lista_P1_Solidos_1

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Universidade Católica de Brasília
Pró-Reitoria de Graduação - PRG
Engenharia Civil - Mecânica dos Sólidos 1
Lista preparatória para a Prova 1
Questão 1 - Determine os diagramas de esforço cortante e momento fletor para o seguinte elemento
estrutural:
Solução:
Diagrama de corpo livre:
Eq. de forças em x Eq. de momentos em A Eq. de forças em y
∑
Fx = 0
∑
MA = 0
∑
Fy = 0
Ax = 0 −2.(300.32 )− 5.(300.4) + 3.By = 0 Ay +By −
300.3
2
− (300.4) = 0
By = 2300 N Ay + 2300− 1650 = 0
Ay = −650 N
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Forças atuantes:
Diagrama de cortante:
V (x) =
∑
n
Fnsen(θn) +
∫ x
0
q(x).sen(θq).dx
V1(x) = −650 +
∫ x
0
−100x.dx V2(x) = V1(3) + 2300 +
∫ x
3
−300.dx
V1(x) = −650− 50x2 V2(x) = 2100− 300x
V1(3) = −650− 50.32 = −1100 N
Diagrama de momento fletor:
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M(x) = −
∑
n
Mn +
∫ x
0
V (x).dx
M1(x) =
∫ x
0
−650− 50x2.dx M2(x) =M1(3) +
∫ x
3
2100− 300x.dx
M1(x) = −650x−
50
3
x3 M2(x) = −7350 + 2100x− 150x2
M1(3) = −650.3−
50
3
.33 = −2400 N.m
Questão 2 - Determine os diagramas de esforço cortante e momento fletor para o seguinte
elemento estrutural:
Solução:
Diagrama de corpo livre:
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Pode-se representar também como:
Eq. de forças em x Eq. de momentos em A Eq. de forças em y
∑
Fx = 0
∑
MA = 0
∑
Fy = 0
Ax = 0 −
L
2
.
(
w
2
.L
)
− 2.L
3
.
(
(w/2).L
2
)
+ L.By = 0 Ay +By − L
(w + w/2)
2
= 0
By =
5
12
w.L Ay +
5
12
w.L− 3
4
w.L = 0
Ay =
w.L
3
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Forças atuantes:
Diagrama de cortante:
V (x) =
∑
n
Fnsen(θn) +
∫ x
0
q(x).sen(θq).dx
V (x) =
w.L
3
+
∫ x
0
−
(
w
2
+
w
2L
x
)
dx
V (x) =
wL
3
− wx
2
− wx
2
4L
V (0) =
wL
2
− w.0
2
− w.0
2
4L
=
wL
2
V (L) =
wL
2
− w.L
2
− w.L
2
4L
= −5wL
12
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Diagrama de momento fletor:
M(x) = −
∑
n
Mn +
∫ x
0
V (x).dx M(0) =
wL.0
3
− w.0
2
4
− w.0
3
12L
= 0
M(x) =
∫ x
0
wL
3
− wx
2
− wx
2
4L
.dx M(L) =
w.L.L
3
− w.L
2
4
− w.L
3
12L
= 0
M(x) =
wLx
3
− wx
2
4
− wx
3
12L
Cortante máximo:
dM(x)
dx
=
wL
2
− w.L
2
− w.L
2
4L
= 0→ x = 0, 528.L
M(0, 528.L) =
wL.0, 528.L
3
− w.(0, 528.L)
2
4
− w.(0, 528.L)
3
12L
M(0, 528.L) = 0, 094.w.L2
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Questão 3 - Determine os esforços no ponto B da viga em balanço.
Seção em B:
6
15
=
Q
12
→ Q = 4, 8 kN/m
Força equivalente:
F =
4, 8.12
2
= 28, 8 kN x =
12
3
= 4 m
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Eq. de forças em x Eq. de momentos em B Eq. de forças em y
∑
Fx = 0
∑
MB = 0
∑
Fy = 0
−NB = 0 −MB − F.x = 0 VB − F = 0
NB = 0 −MB − 28, 8.4 = 0 VB = 28, 8 kN
MB = −115, 2 kN.m
Questão 4 - Determine os esforços no ponto C da viga.
Forças equivalentes:
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F1 = F3 = 200.4 = 800 N x1 = x3 =
4
2
= 2 m
F2 = 300.8 = 2400 N x2 =
8
2
= 4 m
Equilíbrio de momentos em A:
∑
MA = 0
2.F1 − 4.F2 + 8.By − 10.F3 = 0
2.800− 4.2400 + 8.By − 10.800 = 0
By = 2000 N
Corte em C:
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Forças equivalentes:
F4 = 300.4 = 1200 N x4 =
4
2
= 2 m
Eq. de forças em x Eq. de momentos em C Eq. de forças em y
∑
Fx = 0
∑
MC = 0
∑
Fy = 0
−NC = 0 −MC − 2.F4 − 6.F3 + 4.By = 0 VC +By − F4 − F3 = 0
NC = 0 −MC − 2.1200− 6.800 + 4.2000 = 0 VC + 2000− 1200− 800 = 0
MC = 800 N.m VC = 0
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Questão 5 - Calcule as reações de apoio na viga e a tensão no cabo, sabendo que o peso é de 80
kN.
Diagrama de corpo livre:
Deve-se notar que a tensão ao longo do cabo é constante, logo a força em B é igual, em módulo,
à força em C.
Decompondo as força em C:
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Relação geométrica das forças em C:
Cx =
3
5
C Cy =
4
5
C
Eq. de momentos em A Eq. de forças em x Eq. de forças em y
∑
MA = 0
∑
Fx = 0
∑
Fy = 0
2.By + 4.Cy − 5, 5 . Dy = 0 Ax − Cx = 0 Ay +By + Cy −Dy = 0
2.By + 4.
(
4
5
C
)
− 5, 5 . Dy = 0 Ax −
3
5
C = 0 Ay + C +
4
5
C − 80 = 0
2.C + 4.
(
4
5
C
)
− 5, 5 . 80 = 0 Ax −
3
5
.84, 6 = 0 Ay + 84, 6 +
4
5
.84, 6− 80 = 0
C = 84, 6 kN Ax = 50, 8 kN Ay = −72, 3 kN
Questão 6 - Calcule as reações de apoio na estrutura, nos pontos A e B.
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Diagrama de corpo livre:
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Eq. de momentos em A
∑
MA = 0
−4.5−
(
6.cos(45o) + 2
)
.10 +
(
6.cos(45o) + 6
)
.By = 0
−20− 62, 43 + 10, 24 . By = 0
By = 8, 05 kN
Eq. de forças em x Eq. de forças em y
∑
Fx = 0
∑
Fy = 0
Ax + cos(315
o).5 = 0 Ay + 5.sen(315
o)− 10 +By = 0
Ax = −3, 54 kN Ay + 5.sen(315o)− 10 + 8, 05 = 0
Ay = 5, 49 kN