoluta acumulada
1 1 1
2 3 4
3 1 5
4 7
5 8
6 9
7 10
5-4=1
E o procedimento segue até a última linha. 
Valor 
observado (X)
Memória de 
Cálculo
Freqüência 
absoluta simples
Freqüência 
absoluta acumulada
1 =1 1 1
2 =4-1 3 4
3 =5-4 1 5
4 =7-5 2 7
5 =8-7 1 8
6 =9-8 1 9
7 =10-9 1 10 
3. Freqüências relativas 
As freqüências relativas são muito parecidas com as absolutas. A única diferença é que, em 
vez de estarmos interessados em valores absolutos, queremos saber valores relativos. 
A palavra “relativo” tem a ver com relação. Em matemática, relação é sinônimo de divisão. 
Pois bem, as freqüências relativas serão obtidas a partir de uma divisão. Divisão esta em que 
o 
denominador é o número de dados. 
A freqüência relativa simples é dada pela freqüência absoluta simples dividida pelo número 
de dados. 
Na nossa pesquisa de salários, temos 10 valores (n = 10). Vamos, a título de exemplo, 
calcular a freqüência relativa simples do número 2. 
O número 2 ocorre três vezes (a freqüência absoluta simples do número 2 é três; isto 
porque há três pessoas que ganham R$ 2.000,00). 
Para obter a freqüência relativa simples do número 2, basta dividir 3 por 10. A freqüência 
relativa simples do número 2 é: 
 
3
2 = ==fr (lê-se “efe erre índice dois”, pois estamos nos referindo à freqüência 
relativa simples do segundo valor). 
O que isto significa? Significa que trinta por cento das pessoas pesquisadas ganham R$ 
2.000,00. 
A tabela abaixo nos mostra as freqüências relativas simples para os dados. 
Salário 
(em R$ 1.000,00) 
Freqüência absoluta 
simples ( f ) 
Freqüência relativa 
simples ( fr ) 
1 1 0,1 
2 3 0,3 
3 1 0,1 
 
 
 
 
 
 
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Salário 
(em R$ 1.000,00) 
Freqüência absoluta 
simples ( f ) 
Freqüência relativa 
simples ( fr ) 
4 2 0,2 
5 1 0,1 
6 1 0,1 
7 1 0,1 
TOTAL 10 1,0 
Observe que cada valor de freqüência relativa é igual à respectiva freqüência absoluta 
dividido por 10 (porque foram 10 pessoas pesquisadas). Note também que a soma de todos os 
valores da coluna de freqüência relativa simples é igual a 1. Isto sempre acontece. 
Valor 
observado (X)
Freqüência 
relativa simples
1 0,1
2 0,3
3 0,1
4 0,2
5 0,1
6 0,1
7 0,1
TOTAL 1
sempre igual a 1
A freqüência relativa acumulada é dada pela divisão da freqüência absoluta acumulada por 
n. Fornece-nos o percentual de valores que são iguais ou menores ao valor analisado. A tabela 
abaixo mostra os valores de freqüência relativa acumulada. 
Salários 
(em R$ 1.000,00) 
Freqüência absoluta 
acumulada )(F 
Freqüência relativa 
acumulada )(Fr 
1 1 0,1 
2 4 0,4 
3 5 0,5 
4 7 0,7 
5 8 0,8 
6 9 0,9 
7 10 1,0 
O que significa dizer que a freqüência relativa acumulada do valor 4 é 0,7? Significa que 70% 
das pessoas entrevistadas ganham salários iguais ou inferiores a R$ 4.000,00. 
Note que a freqüência relativa acumulada do último valor é igual a 1. Isto sempre acontece. 
 
 
 
 
 
 
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Valor 
observado (X)
Freqüência 
relativa acumulada
1 0,1
2 0,4
3 0,5
4 0,7
5 0,8
6 0,9
7 1
sempre igual a 1 
Saber o que significa cada uma das freqüências é muito importante para qualquer prova de 
estatística. Contudo, não há questões que cobrem exclusivamente o seu conceito. Por isso, na 
seqüência, trago alguns exercícios propostos (não são de concursos) só para nos 
familiarizarmos com os conceitos vistos. 
Por fim, um comentário. Vimos como, a partir da freqüência absoluta simples, obter a 
freqüência absoluta acumulada (e vice-versa). 
Para as freqüências relativas, o procedimento é exatamente o mesmo. Se tivéssemos apenas as 
freqüências relativas simples, para obter as freqüências relativas acumuladas faríamos: 
Valor
observado (X)
Freqüência relativa 
simples
Freqüência relativa 
acumulada
Memória 
de cálculo
1 0,1 0,1 =0,1
2 0,3 0,4 =0,1+0,3
3 0,1 0,5 =0,4+0,1
4 0,2 0,7 =0,5+0,2
5 0,1 0,8 =0,7+0,1
6 0,1 0,9 =0,8+0,1
7 0,1 1 =0,9+0,1
E se tivéssemos apenas as freqüências relativas acumuladas, para obter as freqüências 
relativas simples faríamos o seguinte: 
Valor 
observado (X)
Memória de 
Cálculo
Freqüência 
relativa simples
Freqüência 
relativa acumulada
1 =0,1 0,1 0,1
2 =0,4-0,1 0,3 0,4
3 =0,5-0,4 0,1 0,5
4 =0,7-0,5 0,2 0,7
5 =0,8-0,7 0,1 0,8
6 =0,9-0,8 0,1 0,9
7 =1-0,9 0,1 1 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
EP 5 Considere a seguinte seqüência de dados: 
2, 3, 1, 2, 4, 3, 9, 2, 10, 5, 12, 4, 4, 7, 2, 4, 1, 10, 3, 3. 
a) obtenha o ROL 
b) construa a tabela de freqüências absolutas simples 
c) construa a tabela de freqüências absolutas acumuladas 
d) construa a tabela de freqüênciasrelativas simples 
 
 
 
 
 
 
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e) construa a tabela de freqüências relativas acumuladas 
EP 6 Considere a seguinte tabela: 
Valores Freqüência absoluta simples 
1 2 
3 5 
5 2 
7 1 
Obtenha os valores de freqüência relativa acumulada. 
EP 7 Considere a seguinte tabela: 
Valores Freqüência relativa acumulada 
1 0,1 
4 0,5 
6 0,8 
15 1,0 
Sabendo que ao todo são 50 dados, obtenha os valores de freqüência absoluta simples. 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Resolução do EP 5 
a) Para achar o ROL, basta colocar os dados em ordem crescente. 
ROL: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 7, 9, 10, 10, 12 
b) 
Valores Freqüência absoluta simples 
1 2 
2 4 
3 4 
4 4 
5 1 
7 1 
9 1 
10 2 
12 1 
TOTAL 20 
Note que a soma de todas as freqüências simples é igual a 20, que é justamente o número de 
dados do nosso ROL. 
c) Podemos construir a coluna de freqüências acumuladas a partir da coluna de freqüência 
simples. 
 
 
 
 
 
 
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Valores Freqüência absoluta 
simples 
Freqüência absoluta 
acumulada 
Memória de cálculo 
1 2 2 =2 
2 4 6 =2+4 
3 4 10 =6+4 
4 4 14 =10+4 
5 1 15 =14+1 
7 1 16 =15+1 
9 1 17 =16+1 
10 2 19 =17+2 
12 1 20 =19+1 
Note que a última freqüência acumulada simples é igual ao número de dados do nosso ROL 
(=20). 
d) Podemos obter as freqüências relativas simples a partir das freqüências absolutas simples. 
Valores Freqüência absoluta 
simples 
Freqüência relativa 
simples 
Memória de cálculo 
1 2 0,1 =2/20 
2 4 0,2 =4/20 
3 4 0,2 =4/20 
4 4 0,2 =4/20 
5 1 0,05 =1/20 
7 1 0,05 =1/20 
9 1 0,05 =1/20 
10 2 0,1 =2/20 
12 1 0,05 =1/20 
TOTAL 20 1 
Note que a soma de todas as freqüências relativas simples é igual a 1. 
e) Podemos obter as freqüências relativas acumuladas de duas formas. A partir da freqüência 
relativa simples ou a partir da freqüência absoluta acumulada (dividindo todos os valores por 
20). 
Primeira forma: 
Valores Freqüência relativa 
simples 
Freqüência relativa 
acumulada 
Memória de cálculo 
1 0,1 0,1 =0,1 
2 0,2 0,3 =0,1+0,2 
3 0,2 0,5 =0,3+0,2 
4 0,2 0,7 =0,5+0,2 
5 0,05 0,75 =0,7+0,05 
7 0,05 0,8 =0,75+0,05 
9 0,05 0,85 =0,8+0,05 
10 0,1 0,95 =0,85+0,1 
12 0,05 1 =0,95+0,05 
Note que o último valor de freqüência relativa acumulada é igual a 1. 
 
 
 
 
 
 
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Segunda forma: 
Valores Freqüência absoluta 
acumulada 
Freqüência relativa 
acumulada 
Memória de cálculo 
1 2 0,1 =2/20 
2 6 0,3 =6/20 
3 10 0,5 =10/2 
4 14 0,7 =14/20 
5 15 0,75 =15/20 
7 16 0,8 =16/20 
9 17 0,85 =17/20 
10 19 0,95 =19/20 
12 20 1 =20/20 
Resolução EP 6 
Podemos, a partir da freqüência absoluta simples, obter a freqüência absoluta acumulada e, a 
partir desta, obter a freqüência relativa acumulada. 
Obtendo as freqüências absolutas acumuladas: 
Valores Freqüência absoluta 
simples 
Freqüência absoluta 
acumulada 
Memória de cálculo 
1 2 2 =2 
3 5 7 =2+5 
5 2 9 =7+2 
7 1 10 =9+1 
Obtendo as freqüências relativas acumuladas: 
Valores Freqüência absoluta 
acumulada 
Freqüência relativa 
acumulada 
Memória de cálculo 
1 2 0,2 =2/10 
3 7 0,7 =7/10 
5 9 0,9 =9/10 
7 10 1 =10/10 
Resolução EP 7 
Vamos obter os valores de freqüência relativa simples. 
Valores Memória de 
cálculo 
Freqüência 
Relativa simples 
Freqüência relativa acumulada 
1 =0,1 0,1 0,1 
4 =0,5-0,1 0,4 0,5 
6 =0,8-0,5 0,3 0,8 
15 =1,0-0,8 0,2 1,0 
Agora vamos obter os valores de freqüência absoluta simples. 
 
 
 
 
 
 
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Valores Freqüência relativa 
simples 
Freqüência absoluta 
simples 
Memória de cálculo 
1 0,1 5 =0,1 x 50 
4 0,4 20 =0,4 x 50 
6 0,3 15 =0,3 x 50 
15 0,2 10 =02 x 50 
V. FORMAS GRÁFICAS DE APRESENTAÇÃO DE DADOS 
1. Colunas justapostas 
Vamos pegar o mesmo rol trabalhado no começo da aula (aquela pesquisa com os salários dos 
moradores do bairro Nova Vila). 
Rol: R$ 1.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 3.000,00; R$ 4.000,00; R$ 
4.000,00; R$ 5.000,00; R$ 6.000,00; R$ 7.000,00. 
Podemos representar estes dados em um gráfico de colunas. 
Este tipo de gráfico é bem comum no nosso dia a dia. A altura de cada coluna está relacionada 
com a respectiva freqüência absoluta de cada salário. 
Agrupamos todos os salários de R$ 4.000,00 numa coluna de altura 2, o que indica que duas 
pessoas ganham R$ 4.000,00 por mês. Ou ainda, o valor 4.000,00 ocorre duas vezes. Da 
mesma forma, agrupamos todos os valores R$ 2.000,00 em uma coluna com altura 3, que 
indica que este valor ocorre 3 vezes. E assim por diante. 
2. Colunas compostas 
 
 
 
 
 
 
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Aqui nós “empilhamos” as colunas, de forma que cada pedaço tenha altura proporcional à 
freqüência do respectivo valor. Assim, a coluna do valor R$ 1.000,00 é três vezes menor que 
a coluna do valor R$ 2.000,00. Se lembrarmos do ROL original, temos que apenas uma 
pessoa recebe R$ 1.000,00, enquanto três pessoas recebem R$ 2.000,00. 
3. Gráfico de setores 
Igualmente usual é o gráfico em forma de pizza: 
A área de cada fatia da pizza é proporcional à freqüência absoluta do valor. 
Além destes, há diversos outros tipos de gráficos. Apesar de haver inúmeras possibilidades, 
gráficos para dados agrupados por valor pouco caem em prova. 
VI. DADOS TABELADOS: AGRUPADOS EM CLASSES 
Na nossa pesquisa salarial no bairro Nova Vila não são muitos os valores envolvidos. Foram 
entrevistadas apenas dez pessoas. Colocar os dados obtidos em ROL ou em uma tabela, de 
forma agrupada por valor, não é tão trabalhoso. 
Agora imagine que pesquisamos os salários de milhares de pessoas. Mesmo que 
colocássemos tais valores em uma tabela, de forma agrupada (por valor), ainda seriam 
necessárias muitas e muitas linhas. 
Um trechinho da tabela poderia ser: 
Valor observado (R$) Freqüência absoluta simples 
 
 
 
 
 
 
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R$ 500,00 12 
R$ 500,01 2 
R$ 500,02 3 
R$ 500,03 6 
... ... 
E a tabela continuaria com centenas de linhas. 
Nesses casos, é preciso agrupar os valores um pouco mais. Podemos agrupá-los em classes. 
A tabela poderia ficar assim: 
Classe de valor (R$) Freqüência absoluta simples 
500,00 até 999,99 661 
1.000 até 1.999,99 240 
2.000 até 2.999,99 120 
3.000 até 3.999,99 68 
... ... 
Cada “faixa salarial” é uma classe. Classe é apenas isto. É uma faixa de valores, ou ainda, um 
intervalo de valores. 
Na primeira classe, temos salários entre R$ 500,00 e R$ 999,99. A tabela nos informa que 661 
pessoas entrevistadas ganham salários que estão nesta faixa de valores. 
Na segunda classe, temos salários entre R$ 1.000,00 e R$ 1.999,99. E a tabela informa que 
240 pessoas ganham salários nesta faixa de valores. 
E assim por diante. 
Há uma simbologia específica para representar os dados em classes de valores. Vamos passar 
a estudá-la. Para tanto, voltemos ao nosso exemplo da pesquisa salarial dos moradores do 
bairro Nova Vila. 
Relembrando nossoRol: 
R$ 1.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 3.000,00; R$ 4.000,00; R$ 
4.000,00; R$ 5.000,00; R$ 6.000,00; R$ 7.000,00. 
Suponhamos agora que, em vez de divulgarmos todos os dados obtidos na pesquisa, 
colocamos apenas a seguinte tabela, agrupando os valores em classes: 
Classes de valores Freqüência absoluta simples 
[1;4) 5 
[4;7) 4 
[7;10) 1 
Deste modo, há 5 pessoas que ganham entre R$ 1.000,00 e R$ 4.000,00 (incluindo R$ 
1.000,00 e excluindo R$ 4.000,00), há quatro pessoas que ganham entre R$ 4.000,00 e R$ 
7.000,00 e há apenas uma pessoa que ganha entre R$ 7.000,00 e R$ 10.000,00. 
Não custa nada repetir a utilidade dos dados em classes. No nosso exemplo, foram apenas dez 
pessoas entrevistadas. É um número pequeno. Poderíamos perfeitamente divulgar todos os 
dados da pesquisa. 
Já num caso em que o número de dados é muito grande, divulgar todos eles pode fazer com 
que fique difícil de fazer uma leitura adequada da pesquisa. Às vezes se quer publicar o 
resultado num jornal, numa revista, num mural. O espaço disponível para as tabelas é restrito. 
Imagine tentar colocar num mural o resultado de uma pesquisa que envolveu milhares de 
 
 
 
 
 
 
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valores distintos. É inviável apresentar todos eles. Seriam páginas e páginas de tabelas. Nestes 
casos, é útil apresentar somente a quantidade de valores em cada classe. 
Assim procedendo, temos a vantagem de ganhar espaço e de facilitar uma visualização geral 
dos dados. Só que, por outro lado, perde-se um pouco de informação. Por exemplo, 
analisando apenas a tabela com os valores em classes, não sabemos qual o salário de cada 
uma das cinco pessoas que ganham entre R$ 1.000,00 e R$ 4.000,00. Pode ser que todas elas 
ganhem um salário de R$ 2.000,00. Pode ser que cada uma ganhe um salário diferente (por 
exemplo: R$ 1.500,00; R$ 1.525,32; R$ 1.678,00; R$ 3.980,05; R$ 3.988,00). E poderíamos 
listar inúmeras outras possibilidades. Enfim, não temos como descobrir o salário de cada uma 
delas. Apenas sabemos que há cinco pessoas que ganham entre R$ 1.000,00 e R$ 4.000,00. 
Resumindo: com os dados em classes, ganhamos espaço, mas perdemos informação. 
Aqui também podemos usar a expressão “distribuição de freqüências”, a exemplo do que 
fizemos com os dados agrupados por valor. Lá tínhamos a relação entre freqüências e 
respectivos valores. Aqui temos a relação entre as freqüências e respectivas classes. 
Agora vamos detalhar um pouco mais a representação em classes de valores. 
Vejamos a classe [4; 7). O colchete ao lado do quatro indica que o número 4 faz parte da 
classe. O parêntesis ao lado do sete indica que o número 7 não faz parte da classe. 
Logo, na classe de 4 a 7, estamos contando todas as pessoas que ganham de quatro mil reais 
(inclusive as que ganham exatamente R$ 4.000,00) até sete mil reais (sem contar as que 
ganham exatamente R$ 7.000,00). Na verdade, é como se nossa classe envolvesse as pessoas 
que ganham de R$ 4.000,00 até R$ 6.999,99. 
E se a nossa classe fosse assim: [4; 7]? 
Caso a nossa classe fosse [4;7], com dois colchetes, estaríamos levando em consideração as 
pessoas que ganham exatamente R$ 4.000,00 e também as que ganham exatamente R$ 
7.000,00. 
E se nossa classe fosse (4; 7)? 
Aí estaríamos levando em conta as pessoas que ganham de R$ 4.000,01 até R$ 6.999,99. 
Uma outra forma de representar a classe [4;7) seria assim: 
4 │− 7 
Ao lado do número quatro temos um traço vertical. Significa que estamos levando em conta 
as pessoas que ganham exatamente R$ 4.000,00. Ao lado do número sete não tem um traço 
vertical. Significa que não estamos levando em conta as pessoas que ganham exatamente R$ 
7.000,00. 
E se a representação fosse assim: 4 − 7? 
Aí não levaríamos em conta nenhum dos extremos (pois não há nenhum traço vertical). 
Estaríamos nos referindo às pessoas que ganham de R$ 4.000,01 a R$ 6.999,99. 
Na classe [4; 7) dizemos que 4 é o limite inferior. Dizemos também que 7 é o limite superior. 
A tabela abaixo mostra o limite inferior e superior para cada classe. 
Classes de valores Limite inferior Limite superior 
[1;4) 1 4 
[4;7) 4 7 
[7;10) 7 10 
 
 
 
 
 
 
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É muito nome pra saber não é? E vamos a mais alguns nomes... 
À diferença entre os limites superior e inferior, chamamos de amplitude de classe. No nosso 
exemplo, todas as classes têm a mesma amplitude de 3. 
Classes de valores Limite inferior Limite 
superior 
Amplitude de classe 
[1;4) 1 4 3 ( 1 4 −= ) 
[4;7) 4 7 3 ( 4 7 −= ) 
[7;10) 7 10 3 ( 7 = 10 − ) 
E, por fim, vamos ao ponto médio de classe. O ponto médio de classe é a média dos limites 
superior e inferior. 
Classes de valores Ponto médio 
[1;4) 2,5 
[4;7) 5,5 
[7;10) 8,5 
Na primeira classe os limites são 1 e 4. Então o ponto médio da primeira classe fica: 
,5 2 
2
4 1 =+
Para as demais classes, o cálculo é análogo. 
VII. FORMAS GRÁFICAS DE APRESENTAÇÃO DE DADOS EM CLASSES 
1. Histograma 
Considere o seguinte exemplo. 
Quarenta alunos de um curso fizeram uma prova de 20 questões, cada uma delas valendo 
0,20. Deste modo, se um aluno acertar todas as questões, sua nota seria igual a 4. 
As notas obtidas pelos alunos estão resumidas na tabela abaixo. 
Notas Freqüência 
0 – 1 5 
1 – 2 10 
2 – 3 20 
3 – 4 5 
Conforme já estudamos, temos dados agrupados em classes. 
Uma forma gráfica que guarda perfeita correspondência com os dados acima dispostos é o 
histograma. 
O histograma para os dados acima ficaria: 
 
 
 
 
 
 
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A primeira coluna, vermelha, corresponde à primeira classe. A sua altura guarda relação com 
a freqüência da primeira classe: ela indica que temos 5 notas na primeira classe. A sua base 
coincide com os extremos da classe. 
Deste modo, a primeira coluna indica que a primeira classe vai de 0 até 1 e que, nesta classe, 
temos 5 ocorrências. 
Vamos agora para a segunda coluna (verde). O histograma nos indica que esta classe vai de 1 
até 2. Indica ainda que temos 10 ocorrência nesta classe. 
Analogamente, a freqüência da terceira classe é 20 e seus extremos são 2 e 3 (ver coluna 
azul). 
Por fim, a última classe vai de 3 até 4, possuindo freqüência 5 (ver coluna amarela). 
Histograma é apenas isso. É um monte de barrinhas, cada uma delas representando uma 
classe. 
2. Polígono de freqüências 
Vamos voltar ao histograma obtido na seção anterior. 
Considere o seguinte histograma: 
 
 
 
 
 
 
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Se nós passarmos uma linha unindo todos os pontos médios das laterais superiores dos 
retângulos do histograma, obtemos o seguinte gráfico: 
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4
Este gráfico acima é chamado de polígono de freqüência. É uma forma alternativa de 
representação de dados, que pode substituir o histograma. 
EC 2 IRB 2006 [ESAF] 
Histograma e Polígono de freqüência são: 
a) a mesma representação gráfica (idênticas) de uma distribuição de freqüência. 
b) um texto descritivo e uma representação gráfica de uma distribuição de freqüência. 
c) um texto descritivo e uma função gráfica de uma distribuição de freqüência. 
d) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência. 
e) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência, porém com sentidos 
opostos.Comentários: 
O histograma é uma representação gráfica. Temos várias barras, cada uma associada a uma 
classe. A altura das barras tem relação com a freqüência da classe, no caso das amplitudes de 
 
 
 
 
 
 
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classe serem todas iguais. Se forem diferentes, a altura das barras têm relação com a 
densidade de freqüência da classe. 
O polígono de freqüência é um gráfico de linhas que relaciona valores e freqüências. 
Gabarito: D 
EC 3 TJ MA 2005 [ESAG] 
Associe a série de dados estatísticos com o tipo de gráfico mais adequado para representá-la. 
Série de dados 
S1: Evolução do consumo mensal de materiais. 
S2: Participação percentual de cada sócio no capital de uma empresa. 
S3: Quantidade de alunos de uma escola por faixa etária. 
Gráficos 
G1: Histograma 
G2: Gráfico de Linhas 
G3: Gráfico Setorial (Pizza) 
A alternativa correta é: 
a) (S1,G2) ; (S2,G1) ; (S3,G3) 
b) (S1,G3) ; (S2,G1) ; (S3,G2) 
c) (S1,G2) ; (S2,G3) ; (S3,G1) 
d) (S1,G1) ; (S2,G2) ; (S3,G3) 
Resolução 
Em S1 nós temos valores que mudam com o decorrer do tempo. Dizemos que é uma série 
temporal. Neste curso serão muito raras questões sobre séries temporais, por isso não a vimos 
com mais detalhes na parte teórica. Apesar de haver um tópico de estatística que trata deste 
assunto (análise de séries temporais), ele só costuma aparecer em provas específicas para a 
área de estatística. 
Este tipo de série é mais bem representada por um gráfico de linhas. Este gráfico está muito 
presente em nossos dias. Agora na época de eleições, por exemplo, toda hora aparece no 
jornal o gráfico da evolução das intenções de voto dos candidatos, ao longo do tempo. 
Exemplo: José Serra tinha 38% das intenções de voto em maio, 40% em junho, 39% em 
julho, e assim por diante. Em seguida, aparece uma linha demonstrando esta evolução das 
intenções de voto do candidato ao longo do tempo. 
Concluindo: séries temporais são bem representadas por um gráfico de linhas (G2). 
S2 ressalta a participação do dado no total e será mais bem representado por um gráfico de 
pizza (G3). 
 
 
 
 
 
 
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S3 separa os alunos por faixa etária (classes) e é representado por um histograma (G1). 
Gabarito: C 
VIII. MEDIDAS DE POSIÇÃO 
Medidas de posição nos fornecem informações acerca de posições que os dados ocupam. 
Podem ser de dois tipos: 
· Medidas de tendência central (média, mediana e moda). 
· Medidas separatrizes 
As medidas de tendência central indicam valores em torno dos quais os dados “giram”. Um 
exemplo é a média. Se dissermos que a nota média dos alunos em uma prova foi 6, é razoável 
esperar que as notas “giraram” em torno de 6. Um ou outro aluno deve ter tirado 9 ou 10. Um 
ou outro deve ter tirado 0 ou 1. Mas a maioria deve ter ficado com uma nota intermediária, 
uns 4, 5, 6 ou 7. 
Se dissermos que a nota média desses mesmos alunos em uma outra prova foi 8, é razoável 
esperar que as notas giraram em torno de 8. Um ou outro aluno tirou 0 ou 1. Mas o restante 
deve ter ido muito bem, tirando 6, 7, 8, 9 e 10. 
As medidas separatrizes nos ajudam a separar os dados. Um exemplo de medida separatriz é o 
quartil. Uma série de dados possui três quartis que separam a série de dados em quatro partes. 
IX. MÉDIA 
A média aritmética dos dados é dada pela soma dos valores observados, dividida pelo total de 
observações. 
Vamos agora aprender a calculá-la, conforme os dados estejam em rol, agrupados por valor 
ou em classes. 
1. Média aritmética para dados em rol 
Voltemos à nossa pesquisa sobre o salário dos moradores do bairro, visto lá na no começo da 
aula. Relembrando o nosso rol: 
Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7. 
Calculando a soma dos dados, temos: 
36
10
1
=∑
=i
iX 
Só relembrando. A simbologia acima significa que queremos somar valores (pois há um 
símbolo de somatório). Quais valores? Valores de X para os quais ‘i’ vai de 1 até 10. Ou seja, 
queremos somar todos os 10 valores observados. 
A média fica: 
,6 3 
10
36___ = = X 
Ou seja, o conjunto de pessoas pesquisadas apresenta um salário médio de R$ 3.600,00. 
 
 
 
 
 
 
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Média é apenas isto. Basta somar todos os valores e dividir pelo número de dados. 
Este símbolo adotado para média ( X ) é muito comum. Muitos autores o utilizam. É 
importante saber isto porque às vezes as provas de concursos simplesmente indicam X e não 
explicam que se trata da média. 
Para um conjunto de ‘n’ dados, a média pode ser representada por: 
n
X
X
n
i∑___ = 1 
A fórmula acima indica que, para obter a média aritmética, somamos todos os dados e 
dividimos por n. 
Uma coisa que muita gente confunde é o seguinte. Muitas pessoas acham que a média precisa 
pertencer ao conjunto de dados. Isto é falso. No exemplo acima, a média foi 3,6. E na nossa 
amostra não há nenhuma pessoa que ganhe um salário de R$ 3.600,00. 
Este valor 3,6 só é um indicativo de que os salários das pessoas entrevistadas devem girar em 
torno de R$ 3.600,00. 
EC 4 SEFAZ SC 1998 
Uma empresa possui dois técnicos em informática recebendo salários, mensalmente, de R$ 
3.400,00 cada um, quatro economistas recebendo R$ 4.500,00 cada um por mês, um diretor 
de recursos humanos com salário mensal de R$ 7.000,00 e três outros profissionais recebendo 
R$ 5.500,00 cada um por mês. A média, mensal, destes salários é: 
a) 5.830,00 
b) 6.830,00 
c) 2.830,00 
d) 3.830,00 
e) 4.830,00 
Resolução: 
O nosso rol pode ser escrito assim: 
Rol: 3.400; 3.400; 4.500; 4.500; 4.500; 4.500; 5.500; 5.500; 5.500; 7.000. 
São 10 dados (n = 10) 
A média fica: 
n
X
X
n
i∑___ = 1 
10
.000 500 7 . 5.500 500 5 . 4.500 4500. 4.500 400 4 . 3.400 3___ ++++++++=X 
 
 
 
 
 
 
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.830 4
10
.300 48___ ==X 
Gabarito: E. 
EC 5 SEFAZ DF 2001 [FCC] 
Em determinado mês, a média aritmética dos pagamentos de certo tributo, efetuados por 53 
empresas, foi de R$ 2.340,00. Acrescentando-se o pagamento feito por uma nova empresa, a 
média passou a ser R$ 2.480,00. O valor do tributo pago por esta empresa foi de: 
a) 140,00 
b) 990,00 
c) 5.820,00 
d) 7.420,00 
e) 9.900,00 
Resolução: 
Antes de fazer a questão, olhemos atentamente para as alternativas. Dá pra descartar alguma 
sem precisar fazer contas? 
Sim! É possível descartar as letras ‘A’ e ‘B’. 
Com as 53 empresas, a média era de R$ 2.340,00. Depois, uma qüinquagésima quarta 
empresa se juntou às 53 iniciais. E a média aumentou para R$ 2.480,00. 
Ora, se a média aumentou, é porque o tributo pago por esta última empresa foi maior que a 
média anterior. Ou seja, o tributo pago pela última empresa foi maior que R$ 2.340,00. 
E antes mesmo de resolver a questão, podemos já arriscar um chute. Uma única empresa 
aumentou a média em mais de cem reais. Ela deve ter pago um tributo bem alto. Portanto, se 
fôssemos chutar, sem fazer conta, bons palpites seriam as alternativas D e E. A letra E é 
melhor que a D. Isto porque a letra B é igual à letra E dividido por 10, possivelmente 
esperando um erro de conta do candidato. 
Vamos à resolução. No início, quando eram apenas 53 empresas, a média podia ser escrita 
como: 
53
53
1
∑
=
iX
X 
Substituindo o valor de X por2.340, temos: 
2340 53
53 
2340
53
1
53
1 × =⇒ = ∑ ∑ ii X
X
 (I) 
O que isto significa? Significa que se somarmos os tributos pagos pelas 53 empresas, o total 
obtido será 53 x 2340. 
Depois que a última empresa pagou seu tributo, a média passa a ser escrita como: 
 
 
 
 
 
 
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54 
'
54
1
∑
=
iX
X 
Modifiquei o símbolo da média só para diferenciar da média anterior. 
Substituindo o valor de 'X por 2.480, temos: 
2480 54
54 
2480
54
1
54
1 × =⇒ = ∑ ∑ ii X
X
 (II) 
Isto significa que, somando os tributos pagos pelas 54 empresas (considerando as 53 empresas 
iniciais e mais a última empresa a pagar tributo), o resultado obtido será 54 × 2480. 
Na equação (II) eu tenho o total pago pelas 54 empresas. Na equação (I) eu tenho o total pago 
pelas 53 empresas iniciais. Se subtrairmos um pelo outro obtemos o que? Obtemos o tributo 
pago pela última empresa (X54). Ficamos com: 
54
53
1
54
1
X XX ii =−∑∑ 
Caso tenha ficado difícil de entender, é como se estivéssemos fazendo a seguinte conta: 
(X1 + X2 + X3 + ... + X52 + X53 + X54) – (X1 + X2 + X3 + ... + X52 + X53) = X54. 
Continuando: 
54
53
1
54
1
X XX ii =−∑ ∑ 
542340 532480 54 X= −×
Se você quiser fazer a conta e marcar a resposta, sem problemas, vai dar certo. 
Só vou dar uma sugestão. Na conta acima, temos duas multiplicações envolvendo números de 
quatro dígitos. São trabalhosas de fazer. Tomam um tempo. Além das multiplicações, temos 
uma subtração. Seria ótimo se eu pudesse primeiro fazer a subtração, diminuir os valores, e 
depois fazer a multiplicação. Com esta idéia, podemos fazer o seguinte: 
2340 532480 5454 × −× =X
2340 532480 53248054 × −× +=X
Continuando a solução: 
2340 532480 53248054 − +=X 
Colocando o ‘53’ em evidência: 
) 23402480 (53 248054 − +=X 
140) 53 ( 248054 +=X 
Pronto, agora temos apenas uma multiplicação e envolvendo números menores. 
7420 248054 +=X 
 
 
 
 
 
 
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E nem precisamos fazer essa soma. Já sabemos que o tributo pago pela última empresa será 
igual a 7.420 mais 2.480. Logo, esse valor será maior que 7.420. Portanto, a única alternativa 
possível é a letra E. 
990054 =X 
Gabarito: E. 
EC 6 POLICIA FEDERAL 2004 [CESPE] 
Concentração em 
μg/g Desvio padrão 
Elemento Casaco Vidraça 
As 132 122 9,7 
Co 0,54 0,61 0,026 
La 4,01 3,60 0,20 
Sb 2,81 2,77 0,26 
Th 0,62 0,75 0,044 
Um perito criminal recebeu em seu laboratório, como principal evidência em um caso 
criminal, pequenos fragmentos de vidro encontrados incrustados no casaco de um suspeito de 
assassinato. Esses fragmentos são idênticos em composição a uma rara vidraça belga de vidro 
manchado quebrada durante o crime. O perito decidiu então determinar os elementos As, Co, 
La, Sb e Th no vidro incrustado no casaco do suspeito para verificar se este era do mesmo 
material da vidraça belga. A técnica escolhida para essas determinações foi a espectroscopia 
de absorção atômica. As médias e os desvios-padrão das análises em triplicata desses cinco 
elementos nas amostras de vidro retiradas do casaco, bem como os valores conhecidos para a 
vidraça belga são mostrados na tabela acima. Considerando essa situação hipotética, que 
,73 1 3 = e que o parâmetro t de Student para 2 graus de liberdade e 95% de confiança é 
igual a 4,303, julgue os itens a seguir, que se referem às técnicas espectroscópicas de análise e 
à análise estatística de dados. 
[...] 
A média da concentração de As pode ter sido obtida a partir dos valores individuais 121 μg/g, 
130 μg/g e 143 μg/g. 
Resolução: 
Para o elemento As, foram obtidas três amostras. A média da concentração dessas três 
amostras foi de 132. 
A questão diz que esta média pode ter sido obtida a partir dos valores 121, 130 e 143. 
Fazendo a média destes três valores, temos: 
,33 131
3
143 130121 = +=X . 
Portanto a alternativa está incorreta. 
Gabarito: Errado 
2. Propriedades da média aritmética 
 
 
 
 
 
 
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Voltemos à nossa pesquisa de salários dos moradores do bairro Nova Vila. 
Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7. 
Suponhamos que todas essas dez pessoas receberam um aumento salarial de R$ 1.000,00. 
Agora, seus salários são: 
Salários após o aumento: 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8. 
Qual a nova média? 
A nova média será: 
,6 4
10
8 76 55 43 33 2 = + + + ++=X 
O salário médio agora é de R$ 4.600,00. 
Antes, com os salários antigos, a média era de R$ 3.600,00. Agora, todos os dados foram 
somados em R$ 1.000,00. E a média também foi somada de R$ 1.000,00. 
Suponhamos agora que todos esses funcionários, além do salário normal (já reajustado em R$ 
1.000,00), vão receber em dezembro o décimo terceiro integral. Assim, no mês de dezembro, 
os salários vão ficar: 
Salário mais décimo terceiro: 4, 6, 6, 6, 8, 10, 10, 12, 14, 16. 
A nova média fica: 
,2 9
10
16 1412 1010 86 66 4 = + + +++ +=X 
Note que todos os valores foram dobrados. A média, que era de R$ 4.600,00, passou a R$ 
9.200,00. Portanto, a média também dobrou. 
Podemos resumir essas propriedades da seguinte forma: 
· somando ou subtraindo uma constante c de cada elemento do conjunto de dados, a média 
do novo conjunto fica aumentada ou diminuída de c. 
· multiplicando ou dividindo cada elemento do conjunto de dados por uma constante c, a 
média do novo conjunto fica multiplicada ou dividida por c. 
Outras duas propriedades da média são: 
· a média aritmética é o valor em relação ao qual é mínima a soma dos quadrados dos 
desvios. 
· a soma de todos os desvios em relação à média aritmética é igual a zero. 
Sobre essas duas últimas propriedades, por enquanto vai ficar só o registro de que elas 
existem. Explicaremos com mais detalhes na aula de medidas de dispersão. 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS – PROPRIEDADES DA MÉDIA 
EP 8 Calcule a média aritmética da seguinte seqüência: {1, 3, 5} 
EP 9 Calcule a média aritmética da seguinte seqüência: {3, 5, 7} (observe que esta 
foi obtida a partir da seqüência anterior, somando 2 a todos os elementos). 
EP 10 Calcule a média aritmética da seguinte seqüência: {6, 10, 14} (observe que esta 
seqüência foi obtida a partir da anterior, multiplicando todos os elementos por 2). 
 
 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Resolução EP 8: 
3
3
5 31 = +=X 
Resolução EP 9: 
5
3
7 53 = +=X . 
Repare que, como somamos 2 a todos os elementos (em relação à seqüência anterior), a 
média também foi adicionada de 2. Ou seja, a média sofre a mesma alteração sofrida pelos 
dados. 
Resolução EP 10: 
10 
14 106 = +=X 
Repare que, como multiplicamos por 2 todos os elementos (em relação à seqüência anterior), 
a média também foi multiplicada por 2. Ou seja, a média sofre a mesma alteração sofrida 
pelos dados. 
EXERCÍCIOS DE CONCURSOS – PROPRIEDADES DA MÉDIA 
EC 7 SEFAZ BA – 2004 [FCC] 
Uma administradora de locação de imóveis, com o objetivo de analisar o mercado em sua 
região, procedeu às seguintes operações: 
I. Multiplicou por dois os valores de todos os alugueis de sua carteira 
II. Subtraiu R$ 1.200,00 de cada valor encontrado no item I. 
III. Dividiu por R$ 1.000,00 cada valor encontrado no item II 
IV. Calculoua média aritmética de todos os valores apurados no item III. 
Se o valor encontrado no item IV foi de 3/10, então a média aritmética dos valores dos 
alugueis em reais é: 
a) 2300 
b) 1700 
c) 1500 
d) 1300 
e) 750 
Resolução: 
Vamos chamar a média dos aluguéis de X . 
 
 
 
 
 
 
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36
Primeiro, todos os valores são dobrados. Ou seja, a média desses novos valores também será 
dobrada. 
Média dos valores obtidos no item I: X2 
Depois, todos os valores são subtraídos por R$ 1.200,00. Ou seja, a média desses novos 
valores também será reduzida de R$ 1.200,00. 
Média dos valores obtidos no item II: 12002 −X 
Por fim, todos os valores são divididos por R$ 1.000,00. Portanto, a média também ficará 
dividida por mil. 
Média dos valores obtidos em III: 
1000 
12002 −X 
O enunciado me disse que a média dos valores obtidos no item III é de 3/10. Portanto: 
750 
10
3
1000
12002 = ⇒=−X X 
Gabarito: E. 
3. Média para dados agrupados por valor 
Acima, vimos que, quando os dados estão em rol, basta somar todos eles e dividir por n (onde 
n é o número de dados). 
Quando os dados estão agrupados por valor, a idéia de cálculo da média será a mesma. 
Vamos ver como fica. Para tanto, voltemos aos salários dos moradores do bairro Nova Vila. 
Quando os dados estiverem agrupados, uma forma de calcular a média é a seguinte. 
Primeiro passo: criamos uma terceira coluna, igual ao produto das duas anteriores. 
Salários Freqüência absoluta simples = Salário x freqüência 
1 1 1 
2 3 6 
3 1 3 
4 2 8 
5 1 5 
6 1 6 
7 1 7 
Segundo passo: calculamos os totais das duas últimas colunas. 
Salários Freqüência absoluta simples = Salário x freqüência 
1 1 1 
2 3 6 
3 1 3 
4 2 8 
5 1 5 
6 1 6 
7 1 7 
TOTAL 10 36 
 
 
 
 
 
 
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Terceiro passo: a média será dada pela divisão do total da coluna (salário x freqüência) pelo 
total da coluna de freqüências. 
,6 3 
10
= 36 = X 
Repare que a média foi de R$ 3.600,00. A mesma média obtida quando os dados estavam em 
rol. O valor tinha que dar igual. Afinal de contas, são os mesmos dados, apenas dispostos de 
forma diferente. 
Outro aspecto interessante. O total da coluna de (salário x freqüência) é justamente a soma de 
todos os salários. 
Um comentário importante. Para fazer este procedimento, é importante que se trabalhe apenas 
com freqüências simples. Tanto faz ser absoluta ou relativa. Mas tem que ser simples. Se o 
exercício te der uma tabela de freqüências acumuladas, antes de resolver, tem que passar para 
a respectiva freqüência simples. 
Vamos ver como seria. Se o exercício trouxesse a seguinte tabela: 
Salários 
(em R$ 1.000,00) 
Freqüência relativa 
acumulada 
1 0,1 
2 0,4 
3 0,5 
4 0,7 
5 0,8 
6 0,9 
7 1,0 
Como você calcularia a média? 
Antes de começar a resolver, temos que achar a freqüência relativa simples, pois, para 
calcular a média, não serve a freqüência acumulada. 
Salários 
(em R$ 1.000,00) 
Memória 
de cálculo 
Freqüência 
relativa simples 
Freqüência 
relativa acumulada 
1 (=0,1) 0,1 0,1 
2 (=0,4 – 0,1) 0,3 0,4 
3 (=0,5-0,4) 0,1 0,5 
4 (=0,7-0,5) 0,2 0,7 
5 (=0,8 – 0,7) 0,1 0,8 
6 (=0,9 – 0,8) 0,1 0,9 
7 (= 1 – 0,9) 0,1 1,0 
Feito isto, podemos criar a coluna de (freqüência x salários), calcular os totais de cada coluna 
e achar a média. 
Salário 
(em R$ 1.000,00) 
Freqüência relativa 
simples ( fr ) 
= Salário x freqüência 
1 0,1 0,1 
2 0,3 0,6 
3 0,1 0,3 
4 0,2 0,8 
5 0,1 0,5 
6 0,1 0,6 
 
 
 
 
 
 
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Salário 
(em R$ 1.000,00) 
Freqüência relativa 
simples ( fr ) 
= Salário x freqüência 
7 0,1 0,7 
TOTAL 1 3,6 
E a média fica: 
,6 3 
1
,6 = 3 = X 
Observe que a resposta é a mesma (tanto para freqüências absolutas quanto relativas). O que 
importa é que as freqüências sejam simples. Nunca acumuladas. 
Se fôssemos resumir todos os procedimentos para calcular a média, poderíamos expressá-los 
por meio das seguintes fórmulas: 
n
fX
X ii∑ ×= (quando trabalhamos com freqüências absolutas) 
1
∑ ×= ii frX X (quando trabalhamos com freqüências relativas) 
Quando os dados estão em ROL, vimos no começo desta aula que a fórmula da média é: 
n
X
X
n
i
i∑
== 1 
E agora, quando temos dados agrupados, a fórmula mudou. Mas todas elas são formas 
ligeiramente diferentes de se escrever a mesma coisa. A título de exemplo, vamos comparar 
n
X
n
i
i∑
=1 com 
n
fX ii∑ × . 
A primeira fórmula é para dados em rol. A segunda, para dados agrupados. 
O denominador das duas fórmulas é o mesmo. No caso dos salários das pessoas do bairro 
Nova Vila, são 10 observações. Portanto, 10=n . Agora vamos nos concentrar nos 
numeradores. 
Quando os dados estão em rol, temos: 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7. 
Quando escrevemos os dados em rol, representamos cada termo por iX . Assim, temos dez 
valores de Xi. 
X1 = 1; X2 = 2; X3 = 2; X4 = 2; X5 = 3; X6 = 4; X7 = 4; X8 = 5; X9 = 6; X10 = 7. 
Deste modo, para somar todos os dez valores, fazemos: 
∑
=
10
1 i
iX =36 
E ‘36’ é o numerador da fórmula 
n
X
n
i
i∑
=1 . 
Já quando os dados estão agrupados, a notação muda um pouco. Ficamos com: 
 
 
 
 
 
 
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Salários Freqüência absoluta simples 
1 1 
2 3 
3 1 
4 2 
5 1 
6 1 
7 1 
Continuamos tendo dez observações. Mas, para representá-las, não usamos mais dez valores 
de Xi. Usamos apenas sete. Um para cada valor diferente de salário. 
Assim, dizemos que X1 = 1. Isto porque o primeiro valor de salário observado é igual a 1. 
Dizemos também que X1 tem freqüência igual a 1 ( 11 =f ). 
Dizemos que X2 = 2. Isto porque o segundo valor observado é igual a 2. Dizemos também que 
sua freqüência é igual a 3 ( 3f 2 = ). Ou seja, este segundo valor, na verdade, representa três 
termos. Três observações estão representadas por este X2 = 2. Por isso dizemos que os dados 
estão agrupados. Agrupamos três termos em uma única linha da tabela. 
Nesta representação, de dados agrupados, temos: 
X1 = 1; X2 = 2; X3 = 3; X4 = 4; X5 = 5; X6 = 6; X7 = 7. 
Mas, agora, se quisermos somar todas as observações, não podemos simplesmente fazer: 
7 28 5 6 3 4 2 
7
1
= ++ ++ ++ =∑
=i
iX 
Isto estaria errado porque, como já dissemos, cada valor de Xi pode representar mais de uma 
observação. Por isso temos que multiplicar cada valor de Xi pela sua respectiva freqüência. 
Deste modo, quando os dados estão agrupados, a soma de todos os valores fica ligeiramente 
diferente. Neste exemplo da pesquisa de salários, ficamos com: 
1 36 1 7 1 6 2 5 1 4 3 3 1 2 1
7
1
= ×+ ×+ ×+ ×+ ×+ ×+ ×= ×∑
=i
ii X f 
Resumindo: 
Quando os dados estão em rol, para somar todos os dados fazemos: ∑ iX . 
i Quando os dados estão agrupados, para somar todos os dados fazemos: ∑ × i X f . 
Estas duas fórmulas fornecem exatamente o mesmo resultado. 
EC 8 SEAD PA 2007 [CESPE] – questão adaptada 
variável X freqüência relativa 
0 0,10 
1 0,20 
2 0,30 
3 0,40 
Considerando a tabela acima, que apresenta as freqüências relativas de uma variável X, julgue 
o item a seguir: 
 
 
 
 
 
 
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1. A média de X é inferior a 1,5. 
Resolução. 
A questão está adaptada. O enunciado original era de múltipla escolha. Aqui, extraímos uma 
das alternativas, para ser julgada. 
Temos dados em rol. Para achar a média, criamos a coluna adicional, de valor vezes 
freqüência. 
variável X freqüência relativa Freqüência vezes valor 
0 0,10 0 
1 0,20 0,20 
2 0,30 0,60 
3 0,40 1,20 
Total 1 2,0 
2 
1
= 2 = X 
A média não é inferior a 1,5. 
Gabarito: errado. 
EC 9 CEAP PB 2009 [CESPE] 
O gráfico acima mostra a distribuição percentual de veículos de acordo com suas velocidades 
aproximadas, registradas por meio de um radar instalado em uma avenida. A velocidade 
média aproximada, em km/h, dos veículos que foram registrados pelo radar foi 
a) inferior a 40. 
b) superior a 40 e inferior a 43. 
c) superior a 43 e inferior a 46. 
d) superior a 46. 
Resolução. 
 
 
 
 
 
 
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O gráfico de colunas é uma forma de representar dados agrupados. Passando os dados para 
uma tabela, teríamos: 
Velocidade freqüência relativa (%) Freqüência vezes valor (%) 
20 5 100 
30 15 450 
40 30 1200 
50 40 2000 
60 7 420 
70 2 140 
80 1 80 
Total 100 4390 
A tabela está aproximada, pois não sabemos, com exatidão, as freqüências relativas das 
velocidades 60, 70 e 80. 
,90 43 
100
= 4390 = X 
Gabarito: C 
EC 10 MPE PE 2006 [FCC] 
Em uma linha de produção de montadoras de tratores, existem 5 verificações realizadas pela 
equipe de controle de qualidade. Foram sorteados alguns dias do mês e anotados os números 
de controle em que o trator produzido foi aprovado nestes dias. 
Aprovações N° de tratores 
3 250 
4 500 
5 1250 
Total 2000 
A tabela acima descreve estes dados coletados. Sabe-se que cada reprovação implica em 
custos adicionais para a montadora. Admitindo-se um valor básico de R$ 10,00 por cada item 
reprovado no trator produzido, a média da despesa adicional por trator será: 
a) R$ 1,00 
b) R$ 10,00 
c) R$ 6,00 
d) R$ 5,00 
e) R$ 7,00 
Resolução: 
Um trator com 3 aprovações teve 2 reprovações. Ou seja, representa uma despesa adicional de 
R$ 20,00. 
Um trator com 4 aprovações teve 1 reprovação. Ou seja, representa uma despesa adicional de 
R$ 10,00. 
Um trator com 5 aprovações não teve reprovação. Não representa nenhuma despesa adicional. 
Podemos construir a seguinte tabela: 
 
 
 
 
 
 
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Despesa adicional 
(X) 
N° de tratores 
(f) 
20,00 250 
10,00 500 
0,00 1250 
Total 2000 
Vamos calcular a média de despesa adicional. Vamos criar a coluna adicional de valor vezes 
freqüência. 
X f fX ×
20,00 250 5.000 
10,00 500 5.000 
0,00 1250 0 
Total 2000 10.000 
A média fica: 
5 
000. 2
.000 10 ==X 
A média é de R$ 5,00 por trator. 
Gabarito: D 
4. Média para dados em classe 
Considere a tabela abaixo, que representa os dados da nossa pesquisa sobre os salários dos 
moradores do bairro Nova Vila. 
Classes de valores Freqüência absoluta simples 
[1;4) 5 
[4;7) 4 
[7;10) 1 
A tabela acima é uma outra forma de representação do rol que estamos estudando. Apenas 
agrupamos os valores, distribuindo-os em classes. 
Vamos agora calcular a média. Novamente, a exemplo do que fizemos para os dados 
agrupados por valor, temos que garantir que as freqüências sejam simples. Tanto faz serem 
absolutas ou relativas. Mas têm que ser simples. Se o exercício pedir cálculo de média e 
fornecer freqüências acumuladas, você tem que achar as respectivas freqüências simples. 
Neste caso, já temos direto as freqüências absolutas simples. Já dá pra começar a calcular a 
média. 
Quando falamos sobre dados dispostos em classes, comentamos que se perdia informação. 
Olhemos para a primeira classe, com valores de R$ 1.000,00 a R$ 4.000,00. Sabemos que 
cinco pessoas estão nesta classe, mas não temos como determinar o salário de cada uma delas. 
Sabemos apenas que ganham de R$ 1.000,00 até R$ 3.999,99 (repare que nesta classe não 
levamos em conta as pessoas que ganham exatamente R$ 4.000,00). 
Para calcular a média, precisaríamos somar todos os dez salários e dividir por 10. Ora, se não 
sabemos mais, com exatidão, o salário de cada uma das dez pessoas, não temos mais como 
calcular a média. 
 
 
 
 
 
 
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Assim, quando os dados estiverem em classes, não é possível saber qual a verdadeira média 
dos dados. O que fazemos é simplesmente “dar um chute”. É isso mesmo! Um “chute”. 
A média verdadeira, esta não dá pra achar. Mas dá pra estimar um valor para esta média. 
Como fazer? 
O primeiro passo é calcular o ponto médio de cada classe. 
Classes de valores Ponto médio Freqüência absoluta simples 
[1;4) 2,5 5 
[4;7) 5,5 4 
[7;10) 8,5 1 
Pronto, agora vamos ao nosso “chute”. Vamos considerar que todas as pessoas de cada classe 
ganham exatamente o salário correspondente ao ponto médio da classe. Ou seja, as 5 pessoas 
da primeira classe ganham R$ 2.500,00. As 4 pessoas da segunda classe ganham R$ 5.500,00. 
E a pessoa da terceira classe ganha R$ 8.500,00. Novamente, isto é apenas um “chute”. 
Feito isso, agora a questão que temos é basicamente o cálculo de uma média para dados 
agrupados. O procedimento é o mesmo que vimos no tópico anterior. Relembrando. 
Primeiro passo: criamos uma coluna adicional, contendo o produto dos valores por suas 
respectivas freqüências. 
Ponto médio Freqüência absoluta simples 
Ponto médio x 
freqüência 
2,5 5 12,5 
5,5 4 22 
8,5 1 8,5 
Segundo passo: somamos os valores das colunas. 
Ponto médio Freqüência absoluta simples 
Ponto médio x 
freqüência 
2,5 5 12,5 
5,5 4 22 
8,5 1 8,5 
Totais 10 43 
Terceiro passo: dividimos o total da coluna (valor x freqüência) pelo total da coluna de 
freqüências. 
,3 4 
10
= 43 = X 
Pronto, está calculada a média (ou melhor, “chutada”). Repare que este valor não é igual à 
média verdadeira (3,6). Quem tem acesso a todos os dados sabe que o salário médio das dez 
pessoas pesquisadas é de R$ 3.600,00. Contudo, sem acesso a todas as informações, 
estimamos a média em R$ 4.300,00. 
 
ATENÇÃO: 
Para o cálculo de média, sempre utilize freqüências simples (pode ser absoluta ou relativa) 
Antes de irmos para os exercícios, só um comentário. Além da média aritmética, há outras 
(veremos mais algumas adiante). Contudo, para fins de concurso, a aritmética é a mais 
importante (porque é a mais cobrada). Portanto, se o exercício falar apenas “média”, sem 
mencionar que é a aritmética, pode supor que se trata dela. 
 
 
 
 
 
 
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Vamos a alguns exercícios sobre o assunto. 
EC 11 SEFAZ PA 2002 [ESAF] 
A tabela de freqüências abaixo apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes a 
uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$ 1.000,00, do 
departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as 
extremidades das classes salariais. 
Classes F 
29,5 – 39,5 2 
39,5 – 49,5 6 
49,5 – 59,5 13 
59,5 – 69,5 23 
69,5 – 79,5 36 
79,5 – 89,5 45 
89,5 – 99,5 50 
Assinale a opção que corresponde ao salário anual médio estimado para o departamento de 
fiscalização da Cia. X. 
a) 70,0 
b) 69,5 
c) 68,0 
d) 74,4 
e) 60,0 
Resolução: 
Primeiramente, repare queas freqüências fornecidas são acumuladas. Para calcular a média, 
sempre temos que utilizar freqüências simples. 
Façamos isto. 
Classes Freqüência simples Freqüência acumulada 
29,5 – 39,5 2 2 
39,5 – 49,5 4 6 
49,5 – 59,5 7 13 
59,5 – 69,5 10 23 
69,5 – 79,5 13 36 
79,5 – 89,5 9 45 
89,5 – 99,5 5 50 
Agora sim, podemos continuar com o cálculo. 
Vamos encontrar os pontos médios de cada classe. 
Classes Pontos médios Freqüência simples 
29,5 – 39,5 34,5 2 
39,5 – 49,5 44,5 4 
49,5 – 59,5 54,5 7 
59,5 – 69,5 64,5 10 
69,5 – 79,5 74,5 13 
 
 
 
 
 
 
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Classes Pontos médios Freqüência simples 
79,5 – 89,5 84,5 9 
89,5 – 99,5 94,5 5 
Note que todas as amplitudes de classes são iguais a 10. Assim, podemos simplesmente 
encontrar o primeiro ponto médio (=34,5). Os demais são obtidos por soma. Basta somar 10 
sempre. 
Como não temos acesso a todos os dados, vamos dar um chute. Vamos supor que todas as 
observações coincidem com os pontos médios de cada classe. 
O que temos agora é um cálculo de média para dados agrupados. São três passos a fazer. 
Primeiro passo: criamos uma coluna adicional, multiplicando cada valor por sua respectiva 
freqüência simples. 
Pontos médios Freqüência simples Valor x freqüência 
34,5 2 69 
44,5 4 178 
54,5 7 381,5 
64,5 10 645 
74,5 13 968,5 
84,5 9 760,5 
94,5 5 472,5 
Segundo passo: calculamos os totais das colunas. 
Pontos médios Freqüência simples Valor x freqüência 
34,5 2 69 
44,5 4 178 
54,5 7 381,5 
64,5 10 645 
74,5 13 968,5 
84,5 9 760,5 
94,5 5 472,5 
Totais 50 3475 
Terceiro passo: dividir o total da coluna (valor x freqüência) pelo total da coluna de 
freqüências. 
,5 69 
50
= 3475 = X 
Gabarito: B. 
O grande problema desta resolução é o excesso de contas. Ainda mais porque aparecem 
números com casas depois da vírgula. 
Nestas situações, um procedimento opcional é criar uma variável auxiliar. Existem inúmeras 
formas de se fazer isto. A que eu costumo adotar é a seguinte. Vamos partir da tabela de 
pontos médios com suas respectivas freqüências simples. 
Classes Pontos médios Freqüência simples 
29,5 – 39,5 34,5 2 
39,5 – 49,5 44,5 4 
49,5 – 59,5 54,5 7 
 
 
 
 
 
 
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Classes Pontos médios Freqüência simples 
59,5 – 69,5 64,5 10 
69,5 – 79,5 74,5 13 
79,5 – 89,5 84,5 9 
89,5 – 99,5 94,5 5 
Antes de criar a coluna adicional, contendo a multiplicação de valor e freqüência, vamos criar 
uma variável auxiliar. 
Vamos chamá-la de variável ‘d’. 
Vamos chamar os pontos médios de X. 
Para cada valor de X, encontramos um valor de d, da seguinte maneira: 
10
,5 34−d = X 
Vamos verificar mais de perto esta equação. O valor 34,5 corresponde ao primeiro ponto 
médio. O valor 10 corresponde à amplitude de classe. 
Então é sempre assim. Sempre que formos trabalhar com uma variável auxiliar, vamos fazer 
uma subtração e uma divisão. Subtraímos pelo primeiro ponto médio e dividimos pela 
amplitude de classe. Vamos ver como ficam as contas. 
O primeiro valor de X é 34,5. 
,5 341 =X 
O primeiro valor da nossa variável auxiliar d será: 
0
10
,5 5 34 , 34
1 =−=d 
O segundo valor de X é 44,5. 
,5 442 =X 
O segundo valor da nossa variável auxiliar d será: 
1
10
,5 5 34 , 44
2 =−=d 
E assim por diante. 
Podemos resumir todos os valores de ‘d’ com a tabela abaixo. 
Pontos médios (X) Variável auxiliar (d) Freqüência simples 
34,5 0 2 
44,5 1 4 
54,5 2 7 
64,5 3 10 
74,5 4 13 
84,5 5 9 
94,5 6 5 
Agora continuamos o exercício. Só que em vez de calcular a média dos valores de X, vamos 
calcular a média dos valores de ‘d’. Por quê? Porque os valores da variável ‘d’ são menores e, 
além disso, não apresentam casas após a vírgula. As contas ficam mais fáceis de fazer. 
 
 
 
 
 
 
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Primeiro passo: criamos uma coluna auxiliar de (valor x freqüência). 
Variável auxiliar 
) (d 
Freqüência simples 
)( f fd ×
0 2 0 
1 4 4 
2 7 14 
3 10 30 
4 13 52 
5 9 45 
6 5 30 
Segundo passo: calculamos os totais das colunas. 
Variável auxiliar 
) (d 
Freqüência simples 
)( f fd ×
0 2 0 
1 4 4 
2 7 14 
3 10 30 
4 13 52 
5 9 45 
6 5 30 
Totais 50 175 
Terceiro passo: encontramos a média: 
,5 3 
50
= 175 = d 
Ou seja, a média dos “valores auxiliares” é de 3,5. 
Só que não queremos a média dos valores auxiliares. Queremos a média dos valores de X. 
Sabemos que: 
10
,5 34−= X d 
Isolando X, temos: 
,5 34 10 ×= d X 
Ou seja, para obter X, pegamos cada valor de ‘d’, multiplicamos por 10 e somamos 34,5. 
Só que nós vimos, lá em propriedades da média, que sempre que somamos, subtraímos, 
multiplicamos ou dividimos os valores por uma dada constante, a média sofre exatamente a 
mesma alteração. 
Ou seja, a média de X fica: 
,5 34 10 + ×= dX 
,5 5 34 3, 10 + ×=X 
,5 = 69 X 
 
 
 
 
 
 
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Não custa nada reforçar: usar a variável auxiliar é opcional. É só uma maneira que pode 
ajudar a diminuir as contas. 
Destaco que há várias formas de você criar a variável auxiliar. Qualquer transformação que 
você fizer, que inclua apenas somas, subtrações, multiplicações e divisões por números reais, 
está valendo. Atingido o objetivo de chegarmos a valores mais amigáveis, que facilitem as 
contas, ótimo, o procedimento é válido. 
O método que vimos acima (subtrair o primeiro ponto médio e dividir pela amplitude de 
classe) é o que eu costumo adotar. Com esta forma, a variável auxiliar terá sempre os mesmos 
valores: 0, 1, 2, 3, 4, .... (basta que as amplitudes de classes sejam constantes). 
→ 
MÉDIA PARA DADOS EM CLASSES: 
Criar variável auxiliar. 
Forma que eu geralmente utilizo: subtrair do primeiro ponto médio e dividir pela amplitude de 
classe. 
Procedimento opcional, com intuito de facilitar as contas. 
Se a amplitude de classe não for constante, ele pode ficar prejudicado. 
EC 12 TRF 1ª Região/2001 [FCC] 
A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências das notas obtidas num teste de 
matemática, realizado por 50 estudantes. 
Notas Freqüência absoluta 
0 │− 2 4 
2 │− 4 12 
4 │− 6 15 
6 │− 8 13 
8 │− 10 6 
A nota média desses estudantes é: 
a) 5,0 
b) 5,2 
c) 5,5 
d) 5,8 
e) 6,0 
Resolução: 
Vamos achar os pontos médios das classes. 
Ponto Classes 
médio 
0 │− 2 1 
2 │− 4 3 
4 │− 6 5 
6 │− 8 7 
 
 
 
 
 
 
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8 │− 10 9 
Como os valores dos pontos médios são bem amigáveis (são valores pequenos e não 
apresentam algarismos após a vírgula), vou dispensar a variável auxiliar. 
Vamos criar a coluna adicional, de valor vezes freqüência. 
Ponto médio ( X ) Freqüência absoluta 
( f ) 
f X × 
1 4 4 
3 12 36 
5 15 75 
7 13 91 
9 6 54 
Agora somamos as colunas: 
Ponto médio ( X ) Freqüência absoluta 
( f ) 
f X × 
1 4 4 
3 12 36 
5 15 75 
7 13 91 
9 6 54 
TOTAL 50 260 
E a média fica: 
,2 5 
50
= 260 = X 
Gabarito: B. 
EC 13 CGU 2008 [ESAF] 
Uma distribuição de freqüências com dados agrupados em classe forneceu os pontos médios 
de classes m e as respectivas freqüências absolutas f abaixo: 
m f49 7 
52 15 
55 12 
58 5 
61 1 
 
 
 
 
 
 
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50
Calcule a média aritmética simples dos dados. 
a) 52 
b) 52,25 
c) 53,35 
d) 54,15 
e) 55 
Resolução: 
Para calcular a média, criamos a coluna adicional de valor vezes freqüência. 
Para facilitar as contas, podemos criar a variável auxiliar d. 
Neste caso, não é possível adotar o procedimento de sempre porque não foi dado o valor da 
amplitude de classe. Mas, de todo modo, é possível fazer criar uma variável que facilite 
nossas contas. Vamos subtrair 49 de cada valor de m. Depois, dividimos por 3. 
3
49−d = m 
Observe como a variável ‘d’ apresenta valores mais amigáveis: 
m d f fd × 
49 0 7 0 
52 1 15 15 
55 2 12 24 
58 3 5 15 
61 4 1 4 
TOTAL 40 58 
A média de d fica: 
,45 1 
40
58 = =d 
Mas nós queremos a média de ‘m’. 
3
49−d = m 
49 3 ×= d m 
49 3 + ×= dm 
,35 53 49,45 1 3 = +× =m 
Gabarito: C. 
EC 14 PETROBRAS 2008[CESGRANRIO] 
A tabela abaixo apresenta os pesos de um grupo de pessoas e suas respectivas freqüências. 
Não há observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
 
 
 
 
 
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O peso médio do conjunto de pessoas, em kgf, é 
(A) 60 
(B) 65 
(C) 67 
(D) 70 
(E) 75 
Resolução. 
Questão bem típica, de cálculo de média para dados em classes. Podemos utilizar a variável 
auxiliar. 
Classes Ponto médio (X) 
10
45−= X d f f d × 
[40; 50) 45 0 2 0 
[50 ; 60) 55 1 5 5 
[ 60; 70) 65 2 7 14 
[ 70; 80) 75 3 8 24 
[ 80; 90) 85 4 3 12 
Total 25 55 
Vamos usar a variável auxiliar. 
O primeiro ponto médio é 45. A amplitude de classe é 10. Assim, a variável auxiliar (d) fica: 
10
45−d
= X 
Calculada a variável auxiliar, vamos determinar sua média. 
,2 2 
220 
25
55 = ==d 
45 10
10
45 + =⇒−= dXX d 
45= 10 +dX 
67 4522 = +=X 
Gabarito: C 
 
 
 
 
 
 
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→ 
LEMBRETE DE MÉDIA: 
Média: somar todos os valores e dividir pelo somatório das freqüências. 
Utilizar sempre freqüências simples (tanto faz ser relativa ou absoluta). 
Nunca usar freqüência acumulada. 
Se os dados estiverem em classe: considerar que as freqüências estão associadas ao ponto 
médio da classe. 
Se achar necessário, utilize a variável auxiliar (subtrair do primeiro ponto médio e dividir pela 
amplitude de classe) 
5. Média ponderada 
A média ponderada é uma variação da média aritmética. Vamos ver do que se trata por meio 
de um exemplo. 
Num curso, o aluno faz quatro provas. A sua nota final é a média dessas quatro 
provas. Suponha que suas notas foram: 10, 9, 7, 6. 
A nota final fica: 
8
4
679 10 = ++=
NF 
Ok, até aqui nenhuma novidade. Fizemos a média aritmética normal, a mesma que vimos 
no começo da aula. 
Esse mesmo aluno faz um outro curso, em que são aplicadas apenas duas provas. Suas 
notas são: 9,5 e 7,5. 
A média aritmética dessas notas fica: 
,5 8
,5 5 7 , 9 =+
Só que, nesse segundo curso, a nota final não é calculada simplesmente por meio da média 
aritmética. Isso porque a primeira prova é de múltipla escolha. A segunda é discursiva. Como 
a segunda prova é mais complicada, mais difícil, ela “vale mais”. Ela tem peso três. A 
primeira prova, mais simples, tem peso 1. O que significa isso? 
Significa que, na hora de calcular a nota final, a segunda prova vale três vezes mais. 
A nota final, nesse segundo curso, é igual a: 
8
4
,5 7 3,5 9 1' = +×=NF 
É como se a segunda prova fosse “triplicada”. É como se estivéssemos, na verdade, fazendo 
uma média aritmética entre os valores 9,5; 7,5; 7,5; 7,5. Triplicamos a segunda nota porque 
ela tem peso 3. 
 
 
 
 
 
 
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( )5 ,7 35 ,9 1
4
1 ' × +× ×=NF
primeira nota 
segunda nota
peso da primeira nota
peso da segunda nota
soma dos pesos 
(=1+3)
A nota final, neste segundo curso, é uma média ponderada das notas das duas provas. É uma 
modificação da média aritmética. Na média ponderada, cada valor tem um peso diferente. 
Se vocês lembrarem da média para dados agrupados, sua fórmula era: 
n
fX
X ii∑ ×= 
Esta fórmula aí de cima não deixa de ser uma média ponderada. Fazemos a média entre os 
valores de Xi, onde os pesos de ponderação são as freqüências. 
A média ponderada também é empregada quando queremos calcular a média da reunião de 
dois conjuntos. Vejamos alguns exemplos. 
EP 11 Numa empresa, temos 4 homens e 5 mulheres. A média salarial dos homens é de R$ 
825,00. A média salarial das mulheres é R$ 600,00. Qual a média geral, de homens e 
mulheres? 
Resolução 
Vamos chamar o salário dos homens de H. 
Como assim??? 
Suponha que os quatro homens desta empresa ganhem os seguintes salários: 
725,00; 800,00; 850,00; 925,00. 
Pronto, a média desses salários é de 825,00. 
Se chamarmos esses valores de H queremos dizer o seguinte: 
O salário do primeiro homem é 725. Portanto: 7251 =H 
O salário do segundo homem é 800. Portanto: 8002 =H 
E assim por diante. 
Pois bem, somando o salário de todos os homens e dividindo por 4, obtemos justamente a 
média de salário dos homens. Fica assim: 
 
 
 
 
 
 
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4 
825 ∑= H 
Multiplicando cruzado: 
3300 8254 = ×=∑H 
Ou seja, a soma dos salários de todos os homens é igual a R$ 3.300,00. 
Vamos chamar de M o salário das mulheres. Se somarmos o salário de todas as mulheres e 
dividirmos por 5, obtemos a média de salário para as mulheres. Fica assim: 
600 3000 5
5
600 = ×=⇒ = ∑∑ M M 
Ou seja, a soma dos salários de todas as mulheres é igual a R$ 3.000,00. 
O exercício pede a média geral, de homens e mulheres. 
Para obter a média geral, somamos os salários de todos os homens, de todas as mulheres, e 
dividimos por 9 (são nove pessoas ao todo). 
Fica assim: 
9
_ ∑ += M Hgeral Média 
Substituindo os valores: 
700 
9
3000 3300_ =+=geralMédia 
A média geral, incluindo homens e mulheres, é de R$ 700,00. 
Vamos reescrever a solução? Vamos agora fazer aparecer a tal da média ponderada. 
Chamamos os salários dos homens de H. 
Somando o salário de todos os homens e dividindo por 4, obtemos justamente a média de 
salário dos homens. Fica assim: 
4 
825 ∑= H 
Multiplicando cruzado: 
825 4×=∑H 
Vamos chamar de M o salário das mulheres. Se somarmos o salário de todas as mulheres e 
dividirmos por 5, obtemos a média de salário para as mulheres. Fica assim: 
5 600 
5
600 × =⇒ = ∑∑ M M 
O exercício pede a média geral, de homens e mulheres. 
Para obter a média geral, somamos os salários de todos os homens, de todas as mulheres, e 
dividimos por 9 (são nove pessoas ao todo). 
Fica assim: 
 
 
 
 
 
 
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9
_ ∑ += M Hgeral Média 
Substituindo os valores: 
700
9
600 5825 4_ = +×=geralMédia 
Observe que a média geral é uma média ponderada entre as médias dos homens e das 
mulheres. O peso da média dos homens é o número de homens. O peso da média das 
mulheres é o número de mulheres. 
média dos 
homens
média dasmulheres
peso da média dos 
homens peso da média das 
mulheres
soma dos pesos 
(=4+5)
( ) 700 6005 8254 
9
1_ = ×+ ×× =geral Média
Um outro tipo de exercício semelhante a este, porém com um nível de dificuldade um pouco 
maior, é o que segue. 
EP 12 Numa empresa, temos 100 funcionários. A média do salário dos homens é de R$ 
1.000,00. A média do salário das mulheres é de R$ 900,00. A média geral, considerando 
homens e mulheres, é R$ 960,00. Quantas mulheres há na empresa? 
Resolução 
Este exercício é um pouco mais difícil que o anterior. 
Como não sabemos o número de homens e de mulheres, vamos dizer que são ‘a’ homens e ‘b’ 
mulheres. 
Portanto: = 100 + b a (há 100 funcionários na empresa). 
Esta é a primeira equação. 
=+ 100 ba (I) 
Vamos, novamente, chamar o salário dos homens de H e o das mulheres de M. 
A média dos salários dos homens é R$ 1.000,00. Portanto, somando todos os salários dos 
homens e dividindo por ‘a’ (são ‘a’ homens), temos a média salarial masculina (=1000). 
a
H∑=1000 
 
 
 
 
 
 
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Multiplicando cruzado: 
aH ×=∑ 1000 
Assim, a soma dos salários de todos os homens é igual a mil vezes o número de homens. 
A média dos salários das mulheres é R$ 900,00. Portanto, somando o salário de todas as 
mulheres e dividindo por ‘b’ (são ‘b’ mulheres), temos a média salarial feminina (=900): 
b
M∑=900 
Multiplicando cruzado: 
bM × =∑ 900 
A soma dos salários de todas as mulheres é igual a 900 vezes o número de mulheres. 
A média geral é R$ 960,00. Ou seja, somando o salário de todos os homens e de todas as 
mulheres, dividindo pelo número de pessoas (= ba + ), temos a média geral. 
b a
H M 
+
+= ∑960 
Multiplicando cruzado: 
)( 960 b aM H + ×=+∑∑ 
Ou seja, a soma de salários de homens e mulheres é igual a 960 vezes o número de pessoas. 
Substituindo as somas de salários de homens e mulheres: 
)960 ( 900 1000 b aba × × × (II) 
Esta é a equação II. Temos duas equações e duas variáveis. Há diversas formas de resolver. 
Aqui, vamos fazer o seguinte: 
)960 ( 900 1000 b aba × × ×
Substituímos a×1000 por aa +× 900 100 
)( 960900 1000 b aba × ×+×
)( 960900 900100 b abaa × × ×+×
Continuando: 
)( 960900 900100 b abaa × × ×+× 
Colocando 900 em evidência: 
)960 ( )900 ( 100 b ab aa × + +× 
Lembrando que = 100 + b a 
100 960100 900100 = +× a 
Dividindo todos os termos por 100: 
960 900 +a 
 
 
 
 
 
 
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40 60 =⇒= ba 
São quarenta mulheres na empresa. 
Para quem tem facilidade com contas, esta resolução é rápida. Já outras pessoas preferem, em 
vez de ficar montando essas equações, decorar uma fórmula que dá direto o percentual de 
homens (ou de mulheres). Esta fórmula nada mais é que uma combinação das duas equações 
vistas acima. 
Vamos chamar a média dos salários das mulheres de M . A média dos salários dos homens de 
H . A média geral, considerando homens e mulheres, de X . O percentual de homens e 
mulheres no conjunto fica: 
% 60
100
60 
9001000
900 960hom __ = =−
−=−
−=
M H
M Xde ens perc 
40% 
100
40 
1000900
1000 960_ _ =−
−=−
−=−
−=
H M
H Xde mulheres perc 
Outra opção é fazer um desenho esquemático, identificando os termos da fórmula. 
O tamanho total do segmento de reta é igual a 100. Ele equivale, em módulo, aos 
denominadores de ambas as fórmulas. E os numeradores correspondem, em módulo, às 
diferenças abaixo indicadas: 
E temos que ter o cuidado na hora de montar as frações. O número 60, que corresponde à 
diferença entre a média feminina e a geral, vai entrar na fórmula do percentual de homens. O 
número 40, correspondente à diferença entre a média masculina e a geral, vai entrar na 
fórmula do percentual de mulheres. 
60% 
100
60 hom_ _ = =de ens perc 
40% 
100
40_ _ = =de mulheres perc 
Por que é que temos que fazer essas inversões? 
 
 
 
 
 
 
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Vamos imaginar uma situação em que a proporção de homens é maior que a de mulheres. 
Nesse caso, a média geral vai estar mais próxima da média masculina. É como se a média 
masculina “puxasse” a média geral mais para o seu lado. 
Do contrário, se tivermos mais mulheres que homens, aí a média geral estará mais próxima da 
média feminina. A média feminina “puxa” a média geral para o seu lado. 
Em resumo, o sexo que detiver a maior proporção “puxará” a média geral para próximo da 
sua média. 
Quanto menor a proporção de mulheres, maior é a distância entre a média feminina e a média 
geral. Assim, uma distância grande (entre a média feminina e a geral) está relacionada a uma 
proporção pequena de mulheres. 
Para os homens a situação é análoga. Quanto maior a proporção de homens, menor será a 
distância entre a média masculina e a geral. Em outras palavras, uma distância pequena entre 
a média masculina e a geral corresponde a uma proporção grande de homens. 
Notaram que as grandezas têm relação inversa? Quanto maior a proporção menor a distância. 
Quanto menor a proporção, maior a distância. 
Daí é que surgem as inversões. 
EC 15 Prefeitura de Recife 2003 [ESAF] 
Em uma amostra, realizada para se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e 
mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para 
os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção 
correta. 
a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. 
b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. 
c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. 
d) O número de mulheres é o dobro do número de homens. 
e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 
Resolução: 
Repare que a média de homens é de 1300. A média de mulheres é de 1100. 
Se no conjunto tivéssemos mais homens, a média geral (considerando homens e mulheres) 
estaria mais próxima de 1300. 
Do contrário, se tivéssemos mais mulheres, a média geral estaria mais próxima de 1100. 
Contudo, a média geral deu exatamente no meio entre 1300 e 1100. Portanto, o número de 
homens é igual ao número de mulheres. Nem precisou fazer conta. 
De todo modo, para treinarmos, vamos ver como ficaria a resolução. 
 
 
 
 
 
 
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Os percentuais ficam: 
% 50
200
100 hom_ _ = =de ens perc 
50% 
200
100__ = =de mulheres perc 
Gabarito: A 
EC 16 Prefeitura de São Paulo 2007 [FCC] 
No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os funcionários de uma firma foi de R$ 
530,00. Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e mulheres são respectivamente 
iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. No próximo mês, todos os homens receberão um adicional de 
R$ 20,00 e todas as mulheres um reajuste salarial de 10%, sobre os salários atuais. Supondo 
que o quadro de funcionários não se alterou, após esses reajustes, o salário médio mensal de 
todos os funcionários passará a ser igual a: 
a) 540,00 
b) 562,00 
c) 571,00 
d) 578,00 
e) 580,00 
Resolução: 
A média dos homens é de 600, a das mulheres é de 500 e a média geral é 530. Note que a 
média geral está mais próxima de 500. Portanto, temos mais mulheres do que homens. 
Vamos usar as fórmulas que vimos lá no EP 12. 
30% 
500600
500 530hom __ =−
−=−
−=
M H
M Xde ens perc% 70
100
70 
600500
600 530_ _ =−
−=−
−=−
−=
H M
H Xde mulheres perc 
Outra resolução possível seria fazer aquele nosso desenho: 
 
 
 
 
 
 
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Novamente, obtemos: 
% 30
100
30 hom_ _ = =de ens perc 
70% 
100
70_ _ = =de mulheres perc 
Concluímos que 30% são homens e 70% são mulheres. 
Ou seja, nesta empresa, de cada 100 funcionários, 30 são homens. 
Suponhamos que a empresa tenha 100 funcionários. Inicialmente, temos que a média dos 
homens é de R$ 600,00 e a média das mulheres é R$ 500,00. 
Todos os homens recebem um adicional de R$ 20,00. Ora, se todos os homens têm seus 
salários acrescidos de R$ 20,00, isto significa que a média dos homens sofrerá a mesma 
alteração. A nova média dos homens ficará igual a R$ 620,00. 
Ok, a média dos salários dos homens é igual a 620. Significa que, somando todos os salários 
dos homens (após o aumento) e dividindo por 30, obtemos 620. 
620 30 
30 
620 × =⇒ = ∑∑ H H 
Todas as mulheres terão seu salário multiplicado por 1,1. Isto porque aumentar algo em 10% é 
o mesmo que multiplicar por 1,1. Portanto, a média dos salários das mulheres sofrerá a 
mesma alteração. Será também multiplicada por 1,1, passando a ser igual a R$ 550,00. Assim, 
somando os salários das mulheres (após o aumento) e dividindo por 70, obtemos 550. 
550 70 
70 
550 × =⇒ = ∑∑ M M 
A média geral é simplesmente somar todos os salários dos homens, todos os salários das 
mulheres, e dividir por 100. 
385 571 7 186 3 55 62
100
70 55030 620
100
_ = += ×+ ×= ×+ ×=+= ∑ ∑ M HMédia geral 
Gabarito: C. 
Na verdade, nem precisava fazer a conta final. Repare na soma: 385 186 +
 
 
 
 
 
 
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O algarismo das unidades da soma será igual a 1 (advindo da soma de 6 com 5). Pronto, só aí 
já dá para marcar letra C. 
Outra opção para calcular a média geral, era lembrar que ela é uma média ponderada entre as 
médias dos homens e das mulheres. E os pesos são, respectivamente, o número de homens e o 
número de mulheres. 
Ficaria assim: 
( ) 571 55070 62030 
100
1_ = ×+ ×= × geral Média 
6. Média geométrica e média harmônica 
Este assunto não é muito cobrado em concursos. Mas não custa nada comentar. 
Aqui, também estamos interessados em calcular um valor médio, assim como feito com a 
média aritmética. Só que a conta que fazemos é outra. 
Por definição, a média geométrica de n valores não negativos (X1, X2, ..., Xn) é: 
n
n
i
i
n 
n XXX XG ∏
=
= ×× ×=
1
21 ...
Por definição, a média harmônica de n valores diferentes de zero (X1, X2, ..., Xn) é: 
1
1
11
−
=
− ⎟⎠ 
⎞⎜⎝ 
⎛= ∑n
i
iX n
H 
Fórmulas meio complicadas, não? 
Vamos ver alguns exemplos que fica mais fácil. 
Suponhamos que nossos dados são apenas: 3 e 12. Apenas dois números (para facilitar 
as contas). 
Para calcular a média aritmética, conforme vimos na seção anterior, ficamos com: 
,5 7
2
12 3 =+=X 
A média geométrica é diferente. Para obtê-la, multiplicamos todos os dados. Depois tiramos a 
raiz “enésima”. Como neste caso são apenas dois valores, será a raiz quadrada. 
12 6 32 = ×=G 
A média harmônica é um pouco mais complicada. Vamos dividir em três passos. 
Primeiro passo: achamos os recíprocos de cada valor. 
Para obter o recíproco de um número, basta inverter seu numerador com seu denominador. 
Vamos a um exemplo. 
Tomemos o número 
3 2 . Seu recíproco é 
2
3 . 
No nosso caso, os valores são 3 e 12. 
 
 
 
 
 
 
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62
1 .O recíproco de 3 é 
3 
1 . O recíproco de 12 é 
12 
Segundo passo: calculamos a média aritmética dos recíprocos. 
Ficamos com: 
24
5
2 
12
1 4
2 
12
1 
3
1
=
+
=
+
Terceiro passo: calculamos o recíproco do valor obtido acima. Pronto. Esta é a média 
harmônica. 
5
24 =H 
,8 4=H 
Se resumirmos todos esses três passos numa frase, podemos dizer que a média harmônica é o 
recíproco da média aritmética dos recíprocos dos valores. 
Uma coisa que cai bastante em concurso não é essa parte de contas. É simplesmente saber o 
seguinte: 
Para qualquer conjunto de n números positivos, a média harmônica é menor ou igual à média 
geométrica e esta é menor ou igual à média aritmética. A igualdade só ocorre se todos os 
números forem iguais entre si. 
Vamos olhar no caso dos números 3 e 12. A média aritmética foi de 7,5. Foi a maior das 
médias. A média harmônica foi de 4,8. Foi a menor das três. E a média geométrica foi de 6, o 
valor intermediário. 
Se, em vez de 3 e 12, os valores fossem 12 e 12, aí teríamos: 
12= == H GX 
Quando todos os valores são iguais, as médias coincidem. 
Resumindo, o que geralmente cai em prova é saber que: 
G X H ≤ ≤ (e a igualdade só ocorre se todos os dados forem iguais) 
→ 
COMPARAÇÃO DAS MÉDIAS: 
G X H ≤ ≤ (e a igualdade só ocorre se todos os dados forem iguais) 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
EP 13 Para a seqüência (4,6,9), calcule as médias aritmética, harmônica e geométrica. 
EP 14 Para a seqüência (4,4,4), calcule as médias aritmética, harmônica e geométrica. 
 
 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Resolução - EP 13 
Média aritmética: 
3
19 
3
9 64
3 
= ++== ∑ iXX 
Média geométrica: 
6 2169 64 3 3 == ×× =G 
Média harmônica: 
Primeiro passo: encontrando os recíprocos: 
9
1 ,
6
1 ,
4
1 
Segundo passo: média dos recíprocos: 
108
19 
3
1
36
4 69
3
9
1 
6
1 
4
1
= ×+ += 
++
Terceiro passo: recíproco do valor acima: 
19
108 =H 
Resolução EP 14: 
Como todos os valores são iguais, todas as médias são iguais a 4. 
EXERCÍCIOS DE CONCURSOS - MÉDIAS GEOMÉTRICA E HARMÔNICA 
EC 17 AFRF – 2005 [ESAF] 
Assinale a opção que expresse a relação entre as médias aritmética ( X ), geométrica (G) e 
harmônica (H), para um conjunto de n valores positivos (X1, X2, ..., Xn). 
a) X HG ≤ ≤ , com X HG = = somente se os n valores forem todos iguais. 
b) H XG ≤ ≤ , com H XG = = somente se os n valores forem todos iguais. 
c) H GX ≤ ≤ , com H GX = = somente se os n valores forem todos iguais. 
d) X GH ≤ ≤ , com X GH = = somente se os n valores forem todos iguais. 
e) G HX ≤ ≤ , com GHX = = somente se os n valores forem todos iguais. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
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Aplicação direta do resumo visto acima. 
Gabarito: D. 
EC 18 ENAP – 2006 [ESAF] 
O valor mais próximo da média harmônica do conjunto de dados: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 
3} é igual a 
a) 6. 
b) 6,5. 
c) 4,794. 
d) 10. 
e) 3,9. 
Resolução: 
Os recíprocos são: 
1/10; 1/5; 1/3; 1/4; 1/5; 1/10; 1/3; 1/8; 1/9; 1/3. 
Fazendo a média desses valores, temos: 
=
⎟⎠
⎞⎜⎝ 
⎛ + ++ ++ ++ ++ ×
3
1 
9
1 
8
1 
3
1 
10
1 
5
1 
4
1 
3
1 
5
1 
10
1 
10
1 
Agrupando os termos iguais: 
=
⎟⎠
⎞⎜⎝ 
⎛ × +× +× ++ +×
10
12
5
12
3
1 3
9
1 
8
1 
4
1 
10
1 
Simplificando ‘2’ com ‘10’: 
=
⎟⎠
⎞⎜⎝ 
⎛ + ×+ ×+ ++ ×
5
1 
5
12
3
1 3
9
1 
8
1 
4
1 
10
1 
Agrupando ‘2/5’ com ‘1/5’; agrupando ‘1/4’ com ‘1/8’: 
⎟⎠
⎞⎜⎝⎛ × +× ++ +× =
5
1 3
3
1 3
9
1 
8
1 
8
2 
10
1 
Fazendo as divisões: 
⎟⎠ 
⎞⎜⎝ 
⎛ + ++× = 6 ,01
9
1 375, 0
10
1 
Observe que 1/9 é uma fração mais “complicada”. Dá uma dízima periódica. Va-
mos aproximar 1/9 por 0,11. 
085) 2, ( 
10
1 6, 01 
9
1 375, 0
10
1 ≅⎟⎠
⎞⎜⎝ 
⎛ + ++× 
E a média harmônica fica: 
 
 
 
 
 
 
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,085 2
10 ≅H 
Outra divisão “complicada” de fazer. Vamos aproximar. Vamos trocar o denominador 2,085 
por 2. 
5 
2
10 
085, 2
10 = ≅≅H 
Quando nós trocamos o denominador 2,085 por 2, nós aumentamos um pouco a nossa fração. 
Portanto, na verdade, a média harmônica é um pouco menor que 5. 
O número mais próximo disto é o 4,794. 
Gabarito: C. 
Achou a questão muito trabalhosa? 
Numa eventual falta de tempo, uma maneira mais rápida para “orientar” o chute seria calcular 
a média aritmética dos valores fornecidos. 
6 
10= 60 = X 
Como a média harmônica é menor que a aritmética, já descartamos as alternativas A, B e D. 
Aí ficaríamos entre as alternativas C e E. No chute, ficaríamos com 50% de chance de acerto. 
EC 19 TCU 2009 [CESPE] 
Uma instituição realizou levantamento com vistas a comparar os valores de dez diferentes 
tipos de itens de consumo. Para cada item i (i = 1, 2, ..., 10), foi registrado um par de valores 
( i, ), em que xi representa o valor do item i estabelecido pela empresa A, e yi representa o x i y 
valor desse mesmo item fornecido pela empresa B. Os seguintes resultados foram 
encontrados: 
∑
=
= +
10
1
130 )(
i
ii y x ; ∑
=
= −
10
1
10 )(
i
ii x y 
∑
=
=+
10
1
2 790 .1 )(
i
ii y x ; ∑
=
=−
10
1
2 26 )(
i
ii x y 
1 y
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 
1. A média amostral dos valores x1, x2, ..., x10 é 13% maior do que a média amostral dos 
valores y1, y2, ..., y10. 
2. A média aritmética da distribuição 1x × 22 yx × , ..., 10 y10 x × é maior que 43. 
3. A média harmônica dos valores x1, x2, ..., x10 é menor que 8. 
Resolução. 
Primeiro item. 
Temos: 
 
 
 
 
 
 
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∑
=
= +
10
1
130 )(
i
ii x y 
Podemos “quebrar” este somatório em outros dois somatórios: 
130)(
10
1
10
1
10
1
=+= + ∑ ∑∑
=== i
i
i
i
i
ii yxy x (equação I) 
Analogamente: 
10)(
10
1
10
1
10
1
=−= − ∑ ∑∑
=== i
i
i
i
i
ii yxy x (equação II) 
Somando as duas equações: 
10 130) () () () (
10
1
10
1
10
1
10
1
+ =−++ ∑ ∑∑ ∑
==== i
i
i
i
i
i
i
i yxyx 
) 140 (2
10
1
=×∑
=i
ix 
∑∑
==
=⇒ =
10
1
10
1
60 )(70 )(
i
i
i
i x y 
As médias ficam: 
7 
10
70 = =x ; 6 
10
= 60 = y 
A média de x é 16% maior. 
Gabarito: errado. 
Segundo item. 
∑
=
=+
10
1
2 790 .1 )(
i
ii x y 
Podemos desenvolver o quadrado da soma: 
.790 1 )2(.790 1 )(
10
1
22
10
1
2 = ×+ +⇒ =+ ∑∑
== i
iiii
i
ii y xx y yx 
Agora “quebramos” o somatório em três somatórios diferentes: 
.790 12)2(
10
1
10
1
2
10
1
2
10
1
22 =++= ×+ + ∑ ∑∑∑
==== i
ii
i
i
i
i
i
iiii y xyxy xy x (I) 
Analogamente, na equação ∑
=
=−
10
1
2 26 )(
i
ii y x , desenvolvemos o quadrado da diferença: 
26 )2(26 )(
10
1
22
10
1
2 = ×− +⇒ =− ∑∑
== i
iiii
i
ii y xx y yx 
Agora “quebramos” o somatório em três outros somatórios: 
 
 
 
 
 
 
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= ×− +∑
=
10
1
22 )2(
i
iiii y xy x 26 2
10
1
10
1
2
10
1
2 =−+ ∑ ∑∑
=== i
ii
i
i
i
i y xyx (II) 
Subtraindo as duas equações, temos: 
∑ ∑∑
===
++
10
1
10
1
2
10
1
2 2
i
ii
i
i
i
i y xyx 26 790. 12
10
1
10
1
2
10
1
2 −=+−− ∑ ∑∑
=== i
ii
i
i
i
i y xyx 
.764 1 )( 4
10
1
= ×∑
=i
ii x y 
441 )(
10
1
= ×∑
=i
ii x y 
,1 44 
10
441 
10
)(
10
1 = =
×∑
=i
ii yx 
Gabarito: certo. 
Terceiro item. 
A média aritmética de x é igual a 7 (ver primeiro item). Como todos os valores de x são 
maiores que zero (pois representam preços praticados pela empresa A) a média harmônica 
será menor ou igual à média aritmética. Logo, com certeza será inferior a 8. 
Gabarito: certo. 
X. MODA 
A moda é mais uma medida de tendência central. A moda é o termo que mais se repete. Fácil, 
não? Podemos até nos lembrar do uso comum da palavra. Geralmente o que está na ‘moda’ é 
o que todo mundo usa. 
Pois bem, o termo que aparecer mais vezes na nossa série de dados será a moda. 
1. Moda para dados em rol e para dados agrupados por valor 
Para variar um pouco, voltemos aos moradores do bairro Nova Vila: 
Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7. 
Qual o salário que mais se repetiu? Foi o salário de R$ 2.000,00. Três pessoas ganham um 
salário de R$ 2.000,00. Este valor é justamente a moda. 
2M (valor em R$ 1.000,00) 
Comparada às demais medidas de posição, a moda tem o inconveniente de não se prestar à 
análise matemática. Tanto a mediana quanto a média (principalmente a média!) possuem 
propriedades matemáticas que as tornam mais úteis. 
Em relação à moda, o autor William Stevenson, em seu livro “Estatística Aplicada à 
Administração”, traz: 
 
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“Todavia, de um ponto de vista puramente descritivo, a moda indica o valor ‘típico’ 
em termos da maior ocorrência. A utilidade da moda se acentua quando um ou dois 
valores, ou um grupo de valores, ocorrem com muito maior freqüência que outros. 
Inversamente, quando todos ou quase todos os valores ocorrem aproximadamente 
com a mesma freqüência, a moda nada acrescenta em termos de descrição dos 
dados.” 
Assim como no caso da média, para determinação da moda sempre utilizamos freqüências 
simples. Tanto faz ser absoluta ou relativa, mas tem que ser simples. 
EP 15 Encontre a moda para os seguintes conjuntos de dados: 
a) 1, 2, 5, 4, 6, 2, 3, 3, 3 
b) 1, 2, 2, 3, 3, 4 
c) 2, 8, 5, 1 
d) 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 20, 20 
Resolução do EP 15 
a) O termo que mais se repete é o três. 
3=M 
b) Há dois termos que se repetem mais vezes. Tanto o 2 quanto o 3 ocorrem duas vezes. 
Dizemos que o conjunto tem duas modas. É bimodal. 
Um conjunto não precisar ter uma única moda. Pode ter duas, três, quatro, ou mais modas. 
c) Note que todos os termos da seqüência ocorrem com a mesma freqüência. Dizemos que o 
conjunto é amodal. Não tem moda. 
d) O termo que mais se repete é o 2. Ocorre cinco vezes. 
2M . 
EP 16 Considere a seguinte tabela: 
Valor observado Freqüência relativa acumulada 
10 0,1 
15 0,2 
18 0,5 
20 0,7 
21 1 
Calcule a moda para os dados agrupados acima representados. 
Resolução: 
Foram fornecidas freqüências acumuladas. Para calcular média e moda, sempre trabalhamos 
com freqüências simples (relativas ou absolutas, tanto faz). 
Encontremos então as freqüências relativas simples correspondentes. 
Valor 
observado 
Memória 
de cálculo 
Freqüência 
Relativa simples 
Freqüência 
relativa acumulada 
 
 
 
 
 
 
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Valor 
observado 
Memória 
de cálculo 
Freqüência 
Relativa simples 
Freqüência 
relativa acumulada 
10 =0,1 0,1 0,1 
15 =0,2-0,1 0,1 0,2 
18 =0,5-0,2 0,3 0,5 
20 =0,7-0,5 0,2 0,7 
21 =1-0,7 0,3 1 
Para encontrar a moda, basta tomarmos o valor que corresponde à maior freqüência simples. 
No caso, as maiores freqüências são iguais a 0,3. Há duas modas. O conjunto é bimodal. As 
modas são 18 e 21. 
EC 20 AFRF/98 [ESAF] 
Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra 
aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade 
monetária é o dólar americano. 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 
10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23. 
Assinale a opção que corresponde ao preço modal: 
a) 7 
b) 23 
c) 10 
d) 8 
e) 9 
Resolução: 
Temos uma série de dados em rol. O exercício pede que determinemos a moda. A moda será o 
termo que mais se repete. Contemos alguns deles. 
O número 4 aparece uma vez. O número 5 aparece duas vezes. O número 6 aparece quatro 
vezes. E assim por diante. Você verá que o número que mais se repete é o 8 (são nove vezes). 
Gabarito: D. 
→ 
ATENÇÃO: 
Para cálculo de moda, sempre utilize freqüências simples (pode ser absoluta ou relativa) 
2. Moda para dados em classe 
Quando os dados estão agrupados em classes, perdemos informação. Deste modo, a exemplo 
do que fizemos com a média, para determinação da moda precisaremos dar um “chute”. Isso 
mesmo. Precisaremos fazer algumas considerações. 
Vejamos como fica por meio de um exercício. 
 
 
 
 
 
 
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EC 21 SEFAZ BA 2004 [FCC] 
Considere a tabela abaixo, que mostra a distribuição de salários (em reais) de 160 
funcionários de determinada empresa, com suas respectivas freqüências relativas acumuladas. 
Classes em reais Freqüência relativa acumulada (%) 
Classes em 
reais 
Freqüência relativa 
acumulada (%) 
[600,1000) 10 
[1000,1400) 30 
[1400,1800) 70 
[1800,2200) 95 
[2200,2600) 100 
O valor modal dos salários (desprezando os centavos), é: 
a) 1784 
b) 1666 
c) 1648 
d) 1636 
e) 1628 
Resolução: 
Vamos começar o cálculo da moda. 
Primeiro passo: encontrar a classe modal. 
Classe modal é a classe que contém a moda. Note que não temos como saber em qual classe a 
moda está. Isto porque apenas temos acesso à quantidade de salários em cada classe de 
valores. Não sabemos quanto, exatamente, cada um dos 160 funcionários desta empresa 
ganha. Se não sabemos disto, não temos como ver qual o salário que mais se repete. Portanto, 
não temos como calcular a moda. 
O que faremos? 
Vamos “chutar”. É isso mesmo. Não temos como saber qual a moda real. O máximo que 
podemos fazer é, a partir de algumas considerações, determinar um “provável” valor para a 
moda. 
No cálculo da moda são dois “chutes” (ou duas considerações). A primeira delas é dizer que a 
moda está na classe [1400;1800). 
Por quê? 
Porque esta é a classe com maior freqüência simples. Chamamos de classe modal. 
A classe com maior freqüência simples é a classe modal. 
Vamos supor que a moda pertence a esta classe. 
Novamente, isto é apenas um “palpite”. Seria perfeitamente possível que todas as 64 
pessoas (64 = 40% de 160) que pertencem à classe [1400,1800) ganhem cada uma 
 
 
 
 
 
 
 
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diferente. Ou seja, cada uma das ocorrências nesta classe teria freqüência simples absoluta 
igual a 1. 
E seria possível que todas as oito pessoas (5% de 160) que pertencem à classe [2200,2600) 
ganhem exatamente o mesmo salário de R$ 2.300,00. Justamente a classe com menor 
freqüência poderia conter a moda. Esta situação seria perfeitamente possível. Contudo, o 
palpite que se faz, por ser mais razoável, é o de que a moda pertença à classe que tem a maior 
freqüência. 
Classes Freqüência simples (%) 
[600,1000) 10 
Classe anterior [1000,1400) 20 
Classe modal [1400,1800) 40 
Classe posterior [1800,2200) 25 
[2200,2600) 5 
Uma outra interpretação para classe modal é a que segue. Quando os dados estão agrupados 
em classes, perdemos informação. Não sabendo mais quais os valores foram observados, só 
podemos nos referir aos intervalos de classe. Considerando os intervalos, aquele que abriga 
mais ocorrências seria a “moda” das classes, ou ainda, a classe modal. 
Segundo passo: determinar os valores de amplitude, freqüência e limite inferior da classe 
modal. 
A classe modal é a de [1400,1800). 
Qual sua amplitude? 
A amplitude da classe é a diferença entre o limite superior e o limite inferior. No caso: 
=h 400 14001800 =−
Logo, sua amplitude é de 400 (h = 400). 
A freqüência da classe modal é de 40% (fmo = 0,4). Basta olhar na tabela fornecida acima. 
O limite inferior da classe modal é 1400 (lM = 1400). 
Terceiro passo: determinar os valores das freqüências das classes anterior e posterior. 
A classe que vem logo antes da classe modal é a classe [1000,1400). Esta é a classe anterior. 
A freqüência da classe anterior é 20% (fant = 0,2). 
A classe que vem logo depois da classe modal é a classe [1800,2200). Esta é a classe 
posterior. A freqüência da classe posterior é 25% (fpost = 0,25). 
Identificados todos esses elementos, basta aplicar uma fórmula. É a chamada fórmula de 
Czuber. Esta fórmula é fruto de uma segunda consideração. Ela considera que os valores das 
freqüências se comportam segundo uma parábola. É claro que nós não vamos ficar 
desenhando gráficos de parábola. Para concurso, é muito mais prático gravar logo a fórmula 
de Czuber. 
Resumindo: quando os dados estão em classes, o cálculo da moda se resume à aplicação da 
seguinte fórmula (de Czuber): 
 
 
 
 
 
 
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)()( post Mant M
ant M
M ffff
ffh lM − +−
−+ = 
Onde: 
lM é o limite inferior da classe modal 
h é a amplitude da classe modal 
fM é a freqüência simples da classe modal 
fant é a freqüência da classe anterior 
fpost é a freqüência da classe posterior 
Substituindo os valores: 
)()( post Mant M
ant M
M ffff
ffh lM − +−
−+ = 
,57 1628 
),25 0 4, 0(,2 ) 0 4, 0(
,2 0 4, 0400 1400 =− +−
−× +=M 
Gabarito: E. 
Vamos tentar entender um pouquinho da fórmula, pois assim fica mais fácil gravá-la. 
Sabemos que a moda está na classe [1400; 1800), que é a classe modal. Na figura abaixo, 
representamos o intervalo que contém a moda: 
Assim, a moda será igual a 1400 mais alguma coisa. Por isso a fórmula começa com o limite 
inferior da classe modal. 
... = MM l 
...1400 +=M 
(a moda é igual a 1400 mais alguma coisa) 
Em seguida, temos a amplitude de classe. 
? += h lM M 
? 4001400 +=M 
Assim, ao 1400 nós somaremos a amplitude de classe, que será multiplicada por um número 
ainda desconhecido (é a interrogação da equação acima). 
Esse número desconhecido varia entre 0 e 1. Se ele valesse zero, então a moda seria 
exatamente igual a 1400. 
0 1400 400 1400 ×+=M 
(se a interrogação valesse zero, a moda seria 1400) 
Se o número desconhecido valesse 1, a moda seria exatamente igual a 1800: 
 
 
 
 
 
 
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1800 1400 1400 ×+=M(se a interrogação valesse 1, a moda seria 1800) 
Sabemos que a moda vai estar no intervalo entre 1400 e 1800. O valor da interrogação pode 
variar entre zero e 1. À medida que ele varia, a moda pode assumir qualquer valor nesse 
intervalo, partindo de um extremo (1400) ao outro (1800). 
E, finalmente, vamos ver quem é a tal da interrogação. O número que multiplica a amplitude 
de classe vai representar uma “batalha” entre as classes anterior e posterior. Ambas vão tentar 
“puxar” a moda para o seu lado. 
E quem ganha a batalha? Aquela que apresentar uma freqüência mais próxima da freqüência 
da classe modal. Por isso, o multiplicador que estávamos procurando é baseado em 
“diferenças”. Ele é baseado nas diferenças entre a freqüência da classe modal e as freqüências 
anterior e posterior. 
( ) ( )post Mant M ant M ffff
ff
− +−
−=? 
E a fórmula da moda fica: 
)()( post Mant M
ant M
M ffff
ffh lM − +−
−+ = 
Para este exercício, temos: 
freqüência da classe anterior 20 
freqüência da classe modal 40 
freqüência da classe posterior 25 
Ok, isso é o que foi dado na questão. 
Agora, vamos mudar um pouquinho esses valores. Vamos pensar nos casos extremos. Se a 
freqüência da classe anterior fosse bem próxima de 40, como ficaria o cálculo da moda? Ou 
seja, estamos imaginando a seguinte situação: 
freqüência da classe anterior 39,999
freqüência da classe modal 40 
freqüência da classe posterior 25 
 
 
 
 
 
 
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Nesse caso, a freqüência da classe anterior seria bem próxima da freqüência da classe modal. 
Assim, a classe anterior puxaria a moda para seu lado. 
999 0 39, 40 ≅ =−M ant f f 
Assim: 
)()( post Mant M
ant M
M ffff
ffh lM − +−
−+ = 
1400 
)()(
0400 1400 =− +− ×+≅ post Mant M ffff
M 
A classe anterior ganharia a batalha, trazendo a moda para algo bem próximo de 1400. 
Por definição, a maior freqüência deve ser a da classe modal. Mas se fosse possível ter a 
freqüência anterior exatamente igual a 40, aí a moda seria exatamente igual a 1400. A classe 
anterior ganharia a batalha, com folga, “puxando” a moda para uma das extremidades. 
Pensemos agora no outro caso extremo. Vamos imaginar a seguinte situação: 
freqüência da classe anterior 20 
freqüência da classe modal 40 
freqüência da classe posterior 39,999
Se a freqüência posterior fosse bem próxima de 40, aí a classe posterior é que puxaria a moda 
para o seu lado. Ficaria assim: 
999 0 39, 40 ≅ =−M post f f 
Logo: 
)()( post Mant M
ant M
M ffff
ffh lM − +−
−+ = 
) 0 ( 
4001400 +−
−× +≅
ant M
ant M
ff
ffM 
1800 1400 1400400 1400 = ×+=−
−×+≅
ant M
ant M
ff
ff
M 
Nessa segunda situação, a classe posterior ganha a batalha, trazendo a moda para próximo de 
1800. 
Se fosse possível ter a freqüência posterior igual a 40, aí a moda seria exatamente igual a 
1800. A classe posterior ganharia a batalha com folga, puxando a moda para a sua 
extremidade. 
Um terceiro caso notável acontece quando as freqüências anterior e posterior são iguais. 
Vamos imaginar o seguinte quadro: 
freqüência da classe anterior 28 
freqüência da classe modal 40 
freqüência da classe posterior 28 
 
 
 
 
 
 
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Agora, as duas classes empatam na batalha. Ninguém ganha a briga. Ninguém puxa a moda 
para o seu lado. Assim, a moda ficará exatamente no meio do intervalo entre 1400 e 1800. 
)()( post Mant M
ant M
M ffff
ffh lM − +−
−+ = 
5 1600 , 0400 1400
) 2840 () 2840 (
28 40400 1400 = ×+=−+ −
−×+=M 
Acontece que, neste exercício (como acontece na grande maioria das questões), não temos 
nenhuma das situações “notáveis”. Apesar disso, entendê-las pode ser bem útil para resolver 
as questões com maior rapidez. Em geral, as questões apresentam números que se aproximam 
mais desta última situação apresentada, o que pode facilitar bastante as coisas pra gente. No 
próximo exercício veremos como fazer. 
EC 22 BACEN 2005 - Área 5 [FCC] 
O valor da moda, obtida com a utilização da fórmula de Czuber, é igual a (desprezar os 
centavos na resposta): 
a) R$ 3.201,00 
b) R$ 3.307,00 
c) R$ 3.404,00 
d) R$ 3.483,00 
e) R$ 3.571,00 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
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Classes Freqüência ( f ) 
[1.000 – 2.000) 2 
Classe anterior [2.000 – 3.000) 8 
Classe modal [3.000 – 4.000) 16 
Classe posterior [4.000 – 5.000) 10 
[5.000 – 6.000) 4 
A maior freqüência é 16. A classe correspondente é [3.000 – 4.000). Seu limite inferior é 
3.000. Seu limite superior é 4.000. E sua amplitude é igual a 1.000. 
A freqüência da classe anterior é 8. A freqüência da classe posterior é 10. 
Aplicando a fórmula: 
)()( post Mant M
ant M
M ffff
ffh lM − +−
−+ = 
.571 3 
)6 (8) (
8.000 000 1 . 3
) 1016 () 816 (
8 16.000 000 1 . 3 ≅+×+=−+ −
−×+=M 
Gabarito: E. 
E agora uma dica importante, para resolver a questão com maior rapidez. 
Se as freqüências anterior e posterior fossem iguais, a moda seria justamente o ponto médio 
da classe modal. A moda seria igual a 3.500. 
Como a freqüência posterior é um pouco maior que a anterior (10 > 8), então a classe 
posterior “puxa” a moda para o seu lado. A moda será um pouco maior que 3.500. A única 
alternativa possível é a letra E. Daria para responder a questão sem fazer contas. 
EC 23 Prefeitura Municipal de Vila Velha 2008 [CESPE] 
Uma prefeitura registrou o aumento do valor venal V (em R$ por metro quadrado) de 200 
imóveis localizados em certo bairro residencial, conforme apresentado na tabela a seguir: 
Valor V (R$/m2) Número de imóveis 
V = 0 80 
0 < V ≤ 10 50 
10 < V ≤ 20 35 
20 < V ≤ 30 25 
30 < V ≤ 50 10 
Total 200 
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 
1. A moda da distribuição dos valores V calculada pelo método de Czuber é igual à moda 
dessa mesma distribuição calculada pelo método de King. 
Resolução: 
Primeiro item. 
 
 
 
 
 
 
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Nós vimos um único cálculo de moda para dados em classes: a moda de Czuber. E ela, sem 
dúvidas, é a mais cobrada em provas. Além da moda de Czuber, há a moda de King, a de 
Pearson e a Moda bruta. 
Como temos perda de informação, o cálculo da moda depende de considerações a serem 
feitas. Cada fórmula mencionada acima parte de uma consideração diferente o que, em geral, 
conduz a resultados diferentes. 
Agora vem um grande detalhe. Na tabela dada, não temos apenas classes. Na primeira linha 
temos um valor único. Sabemos que as 80 observações da primeira linha são exatamente 
iguais a zero. 
E esta é justamente a linha com a maior freqüência. Ou seja, a maior freqüência não está 
associada a uma classe e sim a um valor único. Deste modo, com certeza a moda é igual a 
zero. Isso não é consideração, não é “chute”. É certeza! Natural esperar, portanto, que 
qualquer fórmula empregada para cálculo de moda resulte no valor zero. Assim, realmente, a 
moda calculada pela fórmula de Czuber é igual à calculada pela fórmula de King. 
A fórmula de Czuber é: 
)()( post Mant M
ant M
M ffff
ffh lM − +−
−+ = 
A “classe modal” é formada por um valor único. É a classe que vai de zero até zero. É uma 
classe de amplitude zero: 
)()( 
0
post Mant M
ant M
M ffff
fflM − +−
−× += 
0 = Ml M 
A fórmulada moda de King é: 
post ant
post
M ff
f
h lM ++ = 
Aplicando a fórmula: 
post ant
post
M ff
f
lM + ×+ = 0 
0 = Ml M 
Gabarito: Certo 
Apenas por curiosidade, seguem as diferentes fórmulas para cálculo de moda: 
· Czuber: 
)()( post Mant M
ant M
M ffff
ffh lM − +−
−+ = 
· King: 
post ant
post
M ff
f
h lM ++ = 
· Bruta: considerar que a moda é igual ao ponto médio da classe modal 
 
 
 
 
 
 
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· Pearson: X DM 3 − 2 ≅ (onde D é a mediana) 
Como já dissemos, é muito raro uma questão cobrar outra média que não a de Czuber. Esta 
questão que vimos aí em cima foi a única que eu achei que cita a moda de King. Não 
encontrei nenhuma questão sobre a moda bruta. E, quanto à moda de Pearson, achei uma 
única questão, que veremos posteriormente, quando estudarmos mediana. 
3. Moda quando as amplitudes de classe são diferentes 
Mais alguns comentários sobre a moda. 
Quando os dados estão em classes, não temos acesso a todas as observações. Assim, para 
calcular média, mediana e moda, algumas considerações são feitas. 
No caso da média, a consideração é sempre a mesma: consideramos que todas as observações 
correspondem ao ponto médio de cada classe. 
No caso de mediana, a consideração é sempre a mesma: consideramos que o gráfico de 
freqüências acumuladas é composto por segmentos de reta (interpolação linear – matéria que 
veremos mais a frente). 
No caso de moda, há várias formas de cálculo, conforme mencionamos acima. Cada uma leva 
em consideração uma coisa diferente. 
Focamos apenas na moda de Czuber porque é a que é cobrada. Pode uma prova exigir outro 
cálculo de moda? Poder pode. Por enquanto a gente vai se baseando no que tem caído. 
Agora o grande detalhe: os métodos vistos para as modas de Czuber, King e moda bruta só 
valem se as amplitudes de classes forem todas iguais. 
Pergunta: e se as amplitudes não forem todas iguais? 
Vamos ver como fica. 
Quando organizamos os dados para montar uma tabela de valores agrupados em classes, é 
comum que o façamos de forma que todas as classes tenham a mesma amplitude. 
Caso as classes não tenham a mesma amplitude, as fórmulas vistas para a moda perdem um 
pouco o sentido. Precisam ser adaptadas. 
Para ilustrar o problema, trago um caso exagerado, em que as amplitudes de classes são muito 
diferentes. Imaginem a seguinte tabela: 
Classes Freqüência absoluta simples 
1 – 2 10 
2 – 10 16 
10 – 11 8 
11 – 12 6 
12 - 13 4 
Olha que tabela “pouco usual”. 
Se fôssemos achar a moda, do jeito que vimos nesta aula, diríamos que a classe modal é a 2 – 
10, porque tem a maior freqüência. 
Mas será que é mesmo adequado considerar que a moda está nesta classe? Esta classe é muito 
maior que as demais. Muito mesmo. Tem uma amplitude de 8. 
 
 
 
 
 
 
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Não, não é razoável supor que a moda esteja esta classe. É mais razoável supor que a moda 
esteja na classe 1 – 2, que, tendo uma amplitude de apenas 1, contém 10 observações. 
Talvez a tabela abaixo permita visualizar melhor o porquê disso: 
Classes Freqüência 
absoluta simples ( f ) 
Amplitude de classe ( h ) h f 
1 – 2 10 1 10 
2 – 10 16 8 2 
10 – 11 8 1 8 
11 – 12 6 1 6 
12 – 13 4 1 4 
Num caso assim, é mais adequado supor que a moda está na classe com maior valor de h 
f . 
Este valor é denominado densidade de freqüência. Assim, quando as classes não têm a mesma 
amplitude, a determinação da moda leva em conta não as freqüências das classes; sim as 
densidades de freqüência. 
E, para encontrar a moda, podemos usar o conceito de moda bruta (considerando que a moda 
corresponde ao ponto médio da classe 1-2). 
Ou então, poderíamos modificar as fórmulas de Czuber e King, trocando todas as freqüências 
( f ) pelo respectivo valor de ( h f ). 
Aí vem a pergunta: já caiu alguma questão para cálculo de moda em que as amplitudes de 
classes não eram iguais? Não, confesso que nunca vi. Nesta aula trouxemos vários exercícios, 
todos eles com amplitude de classe constante. 
Teve um concurso da ESAF, realizado em 2008, para o cargo de fiscal de tributos municipais 
de Natal, em que já houve sinalização de cobrança de moda para dados em classes com 
amplitudes diferentes. A questão fazia algumas afirmações sobre a moda. Sinceramente, achei 
a questão um tanto quanto “esquisita”. Segue o enunciado: 
Prefeitura Municipal de Natal – 2008 [ESAF] 
A coleta de dados do município, relativa ao ensino fundamental, apresentou a seguinte 
composição etária: 
Composição Etária dos Alunos do Ensino Fundamental: 
Faixa Etária Masc. Fem. 
Até 06 anos 9.000 10.200 
De 07 a 08 anos 10.000 9.300 
De 09 a 10 anos 8.000 8.500 
De 11 a 12 anos 7.000 5.500 
De 12 a 14 anos 5.000 3.500 
De 15 a 18 anos 3.000 2.500 
Acima de 18 anos 1.000 1.500 
Total 43.200 40.800 
Com base nos dados acima, temos as seguintes sentenças: 
I. A Moda está na faixa etária até os 06 anos. 
II. A Média de alunos está na faixa etária de 12 a 14 anos. 
 
 
 
 
 
 
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80
III. A Mediana é superior à média. 
Apontando nos 3 (três) itens acima como V – Verdadeiro e 
F – Falso, a opção correta é: 
a) V, V, V 
b) V, F, V 
c) F, V, F 
d) F, F, F 
e) V, V, F 
Observe que as classes têm amplitudes diferentes. 
O primeiro item é sobre a moda. Não se pediu o cálculo da moda. Apenas se afirmou que a 
classe modal era a primeira, o que é falso. 
A segunda classe (de 7 a 8 anos) tem a maior freqüência absoluta (19.300) e, o que é 
realmente importante, a maior relação hf . Portanto, esta é a classe modal. Por hora, não vou 
continuar a resolução da questão. Faremos mais comentários depois que estudarmos 
assimetria. 
Outro exercício, que também não pediu o cálculo da moda, mas que trouxe classes com 
amplitudes diferentes, foi este do CESPE: 
EC 24 Prefeitura Municipal de Vila Velha 2008 [CESPE] 
Um estudo foi realizado por uma prefeitura acerca da qualidade do atendimento no hospital 
municipal da cidade. Com base em uma amostra de 100 dias, foram produzidas as seguintes 
estatísticas referentes ao número diário de pacientes atendidos. 
média = 30 
variância amostral = 100 
mínimo = 0 
primeiro quartil = 10 
segundo quartil = 25 
terceiro quartil = 40 
máximo = 60. 
Com base nas informações apresentadas no texto, julgue os itens subseqüentes. 
1. É correto estimar que a moda da distribuição do número diário de pacientes atendidos é 
inferior a 10. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
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Para resolver a questão, precisamos conhecer as principais medidas separatrizes (matéria do 
próximo tópico). 
Por hora, vamos dar uma visão rápida do que se trata, só para resolvermos a questão. 
A mediana separa a seqüência de dados em duas partes iguais. Logo, ela corresponde à 
freqüência acumulada de 50%. 
O primeiro quartil separa o primeiro um quarto dos valores. Logo, corresponde à freqüência 
acumulada de 25%. 
Analogamente o terceiro quartil corresponde à freqüência acumulada de 75%. 
A partir dos dados do enunciado, podemos construir a seguinte tabela: 
Classe freqüências acumulada 
0 – 10 25% 
10 - 25 50% 
25 – 40 75% 
40 – 60 100% 
Com isso, os quartis estão todos conforme o comando da questão. Além disso, o valor mínimo 
é zero e o valor máximo é60. 
A partir da tabela acima, podemos achar as freqüências simples 
Classe Freqüências simples Freqüências acumuladas 
0 – 10 25% 25% 
10 - 25 25% 50% 
25 – 40 25% 75% 
40 – 60 25% 100% 
E agora vamos achar a moda. O primeiro passo é encontrar a classe modal. Como as 
amplitudes de classe não são todas iguais, devemos focar nas densidades de freqüência. 
Vamos encontrar as densidades de freqüência: 
Classe amplitude de classe (h) Freqüências simples 
0 – 10 10 25% 
10 - 25 15 25% 
25 – 40 15 25% 
40 – 60 20 25% 
Como todas as classes têm freqüência de 25%, então a classe com maior densidade de 
freqüência será aquela com menor amplitude. Ou seja, a primeira classe é a classe modal. 
Apenas para deixar claro, seguem as contas: 
Classe amplitude de classe (h) Freqüências simples (%) h f / (%) 
0 – 10 10 25 2,5 
10 – 25 15 25 1,66 
25 – 40 15 25 1,66 
40 – 60 20 25 1,25 
Assim, a moda está no intervalo entre 0 e 10. Portanto, realmente a moda é inferior a 10. 
Gabarito: Certo. 
XI. MEDIANA E MEDIDAS SEPARATRIZES 
 
 
 
 
 
 
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Medidas separatrizes são medidas que separam os dados de forma bem específica. 
Uma medida separatriz que nós já estudamos é a mediana. Quando a vimos pela primeira vez, 
dissemos que ela era uma medida de tendência central. Ela, assim como a média e a moda, 
nos indica um valor em torno do qual os dados “giram”. 
Além de ser uma medida de tendência central, ela também é uma medida separatriz. Isto 
porque ela separa os dados de uma forma bem específica. Sendo a mediana o termo do meio, 
ela deixa metade dos dados à sua esquerda e a outra metade à sua direita. 
Outra medida separatriz é o quartil. São três quartis, dividindo a seqüência de dados em 
quatro partes iguais (em quatro partes com o mesmo número de termos). 
O primeiro quartil separa a seqüência de dados de forma que à sua esquerda fiquem 25% dos 
valores e à sua direita 75%. Assim, o primeiro quartil é o valor que não é superado por 25% 
das observações. 
O segundo quartil coincide com a mediana, deixando 50% dos valores de cada lado. 
O terceiro quartil deixa à sua esquerda 75% dos valores e à sua direita 25%. Logo, o terceiro 
quartil é o valor que não é superado por 75% das observações. 
Outra medida separatriz é o decil. São nove decis que dividem a série em dez partes iguais. 
O primeiro decil deixa à sua esquerda 10% dos valores; à sua direita 90% (ou seja, não é 
superado por 10% das observações). O segundo decil deixa à sua esquerda 20% dos valores; à 
sua direita 80%. E assim por diante. 
O quinto decil coincide com a mediana, deixando 50% dos valores de cada lado. 
A última medida separatriz que veremos é o percentil. O primeiro percentil deixa à sua 
esquerda 1% dos valores e à sua direita 99% (ou seja, não é superado por 1% das 
observações). O segundo percentil deixa à sua esquerda 2% dos valores e à sua direita 98%. E 
assim por diante. O qüinquagésimo percentil coincide com a mediana, deixando 50% dos 
valores de cada lado. 
Então, resumindo as medidas separatrizes que estudaremos, temos: a mediana, os quartis, os 
decis, os percentis. 
1. Mediana para dados em rol 
Imaginemos o seguinte rol: 2, 7, 8, 11, 13. 
São cinco elementos. O do meio é o terceiro. Portanto, a mediana para este conjunto de dados 
é: 
8=D 
Repare que a mediana divide a série em duas partes com a mesma quantidade de dados. À 
esquerda do número 8 temos dois valores (2 e 7). À direita do número 8 também temos dois 
valores (11 e 13). 
Para o exemplo que estamos trabalhando desde o início da aula, o rol é: 
Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7. 
Quem é a mediana? 
Neste rol, o número de dados é par. Ou seja, não tem um termo que seja o do meio. Nestes 
casos, adotamos o seguinte procedimento: 
 
 
 
 
 
 
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83
1 – tomamos os dois termos centrais (neste caso, o quinto e o sexto ele-
mento) 
2 – fazemos a média entre eles. 
O quinto elemento é 3 (X5 = 3). O sexto elemento é 4 (X6 = 4). 
A mediana fica: 
 
4 3 =+=D 
Quando a série tem um número ímpar de elementos, fatalmente a mediana fará parte do 
conjunto de dados. Como existirá um termo do meio, ele será a mediana. 
Quando a série tem um número par de elementos, a mediana não necessariamente fará parte 
do conjunto de dados. Ela foi simplesmente resultado de uma conta. 
A mediana, além de ser uma medida de tendência central, também é uma medida separatriz. 
Ela separa a série de dados de forma bem específica, em duas partes com mesmo número de 
elementos. 
EP 17 Encontre a mediana para os seguintes conjuntos de dados: 
a) 1, 2, 5, 4, 6, 2, 3, 3, 3 
b) 2, 8, 5, 1 
c) 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 40, 40 
 
Resolução do EP 17. 
a) A seqüência tem nove termos. A mediana é simplesmente o termo central, ou seja, o quinto 
termo. O quinto termo é o seis. Portanto: 
6=D 
Certo??? 
ERRADO! 
Antes de fazermos qualquer coisa com a série de dados, temos que passá-la para um rol, 
colocando os termos em ordem crescente. 
ROL: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6 
Pronto. Agora a seqüência está ordenada. O quinto termo é o ‘3’. 
3=D 
b) Primeiro, achemos o rol. 
ROL: 1, 2, 5, 8. 
A seqüência tem quatro termos (número par). Não há termo central. Fazemos a média dos 
dois termos centrais. 
,5 3 
2
5 2 =+=D 
c) ROL: 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 40, 40 
 
 
 
 
 
 
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84
São vinte e um termos. O do meio é o décimo primeiro. 
3=D 
Apenas por curiosidade, vamos calcular a média deste conjunto. 
,52 7 
21
158
21 
= == ∑ iXX 
A mediana deu 3. É uma medida de tendência central. Nós vimos lá no início desta aula que 
medidas de tendência central nos dão um indicativo de valores em torno dos quais os dados 
giram. Portanto, tomando a mediana, dizemos que os dados giram em torno de 3. 
Mas a média também é uma medida de tendência central. Tomando apenas a média, dizemos 
que os dados giram em torno de 7,52. 
Como pode? Os dados giram em torno de 3 ou 7,52??? Na verdade, as medidas de tendência 
central não precisam necessariamente coincidir. Elas coincidem quando a seqüência for 
simétrica. Ainda falaremos sobre simetria/assimetria mais adiante. 
Média e mediana são obtidas por meios diferentes. A primeira resulta da soma de todos os 
valores, dividido pelo número de dados. A segunda resulta de uma contagem, em que 
tomamos o termo do meio. Cada uma delas procura expressar a tendência central, mas de 
forma distinta. 
Suponha que esta série de dados da letra C represente os salários dos funcionários de uma 
dada empresa, em números de salários mínimos. 
Assim, os quatro primeiros funcionários ganhariam 1 salário mínimo. Os seis seguintes, dois 
salários mínimos. E assim por diante, até os dois últimos, que ganham quarenta salários 
mínimos. 
Olha como a coisa é interessante. Nesta empresa, como em qualquer outra, a maior parte dos 
funcionários recebe um salário mais baixo. São operários, técnicos, secretárias etc. E poucos 
funcionários recebem um salário muito alto. São diretores, gerentes, etc. 
Se a empresa quiser fazer uma propaganda sua, dizendo que é um ótimo lugar para trabalhar, 
dirá que o salário médio por ela pago é de mais de 7 salários mínimos. É que, mesmo com a 
grande maioria dos funcionários ganhando um salário muito baixo, temos uns poucos 
‘felizardos’ que ganham um saláriotão alto a ponto de fazer com que a média não seja assim 
tão baixa. 
Por outro lado, se os funcionários quiserem fazer uma campanha para aumento salarial, 
poderão dizer que o salário mediano na empresa é de apenas 3 salários mínimos. 
Olha que interessante. Suponha que, por algum motivo, a gente exclua dos nossos dados os 
dois funcionários que ganham 40 salários mínimos. Ficaríamos com o seguinte conjunto: 
1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19. 
A mediana agora é igual a 2. E a média passa a ser igual a 4,1. A mediana variou bem menos 
que a média. Isso porque a mediana é menos influenciada por valores extremos. Ela é pouco 
sensível a tais valores. A média, contrariamente, é mais influenciada por valores muito 
grandes (ou muito pequenos). Dizemos que a média é mais sensível que a mediana. 
Por isso, em pesquisas de distribuição de renda, muitas vezes é utilizada a mediana como 
medida de tendência central. Geralmente poucas pessoas têm renda extremamente alta. Estas 
pessoas contribuem para aumentar a renda média, num quadro em que grande parte da 
 
 
 
 
 
 
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população tem renda baixa. A mediana, nesses casos, tende a fornecer valores mais baixos, 
que descrevem melhor a população pesquisada. 
EC 25 SEFAZ CE 2006 [ESAF] 
O conjunto de notas dos alunos de uma determinada prova é: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3}. 
Assim, podemos dizer que a moda, média e mediana deste conjunto são, respectivamente: 
a) 3, 6 e 5 
b) 3, 4 e 5 
c) 10, 6 e 5 
d) 5, 4 e 3 
e) 3, 6 e 10 
Resolução: 
Esta questão é ótima para fazermos uma revisão geral das medidas de posição. 
Como vimos nesta aula, média, mediana e moda são três importantes medidas de posição. 
Elas nos fornecem indicativos do posicionamento dos dados. 
As medidas de posição podem ser classificadas em: 
· medidas de tendência central: média, mediana e moda; 
· medidas separatrizes: mediana, quartil, decil, percentil 
As medidas de tendência central nos dão exatamente isso: noção de centro. Elas nos indicam 
valores em torno dos quais os dados giram. 
Vamos primeiro fazer o rol. 
ROL: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 8, 9, 10, 10 
Para achar a média aritmética, nós somamos todos os valores e dividimos pelo número de 
dados. 
Somando todos os valores, temos: 
10 60 9 10 5 8 4 5 3 3 3 + + + +++ =Soma 
Como são 10 observações, a média fica: 
6 
10
60 = 
A média é igual a 6. O símbolo usual para a média é: X . Assim: 
6=X 
A média vale 6. Ela é uma medida de tendência central. Ela nos indica que as notas dos 
alunos giraram em torno de 6. 
Calculada a média, vamos para a moda. A moda é o termo que mais se repete. 
No caso do conjunto formado pelas notas dos alunos, o termo que mais se repete é o 3 (ele 
aparece três vezes). 
 
 
 
 
 
 
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3=M 
A moda também é uma medida de tendência central. Tomando a moda, dizemos que os dados 
giram em torno de 3. 
Por fim, vamos à mediana. A mediana é o termo do meio do nosso Rol. Se o Rol tiver um 
número ímpar de termos, haverá um termo do meio, que será a mediana. 
Quando o Rol tem um número par de termos, aí não há termo central. Nesses casos, a 
mediana é dada pela média aritmética dos dois termos centrais. 
Nesta questão temos dez observações (número par). Não há um termo central. A mediana será 
dada pela média dos dois termos centrais (no caso, o quinto e o sexto elementos). 
5 
2
5 5
2
int =+=+= sexto oqu D 
Tomando a mediana, nós dizemos que os dados giram em torno de 5. 
Aí vem a pergunta: afinal de contas, os dados giram em torno de 3, de 5 ou de 6? 
Média, mediana e moda buscam dar uma medida de tendência central, mas cada uma de uma 
forma diferente. Cada uma parte de uma consideração diferente. A média é fruto de uma conta 
(uma soma seguida de uma divisão). Mediana e moda são fruto de contagens. Isso faz com 
que, em geral, cada uma delas forneça um resultado diferente. 
Gabarito: A. 
EC 26 CGU 2008 [ESAF] 
Determine a mediana do seguinte conjunto de dados: 
58, 95, 17, 44, 63, 9, 57, 21, 88, 12, 31, 28, 73, 5 e 56. 
a) 28 
b) 31 
c) 44 
d) 50 
e) 56 
Resolução: 
A questão é sobre mediana. Basta fazer o rol e achar o termo do meio. 
ROL: 5, 9, 12, 17, 21, 28, 31, 44, 56, 57, 58, 63, 73, 88, 95. 
São quinze valores. O do meio é o oitavo. 
 
 
 
 
 
 
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A mediana é igual a 44. 
44=D 
Gabarito: C. 
EC 27 AFRFB 2009 [ESAF] 
Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em um curso 
preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta: 
29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 
27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28. 
a) A média e a mediana das idades são iguais a 27. 
b) A moda e a média das idades são iguais a 27. 
c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. 
d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074. 
e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27. 
Resolução. 
Rol: 
23, 23, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 26, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 28, 28, 28, 28, 29, 
29, 29, 30, 31, 32, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 41 
Calcular a média, nesta questão, dá muito trabalho, pois teríamos que somar todos os valores. 
O ideal é começar pelas medidas mais fáceis de se determinar. 
A moda é o termo que mais se repete. Só de passar os olhos, já dá para ver que a moda é 27. 
Trata-se do termo que mais ocorre. O número 27 ocorre 6 vezes. 
27=M 
Vamos para a mediana. 
São 37 termos. O do meio é o décimo nono, que é igual a 27. 
279 = X D 
Logo, a mediana é 27. 
A mediana e a moda são iguais a 27. 
Gabarito: E 
EC 28 SEFAZ/SP 2009 [ESAF] 
Determine a mediana das seguintes observações: 
17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9. 
a) 13,5 
 
 
 
 
 
 
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b) 17 
c) 14,5 
d) 15,5 
e) 14 
Resolução: 
Primeiro fazemos o ROL, ou seja, colocamos os dados em ordem crescente: 
3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13, 14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 34, 42 
São 23 observações. O termo do meio é o 12º. Portanto, a mediana é 17. 
1712 = X D 
Gabarito: B 
EC 29 SEFAZ MG 2005 [ESAF] 
Considere o diagrama de ramos e folhas abaixo correspondente à seqüência de observações 
(91, 91, ..., 140, 145, 158). Assinale a opção que dá a mediana das observações de X. 
9 11 
9 9 
10 002234 
10 57778 
11 013 
11 66 
12 00012 
12 558 
13 004 
13 555 
14 0 
14 5 
15 
15 8 
a) 110 
b) 120 
c) 116 
d) 113 
e) 111 
 
 
 
 
 
 
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Resolução: 
Foi dado um diagrama de ramos e folhas, que guarda correspondência com o rol. 
Relembrando o que é esse tal de diagrama. 
Vamos analisar a primeira linha. Nela temos um 9. Depois um espaço. Depois dois números 
‘1’. 
Isto quer dizer que, no rol original, temos dois números 91. 
9 11, num diagrama de ramos e folhas, representa: 91, 91. 
Na segunda linha temos 9 9 (nove, espaço, nove). Isto representa o número 99. 
Na terceira linha temos10 002234. Isto significa que, no rol original, temos os números 100, 
100, 102, 102, 103, 104. 
Na quarta linha temos 10 57778. Isto significa que, no rol original, temos os números 105, 
107, 107, 107 e 108. 
E assim por diante. 
É como se separássemos cada número em duas partes. O algarismo das unidades de um lado. 
Os demais do outro. Os algarismos das unidades seriam “folhas” que se prendem nos 
“ramos”, representados pelas dezenas/centenas. 
Na primeira linha se representam apenas os números de 90 até 94. Na segunda, os números de 
95 até 99. Na terceira, de 100 até 104. Na quarta, de 105 até 109. E assim por diante. 
Um detalhe para a penúltima linha. Nela temos apenas 15. Depois do 15 não tem nada. Isto 
significa que não há nenhum número entre 150 e 154. 
Sabendo disto, vamos à questão. 
Pede-se a mediana. Temos na verdade um rol (só que representado de forma diferente). Se 
contarmos quantos valores são, chegamos a 36. É um número par de valores. Não há um 
termo do meio. A mediana será a média dos termos centrais. 
Vejamos quem são eles: 
11618 =X ; 11619 =X 
A mediana fica: 
116
2
116 116 =+=D 
Gabarito: C. 
EC 30 ANTAQ 2009 [CESPE] 
Variável 2003 2004 2005 2006 2007 
Exportação X 40 46 50 52 54 
Importação Y 20 21 22 24 27 
Total X + Y 60 67 72 76 81 
Internet: <www.portodesantos.com> (com adaptações). 
Considerando a tabela acima, que apresenta a movimentação anual de cargas no porto de 
Santos de 2003 a 2007, em milhões de toneladas/ano e associa as quantidades de carga 
 
 
 
 
 
 
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movimentadas para exportação e importação às variáveis X e Y, respectivamente, julgue os 
itens subsequentes. 
1. Nesse período, a mediana dos totais movimentados (X+Y) foi inferior a 70 milhões de 
toneladas. 
Resolução. 
Ordenando os valores, temos: 
Rol: 60, 67, 72, 76, 81 
O termo do meio é 72, que é a mediana. 
Gabarito: errado. 
2. Mediana para dados agrupados por valor 
Relembrando, a mediana é o termo que divide a série em duas partes com o mesmo número 
de termos. Ou ainda, é o valor que não é superado por 50% das observações. 
Retomemos a tabela de freqüências absolutas simples para o nosso rol, visto no começo desta 
aula. 
Salários (em R$ 1.000,00) Freqüência absoluta simples 
1 1 
2 3 
3 1 
4 2 
5 1 
6 1 
7 1 
Ao contrário da média e da moda, para encontrar a mediana não trabalhamos com freqüências 
simples. Trabalhamos sempre com freqüências acumuladas (tanto faz ser relativa ou 
absoluta). 
Então, o primeiro passo para encontrar a mediana é encontrar a coluna de freqüências 
absolutas acumuladas. 
Salários (em R$ 1.000,00) Freqüência 
absoluta simples 
Freqüência 
absoluta acumulada 
1 1 1 
2 3 4 
3 1 5 
4 2 7 
5 1 8 
6 1 9 
7 1 10 
Segundo passo: determinar qual o termo do meio (ou quais são). Neste caso, como são 10 
elementos (ou seja, o número total de dados é par), não temos um termo do meio. Temos dois 
termos centrais. 
Numa seqüência de 10 termos, os centrais são o quinto e o sexto elementos. 
 
 
 
 
 
 
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Temos, portanto que determinar quem é o quinto elemento e quem é o sexto elemento. Para 
tanto, basta encontrar a quais valores de salários correspondem as freqüências acumuladas 5 e 
6. 
Dirigindo-nos à coluna de freqüência acumulada, procuramos pelo número 5 (ver linha em 
vermelho). 
Qual valor de salário corresponde à freqüência acumulada 5? 
Resposta: 3 (R$ 3.000,00). 
Pronto, encontramos o quinto elemento. 
Agora, encontremos o sexto elemento. Dirigindo-nos à coluna de freqüência acumulada, 
procuramos pelo número 6. Só que não há nenhum valor de freqüência acumulada igual a 6. 
Adotamos o número imediatamente superior, no caso, 7 (ver linha em azul). 
Qual o valor de salário correspondente à freqüência acumulada 7? 
Resposta: 4 (R$ 4.000,00). 
Pronto, encontramos o sétimo elemento (que é igual ao sexto elemento). 
Num caso de número par de dados, a mediana é dada pela média entre os dois termos centrais. 
,5 3 
2
4 3 =+=D 
Talvez tenha ficado a dúvida de por que utilizamos a freqüência acumulada 7 em vez de 6. 
Tentando explicar um pouco melhor, podemos pensar o seguinte. A freqüência acumulada do 
valor 3 é 5. O que significa isto? Significa que 5 pessoas ganham salários menores ou iguais a 
R$ 3.000,00. 
A freqüência acumulada do valor 4 é 7. O que significa isto? Significa que 7 pessoas ganham 
salários menores ou iguais a R$ 4.000,00. 
Ou seja, cinco pessoas ganham até R$ 3.000,00. Sete pessoas ganham até R$ 4.000,00. Eu 
estou procurando pela sexta pessoa. Eu sei que esta sexta pessoa ganha mais de R$ 3.000,00, 
pois apenas as cinco primeiras ganham até R$ 3.000,00. Logo, a sexta e a sétima pessoas 
ganham salários de R$ 4.000,00. Ou seja, o sexto e o sétimo valores são iguais. 
→ 
LEMBRETE DE MEDIANA: 
Sempre trabalhe com freqüências acumuladas. 
Nunca utilize freqüências simples. 
EP 18 Considere a seguinte tabela: 
Valor observado Freqüência relativa acumulada 
10 0,1 
15 0,2 
18 0,5 
20 0,7 
21 1 
Considerando que são 20 valores observados, calcule a mediana para os dados agrupados 
acima representados. 
 
 
 
 
 
 
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Resolução: 
Para encontrar a mediana, trabalhamos com freqüência acumulada. Pode ser simples ou 
relativa. 
Pois bem, quando temos dados agrupados por valor, embora possível, fica um pouco 
complicado trabalhar com freqüências relativas. 
Já para dados agrupados em classes, tópico que realmente cai nas provas, é possível trabalhar 
tranquilamente tanto com freqüências relativas quanto absolutas (bastando que sejam 
acumuladas). 
Assim, para resolver o exercício proposto, encontremos as freqüências absolutas acumuladas. 
Valor observado Freqüência 
relativa acumulada 
Freqüência 
Absoluta acumulada 
Memória 
De cálculo 
10 0,1 2 =0,1 x 20 
15 0,2 4 =0,2 x 20 
18 0,5 10 =0,5 x 20 
20 0,7 14 =0,7 x 20 
21 1 20 =1 x 20 
Numa seqüência com 20 termos, os do meio são o 10° e o 11°. 
Para encontrar o décimo elemento, verificamos qual valor corresponde à freqüência 
acumulada 10. 
Este valor é o 18. 
Valor 
observado
Freqüência 
absoluta acumulada
10 2
15 4
18 10
20 14
21 20
Para encontrar o décimo primeiro elemento, verificamos qual valor corresponde à freqüência 
acumulada 11. Não tem nenhum valor com freqüência acumulada igual a 11. Adotamos o 
número imediatamente superior (no caso 14). 
Valor 
observado
Freqüência 
absoluta acumulada
10 2
15 4
18 10
20 14
21 20
Ou seja, os elementos 11°, 12°, 13° e 14° são todos iguais a 20. 
E a mediana fica: 
19
2
20 18 =+=D 
EC 31 FINEP 2009 [CESPE] 
 
 
 
 
 
 
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Um levantamento efetuado entre os 100 jovens inscritos em um projeto de inclusão social 
desenvolvido por uma instituição mostra a seguinte distribuição etária. 
idade (X, em anos) freqüência 
16 40 
17 30 
18 20 
19 10 
Com base nessas informações, assinale a opção incorreta. 
a) A mediana da distribuição etária é igual a 17,5 anos. 
b) A variável X apresentada na tabela de frequências é uma variável discreta. 
c) A média das idades dos jovens observados no levantamento é igual a 17 anos. 
d) A moda da distribuição etária é igual a 16 anos. 
e) Dos jovens inscritos no referidoprojeto de inclusão social, 30% possuem idades maiores 
ou iguais a 18 anos. 
Resolução. 
Letra A. 
Para encontrar a mediana, trabalhamos com freqüências acumuladas. 
idade (X, em anos) f F 
16 40 40 
17 30 70 
18 20 90 
19 10 100 
São 100 elementos. Os termos centrais são o 50º e o 51º. 
1751 50 = X X 
17
2
17 17 =+=D 
Encontramos a alternativa incorreta. 
Gabarito: A 
3. Demais medidas separatrizes para dados em rol ou agrupados por valor 
Quando os dados estão em ROL ou agrupados por valor, o cálculo das medidas separatrizes 
pode ser meio complicado. 
Para a mediana, nós vimos no tópico anterior que bastava identificar o termo central. Ou, caso 
o conjunto tivesse um número par de termos, bastava identificar os dois termos centrais e 
fazer a média. 
Para as demais medidas, a maneira de calcular varia bastante. Costumo dizer que “vai do 
gosto do freguês”. Talvez por isso dificilmente caia em prova. 
Vejamos um exemplo. Neste ponto específico, vou utilizar a mesma idéia apresentada no livro 
“Estatística Aplicada à Economia, Administração e Contablidade”, dos autores John Freund e 
 
 
 
 
 
 
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Gary Simon. Os autores trabalham com um exemplo envolvendo quartis, demonstrando que 
“há vasto campo para a arbitrariedade na definição do quartil inferior Q1 e do quartil 
superior Q3”. 
Então é isso. O que vem abaixo é uma adaptação dos exemplos do livro citado. 
Estamos pesquisando as alturas das crianças de uma escola. 
Selecionamos doze crianças. Medimos suas alturas, obtendo o seguinte rol (valores em 
metros): 
1,40; 1,41; 1,44; 1,45; 1,46; 1,47; 1,49; 1,51; 1,52; 1,53; 1,55; 1,56. 
Muito bem. Nossa tarefa agora é encontrar os quartis. 
São doze valores. Se vamos dividir o ROL em quatro partes iguais, cada parte terá três 
elementos. Ficaremos com: 
1,40; 1,41; 1,44; 1,45; 1,46; 1,47; 1,49; 1,51; 1,52; 1,53; 1,55; 1,56
Acima temos as quatro partes de três elementos. Portanto, quatro partes iguais. 
Neste exemplo, uma forma de determinar os quartis poderia ser a que segue: tomamos os 
números que ficam perto das “fronteiras” entre as partes e fazemos a média entre eles. 
A primeira parte termina no 1,44. A segunda parte começa no 1,45. Fazendo a média entre 
eles temos: 
,445 1
2
,45 1 44, 1 =+
Assim, o primeiro quartil seria 1,445 ( 445 ,11 =Q ). 
A segunda parte termina no 1,47. A terceira parte começa no 1,49. Fazendo a média entre eles 
temos: 
,48 1
2
,49 1 47, 1 =+
O segundo quartil (que coincide com a mediana) é 1,48 ( 48 ,12 =Q ). 
A terceira parte termina no 1,52. A quarta parte começa no 1,53. Fazendo a média entre eles 
temos: 
,525 1
2
,53 52 1 , 1 =+
E o terceiro quartil é igual a 1,525 ( 525 ,13 =Q ). 
Pronto, descobrimos os três quartis. Três valores que separam a série de dados em quatro 
partes iguais. 
 
 
 
 
 
 
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95
1,40; 1,41; 1,44; 1,45; 1,46; 1,47; 1,49; 1,51; 1,52; 1,53; 1,55; 1,56
Q1=1,445 Q2=1,48 Q3=1,525
Agora vamos mudar a situação. Em vez de 12 crianças, medimos altura de apenas 11. A 
criança mais baixa, com 1,40, não foi analisada. O novo ROL, com 11 termos, fica: 
1,41; 1,44; 1,45; 1,46; 1,47; 1,49; 1,51; 1,52; 1,53; 1,55; 1,56. 
E agora? 11 não é múltiplo de 4. Como separar a seqüência em quatro partes iguais? 
Bom, o segundo quartil sempre coincide com a mediana. Agora temos um número ímpar de 
elementos. Há um termo do meio, que é o sexto. A mediana é igual a 1,49. Portanto, o 
segundo quartil também é igual a 1,49. 
O problema é achar os demais quartis. 
Neste caso, podemos pensar que: 
· à direita do primeiro quartil existem três vezes mais termos que à sua esquerda; à esquerda 
do terceiro quartil existem três vezes mais termos que à sua direita; 
· o número de elementos entre Q1 e Q2 é igual ao número de elementos entre Q2 e Q3, que é 
igual ao número de elementos à esquerda de Q1, que é igual ao número de elementos à 
direita de Q3; 
· metade dos dados está entre Q1 e Q3. 
Quando a seqüência tinha 12 termos (múltiplo de quatro) todas estas propriedades foram 
satisfeitas (pode conferir). 
Agora, quando a seqüência tem apenas 11 termos, não é possível fazer com que todas sejam 
observadas ao mesmo tempo. 
Adotando a segunda propriedade, poderíamos determinar os quartis do seguinte modo: 
1,41; 1,44; 1,45; 1,46; 1,47; 1,49; 1,51; 1,52; 1,53; 1,55; 1,56
Q1=1,45 Q2=1,49 Q3=1,53
Mas observe que as demais propriedades não foram satisfeitas. 
Pois bem, este mesmo problema enfrentado com os quartis acontece com todas as demais 
medidas separatrizes (decis e percentis). 
Talvez, devido a este tipo de problema, não seja comum a cobrança de tais medidas em 
provas de concursos (para dados em ROL ou agrupados por valor). 
No caso específico de quartis, ainda se vê cobrança vez ou outra (seguem exemplos na 
seqüência). E o método que se costuma utilizar para determinar o valor dos quartis é sempre o 
mesmo e acaba correspondendo à aplicação da segunda propriedade. O segundo quartil divide 
a seqüência em duas partes iguais. Consideramos que o primeiro quartil é a mediana da 
primeira parte. E o terceiro quartil é a mediana da segunda parte. 
 
 
 
 
 
 
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EC 32 CGU 2008 [ESAF] 
[Conjunto de dados da questão anterior: 58, 95, 17, 44, 63, 9, 57, 21, 88, 12, 31, 28, 73, 5 e 
56]. 
Dado o conjunto de dados da questão anterior, determine a amplitude interquartilica Q3 – Q1. 
a) 33. 
b) 37. 
c) 40. 
d) 46. 
e) 51. 
Resolução: 
Vamos obter o ROL. 
ROL: 5, 9, 12, 17, 21, 28, 31, 44, 56, 57, 58, 63, 73, 88, 95. 
Amplitude interquartílica ou intervalo interquartil nada mais é que a diferença entre o terceiro 
quartil )( 3Q e o primeiro quartil ) ( 1Q . 
Este conceito é muito importante, pois não são raras as questões que exigem seu 
conhecimento. 
→ 
AMPLITUDE INTERQUARTÍLICA (OU INTERVALO INTERQUARTÍLICO): 
É a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil. 
Vamos encontrar os quartis Q3 e Q1. 
O primeiro quartil é o valor que deixa à sua esquerda 25% dos dados e à sua esquerda 75%. 
O terceiro quartil é o valor que deixa à sua esquerda 75% dos dados e à sua direita 25%. 
Só que a série tem 15 dados. 25% de 15 é um número quebrado. Da mesma forma, 75% de 15 
também não é um número inteiro. Como fazer? 
Nestes casos, como já dissemos, há diferentes formas de se encontrar os quartis. Vai “do 
gosto do freguês”. A forma necessária para resolver a questão era: 
Primeiro: encontramos a mediana. 
A mediana deste conjunto nós já calculamos nesta aula, em que resolvemos um outro 
exercício da mesma prova. A mediana é 44 (ver EC 26). A mediana separa os dados em duas 
partes iguais (com sete termos cada uma). 
Segundo: assumimos que o primeiro quartil é a mediana da primeira parte. 
A primeira parte tem os seguintes termos: 
5, 9, 12, 17, 21, 28, 31. 
São sete termos. O do meio é o quarto (=17). 
 
 
 
 
 
 
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O primeiro quartil é igual a 17. 
171 =Q 
Terceiro: assumimos que o terceiro quartil é a mediana da segunda parte. 
A segunda parte tem os seguintes termos: 
56, 57, 58, 63, 73, 88, 95 
São sete termos. O do meio é o quarto. 
O terceiro quartil é 63. 
633 =Q 
A amplitude interquartílica fica: 
46 176313 − −QQ 
Gabarito: D 
Mais um exemplo: 
EC 33 CVM 2001 [ESAF] 
Uma firma distribuidora de eletrodomésticos está interessada em estudar o comportamento de 
suas contas a receber em dois meses consecutivos. Com este objetivo, seleciona, para cada 
mês, uma amostra de 50 contas. As observações amostrais constam da tabela seguinte: 
Valor (R$) Freqüência de março Freqüência de abril 
1.000,00 6 10 
3.000,00 13 14 
5.000,00 12 10 
7.000,00 15 13 
9.000,00 4 - 
11.000,00 - 3 
Assinale a opção que corresponde ao intervalo interquartílico, em reais, para o mês de março. 
a) 3.250,00 
b) 5.000,00 
c) 4.000,00 
d) 6.000,00 
e) 2.000,00 
Resolução: 
Intervalo interquartílico corresponde à diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil. 
Valor (R$) Freqüência de março Freqüência acumulada de março 
1.000,00 6 6 
3.000,00 13 19 
5.000,00 12 31 
 
 
 
 
 
 
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7.000,00 15 46 
9.000,00 4 50 
Vamos encontrar a mediana. 
São 50 termos. Temos dois elementos centrais: o 25º e o 26º. 
O 19º termo é igual a 3.000. 
O 20º, o 21º, o 22º, .... e o 31º termo são iguais a 5.000. 
Portanto, o 25º e o 26º termos são iguais a 5.000. A mediana fica: 
.000 5=D 
A mediana divide o conjunto de dados em duas partes. A primeira parte tem 25 termos. O 
termo do meio é o 13º. 
O 13º termo é igual a 3.000. Assumimos que a mediana da primeira parte é o primeiro quartil. 
 
1 =Q 
A segunda parte tem 25 termos. O do meio é o 13º. 
O 1º termo da segunda parte é o 26º termo da seqüência inteira. 
Portanto, o 13º termo da segunda parte é o 38º termo da seqüência inteira. 
O 38º termo é igual a 7.000. 
Vamos assumir que a mediana da segunda parte corresponde ao terceiro quartil. 
.000 73 =Q 
Logo, o intervalo interquartil fica: 
.000 000 4 . 3.000 713 =− −Q Q 
Gabarito: C. 
Pronto. Vimos exemplos de exercícios de cálculo de medidas separatrizes para dados em ROL 
e dados agrupados por valor. Pelas dificuldades já comentadas, acaba sendo um assunto pouco 
cobrado. 
Para quem quiser se aprofundar mais um pouco no assunto, sugiro a leitura do ponto 17 
(www.pontodosconcursos.com.br/artigos3.asp?prof=151&art=3937&idpag=5). Neste artigo, 
fazemos comentários sobre uma maneira sistemática de cálculo de qualquer medida separatriz 
para dados em rol ou agrupados por valor. Contudo, esta forma sistemática não tem sido 
cobrada em provas, por isso não a abordaremos em aula. 
O que realmente cai em prova, e cai bastante, é o cálculo de medidas separatrizes para dados 
agrupados em classes. Eu diria que, de toda a estatística descritiva, este é o assunto mais 
importante, justamente porque é o mais cobrado em concursos. 
4. Medidas separatrizes para dados em classe. 
Como dissemos acima, o que cai bastante em prova é o cálculo de medidas separatrizes para 
dados em classes. Costumo dizer que este é o tópico mais importante de estatística descritiva. 
Se você considerar provas anteriores das mais importantes bancas, este é o assunto mais 
cobrado. 
 
 
 
 
 
 
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A representação dos dados na forma “agrupados em classes” é comum quando o número de 
observações é muito grande. Nestas situações, os problemas que vimos na determinação das 
medidas separatrizes tornam-se irrelevantes. Especialmente levando-se em conta que nem 
acesso a todos os dados nós temos (ou seja, obrigatoriamente considerações têm que ser 
feitas). Quando os dados estão agrupados em classes, não há mais “vasto campo de 
arbitrariedade” na determinação dos quartis (ou dos decis, ou dos percentis). O método é 
sempre o mesmo. 
Para resolver exercícios de medidas separatrizes para dados agrupados em classes, utilizamos 
interpolação linear. Vai funcionar mais ou menos assim. 
Precisamos trabalhar com valores de freqüências acumuladas (não importa se absolutas ou 
relativas, importa que sejam acumuladas). Neste ponto a conta é diferente de média e moda. 
Lembram? Para média e moda sempre usamos freqüências simples. Para medidas separatrizes 
(incluindo mediana) é o contrário: freqüências acumuladas. 
Para determinados valores de freqüências acumuladas, saberemos muito bem quais os valores 
da nossa seqüência de dados são correspondentes. Para outros, não. Estes outros valores nós 
determinaremos por meio da interpolação linear. 
Novamente: se tivéssemos que apontar um tópico de estatística descritiva como o mais 
cobrado em concursos, seria exatamente este: o cálculo de medidas separatrizes para dados 
agrupados em classes utilizando interpolação linear. Vamos a alguns exercícios para ver como 
fica. 
EC 34 AFRF – 2003 [ESAF] 
Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. Não 
existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
Classes Freqüências Acumuladas 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x da distribuição amostral de X que 
não é superado por cerca de 80% das observações. 
a) 10.000 
b) 12.000 
c) 12.500 
d) 11.000 
e) 10.500 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
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A pergunta pode ser resumida como: qual o valor do oitavo decil? Ou seja, quer se saber qual 
valor deixa à sua esquerda 80% dos dados. Ou ainda, qual valor não é superado por 80% das 
observações. 
O primeiro passo é verificar se as freqüências dadas são acumuladas. Para medidas 
separatrizes, sempre devemos utilizar freqüências acumuladas. Não importa se forem 
absolutas ou relativas. Basta que sejam acumuladas. Lembre que aqui é o contrário do cálculo 
para média e moda. Para média e moda sempre utilizamos freqüências simples. 
No caso, o exercício já deu as freqüências acumuladas. Não temos que fazer nenhuma 
transformação. 
Antes de responder à pergunta, vamos relembrar um pouco do significado de uma tabela de 
freqüências acumuladas. Observe a linha em vermelho. 
Classes Freqüências Acumuladas 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
O que ela significa? 
O que significa dizer que a freqüência acumulada da classe 8.000 – 10.000 é igual a 77? 
Significa que temos 77 valores de X nesta classe ou nas classes anteriores. Significa que 
temos 77 valores de X entre 2.000 e 10.000. 
E se a pergunta fosse: qual o valor que não é superado por 77% das observações? Se a 
pergunta fosse essa, não precisaríamos fazer nenhuma conta. Bastaria olhar direto na tabela. 
Se 77 valores de X estão entre 2.000 e 10.000, concluímos que o valor de X que não é 
superado por 77% das observações é justamente 10.000. 
Classes Freqüências Acumuladas 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
O valor 10.000 não é superado por 77% observações 
E se a pergunta fosse: qual o valor não é superado por 89% das observações? Novamente, não 
precisaríamos fazer nenhuma conta. Bastaria olhar na tabela. Veja a linha em vermelho. 
Classes Freqüências Acumuladas 
2.000 – 4.000 5 
 
 
 
 
 
 
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Classes Freqüências Acumuladas 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
Temos 89valores entre 2.000 e 12.000. Ou seja, 12.000 não é superado por 89% das 
observações. 
Classes Freqüências Acumuladas 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
 
O valor 12.000 não é superado por 89% observações 
O problema é que a pergunta foi qual o valor não é superado por 80% das observações. E na 
coluna de freqüências acumuladas não temos o valor 80. Logo, não temos como saber qual é o 
valor de X que não é superado por 80% das observações. 
O que faremos? Vamos “chutar”. Vamos fazer uma consideração. Vamos considerar que o 
gráfico dos valores de freqüências acumuladas versus valores de X se comporta como um 
conjunto de segmentos de reta. 
Neste curso nós não vamos ficar desenhando gráficos de segmentos de reta. Vamos só utilizar 
o resultado destes gráficos. 
Classes Freqüências Acumuladas 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
Sabemos que o valor 10.000 corresponde a uma freqüência acumulada de 77. Sabemos que o 
valor 12.000 corresponde a uma freqüência acumulada de 89. A pergunta é: quem 
corresponde a 80? (vamos chamar de Z) 
Sabemos que 80 está entre 77 e 89. Portanto, o valor que a ele corresponde tem que estar entre 
10.000 e 12.000. 
10.000 77 10.000 corresponde a 77 
Z = ? 80 Quem corresponde a 80? 
12.000 89 12.000 corresponde a 89 
 
 
 
 
 
 
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Na interpolação linear, nós vamos fazer o seguinte. Fazemos a segunda linha menos a 
primeira. Fazemos a terceira linha menos a primeira. 
Primeira linha 10.000 77 
Segunda linha Z 80 
Terceira linha 12.000 89 
Subtraindo, ficamos com: 
000 .10−Z 7780 −
000 .10 000. 12 − 7789 −
A interpolação linear nos diz que as diferenças das linhas de baixo com a linha de cima são 
proporcionais. 
7789
7780
.000 000 10 . 12
.000 10
−
−=−
−Z 
Isolando o Z, temos: 
12
000 3 . 2.000 10 ×+=Z 
.500 10=Z 
Concluindo: O valor 10.500 não é superado por 80 observações. 
Gabarito: E. 
Antes de passarmos para o próximo exercício, vamos mostrar graficamente o que foi feito. 
Para os dados fornecidos, podemos construir a seguinte tabela de freqüências acumuladas: 
Valores F 
2.000 0 
4.000 5 
6.000 16 
8.000 42 
10.000 77 
12.000 89 
14.000 100 
Podemos plotar estes valores num gráfico. 
 
 
 
 
 
 
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103
Ou seja, para alguns valores, sabemos exatamente as respectivas freqüências acumuladas. 
Mas não sabemos qual valor corresponde à freqüência acumulada 80 (ou qual o oitavo decil). 
Assim, supomos que o gráfico acima é composto por diversos segmentos de retas que unem 
os pontos conhecidos. 
Com esta suposição, passamos a ter, para qualquer freqüência acumulada, a respectiva 
observação. E vice-versa. 
Esta suposição de que o gráfico é formado por segmentos de reta é justamente a interpolação 
linear. O gráfico acima é por vezes chamado de ogiva de Galton. E a interpolação linear acaba 
sendo chamada de interpolação da Ogiva. Mas estes são só nomes diferentes para a mesma 
coisa. 
Assim, em vez de resolvermos o exercício da forma como fizemos, poderíamos trabalhar 
diretamente com o gráfico. Mas como ficar desenhando gráfico é meio trabalhoso, vou fazer 
uma vez só. 
A pergunta é: qual valor corresponde à freqüência acumulada 80? 
 
 
 
 
 
 
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Ou ainda: qual o valor de Z da figura acima? 
Vamos analisar apenas uma parte do gráfico. Vamos olhar apenas para o penúltimo segmento 
de reta. 
Podemos visualizar dois triângulos no gráfico acima. O primeiro, menor, destacado em verde: 
 
 
 
 
 
 
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105
A altura deste triângulo é igual a 3 ( 77 80 = ). A base deste triângulo é igual a ( 000 .10 −Z ). 
Há um outro triângulo, maior, destacado em azul: 
A altura deste triângulo maior é 12 ( 77 89 = ). 
Sua base é igual a 2.000 ( 000 .10 000. 12 −= ). 
Esses dois triângulos são semelhantes. 
Portanto, a relação entre as alturas é igual à relação entre as bases. 
Assim: 
azul trianguloaltura
verde trianguloaltura 
azultriangulo base
verde triangulobase
__
__
__
__ = 
12
3
.000 2
000 .10 −Z = 
 
 
 
 
 
 
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E foi exatamente desta igualdade que partimos para resolver o problema. Ou seja, esta 
igualdade nada mais é que o resultado da semelhança de triângulos, triângulos estes obtidos 
por causa da interpolação linear. 
Aqui no curso on line, acho que não é muito proveitoso ficar resolvendo os exercícios 
diretamente no gráfico. Portanto, nos próximos exercícios de concursos, faremos o primeiro 
procedimento visto, achando as três linhas, subtraindo as duas de baixo pela de cima. 
Para encerrar o exercício, destaco que, por causa das alternativas, há uma solução mais rápida. 
Olhando a tabela do enunciado, temos que: 
10.000 77 10.000 corresponde a 77 
Z = ? 80 Quem corresponde a 80? 
12.000 89 12.000 corresponde a 89 
80 está entre 77 e 89. O número que a ele corresponde (=Z), portanto, está entre 10.000 e 
12.000. Logo, não pode ser o próprio 10.000, nem o próprio 12.000. Já descartamos as letras 
A e B. 
a) 10.000 
b) 12.000 
c) 12.500 
d) 11.000 
e) 10.500 
Se o número procurado está entre 10.000 e 12.000, então ele também não pode ser igual a 
12.500. Descartamos a letra C. 
a) 10.000 
b) 12.000 
c) 12.500 
d) 11.000 
e) 10.500 
Como 80 está mais próximo de 77 do que de 89, o número a ele correspondente deve estar 
mais próximo de 10.000 do que de 12.000. Assim, descartamos a letra D, pois 11.000 está 
exatamente no meio entre 10.000 e 12.000. 
a) 10.000 
b) 12.000 
c) 12.500 
d) 11.000 
e) 10.500 
E marcamos a letra E. 
 
 
 
 
 
 
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EC 35 Prefeitura Municipal de Recife - 2003 [ESAF] 
O quadro seguinte apresenta a distribuição de freqüências da variável valor do aluguel (X) 
para uma amostra de 200 apartamentos de uma região metropolitana de certo município. Não 
existem observações coincidentes com os extremos das classes. Assinale a opção que 
corresponde à estimativa do valor Z tal que a freqüência relativa de observações de X 
menores ou iguais a Z seja 80%. 
Classes R$ Freqüências 
350 – 380 3 
380 – 410 8 
410 – 440 10 
440 – 470 13 
470 – 500 33 
500 – 530 40 
530 – 560 35 
560 – 590 30 
590 – 620 16 
620 – 650 12 
a) 530 
b) 560 
c) 590 
d) 578 
e) 575 
Resolução: 
No fundo, o que se pede é o oitavo decil (ou ainda, o octogésimo percentil). Ou seja, é um 
problema de medidas separatrizes, que é resolvido por interpolação linear, baseada em 
freqüências acumuladas. 
Foram fornecidas freqüências simples. Precisamos passá-las para acumuladas. 
Classes R$ Freqüências 
Simples 
Freqüências 
Acumuladas 
Memória de 
cálculo 
350 – 380 3 3 = 3 
380 – 410 8 11 = 3+ 8 
410 – 440 10 21 = 11 + 10 
440 – 470 13 34 = 21 + 13 
470 – 500 33 67 = 34 + 33 
500 – 530 40 107 = 67 + 40 
530 – 560 35 142 = 107 + 35 
560 – 59030 172 = 142 + 30 
590 – 620 16 188 = 172 + 16 
620 – 650 12 200 =188 + 12 
São 200 observações ao todo. 
 
 
 
 
 
 
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108
80% de 200 é igual a 160. Assim, queremos saber qual o valor Z que não é superado por 160 
observações. 
Se a pergunta fosse qual o valor que não é superado por 142 observações, não precisaríamos 
fazer conta. A resposta seria 560 (consulta direta à tabela). 
Se a pergunta fosse qual o valor que não é superado por 172 observações, também bastaria 
consulta direta à tabela. A resposta seria 590. 
Mas a pergunta foi qual o valor que não é superado por 160 observações. E 160 não tem na 
nossa coluna de freqüência acumulada. Vamos, portanto, fazer a interpolação linear. 
Classes R$ Freqüências 
Acumuladas 
350 – 380 3 
380 – 410 11 
410 – 440 21 
440 – 470 34 
470 – 500 67 
500 – 530 107 
530 – 560 142 
560 – 590 172 
590 – 620 188 
620 – 650 200 
Sabemos que: 
560 142 560 corresponde a 142 
Z 160 Quem corresponde a 160??? 
590 172 590 corresponde a 172 
Antes de continuarmos as contas, vamos fazer uma rápida análise das alternativas. 
O número procurado está entre 560 e 590. Já descartamos as alternativas A, B e C. 
a) 530 
b) 560 
c) 590 
d) 578 
e) 575 
E se a pergunta fosse: que corresponde a 157? 
157 está bem no meio entre 142 e 172. 
Portanto, o número que corresponde a 157 está bem no meio entre 560 e 590. Assim, o 
número que corresponde a 157 é 575. 
Mas nós estamos procurando quem corresponde a 160. 
160 é um pouquinho maior que 157. 
Portanto, o número que corresponde a 160 deve ser um pouquinho maior que 575. 
Já descartamos a letra E. 
a) 530 
 
 
 
 
 
 
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b) 560 
c) 590 
d) 578 
e) 575 
E só sobra a letra D. 
Vamos continuar com a resolução usual: 
Primeira linha 560 142 
Segunda linha Z 160 
Terceira linha 590 172
Subtraindo as linhas: 
Z-560 160-142 
590-560 172-142 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
142 172
142 160
560 590
560
−
−=−
−Z 
30
18 
30
−Z 560 = 
578 56018 +=Z 
Gabarito: D. 
EC 36 AFRF/2002-1 [ESAF] 
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 
200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela 
de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a 
coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes 
com os extremos das classes. 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de X. 
a) 138,00 
b) 140,00 
 
 
 
 
 
 
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c) 136,67 
d) 139,01 
e) 140,66 
Resolução: 
Quinto decil é sinônimo de mediana. É o valor que não é superado por 50% das observações. 
Foram dadas freqüências acumuladas. Não importa que sejam relativas. Basta que sejam 
acumuladas. Podemos começar a resolver a questão. 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
Sabemos que: 
130 40 130 corresponde a 40 
Z 50 Quem corresponde a 50??? 
150 70 150 corresponde a 70 
Ou seja: 
Primeira linha 130 40 
Segunda linha Z 50 
Terceira linha 150 70 
Subtraindo as linhas: 
Z-130 50-40 
150-130 70-40 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
40 70
4050
130 150
130
−
−=−
−Z 
30
10
20
−Z 130 = 
,66 136 
30
20 130 ≅ +=Z 
Gabarito: C. 
Note que 50 está a uma distância de 10 em relação a 40 (50-40=10). 
E 50 está a uma distância de 20 em relação a 70 (70-50=20). 
A primeira distância é metade da segunda. 
Por isso, a distância de Z em relação a 130 (=6,66) é metade da distância de Z em relação a 
150 (=13,34). 
 
 
 
 
 
 
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EC 37 SEFAZ BA – 2004 [FCC] 
Considere a tabela abaixo que mostra a distribuição de salários (em reais) de 160 funcionários 
de determinada empresa, com suas respectivas freqüências relativas acumuladas. 
Classes em reais Freqüência relativa 
acumulada (%) 
[600,1000) 10 
[1000,1400) 30 
[1400,1800) 70 
[1800,2200) 95 
[2200,2600) 100 
Utilizando a interpolação linear, o número de funcionários que ganham salários menores ou 
iguais a R$ 1.700,00 é: 
a) 96 
b) 84 
c) 72 
d) 64 
e) 56 
Resolução: 
E se a pergunta fosse qual o valor de freqüência acumulada corresponde a 1.400? Neste caso, 
não precisaríamos fazer contas. A resposta seria 30%. 
E se a pergunta fosse: qual o valor de freqüência acumulada corresponde a 1.800? Também 
não precisaríamos de contas. A resposta seria 70%. 
Classes em reais Freqüência relativa 
acumulada (%) 
[600,1000) 10 
[1000,1400) 30 
[1400,1800) 70 
[1800,2200) 95 
[2200,2600) 100 
Só que queremos saber o valor de freqüência acumulada que corresponde a 1.700. 
Sabemos que 1.700 está entre 1.400 e 1.800. Logo, o valor de freqüência acumulada 
correspondente deve estar entre 30% e 70%. 
1.400 30% 1.400 corresponde a 30% 
1.700 W 1.700 corresponde a quem? 
1.800 70% 1.800 corresponde a 70% 
 
 
 
 
 
 
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Primeira linha 1.400 30% 
Segunda linha 1.700 W 
Terceira linha 1.800 70% 
Subtraindo as linhas: 
400 .1 700. 1 − 3 ,0−W 
400 .1 800. 1 − 3 ,7 0 , 0 −
Fazendo as razões: 
,3 7 0 , 0
,3 0
.400 800 1 . 1
.400 700 1 . 1
−
−=−
− W 
Isolando o W: 
,6 3 0 , 0
400
3004, 0 = +×=W 
Ou seja, sabemos que a freqüência acumulada correspondente a 1.700 é de 60%. O que isso 
significa? Que 60% das pessoas ganham R$ 1.700,00 ou menos. 
Como foram entrevistados 160 funcionários, temos: 
160 96 
100
60 = × 
96 funcionários ganham R$ 1.700 ou menos. 
Gabarito: A. 
EC 38 IRB 2006 [ESAF] 
No campo estatístico, ogivas são: 
a) polígonos de freqüência acumulada 
b) polígonos de freqüência acumulada relativa ou percentual. 
c) histograma de distribuição de freqüência 
d) histograma de distribuição de freqüência relativa ou percentual 
e) o equivalente à amplitude do intevalo. 
Resolução: 
Nós vimos que o gráfico de freqüência acumulada também é chamado de ogiva. 
Gabarito: A 
EC 39 MPU 2004 [ESAF] 
A distribuição de freqüências de determinado atributo X é dada na tabela abaixo. Não existem 
observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
 
 
 
 
 
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Classes Freqüências 
2.000 – 4.000 18 
4.000 – 6.000 45 
6.000 – 8.000 102 
8.000 – 10.000 143 
10.000 – 12.000 51 
12.000 – 14.000 41 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor de X que não é superado por 80% das 
observações do atributo X 
a) 12.000 
b) 10.000 
c) 10.471 
d) 9.000 
e) 11.700 
Resolução: 
Oitenta por cento de 400 corresponde a 320. 
Assim, estamos buscando pelo valor que não é superado por 320 observações. 
Classes Freqüências 
acumuladas 
2.000 – 4.00018 
4.000 – 6.000 63 
6.000 – 8.000 165 
8.000 – 10.000 308 
10.000 – 12.000 359 
12.000 – 14.000 400 
Sabemos que: 
10.000 308 10.000 corresponde a 308 
Z 320 Quem corresponde a 320??? 
12.000 359 12.000 corresponde a 359 
Ou seja: 
Primeira linha 10.000 308 
Segunda linha Z 320 
Terceira linha 12.000 359
Antes de continuarmos as contas, olha que detalhe interessante: 320 está entre 308 e 359. 
Portanto, o número que corresponde a 320 (que estamos chamando de Z), está entre 10.000 e 
12.000. Já dá para descartar as letras A, B e D. 
320 está mais próximo de 308 do que de 359. 
Portanto, Z está mais próximo de 10.000 do que de 12.000. 
Com isso, descartamos a letra E e ficamos com a letra C. 
De todo modo, vamos continuar com a resolução de sempre. 
 
 
 
 
 
 
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Subtraindo as linhas: 
Z – 10.000 320-308 
12.000-10.000 359-308 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
308 359
308 320
.000 000 10 . 12
.000 10
−
−=−
−Z 
51
12 
000. 2
000 .10 −Z = 
,58 .470 000 10 . 10
51
12 000. 2 ≅+ ×=Z 
Note como o denominador 51 dificulta as contas. 
Vamos tentar “fugir” dele. 
Aproximando a fração: 
.480 000 10 . 10
50
12 000. 2.000 10 
51
12 000. 2 =+ ×≅+ ×=Z 
Quando trocamos o denominador 51 por 50, nós aumentamos um pouco o valor de Z. 
Portanto, na verdade Z, é um pouco menor que 10.480. 
Gabarito: C 
Texto para as questões EC 40 e EC 41 
As questões seguintes dizem respeito à distribuição de freqüências conforme o quadro abaixo, 
no qual não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
Classe Freqüência acumulada 
129,5 – 139,5 4 
139,5 – 149,5 12 
149,5 – 159,5 26 
159,5 – 169,5 46 
169,5 – 179,5 72 
179,5 – 189,5 90 
189,5 – 199,5 100 
EC 40 IRB 2004 [ESAF] 
Assinale a opção que corresponde ao oitavo decil 
a) 179,5 
b) 189,5 
c) 183,9 
d) 184,5 
e) 174,5 
 
 
 
 
 
 
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Resolução: 
O oitavo decil é o valor que não é superado por 80% das observações. 
Como foram dadas freqüências acumuladas, não precisamos fazer nenhuma transformação. 
Classe Freqüência acumulada 
129,5 – 139,5 4 
139,5 – 149,5 12 
149,5 – 159,5 26 
159,5 – 169,5 46 
169,5 – 179,5 72 
179,5 – 189,5 90 
189,5 – 199,5 100 
Sabemos que: 
179,5 72 179,5 corresponde a 72 
Z 80 Quem corresponde a 80??? 
189,5 90 189,5 corresponde a 90 
Ou seja: 
Primeira linha 179,5 72 
Segunda linha Z 80 
Terceira linha 189,5 90 
Antes de iniciarmos as contas, vamos olhar as alternativas. Z está entre 179,5 e 189,5. Já 
descartamos as letras “A” e “B”. 
81 está no exatamente no meio entre 72 e 90. 
O número que corresponde a 81, portanto, está bem no meio entre 179,5 e 189,5. Logo, o 
número que corresponde a 81 é 184,5. 
80 é um pouquinho menor que 81. 
Portanto, o número que corresponde a 80 (que estamos chamando de Z), é um pouquinho 
menor que 184,5. 
Descartamos a letra “D”. E entre as letras “C” e “E”, ficamos com certeza com a letra “C”. 
Retomemos nossa resolução usual. 
Subtraindo as linhas: 
Z – 179,5 80-72 
189,5-179,5 90-72 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
72 90
7280
,5 5 179 , 189
,5 179
−
−=−
−Z 
18
8
10
5 ,−Z 179 = 
,94 183 
18
80 5, 179 ≅ +=Z 
Note como a fração 80/18 não é muito “amigável”. 
Aproximando a fração: 
 
 
 
 
 
 
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5 184 , 4,5 179
2
9 5, 179
18
81 5, 179
18
80 5, 179 = += += +≅ +=Z 
Quando nós trocamos o numerador 80 por 81, nós aumentamos um pouco o valor de Z. 
Z é na verdade um pouco menor que 184. 
Gabarito: C 
EC 41 IRB 2004 [ESAF] 
Assinale a opção que corresponde à estimativa, via interpolação da ogiva, do número de 
observações menores ou iguais ao valor 164. 
a) 46 
b) 26 
c) 72 
d) 35 
e) 20 
Resolução: 
Classe Freqüência acumulada 
129,5 – 139,5 4 
139,5 – 149,5 12 
149,5 – 159,5 26 
159,5 – 169,5 46 
169,5 – 179,5 72 
179,5 – 189,5 90 
189,5 – 199,5 100 
Sabemos que: 
159,5 26 159,5 corresponde a 26 
164 W 164 corresponde a quem??? 
169,5 46 169,5 corresponde a 46 
Ou seja: 
Primeira linha 159,5 26 
Segunda linha 164 W 
Terceira linha 169,5 46 
Novamente, antes de iniciarmos as contas, vamos ver as alternativas. 
W está entre 26 e 46. Já descartamos as letras A, B, C e E. 
E marcamos a letra D. 
Marcada a resposta correta, vejamos as contas. 
Subtraindo as linhas: 
164-159,5 W-26 
169,5-159,5 46-26 
 
 
 
 
 
 
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A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
26 46
26 
5, 159,5 169
,5 159 164
−
−=−
− W 
20
26 
10
,5 4 −= W 
35 269 2620 
10
,5 4 = += +× =W 
Gabarito: D 
EC 42 BACEN 2006 5 [FCC] 
O valor da mediana dos salários dos empregados da empresa XYZ, obtida pelo método da 
interpolação linear, é igual a: 
a) R$ 3.500,00 
b) R$ 3.625,00 
c) R$ 3.650,00 
d) R$ 3.800,00 
e) R$ 4.000,00 
Resolução: 
A mediana é o valor que não é superado por 50% das observações. Como são 40 observações, 
a mediana não é superada por 20 observações. 
Freqüências Classes Freqüências 
acumuladas 
[1.000 – 2.000) 2 2 
[2.000 – 3.000) 8 10 
[3.000 – 4.000) 16 26 
[4.000 – 5.000) 10 36 
 
 
 
 
 
 
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[5.000 – 6.000) 4 40 
Podemos montar o seguinte quadro: 
3.000 10 8 corresponde a 10 
Z 20 quem corresponde a 20? 
4.000 26 4000 corresponde a 26 
Z está entre 3.000 e 4.000. Já descartamos a letra E. 
Repare que 20 está mais próximo de 26 do que de 10. Portanto, Z está mais próximo de 4.000 
do que de 3.000. Descartamos a letra A. 
Ficamos com: 
Primeira linha 3000 10 
Segunda linha Z 20 
Terceira linha 4000 26 
Subtraindo as linhas: 
Z – 3.000 20 – 10 
4.000 – 3.000 26 – 10 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais. 
.625 3
16
000 10 . 1.000 3
1026
1020
.000 000 3 . 4
.000 3 =×+= ⇒−
−=−
−Z Z 
Gabarito: B. 
Acho que deu para notar que o cálculo de medidas separatrizes com interpolação linear cai e 
cai bastante em provas. Dentro de estatística descritiva este é disparado o assunto mais 
importante (se considerarmos o número de questões cobradas). E olha que ainda não 
terminamos as questões em que este assunto é cobrado. Falta ver as questões que exigem o 
conhecimento do histograma. 
→ 
LEMBRETE DE MEDIDAS SEPARATRIZES: 
Identificar o valor de freqüência acumulada desejada. Utilizar interpolação linear. 
EC 43 SEFAZ BA – 2004 [FCC] 
O gráfico abaixo é o histograma de freqüências absolutas de uma amostra de valores 
arrecadados de determinado tributo em um município. 
 
 
 
 
 
 
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Com relação aos dados desta amostra, é verdade que: 
a) 60% dos valores são maiores ou iguais a R$ 1.500,00 e menores que R$ 3.000,00. 
b) Mais de 30% dos valores são maiores ou iguais a R$ 2.500,00 e menores que R$ 3.500,00 
c) A porcentagem dos valores iguaisou superiores a R$ 3.500,00 é maior que a porcentagem 
dos valores inferiores a R$ 1.500,00 
d) A freqüência relativa de valores inferiores a R$ 1.500,00 é menos que 10% 
e) A amplitude da amostra é R$ 4.000,00. 
Resolução: 
Vamos analisar o histograma. 
A primeira coluna é amarela. Ela corresponde à classe 0,5 – 1. Sua altura corresponde à 
freqüência 100. 
Isto significa que temos 100 valores entre R$ 500,00 e R$ 1.000,00. 
A segunda coluna é laranja. Ela corresponde à classe 1,0 – 1,5. Sua altura corresponde à 
freqüência 100. Isto significa que temos 100 valores entre R$ 1.000,00 e R$ 1.500,00. 
A terceira coluna é azul. Ela corresponde à classe 1,5 – 2,0. Sua altura corresponde à 
freqüência 200. Isto significa que temos 200 valores entre R$ 1.500,00 e R$ 2.000,00. 
E assim por diante. 
Podemos dizer que o histograma acima é outra forma de representar a tabela abaixo: 
Classe Freqüência absoluta 
simples 
0,5 ≤ x < 1,0 100 
1,0 ≤ x < 1,5 100 
1,5 ≤ x < 2,0 200 
2,0 ≤ x < 2,5 400 
2,5 ≤ x < 3 300 
3 ≤ x < 3,5 300 
3,5 ≤ x < 4 200 
Total 1600 
Vamos às alternativas. 
A alternativa ‘A’ afirma que 60% dos valores são maiores ou iguais a R$ 1.500,00 e menores 
que R$ 3.000,00. 
Os valores que se enquadram nessas condições são os da terceira, quarta e quinta classes (ver 
destaque em vermelho na tabela abaixo) 
Classe Freqüência absoluta 
simples 
0,5 ≤ x < 1,0 100 
1,0 ≤ x < 1,5 100 
1,5 ≤ x < 2,0 200 
2,0 ≤ x < 2,5 400 
2,5 ≤ x < 3 300 
 
 
 
 
 
 
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120
3 ≤ x < 3,5 300 
3,5 ≤ x < 4 200 
Total 1600 
Somando, são: 200 + 400 + 300 = 900. São 900 valores nesta condição. 
900 representa apenas 56,25% do total dos valores. A alternativa está errada. 
Segundo a alternativa ‘B’, mais de 30% dos valores são maiores ou iguais a R$ 2.500,00 e 
menores que R$ 3.500,00. 
Os valores que estão nesta condição estão destacados na tabela abaixo. 
Classe Freqüência absoluta 
simples 
0,5 ≤ x < 1,0 100 
1,0 ≤ x < 1,5 100 
1,5 ≤ x < 2,0 200 
2,0 ≤ x < 2,5 400 
2,5 ≤ x < 3 300 
3 ≤ x < 3,5 300 
3,5 ≤ x < 4 200 
Total 1600 
Somando, são: 300 + 300 = 600. São 600 valores nesta condição. 
600 corresponde a 37,5% de 1.600. Portanto, mais de 30% dos valores são maiores ou iguais a 
R$ 2.500,00 e menores que R$ 3.500,00. Alternativa correta. 
Gabarito: B. 
Vamos verificar os erros das demais alternativas. 
A alternativa C afirma que a porcentagem dos valores iguais ou superiores a R$ 3.500,00 é 
maior que a porcentagem dos valores inferiores a R$ 1.500,00. 
200 valores são maiores ou iguais a R$ 3.500,00. E valores inferiores a R$ 1.500,00 também 
são 200. Ou seja, as duas porcentagens são iguais. 
A alternativa D afirma que a freqüência relativa de valores inferiores a R$ 1.500,00 é menos 
que 10% 
São 200 valores inferiores a R$ 1.500,00. 200 é 12,5% de 1600. Alternativa errada. 
A alternativa E fala da amplitude dos dados. A amplitude é dada pela diferença entre o maior 
limite superior e o menor limite inferior. No caso, a amplitude fica: 4 – 0,5 = 3,5. 
Portanto, a amplitude é de R$ 3.500,00. 
Pronto! Vimos o tal do histograma. Não é difícil. Mas poderia deixar confuso quem nunca 
tivesse visto um. 
Para treinar, vamos a outros exercícios de histograma. 
 
 
 
 
 
 
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EC 44 SEFAZ SP – 2006 [FCC] 
O histograma de freqüências absolutas, abaixo, demonstra o comportamento dos valores 
arrecadados de um determinado tributo, no ano de 2005, em uma região a ser analisada: 
Observação – Considere que todos os intervalos de classe do histograma são fechados à 
esquerda e abertos à direita. 
Utilizando as informações contidas neste histograma, calculou-se a média aritmética destes 
valores arrecadados, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de 
classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Também calculou-se a mediana de 
tais valores pelo método da interpolação linear. Então, o módulo da diferença entre a média 
aritmética e a mediana é igual a: 
a) R$ 100,00 
b) R$ 400,00 
c) R$ 800,00 
d) R$ 900,00 
e) R$ 1.000,00 
Resolução: 
Temos um histograma. O histograma é uma outra forma de representar dados em classes. A 
primeira classe é [1;2). A ela corresponde uma freqüência simples de 200. 
Como sabemos que a freqüência é simples? Basta ver que as freqüências aumentam, até a 
classe [4;5), e depois diminuem. 
Se o histograma fosse um histograma de freqüências acumuladas, as freqüências sempre 
aumentariam, nunca decresceriam. 
Ok, então vamos transformar o histograma na tabela correspondente. 
Classe Freqüência simples 
[1.000 ; 2.000) 200 
[2.000 ; 3.000) 400 
[3.000 ; 4.000) 500 
[4.000 ; 5.000) 600 
[5.000 ; 6.000) 300 
Temos que calcular a média e a mediana. 
:::
 
 
 
 
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Para calcular a média, consideramos que todas as observações correspondem aos pontos 
médios das classes. Note que o exercício foi até legal nesse sentido, dando a dica de como 
calcular a média. 
Para cálculo da média, sempre trabalhamos com freqüências simples. Não importa se 
absolutas ou relativas. Basta que sejam simples. 
Classe (valores 
em R$ 1.000,00) 
Ponto médio de classe 
(valores em R$ 1.000,00)
Freqüência simples 
[1 ; 2) 1,5 200 
[2 ; 3) 2,5 400 
[3 ; 4) 3,5 500 
[4 ; 5) 4,5 600 
[5 ; 6) 5,5 300 
Poderíamos criar uma variável auxiliar ‘d’, da maneira vista no tópico sobre cálculo de média. 
Mas acho que os valores envolvidos são relativamente tranqüilos, e as contas não estão 
difíceis. Assim, vou abrir mão desta variável auxiliar. Se você quiser criar a variável auxiliar, 
sem problemas, o resultado tem que ser o mesmo. 
Vamos criar a coluna adicional, de valor vezes freqüência. 
Ponto médio de classe 
X (em R$ 1.000,00) 
Freqüência simples 
f 
f X × 
1,5 200 300 
2,5 400 1000 
3,5 500 1750 
4,5 600 2700 
5,5 300 1650 
Somamos as colunas: 
Ponto médio de classe 
X (em R$ 1.000,00) 
Freqüência simples 
f 
f X × 
1,5 200 300 
2,5 400 1000 
3,5 500 1750 
4,5 600 2700 
5,5 300 1650 
TOTAL 2000 7400 
E a média fica: 
,7 3 
2000
= 7400 = X 
Lembrando que este valor está em R$ 1.000,00. 
Na verdade a média é igual a R$ 3.700,00. 
Para achar a mediana, precisamos trabalhar com freqüências acumuladas. Transformando as 
freqüências simples em freqüências acumuladas, temos: 
Classe Freqüência 
simples 
Freqüência 
acumulada 
Memória de cálculo 
[1.000 ; 2.000) 200 200 =200 
 
 
 
 
 
 
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[2.000 ; 3.000) 400 600 =200+400 
[3.000 ; 4.000) 500 1100 =600+500 
[4.000 ; 5.000) 600 1700 =1100+600 
[5.000 ; 6.000) 300 2000 =1700+300 
São 2000 observações. Queremos saber qual o valor que não é superado por 50% das 
observações (ou seja, o valor que não é superado por 1000 observações). 
Classe Freqüência acumulada 
[1.000 ; 2.000) 200 
[2.000 ; 3.000) 600 
[3.000 ; 4.000) 1100 
[4.000 ; 5.000) 1700 
[5.000 ; 6.000) 2000 
Sabemos que: 
3000 600 3000 corresponde a 600 
Z 1000 Quem corresponde a 1000? 
4000 1100 4000 corresponde a 1100 
Portanto: 
Primeira linha 3000 600 
Segunda linha Z 1000 
Terceira linha 4000 1100 
Fazendo a subtração das linhas: 
Z-3000 1000-600 
4000-3000 1100-600 
A interpolação linear nos diz que asdiferenças acima são proporcionais. 
600 1100
600 1000
30004000
3000
−
−=−
−Z 
500
400 
1000
−Z 3000 = 
3800 3000800 3000
500
1000 400 =+ =+×=Z 
A mediana é igual a R$ 3.800,00. 
Portanto, o módulo da diferença entre a média e a mediana é de R$ 100,00. 
Gabarito: A. 
EC 45 MPU/2007 [FCC] 
Considere o histograma da variável X a seguir, em que as freqüências simples absolutas foram 
anotadas no interior dos retângulos. 
 
 
 
 
 
 
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O valor do terceiro quartil de X é: 
a) 40 
b) 35 
c) 30 
d) 25 
e) 12 
Resolução: 
Vamos achar qual a tabela de freqüências simples que corresponde ao histograma acima. 
O histograma dado corresponde à seguinte tabela: 
Classes Freqüência absoluta simples 
20 – 25 5 
25 – 30 15 
30 – 35 25 
35 – 40 8 
40 - 45 7 
Total 60 
O terceiro quartil é o valor que não é superado por 75% das observações. Como são 60 dados, 
o terceiro quartil é valor que não é superado a 45 observações. Ou seja, é o valor que 
corresponde à freqüência acumulada 45. 
Abaixo segue a tabela de freqüências acumuladas: 
Classes Freqüência absoluta simples Freqüência acumulada simples
20 – 25 5 5 
25 – 30 15 20 
30 – 35 25 45 
35 – 40 8 53 
40 – 45 7 60 
E nem precisamos fazer a interpolação linear. Na tabela acima temos direto o valor que 
corresponde à freqüência acumulada 45. Este valor é 35. Ou seja, 35 é o terceiro quartil. 
Gabarito: B. 
Agora eu queria chamar a atenção para um detalhe. Voltemos ao histograma. Considere 
apenas a área à esquerda do terceiro quartil. É a área destacada em verde na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
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Temos três retângulos verdes. O primeiro tem altura igual a 5. O segundo tem altura igual a 
15. O terceiro tem altura igual a 25. Todos eles tem base igual a 5. A área total desses três 
retângulos fica: 
25 225 15 5 5 5 5_ × × ×=verde A 
Agora vejamos qual a área total de todos os retângulos (área amarela da figura abaixo). 
Temos cinco retângulos, todos com base 5. Os três primeiros nós já analisamos. Juntos, eles 
têm área de 225. 
Os dois últimos têm alturas de 8 e 7. A área dos dois últimos fica: 
755 7 8 5 × ×
Portanto, a área amarela é de: 
300 75225_ +=amarela A 
Vamos dividir as áreas? 
% 75,75 0 
300
225
_
_ == =
amarela A
verde A 
A área à esquerda de 35 (=área verde) é igual a 75% da área total. E 35 é justamente o terceiro 
quartil, ou seja, o valor que não é superado por 75% das observações. 
Isso não é coincidência. 
Um histograma também pode ser útil para achar medidas separatrizes. As áreas a esquerda de 
um dado valor têm íntima relação com a posição que este valor ocupa. 
Por exemplo, a área à esquerda da mediana será sempre igual a 50% da área total. 
 
 
 
 
 
 
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A área à esquerda do primeiro quartil será sempre igual a 25% da área total. A área à esquerda 
do terceiro quartil será sempre igual a 75% da área total. E assim por diante. 
Essa propriedade é de extrema importância para que a gente possa entender o papel da 
chamada função densidade de probabilidade, que será estudada lá na parte de inferência. 
EC 46 Ministério da Saúde/2007 [FCC] 
O histograma abaixo representa a distribuição das idades dos pacientes atendidos no ano de 
2000 em uma clínica infantil, expressa em anos. 
A idade que separa os 30% mais jovens é: 
a) 3,5 
b) 4,2 
c) 4,4 
d) 4,6 
e) 5,0 
Resolução: 
Vamos achar a tabela que corresponde ao histograma. 
Classes Freqüência relativa simples Freqüência relativa acumulada
2 – 4 18 18 
4 – 6 40 58 
6 – 8 25 83 
8 – 10 17 100 
Queremos saber qual o valor que corresponde à freqüência relativa acumulada de 30%. 
Podemos montar o seguinte quadro: 
Sabemos que: 
4 18 4 corresponde a 18% 
Z 30 Quem corresponde a 35%? 
6 58 6 corresponde a 58% 
Portanto: 
Primeira linha 4 18 
Segunda linha Z 30 
Terceira linha 6 58 
Fazendo a subtração das linhas: 
Z-4 30 – 18 
 
 
 
 
 
 
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6 – 4 58 – 18 
A interpolação linear nos diz que as diferenças acima são proporcionais. 
18 58
18 30
4 6
4
−
−=−
−Z 
,6 4
40
12
2
4 = ⇒=− ZZ 
Gabarito: D 
Novamente, vamos ver como ficam as áreas do histograma. 
A área à esquerda de 4,6 é: 
4,6
Temos um retângulo de base 2 e altura 0,18. E outro de base 0,6 e altura 0,40. A área total 
desses dois retângulos é de: 
,6 40 0 0, ,6 0180, 2_ × ×=verde A 
E a área de todo o histograma é igual a 2. 
Portanto, a área verde representa 30% da área de todo o histograma. A área verde é a área à 
esquerda de 4,6, que é justamente o valor que separa os 30% mais jovens. 
Novamente, isto não é coincidência! 
EC 47 TRF 2ª Região/2007 [FCC] 
 Considere o histograma da variável X: 
 
 
 
 
 
 
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O valor da mediana de X é: 
a) 25,0 
b) 32,5 
c) 37,5 
d) 40,0 
e) 42,0 
Resolução: 
Para resolver esse problema, você pode perfeitamente montar a tabela de freqüências e fazer o 
procedimento que temos visto desde o começo da aula (montando o quadro com as três linhas, 
subtraindo as debaixo pela de cima, fazendo as razões, et). 
Para variar um pouco, vou fazer uma solução diferente. Vou usar a propriedade do 
histograma. 
A área total da figura é igual a: 
) 640 8 8 16 12 8 12 10 ( _ + + + =total A 
A mediana é o valor que divide esta área em duas partes iguais. Ou seja, em duas áreas de 
320. 
O primeiro retângulo da figura tem área de 80. 
O segundo retângulo tem área de 120. 
Somando esses dois retângulos, temos uma área de 200. Para completar 320, precisamos de 
mais uma área de 120. 
O terceiro retângulo tem área de 160. Se levarmos em conta toda a sua área, extrapolamos os 
320. Assim, temos que considerar apenas parte de sua área. 
Como o terceiro retângulo tem altura igual a 16, precisamos de uma base igual a 7,5, para que 
a área seja de 120. 
 
 
 
 
 
 
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37,5 
Note como a área verde da figura acima atende ao que precisamos. Ela é exatamente igual a 
320. Ou seja, em vez de usarmos todo o terceiro retângulo, usamos apenas parte dele. Apenas 
a parte à esquerda do 37,5. 
Pronto. O número 37,5 é tal que a área à sua esquerda é metade da área inteira do histograma. 
Ele é a nossa mediana. 
Gabarito: C 
Antes de passarmos ao próximo exercício, um detalhe. O histograma é uma forma gráfica de 
representar dados agrupados em classes. Quando todas as classes têm a mesma amplitude, o 
histograma é exatamente do jeito que vimos acima. As alturas dos retângulos correspondem 
às freqüências absolutas de cada classe. 
Há uma outra maneira de montar o histograma, que é mais usual quando as classes têm 
amplitudes diferentes (embora também possa ser usada para o caso de amplitude de classe 
constante). 
Quando as classes tiverem amplitudes diferentes, o histograma muda. Em vez de as alturas 
corresponderem às freqüências, elas correspondem às densidades de freqüência (= freqüência 
dividida pela amplitudede classe). 
E aí vem a pergunta: já caiu alguma questão cobrando histograma quando a amplitude de 
classe não é constante? Não, não conheço nenhuma questão assim. 
Apesar disso, é muito importante saber da existência dos histogramas baseados em densidades 
de freqüência. Quando formos estudar as distribuições de probabilidade, retomaremos este 
assunto. 
EC 48 BACEN 2006 [FCC] 
O histograma de freqüências absolutas a seguir foi elaborado com base nas informações 
contidas na revista “O empreiteiro”, de junho de 2005, que demonstra o comportamento das 
empresas construtoras do ramo da construção civil no Brasil que obtiveram faturamento em 
2004 maior ou igual a 15 milhões de reais e menor o igual a 120 milhões de reais. 
 
 
 
 
 
 
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Com base nestas informações, obteve-se a média aritmética do faturamento das empresas 
deste estudo, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são 
coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Com relação ao total de empresas deste 
histograma, o valor encontrado para esta média pertence ao intervalo de classe que contém 
a) 24% das empresas 
b) 16% das empresas 
c) 9% das empresas 
d) 7% das empresas 
e) 5% das empresas 
Resolução: 
Podemos encontrar a tabela correspondente ao histograma. 
Ponto médio ( X ) 
15
,5 22−= X d Freqüência ( f ) f d × 
22,5 0 31 0 
37,5 1 24 24 
52,5 2 16 32 
67,5 3 9 27 
82,5 4 5 20 
97,5 5 7 35 
112,5 6 8 48 
TOTAL 100 186 
A média de d fica: 
100
186 =d 
Agora temos que encontrar a média de X. 
,5 22 15
15
,5 22 + ×= ⇒−= dXX d 
,4 5 50 22, 15 = ⇒+ ×= XdX 
Esse valor está na terceira classe, que contém 16% das empresas. 
 
 
 
 
 
 
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Gabarito: B 
EC 49 TCE/MG – 2007 [FCC] 
O histograma de freqüências absolutas a seguir demonstra a distribuição dos salários dos 
empregados de uma empresa em dezembro de 2006: 
Sabendo-se que todos os intervalos de classe referentes a este histograma são fechados à 
esquerda e abertos à direita, calculou-se a média aritmética dos salários dos empregados, 
considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes 
com o ponto médio deste intervalo. A moda de Pearson é igual a: 
a) R$ 3.200,00 
b) R$ 2.950,00 
c) R$ 2.900,00 
d) R$ 2.850,0 
e) 2.800,00 
Resolução: 
Lá na fl. 78 nós falamos sobre a moda de Pearson. Na oportunidade, não resolvermos 
qualquer questão sobre o assunto, pois ainda não havíamos estudado mediana para dados em 
classe. 
Agora que já estudamos, podemos resolver uma questão sobre o assunto. Relembrando, a 
moda de Pearson é dada por: 
D X M 3 2 ≅ − 
Podemos montar a seguinte tabela: 
Classes Freqüências 
[0,5; 1,5) 40 
[1,5; 2,5) 50 
[2,5; 3,5) 100 
[3,5; 4,5) 40 
[4,5; 5,5) 20 
 
 
 
 
 
 
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Primeiro vamos calcular a média. 
Classes Ponto médio 
( X ) 
Freqüências 
( f ) 
fX ×
[0,5; 1,5) 1 40 40 
[1,5; 2,5) 2 50 100 
[2,5; 3,5) 3 100 300 
[3,5; 4,5) 4 40 160 
[4,5; 5,5) 5 20 100 
TOTAL 250 700 
A média de X fica: 
,8 2 
250
= 700 = X 
Para encontrar a mediana, precisamos das freqüências acumuladas. 
Classes Freqüências Freqüências 
acumuladas 
[0,5; 1,5) 40 40 
[1,5; 2,5) 50 90 
[2,5; 3,5) 100 190 
[3,5; 4,5) 40 230 
[4,5; 5,5) 20 250 
A mediana não é superada por 125 observações. 
Podemos montar o seguinte quadro: 
2,5 90 2,5 corresponde a 90 
Z 125 quem corresponde a 125? 
3,5 190 3,5 corresponde a 190 
Ficamos com: 
Primeira linha 2,5 90 
Segunda linha Z 125
Terceira linha 3,5 190
Subtraindo as linhas: 
Z – 2,5 125 – 90 
3,5 – 2,5 190 – 90 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais. 
,85 2 
100
35 1,5 2
90 190
90 125
,5 5 2 , 3
,5 2 =×+ =⇒−
−=−
−Z Z 
A mediana é igual a 2,85. 
Portanto, a moda de Pearson fica: 
,8 2 2,85 23 − =M 
,8 2 2,85 2 2,85 2 − +=M 
 
 
 
 
 
 
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133
,95 ),8 2 85 2 , 2( 2,85 2 − +=M 
Gabarito: B 
EC 50 CAPES 2008 [CESGRANRIO] 
Responda à questão seguinte com base nos percentuais das respostas de alunos de uma área 
específica de determinada Instituição de Ensino Superior (IES), participantes do ENADE 
2006, a algumas questões do questionário socioeconômico relativas aos hábitos de leitura. 
Uma medida de posição adequada para os dados da questão 24 é a 
(A) moda, apenas. 
(B) média, apenas. 
(C) mediana, apenas. 
(D) mediana ou a moda. 
(E) média ou a mediana. 
Resolução. 
Este é um assunto a respeito do qual nós não falamos na parte teórica. 
Uma variável de interesse pode ser qualquer coisa. Pode ser o número de analfabetos de Belo 
Horizonte ao longo da década de 90, a temperatura máxima anual das cidades do Centro-
Oeste, o PIB brasileiro ao longo do governo FHC etc. Pois bem, estamos agora interessados 
em classificar as variáveis. 
Uma variável pode ser qualitativa ou quantitativa. Para entender a diferença entre ambas, vou 
adaptar um exemplo constante do livro Estatística Básica, dos autores Bussab e Morettin. 
Considere uma pesquisa que será feita junto aos funcionários de uma empresa. O questionário 
contém os seguintes campos: 
1 – Grau de instrução (fundamental, médio, superior) 
2 – Estado civil (solteiro, casado) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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As possíveis respostas para o campo “3” (número de filhos) são números. A pessoa pode ter 
0, 1, 2, 3, 4 filhos. Tudo isso é número. Uma variável cujas realizações são numéricas é dita 
quantitativa. 
As variáveis quantitativas podem ser discretas ou contínuas. Uma variável discreta apresenta 
valores que correspondem a um conjunto enumerável de pontos da reta real. 
Hein, como assim? 
É o seguinte. Quando uma variável é discreta, nós conseguimos enumerar seus valores. Por 
exemplo, para o campo “3”, os possíveis valores são: 
1º valor: zero filhos 
2º valor: 1 filho 
3º valor: 2 filhos 
E assim por diante. 
Nós conseguimos ordenar os possíveis valores. Mais que isso: conseguimos enumera-los. Ou 
seja,conseguimos relacionar todos eles, em uma dada ordem. Conseguimos dizer qual é o 
primeiro valor possível, qual o segundo valor possível etc. Sabendo um dado valor, nós 
conseguimos determinar o próximo. 
Já o campo “5” (altura) corresponde a uma variável contínua. Nós não conseguimos ordenar 
seus possíveis valores. Dada uma altura, não conseguimos identificar qual a altura que viria a 
seguir. Isto ocorre porque ela pode assumir qualquer valor num intervalo real. 
Considere a altura de 1,70 m. Qual a altura que viria logo após este valor? Não dá para saber. 
Uma pessoa poderia dizer que é 1,71 m. 
Aí outra pessoa poderia dizer que é 1,701 m. Ou então 1,7001 m. E assim por diante. Para 
qualquer número que você pensar, é possível determinar outro que esteja ainda mais próximo 
de 1,70. A variável altura é contínua. 
O campo “1” corresponde a uma variável qualitativa. Suas possíveis realizações não são 
números. São um atributo, ou uma qualidade. Apesar de suas possíveis realizações não serem 
numéricas, é possívelordena-las. Dizemos que se trata de uma variável qualitativa ordinal. 
É possível ordena-las? Como assim? 
Nós conseguimos estabelecer uma ordem. Por exemplo, começando do grau de instrução 
inferior para o superior: 
1º : nível fundamental 
2º: nível médio 
3º: nível superior. 
Existem outras variáveis qualitativas que não podem ser ordenadas. São as variáveis 
qualitativas nominais. Um exemplo é a variável associada aos campos “2” e “4”. Você não 
consegue ordenar as regiões de procedência da forma como fizemos para o grau de 
escolaridade. 
Resumindo, os tipos de variáveis são: 
· quantitativas discretas (números que podem ser enumerados) 
· quantitativas contínuas (números que não podem ser enumerados) 
 
 
 
 
 
 
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· qualitativas ordinais (atributos que podem ser ordenados) 
· qualitativas nominais (atributos que não podem ser ordenados) 
Para as variáveis quantitativas, é possível calcular média, mediana e moda. 
Para as variáveis qualitativas não é possível calcular a média. Se elas não correspondem a 
números, não dá para somar todas elas e dividir pelo número de observações. 
Para ilustrar, considerem o seguinte conjunto de dados, referentes à variável “sexo”: 
masculino, feminino, feminino. 
Qual a média desse conjunto? 
Não dá para calcular! 
Quanto à mediana, é possível determiná-la para variáveis qualitativas ordinais. Ora, se nesse 
tipo de variável é possível ordenar seus valores, então dá para determinar quem é o termo do 
meio. 
Para variáveis quantitativas nominais, em que não é possível fazer uma ordenação, não dá 
para determinar a mediana. 
Por fim, em relação à moda, ela pode ser encontrada para qualquer tipo de variável, pois não 
depende de contas aritméticas nem de ordenação. Basta ver qual termo mais se repete. 
Dito isto, voltemos para o exercício da Cesgranrio. A variável em estudo é “assunto do 
jornal”. Suas realizações podem ser: “todos”, “política/economia”, “artes/esporte”, “outros”. 
São atributos. Trata-se de uma variável qualitativa nominal. A única medida que podemos 
aplicar é a moda. 
Gabarito: A 
Encerramos aqui nossa aula. 
Bons estudos! 
XII. LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSO 
EC 1 ARCE 2006 [FCC] 
O processo estatístico que consiste em uma avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se 
todos os componentes da população, denomina-se: 
a) amostragem 
b) estimação 
c) censo 
d) parametrização 
e) correlação 
 
 
 
 
 
 
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EC 2 IRB 2006 [ESAF] 
Histograma e Polígono de freqüência são: 
a) a mesma representação gráfica (idênticas) de uma distribuição de freqüência. 
b) um texto descritivo e uma representação gráfica de uma distribuição de freqüência. 
c) um texto descritivo e uma função gráfica de uma distribuição de freqüência. 
d) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência. 
e) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência, porém com sentidos 
opostos. 
EC 3 TJ MA 2005 [ESAG] 
Associe a série de dados estatísticos com o tipo de gráfico mais adequado para representá-la. 
Série de dados 
S1: Evolução do consumo mensal de materiais. 
S2: Participação percentual de cada sócio no capital de uma empresa. 
S3: Quantidade de alunos de uma escola por faixa etária. 
Gráficos 
G1: Histograma 
G2: Gráfico de Linhas 
G3: Gráfico Setorial (Pizza) 
A alternativa correta é: 
a) (S1,G2) ; (S2,G1) ; (S3,G3) 
b) (S1,G3) ; (S2,G1) ; (S3,G2) 
c) (S1,G2) ; (S2,G3) ; (S3,G1) 
d) (S1,G1) ; (S2,G2) ; (S3,G3) 
EC 4 SEFAZ SC 1998 
Uma empresa possui dois técnicos em informática recebendo salários, mensalmente, de R$ 
3.400,00 cada um, quatro economistas recebendo R$ 4.500,00 cada um por mês, um diretor 
de recursos humanos com salário mensal de R$ 7.000,00 e três outros profissionais recebendo 
R$ 5.500,00 cada um por mês. A média, mensal, destes salários é: 
a) 5.830,00 
b) 6.830,00 
c) 2.830,00 
d) 3.830,00 
e) 4.830,00 
 
 
 
 
 
 
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EC 5 SEFAZ DF 2001 [FCC] 
Em determinado mês, a média aritmética dos pagamentos de certo tributo, efetuados por 53 
empresas, foi de R$ 2.340,00. Acrescentando-se o pagamento feito por uma nova empresa, a 
média passou a ser R$ 2.480,00. O valor do tributo pago por esta empresa foi de: 
a) 140,00 
b) 990,00 
c) 5.820,00 
d) 7.420,00 
e) 9.900,00 
EC 6 POLICIA FEDERAL 2004 [CESPE] 
Concentração em 
μg/g Desvio padrão 
Elemento Casaco Vidraça 
As 132 122 9,7 
Co 0,54 0,61 0,026 
La 4,01 3,60 0,20 
Sb 2,81 2,77 0,26 
Th 0,62 0,75 0,044 
Um perito criminal recebeu em seu laboratório, como principal evidência em um caso 
criminal, pequenos fragmentos de vidro encontrados incrustados no casaco de um suspeito de 
assassinato. Esses fragmentos são idênticos em composição a uma rara vidraça belga de vidro 
manchado quebrada durante o crime. O perito decidiu então determinar os elementos As, Co, 
La, Sb e Th no vidro incrustado no casaco do suspeito para verificar se este era do mesmo 
material da vidraça belga. A técnica escolhida para essas determinações foi a espectroscopia 
de absorção atômica. As médias e os desvios-padrão das análises em triplicata desses cinco 
elementos nas amostras de vidro retiradas do casaco, bem como os valores conhecidos para a 
vidraça belga são mostrados na tabela acima. Considerando essa situação hipotética, que 
,73 1 3 = e que o parâmetro t de Student para 2 graus de liberdade e 95% de confiança é 
igual a 4,303, julgue os itens a seguir, que se referem às técnicas espectroscópicas de análise e 
à análise estatística de dados. 
[...] 
A média da concentração de As pode ter sido obtida a partir dos valores individuais 121 μg/g, 
130 μg/g e 143 μg/g. 
EC 7 SEFAZ BA – 2004 [FCC] 
Uma administradora de locação de imóveis, com o objetivo de analisar o mercado em sua 
região, procedeu às seguintes operações: 
I. Multiplicou por dois os valores de todos os alugueis de sua carteira 
II. Subtraiu R$ 1.200,00 de cada valor encontrado no item I. 
III. Dividiu por R$ 1.000,00 cada valor encontrado no item II 
IV. Calculou a média aritmética de todos os valores apurados no item III. 
 
 
 
 
 
 
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Se o valor encontrado no item IV foi de 3/10, então a média aritmética dos valores dos 
alugueis em reais é: 
a) 2300 
b) 1700 
c) 1500 
d) 1300 
e) 750 
EC 8 SEAD PA 2007 [CESPE] – questão adaptada 
variável X freqüência relativa 
0 0,10 
1 0,20 
2 0,30 
3 0,40 
Considerando a tabela acima, que apresenta as freqüências relativas de uma variável X, julgue 
o item a seguir: 
1. A média de X é inferior a 1,5. 
EC 9 CEAP PB 2009 [CESPE] 
O gráfico acima mostra a distribuição percentual de veículos de acordo com suas velocidades 
aproximadas, registradas por meio de um radar instalado em uma avenida. A velocidade 
média aproximada, em km/h, dos veículos que foram registrados pelo radar foi 
a) inferior a 40. 
b) superior a 40 e inferior a 43. 
c) superior a 43 e inferior a 46. 
d) superior a 46. 
 
 
 
 
 
 
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EC 10 MPE PE 2006 [FCC] 
Em uma linha de produção de montadorasde tratores, existem 5 verificações realizadas pela 
equipe de controle de qualidade. Foram sorteados alguns dias do mês e anotados os números 
de controle em que o trator produzido foi aprovado nestes dias. 
Aprovações N° de tratores 
3 250 
4 500 
5 1250 
Total 2000 
A tabela acima descreve estes dados coletados. Sabe-se que cada reprovação implica em 
custos adicionais para a montadora. Admitindo-se um valor básico de R$ 10,00 por cada item 
reprovado no trator produzido, a média da despesa adicional por trator será: 
a) R$ 1,00 
b) R$ 10,00 
c) R$ 6,00 
d) R$ 5,00 
e) R$ 7,00 
EC 11 SEFAZ PA 2002 [ESAF] 
A tabela de freqüências abaixo apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes a 
uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$ 1.000,00, do 
departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as 
extremidades das classes salariais. 
Classes F 
29,5 – 39,5 2 
39,5 – 49,5 6 
49,5 – 59,5 13 
59,5 – 69,5 23 
69,5 – 79,5 36 
79,5 – 89,5 45 
89,5 – 99,5 50 
Assinale a opção que corresponde ao salário anual médio estimado para o departamento de 
fiscalização da Cia. X. 
a) 70,0 
b) 69,5 
c) 68,0 
d) 74,4 
e) 60,0 
EC 12 TRF 1ª Região/2001 [FCC] 
A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências das notas obtidas num teste de 
matemática, realizado por 50 estudantes. 
 
 
 
 
 
 
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Notas Freqüência absoluta 
0 │− 2 4 
2 │− 4 12 
4 │− 6 15 
6 │− 8 13 
8 │− 10 6 
A nota média desses estudantes é: 
a) 5,0 
b) 5,2 
c) 5,5 
d) 5,8 
e) 6,0 
EC 13 CGU 2008 [ESAF] 
Uma distribuição de freqüências com dados agrupados em classe forneceu os pontos médios 
de classes m e as respectivas freqüências absolutas f abaixo: 
m f 
49 7 
52 15 
55 12 
58 5 
61 1 
Calcule a média aritmética simples dos dados. 
a) 52 
b) 52,25 
c) 53,35 
d) 54,15 
e) 55 
EC 14 PETROBRAS 2008[CESGRANRIO] 
A tabela abaixo apresenta os pesos de um grupo de pessoas e suas respectivas freqüências. 
Não há observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
 
 
 
 
 
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O peso médio do conjunto de pessoas, em kgf, é 
(A) 60 
(B) 65 
(C) 67 
(D) 70 
(E) 75 
EC 15 Prefeitura de Recife 2003 [ESAF] 
Em uma amostra, realizada para se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e 
mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para 
os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção 
correta. 
a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. 
b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. 
c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. 
d) O número de mulheres é o dobro do número de homens. 
e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 
EC 16 Prefeitura de São Paulo 2007 [FCC] 
No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os funcionários de uma firma foi de R$ 
530,00. Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e mulheres são respectivamente 
iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. No próximo mês, todos os homens receberão um adicional de 
R$ 20,00 e todas as mulheres um reajuste salarial de 10%, sobre os salários atuais. Supondo 
que o quadro de funcionários não se alterou, após esses reajustes, o salário médio mensal de 
todos os funcionários passará a ser igual a: 
a) 540,00 
b) 562,00 
c) 571,00 
d) 578,00 
e) 580,00 
 
 
 
 
 
 
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EC 17 AFRF – 2005 [ESAF] 
Assinale a opção que expresse a relação entre as médias aritmética ( X ), geométrica (G) e 
harmônica (H), para um conjunto de n valores positivos (X1, X2, ..., Xn). 
a) X HG ≤ ≤ , com X HG = = somente se os n valores forem todos iguais. 
b) H XG ≤ ≤ , com H XG = = somente se os n valores forem todos iguais. 
c) H GX ≤ ≤ , com H GX = = somente se os n valores forem todos iguais. 
d) X GH ≤ ≤ , com X GH = = somente se os n valores forem todos iguais. 
e) G HX ≤ ≤ , com GHX = = somente se os n valores forem todos iguais. 
EC 18 ENAP – 2006 [ESAF] 
O valor mais próximo da média harmônica do conjunto de dados: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 
3} é igual a 
a) 6. 
b) 6,5. 
c) 4,794. 
d) 10. 
e) 3,9. 
EC 19 TCU 2009 [CESPE] 
Uma instituição realizou levantamento com vistas a comparar os valores de dez diferentes 
tipos de itens de consumo. Para cada item i (i = 1, 2, ..., 10), foi registrado um par de valores 
( i, ), em que xi representa o valor do item i estabelecido pela empresa A, e yi representa o x i y 
valor desse mesmo item fornecido pela empresa B. Os seguintes resultados foram 
encontrados: 
∑
=
= +
10
1
130 )(
i
ii y x ; ∑
=
= −
10
1
10 )(
i
ii x y 
∑
=
=+
10
1
2 790 .1 )(
i
ii y x ; ∑
=
= −
10
1
2 26 )(
i
ii x y 
1 y
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 
1. A média amostral dos valores x1, x2, ..., x10 é 13% maior do que a média amostral dos 
valores y1, y2, ..., y10. 
2. A média aritmética da distribuição 1x × 22 yx × , ..., 10 y10 x × é maior que 43. 
3. A média harmônica dos valores x1, x2, ..., x10 é menor que 8. 
 
 
 
 
 
 
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EC 20 AFRF/98 [ESAF] 
Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra 
aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade 
monetária é o dólar americano. 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 
10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23. 
Assinale a opção que corresponde ao preço modal: 
a) 7 
b) 23 
c) 10 
d) 8 
e) 9 
EC 21 SEFAZ BA 2004 [FCC] 
Considere a tabela abaixo, que mostra a distribuição de salários (em reais) de 160 
funcionários de determinada empresa, com suas respectivas freqüências relativas acumuladas. 
Classes em reais Freqüência relativa acumulada (%) 
Classes em 
reais 
Freqüência relativa 
acumulada (%) 
[600,1000) 10 
[1000,1400) 30 
[1400,1800) 70 
[1800,2200) 95 
[2200,2600) 100 
O valor modal dos salários (desprezando os centavos), é: 
a) 1784 
b) 1666 
c) 1648 
d) 1636 
e) 1628 
EC 22 BACEN 2005 - Área 5 [FCC] 
 
 
 
 
 
 
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O valor da moda, obtida com a utilização da fórmula de Czuber, é igual a (desprezar os 
centavos na resposta): 
a) R$ 3.201,00 
b) R$ 3.307,00 
c) R$ 3.404,00 
d) R$ 3.483,00 
e) R$ 3.571,00 
EC 23 Prefeitura Municipal de Vila Velha 2008 [CESPE] 
Uma prefeitura registrou o aumento do valor venal V (em R$ por metro quadrado) de 200 
imóveis localizados em certo bairro residencial, conforme apresentado na tabela a seguir: 
Valor V (R$/m2) Número de imóveis 
V = 0 80 
0 < V ≤ 10 50 
10 < V ≤ 20 35 
20 < V ≤ 30 25 
30 < V ≤ 50 10 
Total 200 
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 
1. A moda da distribuição dos valores V calculada pelo método de Czuber é igual à moda 
dessa mesma distribuição calculada pelo método de King.EC 24 Prefeitura Municipal de Vila Velha 2008 [CESPE] 
Um estudo foi realizado por uma prefeitura acerca da qualidade do atendimento no hospital 
municipal da cidade. Com base em uma amostra de 100 dias, foram produzidas as seguintes 
estatísticas referentes ao número diário de pacientes atendidos. 
média = 30 
variância amostral = 100 
mínimo = 0 
primeiro quartil = 10 
 
 
 
 
 
 
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segundo quartil = 25 
terceiro quartil = 40 
máximo = 60. 
Com base nas informações apresentadas no texto, julgue os itens subseqüentes. 
1. É correto estimar que a moda da distribuição do número diário de pacientes atendidos é 
inferior a 10. 
EC 25 SEFAZ CE 2006 [ESAF] 
O conjunto de notas dos alunos de uma determinada prova é: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3}. 
Assim, podemos dizer que a moda, média e mediana deste conjunto são, respectivamente: 
a) 3, 6 e 5 
b) 3, 4 e 5 
c) 10, 6 e 5 
d) 5, 4 e 3 
e) 3, 6 e 10 
EC 26 CGU 2008 [ESAF] 
Determine a mediana do seguinte conjunto de dados: 
58, 95, 17, 44, 63, 9, 57, 21, 88, 12, 31, 28, 73, 5 e 56. 
a) 28 
b) 31 
c) 44 
d) 50 
e) 56 
EC 27 AFRFB 2009 [ESAF] 
Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em um curso 
preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta: 
29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 
27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28. 
a) A média e a mediana das idades são iguais a 27. 
b) A moda e a média das idades são iguais a 27. 
c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. 
d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074. 
e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27. 
 
 
 
 
 
 
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EC 28 SEFAZ/SP 2009 [ESAF] 
Determine a mediana das seguintes observações: 
17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9. 
a) 13,5 
b) 17 
c) 14,5 
d) 15,5 
e) 14 
EC 29 SEFAZ MG 2005 [ESAF] 
Considere o diagrama de ramos e folhas abaixo correspondente à seqüência de observações 
(91, 91, ..., 140, 145, 158). Assinale a opção que dá a mediana das observações de X. 
9 11 
9 9 
10 002234 
10 57778 
11 013 
11 66 
12 00012 
12 558 
13 004 
13 555 
14 0 
14 5 
15 
15 8 
a) 110 
b) 120 
c) 116 
d) 113 
e) 111 
EC 30 ANTAQ 2009 [CESPE] 
Variável 2003 2004 2005 2006 2007 
Exportação X 40 46 50 52 54 
Importação Y 20 21 22 24 27 
Total X + Y 60 67 72 76 81 
 
 
 
 
 
 
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Considerando a tabela acima, que apresenta a movimentação anual de cargas no porto de 
Santos de 2003 a 2007, em milhões de toneladas/ano e associa as quantidades de carga 
movimentadas para exportação e importação às variáveis X e Y, respectivamente, julgue os 
itens subsequentes. 
1. Nesse período, a mediana dos totais movimentados (X+Y) foi inferior a 70 milhões de 
toneladas. 
EC 31 FINEP 2009 [CESPE] 
Um levantamento efetuado entre os 100 jovens inscritos em um projeto de inclusão social 
desenvolvido por uma instituição mostra a seguinte distribuição etária. 
idade (X, em anos) freqüência 
16 40 
17 30 
18 20 
19 10 
Com base nessas informações, assinale a opção incorreta. 
a) A mediana da distribuição etária é igual a 17,5 anos. 
b) A variável X apresentada na tabela de frequências é uma variável discreta. 
c) A média das idades dos jovens observados no levantamento é igual a 17 anos. 
d) A moda da distribuição etária é igual a 16 anos. 
e) Dos jovens inscritos no referido projeto de inclusão social, 30% possuem idades maiores 
ou iguais a 18 anos. 
EC 32 CGU 2008 [ESAF] 
[Conjunto de dados da questão anterior: 58, 95, 17, 44, 63, 9, 57, 21, 88, 12, 31, 28, 73, 5 e 
56]. 
Dado o conjunto de dados da questão anterior, determine a amplitude interquartilica Q3 – Q1. 
a) 33. 
b) 37. 
c) 40. 
d) 46. 
e) 51. 
EC 33 CVM 2001 [ESAF] 
Uma firma distribuidora de eletrodomésticos está interessada em estudar o comportamento de 
suas contas a receber em dois meses consecutivos. Com este objetivo, seleciona, para cada 
mês, uma amostra de 50 contas. As observações amostrais constam da tabela seguinte: 
Valor (R$) Freqüência de março Freqüência de abril 
1.000,00 6 10 
3.000,00 13 14 
5.000,00 12 10 
7.000,00 15 13 
9.000,00 4 - 
 
 
 
 
 
 
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Valor (R$) Freqüência de março Freqüência de abril 
11.000,00 - 3 
Assinale a opção que corresponde ao intervalo interquartílico, em reais, para o mês de março. 
a) 3.250,00 
b) 5.000,00 
c) 4.000,00 
d) 6.000,00 
e) 2.000,00 
EC 34 AFRF – 2003 [ESAF] 
Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. Não 
existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
Classes Freqüências Acumuladas 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x da distribuição amostral de X que 
não é superado por cerca de 80% das observações. 
a) 10.000 
b) 12.000 
c) 12.500 
d) 11.000 
e) 10.500 
EC 35 Prefeitura Municipal de Recife - 2003 [ESAF] 
O quadro seguinte apresenta a distribuição de freqüências da variável valor do aluguel (X) 
para uma amostra de 200 apartamentos de uma região metropolitana de certo município. Não 
existem observações coincidentes com os extremos das classes. Assinale a opção que 
corresponde à estimativa do valor Z tal que a freqüência relativa de observações de X 
menores ou iguais a Z seja 80%. 
Classes R$ Freqüências 
350 – 380 3 
380 – 410 8 
410 – 440 10 
440 – 470 13 
470 – 500 33 
500 – 530 40 
530 – 560 35 
560 – 590 30 
 
 
 
 
 
 
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590 – 620 16 
620 – 650 12 
a) 530 
b) 560 
c) 590 
d) 578 
e) 575 
EC 36 AFRF/2002-1 [ESAF] 
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 
200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela 
de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a 
coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes 
com os extremos das classes. 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de X. 
a) 138,00 
b) 140,00 
c) 136,67 
d) 139,01 
e) 140,66 
EC 37 SEFAZ BA – 2004 [FCC] 
Considere a tabela abaixo que mostra a distribuição de salários (em reais) de 160 funcionários 
de determinada empresa, com suas respectivas freqüências relativas acumuladas. 
Classes em reais Freqüência relativa 
acumulada (%) 
[600,1000) 10 
[1000,1400) 30 
[1400,1800) 70 
[1800,2200) 95 
[2200,2600) 100 
Utilizando a interpolação linear, o número de funcionários que ganham salários menores ou 
iguais a R$ 1.700,00 é:CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
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a) 96 
b) 84 
c) 72 
d) 64 
e) 56 
EC 38 IRB 2006 [ESAF] 
No campo estatístico, ogivas são: 
a) polígonos de freqüência acumulada 
b) polígonos de freqüência acumulada relativa ou percentual. 
c) histograma de distribuição de freqüência 
d) histograma de distribuição de freqüência relativa ou percentual 
e) o equivalente à amplitude do intevalo. 
EC 39 MPU 2004 [ESAF] 
A distribuição de freqüências de determinado atributo X é dada na tabela abaixo. Não existem 
observações coincidentes com os extremos das classes. 
Classes Freqüências 
2.000 – 4.000 18 
4.000 – 6.000 45 
6.000 – 8.000 102 
8.000 – 10.000 143 
10.000 – 12.000 51 
12.000 – 14.000 41 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor de X que não é superado por 80% 
das 
observações do atributo X 
a) 12.000 
b) 10.000 
c) 10.471 
d) 9.000 
e) 11.700 
EC 40 IRB 2004 [ESAF] 
Assinale a opção que corresponde ao oitavo decil 
a) 179,5 
b) 189,5 
c) 183,9 
 
 
 
 
 
 
 
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e) 174,5 
EC 41 IRB 2004 [ESAF] 
Assinale a opção que corresponde à estimativa, via interpolação da ogiva, do número de 
observações menores ou iguais ao valor 164. 
a) 46 
b) 26 
c) 72 
d) 35 
e) 20 
EC 42 BACEN 2006 5 [FCC] 
O valor da mediana dos salários dos empregados da empresa XYZ, obtida pelo método da 
interpolação linear, é igual a: 
a) R$ 3.500,00 
b) R$ 3.625,00 
c) R$ 3.650,00 
d) R$ 3.800,00 
e) R$ 4.000,00 
EC 43 SEFAZ BA – 2004 [FCC] 
O gráfico abaixo é o histograma de freqüências absolutas de uma amostra de valores 
arrecadados de determinado tributo em um município. 
 
 
 
 
 
 
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Com relação aos dados desta amostra, é verdade que: 
a) 60% dos valores são maiores ou iguais a R$ 1.500,00 e menores que R$ 3.000,00. 
b) Mais de 30% dos valores são maiores ou iguais a R$ 2.500,00 e menores que R$ 3.500,00 
c) A porcentagem dos valores iguais ou superiores a R$ 3.500,00 é maior que a porcentagem 
dos valores inferiores a R$ 1.500,00 
d) A freqüência relativa de valores inferiores a R$ 1.500,00 é menos que 10% 
e) A amplitude da amostra é R$ 4.000,00. 
EC 44 SEFAZ SP – 2006 [FCC] 
O histograma de freqüências absolutas, abaixo, demonstra o comportamento dos valores 
arrecadados de um determinado tributo, no ano de 2005, em uma região a ser analisada: 
Observação – Considere que todos os intervalos de classe do histograma são fechados à 
esquerda e abertos à direita. 
Utilizando as informações contidas neste histograma, calculou-se a média aritmética destes 
valores arrecadados, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de 
classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Também calculou-se a mediana de 
tais valores pelo método da interpolação linear. Então, o módulo da diferença entre a média 
aritmética e a mediana é igual a: 
a) R$ 100,00 
b) R$ 400,00 
c) R$ 800,00 
d) R$ 900,00 
 
 
 
 
 
 
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e) R$ 1.000,00 
EC 45 MPU/2007 [FCC] 
Considere o histograma da variável X a seguir, em que as freqüências simples absolutas foram 
anotadas no interior dos retângulos. 
O valor do terceiro quartil de X é: 
a) 40 
b) 35 
c) 30 
d) 25 
e) 12 
EC 46 Ministério da Saúde/2007 [FCC] 
O histograma abaixo representa a distribuição das idades dos pacientes atendidos no ano de 
2000 em uma clínica infantil, expressa em anos. 
A idade que separa os 30% mais jovens é: 
a) 3,5 
b) 4,2 
c) 4,4 
d) 4,6 
e) 5,0 
EC 47 TRF 2ª Região/2007 [FCC] 
 Considere o histograma da variável X: 
 
 
 
 
 
 
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O valor da mediana de X é: 
a) 25,0 
b) 32,5 
c) 37,5 
d) 40,0 
e) 42,0 
EC 48 BACEN 2006 [FCC] 
O histograma de freqüências absolutas a seguir foi elaborado com base nas informações 
contidas na revista “O empreiteiro”, de junho de 2005, que demonstra o comportamento das 
empresas construtoras do ramo da construção civil no Brasil que obtiveram faturamento em 
2004 maior ou igual a 15 milhões de reais e menor o igual a 120 milhões de reais. 
Com base nestas informações, obteve-se a média aritmética do faturamento das empresas 
deste estudo, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são 
coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Com relação ao total de empresas deste 
histograma, o valor encontrado para esta média pertence ao intervalo de classe que contém 
a) 24% das empresas 
b) 16% das empresas 
c) 9% das empresas 
d) 7% das empresas 
 
 
 
 
 
 
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e) 5% das empresas 
EC 49 TCE/MG – 2007 [FCC] 
O histograma de freqüências absolutas a seguir demonstra a distribuição dos salários dos 
empregados de uma empresa em dezembro de 2006: 
Sabendo-se que todos os intervalos de classe referentes a este histograma são fechados à 
esquerda e abertos à direita, calculou-se a média aritmética dos salários dos empregados, 
considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes 
com o ponto médio deste intervalo. A moda de Pearson é igual a: 
a) R$ 3.200,00 
b) R$ 2.950,00 
c) R$ 2.900,00 
d) R$ 2.850,0 
e) 2.800,00 
EC 50 CAPES 2008 [CESGRANRIO] 
Responda à questão seguinte com base nos percentuais das respostas de alunos de uma área 
específica de determinada Instituição de Ensino Superior (IES), participantes do ENADE 
2006, a algumas questões do questionário socioeconômico relativas aos hábitos de leitura. 
Uma medida de posição adequada para os dados da questão 24 é a 
 
 
 
 
 
 
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(A) moda, apenas. 
(B) média, apenas. 
(C) mediana, apenas. 
(D) mediana ou a moda. 
(E) média ou a mediana. 
XIII. GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSO 
1 c 
2 d 
3 c 
4 e 
5 e 
6 errado 
7 e 
8 errado 
9 c 
10 d 
11 b 
12 b 
13 c 
14 c 
15 a 
16 c 
17 d 
18 c 
19 errado certo certo 
20 d 
21 e 
22 e 
23 certo 
24 certo 
25 a 
26 c 
27 e 
28 b 
29 c 
30 errado 
31 a 
32 d 
33 c 
34 e 
35 d 
36 c 
37 a 
38 a 
39 c 
40 c 
41 d 
42 b 
43 b 
44 a 
45 b 
46 d 
47 c 
48 b 
49 b 
50 a