Apostila

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ESA
EEAR
ESA
EEAR
APOSTILA
Português
Matemática
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EEAR/ESA
MATEMÁTICA 1, 2 e 3
PORTUGUÊS 1e 2
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 3Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 3 22/12/2022 08:05:5622/12/2022 08:05:56
SUMÁRIO
1MATEMÁTICA 1
CAPÍTULO 1 CONJUNTOS ..........................................................................................................................................9
CAPÍTULO 2 CONJUNTOS NUMÉRICOS .................................................................................................................17
CAPÍTULO 3 TEORIA DA FUNÇÃO ..........................................................................................................................25
CAPÍTULO 4 FUNÇÃO COMPOSTA E FUNÇÃO INVERSA ......................................................................................33
CAPÍTULO 5 FUNÇÃO AFIM .....................................................................................................................................39
CAPÍTULO 6 FUNÇÃO QUADRÁTICA ......................................................................................................................49
CAPÍTULO 7 FUNÇÃO EXPONENCIAL ....................................................................................................................55
CAPÍTULO 8 FUNÇÃO LOGARÍTMICA .....................................................................................................................63
CAPÍTULO 9 FUNÇÃO MODULAR MÓDULO .........................................................................................................71
CAPÍTULO 10 CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO ............................................................................................................79
CAPÍTULO 11 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ......................................................................................................89
2MATEMÁTICA 2
CAPÍTULO 1 PROGRESSÃO ARITMÉTICA ...............................................................................................................97
CAPÍTULO 2 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA ...........................................................................................................103
CAPÍTULO 3 ANÁLISE COMBINATÓRIA ................................................................................................................111
CAPÍTULO 4 PROBABILIDADES .............................................................................................................................119
CAPÍTULO 5 BINÔMIO DE NEWTON ....................................................................................................................125
CAPÍTULO 6 MATRIZES ..........................................................................................................................................129
CAPÍTULO 7 DETERMINANTE................................................................................................................................137
CAPÍTULO 8 SISTEMAS LINEARES .........................................................................................................................143
CAPÍTULO 9 NÚMEROS COMPLEXOS ..................................................................................................................149
CAPÍTULO 10 POLINÔMIOS ....................................................................................................................................157
CAPÍTULO 11 ESTATÍSTICA DESCRITIVA ................................................................................................................165
3MATEMÁTICA 3
CAPÍTULO 1 LINHAS E ÂNGULOS: RETA, SEMIRRETA E SEGMENTO DE RETA ................................................179
CAPÍTULO 2 TRIÂNGULO ......................................................................................................................................187
CAPÍTULO 3 QUADRILÁTEROS..............................................................................................................................199
CAPÍTULO 4 POLÍGONOS ......................................................................................................................................209
CAPÍTULO 5 CIRCUNFERÊNCIAS E CÍRCULOS .....................................................................................................219
CAPÍTULO 6 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS .....................................................................................................233
CAPÍTULO 7 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ...................................................................243
CAPÍTULO 8 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ..........................................................................249
SUMÁRIO
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SUMÁRIO
CAPÍTULO 9 RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER ..................................................................255
CAPÍTULO 10 ÁREAS ................................................................................................................................................261
CAPÍTULO 11 POLIEDROS .......................................................................................................................................269
CAPÍTULO 12 PRISMAS ............................................................................................................................................275
CAPÍTULO 13 CILINDROS ........................................................................................................................................283
CAPÍTULO 14 PIRÂMIDE ..........................................................................................................................................289
CAPÍTULO 16 ESFERA ...............................................................................................................................................301
CAPÍTULO 17 PONTO ..............................................................................................................................................307
CAPÍTULO 18 RETA ...................................................................................................................................................313
CAPÍTULO 19 CIRCUNFERÊNCIAS ...........................................................................................................................321
CAPÍTULO 20 ÁREAS ................................................................................................................................................327
CAPÍTULO 21 CÔNICAS............................................................................................................................................331
4PORTUGUÊS 1
CAPÍTULO 1 FONÉTICA ..........................................................................................................................................339
CAPÍTULO 2 ACENTUAÇÃO GRÁFICA ...................................................................................................................347
CAPÍTULO 3 PROCESSO DE FORMAÇÃO DE PALAVRAS ....................................................................................357
CAPÍTULO 4 SUBSTANTIVO ...................................................................................................................................365
CAPÍTULO 5 ADJETIVO ...........................................................................................................................................375
CAPÍTULO 6 PRONOME .........................................................................................................................................385CAPÍTULO 7 PRONOME RELATIVO .......................................................................................................................393
CAPÍTULO 8 ARTIGO E NUMERAL ........................................................................................................................399
CAPÍTULO 9 VERBO I .............................................................................................................................................405
CAPÍTULO 10 VERBO II ............................................................................................................................................415
CAPÍTULO 11 ADVÉRBIO .........................................................................................................................................421
CAPÍTULO 12 CONJUNÇÃO PREPOSIÇÃO INTERJEIÇÃO ......................................................................................429
CAPÍTULO 13 SEMÂNTICA .......................................................................................................................................441
CAPÍTULO 14 ORTOGRAFIA ....................................................................................................................................451
CAPÍTULO 15 FIGURAS DE LINGUAGEM ................................................................................................................461
CAPÍTULO 16 COLOCAÇÃO PRONOMINAL ...........................................................................................................469
CAPÍTULO 17 USO DO “QUE” E “SE” .......................................................................................................................475
5PORTUGUÊS 2
CAPÍTULO 1 SUJEITO ..............................................................................................................................................485
CAPÍTULO 2 PREDICADO .......................................................................................................................................493
CAPÍTULO 3 TERMOS INTEGRANTES DA ORAÇÃO .............................................................................................501
SUMÁRIO
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SUMÁRIO
CAPÍTULO 4 TERMOS ACESSÓRIOS DA ORAÇÃO ...............................................................................................509
CAPÍTULO 5 ORAÇÃO COORDENADA..................................................................................................................517
CAPÍTULO 6 ORAÇÃO SUBORDINADA SUBSTANTIVA .......................................................................................525
CAPÍTULO 7 ORAÇÃO SUBORDINADA ADJETIVA ................................................................................................531
CAPÍTULO 8 ORAÇÃO SUBORDINADA ADVERBIAL ............................................................................................537
CAPÍTULO 9 ORAÇÕES REDUZIDAS .....................................................................................................................547
CAPÍTULO 10 CONCORDÂNCIA NOMINAL ............................................................................................................553
CAPÍTULO 11 CONCORDÂNCIA VERBAL ................................................................................................................561
CAPÍTULO 12 REGÊNCIA NOMINAL .......................................................................................................................569
CAPÍTULO 13 REGÊNCIA VERBAL ...........................................................................................................................575
CAPÍTULO 14 CRASE ................................................................................................................................................583
CAPÍTULO 15 PONTUAÇÃO .....................................................................................................................................591
CAPÍTULO 16 TIPOS DE DISCURSO ........................................................................................................................603
SUMÁRIO
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CAPÍTULO 1 
Conjuntos
CONJUNTOS
No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns concei-
tos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem 
definição.
CONCEITOS PRIMITIVOSCONCEITOS PRIMITIVOS
Conjunto: Representa uma coleção de objetos.
a) O conjunto de todos os brasileiros.
b) O conjunto de todos os números naturais.
Elemento: É um dos componentes do conjunto.
a) José é um elemento do conjunto de todos os brasileiros.
b) 3 é um elemento do conjunto dos números naturais.
Pertinência: É a característica associada a um elemento 
que faz parte de um conjunto.
a) José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.
b) 1 pertence ao conjunto dos números naturais.
Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um 
conjunto utilizamos o símbolo U que se lê: “pertence”.
a) José da silva U BRASILEIROS
b) 1 U 
c) – 5 ∉ 
REPRESENTAÇÃO PARA CONJUNTOSREPRESENTAÇÃO PARA CONJUNTOS
Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de 
duas chaves {e}.
A = {a, e i, o, u}
N = {1, 2, 3, 4, …}
M = {João, Maria, José}
Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais pro-
priedades.
A = {x/x é uma vogal}
N = {x/x é um número natural}
M = {x/x é uma pessoa da família de Maria}
DIAGRAMA DE VENN – EULERDIAGRAMA DE VENN – EULER
Os conjuntos são mostrados graficamente:
CONJUNTOS ESPECIAISCONJUNTOS ESPECIAIS
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. 
É representado por { } ou por Ø.
Conjunto unitário: É um conjunto que contém apenas um 
elemento.
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os 
elementos do contexto no qual estamos trabalhando e 
também contém todos os conjuntos desse contexto. O 
conjunto universo é representado por uma letra U.
SUBCONJUNTOSSUBCONJUNTOS
Dados dois conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, 
denotado por A ⊂ B, se todos os elementos de A também 
estão em B. Também diz-se que A é um subconjunto de B.
O conjunto vazio é subconjunto de todos os conjuntos e 
todo conjunto é subconjunto dele mesmo.
{a, b, c} ⊂ {a, b, c, d, e}
{a, b, c , d} ⊄ {b, c, d, e, f}
Ø ⊂ {a, b, c, d, e}
{a, b, c, d, e} ⊂ {a, b, c, d, e}
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CAPÍTULO 1 
Conjuntos
OPERAÇÕESOPERAÇÕES
União: Dados os conjuntos A e B, define-se como união 
dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A ∪ B, 
formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, 
ou seja:
A ∪ B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}
Interseção: Dados os conjuntos A e B, define-se como inter-
secção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por 
A ∩ B, formado por todos os elementos que pertencem 
a A e B, ou seja:
A ∩ B = {x/x ∈ A e x ∈ B}
Diferença de conjuntos: Dados os conjuntos A e B, define-
-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto 
representado por A – B, formado por todos os elementos 
pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja:
A – B = {x/x ∈ A x ∉ B}
Complementar de um conjunto: Dados dois conjuntos A 
e B, o complemento do conjunto B contido no conjunto A, 
denotado por C B
A
, é a diferença entre os conjuntos A e B, 
ou seja,é o conjunto de todos os elementos que pertencem 
ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
C B A B {x / x
A
= − = ∈ A e x ∉ B}
Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto 
A, é dado por:
Quando não há dúvida sobre o universo U em que esta-
mos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta 
como expoente no conjunto, para indicar o complemento 
deste conjunto.
Exemplos: Ø e Øc c= ∪ ∪ =
Diferença simétrica: A diferença simétrica entre os conjuntos 
A e B é conjunto de todos os elementos que pertencem à 
reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção 
dos conjuntos A e B.
A ∆ B = {x/x ∈ A ∪ B e x ∉ A ∩ B}
Nota: Dizemos que dois conjuntos são iguais quando têm 
exatamente os mesmos elementos.
LEIS DE MORGANLEIS DE MORGAN
O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a 
interseção dos complementares desses dois conjuntos.
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a 
reunião dos complementares desses conjuntos.
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
CONJUNTO DAS PARTES: O Conjunto das partes de um 
conjunto E, indicado por P(E), é o conjunto formado por 
todos os subconjuntos de E.
Exemplo: Seja E = {a, b, c}, o conjunto das partes é:
Com nenhum elemento: Ø
Com um elemento: {a}, {b}, {c}
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CAPÍTULO 1 
Conjuntos
Com dois elementos: {a, b}, {a, c}, {b, c}
Com três elementos: E
Portanto: P(E) = {Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, E}
Se um conjunto possui n elementos, então o conjunto das 
partes desse conjunto possui 2n elementos.
PROPRIEDADES: Quaisquer que sejam os valores de A, B e 
C valem as igualdades seguintes:
Idempotente: A ∩ A = A e A ∪ A = A
Comutativa: A ∩ B = B ∩ A e A ∪ B = B ∪ A
Associativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
 (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Distributiva: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)
 A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ B)
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 Considere os conjuntos A = {x} e B = {x, {A}} e as 
proposições:
I. {A} ∈ B
II. {x} ∈ A
III. A ∈ B
IV. B ⊂ A
V. {x, A} ⊂ B
As proposições FALSAS são:
a) I, III e V
b) II, IV, V
c) II, III, IV e V
d) I, III, IV e V
e) I, III e IV
02 Dados dois conjuntos, A e B, onde 
A B b, d , A B a,b, c, d, e{ } { }∩ = ∪ = e B A a .{ }− = O con-
junto B é igual a:
a) a{ }
b) c, e{ }
c) a,b, d{ }
d) b, c, d, e{ }
e) a,b, c, d, e{ }
03 Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {4, 5, 6, 
7}; C – A = {7, 8, 9}; C – B = {3, 8, 9} e A ∩ B ∩ C = {4}, o 
número de elementos do conjunto C é:
a) 6
b) 7
c) 3
d) 4
e) 5
04 Dado o conjunto A = {∅ , 1, 2, {1}, {2}} a afirmação 
FALSA é:
a) ∅ ∈ A
b) ∅ ⊂ A
c) {1} ∈ A
d) ({1} ∪ {2}) ∈ A
e) 2 ∈ A
05 Considere os conjuntos A = {1,{1}, 2} e B = {1, 2, 
{2}} e as cinco afirmações:
I. A – B = {1}
II. {2} ⊂ B – A
III. {1} ⊂ A
IV. A ∩ B = {1, 2, {1, 2}}
V. B – A = {{2}}
Logo,
a) todas as afirmações estão corretas.
b) só existe uma informação correta.
c) as afirmações ímpares estão corretas.
d) as afirmações III e V estão corretas.
e) as afirmações I e IV são as únicas corretas.
06 Se A = ∅ e B = {∅ }, então:
a) A ∈ B
b) A ∪ B = ∅
c) A = B
d) A ∩ B = B
e) B ⊂ A
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CAPÍTULO 1 
Conjuntos
07 Seja A = {1, {2}, {1, 2}}. Considere as afirmações:
I. 1 ∈ A
II. 2 ∈ A
III. ∅ ∈ A
IV. {1, 2} ⊂ A
Estão corretas as afirmações:
a) I e II
b) I e III
c) III e IV
d) III
e) I
08 Suponhamos que: A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A 
∩ B = {d, e} e A – B = {a, b, c}.
Então:
a) B = {f, g, h}
b) B = {d, e, f, g, h}
c) B = {a, b, c, d, e}
d) B = {d, e}
e) B = ∅
09 Considere as seguintes afirmações sobre o con-
junto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}:
I. U e n U 10( )∅ ∈ =
II. U e n U 10( )∅ ⊂ =
III. 5 U e 5 U{ }∈ ⊂
IV. 0, 1, 2, 5 5 5{ } { }∩ =
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira (s):
a) apenas I e III.
b) apenas II e IV.
c) apenas II e III.
d) apenas IV.
e) todas as afirmações.
10 (EEAR) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 
4, 5} e C = {1, 2, 5}. Ao determinar o conjunto M, tal que: 
A ∪ M = {1, 2, 3, 4}, B ∪ M = {3, 4, 5}, C ∪ M = A ∪ B, 
podemos concluir que M é um conjunto:
a) vazio.
b) unitário.
c) que possui dois elementos.
d) que possui três elementos.
11 A região assinalada no diagrama corresponde a:
a) B C A( )∪ ∩
b) B C A( )∩ ∪
c) B A C( )− ∩
d) C A B( )− ∩
NÍVEL 2NÍVEL 2
12 Considere o diagrama onde A, B, C e U são con-
juntos:
A região hachurada pode ser representada por:
a) A B A C B C( ) ( ) ( )∩ ∪ ∩ − ∩
b) A B A C B C( ) ( ) ( )∩ ∪ ∩ − ∪
c) A B A C B C( ) ( ) ( )∪ ∪ ∩ ∪ ∩
d) A B A C B C( ) ( ) ( )∪ − ∪ ∩ ∩
e) A B A C B C( ) ( ) ( )− ∩ − ∩ −
12
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CAPÍTULO 1 
Conjuntos
13 Marque a alternativa que possui a expressão que 
representa a região do diagrama de Venn, abaixo:
a) A B A C( ) ( )∪ ∩ ∪
b) A B A C( ) ( )∩ ∩ ∪
c) A B A( )∪ ∪
d) A B C( )∪ ∪
e) A B B C( ) ( )∪ ∩ ∪
14 (EEAR) No diagrama, o hachurado é o conjunto:
a) complementar de (M ∪ N) em relação a U.
b) complementar de (M − N) em relação a U.
c) complementar de (M ∩ N) em relação a U.
d) (M − N) ∪ (N − M)
15 O diagrama que representa o conjunto 
A B C C B A( ) ( )∩ − ∪  ∩ −  é:
a) 
b) 
c) 
d) 
13
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CAPÍTULO 1 
Conjuntos
16 Dados os conjuntos numéricos A, B, C e D, a região 
sombreada do diagrama corresponde a:
a) C D.∩
b) C D.∪
c) A B C D .( ) ( )∩ ∪ ∩
d) A B C D .( ) ( )∪ ∩ ∩
17 Em uma pesquisa sobre a preferência para o 
consumo de dois produtos, foram entrevistadas 970 
pessoas. Dessas, 525 afirmaram consumir o produto 
A, 250 o produto B e 319 não consomem nenhum 
desses produtos. O número de pessoas que consomem 
os dois produtos é:
a) 124.
b) 250.
c) 525.
d) 527.
e) 775.
18 Em uma pesquisa realizada com estudantes do 
IFAL, verificou-se que 100 alunos gostam de estudar 
português, 150 alunos gostam de estudar matemática, 
20 alunos gostam de estudar as duas disciplinas e 110 
não gostam de nenhuma das duas. Quantos foram os 
estudantes entrevistados?
a) 330.
b) 340.
c) 350.
d) 360.
e) 380.
19 Em uma pesquisa, constatou-se que, das 345 
pessoas de um determinado local, 195 jogavam tênis, 
105 jogavam tênis e vôlei, e 80 não jogavam nem vôlei 
nem tênis.
Qual é o número de pessoas que jogavam vôlei e não jo-
gavam tênis?
a) 70.
b) 75.
c) 105.
d) 180.
e) 195.
20 Em um grupo de 300 alunos de línguas estrangei-
ras, 174 alunos estudam inglês e 186 alunos estudam 
chinês. Se, neste grupo, ninguém estuda outro idioma 
além do inglês e do chinês, o número de alunos deste 
grupo que se dedicam ao estudo de apenas um idioma é:
a) 236 .
b) 240.
c) 244.
d) 246.
21 Numa empresa multinacional, sabe-se que 60% dos 
funcionários falam inglês, 45% falam espanhol e 30% deles 
não falam nenhuma daquelas línguas. Se exatamente 49 
funcionários falam inglês e espanhol, podemos concluir 
que o número de funcionários dessa empresa é igual a:
a) 180
b) 140
c) 210
d) 165
e) 127
22 Um instituto de pesquisas entrevistou 1.000 indi-
víduos, perguntando sobre sua rejeição aos partidos A e 
B. Verificou-se que 600 pessoas rejeitavam o partido A; 
que 500 pessoas rejeitavam o partido B e que 200 pessoas 
não têm rejeição alguma. O número de indivíduos que 
rejeitam os dois partidos é:
a) 120 pessoas.
b) 200 pessoas.
c) 250 pessoas.
d) 300 pessoas.
e) 800 pessoas.
14
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CAPÍTULO 1 
Conjuntos
23 Em uma enquete no centro olímpico, foram entre-
vistados alguns atletas e verificou-se que 300 praticam 
natação, 250 praticam atletismo e 200 praticam esgrima. 
Além disso, 70 atletas praticam natação e atletismo, 65 
praticam natação e esgrima e 105 praticam atletismo e 
esgrima, 40 praticam os três esportes e 150 não praticam 
nenhum dos três esportes citados. Nessas condições, o 
número de atletas entrevistados foi:
a) 1180.
b) 1030.
c) 700.
d) 800.
24 Dos 500 alunos matriculados em uma escola, cons-
tatou-se que:
- 40% do total frequenta oficinas de xadrez;
- 35% do total frequenta oficinas de robótica;
- 75 alunos cursam, simultaneamente, xadrez e robótica;
- x alunos cursam outras oficinas.
Com base nessas informações, o número de alunos que 
frequentam outras oficinas é:
a) 75.
b) 100.
c) 125.
d) 200.
e) 300.
NÍVEL 3NÍVEL 3
25 No colégio municipal, em uma turma com 40 alu-
nos, 14 gostam de Matemática, 16 gostam de Física, 12 
gostam de Química, 7 gostam de Matemática e Física, 
8 gostam de Física e Química, 5 gostam de Matemática 
e Química e 4 gostam das três matérias. Nessa turma, 
o número de alunos que não gostam de nenhuma das 
três disciplinas é:
a) 6.
b) 9.
c) 12.
d) 14.
26 (EsPCEx) Uma determinada empresa de biscoitos 
realizou uma pesquisa sobre a preferência de seus consu-
midores em relação a seus três produtos: biscoitos cream 
cracker, wafer e recheados. Os resultados indicaram que:
- 65 pessoas compram cream crackers.
- 85 pessoas compram wafers.
- 170 pessoas compram biscoitos recheados.
- 20 pessoas compram wafers, cream crackers e recheados.
- 50 pessoas compram cream crackers e recheados.
- 30 pessoas compram cream crackers e wafers.
- 60 pessoas compram wafers e recheados.
- 50 pessoas não compram biscoitos dessa empresa.
Determine quantas pessoas responderam a essa pesquisa:
a) 200.
b) 250.
c) 320.
d) 370.
e) 530.
27 Um grupo de estudantes resolveu fazer uma pes-
quisa sobre as preferências dos alunos quanto ao cardá-
pio do Restaurante Universitário. Nove alunos optaram 
somente por carne de frango, 3 somente por peixes, 7 
por carne bovina e frango, 9 por peixe e carne bovina e 4 
pelos três tipos de carne. Considerando que 20 alunos se 
manifestaram vegetarianos, 36 não optaram por carne 
bovina e 42 não optaram por peixe, assinale a alternativa 
que apresenta o número de alunos entrevistados:
a) 38.
b) 42.
c) 58.
d) 62.
e) 78.
28 Numa escola mista, existem 30 meninas, 21 crian-
ças ruivas, 13 meninos não ruivos e 4 meninas ruivas. 
Existem na escola _____ meninos:
a) 30.
b) 34.
c) 40.
d) 60.
e) 68.
15
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 15Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 15 22/12/2022 08:07:1122/12/2022 08:07:11
CAPÍTULO 1 
Conjuntos
29 Em um grupo de n cadetes da Aeronáutica, 17 na-
dam, 19 jogam basquetebol, 21 jogam voleibol, 5 nadam 
e jogam basquetebol, 2 nadam e jogam voleibol, 5 jogam 
basquetebol e voleibol e 2 fazem os três esportes. Qual o 
valor de n, sabendo-se que todos os cadetes desse grupo 
praticam pelo menos um desses esportes?
a) 31.
b) 37.
c) 47.
d) 51.
30 Num colégio verificou-se que 120 alunos não têm 
pai professor; 130 alunos não têm mãe professora e 5 
têm pai e mãe professores. Qual é o número de alunos do 
colégio, sabendo-se que 55 alunos possuem pelo menos 
um dos pais professor e que não existem alunos irmãos?
a) 125.
b) 135.
c) 145.
d) 155.
e) 165.
GABARITOGABARITO
01. C 02. C 03. E 04. D 05. D 06. A
07. E 08. B 09. C 10. C 11. C 12. A
13. A 14. B 15. B 16. D 17. A 18. B
19. A 20. B 21. B 22. D 23. C 24. D
25. D 26. B 27. C 28. A 29. C 30. D
16
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 16Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 16 22/12/2022 08:07:2522/12/2022 08:07:25
CAPÍTULO 2 
Conjuntos Numéricos
CONJUNTOS 
NUMÉRICOS
Estudaremos conjuntos cujos elementos são números, 
por isso denominamos conjuntos numéricos. Em cada um 
deles, os elementos têm alguma característica em comum. 
Portanto, farão parte deste estudo sucinto os conjuntos 
dos números naturais, dos inteiros, dos racionais, dos 
irracionais e, por fim, o conjunto dos números reais.
NÚMEROS NATURAISNÚMEROS NATURAIS
O surgimento dos números naturais deveu-se à necessi-
dade de se contarem objetos. Temos, então:  = {0, 1, 2, 
3, 4, ..., n, ...}
em que n representa um elemento genérico do conjun-
to. O conjunto dos números naturais possui alguns 
subconjuntos importantes:
Naturais não nulos:
* = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...} ou * =  - {0}
Naturais pares:

P
 = {0, 2, 4, 6, 8, ... 2n, ...}, em que n ∈ 
Naturais ímpares:
Conjunto dos números naturais ímpares:

i
 = {1, 3, 5, 7, 9, ..., 2n+1, ...}, em que n ∈ 
Naturais primos:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
OPERAÇÕES EM 
No conjunto dos números naturais são definidas duas 
operações: a adição e a multiplicação. Quaisquer que sejam 
os naturais a e b, sua soma a + b e seu produto a.b são 
números naturais.
Já o mesmo não ocorre com a subtração. Em  só é pos-
sível realizar a subtração a – b quando a ≥ b. Para que seja 
sempre possível realizar subtrações, é necessário ampliar 
o conjunto  , formando o conjunto dos números inteiros.
NÚMEROS INTEIROSNÚMEROS INTEIROS
Esse conjunto é formado por todos os elementos de  e 
seus opostos (ou simétricos).
 = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
O conjunto dos números inteiros também possui alguns 
subconjuntos notáveis:
Inteiros não nulos:
* = {...-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...} ou * = Z – {0}
Inteiros não negativos:
 + = {0, 1, 2, 3, 4, ...} = 
Inteiros positivos:
*
+
= {1, 2, 3, 4, ...} = *
Inteiros não positivos:
 - = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}
Inteiros negativos:
*
−
= {..., –5, –4, –3, –2, –1}
MÓDULO DE UM NÚMERO INTEIROMÓDULO DE UM NÚMERO INTEIRO
Vamos tomar como exemplo o número 3 e seu oposto - 3. 
Observamos que a distância entre 3 e 0 é 3 unidades. Por 
outro lado, a distância entre -3 e 0 é também 3 unidades. 
Dizemos, portanto, que o módulo (ou valor absoluto) de 3 
é 3 (distância entre 3 e 0) e indicamos |3|=3. Pela mesma 
reflexão, temos que o módulo (ou valor absoluto) de -3 é 
3 (distância entre -3 e 0) e indicamos |-3|=3.
De um modo geral, chamamos módulo, ou valor absoluto, 
de um número inteiro x à distância entre a origem e o ponto 
que representa o número x.
OPERAÇÕES EM 
No conjunto dos números inteiros são definidas três ope-
rações: a adição, a subtração e a multiplicação. Quaisquer 
que sejam os inteiros a e b, sua soma a + b, sua diferença 
a – b e o seu produto a.b são números inteiros.
Já o mesmo não acontece com a divisão. Em  só é possível 
realizar a divisão a : b quando a é múltiplo de b. Assim, por 
exemplo, a operação 8 : 4 resulta em um número inteiro, 
mas não existe número inteiro x tal que x = 4 : 8. Para 
que seja possível realizar divisões, é necessário ampliar o 
conjunto Z, formando o conjunto dos números racionais.
17
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 17Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 17 22/12/2022 08:07:4022/12/2022 08:07:40
CAPÍTULO 2 
Conjuntos Numéricos
NÚMEROS RACIONAISNÚMEROS RACIONAIS
Definimos  como o conjunto das frações p
q
. Desse modo, 
um número é racional quando pode ser escrito como uma 
fração p
q
, com p e q inteiros e q≠0.
Então:
 = { p
q
|p ∈ Ζ , q ∈ Ζ e q≠0}, ou seja,
 = {0, ±1, ± 1
2
, ± 1
3
, ..., ±2, ± 2
3
, ± 2
5
, ..., ±3, ± 3
2
, ± 3
4
, ...}
Também o conjunto Q apresenta alguns subconjuntos 
notáveis: Q*, Q+, Q
*
+
, Q- e Q
*
−
.
Operações em  : No conjunto  são definidas três ope-
rações:
 » A adição: 
p
q
 + r
s
 = ps rq
qs
+
 » A subtração: p
q
r
s
− = 
ps rq
qs
−
 » A multiplicação: p
q
 . r
s
 = pr
qs
No conjunto * é definida a operação de divisão:
 » A divisão: p
q
 : r
s
 = p
q
 . s
r
 = ps
qr
paraquaisquer p
q
, r
s
 ∈ Q com r
s
 ≠ 0.
NÚMEROS IRRACIONAISNÚMEROS IRRACIONAIS
Vimos que existem infinitos números racionais, que podem 
ser escritos na forma de frações com numerador e deno-
minador inteiros. Ao ser representado na foram decimal, 
um número racional pode ser um decimal exato ou uma 
dízima periódica.
Existem, entretanto, números cuja representação decimal 
é infinita, mas não periódica.
Ex1: O número 0,123456... (em que as casas decimais são os 
números naturais justapostos) não é dízima periódica, pois 
os infinitos algarismos à direita da vírgula não se repetem 
periodicamente.
Ex2: Os números:
2 = 1,4142135...
3 = 1,7320508...
2,7182818...
π = 3,141592...
não são dízimas periódicas.
Dessa forma, um número cuja representação decimal infini-
ta não é periódica é chamado número irracional. Indicamos 
o conjunto dos números irracionais por I.
NÚMEROS REAISNÚMEROS REAIS
Esse conjunto é formado pelos números racionais e pelos 
números irracionais e é representado por  .
Assim, temos:  =  ∪ I
Por outro lado, se um número real é racional, ele não é irra-
cional; e se um número real é irracional, ele não é racional.
Assim: Q ∩ I = Ø
Já vimos que  ⊂  ⊂ Q . Em consequência,  , Z Q, e 
I são subconjuntos de R.
Existem outros subconjuntos de  importantes:
Números reais não nulos:
 * = {x ∈ R | x ≠ 0}
Números reais não negativos:
 + = {x ∈ R | x ≥ 0}
Números reais positivos:
*
+
 = {x ∈ R | x > 0}
Números naturais não positivos:

−
= {x ∈ R | x ≤ 0}
Números reais negativos:
*
−
= {x ∈ R | x < 0}
Observação: Também para os números reais, utilizamos 
os conceitos de números opostos e módulo, apresentados 
quando estudamos o conjunto dos números inteiros.
INTERVALOS REAISINTERVALOS REAIS
O conjunto dos números reais possui também subcon-
juntos, que se denominam intervalos e são determinados 
por meio de desigualdades. Sejam os números reais a e 
b, com a < b, temos:
 » Intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto 
]a,b[ = { x ∈ R | a<x<b}
18
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CAPÍTULO 2 
Conjuntos Numéricos
 » Intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto 
[a,b] = {x ∈ R | a≤x≤b}.
 » Intervalo aberto à direita (ou fechado à esquerda) de 
extremos a e b é o conjunto 
[a,b[ = { x ∈ R | a≤x<b}.
 » Intervalo aberto à esquerda (ou fechado à direita) de 
extremos a e b é o conjunto 
]a,b] = { x ∈ R | a<x≤b}.
Existem ainda os intervalos infinitos:
]-∞, a] = {x ∈ R | x≤a}
]-∞, a[ = {x ∈ R | x<a}
[a, +∞[ = {x ∈ R | x≥a}
]a, +∞[ = {x ∈ R | x>a}
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 Sejam os conjuntos A {x |0 x 5},= ∈ < ≤ 
RB {x |x 5}= ∈ ≥ − e C {x |x 0}.= ∈ ≤ Pode-se afirmar que:
a) A B C C( )− ∪ =
b) A C B( )− ∩ = ∅
c) B C A( )∪ ∩ =
d) B C A A( )∩ ∩ =
02 Dados os conjuntos A {x R / 5 x 8}= ∈ − ≤ < e 
B {x R / 1 x 4},= ∈ − < ≤ então A B− é:
a) 5,1 4,8− ∪






b) 5,1 4,8( ) ( )− ∪
c) 5,1 4,8( )− ∪
d) 5,1 4,8)− ∪ 
03 Dados os conjuntos A {x | 2 x 4}= ∈ − < ≤ e 
B x x� � �� ��� 0 , a intersecção entre eles é dada pelo 
conjunto:
a) {x |0 x 4}∈ < ≤ 
b) x x� �� ��� 0
c) x x� � �� ��� 2
d) {x |x 4}∈ ≥
04 Considerando os intervalos de números reais, o 
resultado de 5, 7 6, 9∩






 é:
a) 5, 9


b) ∅
c) 6, 7


d) 6{ }
19
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 19Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 19 22/12/2022 08:08:1722/12/2022 08:08:17
CAPÍTULO 2 
Conjuntos Numéricos
05 São dados os conjuntos A = {x ∈ | 2 < x ″ 4}, 
B = {x ∈  | − 2 ″ x < 2} e C = {x ∈ * | − 3 < x < 3}. Se 
H = (A – B) ∪ (B∩ C), então o número de subconjuntos 
do conjunto H é:
a) 4.
b) 8.
c) 16.
d) 32.
e) 64.
06 Se A = – 5, 1  e B = – 23 , 5








, então os conjuntos 
A – B e A ∩ B são, respectivamente:
a) – 5, – 2
3








 e – 2
3
, 1








b) – 5, – 2
3








 e – 2
3
, 5








c) – 2
3
, 1








 e – 2
3
, 5








d) 1, 5



 e – 5, –
2
3








e) – 2
3
, 1








 e – 2
3
, 1








07 Dados os conjuntos:
R = {x|x é um número real},
Q = {x|x é um número racional},
N = {x|x é um número natural} e
P = {x|x é um número primo}
e considerando as afirmações:
(I) P ⊂ Q
(II) R ⊂ Q
(III) P ⊃ Q
(IV) 6 ∈ (R∩ Q∩ N∩ P)
(V) 5 ∈ (Q∩ P)
estão corretas as afirmações:
a) I e II
b) II e V
c) III e IV
d) IV e V
e) I e V
08 Marque a alternativa INCORRETA:
a) Todo número NATURAL é também INTEIRO.
b) Todo número NATURAL é também RACIONAL.
c) Todo número NATURAL é também IRRACIONAL.
d) Todo número NATURAL é também REAL.
e) Todo número IRRACIONAL é também REAL.
09 De acordo com os conjuntos numéricos, analise 
as afirmativas abaixo:
I - Todo número natural é inteiro.
II - A soma de dois números irracionais é sempre irracional.
III - Todo número real é complexo.
IV - Todo número racional é inteiro.
São verdadeiras as afirmativas:
a) I e II.
b) I e III.
c) I e IV.
d) II e III.
e) III e IV.
10 Indique qual dos conjuntos abaixo é constituído 
somente de números racionais:
a) 1, 2, 2, π .{ }−
b) 5, 0, 1
2
, 9−








c) 2, 0, π, 2
3
−








d) 3, 64, π, 2{ }
e) 1, 0, 3, 1
3
−








20
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 20Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 20 22/12/2022 08:08:3322/12/2022 08:08:33
CAPÍTULO 2 
Conjuntos Numéricos
11 Define-se o comprimento de cada um dos inter-
valos a,b ,

 a,b ,



 a,b



 e ]a,b[ como sendo a diferen-
ça b a .( )− Dados os intervalos M 3,10 ,=   N 6,14 ,=   
P ]5,12[,= o comprimento do intervalo resultante de 
M P P N( ) ( )∩ ∪ − é igual a:
a) 1.
b) 3.
c) 5.
d) 7.
e) 9.
12 Assinale a alternativa verdadeira:
a) {1, 2, 4, 6, 7} = [1, 7].
b) Se C = [ – 1, 3], então 1 C,mas 3 C.− ∉ ∈
c) Se D = [2, 6], então 2 D,mas 3 D.∈ ∉
d) A intersecção de dois intervalos numéricos é sempre 
um intervalo numérico.
e) A união de dois intervalos numéricos pode ser um con-
junto vazio.
NÍVEL 2NÍVEL 2
13 Considere os seguintes conjuntos:
I. A {x |2 x 20}= ∈ < <
II.  B {x |x 2n,n }= ∈ = ∈
III.  C x |x 40
n
,n *= ∈ = ∈








O conjunto A B C( )∩ ∩ tem:
a) Dois elementos.
b) Três elementos.
c) Quatro elementos.
d) Oito elementos.
e) Quatorze elementos.
14 A operação (∆) entre os conjuntos A e B é defi-
nida por: A ∆ B = (A-B) ∪ (B-A) Se: A {x |2 x 8}= ∈ ≤ ≤ e 
B {x |6 x 10},= ∈ < ≤ então ( A ∆ B) é igual a:
a) ∅
b) 0, 6 8,10∪






c) 0, 2 6, 8∪






d) 2, 6 8,10∪






15 Nas proposições abaixo:
I) 3/5 ∈ (Q Z− ).
II) (6 - 9) ∈  .
III) 5 ∈ (R Z− ).
IV) R Q9 ( )∈ −
V) 53 − ∈
São verdadeiras apenas:
a) I, II e III.
b) I, II e IV.
c) I, II e V.
d) II, III e IV.
e) II, III e V.
16 Define-se a amplitude d do intervalo [a, b] como 
sendo o número d = b - a, então a amplitude de [-1, 7] ∩ 
[1, 9] ∩ [0, 8] é:
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
17 Observe os seguintes números:
I. 2,212121...
II. 3,212223...
III. π
5
IV. 3,1416
V. 4−
Assinale a alternativa que identifica os números irra-
cionais:
a) I e II
b) I e IV
c) II e III
d) II e V
e) III e V
21
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 21Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 21 22/12/2022 08:08:4922/12/2022 08:08:49
CAPÍTULO 2 
Conjuntos Numéricos
18 A determinação por compreensão do conjunto 
A=[a; b] é:
a) {x ∈ N | a ≤ x ≤ b}
b) {x ∈ Z | a ≤ x ≤ b}
c) {x ∈ Q | a ≤ x ≤ b}
d) {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
e) {x ∈ C | a ≤ x ≤ b}
19 Considere as afirmações a seguir:
I. O número 2 é primo.
II. A soma de dois números ímpares é sempre par.
III. Todo número primo multiplicado por 2 é par.
IV. Todo número paré racional.
V. Um número racional pode ser inteiro.
Atribuindo V para as afirmações verdadeiras e F para as 
falsas, assinale a sequência CORRETA:
a) V, V, V, V, V.
b) V, F, V, V, V.
c) V, F, V, V, F.
d) F, F, V, V, V.
e) V, F, V, F, F.
20 Os números x e y são tais que 5 ≤ x ≤ 10 e 20 ≤ y 
≤ 30. O maior valor possível de x/y é:
a) 1/6.
b) 1/4.
c) 1/3.
d) 1/2.
21 Para x 2,02,= y 4,31= e z 7
3
= temos:
a) z x y.< <
b) y x z.< <
c) x z y.< <
d) y z x.< <
e) x y z.< <
22 A quantidade de números inteiros positivos n, 
que satisfazem a desigualdade 3
7
n
14
2
3
< < é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
23 Sobre a Teoria dos Conjuntos, assinale a alternati-
va INCORRETA. Se um número é Natural, ele também é:
a) Inteiro.
b) Racional.
c) Irracional.
d) Real.
e) Complexo.
24 Um ciclista estabeleceu a meta de percorrer a dis-
tância entre duas cidades durante três dias. No primeiro 
dia, percorreu um terço da distância. No dia seguinte, 
mais um terço do que faltava. Que fração da distância ele 
necessita percorrer no terceiro dia para atingir sua meta?
a) 1
3
b) 
2
3
c) 
2
9
d) 
4
9
e) 5
9
NÍVEL 3NÍVEL 3
25 A soma de um número inteiro com sua terça parte 
é maior que 10. A diferença entre o dobro desse número 
e sua metade é menor que 13. O número em questão é:
a) divisível por 3.
b) múltiplo de 5.
c) menor que 6.
d) múltiplo de 4.
22
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 22Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 22 22/12/2022 08:08:5822/12/2022 08:08:58
CAPÍTULO 2 
Conjuntos Numéricos
26 Dia 20 de julho de 2008 caiu num domingo. Três 
mil dias após essa data, cairá:
a) Numa quinta-feira.
b) Numa sexta-feira.
c) Num sábado.
d) Num domingo.
e) Numa segunda-feira.
27 Considere a expressão:
W
1 4
5
5 10
( 1) (0,2)
( 2) 1
1
1
3
2
2
=
−






×
− − −
− +
−
−
−
−
O valor de W é:
a) W 6 i= −
b) W 6=
c) W 6 i= +
d) W 1
2
= −
e) W 3=
28 O valor da expressão 
37
3
0,243243243... 1,8 0,656565... 6,6
11
8
1,353535... 0,383838...
( )
( )
× ÷ + ×
× −
 é:
a) 4,666666...
b) 4,252525...
c) 4,333333...
d) 4,25
e) 4,5
29 Pedro, um aluno do curso de Almoxarife do IFPE 
– Cabo, em seu estágio, se deparou com a seguinte si-
tuação: no almoxarifado, encontravam-se 20 caixas de 
lápis, cada caixa com 30 lápis. Ele precisava mandar 
dessas caixas para o laboratório de matemática. Ao 
abrir as caixas que chegaram ao laboratório, o professor 
de matemática colocou dos lápis sobre as mesas, 
guardando o restante dos lápis no armário. Nessas con-
dições, podemos afirmar que o professor guardou, no 
armário do laboratório, um total de:
a) 10 lápis
b) 20 lápis
c) 30 lápis
d) 40 lápis
e) 50 lápis
30 Considere os números reais representados na 
reta real abaixo:
Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verda-
deira ou (F) Falsa:
( ) y x
z2
−
−
 é, necessariamente, um número que pertence 
a  .
−
( ) y2 é tal que 0 y 1.2< <
( ) O inverso do oposto de x é um número compreendido 
entre 1 e 2.
Sobre as proposições, tem-se que:
a) apenas uma é verdadeira.
b) apenas duas são verdadeiras.
c) apenas três são verdadeiras.
d) todas são falsas.
GABARITOGABARITO
01. A 02. C 03. A 04. C 05. E 06. A
07. E 08. C 09. B 10. B 11. C 12. B
13. B 14. C 15. D 16. C 17. C 18. D
19. A 20. D 21. C 22. B 23. C 24. D
25. D 26. A 27. B 28. E 29. A 30. A
23
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 23Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 23 22/12/2022 08:09:1722/12/2022 08:09:17
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 24Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 24 22/12/2022 08:09:1822/12/2022 08:09:18
CAPÍTULO 3 
Teoria da Função
TEORIA DA 
FUNÇÃO
CONCEITO DE FUNÇÃOCONCEITO DE FUNÇÃO
Seja dois conjuntos A e B, não vazios, chamamos de função 
a correspondência f ou relação binária entre os conjuntos 
A e B, nessa ordem, de forma que qualquer elemento x ∈ 
A possui um único elemento correspondente y ∈ B, que 
é imagem de x.
Observe o diagrama das flechas:
O conjunto A é chamado de domínio. Este conjunto também 
é chamado de conjunto de partida.
O conjunto B é chamado de contradomínio. Este conjunto 
também é chamado de conjunto de chegada.
O conjunto I, que são os elementos de B que estão rela-
cionados com os elementos de A, é chamado de imagem. 
O conjunto imagem é sempre subconjunto do conjunto 
contradomínio.
f : A → B (leia: f de A em B), para indicar uma função f de 
A em B;
y = f(x) (leia: y = f de x), para indicar que y é a imagem de x;
D ou D(f) (leia: D de f), para indicar o domínio da função f;
Im ou Im (f) (leia: imagem de f), para indicar o conjunto-
-imagem de f.
Para que a função f fique bem definida precisamos dizer 
quem é o domínio (A), o contradomínio (B) e a lei (ou re-
gra) que a cada x de A faz corresponder o elemento de y 
= f(x) de B.
Exemplos:
a) O domínio da função definida pela lei y = 3x+4 é  , pois, 
qualquer que seja o valor real atribuído a x, o número 3x+4 
também é real.
b) O domínio da função y x 3
x 1
=
+
−
 é R – {1}, pois, para todo 
x real diferente de 1, o número x 3
x 1
+
−
 é real.
c) Dado A = {1, 2, 3, 4} consideremos a função f : A → R 
definida por f(x) = 2x. Temos:
para x = 1, f(1) = 2.1 = 2
para x = 2, f(2) = 2.2 = 4
para x = 3, f(3) = 2.3 = 6
para x = 4, f(4) = 2.4 = 8
A imagem dessa função é Im(f) = {2, 4, 6, 8}
d) Determinar a imagem da função f: D → R definida por 
f(x) = x³ - x + 10, sendo D = {-2, -1, 0, 1, 2}. Temos:
- para x = - 2, f(-2)=(-2)³ - (-2) + 10 = - 8 + 2 + 10 = 4;
- para x = - 1, f(-1)=(-1)³ - (-1) + 10 = -1 + 1 + 10 = 10;
- para x = 0, f(0) = 0³ - 0 + 10 = 10;
- para x = 1, f(1) = 1³ - 1 + 10 = 10;
- para x = 2, f(2) = 2³ - 2 + 10 = 16.
- Logo, Im(f) = {4, 10, 16}.
Observe que três elementos do domínio {-1, 0, 1} possuem 
a mesma imagem {10}. Isto é permitido no conceito de 
função, pois ele exige que cada elemento do domínio tenha 
uma e apenas uma imagem. O que não pode ocorrer é um 
dado elemento do domínio não ter imagem ou ter mais 
do que uma imagem.
FUNÇÃO SOBREJETORAFUNÇÃO SOBREJETORA
Quando o conjunto imagem é igual ao conjunto contradomí-
nio a função é sobrejetora. Em outras palavras, uma função 
é sobrejetora quando todo o elemento do contradomínio 
for imagem de algum elemento do domínio.
No diagrama abaixo, podemos observar um exemplo de 
função f: A → B sobrejetora.
25
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 25Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 25 22/12/2022 08:09:2222/12/2022 08:09:22
CAPÍTULO 3 
Teoria da Função
No diagrama abaixo, podemos perceber um exemplo de 
uma função f: A → B não sobrejetora.
FUNÇÃO INJETORAFUNÇÃO INJETORA
Quando os elementos distintos do domínio têm imagens 
diferentes. Em outras palavras, para uma função ser injetora 
não pode existir dois elementos distintos no domínio que 
possuem a mesma imagem.
No diagrama abaixo, podemos observar uma função f: A 
→ B injetora.
No diagrama abaixo, podemos perceber um caso de função 
f: A → B não injetora.
Nota: Esse é um exemplo de função não injetora e não 
sobrejetora.
FUNÇÃO BIJETORAFUNÇÃO BIJETORA
Uma função é bijetora quando é sobrejetora e injetora 
simultaneamente.
FUNÇÃO PARFUNÇÃO PAR
Seja f: A → B definida num domínio simétrico. Denomina-
-se função par a função que satisfaz a seguinte condição:
x A, f x f x( ) ( )∀ ∈ − =
A função par é simétrica em relação ao eixo das ordenadas 
do plano cartesiano.
FUNÇÃO ÍMPARFUNÇÃO ÍMPAR
Seja f: A → B definida num domínio simétrico. Denomina-se 
função ímpar a função que satisfaz a seguinte condição:
x A, f x f x( ) ( )∀ ∈ − = −
A função ímpar é simétrica em relação à origem do plano 
cartesiano.
26
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 26Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 26 22/12/2022 08:09:2922/12/2022 08:09:29
CAPÍTULO 3 
Teoria da Função
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 O gráfico dasfunções f(x) = 4x + 23 e g(x) = 4x - 10 
se interceptam em:
a) nenhum ponto
b) um ponto
c) dois pontos
d) Três pontos
02 O ponto em que a função f x 4x 10
1/ 2
( ) = + intercepta 
o eixo das abcissas:
a) 2,5
b) -2,5
c) 5
d) -5
03 Considerando D = [0, 10] o domínio de uma função 
y = f(x), um gráfico que poderia representá-la é:
a)
b)
c) 
d) 
04 Seja a função f, de IR em IR, dada pelo gráfico 
seguinte.
O conjunto imagem de f é:
a) IR
b) {y ∈ IR | 0 ≤ y ≤ 1,5}
c) {y ∈ IR | 0 ≤ y ≤ 1,8}
d) {y ∈ IR | y ≤ 2}
e) {y ∈ IR | y ≤ 1,8}
05 Considere a função real de variável real g tal que 
dom(g)=[-1, 4]. O gráfico de g é representado na figura 
a seguir.
O conjunto imagem de g é?
a) 1 < x < 2
b) 1 < x ≤ 2
c) 0 ≤ x ≤ 2
d) 0 ≤ x ≤ 4
27
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 27Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 27 22/12/2022 08:09:3122/12/2022 08:09:31
CAPÍTULO 3 
Teoria da Função
06 Seja f a função de IR em IR, dada pelo gráfico a 
seguir:
É correto afirmar que:
a) f é sobrejetora e não injetora.
b) f é bijetora.
c) f(x) = f(-x) para todo x real.
d) f(x) > 0 para todo x real.
e) o conjunto imagem de f é ] - ° ; 2 ].
07 O domínio da função f x x x 6
3x 6
2( ) = − −
−
 é:
a) [–2, 2[ ∪ [3, + ° [,)
b) [–2, 0] 2, 3∪  
c) [0, 2[ ∪ [3, + ° [
d) ] – , 2 2, 3]∞ − ∪ 
e) ] - , 0 2, 3]∞ ∪ 
08 Seja a função real f x 1
2 2
3 3
4 x
,x 4.( ) =
+
+
+
≠
O valor de f(5) é uma fração racional equivalente a:
a) 2
5
.
b) 5
13
.
c) 
5
2
.
d) 
13
5
.
09 Em relação à função polinomial
f(x) = 2x3 - 3x, é válido afirmar-se que:
a) f(-x) = f(x)
b) f(-x) = - f(x)
c) f(x2) = ( f(x))2
d) f(ax) = a f(x)
e) f(ax) = a2 f(x)
10 Sejam:
I. f x x 2
x 22
( ) = −
+
II. f x 1
x2
( ) = , x 0↑
III. f x
2
x
( ) = , x 0↑
III. f x x 1 x 1( ) ( ) ( )= + + −
Classificando cada uma das funções reais acima em par, 
ímpar ou nem par nem ímpar, temos, respectivamente:
a) par, par, ímpar, ímpar
b) nem par nem ímpar, par, ímpar, ímpar
c) par, ímpar, par, ímpar
d) ímpar, par, ímpar, ímpar
e) par, par, ímpar, nem par nem ímpar
11 (EEAR) Se f x x 1
x 1
3x
x 4
( ) = −
+
+
+
 é uma função, seu 
domínio é D {x |__________} := ∈
a) x 4> e x 1↑
b) x 4< e x 1≠ ±
c) x 4< − e x 1≠ −
d) x 4> − e x 1≠ −
12 Dada a função f x 2x,( ) = assinale a alternativa 
incorreta:
a) É uma função injetora.
b) É uma função sobrejetora.
c) É uma função par.
d) É uma função ímpar.
e) É uma função linear.
28
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 28Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 28 22/12/2022 08:09:4722/12/2022 08:09:47
CAPÍTULO 3 
Teoria da Função
NÍVEL 2NÍVEL 2
13 A função f: A → R, definida por f(x) = + +x 5x 42 , 
tem como conjunto domínio A igual a:
a) x R / x 1ou x 4{ }∈ ≤ ≥
b) x R / x <1ou x > 4∈
c) x R / x 4 ou x > 1∈ < − −
d) x R / x 4 ou x 1{ }∈ ≤ − ≥ −
14 O domínio da função real definida por f x 1 x
x 4
( ) = +
−
 
é:
a) 1; 4−


b) ; 1 4;−∞ − ∪

 + ∞




c) 1; 4−


d) ; 1 4;−∞ − ∪

 + ∞




e) 1; 4−


15 A função f : A → R, definida por f(x) = + +x 4x 32 , 
tem conjunto domínio A igual a:
a) {x∈R|x≤1 ou x≥3}
b) {x∈R|x<1 ou x>3}
c) {x∈R|x<-3 ou x>-1}
d) {x∈R|x≤-3 ou x≥-1}
16 O conjunto – imagem da função 
( ) = − + −f x 16 x x 162 2 é:
a) [ − 4, 4]
b) , 4 4,( )− ∞ −  ∪ + ∞
c) {0}
d) { − 4, 4}
e) [0, )+ ∞
17 Dados A = {x ∈  |* x < 6} e f: A → R definida por 
f(x) = x² - 1, o conjunto imagem de f é:
a) { - 1, 0, 3, 8, 15, 24, 35}
b) { - 1, 0, 3, 8, 15, 25}
c) {0, 3, 8, 15, 24, 35}
d) {0, 3, 8, 15, 24}
18 Sabendo que f é uma função de R em R definida 
por f(x) = 3x 4
2
− , pode-se afirmar que o elemento do 
domínio de f, que tem como imagem o número 7/4 é:
a) – 1/6
b) – 2/3
c) 5/3
d) 13/8
19 (EsPCEx) Assinale a alternativa que representa o 
conjunto de todos os números reais para os quais está 
definida a função f x x 6x 5
x 4
2
23
( ) = − +
−
:
a)  2,2{ }− −
b) , 2 5,( ) ( )−∞ − ∪ +∞
c) , 2 2,1 [5,( ) ( )−∞ − ∪ − ∪ +∞
d) ,1 5,( ) ( )−∞ ∪ +∞
e) ( , 2) (2, )−∞ − ∪ +∞
20 O maior domínio possível, dentro dos números 
reais, da função f dada por f x x 1
x 2
24( ) = −
−
 vale:
a) x ;x 2 .{ }∈ ≠
b) x ;x 1 .{ }∈ >
c) x ;x 1ou 1 x 2 ou x 2{ }∈ ≤ − ≤
d) x ;1 x 2 .{ }∈ ≤ ≤
e) x ;x 1ou 1 x 2 .{ }∈ < − ≤ <
21 (EsPCEx) O domínio da função real f x 2 x
x 8x 122
( ) = −
− +
 
é:
a) 2,∞


b) 2,6


c) ,6−∞


d) 2,2−


e) ,2−∞


29
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 29Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 29 22/12/2022 08:10:0722/12/2022 08:10:07
CAPÍTULO 3 
Teoria da Função
22 Seja f uma função tal que f xy f x
y
( ) ( )= para todos 
os números reais positivos x e y. Se f 300 5,( ) = então, 
f 700( ) é igual a:
a) 15
7
b) 16
7
c) 17
7
d) 8
3
e) 11
4
23 O domínio da função dada por f x x 2
3 x
( ) = −
−
é:
a) x R 2 x 3 .{ }∈ − ≤ ≤
b) x R 2 x 3 .{ }∈ − ≤ <
c) x R 2 x 3 .{ }∈ ≤ <
d) x R 2 x 3 .{ }∈ − ≤ ≤
e) x R x 3 .{ }∈ ≠
NÍVEL 3NÍVEL 3
24 Com base no gráfico da função y = f(x), o valor de 
f(f(f(1))) é:
a) 8
3
−
b) − 
5
3
c) 8
3
d) 5
3
e) 5
25 O domínio da função, f(x) = x 1
2 x
2 −
−
, é:
a) { x ∈ IR | x < -1 ou x > 2 }
b) { x ∈ IR | x ≤ -1 ou 1 ≤ x < 2}
c) { x ∈ IR | x ≤ -1 ou 1 < x < 2 }
d) { x ∈ IR | x ≤ -1 ou x ≥ 2 }
26 O domínio da função real definida por f(x) = 
x 2x 6
x 5x 6
2
2
3
− +
− +
 é:
a) IR - {2, 3}
b) IR*
c) IR
d) IR* - {2, 3}
e) IR - {-2, -3}
27 (AFA) Considere a função f:  → tal que f(x) = 
x 1, se x 1
1 x. se x 1
− ≥
− <




 e assinale a alternativa verdadeira:
a) f é sobrejetora
b) f é par
c) f não é par nem ímpar
d) se f é definida de  em
+
, f é bijetora
28 (AFA) Considere as funções f, g e h, todas de domí-
nio [a, b] e contradomínio [c, d], representadas através 
dos gráficos abaixo:
30
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 30Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 30 22/12/2022 08:10:1922/12/2022 08:10:19
CAPÍTULO 3 
Teoria da Função
Com base nos gráficos, é correto informar que:
a) f é uma sobrejeção, g não é uma injeção, h é uma so-
brejeção;
b) f é uma sobrejeção, g é uma injeção, h não é uma so-
brejeção;
c) f é uma injeção, g não é uma sobrejeção, h é uma bijeção;
d) f é uma bijeção, g não é uma injeção, h não é uma so-
brejeção.
29 Sejam f, g: R R→ tais que f é par e g é impar. Das 
seguintes afirmações:
I. f . g e impar,
II. f o g e par,
III. g o f e impar,
é (são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas I e II.
e) todas.
30 S e j a  f : → u m a f u n ç ã o t a l q u e 
f m n n f m m f n( ) ( ) ( )⋅ = ⋅ + ⋅ para todos os naturais m e n. 
Se f 20 3, f 14 1,25( ) ( )= = e f 35 4,( ) = o valor de f 8( ) é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
GABARITOGABARITO
01. A 02. B 03. B 04. D 05. C 06. A
07. A 08. B 09. B 10. B 11. D 12. C
13. D 14. D 15. D 16. C 17. D 18. C
19. C 20. C 21. E 22. A 23. C 24. B
25. D 26. A 27. C 28. D 29. D 30. A
31
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 31Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 31 22/12/2022 08:10:3222/12/2022 08:10:32
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CAPÍTULO 4 
Função Composta e Função Inversa
FUNÇÃO 
COMPOSTA E 
FUNÇÃO INVERSA
FUNÇÃO COMPOSTAFUNÇÃO COMPOSTA
Seja f uma função de um conjunto A em um conjunto B 
(f: A → B) e seja g uma função de B em um conjunto C 
(g: B → C), chama-se função composta de g e f a função h 
de A em C (h: A → C) definida por h(x) = g(f(x)) para todo 
x em A.
Exemplo: Sejam as funções f:  → e g:  → tais que 
f(x) = 2x e g(x) = x³.
A composição da função g o f será:
g o f = g(f(x)) = ((f(x))³ = (2x)³ = 8x³
A composição da função f o g será:f o g = f(g(x)) = 2.g(x) =2x³
A composição da função g o g será:
g o g = g(g(x)) = [g(x)]³ = (x³)³ = x9.
A composição da função f o f será:
f o f = f(f(x)) = 2.f(x) = 2.2x = 4x.
FUNÇÃO INVERSAFUNÇÃO INVERSA
Considere-se uma função f: A D B. Diz-se que uma função 
g: B D A é inversa de f quando g o f = IA e f o g = IB (I é a 
função identidade).
Uma função é invertível, se e somente se, é bijetora.
TÉCNICA PARA OBTER A FUNÇÃO TÉCNICA PARA OBTER A FUNÇÃO 
INVERSAINVERSA
I) Seja f(x) uma função bijetora, chamamos f(x) de y, ou 
seja, f(x) = y.
II) Fazemos a troca entre o x e o y, ou seja, o x é substituído 
por y e o y é substituído por x.
III) Isolamos a variável y colocando em função de x, obtendo, 
assim, a função inversa.
IV) Por fim, substituímos esse novo valor de y por f-1(x) que 
será a função inversa de f(x).
Exemplo: Dada a função bijetora f(x) = 2x – 4
I) y = 2x – 4
II) x = 2y – 4
III) x + 4 = 2y ⇒ y x 4
2
=
+
IV) f-1(x) = 
1
2
x 2+
Importante:
Dada uma função f: A D B bijetora e seja f-1: B D A, se o par 
ordenado (a, b) ∈ f, então (b, a) ∈ f-1. A função inversa f-1 é 
formada justamente através da troca entre as abscissas e 
ordenadas de todos os pares da função f.
33
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CAPÍTULO 4 
Teoria da Função
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 Seja y = f(x) uma função definida no intervalo [-3;6] 
conforme indicado no gráfico. Deste modo, o valor de 
f(f(2)) é:
a) 3
b) 0
c) -3
d) -1/2
e) 1
02 Sejam f e g duas funções reais inversas entre si. 
Se f(x) = 4x – 1, então g(3) é igual a:
a) 3/4
b) 1/4
c) 1
d) 0
03 Seja f uma função definida no conjunto dos núme-
ros naturais, tal que f(x + 1) = 2f(x) + 3. Se f(0) = 0, então 
f(2) é igual a:
a) 9.
b) 10.
c) 11.
d) 12.
04 Na função f(x) = 3x – 2, sabemos que f(a) = b – 2 e 
f(b) = 2b + a. O valor de f(f(a)) é:
a) 2
b) 1
c) 0
d) – 1
e) – 2
05 Considere as funções f:  → e g:  → definidas 
por f(x) = x + 1 e g(x) = 2x² − 3. O conjunto dos valores de 
x tais que (f o g) (x) = f-1(x) está contido em:
a) [ − 2, 0]
b) 1,2−


c) 10, 2− −


d) [1, 10]
06 As funções f:  → e g:  → são definidas 
por f(x) = 2x + 3 e g(x) = 3x + m. Se f(g(x)) = g(f(x)), então 
f(m) vale:
a) 3
b) 6
c) 9
d) 12
e) 15
07 A inversa da função f x x 3
x 1
( ) = +
−
 é:
a) f x x 1 / x 31( ) ( ) ( )= − +−
b) f x 3 x / x 11( ) ( ) ( )= − +−
c) f x x 3 / x 11( ) ( ) ( )= + −−
d) f x 3 x / 1 x1( ) ( ) ( )= − −−
08 A função f é tal que, para qualquer valor real de 
x, tem-se f x 3 2x 5.( )− = + É verdade que para qualquer 
valor de x tem-se:
a) f x 2x 11.( ) = +
b) f x 2x 10.( ) = +
c) f x x 11.( ) = −
d) f x x 10.( ) = −
e) f x 3x 9.( ) = −
34
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CAPÍTULO 4 
Teoria da Função
09 Nas alternativas abaixo há 2 pares de funções 
inversas entre si. Assinale aquela que não pertence a 
nenhum desses pares:
a) y 2x 1= −
b) y 1 x
2
=
−
c) y x 1
2
=
+
d) y x 1
2
=
−
e) y 1 2x= −
10 Sabe-se que f 2
3
x 3 x 1.−





 = + Desta forma, pode-se 
afirmar que f 1( )− vale:
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0
11 (EEAR) Sabe-se que a função f x x 3
5
( ) = + é inver-
tível. Assim, f 31( )− é:
a) 3
b) 4
c) 6
d) 12
12 Se a função  f : 2 *{ }− → é definida por 
f x 5
2 x
( ) =
−
 e f 1− a sua inversa, então f 21( )−− é igual a:
a) 1
2
−
b) 9
2
c) 9
2
−
d) 1
2
e) 5
4
NÍVEL 2NÍVEL 2
13 Dadas as funções f(x) 2x 1= − e g(x) x 3x c,2= + + 
o maior valor inteiro de c tal que a equação g f x 0( )( ) = 
apresente raízes reais é:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
14 A função real de variável real definida por 
f x x 2
x 2
( ) = +
−
 é invertível. Se f 1− é sua inversa, então, o 
valor de [f 0 f 0 f 1 ]1 1 2( ) ( ) ( )+ + −− − é:
a) 1.
b) 4.
c) 9.
d) 16.
15 Dada f x x 2x 5,2( ) = + + o valor de f(f( 1))− é:
a) – 56
b) 85
c) – 29
d) 29
e) – 85
16 Sejam as funções reais f x x 4x2( ) = + e 
g x x 1.( ) = − O domínio da função f(g(x)) é:
a) D x |x 3oux 1{ }= ∈ ≤ − ≥
b) D x | 3 x 1{ }= ∈ − ≤ ≤
c) D x |x 1{ }= ∈ ≤
d) D x |0 x 4{ }= ∈ ≤ ≤
e) D x |x 0oux 4{ }= ∈ ≤ ≥
35
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CAPÍTULO 4 
Teoria da Função
17 Sejam as funções f x x 3( ) = − e g(x) x 2x 4.2= − + 
Para qual valor de x tem f(g(x)) g f x ?s( )( )=
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
18 Sejam f x 2x 1( ) = + e g x 3x 1.( ) = + Então 
f g 3 g f 3( ) ( )( ) ( )− é igual a:
a) – 1
b) 0
c) 1
d) 2
e) 3
19 Dada a função bijetora f x 3x 2
x 1
,D f 1 ,( ) ( ) { }= +
−
= − 
o domínio de f x1( )− é:
a)  3{ }−
b) 
c)  1{ }−
d)  1{ }− −
e)  2
3
− −








20 A função inversa da função f(x) = (x − 1)/2 é:
a) 2x + 1
b) 2x - 1
c) 2/(x - 1)
d) (x + 1)/2
21 Se f e g são funções reais tais que f(x) = 2x − 2 
e f(g(x)) = x + 2, para todo x ∈ IR, então g(f(2)) é igual a:
a) 4
b) 1
c) 0
d) 2
e) 3
22 Duas funções, f e g , são tais que f(x)=3x − 1 e
f[g(x)]=2 − 6x. Nessas condições, o valor de g( − 1) é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
23 As funções reais f e g são tais que f(g(x))=x2 − 6x + 8 
e f(x − 3) = x+5. Se g (k) é o menor possível, então k vale:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
24 Se f e g são funções de lR em lR tais que f(x)=2x − 1 e 
f(g(x))=x2 -1, então g(x) é igual a:
a) 2x2+1
b) (x/2) -1
c) x2/2
d) x+1
e) x+(1/2)
NÍVEL 3NÍVEL 3
25 Se a função  f : 2{ }− → é definida por 
f x 2x 1
x 2
( ) = +
−
 e a função  g : 2{ }− → é definida por 
g x f f x ,( )( ) ( )= então g x( ) é igual a:
a) x
2
b) x2
c) 2x
d) 2x 3+
e) x
36
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CAPÍTULO 4 
Teoria da Função
26 Seja f: R → R uma função bijetora tal que f(5) = 2. 
Se g: R → R é a função inversa de f, então g-1(5) é igual a:
a) 2
b) – 2
c) 1/2
d) – 1/2
27 Seja a função f de R – {3} em R – {1}, defininda por 
f(x) = 
x 3
x 3
+
−
. Pela inversa de f, o número 5 é imagem do 
número:
a) 1/4
b) 1/3
c) 4
d) 3
28 Se f n
n
2
, se n é par
n 1
2
, se n é ímpar
( ) =
+







 define uma função 
f: N → N. Então:
a) f é apenas injetora
b) f é bijetora
c) f não é injetora, nem sobrejetora
d) f é apenas sobrejetora
29 Se f for uma função real, tal que f x 1
x 1
x 3−
+





 = + , 
então f(x) é definida por:
a) 4 2x
1 x
−
−
b) 4x 1
1 x
+
+
c) 2x 1
x 1
+
−
d) 2x 1
1 x
−
−
30 (EsPCEx) Considere as funções reais f e g, tais que 
f x x 4( ) = + e f g x x 5,2( )( ) = − onde g x( ) é não negativa 
para todo x real. Assinale a alternativa cujo conjunto 
contém todos os possíveis valores de x, que satisfazem 
os dados do enunciado:
a)  3, 3− −


b)  5, 5− −



c) 5, 5−



d) 3, 3−


e)  , 3− −∞


GABARITOGABARITO
01. E 02. C 03. A 04. B 05. B 06. E
07. C 08. A 09. D 10. A 11. D 12. B
13. B 14. C 15. D 16. A 17. B 18. A
19. A 20. A 21. E 22. A 23. D 24. C
25. E 26. A 27. C 28. D 29. A 30. E
37
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CAPÍTULO 5 
Função Afim
FUNÇÃO AFIM
FUNÇÃO POLINOMIAL FUNÇÃO POLINOMIAL 
DO 1° GRAUDO 1° GRAU
Uma função definida por f: R→R chama-se afim quando 
existem constantes a, b ∈ R tais que f(x)= ax + b para todo x 
∈ R. O a é o coeficiente angular e o b é o coeficiente linear. 
O gráfico de uma função afim é uma reta.
Exemplos:1) y = 3x + 2 onde a = 3 e b = 2
2) y = - 5x + 7 onde a = - 5 e b = 7
3) y = 6x onde a = 6 e b = 0
COEFICIENTESCOEFICIENTES
Cada coeficiente numérico de uma função caracteriza um 
elemento do gráfico dessa função.
COEFICIENTE A:
Quando a > 0, a função é crescente.
Quando a < 0, a função é decrescente.
COEFICIENTE B:
Coeficiente linear de uma reta. É a ordenada do ponto 
em que o gráfico de f cruza o eixo das ordenadas, ou seja, 
b = f(0).
39
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 39Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 39 22/12/2022 08:11:5222/12/2022 08:11:52
CAPÍTULO 5 
Função Afim
RAIZ DA FUNÇÃORAIZ DA FUNÇÃO
Zero ou raiz da função é todo x cuja imagem é nula, ou 
seja, f(x) = 0. Dessa forma, para obtermos o zero da função, 
precisamos resolver a equação ax + b = 0 que apresenta 
uma única solução x = −
b
a
.
Exemplos:
1) O zero da função f(x) = 2x – 1 é x = 
1
2
 pois, fazendo 
2x – 1 = 0, temos x = 
1
2
.
2) O zero da função f(x) = - 5x + 5 é x = 1 pois, fazendo 
– 5x + 5 = 0, temos x = 1.
FUNÇÃO CONSTANTEFUNÇÃO CONSTANTE
Uma função definida por f: R →R chama-se constante quan-
do existe uma constante b ∈ R tal que f(x) = b para todo x 
∈ R. O gráfico desta função é a reta paralela ao eixo das 
abscissas, passando pelos pontos de ordenadas y = b. 
FUNÇÃO IDENTIDADEFUNÇÃO IDENTIDADE
Uma aplicação f: R →R recebe o nome de função identidade 
quando a cada elemento x ∈ associa o próprio x, ou seja, 
f(x) = x. O gráfico dessa função é uma reta que contém as 
bissetrizes do 1° e 3° quadrantes.
FUNÇÃO LINEARFUNÇÃO LINEAR
Uma função definida por f: R →R chama-se linear quando 
existe uma constante a ∈ R tal que f(x) = ax para todo x ∈ R.
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CAPÍTULO 5 
Função Afim
SINAIS DA FUNÇÃO AFIMSINAIS DA FUNÇÃO AFIM
Estudar os sinais de uma função y = f(x) significa estabele-
cer, para cada x ∈ D(f), qual das sentenças é verdadeira: 
y > 0, y = 0 ou y < 0. Para a função afim, temos dois casos 
a se considerar.
1) CASO A > 0:
Neste caso a função é crescente. Se x0 é raiz da função, 
temos y = f(x0) = 0, vem:
x < x0 ⇒ f(x) < f(x0) ⇒ y < 0
x > x0 ⇒ f(x) > f(x0) ⇒ y > 0
2) CASO A < 0:
Neste caso a função é decrescente. Se x0 é raiz da fun-
ção, temos y = f(x0) = 0, vem:
x < x0 ⇒ f(x) < f(x0) ⇒ y > 0
x > x0 ⇒ f(x) > f(x0) ⇒ y < 0
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 O coeficiente angular da reta que passa pelos 
pontos A = (-1,2) e B = (3,6) é:
a) -1
b) 1/2
c) 2/3
d) 3
e) 1
02 Seja a uma função afim f(x), cuja forma é f(x) = ax 
+ b, com a e b números reais.
Se f(-3) = 3 e f(3) = -1, os valores de a e b, são respectiva-
mente:
a) 2 e 9 .
b) 1 e – 4 .
c) 1/3 e 3/5
d) 2 e – 7.
e) –2/3 e 1.
03 Uma função f, do 1º grau, é definida por f(x) = -2x 
+ m. Sabendo-se que o gráfico de f passa pelo ponto (1, 
-3), pode-se afirmar que o valor de m é:
a) 3
b) 2
c) 1
d) -1
e) -2
04 A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que 
f(-1) = 3 e f(3) = 1, então pode-se afirmar que f(1) é igual a:
a) -0,5
b) 2,5
c) 2
d)-3
05 Seja uma função f do 1.º grau.
Se f(-1) = 3 e f(1) = 1, então o valor de f(3) é:
a) –1.
b) –3.
c) 0.
d) 2.
06 Se f é uma função do primeiro grau tal que f(10) 
= 29 e f(40) = 89, então f(30) é igual a:
a) 39
b) 49
c) 59
d) 69
e) 79
41
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 41Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 41 22/12/2022 08:12:0122/12/2022 08:12:01
CAPÍTULO 5 
Função Afim
07 O custo C de uma corrida de táxi é dado pela função 
linear C(x) = b + mx, em que b é o valor inicial (bandeira-
da), m é o preço pago por quilômetro e x, o número de 
quilômetros percorridos.
Sabendo-se que foram pagos R$ 9,80 por uma corrida de 
4,2 km e que, por uma corrida de 2,6 km, a quantia cobra-
da foi de R$ 7,40, pode-se afirmar que o valor de b + m é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
08 Sejam os gráficos de f(x) = ax + b e g(x) = cx + d. 
Podemos afirmar que:
a) a > 0 e b < 0
b) a < 0 e d > 0
c) b > 0 e d > 0
d) c > 0 e d < 0
09 A quantidade de combustível gasto por um veícu-
lo blindado, por quilômetro rodado, está indicada pelo 
gráfico abaixo. Qual a função que representa o consumo 
C(d) em relação à distância d percorrida?
a) c(d) = 0,75 d.
b) c(d) = 0,25 d.
c) c(d) = 1,75 d.
d) c(d) = 1,25 d.
e) c(d) = 1,20 d.
10 O maior valor inteiro de K que torna crescente a 
função f: R → R, definida por
f(x) = 2 – (3 + 5k)x, é:
a) 1
b) 0
c) -1
d) -2
11 Complete de maneira correta: “O ponto de inter-
secção entre as retas y = 2x + 4 e y = -3x – 1 pertence ao 
_________ quadrante”:
a) 1º
b) 2º
c) 3º
d) 4º
42
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 42Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 42 22/12/2022 08:12:0222/12/2022 08:12:02
CAPÍTULO 5 
Função Afim
12 Considere a função real f (x), cujo gráfico está 
representado na figura, e a função real g(x), definida por 
g(x) = f (x − 1) + 1. O valor de g(-
1
2
) é:
a) -3
b) -2
c) 0
d) 2
e) 3
13 (EEAR) Seja M(a, b) = r ∩ s. O valor de a
b
 é:
a) −
20
21
b) −
21
20
c) 
20
17
d) 
17
20
14 O gráfico de uma função f é o segmento de reta 
que une os pontos (-3,4) e (3,0).
Se f-1 é a função inversa de f, então f-1 (2) é:
a) 2
b) 0
c) −
3
2
d) 
3
2
15 Uma empresa mercante A paga R$ 1000,00 fixos 
mais R$ 600,00 por dia de viagem e uma empresa B R$ 
400,00 fixos mais R$ 800,00 por dia de viagem. Sabe-se 
que Marcos trabalha na empresa A e Cláudio na B e obti-
veram o mesmo valor salarial. Quantos dias eles ficaram 
embarcados?
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
16 Em uma academia de ginástica, o salário mensal 
de um professor é de R$ 800,00. Além disso, ele ganha R$ 
20,00 por mês, por cada aluno inscrito em suas aulas. 
Para receber R$ 2.400,00 por mês, quantos alunos devem 
estar matriculados nas suas aulas?
a) 40.
b) 50.
c) 60.
d) 70.
e) 80.
NÍVEL 2NÍVEL 2
17 No gráfico abaixo, está representada a relação 
que estabelece qual deve ser o preço y, em reais, para 
que sejam vendidas x unidades de determinado produto 
por dia. Qual deve ser o preço, em reais, para que sejam 
vendidas 28 unidades por dia?
a) 2,40
b) 2,00
c) 1,80
d) 1,60
e) 1,40
43
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 43Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 43 22/12/2022 08:12:0722/12/2022 08:12:07
CAPÍTULO 5 
Função Afim
18 Sejam f:R →  R uma função do primeiro grau e g:R 
→  R tais que g(x) = 2x + 3 e (fog)(x) = 8x + 17. Podemos 
afirmar que f(5) é igual a:
a) 20
b) 22
c) 25
d) 30
e) 35
19 Considerando um horizonte de tempo de 10 anos 
a partir de hoje, o valor de uma máquina deprecia linear-
mente com o tempo, isto é, o valor da máquina y em 
função do tempo x é dado por uma função polinomial do 
primeiro grau y = ax + b. Se o valor da máquina daqui a 
dois anos for R$ 6.400,00, e seu valor daqui a cinco anos 
e meio for R$ 4.300,00, seu valor daqui a sete anos será:
a) R$ 3.100,00
b) R$ 3.200,00
c) R$ 3.300,00
d) R$ 3.400,00
e) R$ 3.500,00
20 (EEAR) A função que corresponde ao gráfico a se-
guir é f(x) = ax + b, em que o valor de a é:
a) 3
b) 2
c) -2
d) -1
21 Uma função do 1º grau f:R → R possui o gráfico 
abaixo.
A lei da função f é:
a) ( ) = +f x x
2
3
2
b) ( ) = +f x x 1
c) ( ) = +f x 2x 1
2
d) ( ) = +f x x
2
1
2
22 Em um mês, uma loja de eletrônicos começa a 
obter lucro já na primeira semana. O gráfico representa 
o lucro (L) dessa loja desde o início do mês até o dia 20. 
Mas esse comportamento se estende até o último dia, o 
dia 30. A representação algébrica do lucro (L) em função 
do tempo (t) é:
a) L (t) = 20 t + 3.000
b) L (t) = 20 t + 4.000
c) L (t) = 200 t
d) L (t) = 200 t – 1.000
e) L (t) = 200 t + 3.000
44
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 44Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd44 22/12/2022 08:12:1222/12/2022 08:12:12
CAPÍTULO 5 
Função Afim
23 Considere a função real da forma f(x) = ax + b. Sa-
bendo que f(1) = -1 e f(0) = 2, qual é o valor do produto a . b?
a) 1
b) 6
c) -3
d) -4
e) -6
24 Numa serigrafia, o preço y de cada camiseta rela-
ciona-se com a quantidade x de camisetas encomendadas, 
através da fórmula y = -0,4x + 60. Se forem encomendadas 
50 camisetas, qual é o custo de cada camiseta?
a) R$ 40,00
b) R$ 50,00
c) R$ 70,00
d) R$ 80,00
25 Os pontos de um plano cartesiano de coordenadas 
(2, 2) e (4, -2) pertencem ao gráfico de uma função f: R → 
R , definida por f(x) = ax + b. Qual o valor de a + b?
a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
26 (EEAR) Na função f(x) = mx - 2(m-n), m e n ∈ R. 
Sabendo que f(3) = 4 e f(2) = -2, os valores de m e n são, 
respetivamente?
a) 1 e -1
b) -2 e 3
c) 6 e -1
d) 6 e 3
27 Considere o gráfico a seguir de uma função real 
afim f(x):
A função afim f(x) é dada por:
a) f(x) = -4x + 1
b) f(x) = -0,25x + 1
c) f(x) = -4x + 4
d) f(x) = -0,25x – 3
28 A função linear R(t) = at + b expressa o rendimento 
R, em milhares de reais, de certa aplicação. O tempo t é 
contado em meses, R(1) = -1 e R(2) = 1. Nessas condições, 
o rendimento obtido nessa aplicação, em quatro meses, é:
a) R$ 3.500,00
b) R$ 4.500,00
c) R$ 5.000,00
d) R$ 5.500,00
29 Seja a uma função afim f(x), cuja forma é f(x) = ax 
+ b, com a e b números reais. Se f(-3) = 3 e f(3) = -1, os 
valores de a e b , são respectivamente:
a) 2 e 9
b) 1 e -4
c) 
1
3
 e 
3
5
d) 2 e -7
e) −
2
3
 e 1
45
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 45Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 45 22/12/2022 08:12:1722/12/2022 08:12:17
CAPÍTULO 5 
Função Afim
30 O gráfico representa a função real definida por 
f(x) = ax + b. O valor de a + b é igual a:
a) 0,5.
b) 1,0.
c) 1,5.
d) 2,0.
31 A função f(x) = ax + b é estritamente decrescente. 
Sabe-se que f(a) = 2b e f(b) = 2a. O valor de f(3) é:
a) 2.
b) 4.
c) -2.
d) 0.
e) -1.
32 (EsPCEx) Na figura abaixo está representado o 
gráfico de uma função real do 1º grau f(x). A expressão 
algébrica que define a função inversa de f(x) é:
a) = +y
x
2
1
b) = +y x
1
2
c) y = 2x - 2
d) y = -2x + 2
e) y = 2x + 2
NÍVEL 3NÍVEL 3
33 Os gráficos das funções f(x) = 2, g(x) = 2x – 4 e h(x) 
= -x + 2 delimitam uma região do plano cartesiano, cuja 
área, em unidades de área, é:
a) 6
b) 2
c) 3
d) 4
34 (EsPCEx) Considere a função real f(x), cujo gráfico 
está representado na figura, e a função real g(x), definida 
por g(x) = f(x – 1) + 1. O valor de −





g
1
2
 é:
a) -3
b) -2
c) 0
d) 2
e) 3
35 A função f: IR → IR é definida por f(x) = ax + b. Se 
f(-2) = -7 e f(1) = 2, então a2 – b2 é igual a:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
36 O gráfico de uma função polinomial do primeiro 
grau passa pelos pontos de coordenadas (x, y) dados 
abaixo. Podemos concluir que o valor de k + m é:
x y
0 5
46
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 46Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 46 22/12/2022 08:12:2122/12/2022 08:12:21
CAPÍTULO 5 
Função Afim
m 8
6 14
7 k
a) 15,5
b) 16,5
c) 17,5
d) 18,5
e) 19,5
37 Na figura, considere os gráficos das funções 
f(x) = ax + b e g(x) = mx + n.
Se =





P
7
4
, 1
2
, o valor de 
+
⋅
a n
b m
 é:
a) 3
b) 2
c) 6
d) 5
e) 1
38 Uma empresa concessionária de telefonia móvel 
oferece as seguintes opções de contratos:
X: R$ 60,00 pela assinatura mensal e mais R$ 0,30 por 
minuto de conversação;
Y: R$ 40,00 pela assinatura mensal e mais R$ 0,80 por 
minuto de conversação.
Nessas condições, a partir de quantos minutos de con-
versação em um mês, a opção pelo contrato X se torna 
mais vantajosa do que a opção por Y?
a) 20
b) 25
c) 40
d) 45
e) 60
39 O valor de uma máquina decresce linearmente 
com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje 
vale 10.000 dólares, e daqui a 5 anos 1.000 dólares, o seu 
valor em dólares, daqui a 3 anos, será:
a) 3600
b) 4200
c) 4600
d) 5000
40 (EsPCEx) Dada uma função do 1° grau f: R → R, tal 
que f(x) = ax + b; a ≠ 0; a, b ∈R. A função f é decrescente 
e seu gráfico corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 4). 
Sabendo que a região delimitada pelos eixos ordenados e 
a representação gráfica de f tem área igual a 20 unidades 
de área, a soma de a + b é igual a:
a) – 2/5
b) 0
c) 12/5
d) 16/5
e) 18/5
GABARITOGABARITO
01. E 02. E 03. D 04. C 05. A 06. D
07. B 08. D 09. A 10. C 11. B 12. D
13. B 14. B 15. B 16. E 17. E 18. C
19. D 20. C 21. D 22. D 23. E 24. A
25. C 26. C 27. B 28. C 29. E 30. C
31. C 32. C 33. C 34. D 35. B 36. C
37. E 38. C 39. C 40. E
47
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 47Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 47 22/12/2022 08:12:3222/12/2022 08:12:32
FUNÇÃO 
QUADRÁTICA
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2° GRAUFUNÇÃO POLINOMIAL DO 2° GRAU
Uma função do 2º grau é definida pela seguinte lei de for-
mação
f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c, onde a, b e c são nú-
meros reais com a ≠ 0. Sua representação no plano cartesiano 
é uma parábola que, de acordo com o valor do coeficiente 
a, possui concavidade voltada para cima ou para baixo.
O gráfico da função quadrática é uma parábola. Essa pa-
rábola representativa pode ter concavidade voltada para 
“cima” ou voltada para “baixo”. Se a > 0, a concavidade da 
parábola está voltada para cima. Entretanto, se a < 0, a 
concavidade da parábola está voltada para baixo.
VÉRTICEVÉRTICE
O ponto V 
− − ∆





b
2a
,
4a
 é chamado vértice da parábola 
representativa da função quadrática. Quando a parábola 
tiver a concavidade voltada para cima, o vértice será o ponto 
mínimo da função; em contrapartida, quando a concavida-
de da parábola estiver voltada para baixo, o vértice será o 
ponto máximo da função.
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 48Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 48 22/12/2022 08:12:3322/12/2022 08:12:33
CAPÍTULO 6 
Função Quadrática
FUNÇÃO 
QUADRÁTICA
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2° GRAUFUNÇÃO POLINOMIAL DO 2° GRAU
Uma função do 2º grau é definida pela seguinte lei de for-
mação
f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c, onde a, b e c são nú-
meros reais com a ≠ 0. Sua representação no plano cartesiano 
é uma parábola que, de acordo com o valor do coeficiente 
a, possui concavidade voltada para cima ou para baixo.
O gráfico da função quadrática é uma parábola. Essa pa-
rábola representativa pode ter concavidade voltada para 
“cima” ou voltada para “baixo”. Se a > 0, a concavidade da 
parábola está voltada para cima. Entretanto, se a < 0, a 
concavidade da parábola está voltada para baixo.
VÉRTICEVÉRTICE
O ponto V 
− − ∆





b
2a
,
4a
 é chamado vértice da parábola 
representativa da função quadrática. Quando a parábola 
tiver a concavidade voltada para cima, o vértice será o ponto 
mínimo da função; em contrapartida, quando a concavida-
de da parábola estiver voltada para baixo, o vértice será o 
ponto máximo da função.
RAÍZES E SINAIS DA FUNÇÃO RAÍZES E SINAIS DA FUNÇÃO 
QUADRÁTICAQUADRÁTICA
Para encontrar as raízes da função
f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0, devemos resolver a equação do 2° 
grau: ax² + bx + c = 0.
Sendo Δ = b² - 4ac os seguintes casos podem ocorrer:
1° caso: Δ > 0 ⇒ há duas raízes reais distintas x’ e x’’.
2° caso: Δ = 0 ⇒ há duas raízes reais iguais x’ = x’’.
3° caso: Δ < 0 ⇒ não há raízes reais.
CONSTRUÇÃO DO GRÁFICOCONSTRUÇÃO DO GRÁFICO
Em primeiro lugar, a parábola sempre passa pelo ponto 
(0, c). Posteriormente, é conveniente encontrar o vértice 
da parábola que é o ponto V 
− − ∆





b
2a
,
4a
. Com esses dois 
pontos temos condição suficiente para fazer o esboço da 
parábola.
Porém, caso existam raízes ( ∆ ≥ 0 ), encontramos fa-
zendo f(x) = 0 e resolvendo a equação o segundo grau 
ax² + bx + c = 0.
49
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd49Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 49 22/12/2022 08:12:3822/12/2022 08:12:38
CAPÍTULO 6 
Função Quadrática
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 O número de pontos de intersecção das duas pa-
rábolas y = x2 e y = 2x2 − 1 é:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
02 A soma e o produto das raízes de uma função do 
2° grau são, respectivamente, 6 e 5. Se o valor mínimo 
dessa função é - 4, então seu vértice é o ponto:
a) (3, -4)
b) (11/2, -4)
c) (0, -4)
d) (-4; 3)
e) (-4, 6)
03 A função do 2º grau que descreve o gráfico abaixo 
é:
a) f(x) = x2 – x + 6
b) f(x) = x2 + 5x – 6
c) f(x) = -x2 – 5x + 6
d) f(x) = x2 – 5x + 6
04 Dadas às funções f(x) = 2x2 + 2x - 4 e g(x) = 12x2 + 
12x - 24, analise as afirmações a seguir:
I. O gráfico de f tem concavidade voltada para cima e o 
gráfico de g tem concavidade voltada para baixo;
II. A função f tem raízes e vértice iguais às raízes e vértice 
da função g;
III. A função f tem raízes iguais às raízes de g porém os 
vértices das duas funções são diferentes.
Com base nas informações anteriores responda:
a) Apenas I é verdadeira;
b) Apenas II é verdadeira;
c) Apenas III é verdadeira;
d) I e II são verdadeiras;
e) I e III são verdadeiras.
05 Analisando a função quadrática f(x) = x2 – 8x + 12, 
podemos afirmar que seu valor mínimo é:
a) 12
b) 4
c) 0
d) -4
e) -12
06 Um engenheiro vai projetar uma piscina, em forma 
de paralelepípedo reto-retângulo, cujas medidas internas 
são, em m, expressas por x, 20 - x, e 2. O maior volume 
que esta piscina poderá ter, em m3, é igual a:
a) 240
b) 220
c) 200
d) 150
e) 100
07 Usando uma unidade monetária conveniente, 
o lucro obtido com a venda de uma unidade de certo 
produto é x – 10, sendo x o preço de venda e 10 o preço 
de custo. A quantidade vendida, a cada mês, depende do 
preço de venda e é, aproximadamente, igual a 70 – x. Nas 
condições dadas, o lucro mensal obtido com a venda do 
produto é, aproximadamente, uma função quadrática 
de x, cujo valor máximo, na unidade monetária usada, é:
a) 1200
50
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 50Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 50 22/12/2022 08:12:4022/12/2022 08:12:40
CAPÍTULO 6 
Função Quadrática
b) 1000
c) 900
d) 800
e) 600
08 Em uma fábrica, o custo de produção de x produtos 
é dado por c(x) = – x2 + 22x + 1. Sabendo-se que cada pro-
duto é vendido por R$ 10,00, o número de produtos que 
devem ser vendidos para se ter um lucro de R$ 44,00 é:
a) 3
b) 10
c) 12
d) 13
e) 15
09 O gráfico da função quadrática definida por y = 
x2 – mx + (m – 1), onde m Є R, tem um único ponto em 
comum com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que 
essa função associa a x = 2 é:
a) –2.
b) –1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
10 O gráfico da função y = ax2 + bx + c é a parábola da 
figura a seguir. Os valores de a, b e c são, respectivamente:
a) 1, - 6 e 0
b) - 5, 30 e 0
c) - 1, 3 e 0
d) - 1, 6 e 0
11 Uma função quadrática é tal que seu gráfico inter-
cepta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada -35, 
suas raízes têm soma igual a 6 e o produto igual a 7. O 
valor máximo dessa função é:
a) 10
b) -5
c) 100
d) -35
e) 20
12 Se a função real de variável real, definida por f(x) 
= ax2 + bx + c, é tal que f(1) = 2, f(2) = 5 e f(3) = 4, então o 
valor de f(4) é:
a) 2.
b) -1.
c) 1.
d) -2.
13 Seja f: [0, 5]  → R uma função real tal que 
f(x) = (x – 1)(x – 3). O conjunto imagem dessa função é:
a) [–1, +∞[
b) [–1, 8]
c) [3, 5]
d) ]– ∞, –1]
14 (EEAR) Seja a função quadrática f(x) = ax2 + bx + 1. 
Se f(1) = 0 e f (-1) = 6, então o valor de a é:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
NÍVEL 2NÍVEL 2
15 Se f(x) = ax2 + bx + c é tal que f(2) = 8, f(3) = 15 e 
f(4) = 26, então a + b + c é igual a:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 1
e) 6
51
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 51Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 51 22/12/2022 08:12:4222/12/2022 08:12:42
CAPÍTULO 6 
Função Quadrática
16 A função quadrática cujo gráfico contém os pontos 
(0, -9), (1, 0) e (2, 15) tem vértice em:
a) (-2, -13)
b) (1, 0)
c) (0, -9)
d) (2, 15)
e) (-1, -12)
17 (EEAR) Seja a função f(x) = 2x2 + 8x + 5. Se P (a, b) é 
o vértice do gráfico de f , então |a + b| é igual a:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
18 A soma dos quadrados das coordenadas do vértice 
da parábola de equação y = x2 – 6x + 8 é igual a:
a) 10
b) 20
c) 2
d) 36
e) 14
19 O diretor de uma orquestra percebeu que, com o 
ingresso a R$ 9,00 em média 300 pessoas assistem aos 
concertos e que, para cada redução de R$1,00 no preço 
dos ingressos, o público aumenta de 100 espectadores. 
Qual deve ser o preço para que a receita seja máxima?
a) R$ 9,00
b) R$ 8,00
c) R$ 7,00
d) R$ 6,00
20 Considerando a função f:R – [-1, 1[ → R dada por 
f(x) = x2 – 1, a imagem é dada pelo intervalo:
a) [1, +∞[
b) [0, +∞[
c) ]- ∞, 0]
d) ]- ∞, -1]
21 No plano cartesiano estão representados os grá-
ficos das funções reais f(x) = x2 – 6x + 5 e g(x) = x – 1. O 
ponto A , uma das interseções dos gráficos, é:
a) (5,3)
b) (5,4)
c) (6,5)
d) (6,7)
22 Sejam as funções f(x) = x2 – 6x e g(x) = 2x – 12. 
O produto dos valores inteiros de x que satisfazem a 
desigualdade f(x) < g(x) é:
a) 8
b) 12
c) 60
d) 72
e) 120
23 O gráfico da função quadrática definida por f(x) = 
4x2 + 5x + 1 é uma parábola de vértice V e intercepta o eixo 
das abscissas nos pontos A e B. A área do triângulo AVB é:
a) 27/8
b) 27/16
c) 27/32
d) 27/64
e) 27/128
52
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 52Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 52 22/12/2022 08:12:4622/12/2022 08:12:46
CAPÍTULO 6 
Função Quadrática
24 A função real representada pelo gráfico é definida 
por:
a) f(x) = 2x2 – x – 1.
b) f(x) = 2x2 + 3x – 1.
c) f(x) = x2 – 3x + 1.
d) f(x) = 2x2 – 3x + 1.
25 Considere as funções f e g tais que f(x) = 4x – 2x2 –1 
e g(x) = 3 – 2x. A soma dos valores de f(x) que satisfazem 
a igualdade f(x) = g(x) é:
a) –4.
b) –2.
c) 0.
d) 3.
e) 4.
26 A parábola de equação y = x2 – x + 1 intercepta a 
reta de equação y = x + 4 nos pontos A e B. O comprimento 
do segmento AB é igual a:
a) 4 2
b) 5
c) 5 2
d) 4
e) 3 2
27 Deseja-se construir um galpão com base retangu-
lar de perímetro igual a 100 m . A área máxima possível 
desse retângulo é:
a) 575 m2
b) 600 m2
c) 625 m2
d) 650 m2
e) 675 m2
28 O gráfico do polinômio de coeficientes reais p(x) 
= ax2 + bx + c está representado a seguir. Com base nos 
dados desse gráfico, é correto afirmar que os coeficientes 
a, b e c satisfazem as desigualdades:
a) a > 0; b < 0; c < 0
b) a > 0; b < 0; c < 0
c) a > 0; b > 0; c > 0
d) a > 0; b > 0; c < 0
e) a < 0; b < 0; c < 0
NÍVEL 3NÍVEL 3
29 O valor de m, que torna o trinômio f(x) = mx2 + 
(m - 1)x + (m - 1) sempre negativo, é:
a) {m ∈ IR | m < -1}
b) {m ∈ IR | m < -1/3}
c) {m ∈ IR | m > 1}
d) {m ∈ IR | m < -1/3 ou m > 1}
e) {m ∈ IR | m ≤ 1}
30 Se 2x2 - ax + 2a > 0, qualquer que seja x ∈ IR, o 
maior valor inteiro que a pode assumir é:
a) 15
b) 16
c) 18
d) 20
e) 22
53
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 53Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 53 22/12/2022 08:12:4922/12/2022 08:12:49
CAPÍTULO 6 
Função Quadrática
31 Determine m para que uma das raízes da equação 
x2 + 2mx + m + 5 = 0 seja o dobro da outra:
a) m = 3 ou m = −15/8
b) m = -3 ou m = 15/8
c) m = 3 ou m = −15
d) m = -3 ou m = 15/4
32 Determine o valor de k na equação x2 + (k −2)x + 
k2 −4 = 0 para que a mesma tenha apenas uma raiz nula:
a) 2
b) 0
c) -2
d) 4
e) -4
33 Na figura a seguir tem-se um quadrado inscrito 
em outro quadrado. Pode-se calcular a área do quadrado 
interno, subtraindo-se da área do quadrado externo as 
áreas dos 4 triângulos. Feito isso, verifica-se que A é uma 
função da medida x. O valor mínimo de A é:
a) 16 cm2
b) 24 cm2
c) 28 cm2
d) 32 cm2
e) 48 cm2
34 O gráfico da função quadrática definida por y = 
x2 – mx + (m - 1), ondem Є R, tem um único ponto em 
comum com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que 
essa função associa a x = 2 é:
a) - 2.
b) - 1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
35 A temperatura T de aquecimento de um forno em 
ºC, varia com o tempo t, em minutos, segundo a função 
abaixo:
( ) = + ≤
+ + >




T t
20 28t,se t 10
t 5t 150,se t 102
O tempo necessário para que a temperatura do forno 
passe 160 ºC para 564 ºC é:
a) 5 minutos
b) 12 minutos
c) 13 minutos
d) 18 minutos
e) 23 minutos
GABARITOGABARITO
01. C 02. A 03. D 04. C 05. D 06. C
07. C 08. E 09. D 10. D 11. A 12. B
13. B 14. D 15. A 16. E 17. A 18. A
19. D 20. B 21. C 22. C 23. E 24. D
25. C 26. A 27. C 28. A 29. B 30. A
31. A 32. A 33. D 34. D 35. C
54
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 54Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 54 22/12/2022 08:13:0022/12/2022 08:13:00
CAPÍTULO 7 
Função Exponencial
FUNÇÃO 
EXPONENCIAL
POTENCIAÇÃO/RADICIAÇÃOPOTENCIAÇÃO/RADICIAÇÃO
Sendo dados um número real a e um número natural n, 
com n ≥ 2, chama-se potência de base a e expoente n o 
número an que é produto de n fatores iguais a a.
an = a.a.a.a.a … a (n fatores)
Definição especial: Sendo dado um número real a, conven-
cionamos que a¹=a e que, sendo a ≠ 0, a0 = 1.
PROPRIEDADES:
Sendo a e b reais e x e y naturais, valem as seguintes pro-
priedades:
I) ax.ay = ax+y
II) 
a
a
x
y = a
x – y (a ≠ 0 e x ≥ y)
III) (ax)y = axy
IV) 






a
b
x
 = 
a
b
x
x
 (b ≠ 0)
V) (a.b)x = ax.bx
POTÊNCIA DE EXPOENTE INTEIRO POTÊNCIA DE EXPOENTE INTEIRO 
NEGATIVONEGATIVO
Dados um número real a, não nulo, e um número x natural, 
chama-se potência de base a e expoente –x o número a-x.
=−a 1
a
x
x
OBS1: Com essa definição para potência de expoente inteiro 
negativo, todas as cinco propriedades enunciadas há pouco 
continuam válidas para quaisquer expoentes x e y inteiros 
(positivos ou negativos).
RAIZ N-ÉSIMA (ENÉSIMA) RAIZ N-ÉSIMA (ENÉSIMA) 
ARITMÉTICAARITMÉTICA
Dados um número real não negativo a e um número natural 
n, n ≥ 1, chama-se raiz enésima aritmética de a o número 
real e não negativo b tal que bn = a.
O símbolo an , chamado radical, indica a raiz enésima 
aritmética de a. Nele, a é chamado radicando, e n, índice.
an = b ⇔ b > 0 e bn = a
PROPRIEDADES:
Sendo a e b reais não negativos, m inteiro e n e p naturais 
não nulos, valem as seguintes propriedades:
I) amn = ap.m
p.n
II) a.bn = an . bn
III) 
a
b
n = 
a
b
n
n
 (b≠0)
IV) ( )an m = amn
V) an
p
= a
pn
POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONALPOTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL
Dados um número real a (positivo), um número inteiro p e 
um número natural q (q ≥ 1), chama-se potência de base a 
e expoente 
p
q
 a raiz q-ésima aritmética de ap.
=a a
p
q pq
OBS2: As cinco propriedades enunciadas para potências 
de expoente natural continuam válidas para expoentes 
racionais.
EQUAÇÃO EXPONENCIALEQUAÇÃO EXPONENCIAL
Uma equação exponencial é aquela que apresenta a incóg-
nita no expoente de pelo menos uma potência.
São exponenciais, por exemplo, as equações 4x = 8, 9x – 3x 
= 72.
Um método para resolver equações exponenciais consiste 
em reduzir ambos os membros da equação a potências 
de mesma base a (0 < a ≠ 1) e, daí, aplicar a propriedade:
ax = ay ⇒ x = y
Quando isso é possível, a equação exponencial é facilmente 
resolvida.
Exemplo: 3x=81
55
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 55Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 55 22/12/2022 08:13:1422/12/2022 08:13:14
CAPÍTULO 7 
Função Exponencial
SOLUÇÃO:
Como 81=34, podemos escrever 3x = 34. E daí, x=4.
INEQUAÇÃO EXPONENCIALINEQUAÇÃO EXPONENCIAL
Uma inequação é aquela que apresenta a incógnita no 
expoente de pelo menos uma potência.
São exponenciais, por exemplo, as inequações 4x < 8, 9x 
– 3x ≤ 72.
Um método usado para resolver inequações exponenciais 
consiste em reduzir ambos os membros da inequação 
a potências de mesma base a (0 < a ≠ 1), e daí aplicar a 
propriedade:
ax < ay ⇒ x < y (se a > 1)
ax > ay ⇒ x >y (se 0 < a < 1)
FUNÇÃO EXPONENCIALFUNÇÃO EXPONENCIAL
Chama-se função exponencial qualquer função f de R em R 
dada por uma lei da forma f(x) = ax, em que a é um número 
real dado, a>0 e a ≠ 1.
PROPRIEDADES:
I) Na função exponencial y = ax, temos: x = 0 ⇒ y = a0 = 1. 
Ou seja, o par ordenado (0,1) satisfaz a lei y = ax para todo 
a (a > 0 e a ≠ 1). Isso quer dizer que o gráfico da função y = 
ax corta o eixo dos y no ponto de ordenada 1.
II) Se a > 1, então a função f(x) = ax é crescente. Portanto, 
dados os reais x1 e x2, temos:
Se x1 < x2, então a
x
1 < a
x
2 (sinais iguais)
São crescentes, por exemplo, as funções exponenciais 
f(x) = 2x, f(x) = 3x, f(x) =






3
2
x
, f(x) = (1,2)x e f(x) = ex.
III) Se 0<a<1, então a função f(x) = ax é decrescente. Portanto, 
dados os reais x1 e x2, temos:
Se x1 < x2, então a
x1 > ax2 (sinais opostos)
São decrescentes, por exemplo, as funções exponenciais 
f(x) = 






1
2
x
, f(x) = 






1
3
x
, f(x) = 






3
4
x
e f(x) = (0,1)x.
GRÁFICO DA FUNÇÃO GRÁFICO DA FUNÇÃO 
EXPONENCIALEXPONENCIAL
Para todo a > 0 e todo x real, temos ax > 0; portanto, o 
gráfico da função y = ax está sempre acima do eixo dos x.
Se a >1, então ax aproxima-se de zero quando x assume 
valores negativos cada vez menores. Se 0 < a < 1, então ax 
aproxima-se de zero quando x assume valores positivos 
cada vez maiores. Tudo isso pode ser resumido dizendo-se 
que o conjunto imagem da função exponencial y = ax é Im 
= {y Є R | y > 0} = R*+.
I) Se a > 1
II) Se 0 < a < 1
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 Se m e n são números reais tais que
5m = a e 5n = b, então (0,2)(2m – 3n) é igual a:
a) 3b/2a
b) 6ab
c) b³a²
d) b³/a²
e) 3a/2b
56
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 56Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 56 22/12/2022 08:13:2022/12/2022 08:13:20
CAPÍTULO 7 
Função Exponencial
02 Se =−2 2 2
8 2
x 1
3
4
, então x é igual a:
a) 3
b) –7/12
c) –43/12
d) 5/4
e) –19/12
03 Uma solução para a equação






( ) ( )+
−
2
x 43
x 2
 = 1 é dada pelo conjunto:
a) { -2, 1}
b) {0, 2}
c) {- 4, 2}
d) {-4, 1}
e) {0}
04 A solução da equação 3 . 9x + 7.3x – 10 = 0 é:
a) –10/3
b) 0
c) 1
d) 3
05 Seja uma função definida por
f(x) = (x+1).mx-1. Se f(2) = 6, então m é igual a:
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
06 O conjunto solução de ( )+ −19 x 2x 32 = 1 é:
a) {2, 4, 5}
b) {1, - 3}
c) {1, -2, 4}
d) {1, - 2}
e) {-3, 4, -5}
07 A soma das raízes da equação
3x + 31 – x = 4 é:
a) 2
b) – 2
c) 0
d) – 1
e) 1
08 A soma e o produto das raízes da equação 





 =
− −
9. 3
5
243
125
x x 92
 são, respectivamente:
a) 1 e – 12
b) 7 e 12
c) – 2 e – 8
d) – 1 e 12
e) 7 e 10
09 As raízes da equação ( )+− 3 2x 1x 1 = 3 (3x – 1) é dada pelo 
conjunto S igual a:
a) s = {0; 2}
b) s = {3; 6}
c) s = {0; 3}
d) s = {6}
e) s = {2}
10 Considere a função exponencial f:R →R, definida 
por f(x) = 27x. Quanto vale f(0,666...)?
a) 9
b) 16
c) 6
d) 18
e) 3
11 Considere a função real de variável real f(x) = 2x-1. 
Com relação à f(x), é correto afirmar que:
a) se x < 1, então f(x) < 0.
b) se x > 1, então f(x) < 1.
c) a função f(x) é decrescente para x < 0 e crescente para 
x > 0.
57
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 57Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 57 22/12/2022 08:13:2622/12/2022 08:13:26
CAPÍTULO 7 
Função Exponencial
d) os valores das imagens de f(x):A →R, em que A = {x Є 
N|x > 0}, formam uma progressão aritmética.
e) os valores das imagens de f(x):A →R, em que A = {x Є 
N|x > 0}, formam uma progressão geométrica.
12 A soma das raízes da equação
(4x)2x-1 = 64 igual a:
a) −
1
2
b) -1
c) 
1
2
d) 1
e) 
5
2
13 Se 3m = a e 3n = b, a > 0 e b > 0, então o valor de 
−
3
m 2n
2 é igual a:
a) −a b
b) +
a
2
b
c) −
a
2
b
d) 
a
b
e) 
−a b
2
14 A diferença entre o maior e o menor valor de x, 
na equação exponencial = ( )+ −








− +
25 1
125
x
2
4x 15
3x 6
2
 é igual a:
a) 1
b) 7
c) 
1
2
d) 
7
2
15 Quanto vale a soma de todas as soluções reais da 
equação abaixo? (5x)2 – 26.5x+25=0
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
16 Se x e y são tais que =
+ =




+2 16
5x 7y 8
,
3x 4y
 então
x2 + y2 é igual a:
a) 0.
b) 32.
c) 320.
d) 832.
e) 9.536.
17 O triplo da solução da equação − =−4
2
2
3
4
3
x
2 x 1
 é 
igual a:
a) 3
b) 6
c) 9
d) 12
NÍVEL 2NÍVEL 2
18 Os técnicos de um laboratório observaram que 
uma população de certo tipo de bactérias cresce segundo 
a função B(t) = 109 . 43t com “t” sendo medido em horas. 
Qual o tempo necessário para que ocorra uma reprodução 
de 6,4 . 1010 bactérias?
a) 1h
b) 3h
c) 4h
d) 6h
e) 16h
19 A análise de uma aplicação financeira ao longo do 
tempo mostrou que a expressão V(t) = 1000.20,0625.t fornece 
uma boa aproximação do valor V (em reais) em função 
do tempo t (em anos), desde o início da aplicação. Depois 
de quantos anos o valor inicialmente investido dobrará?
a) 8.
b) 12.
c) 16.
58
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 58Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 58 22/12/2022 08:13:3522/12/2022 08:13:35
CAPÍTULO 7 
Função Exponencial
d) 24.
e) 32.
20 Se (4x)2 = 16.2x , o valor de xx é:
a) 27
b) 4
c) 
1
4
d) 1
e) −
1
27
21 O conjunto solução da equação = + −64 16x x 2x 22 2 é 
o conjunto:
a) S = {2}.
b) S = {4}.
c) S = {–2, 2}.
d) S = {2, 4}.
22 O produto das raízes da equação exponencial 3 
. 9x – 10 . 3x+3 = 0, é igual a:
a) –2.
b) –1.
c) 0.
d) 1.
23 (EsPCEx) O conjunto solução do sistema
⋅ =
+ =





3 27 9
y 2
3
xy 0
x y
3 2 é formado por dois pontos,
cuja localização no plano cartesiano é:
a) Ambos no primeiro quadrante.
b) Um no quarto quadrante e o outro no eixo X.
c) Um no segundo quadrante e o outro no terceiro qua-
drante.
d) Um no terceiro quadrante e o outro no eixo Y.
e) Um no segundo quadrante e o outro no eixo X.
24 A equação =−2 1
1024
x 142 tem duas soluções reais. 
A soma das duas soluções é:
a) –5
b) 0
c) 2
d) 14
e) 1024
25 O valor de x na equação 







=
−
3
9
1
27
2x 2
:
a) tal que 2 < x < 3.
b) negativo.
c) tal que 0 < x < 1.
d) múltiplo de 2.
e) 3.
26 A raiz da equação (5x - 5 3 ) (5x + 5 3 ) = 50 é:
a) −
2
3
b) −
3
2
c) 
3
2
d) 
2
3
e) 
1
2
27 A solução da equação 27 2x - 1 = (3√3)x é um ele-
mento de:
a) {x ; -2 < x < -1}
b) {x ; -1 < x < 0}
c) {x ; 0 < x < 1}
d) {x ; 1 < x < 2}
e) {x ; x > 2}
28 O conjunto solução da equação
[ ( 7)x ] x + 1 = 1 pertence ao intervalo:
a) ] -1; 0 ]
b) [ -1; 0 [
c) ] -1; 0 [
d) [ -1; 0 ]
59
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 59Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 59 22/12/2022 08:13:4522/12/2022 08:13:45
CAPÍTULO 7 
Função Exponencial
29 A soma das raízes da equação
4x+ 1 - 9 . 2x + 2 = 0 é:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
30 Dado o sistema: =
=



+
−
2 8
9 3
x y 1
y x 9
, pode-se
dizer que x + y é igual a:
a) 18
b) - 21
c) 27
d) 3
e) - 9
31 O domínio da função ( ) =
−− −
f x 1
3 1
9
x 2
 é:
a) R*_
b) R_
c) R
d) R*+
32 A raiz da equação (7x - 2√10)(7x + 2√10) = 9 é um 
número:
a) irracional positivo.
b) inteiro negativo.
c) real negativo.
d) inteiro positivo.
33 A solução da inequação exponencial





 ≥






+
1
5
1
125
x 2 x2
 é:
a) {x Є R | 0 < X < 1}
b) {x Є R | 1 < x < 2}
c) {x Є R | 0 < x < 2}
d) {x Є R | x < 1 ou x > 2}
34 O conjunto solução da desigualdade





 <
−
1
2
1
4
x 22
 é:
a) {x Є R | 0 < x < 2}
b) {x Є R | -2 < x < 2}
c) {x Є R | x < 0 ou > 2}
d) {x Є R | x < -2 ou x > 2}
NÍVEL 3NÍVEL 3
35 (EsPCEx) As raízes inteiras da equação 23x – 7 . 2x 
+ 6 = 0 são:
a) 0 e 1.
b) -3 e 1.
c) -3, 1 e 2.
d) -3, 0 e 1.
e) 0, 1 e 2.
36 A soma e o produto das raízes da equação (2x+6)x
–6x+5 = 1 são, respectivamente:
a) – 5 e 6
b) 11 e 30
c) 0 e – 30
d) 0 e – 6
37 O conjunto solução da equação exponencial 4x 
– 2x = 56 é:
a) {–7, 8}
b) {3, 8}
c) {3}
d) {2, 3}
38 Os valores de x, x Є R, que satisfazem as condições 






1
5
x2
< 5-4x e x2 < 5 são:
a) x < -√5 ou x > √5
b) -√5 < x < √5
c) 0 < x < 4
60
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 60Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 60 22/12/2022 08:13:5122/12/2022 08:13:51
CAPÍTULO 7 
Função Exponencial
d) x < 0 ou x > 4
e) -√5 < x < 0
39 (EEAR) A desigualdade 




 >






−
1
2
1
4
3x 5 x
 tem como 
conjunto solução:
a) s = {x Є R | x > 1}
b) s = {x Є R | x < 5}
c) s = {x Є R | x > 5}
d) s = {x Є R | 1 < x < 5}
40 O conjunto solução da inequação
( )




 − ≥
−
+
−1
7
7 7 0
x
x 4
x 1
2x 1
3
2
 é:
a) [-2, -1]
b) [0, 1]
c) ]-∞, -2] U [-1, 0] U [1, +∞[
d) [0, +∞[
e) [-2, -1] U [0, 1]
41 O Conjunto solução da inequação




( )−
+
2
x 23
x 3
> (4)x é:
a) s = {x Є R | -1 < x < 6}
b) s = {x Є R | x < -6 ou x > 1}
c) s = {x Є R | x < -1 ou x > 6}
d) s = {x Є R | -6 < x < 1}
e) s = {x Є R | x < -√6 ou x > -√6}
GABARITOGABARITO
01. D 02. E 03. C 04. B 05. C 06. B
07. E 08. A 09. E 10. A 11. E 12. C
13. D 14. B 15. C 16. B 17. B 18. A
19. C 20. B 21. A 22. B 23. E 24. B
25. D 26. C 27. C 28. D 29. B 30. C
31. A 32. D 33. B 34. D 35. A 36. C
37. C 38. E 39. B 40. E 41. C
61
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 61Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 61 22/12/2022 08:14:0222/12/2022 08:14:02
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CAPÍTULO 8 
Função Logarítmica
FUNÇÃO 
LOGARÍTMICA
LOGARITMOLOGARITMO
Sendo a e b números reais e positivos, com 0<a≠1 e b > 0, 
chama-se logaritmo de b na base a o expoente x ao qual 
se deve elevar a base a de modo que a potência ax seja 
igual a b.
logab = x ⇔ ax = b
Nessa expressão, temos:
 » a é a base do logaritmo;
 » b é o logaritmando;
 » x é o logaritmo.
PROPRIEDADESPROPRIEDADES
Em consequência da definição de logaritmo e observando 
que a base deve ser positiva e diferente de 1, temos:
I) loga 1 = 0, pois a
0 = 1
II) loga a = 1, pois a
1 = a
III) loga a
m = m, pois am = am
IV) loga
m a = 
1
m
, pois ( ) =am
1
m a
V) alog ba = b, pois se ax = b ⇔ x = loga b
PROPRIEDADES OPERATÓRIASPROPRIEDADES OPERATÓRIAS
Existem três propriedades operatórias envolvendo loga-
ritmos:
I) loga (b.c) = loga b + loga c
II) loga 






b
c
 = loga b – loga c
III) loga b
r = rloga b
IV) =log b
1
r
log b
a ar
V) =a blog ba
COLOGARITMOCOLOGARITMO
O número -loga b (oposto do logaritmo de b na base a) é 
também denominado cologaritmo de b na base a. Ele é 
indicado por cologa b. Então:
cologa b = -loga b
MUDANÇA DE BASEMUDANÇA DE BASE
Para aplicarmos as propriedades operatórias, os logaritmos 
devem estar todos na mesma base. Então, se quisermos 
mudar uma base a para uma base c, por exemplo, temos:
=log b
log b
log aa
c
c
LOGARITMO DECIMALLOGARITMO DECIMAL
Quando a base é igual a 10 costumamos representar o 
logaritmo sem indicar o valor da base. Assim, logb repre-
senta o logaritmo de b na base 10.
Log b = log10 b
LOGARITMO NEPERIANOLOGARITMO NEPERIANO
Os logaritmos na base e (e ≅ 2,71) são também chamados 
de logaritmos naturais ou logaritmos neperianos. Costu-
mamos representá-los pelo símbolo ln, não escrevendo a 
base. Assim, lnb representa o logaritmo neperiano de b.
Ln b = loge b
EQUAÇÕES LOGARÍTMICASEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Usando as equivalências, válidas para a > 0 e a ≠ 1:
I) logaf(x) = k ⇔ f(x) = ak
II) loga f(x) = logag(x) ⇔ f(x) = g(x)
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CAPÍTULO 8 
Função Logarítmica
INEQUAÇÕES LOGARÍTMICASINEQUAÇÕES LOGARÍTMICASÉ toda inequação cuja incógnita está no logaritmando, na 
base ou em ambos. Convém destacar que:
Se a > 1:
I) loga f(x) > k ⇔ f(x) > ak
II) loga f(x) < k ⇔ 0 < f(x) < ak
III) loga f(x) > loga g(x) ⇔ f(x) > g(x) > 0
IV) loga f(x) < loga g(x) ⇔ 0 < f(x) < g(x)
Se 0 < a < 1:
I) loga f(x) > k ⇔ 0 < f(x) < ak
II) loga f(x) < k ⇔ f(x) > ak
III) loga f(x) > loga g(x) ⇔ 0 < f(x) < g(x)
IV) loga f(x) < loga g(x) ⇔ f(x) > g(x) > 0
FUNÇÃO LOGARÍTMICAFUNÇÃO LOGARÍTMICA
Quando definimos o número loga b colocamos algumas 
restrições sobre os números a e b: tomamos b > 0, a > 
0 e a ≠ 1. As condições a > 0 e a ≠ 1 já vinham da função 
exponencial f(x) = ax, enquanto que b > 0 é a condição para 
que a equação ax = b tenha solução. Eis a lei da função:
f : R*+ → R, f(x) = loga
x
GRÁFICO:
Se a > 1, então f é crescente:
Se 0 < a < 1, então f é decrescente:
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 Determine o valor do log9 (243):
a) 
1
2
.
b) 1.
c) 
3
2
.
d) 2.
e) 
5
2
.
02 Calcule o valor do log8 16:
a) 
1
2
.
b) 1.
c) 
2
3
.
d) 
4
3
.
e) 2.
03 O valor de = 




 +





 +…+





E log
1
2
log 2
3
log 999
1.000
:
a) -3
b) -2
c) -1
d) 0
e) 1
64
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CAPÍTULO 8 
Função Logarítmica
04 (EEAR) Sejam m, n e b números reais positivos, com 
b ≠ 1. Se logb m = x e se logb n = y, então ⋅ +





log (m n) log
n
mb b
 
é igual a:
a) x
b) 2y
c) x + y
d) 2x - y
05 Se a, b e c são números reais positivos e diferentes 
de 1, e logb c = k, então 
⋅log a log c
log b
b a
c
 é igual a:
a) 1
b) 
1
k
c) k
d) 2k
e) k2
06 (EEAR) Sejam x, y e b números reais maiores que 
1. Se logb x = 2 e logb y = 3, então o valor de logb (x
2 y3) é:
a) 13
b) 11
c) 10
d) 8
07 Se log3 x + log9 x = 1, então o valor de x é:
a) 23
b) √2
c) 33
d) √3
e) 93
08 (EEAR) Se ≅log 2 0,3 e ≅log 36 1,6, então ≅log 3 
_____:
a) 0,4
b) 0,5
c) 0,6
d) 0,7
09 Se log5 x = 2 e log10 y = 4 , então log yx20 é:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
10 Se 24n+1 = 3n+1 x 16 , então log3 n é igual a:
a) -2
b) -1
c) 1/2
d) 1
e) 2
11 11. Seja (a, b) a solução do sistema linear
+ =
+ =




2log x log y 5
log x 3log y 10
.2 2
2 2
 O valor de ab será igual a:
a) 2
b) 10
c) 16
d) 64
e) 256
12 12. Se logx + logx² + logx3 + logx4 = –20, o valor de x é:
a) 10
b) 0,1
c) 100
d) 0,01
e) 1
13 O número de soluções reais da equação
logx (x + 3) + logx (x – 2) = 2 é:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
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CAPÍTULO 8 
Função Logarítmica
14 (EsPCEx) Se −
+
=
6 log m
1 log m
2,a
a2
 com a > 0, a ≠ 1 e m > 
0, então o valor de 
+
m
a m
 é:
a) 4
b) 1/4
c) 1
d) 2
e) 1/2
15 A solução, em R , da equação 62x – 4.6x = 0 é:
a) 0.
b) 1.
c) log4 6.
d) log6 4.
16 O logaritmo de 3 na base 1/9 é igual a:
a) – 1/4
b) – 1/2
c) – 1
d) 1/4
e) 3/2
17 O domínio da função real f(x) = logx(x2 – 4x + 3) é 
dado por:
a) ]-∞,1[ U ]3,+∞[
b) ]-∞,0[ U ]3,+∞[
c) ]-∞,-1[ U ]3,+∞[
d) ]0,1[ U ]3,+ ∞[
e) ]1,3[
18 (ESA) O valor da Expressão A = log2 1/2 + log8 32 é:
a) 5/3
b) 2
c) 8/3
d) 2/3
e) 1/3
NÍVEL 2NÍVEL 2
19 (ESA) Se log2 3 = a e log2 5 = b, então o valor de 
log0,5 75 é:
a) a + b
b) – a + 2b
c) a – b
d) a – 2b
e) – a – 2b
20 A solução da equação log2 x + log4 x = 1 é:
a) 23
b) √2
c) 43
d) 34
21 (ESA) Se log x representa o logaritmo na base 10 
de x, então o valor de k ∈ (0,∞), tal que log k =10 - log 5 é:
a) 109
b) 5.109
c) 1010
d) 2.109
e) 5.1010
22 Se log a + log b = p, então o valor de log 1
a
 + log 
1
b
 é:
a) – p
b) 1/p
c) 1 – p
d) 1 + p
23 O domínio mais amplo da função real f definida 
por ( ) ( )= −f x log x 3 ,a 2 em que a Є]0, 1[, é:
a) [-2, 2]
b) ]-2, 2[
c) ]-∞, -2] U [2, +∞[
d) [-2, -√3[ U ]√3, 2]
66
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CAPÍTULO 8 
Função Logarítmica
24 Considere as funções f e g definidas por 
f(x) = log7 (x
2 + 1) e g(x) = 7x.
O valor de g(f(–2)) é:
a) 1
b) 2
c) 5
d) 7
25 Se loga x = n e loga y = 5n, então log x ya 34 é igual a:
a) n/4
b) 2n
c) 3n/4
d) 3n
e) 5n/4
26 Sendo log 2 = 0,30103 e log 3 = 0,47712, encontra-se 
para log 
32
9
3 o valor:
a) 0,81980
b) 1,655273
c) 0,18364
d) 0,55091
e) 0,14969
27 O valor da expressão
log0,125 √2 + log0,1 0,001 + log 273
5 é:
a) 103/30
b) 49/15
c) 113/30
d) 59/15
e) 77/30
28 Se + + + = +log 7x 3 log 4x 5 1
2
log3 , então o 
logx é igual a:
a) 3,48
b) 4,0
c) 2,718...
d) 0
29 Se x > 1 é a solução da equação: 
− + + =log x 1 log x 1 1
2
log 3
5 5 5 , então x vale:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
30 A raiz da equação log(x – 1) ( )− + =log x 7
2
log2 é:
a) – 9
b) – 3
c) 3
d) 9
31 O logaritmo de um número em certa base é 3, e o 
logaritmo desse mesmo número em uma base igual ao 
dobro da anterior, é igual a 2. Então, esse número vale:
a) 64
b) 65
c) 75
d) 76
32 S e j a x a s o l u ç ã o d a e q u a ç ã o 
+ + − =log x 1 log x 1 1
2
log 3
7 7 7 . O valor de z = 
+log 1
64
log 128
2 2 x
 é:
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0
33 O domínio da função real ( ) ( )=
−
−
f x 25 4x
log x 2
2
 é um 
subconjunto de:
a) (2, 5/2]
b) [1, 9/4]
c) [2, 3]
d) [5/2, 4]
e) [9/4, 3]
67
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CAPÍTULO 8 
Função Logarítmica
34 Se log15 2 = a e log10 2 = b, o valor de log10 3 é:
a) + −a
a
b
1
b) + −b
b
a
1
c) + +a
b
a
1
d) + +b
a
b
1
35 O conjunto solução da equação logarítmica 
log(10x2 + 5) – 2 log(x – 1) = 1:
a) é vazio
b) é unitário
c) tem 2 elementos
d) tem 4 elementos
e) tem infinidade de elementos
NÍVEL 3NÍVEL 3
36 O domínio da função f(x) = log[log(x + 3)] é o in-
tervalo:
a) ] – ∞, - 3[
b) ] – 3, + ∞ [
c) ] – ∞, - 2[
d) ] – 2, + ∞ [
37 O conjunto solução de log2 (x – 3) + log2(x – 2) < 1 é:
a) S = ]3, 4]
b) S = ]2, 3]
c) S = ]4, 5]
d) S = ] – ∞, 1] ∪ ]4, + ∞ [
e) S = ]1, 4]
38 O conjunto solução da equação
logx[log2 4.log4 6.log6 8] = 2 é:
a) ∅
b) {-√3,0,√3}
c) {√3}
d) {-√3}
39 A solução da equação log2 (2x + 3) + log1/2 2x = 1 é:
a) 2/3
b) 1
c) 3/2
d) 2
40 Dada a equação + = −5.log x
8
2log x
5
4 logx log25 , 
o valor da incógnita x é:
a) 10
b) 0
c) 25
d) 20
e) 32
41 Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o valor 
de x na equação 2x-1 + 2x-2 + 2x-3 + 2x-4 = 45 é:
a) 5,6
b) 5,0
c) 0,5
d) 50
e) 56
42 No conjunto dos números reais, o campo de de-
finição log(x+1) (2x
2 – 5x + 2) é dado por:
a) {x Є R | x > 2 ou x = 1}
b) {x Є R | −
1
2
 < x < 1 ou x ≠ 
1
2
}
c) {x Є R | −
1
2
 < x < 0 ou x ≠ 0}
d) {x Є R | 0 < x < 1 ou 0 < x < 
1
2
 ou x > 2}
68
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CAPÍTULO 8 
Função Logarítmica
43 Sendo log3 ( 7 – 2) = k. O valor de log3( 7 + 2) é:
a) 1 – k
b) 1 + k
c) 2 – k
d) 2 + k
GABARITOGABARITO
01. E 02. D 03. A 04. B 05. E 06. A
07. E 08. B 09. A 10. B 11. E 12. D
13. B 14. E 15. D 16. A 17. D 18. D
19. E 20. C 21. D 22. A 23. D 24. C
25. B 26. C 27. A 28. D 29. A 30. D
31. A 32. B 33. A 34. B 35. A 36. D
37. D 38. C 39. C 40. E 41. A 42. D
43. A
69
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CAPÍTULO 9 
Função Modular Módulo
71
FUNÇÃO MODULAR 
MÓDULO
Considerando uma reta real, módulo de um número x 
é a distância desse número até a origem (zero) da reta. 
O módulo de um número real x é o próprio x se x não é 
negativo ou o oposto de x se x é negativo.
= ≥
− <




x x , se x 0
x, se x 0
PROPRIEDADES PARA EQUAÇÕES E PROPRIEDADES PARA EQUAÇÕES E 
INEQUAÇÕES MODULARESINEQUAÇÕES MODULARES
I) |x| > 0, ∀ x Є R
II) |x| = 0 ⇔ x = 0
III) |x| = k ⇔ x + k,∀ k Є R+
IV) |x.y| = |x| . |y|,∀x,y Є R
V) =
x
y
x
y
, ∀ x Є R e y Є R*
VI) |x|2 = x2, ∀ x Є R
VII) |x| = |y| ⇔ x = -y ou x = y,∀ x,y Є R
VIII) |x| < a ⇔ -a < x < a,∀ x Є R e a > 0
IX) |x| > a ⇔ x < -a ou x > a, ∀ x Є R e a > 0
X) =x2n2n |x|, ∀ x Є R e ∀ n Є N*
FUNÇÃO MODULARFUNÇÃO MODULAR
Função modular é uma função f: R → R, definida pela lei 
f(x) = |x| ou pelas sentenças:
( ) = ≥
− <




f x x , se x 0
x, se x 0
GRÁFICOGRÁFICO
O gráfico da função modular é representado dessa forma 
no plano cartesiano:
O domínio da função é d(f) = R e a imagem é Im(f) = R+.
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CAPÍTULO 9 
Função Modular Módulo
72
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 (EEAR) Seja f(x) = |x – 3| uma função. A soma dos 
valores de x para os quais a função assume o valor 2 é:
a) 3
b) 4
c) 6
d) 7
02 Qual dos gráficos abaixo representa a função real 
f(x) = |3x – 1|?
a) 
b)
c)
d)
e)
03 Os gráficos de f(x) = 2|x2 – 4| e g(x) = (x – 2)2 se 
interceptam em:
a) apenas um ponto.
b) dois pontos.
c) três pontos.
d) quatro pontos.
e) nenhum ponto.
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CAPÍTULO 9 
Função Modular Módulo
73
04 O domínio da função real ( ) = −f x 1 x é o inter-
valo:
a) {x Є R|x < -1 ou x > 1}
b) {x Є R|x < -1 ou x > 1}
c) {x Є R| -1 < x < 1}
d) {x Є R| -1 < x < 1}
05 Considere a função real f(x) = |-x + 1|. O gráfico 
que representa a funçãoé:
a)
b)
c)
d)
e)
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CAPÍTULO 9 
Função Modular Módulo
74
06 A alternativa que representa o gráfico da função 
f(x) = |X + 1| + 2 é:
a)
b)
c)
d)
e)
07 Sejam f e g funções reais de uma variável real 
definidas por: f(x) = |x – 1| e g(x) = 5. A área da região 
limitada pelos gráficos dessas funções é:
a) 10 unidades de área.
b) 30 unidades de área.
c) 50 unidades de área.
d) 25 unidades de área.
08 Dadas as funções f: IR → IR e g: IR → IR definidas 
por f (x) = |1 - x2| e g (x) = |x|, o número de pontos na 
interseção do gráfico de f com o gráfico de g é igual a:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
09 A equação |x – 2| + |x – 5| = 3 tem:
a) uma única solução
b) exatamente duas soluções
c) exatamente três soluções
d) um número infinito de soluções
e) nenhuma solução
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CAPÍTULO 9 
Função Modular Módulo
75
10 O conjunto de soluções da equação
|x – 1| + |x – 2| = 3 é:
a) {0,1}
b) {0,3}
c) {1,3}
d) {3}
e) { }
11 A soma dos valores inteiros de x que satisfa-
zem simultaneamente as desigualdades: |x – 5| < 3 e 
|x – 4| ≥ 1 é:
a) 25
b) 13
c) 16
d) 18
e) 21
12 A respeito da função f(x) = |x|, é verdadeira a 
sentença:
a) f(x) = x, se x < 0
b) f(x) = -x, se x > 0
c) f(x) = 1, se x ∈ IR
d) o gráfico de f tem imagem negativa
e) o gráfico de f não possui imagem negativa
NÍVEL 2NÍVEL 2
13 Considerando a função f definida por 
f(x) = x2 – 1, a representação gráfica da função g dada 
por g(x) = |- f(x)| - 2 é:
a)
b)
c)
d)
e)
14 O gráfico da função f(x) = |x| + 2 é constituído por:
a) duas semi-retas de mesma origem.
b) duas retas concorrentes.
c) duas retas paralelas.
d) uma única reta que passa pelo ponto (0, 2).
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 75Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 75 22/12/2022 08:15:1922/12/2022 08:15:19
CAPÍTULO 9 
Função Modular Módulo
76
15 Os valores de x Є R , para os quais a função real 
dada por
( ) = − − −f x 5 2x 1 6 está definida, formam o conjunto:
a) [0, 1].
b) [-5, 6].
c) [-5,0] U [1,∞)
d) (-∞,0] U [1,6]
e) [-5,0] U [1,6]
16 O conjunto imagem da função f:IR→ IR, definida 
por f(x)=1 - |x - 2| é:
a) {y ∈ IR | y ≤ 1}
b) {y ∈ IR | y ≥ 1}
c) {y ∈ IR | y > 0}
d) {y ∈ IR | y ≤ 2}|
e) {y ∈ IR | y ≥ 2}
17 O conjunto Imagem da função f(x) = |x2 - 4x + 8| 
+ 1 é o intervalo:
a) [5, + ∞[
b) [4, + ∞[
c) [3, + ∞[
d) [1, + ∞[
e) [0, + ∞[
18 O valor de |2 - √5| + |3 - √5| é:
a) 5 - 2√5
b) 5 + 2√5
c) 5
d) 1 + 2√5
e) 1
19 O domínio da função f(x) = ( )− −



1 |x 1|
2
 é:
a) 0 ≤ × ≤ 2.
b) × ≥ 2.
c) × ≤ 0.
d) × < 0.
e) × > 0.
20 Se x é uma solução de |2x – 1| < 5 - x, então:
a) 5 < x < 7.
b) 2 < x < 7.
c) -5 < x < 7.
d) -4 < x < 7.
e) -4 < x < 2.
21 Seja a inequação |x – 1| < 3. A soma dos números 
inteiros que satisfazem essa inequação é:
a) 8
b) 7
c) 5
d) 4
22 Seja f(x) = |x – 3| uma função. A soma dos valores 
de x para os quais a função assume o valor 2 é:
a) 3
b) 4
c) 6
d) 7
23 A função modular f(x) = |x – 2| é decrescente para 
todo x real tal que
a) 0 < x < 4
b) x > 0
c) x > 4
d) x ″ 2
24 Se f é uma função ( ) =f x x
x
, então:
a) f(a) = 1, ∀ a Є −R
*
b) f(a) = -1, ∀ a Є R*
c) f(a) = 1, ∀ a Є R*
d) f(a) = 1, ∀ a Є R+
e) f(a) = - 1, ∀ a Є −R
*
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 76Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 76 22/12/2022 08:15:2622/12/2022 08:15:26
CAPÍTULO 9 
Função Modular Módulo
77
NÍVEL 3NÍVEL 3
25 Seja f: R → R tal que ( ) = +f x x 3
2
 e k um número 
real. A soma dos valores de k para que f(k) = k é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) –2
26 A amplitude do domínio da desigualdade 
|2x + 4| < 8 é:
a) 8
b) 6
c) 10
d) 12
e) 4
27 A soma das raízes da equação |2x² - 1| + x = 0 é:
a) 0
b) 1/2
c) –3/2
d) –1/2
28 Seja a função f: R → R, definida por f(x) = 2x + |x 
+ 1| – |2x – 4|. O valor de f-1(30) é:
a) 6
b) 20
c) 25
d) 35
e) 10
29 O conjunto-solução em R da equação |2x² - 5| = 
x² - 4 é:
a) {-3√3,√3}
b) {-√3,-1,1,√3}
c) {-1,1}
d) ∅
30 O conjunto imagem da função real definida por 
f(x) = |2-|x + 1|| é o intervalo real:
a) [0, 2]
b) [1, 2]
c) [0, + ∞[
d) [2, + ∞ [
e) ]- ∞,2]
31 O conjunto solução da equação 2 < |x – 3| < 7 é:
a) {x Є R | x < -10 ou x > 4}
b) {x Є R | -5 < x < -1}
c) {x Є R | x < -10 ou 5 < x < -1 ou x < 4}
d) ∅
e) {x Є R | -10 < x < -5 ou -1 < x < 4}
32 O gráfico abaixo representa a função:
a) f(x) = ||x| - 1|
b) f(x) = |x -1| + |x + 1| -2
c) f(x) = ||x| + 2| -3
d) f(x) = |x – 1|
e) f(x) = ||x| + 1| -2
GABARITOGABARITO
01. C 02. D 03. C 04. D 05. A 06. A
07. D 08. B 09. D 10. B 11. E 12. E
13. A 14. A 15. E 16. A 17. A 18. E
19. A 20. E 21. B 22. C 23. D 24. E
25. A 26. A 27. C 28. C 29. D 30. C
31. E 32. A
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 77Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 77 22/12/2022 08:15:3822/12/2022 08:15:38
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 78Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 78 22/12/2022 08:15:3822/12/2022 08:15:38
CAPÍTULO 10 
Círculo Trigonométrico
79
CÍRCULO 
TRIGONOMÉTRICO
Considere uma circunferência de raio unitário com centro 
na origem de um sistema cartesiano ortogonal e o ponto 
A=(1,0). O ponto A será tomado como a origem dos arcos 
orientados nesta circunferência e o sentido positivo consi-
derado será o anti-horário. A região contendoesta circun-
ferência e todos os seus pontos interiores, é denominada 
círculo trigonométrico.
ARCOS CÔNGRUOSARCOS CÔNGRUOS
Dois arcos são côngruos quando possuem a mesma ori-
gem e a mesma extremidade. Uma regra prática eficiente 
para determinar se dois arcos são côngruos consiste em 
verificar se a diferença entre eles é um número divisível 
ou múltiplo de 360°, isto é, a diferença entre as medidas 
dos arcos dividida por 360° precisa ter resto igual a zero.
θ ≡ θ+ ° ∈360 .k , k 
( )θ ≡ θ+ ∈2π .k , k 
LINHAS TRIGONOMÉTRICASLINHAS TRIGONOMÉTRICAS
Consideremos um ciclo trigonométrico de centro na origem 
e arco AM , como a figura abaixo mostra.
(I) = → =sen x
MP
1
MP sen x
(II) = → =cos x
OM
1
OM cos x
(III) = = = → =tg x
AT
1
MP
OM
sen x
cosx
AT tg x
Portanto, todo ponto pertencente à circunferência é da 
forma P(cos x, sen x).
ARCOS SIMÉTRICOSARCOS SIMÉTRICOS
Podemos relacionar o seno e o cosseno de um arco de 
qualquer quadrante aos valores do seno e do cosseno 
de um arco do primeiro quadrante, utilizando a simetria.
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 79Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 79 22/12/2022 08:15:4422/12/2022 08:15:44
CAPÍTULO 10 
Círculo Trigonométrico
80
REDUÇÃO DO 2° PARA O 1° REDUÇÃO DO 2° PARA O 1° 
QUADRANTEQUADRANTE
I) cos (180° –x) = –cos x
II) sen (180° –x) = sen x
III) tg (180° –x) = –tg x
REDUÇÃO DO 3° PARA O 1° REDUÇÃO DO 3° PARA O 1° 
QUADRANTEQUADRANTE
I) cos (180° + x) = –cos x
II) sen (180°+ x) = –sen x
III) tg (180° + x) = tg x
REDUÇÃO DO 4° PARA O 1° REDUÇÃO DO 4° PARA O 1° 
QUADRANTEQUADRANTE
I) cos (360° –x) = cos x
II) sen (360° –x) = –sen x
III) tg (360° –x) = –tg x
OBS: O arco (360° –x) é congruente ao arco (–x), portanto:
I) cos (–x) = cos x
II) sen (–x) = –sen x
III) tg (–x) = –tg x
OS ARCOS NOTÁVEIS E OS SEUS OS ARCOS NOTÁVEIS E OS SEUS 
SIMÉTRICOSSIMÉTRICOS
RELAÇÕES FUNDAMENTAISRELAÇÕES FUNDAMENTAIS
=tg x sen x
cos x
, para todo x ≠ 
π
2
 + kπ com k ∊ Z
=cotg x cos x
sen x
, para todo x ≠ kπ com k ∊ Z
=sec x 1
cos x
, para todo x ≠ 
π
2
 + kπ com k ∊ Z
=cossec x 1
sen x
, para todo x ≠ kπ com k ∊ Z
sen² x + cos ² x = 1, para todo x ∊ R
sec² x = 1 + tg² x, para x ≠ 
π
2
 + kπ com k ∊ Z
cossec²x = 1 + cotg² x, para x ≠ kπ com k ∊ Z
SOMA E SUBTRAÇÃO DE ARCOSSOMA E SUBTRAÇÃO DE ARCOS
sen (a + b) = sena.cosb + cosa.senb
cos (a + b) = cosa.cosb – sena.senb
tg (a + b) = 
+
−
tga tgb
1 tga.tgb
sen (a – b) = sena.cosb – cosa.senb
cos (a – b) = cosa.cosb + sena.senb
tg (a – b) = 
−
+
tga tgb
1 tga.tgb
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 80Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 80 22/12/2022 08:15:5522/12/2022 08:15:55
CAPÍTULO 10 
Círculo Trigonométrico
81
ARCO DUPLOARCO DUPLO
A partir das fórmulas de adição e subtração, podemos obter 
as seguintes fórmulas de multiplicação:
cos (2a) = cos²(a) – sen²(a)
cos(2a) = 1 – 2sen²(a)
cos(2a) = 2cos²(a) – 1
sen (2a) = 2.sena.cosb
tg (2a) = 
−
2tga
1 tg a2
 
ARCO METADEARCO METADE
 =
−sena
2
1 cosa
2
 =
+cos a
2
1 cosa
2
 =
−
+
tg a
2
1 cosa
1 cosa
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 (EEAR) O valor de cos 735° é:
a) 
1
4
b) 
3
4
c) 
+2 6
4
d) 
+2 6
8
02 O valor de cos (105°) é
a) 
3
2
.
b) 
+2 6
4
.
c) 
−2 6
2
.
d) 
+2 6
2
.
e) 
−2 6
4
.
03 O valor de x na expressão =
° + −






° −
x
tg 2160 cos 20π
3
sen2640 cos5π
4
 
é:
a) 0
b) 1
c) √2 – √3
d) √3 – √2
e) √2
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 81Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 81 22/12/2022 08:16:0622/12/2022 08:16:06
CAPÍTULO 10 
Círculo Trigonométrico
82
04 O valor da expressão 
( )
° + °
− − °
sen30 tg 225
cos π
2
sen 60
 é:
a) 1
b) 
1
2
.
c) -√3
d) √3
e) −
1
2
.
05 (EEAR) Numa circunferência, a soma das medidas 
de dois arcos é 315°. Se um desses arcos mede 
11π
12
rad, 
a medida do outro é:
a) 150°
b) 125°
c) 100°
d) 75°
06 (EEAR) O valor de cos 15° é:
a) 
−2 2
2
b) 
+2 3
2
c) 2 – √2
d) 2 + √3
07 (EEAR) Se a e b são arcos do 2º quadrante tais que 
=sena 2
2
 e = −cosb
1
2
, então sen(a + b) é:
a) 
( )− +2 3 2
4
b) 
( )− +2 1 3
4
c) 
( )+3 2 1
4
d) 
( )−3 3 2
4
08 08. (EEAR) Se sen y = m e cos y = n, o valor de 
secy
cossecy
 é:
a) m
b) n2
c) mn
d) 
m
n
09 (EEAR) Um arco de circunferência de 5π
6
rad pode 
ser dividido em ____ arcos de 30º:
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
10 (EEAR) Ao expressar 16π
9
rad em graus, obtém-se:
a) 170°
b) 220°
c) 280°
d) 320°
11 (EEAR) Se x é um arco do 1º quadrante, com sen x 
= a e cos x = b, então y = ( )+
senx.cosx
tgx.cos π x
 é:
a) a
b) b
c) –a
d) –b
12 (EEAR) Se x é um arco do terceiro quadrante tal 
que =tgx
2
3
, o valor de sen x é:
a) 
13
13
b) 
− 13
13
c) 
−2 13
13
d) 
−3 13
13
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 82Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 82 22/12/2022 08:16:1922/12/2022 08:16:19
CAPÍTULO 10 
Círculo Trigonométrico
83
13 (EEAR) Dados sen a = x, cos a = y, sen b = z e cos b 
= w, então sen(a + b) é igual a:
a) xw + yz
b) xz + yw
c) xy – wz
d) xw – yz
14 (EEAR) Se senα.cosβ = 4
13
 e senβ.cosα = 
36
65
, então 
sen(α + β) é igual a:
a) 
56
65
b) 
40
65
c) 
13
36
d) 
13
56
15 (EEAR) Ao simplificar a expressão (1 + cos x)(1 – 
cos x), tem-se:
a) 2
b) sen2 x
c) cos2 x
d) 2 + cos2 x
16 (EEAR) O valor correspondente ao cos 15°:
a) 
+2 6
4
b) 
+2 3
2
c) 
3
4
d) 1
17 (EEAR) Ao somar as medidas angulares 120° e 
3π
2
rad, obtém-se a medida de um arco pertencente ao 
___ quadrante:
a) 1°
b) 2°
c) 3°
d) 4°
18 (EEAR) O valor de sen (a + b) – sen (a – b) é igual a:
a) sen 2a
b) cos 2a
c) 2 sen b . cos a
d) 2 sen a . cos b
19 (EEAR) O valor de sen 1270° é igual a:
a) –cos 10°
b) –sen 30°
c) –sen 10°
d) –cos 30°
20 (EEAR) Gabriel verificou que a medida de um ângulo 
é 
3π
2
rad. Essa medida é igual a:
a) 90º
b) 180°
c) 270°
d) 360°
NÍVEL 2NÍVEL 2
21 (EEAR) Simplificando a expressão sen (2π – x) + 
sen (3π + x), obtém-se:
a) sen x
b) –sen x
c) 2 sen x
d) –2 sen x
22 (EEAR) Ao subtrair cos 225° de sen 420°, obtém-se:
a) 
+3 2
2
b) 
−3 2
2
c) 
5
2
d) 
1
2
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 83Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 83 22/12/2022 08:16:3022/12/2022 08:16:30
CAPÍTULO 10 
Círculo Trigonométrico
84
23 Se a e b são ângulos agudos e complementares, 
o valor da expressão
Sen2 (a + b) – cos2 (a + b) é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) √2
e) √3
24 (EEAR) Considere x um arco do 3º quadrante e 
cotangente de x igual a ctg x. Se = −senx
2
2
, então o 
valor de = +A tgx
2
ctg x2
 é:
a) √3
b) √2
c) 2
d) 3
25 Se sen x – cos x = 1
2
, então sen 2x é:
a) 
1
4
b) −
3
4
c) 
3
4
d) 
1
2
e) 
3
4
26 O valor de cos 72° – cos² 36° é idêntico ao de:
a) cos 36°
b) –cos²36°
c) cos²36°
d) –sen²36°
e) sen²36°
27 Sendo tg x + sec x = m e sec x – tg x = n, então o 
valor de m.n:
a) –1
b) 1
c) 2
d) 4
e) 6
28 Se tg x = m e tg 2x = 3m, m > 0, então o ângulo 
agudo x mede:
a) 15°
b) 30°
c) 45°
d) 60°
29 Se cos a = 2 5
5
 e cossec a < 0, então tg a + cotg 
a vale:
a) –5/2
b) –3/2
c) 3/2
d) 5/2
30 O valor de ° ° + ° °
° ° + ° °
sen 80 cos40 sen 40 cos80
cos 72 cos27 sen 72 sen 27
 é:
a) 
6
2
b) 
3
2
c) 
3
4
d) 
6
3
e) 
2 3
5
31 Se tg a = 1/3, então tg 4a é igual a:
a) 3/10
b) 6/5
c) 4/3
d) 24/7
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 84Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 84 22/12/2022 08:16:4122/12/2022 08:16:41
CAPÍTULO 10 
Círculo Trigonométrico
85
32 (EEAR) O sen122π
9
 é igual ao:
a) sen
5π
9
b) sen
4π
9
c) −cos
5π
9
d) −sen
4π
9
33 (EEAR) Se 0 < x < π
2
, então a expressão tg 
x
2
 + cotg 
x
2
 
é equivalente a:
a) 2 sen x.
b) 2 sec x.
c) 2 cosx.
d) 2 cossec x.
34 O valor de  

+cos45 sen30
cos60
 é:
a) √2 + 1
b) 2
c) 
2
4
d) 
+2 1
2
e) 0
35 O seno de um arcode medida 2340° é igual a:
a) –1
b) –1/2
c) 0
d) 1/2
36 Se tg x – cotg x = 1, então o valor de tg 2x é:
a) 2
b) 1
c) 0
d) –1
e) –2
37 Seja sen(x) + cos(x) = a e cos(x) sen(x) = b. Podemos 
então afirmar que:
a) a + b = 1
b) a2 + b = 1
c) a + b2 = 1
d) a2 – 2b = 1
e) a2 + 2b = 1
38 Assinale a alternativa que corresponde ao valor 
da expressão:





 −





 + −





 +





6cos
13π
6
4cos 11π
4
sen 7π
6
tg 31π
3
2 2 2
a) 6
b) 5
c) 
9
2
d) 3
e) 
23
4
39 (EsPCEx) O valor de (cos165° + sen155° + cos145° 
– sen25° + cos35° + cos15°) é:
a) √2
b) –1
c) 0
d) 1
e) 
1
2
.
40 Sabemos que =cosx 4
5
 e ∈








x 0, π
2
. Quanto vale 
tg 2x?
a) 
3
4
b) 
7
24
c) 
24
7
d) 
1
25
e) 
1
24
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 85Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 85 22/12/2022 08:16:5422/12/2022 08:16:54
CAPÍTULO 10 
Círculo Trigonométrico
86
NÍVEL 3NÍVEL 3
41 Sendo x um arco e satisfazendo < <π
2
x π e 
( ) =sen x 24
25
, o valor de 





cos
x
2
 é:
a) 
1
25
b) −
1
5
c) 
1
5
d) −
3
5
e) 
3
5
42 Sabendo que < <π x 3π
2
 e ( ) = −sen x 1
3
, é correto 
afirmar que sen(2x) é:
a) −
2
3
b) −
1
6
c) 
3
8
d) 
1
27
e) 
4 2
9
43 (EsPCEx) O valor numérico da expressão 
( )° − ⋅ 




 + °
sec1320
2
2 cos 53π
3
tg 2220
2
 é:
a) –1
b) 0
c) 
1
2
d) 1
e) −
3
2
44 Sendo x um número real qualquer, a expressão 
(sen x + cos x)2 - sen 2x é igual a:
a) 1
b) –2
c) 0
d) 2
45 Se sen x = 3
4
 e x é um arco do 20. quadrante, então 
o valor de sen (2x) é:
a) 
9
16
b) 
7
4
c) 
3 7
8
d) −
3 7
8
e) 
3 7
4
46 (EEAR) Dois ângulos medem 2π
9
rad e 
5π
18
rad . O 
menor deles, em graus, mede:
a) 30.
b) 40.
c) 50.
d) 60.
47 (EEAR) Seja x um arco do 1º quadrante. Se cos x = 
1
8
, então tg 
x
2
 = ?
a) 
7
3
b) 
6
2
c) 
5
4
d) 
3
5
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 86Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 86 22/12/2022 08:17:1222/12/2022 08:17:12
CAPÍTULO 10 
Círculo Trigonométrico
87
48 (EEAR) O valor da expressão 
−
tgx
cossecx 1
, para 
< <0 x π
2
e sen x = 
1
3
, é:
a) 
1
4
b) 
1
2
c) 
2
3
d) 
2
8
49 EEAR) Se < α <0 π
2
 e αsen = 
2
3
,então sen 2α é 
igual a:
a) 
3
3
b) 
5
3
c) 
4 5
9
d) 
4 3
9
50 (EEAR) Sejam a e b arcos do 1º quadrante. Se a + b 
= 90°, então cos (a – b), em função de b é igual a:
a) sen 2b
b) cos 2b
c) 
sen2b
2
d) 
cos2b
2 GABARITOGABARITO
01. C 02. E 03. C 04. D 05. A 06. B
07. B 08. D 09. B 10. D 11. D 12. C
11. A 12. C 13. A 14. A 15. B 16. A
17. A 18. C 19. C 20. C 21. D 22. A
23. B 24. D 25. C 26. D 27. B 28. B
29. A 30. A 31. D 32. D 33. A 34. A
35. C 36. E 37. D 38. A 39. C 40. C
41. E 42. E 43. D 44. A 45. D 46. B
47. A 48. D 49. C 50. A
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 87Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 87 22/12/2022 08:17:3022/12/2022 08:17:30
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 88Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 88 22/12/2022 08:17:3022/12/2022 08:17:30
CAPÍTULO 11 
Equações Trigonométricas
89
EQUAÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS
Seja uma equação na forma sen x = a, cos x = a ou tg x = 
a, por exemplo, sendo ‘a’ um número real, o conjunto-so-
lução da equação trigonométrica contém os ângulos que 
satisfazem essa igualdade.
Exemplo:
O conjunto solução dos valores de x Є [0, 2π] tais que cos 
x = 1/2 é S = {π/3, 5π/3, 7π/3, 711π/3}
INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICASINEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Uma inequação trigonométrica é aquela em que ao menos 
um lado da desigualdade contém uma função trigonométrica.
Exemplo:
O conjunto solução dos valores de x Є [0, 2π] tais que sen 
x > 1/2 é S = [π/6, 5π/6].
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICASFUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Vamos estudar as funções periódicas seno, cosseno e tan-
gente.
FUNÇÃO SENOFUNÇÃO SENO
A função cosseno é uma função f: R → R tal que f(x) = sen x.
PROPRIEDADES:
Domínio: R
Contra-domínio: R
Imagem: [-1, 1]
O período da função seno é 2π.
FUNÇÃO COSSENOFUNÇÃO COSSENO
A função cosseno é uma função f: R → R tal que f(x) = cos x.
PROPRIEDADES:
Domínio: R
Contra-domínio: R
Imagem: [-1, 1]
O período da função seno é 2π.
FUNÇÃO TANGENTEFUNÇÃO TANGENTE
A função tangente é uma função f: R Z∈ ≠ + ∈








x | x π
2
kπ, k 
→  tal que f(x) = tg x.
PROPRIEDADES:
Domínio: R Z∈ ≠ + ∈








x | x π
2
kπ, k
Contra-domínio: R
Imagem: R
O período da função tangente é π.
 » OBS1: A função f(x) = a + b.sen(mx + n) tem período p = 
2π
m
.
 » OBS2: A função f(x) = a + b.cos(mx + n) tem período p = 
2π
m
.
 » OBS3: A função f(x) = a + b.tg(mx + n) tem período p = 
π
m
.
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 89Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 89 22/12/2022 08:17:3922/12/2022 08:17:39
CAPÍTULO 11 
Equações Trigonométricas
90
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 (EEAR) Seja = +
+
M cossecx secx
cotgx 1
, com ≠ ∈x
kπ
2
,k Z. 
Utilizando-se as identidades trigonométricas pode-se 
considerar M igual a:
a) sen x
b) cos x
c) sec x
d) cossec x
02 (EEAR) Se x é um arco do 2º quadrante, o conjunto 
solução da inequação ″ ″
1
2
senx 3
2
é {x ∈ R / _______}, na 
primeira volta é:
a) ″ ″
2π
3
x π
b) ″ ″
π
2
x 2π
3
c) ″ ″
2π
3
x 5π
6
d) ″ ″
5π
6
x π
03 (EEAR) A expressão +
+
1 cotg x
1 tg x
2
2 é idêntica à (ao):
a) tg2x.
b) sen2x.
c) cotg2x.
d) cos2x.
04 Se =sen x 1
3
 e ″ ″
π
2
x π então o valor de 
−
−
sec x tg x
1 cossec x
2 2
 é:
a) −
1
2
.
b) –1
c) 
1
2
.
d) 1
e) 0
05 (EEAR) Se < <0 x π
4
 e tg x + cotg x = 3, então sen 
2x é igual a:
a) 
1
2
b) 
1
3
c) 
2
3
d) 
2
5
06 (EEAR) Se =cosx 2
3
 e sen x > 0, então sen 2x é:
a) 
4 5
9
b) 
2 5
3
c) 
5 3
2
d) 
3
6
07 (EEAR) Se α é um ângulo do 1º quadrante, tal que 
α >sen 3
2
, a única alternativa que apresenta um possível 
valor para α é:
a) 15°
b) 30°
c) 50°
d) 65°
08 (EEAR) Seja x um arco do 3º quadrante tal que 
= −senx 1
3
. Então o valor de cos x é:
a) −
2 2
3
b) −
2
3
c) 
2 2
3
d) 
2
3
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 90Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 90 22/12/2022 08:17:5522/12/2022 08:17:55
CAPÍTULO 11 
Equações Trigonométricas
91
09 (EEAR) Se =senx 3
2
 e 0 ≤ x ≤ 2π, então a soma 
dos valores possíveis para x é:
a) 
π
2
b) π
c) 
3π
2
d) 2π
10 (EEAR) No ciclo trigonométrico os valores de x, 
tais que ″cosx
1
2
, são:
a) ∈ < <








x R / π
3
x 5π
3
b) ∈ ≤ ≤








x R / π
3
x 5π
3
c) ∈ ≤ <








x R / π
6
x 11π
6
d) ∈ ≤ ≤ ≤ ≤








x R / 0 x π
6
ou 7π
6
x 2π
11 (EEAR) No intervalo [0, π], a soma das raízes da 
equação 3cos2 x - 7sen2 x + 2 = 0 é igual a:
a) 4π
b) 3π
c) 2π
d) π
12 (EEAR) As funções f(x) = sen x e g(x) = cos x, no 
segundo quadrante, são, respectivamente:
a) decrescente e decrescente
b) decrescente e crescente
c) crescente e decrescente
d) crescente e crescente
NÍVEL 2NÍVEL 2
13 (EEAR) Se 0° ≤ x ≤ 360° e se = −sen4x 3
2
, um dos 
possíveis valores de x é:
a) 30°
b) 45°
c) 75°
d) 85°
14 (EEAR) Se cosα = −cos 3
2
e α é um arco cuja extremida-
de pertence ao 2º quadrante, então α pode ser _____ 
π
6
rad :
a) 7
b) 17
c) 27
d) 37
15 Se =cosx 2
3
, ″ ″
3π
2
x 2π, então o valor de tgx é 
igual a:
a) −
5
3
b) −
5
2
c) 
5
3
d) 
5
2
e) 2 5
16 Sendo 0 < x < 2π, podemos afirmar que a soma 
das raízes da equação sen²x + sen (- x) = 0 vale:
a) 3π/2
b) 2π
c) 7π/2
d) 10π/2
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 91Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 91 22/12/2022 08:18:0722/12/2022 08:18:07
CAPÍTULO 11 
Equações Trigonométricas
92
17 A soma das raízes da equação 1 – 4cos²x = 0, 
0 < x < π, é igual a:
a) π/3
b) 3π/4
c) 5π/6
d) π
18 [EEAR] Sejam assentenças:
I. período p = π
II. domínio D = R
III. conjunto imagem Im = [-1, 1,]
Em relação à função tangente, é (são) verdadeira(s) a(s) 
sentença(s):
a) I
b) III
c) I e II
d) II e III
19 (EEAR) O menor valor real positivo de x tal que 
=4 1
2
senx é:
a) 
π
6
b) 
5π
6
c) 
7π
6
d) 
11π
6
20 (EEAR) A solução geral da equação sen2 x – 2 senx 
cosx + cos2 x = 0, sendo U = R, é:
a) {x ∈ R / x = 
π
4
+ 2kπ, k∈Z}.
b) {x ∈ R / x = 
π
4
+ kπ, k∈Z}.
c) −








π
4
d) 








π
4
21 (EEAR) Existirá x ∈ℜ que satisfaça a igualdade sen 
x = 2k – 5 se, e somente se:
a) 1 < k ≤ 3.
b) 1 < k < 4.
c) 2 ≤ k < 4.
d) 2 ≤ k ≤ 3.
22 Considere a função real de variável real f(x) = 3 − 5 
sen(2x + 4). Os valores de máximo, mínimo e o período 
de f(x) são, respectivamente:
a) −2, 8, π.
b) 8, −2, π.
c) π, −2, 8.
d) π, 8, −2.
e) 8, π, −2.
23 (EsPCEx) O número de raízes reais da equação 
2cos2x + 3 cos x + 1 = 0, no intervalo ]0, 2π[ é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
24 A quantidade de soluções que a equação trigono-
métrica − =sen x cos x
1
2
4 4 admite no intervalo [0, 3π] é:
a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 92Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 92 22/12/2022 08:18:1422/12/2022 08:18:14
CAPÍTULO 11 
Equações Trigonométricas
93
NÍVEL 3NÍVEL 3
25 (EEAR) Se < <π x 3π
2
, então a maior raiz positiva 
da equação (tgx − 1)(4sen2x − 3) = 0 é:
a) 
4π
3
b) 
5π
4
c) 
7π
4
d) 
7π
6
26 (EEAR) São negativas, no 4º quadrante, as funções:
a) seno, cosseno e tangente.
b) seno, cosseno e cotangente.
c) cosseno, tangente e secante.
d) seno, tangente e cossecante.
27 (EEAR) Os valores de x, sendo ″ ″0 x π , para os 
quais obtêm-se 2cos x – 1 > 0, são tais que:
a) < <0 x
5π
6
b) < ≤
π
3
x π
c) < <
π
6
x π
2
d) ≤ <0 x
π
3
28 (EEAR) O conjunto imagem da função f(x) = 3 + 
5sen x é:
a) [-2, 8]
b) [3, 7]
c) [-1, 5]
d) [0, 4]
29 (EEAR) Se 2.sen x + 5.cos x = 0 e < <0 x π
2
, então 
cos x:
a) – 
2 29
29
b) 
2 29
29
c) -
5 29
29
d) 
5 29
29
30 (EEAR) A solução real da inequação < ≤1
2
senx 2
2
, 
no intervalo de 0 < x < 2π, é:
a) 








∪








π
6
, π
4
3π
4
,5π
6
b) 








∪








π
6
, π
4
3π
4
,5π
6
c) 








∪








π
6
, π
4
3π
4
,5π
6
d) 








∪








π
6
, π
4
3π
4
,5π
6
31 A soma das raízes da equação 1 – sen²x + cos (– x) 
= 0, para 0 < x < 2π, é igual a:
a) 
3π
2
b) 
5π
2
c) 3π
d) 5π
e) 
7π
2
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 93Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 93 22/12/2022 08:18:2822/12/2022 08:18:28
CAPÍTULO 11 
Equações Trigonométricas
M
a
te
m
á
ti
c
a
M
a
te
m
á
ti
c
a
94
GABARITOGABARITO
01. C 02. C 03. C 04. A 05. C 06. A
07. D 08. A 09. B 10. D 11. D 12. A
13. C 14. B 15. B 16. C 17. D 18. A
19. C 20. B 21. D 22. B 23. D 24. D
25. A 26. D 27. D 28. A 29. B 30. D
31. C
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 94Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 94 22/12/2022 08:18:3922/12/2022 08:18:39
M
a
te
m
á
ti
c
a
M
a
te
m
á
ti
c
a
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 95Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 95 22/12/2022 08:18:3922/12/2022 08:18:39
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 96Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 96 22/12/2022 08:18:3922/12/2022 08:18:39
CAPÍTULO 1 
Progressão Aritmética
PROGRESSÃO 
ARITMÉTICA
A progressão aritmética é uma sequência ( a1 , a2 , a3 , a4
, ... an , ...), n N∈ , em que cada termo é igual ao termo 
antecessor somado a um determinado valor constante. O 
nome que se dá para esta constante (r) é “razão da pro-
gressão aritmética”.
Assim, r a
2
= − a a1 3= − a a2 4= − a a3 n=…= − an 1− .
CLASSIFICAÇÃOCLASSIFICAÇÃO
Crescente: É toda PA em que o próximo termo, a partir do 
segundo, é sempre maior que o seu antecessor, ou seja, r 
> 0. Por exemplo, a sequência (3, 10, 17, ...).
Decrescente: É toda PA em que o próximo termo, a partir 
do segundo, é sempre menor que o seu antecessor, ou 
seja, r < 0. Por exemplo, a sequência (19, 15, 11,..).
Constante: É toda PA em que todos os termos são iguais, 
ou seja, r = 0. Por exemplo, a sequência (7, 7, 7, ...)
TERMO GERALTERMO GERAL
O termo geral a
n
 de uma PA em função do 1° termo (a1) e 
da razão (r) é: a a n 1 r
n 1 ( )= + −
Podemos também expressar o termo geral em função de 
qualquer elemento da sequência (ak): a a n k rn k ( )= + −
Por exemplo, em uma PA de razão r, sabemos que 
a a 9r
10 1
= + . No entanto, também podemos escrever: 
a a 6r
10 4
= + ou a a 3r
10 7
= +
TERMOS EQUIDISTANTESTERMOS EQUIDISTANTES
Numa P.A, os termos opostos, ou equidistantes, isto é, os 
que possuem a mesma distância do termo central, têm a 
mesma soma. Observe:
Podemos perceber que um termo qualquer da PA mul-
tiplicado por 2 é igual à soma dos equidistantes, ou dos 
elementos pertencentes à sua vizinhança.
Por exemplo, 15. 2 = 10 + 20 = 5 + 25.
(5, 10, 15, 20, 25, 30, 35)
5 + 35 = 10 + 30 = 15 + 25 = 2.20
TERMO MÉDIOTERMO MÉDIO
Podemos, então, generalizar a fórmula do termo médio 
de uma PA. 
a
a a
2
a a
2n
n 1 n 1 n k n k=
+
=…=
+
− + − +
Uma sequência de três termos (x, y, z), só é PA se, e somente 
se, y x z
2
=
+ ou 2y x z= + .
INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICAINTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA
Interpolação aritmética consiste em determinar quais 
são os n números que devem ser inseridos entre dois 
números dados que estes n + 2 números formem uma 
progressão aritmética. Por exemplo, se desejamos inserir 
4 meios aritméticos entre 3 e 18, então estes 6 números 
3,a , a , a , a , 18
2 3 4 5( ) devem formar uma PA.
NOTAÇÃO ESPECIALNOTAÇÃO ESPECIAL
Para 3 termos: (x – r, x, x + r)
Para 4 termos: (x – 3y, x – y, x + y, x + 3y), r = 2y.
Para 5 termos: (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r)
E assim, analogamente, para progressões aritméticas de 
mais termos.
SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS 
DE UMA PADE UMA PA
Se (a )n é uma progressão aritmética de primeiro termo a1 , 
último termo a
n
, e n termos, então a soma dos n primeiros 
termos é igual a:
S
a a .n
2n
1 n( )= +
97
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CAPÍTULO 1 
Progressão Aritmética
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 Determine o 2017ϒ termo da Progressão Aritmé-
tica cujo 1ϒ termo é 4 e cuja razão é 2:
a) 4.032.
b) 4.034.
c) 4.036.
d) 4.038.
e) 4.040.
02 O vigésimo termo da PA x, 3 x, 2x 1,( )+ + … é igual a:
a) 56.
b) 62.
c) 69.
d) 74.
e) 81.
03 Na P.A decrescente (18, 15, 12, 9, ...), o termo igual 
a – 51 ocupa a posição:
a) 30.
b) 26.
c) 24.
d) 18.
04 Os lados de um triângulo retângulo estão em pro-
gressão aritmética. Então, o seno do menor ângulo é:
a) 1.
b) 2
3
.
c) 3
5
.
d) 1
3
.
e) 1
2
.
05 As medidas, em cm, de um pentágono estão em 
Progressão Aritmética (PA). Se o perímetro desse polígono 
é 100 cm, o terceiro elemento da PA é:
a) 20.
b) 30.
c) 35.
d) 40.
06 (EEAR) Considere esses quatro valores x, y, 3x, 
2y em PA crescente. Se a soma dos extremos é 20, então 
o terceiro termo é:
a) 9.
b) 12.
c) 15.
d) 18.
07 Em um programa de condicionamento físico uma 
pessoa começa correndo 300 metros no 1º dia, 400 me-
tros no dia seguinte, 500 metros no próximo dia e assim 
sucessivamente até chegar aos dois quilômetros por dia. 
Assinale a alternativa que indica o dia em que a pessoa 
correrá dois quilômetros:
a) 18° dia.
b) 17° dia.
c) 16° dia.
d) 15° dia.
e) 14° dia.
08 Os números 10, x, y, z, 70 estão em progressão 
aritmética (nesta ordem). Quanto vale a soma x y z?+ +
a) 80.
b) 90.
c) 100.
d) 110.
e) 120.
09 Quantos números NÃO múltiplos de 11 há no con-
junto x | 51 x 1500{ }∈ ≤ ≤ ?
a) 1210.
b)1318.
c) 1406.
d) 1412.
98
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CAPÍTULO 1 
Progressão Aritmética
10 Determine o 10ϒ termo de uma progressão aritmé-
tica, sabendo que o primeiro termo é 2017 e a razão é 7:
a) 2059.
b) 2066.
c) 2073.
d) 2080.
e) 2087.
11 Numa progressão aritmética de razão 3, o sexto 
termo vale 54. O septuagésimo sexto termo dessa se-
quência é o número:
a) 284.
b) 264.
c) 318.
d) 162.
e) 228.
12 As medidas dos lados de um triângulo são expres-
sas por x 1,+ 3x e x 3+ estão em PA, nessa ordem. O 
perímetro do triângulo mede:
a) 4.
b) 9.
c) 14.
d) 19.
13 A soma dos números inteiros compreendidos en-
tre 100 e 400, que possuem o algarismo das unidades 
igual a 4, é:
a) 1200.
b) 2560.
c) 4980.
d) 6420.
e) 7470.
14 O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 
6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão arit-
mética (PA). A área desse triângulo é igual a:
a) 3,0 m2.
b) 2,0 m2.
c) 1,5 m2.
d) 3,5 m2.
15 (EEAR) A progressão aritmética, cuja fórmula do 
termo geral é dada por a 5n 18,n = − tem razão igual a:
a) – 5.
b) – 8.
c) 5.
d) 8.
16 Se a soma dos quatro primeiros termos de uma 
progressão aritmética é 42, e a razão é 5, então o pri-
meiro termo é:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
NÍVEL 2NÍVEL 2
17 Numa progressão aritmética, observa-se que a 
soma Sn( ) dos seus “n” termos iniciais “n” indica a posi-
ção de cada termo na série) é fornecida pela expressão 
S 7n n .
n
2= − Assinale a alternativa que mostra o valor do 
termo que ocupa a 5ª posição da série:
a) – 2.
b) 1.
c) 4.
d) 7.
e) 10.
18 (EsPCEx) Se x é um número real positivo, então a 
sequência (log x,
3
 log 3x,
3
 log 9x)
3
 é:
a) Uma Progressão Aritmética de razão 1.
b) Uma Progressão Aritmética de razão 3.
c) Uma Progressão Geométrica de razão 3.
d) Uma Progressão Aritmética de razão log x
3
e) Uma Progressão Geométrica de razão log x
3
 .
99
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CAPÍTULO 1 
Progressão Aritmética
19 As medidas dos lados de um triângulo retângulo 
formam uma PA. Se x é a medida do menor ângulo interno 
desse triângulo, o valor de tg x é:
a) 0,6.
b) 0,5.
c) 0,8.
d) 0,45.
e) 0,75.
20 A sequência (a1, a2, a3, a4, a5, ..., a12) forma uma 
progressão aritmética. Sabendo-se que a3 + a10 = 32, o 
valor da expressão log2 (a1 + a12)
3 é:
a) 10.
b) 15.
c) 21.
d) 26.
e) 32.
21 A soma dos n primeiros termos de uma sequên-
cia e dada pela fórmula S 3n 2n
n
3= + . Desse modo, a 
diferença entre o segundo e o primeiro termos dessa 
sequência e igual a:
a) 5.
b) 18.
c) 23.
d) 33.
22 Em uma sequência numérica, a soma dos n pri-
meiros termos é 3n2 + 2, com n natural não nulo. O oitavo 
termo da sequência é:
a) 36.
b) 39.
c) 41.
d) 43.
e) 45.
23 (EEAR) A soma dos 10 primeiros termos de uma 
P.A., cujo termo geral é dado pela expressão ak = 3k – 16, é:
a) 5.
b) 14.
c) 18.
d) – 6.
24 Considere que (a, b, 3, c) é uma progressão aritmé-
tica de números reais, e que a soma de seus elementos 
é igual a 8. O produto dos elementos dessa progressão 
é igual a:
a) 30.
b) 10.
c) – 15.
d) – 20.
25 O valor de n que torna a sequência 2 + 3n, – 5n, 
1 – 4n uma progressão aritmética pertence ao intervalo:
a) [– 2, –1]
b) [– 1, 0]
c) [0, 1]
d) [1, 2]
e) [2, 3]
26 Inscrevendo-se nove meios aritméticos entre 15 
e 45, obtém-se uma PA cujo sexto termo é:
a) 25.
b) 30.
c) 33.
d) 42.
27 Inserindo 10 meios aritméticos entre – 7 e 26 
numa PA, temos que o 9º termo da dessa sequência é 
um número:
a) primo
b) múltiplo de 2
c) divisor de 12
d) múltiplo de 5
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CAPÍTULO 1 
Progressão Aritmética
28 Os lados de um triângulo retângulo estão em pro-
gressão aritmética com razão positiva r. A área desse 
triângulo em função da razão mede:
a) 2r²
b) 4r²
c) 6r²
d) 8r²
e) 10r²
29 Em uma progressão aritmética, o primeiro termo 
vale 1/2 e a soma dos vinte e cinco primeiros termos é 
igual a 925/2. A razão desta progressão vale:
a) 2/3
b) 17/12
c) 5/24
d) 3/2
e) 2
30 A soma de todos os números inteiros de 1 a 1.000 
que não são múltiplos de 9 é igual a:
a) 444.556
b) 444.889
c) 444.333
d) 445.722
e) 446.329
31 Se a média aritmética dos 31 termos de uma 
progressão aritmética é 78, então o 16° termo dessa 
progressão é:
a) 54.
b) 66.
c) 78.
d) 82.
e) 96.
32 (EEAR) A soma dos n primeiros termos de uma P.A. 
é 3n² ∀ n ∈ * , então a razão dessa P.A. é:
a) 6.
b) 4.
c) 3.
d) 2.
NÍVEL 3NÍVEL 3
33 (EsPCEx) Em uma progressão aritmética, a soma 
S
n
 de seus n primeiros termos é dada pela expressão 
S 5n 12n
n
2= − , com n .*∈ A razão dessa progressão é:
a) –2.
b) 4.
c) 8.
d) 10.
e) 12.
34 As medidas dos lados de certo triângulo são ex-
pressas por x 2 ,( )+ 2x 1( )+ e x 10 ,2( )− e nessa ordem 
formam uma progressão aritmética. O perímetro desse 
triângulo mede:
a) 15.
b) 21.
c) 28.
d) 33.
e) 40.
35 De uma progressão aritmética an de razão r, 
sabe-se que a 168 = e a 4.14 = Seja Sn a soma dos n 
primeiros termos de a ,n o menor valor de n, de modo 
que S 220,
n
= é:
a) 12.
b) 11.
c) 14.
d) 16.
e) 18.
36 Uma progressão aritmética (PA) é constituída de 
15 números inteiros com razão igual a 2 . Sabendo que 
a média aritmética dos quinze números é 46 , podemos 
concluir que o maior deles é:
a) 60.
b) 63.
c) 62.
d) 64.
e) 61.
101
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CAPÍTULO 1 
Progressão Aritmética
37 Se log2, log(2 1)x − e log(2 3),x + nessa ordem, estão 
em progressão aritmética crescente, então o valor de x é:
a) 2
b) log 3
2
c) log 5
2
d) 23
e) 25
38 A soma dos n primeiros termos de uma sequência 
numérica é dada pela expressão S 8n 1.
n
2= − Pode-se 
afirmar que seu décimo termo é igual a:
a) 128
b) 132
c) 146
d) 150
e) 152
39 A soma dos 100 primeiros termos de uma progres-
são aritmética é 100, e a soma dos 100 termos seguintes 
dessa progressão é 200. A diferença entre o segundo e 
o primeiro termos dessa progressão, nessa ordem, é:
a) 10–4.
b) 10–3.
c) 10–2.
d) 10–1.
e) 1.
40 Se em uma progressão aritmética o vigésimo ter-
mo é 2 e a soma dos cinquenta primeiros termos é igual 
a 650, então o número de divisores inteiros do primeiro 
termo dessa sequência é:
a) 18.
b) 36.
c) 9.
d) 72.
GABARITOGABARITO
01. C 02. B 03. C 04. C 05. A 06. B
07. A 08. E 09. B 10. D 11. B 12. B
13. E 14. C 15. C 16. C 17. A 18. A
19. E 20. B 21. B 22. E 23. A 24. C
25. B 26. B 27. A 28. C 29. D 30. A
31. C 32. A 33. D 34. D 35. B 36. A
37. C 38. E 39. C 40. A
102
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CAPÍTULO 2 
Progressão Geométrica
PROGRESSÃO 
GEOMÉTRICA
A progressão geométrica é uma sequência ( a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, 
... a
n
, ...), n N∈ , em que cada termo é igual ao termo ante-
cessor multiplicado por uma constante. O nome que se dá 
para esta constante (q) é “razão da progressão geométrica”.
Assim, q
q
q
q
q
q
q
2
1
3
2
n
n 1
= = =…=
−
.
CLASSIFICAÇÃOCLASSIFICAÇÃO
Crescente: É toda PG em que cada termo, a partir do se-
gundo, é maior do que o seu antecessor. Isso pode ocorrer 
de duas maneiras:
I) Para termos positivos teremos q > 1, por exemplo na 
sequência (2, 6, 18, ...) onde q = 3.
II) Para termos positivos teremos 0 < q < 1, por exemplo 
na sequência (- 8, - 4, -2, -1, ...) onde q = 1/2.
Decrescente: É toda PG em que cada termo,a partir do 
segundo, é menos do que o seu antecessor. Isso pode 
ocorrer de duas maneiras:
I) Para termos positivos teremos 0 < q < 1, por exemplo na 
sequência (64, 32, 16, ...) onde q = ½.
II) Para termos negativos teremos q > 1, por exemplo na 
sequência (- 3, - 12, - 48, ...) onde q = 4.
Constante: É toda PG em que todos os termos são iguais. 
Isso acontece de duas maneiras:
I) Para termos nulos, ou seja, (0, 0 ,0 ,0 ...) onde a1 = 0 e q 
qualquer.
II) Para termos iguais, por exemplo na sequência (6, 6, 6, 
6, ...) onde a1 ↑ 0 e q = 1.
Alternante: É a PG em que cada termo tem o sinal con-
trário ao do seu termo anterior. Isto ocorre quando q < 0, 
por exemplo na sequência (-2, 6, - 18, 54, ...) onde q = - 3.
Estacionária: É a PG que possui a1 ↑ 0 e q = 0. Por exemplo, 
(7, 0, 0, 0, 0, ...).
TERMO GERALTERMO GERAL
O termo geral a
n
 de uma PG em função do 1° termo (a1) e 
da razão (q) é: a a .q
n 1
n 1= −
Podemos também expressar o termo geral em função de 
qualquer elemento da sequência (ak): a a .qn k
n k= −
Por exemplo, em uma PG de razão q, sabemos que 
a a .q
12 1
11= . No entanto, também podemos escrever:
a a .q
12 4
8= ou a a .q
12 10
2= .
TERMOS EQUIDISTANTESTERMOS EQUIDISTANTES
Numa PG, os termos opostos, ou equidistantes, isto é, os 
que possuem a mesma distância do termo central, têm o 
mesmo produto. Observe:
(2, 4, 8, 16, 32, 64, 128)
Podemos perceber que um termo qualquer da PG elevado 
ao quadrado é igual à multiplicação dos equidistantes, ou 
dos elementos pertencentes à sua vizinhança. Por exemplo, 
8² = 4.16 = 2.32.
TERMO MÉDIOTERMO MÉDIO
Podemos, então, generalizar a fórmula do termo médio 
de uma PG:
a a . a a . a
n n 1 n 1 n k n k
= =…=
− + − +
Uma sequência de três termos (x, y, z), só é PG se, e somente 
se, y xz= ou y x.z2 =
INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICAINTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA
Interpolação geométrica consiste em determinar quais 
são os n números que devem ser inseridos entre dois 
números dados que estes n + 2 números formem uma 
progressão geométrica. Por exemplo, se desejamos inserir 
3 meios aritméticos entre 2 e 162, então estes 5 números 
3,a , a , a , 18
2 3 4( ) devem formar uma PG.
2.128 = 4.64 = 8.32 = 16²
103
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CAPÍTULO 2 
Progressão Geométrica
NOTAÇÃO ESPECIALNOTAÇÃO ESPECIAL
Para 3 termos: x
q
, x, x.q






Para 4 termos: 






x
y
, x
y
, xy, xy
3
3 , q = y².
Para 5 termos: 






x
q
, x
q
, x, xq,xq
2
2
E assim, analogamente, para progressões aritméticas de 
mais termos.
SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS 
DE UMA PGDE UMA PG
Considere a sequência (a )
n
 como sendo uma progressão 
geométrica não constante de razão q. Seja Sn a soma dos 
n primeiros termos da sequência ( An ). Assim:
S
a . q 1
q 1n
1
n( )
=
−
−
SOMA DOS TERMOS DE UMA PG SOMA DOS TERMOS DE UMA PG 
INFINITAINFINITA
Em uma PG infinita onde q ↑ 0 e – 1 < q < 1, a soma dos 
seus infinitos termos é dada pela fórmula:
S
a
1 q
1=
−∞
PRODUTO DOS N PRIMEIROS PRODUTO DOS N PRIMEIROS 
TERMOS DE UMA PGTERMOS DE UMA PG
Suponha que ( a
n
) é uma progressão geométrica. Seja P
n
 
o produto dos n primeiros termos da sequência ( an ), po-
demos encontrá-lo através da fórmula:
P a .a
n 1 n
n( )=
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 (EEAR) Em uma PG de razão 6, o quarto termo é 
48. Assim, o primeiro termo é:
a) 2.
b) 3.
c) 1/6.
d) 2/9.
02 O valor de x, de modo que x – 2, x + 2, x + 17 este-
jam em progressão geométrica é:
a) 38/11.
b) 3/4.
c) 20/38.
d) 17/16.
e) 17/2.
03 O quarto termo de uma progressão geométrica 
descrita pela sequência a 3 , com n *,
n
n( )= − ∈− é:
a) 1
27
.
b) 1
81
.
c) 1
243
.−
d) 1
27
.−
e) 1
81
.−
04 (EEAR) O 4° termo de uma P.G. é – 80, e o 6° termo 
é – 320. Se essa P.G. é alternante, então sua razão é:
a) 4.
b) 3.
c) –1.
d) –2.
104
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CAPÍTULO 2 
Progressão Geométrica
05 (EEAR) Sejam as sequências S1 = (1, 5, 25, 125, ...) 
e S2 = (4, 7, 10, 13, ...). A razão entre o 6° termo de S1 e o 
8° de S2 é:
a) 150.
b) 125.
c) 100.
d) 75.
06 Numa progressão geométrica de termos positivos, 
a2 = 1/3 e a8 = 243. Calculando a5, pode-se afirmar que o 
resultado é um número:
a) par.
b) primo.
c) divisível por 7.
d) quadrado perfeito.
e) múltiplo de 5.
07 Se o lado, a altura e a área de um triângulo equilá-
tero formam, nessa ordem, uma progressão geométrica, 
então a medida do lado desse triângulo é um número:
a) irracional.
b) racional.
c) inteiro.
d) real e maior que 3 .
e) real e compreendido entre 2 e 3 .
08 O primeiro termo de uma progressão geométrica 
infinita é 3, e sua soma é 3,333... A razão dessa progres-
são é:
a) – 3.
b) – 1/3.
c) 1/3.
d) – 1/10.
e) 1/10.
09 A sequência (2, x, y, 8) representa uma progressão 
geométrica. O produto xy vale:
a) 8.
b) 10.
c) 12.
d) 14.
e) 16.
10 Numa progressão geométrica (PG) de razão posi-
tiva, o primeiro termo é o dobro da razão e a soma dos 
dois primeiros termos vale 40. Então o quarto termo 
desta progressão vale:
a) 1024.
b) 512.
c) 2048.
d) 16384.
e) 256.
11 Sabendo que os números da sequência (5, m, n, 
10) estão em progressão geométrica, quanto vale o pro-
duto m.n?
a) 10.
b) 20.
c) 50.
d) 100.
e) 225.
12 Sabendo que o primeiro termo de uma Progressão 
Geométrica é a1 = 2 e a razão q = 3, determine a soma 
dos 5 primeiros termos dessa progressão:
a) 80.
b) 141.
c) 160.
d) 242.
e) 322.
13 Os termos da soma S 4 8 16 2.048= + + +…+ estão 
em progressão geométrica. Assinale o valor de S :
a) 4.092.
b) 4.100.
c) 8.192.
d) 65.536.
e) 196.883.
105
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 105Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 105 22/12/2022 08:20:3022/12/2022 08:20:30
CAPÍTULO 2 
Progressão Geométrica
14 O v a l o r d o n ú m e r o x d a d o p o r 
x 3 7
10
4
10
4
10
4
102 3 4
= + + + + +… é:
a) 
90
337
.
b) 
223
32
.
c) 
337
90
.
d) 589
78
.
15 (EEAR) Quatro números estão dispostos de forma 
tal que constituem uma PG finita. O terceiro termo é igual 
a 50 e a razão é igual a 5. Desta maneira, o produto de 
a a
1 4
⋅ vale:
a) 10.
b) 250.
c) 500.
d) 1.250.
16 Três números formam uma progressão geomé-
trica. A média aritmética dos dois primeiros é 6, e a do 
segundo com o terceiro é 18. Sendo assim, a soma dos 
termos dessa progressão é igual a:
a) 18.
b) 36.
c) 39.
d) 42.
e) 48.
NÍVEL 2NÍVEL 2
17 Os números que expressam o raio de uma circun-
ferência, seu perímetro e a área do círculo delimitado por 
tal circunferência estão, nessa ordem, em progressão 
geométrica. Qual é o raio da circunferência?
a) 2
b) 4
c) 2π
d) 4π
18 Dada a equação x x
4
x
16
... 16,+ + + = o valor de x 
que a satisfaz é:
a) 12.
b) 16.
c) 24.
d) 36.
19 O conjunto solução da equação
x x x
3
x
9
x
27
1
2
2 − − − − −…= − é:
a) 1
2
, 1








b) 1
2
, 1−








c) 1, 4{ }
d) 1, 4{ }−
e) 1, 2{ }
20 Para que a sequência 9, 5, 3( )− − se transforme 
numa progressão geométrica, devemos somar a cada 
um dos seus termos um certo número. Esse número é:
a) par.
b) quadrado perfeito.
c) primo.
d) maior que 15.
e) não inteiro.
21 A sequência (x, 4, y, z) é uma progressão geomé-
trica e (x, y, z – 2) é uma progressão aritmética, com y < 
0. O valor de z é:
a) 2
b) 2 2
c) 16
d) 8
e) 4 2
106
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 106Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 106 22/12/2022 08:20:4822/12/2022 08:20:48
CAPÍTULO 2 
Progressão Geométrica
22 Três números formam uma progressão geométrica 
de razão 3. Subtraindo 8 unidades do terceiro número, 
obteremosuma progressão aritmética cuja soma dos 
termos é:
a) 16.
b) 18.
c) 22.
d) 24.
e) 26.
23 Os números reais a e b são tais que a sequência (a, 
b, 2a+b) é uma progressão aritmética e a sequência (3a, 
27, 3b) é uma progressão geométrica. Então o valor de a é:
a) 1,5.
b) 2,5.
c) 3,5.
d) 4,5.
24 O lado, a diagonal de uma face e o volume de 
um cubo são dados nessa ordem, por três números em 
progressão geométrica. A área total desse cubo é:
a) 20.
b) 48.
c) 24.
d) 18.
e) 12.
25 A progressão geométrica a , a , a ,
1 2 3( )… tem pri-
meiro termo a 3
81
= e razão 5. A progressão geométrica 
b ,b ,b ,
1 2 3( )… tem razão 5
2
. Se a b ,5 4= então b1 é igual a:
a) 25
4
b) 5
c) 
3
20
d) 15
e) 9
2
26 A sequência 2x 5, x 1, x
2
, ,+ + …





 com x ,∈ é uma 
progressão geométrica de termos positivos. O décimo 
terceiro termo dessa sequência é:
a) 2
b) 3 10−
c) 3
d) 310
e) 312
27 Dada a progressão geométrica 1, 3, 9, 27, ,⊃ se a 
sua soma é 3.280, então ela apresenta:
a) 9 termos.
b) 8 termos.
c) 7 termos.
d) 6 termos.
e) 5 termos.
28 A sequência S sen60 ,1 sen30 , 3cos 30( )= ° + ° ° é:
a) uma PA de razão tg 30 .ϒ
b) uma PG de razão sen60 .ϒ
c) uma PA de razão tg 45 .ϒ
d) uma PA de razão 1 sen60 .+ °
e) uma PG de razão tg 60 .ϒ
29 29. Seja (b1, b2, b3, b4) uma progressão geométrica 
de razão 1/3. Se b1 + b2 + b3 + b4 = 20, então b4 é igual a:
a) 1/2.
b) 3/2.
c) 5/2.
d) 7/2.
30 Con s ider e as sequ ên c ias numér icas 
a 3x 9, 4x 9, 5x 9,
n ( )= − − − … e b 1x ,
1
x
,1, ,
n 4 2
= …





 onde 
n 1.≥ Se a b ,4 4= então o valor de x é igual a:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
107
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 107Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 107 22/12/2022 08:21:0722/12/2022 08:21:07
CAPÍTULO 2 
Progressão Geométrica
31 Considere a equação 
log (x) log (x ) log (x ) log (x ) log (x ) 363
812 2
1
3
2
1
9
2
1
27
2
1
81+ + + =
A solução dessa equação é:
a) 8.
b) 16.
c) 81.
d) 72.
e) 236.
32 A sequência 10x, 10x+1, 10x+2, ... representa:
a) uma progressão aritmética de razão 10.
b) uma progressão aritmética de razão 1.
c) uma progressão geométrica de razão 10.
d) uma progressão geométrica de razão 1.
e) nem progressão aritmética nem
progressão geométrica.
NÍVEL 3NÍVEL 3
33 Um prisma retangular reto possui três arestas 
que formam uma progressão geométrica de razão 2. 
Sua área total é de 28 cm .2 Calcule o valor da diagonal 
do referido prisma:
a) 17 cm
b) 19 cm
c) 21cm
d) 2 7 cm
e) 29 cm
34 A progressão aritmética a , a , a ,
1 2 3( )… tem razão 2 
e os termos a , a
1 2
 e a
5
 formam, nesta ordem, uma pro-
gressão geométrica. A razão da progressão geométrica é:
a) 4 .
b) 5 .
c) 1 .
d) 2 .
e) 3 .
35 Se o quarto termo de uma progressão geométrica é 
2 , então o produto dos seus 7 primeiros termos é igual a:
a) 108.
b) 128.
c) 148.
d) 168.
e) 188.
36 Uma progressão geométrica tem primeiro termo 
igual a 1 e razão igual a 2 . Se o produto dos termos dessa 
progressão é 239, então o número de termos é igual a:
a) 12.
b) 13.
c) 14.
d) 15.
e) 16.
37 A sequência de números reais a, b, c, d forma, 
nessa ordem, uma progressão aritmética cuja soma dos 
termos é 110; a sequência de números reais a, b, e, f for-
ma, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão 
2. A soma d + f é igual a:
a) 96.
b) 102.
c) 120.
d) 132.
e) 142.
38 O número que deve ser subtraído de 1, de 11/8 e 
de 31/16 para que os resultados formem uma P.G., nesta 
mesma ordem, é:
a) 2.
b) 1/2.
c) 1/4.
d) 1/8.
e) 1/16.
108
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 108Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 108 22/12/2022 08:21:1922/12/2022 08:21:19
CAPÍTULO 2 
Progressão Geométrica
39 Em uma PG estritamente crescente, o terceiro 
termo é 98 e o quinto termo é 4802. Se x é a soma dos 
dois primeiros termos dessa PG, então o valor de log x
8
 é:
a) 3
4
b) 1
2
c) 
2
3
d) 1
4
e) 
4
3
GABARITOGABARITO
01. D 02. A 03. B 04. D 05. B 06. D
07. A 08. E 09. E 10. B 11. C 12. D
13. A 14. C 15. C 16. C 17. D 18. A
19. A 20. C 21. A 22. B 23. A 24. E
25. D 26. B 27. B 28. E 29. A 30. D
31. A 32. C 33. C 34. E 35. B 36. B
37. D 38. C 39. E
109
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 109Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 109 22/12/2022 08:21:3322/12/2022 08:21:33
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CAPÍTULO 3 
Análise Combinatória
111
ANÁLISE 
COMBINATÓRIA
Visa desenvolver métodos que permitam contar o número 
de elementos de um conjunto, sendo estes elementos, 
agrupamentos formados sob certas condições. Assim, 
pode-se, através da análise combinatória, determinar de 
quantas maneiras trinta balas podem ser distribuídas entre 
três pessoas ou quantos números ímpares de três dígitos 
podem ser formados com os algarismos 0, 1, 3, 4, 5 e 6.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA 
CONTAGEMCONTAGEM
 » Adição: Se uma decisão P pode ser tomada de x maneiras, 
a decisão Q pode ser tomada de y maneiras e as decisões 
são independentes, então o número de se tomarem as 
decisões P ou Q é x + y.
 » Multiplicação: Se uma decisão P pode ser tomada de x 
maneiras e se uma vez tomada a decisão P, a decisão Q 
pode ser tomada de y maneiras, então o número de ma-
neiras de se tomarem as decisões P e Q é x.y.
FATORIALFATORIAL
O fatorial de um número natural é uma função matemática 
definida da seguinte maneira:
0! = 1
1! = 1
n! = n.(n – 1)(n – 2).(n – 3) . ... . 3.2.1
Por exemplo:
 » 3! = 3.2.1 = 6;
 » 5! = 5.4.3.2.1 = 120
ARRANJOARRANJO
O arranjo simples é utilizando quando desejamos formar 
filas com p elementos a partir de um grupo de n elemen-
tos, com p ″ n. No arranjo, a troca de posição entre os 
elementos do mesmo grupo escolhido faz com que tenha-
mos filas diferentes e elas devem ser contabilizadas como 
arranjos distintos.
A fórmula para o cálculo do arranjo simples é:
A n!
n p !n,p ( )= −
COMBINAÇÃOCOMBINAÇÃO
A combinação simples é uma ferramenta utilizada quando 
desejamos contar a quantidade de subgrupos com p ele-
mentos formados a partir de um grupo de n elementos, 
com p ″ n . Na combinação, a troca de posição entre os 
elementos do subgrupo não significa termos uma forma-
ção diferente.
A fórmula para o cálculo da combinação simples é:
C n!
p! n p !n,p ( )= −
É utilizada quando desejamos contar a quantidade de 
possibilidades de existir uma fila ou sequência (com n 
elementos) em que não existe repetição dos elementos e 
todos os elementos são utilizados no problema.
A fórmula para o cálculo da permutação simples é:
P n!
n
= PERMUTAÇÃO COM ELEMENT 
É utilizada quando desejamos contar a quantidade de 
possibilidades de existir uma fila ou sequência (com n 
elementos) em que existe repetição dos elementos e todos 
os elementos são utilizados no problema.
Se , , , ,
1 2 3 k
α α α … α são as quantidades de vezes que os 
elementos se repetem, então a fórmula para o cálculo das 
permutações com elementos repetidos é:
P n!
! . !. ! !n
, , , ,
1 2 3 k
1 2 3 k =
α α α … α
α α α … α
Permutações circulares estão ligadas à permutação sim-
ples. Em uma permutação simples, ABC, CAB e BCA são 
considerados diferentes, mas na permutação circular esses 
termos são iguais. Observe:
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 111Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 111 22/12/2022 08:21:4022/12/2022 08:21:40
CAPÍTULO 3 
Análise Combinatória
112
A fórmula para o cálculo da permutação circular é:
P n 1 !
n ( )= −
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 João recebeu R$ 2,00 de sua mãe para comprar 
uma caneta ou lapiseira, cada uma custando R$ 2,00. Na 
papelaria, João encontrou 5 tipos diferentes de canetas 
e 7 tipos diferentes de lapiseiras. De quantas formasdistintas João pode fazer a compra?
a) 10
b) 12
c) 35
d) 70
02 Com 8 frutas diferentes, o número de saladas que 
podem ser feitas contendo exatamente 3 dessas frutas?
a) 24
b) 54
c) 56
d) 112
03 De quantas maneiras seis pessoas podem ser 
colocadas em fila, se duas delas se recusam a ficar em 
posições adjacentes?
a) 460
b) 470
c) 480
d) 490
04 De um grupo formado por 25 membros de um 
partido serão escolhidos três candidatos para disputar 
os cargos de vereador, deputado estadual e prefeito. De 
quantas maneiras os candidatos podem ser escolhidos?
a) 13800
b) 13600
c) 13400
d) 13700
e) 13500
05 Dispõe-se de cinco cores para confeccionar ban-
deiras com três listras horizontais de mesma largura. 
O número de bandeiras diferentes que se pode confec-
cionar, exigindo-se que listras vizinhas não tenham a 
mesma cor, é igual a:
a) 75
b) 80
c) 85
d) 90
e) 95
06 A quantidade de números pares que se pode for-
mar com quatro algarismos distintos é igual a:
a) 5040
b) 1356
c) 2296
d) 3600
e) 5000
07 O número de inteiros positivos, de três dígitos, 
nos quais figura o algarismo 3 é:
a) 84
b) 120
c) 172
d) 252
08 (ESA) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 sem repe-
ti-los, podemos escrever “x” números de 4 algarismos, 
maiores que 3200. O valor de “x” é:
a) 210
b) 228
c) 240
d) 300
e) 320
09 (EEAR) O número de anagramas da palavra SAR-
GENTO que começam com S e terminam com O é
a) 1540
b) 720
c) 120
d) 24
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 112Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 112 22/12/2022 08:21:4422/12/2022 08:21:44
CAPÍTULO 3 
Análise Combinatória
113
10 (ESA) Uma obra necessita de vigilantes para o 
turno da noite durante exatamente 36 noites. Se para 
cada noite são necessários 2 vigilantes, quantos devem 
ser contratados de modo que o mesmo par de vigilantes 
não se repita?
a) 16
b) 8
c) 18
d) 14
e) 9
11 (ESA) Assinale a alternativa cuja palavra possui 
60 anagramas.
a) AMEIXA
b) BRANCO
c) BANANA
d) PARQUE
e) PATETA
12 (ESA) Uma corrida é disputada por 8 atletas. O 
número de resultados possíveis para os 4 primeiros lu-
gares é:
a) 336.
b) 512.
c) 1530.
d) 1680.
e) 4096.
13 (ESA) Para o time de futebol da ESA, foram con-
vocados 3 goleiros, 8 zagueiros, 7 meios de campo e 4 
atacantes. O número de times diferentes que a ESA pode 
montar com esses jogadores convocados de forma que 
o time tenha 1 goleiro, 4 zagueiros, 5 meios de campo e 
1 atacante é igual a:
a) 84.
b) 451.
c) 981.
d) 17.640.
e) 18.560.
14 O número de anagramas diferentes com as letras 
da palavra MILITAR que não possuem consoantes conse-
cutivas que se pode obter é:
a) 60
b) 72
c) 120
d) 186
15 (ESA) O número de anagramas diferentes que 
podemos formar com a palavra RANCHO, de modo que 
se iniciem com vogal, é:
a) 120
b) 240
c) 720
d) 1440
e) 24
16 (ESA) Em uma barraca de cachorro quente, o fre-
guês pode escolher um entre três tipos de pães, uma 
entre quatro tipos de salsichas e um entre cinco tipos de 
molhos. Identifique a quantidade de cachorros quentes 
diferentes que podem ser feitos.
a) 60
b) 86
c) 27
d) 12
e) 35
17 (EEAR) Ao calcular A
C
10
3
10
3
 , obtém-se:
a) 3!
b) 4!
c) 5!
d) 6!
18 (EEAR) Formato, tamanho e cor são as caracterís-
ticas que diferem as etiquetas indicadoras de preço dos 
produtos de uma loja. Se elas podem ter 2 formatos, 3 
tamanhos e 5 cores, o número máximo de preços distintos 
dos produtos da loja é:
a) 24
b) 30
c) 32
d) 40
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 113Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 113 22/12/2022 08:21:4722/12/2022 08:21:47
CAPÍTULO 3 
Análise Combinatória
114
19 (EEAR) O número de anagramas da palavra SOLEI-
RA que começam com vogal é:
a) 2720
b) 2780
c) 2860
d) 2880
20 (EEAR) Dentre 8 candidatos, 5 devem ser selecio-
nados para comporem uma comissão de formatura. O 
número de formas distintas de se compor essa comissão é:
a) 56
b) 48
c) 46
d) 38
NÍVEL 2NÍVEL 2
21 (EEAR) Dos 10 judocas que participam de uma 
competição, os 3 melhores subirão em um pódio para 
receber uma premiação. Lembrando que cada atleta 
pode ocupar o 1°, 2° ou 3° lugar no pódio, o número das 
possíveis formas de os atletas comporem o pódio é:
a) 720
b) 680
c) 260
d) 120
22 (EEAR) Para elaborar uma prova de Inglês, um 
professor utilizará 6 questões de vocabulário e 4 de gra-
mática. O número de maneiras que ele pode ordenar 
aleatoriamente essas questões é dado por______
a) (6 + 4)!
b) (6 – 4)!
c) 6!.4!
d) 6!/4!
23 (EEAR) Um determinado brinquedo possui uma 
haste onde devem ser colocadas 4 peças de formatos 
diferentes. O número de maneiras diferentes de se mon-
tar esse brinquedo é:
a) 4
b) 12
c) 24
d) 36
24 (EEAR) A metade do número de anagramas da 
palavra PRISMA que começam por S é:
a) 10
b) 20
c) 30
d) 60
25 (EEAR) Sobre uma mesa tem-se 2 livros de Física 
(diferentes), 1 de Matemática, 2 de Inglês (diferentes) e 
1 de História. De quantas formas podemos colocá-los 
em uma prateleira, de modo que os livros de Exatas 
fiquem juntos?
a) 36
b) 72
c) 144
d) 288
26 (EEAR) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, e 6. A 
partir deles, podem ser criados _____ números pares de 
quatro algarismos distintos.
a) 60
b) 120
c)180
d) 360
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CAPÍTULO 3 
Análise Combinatória
115
27 (EEAR) Em um campeonato de tênis estão inscritos 
10 militares. Para disputar o campeonato, esses militares 
podem formar _______ duplas diferentes:
a) 34
b) 35
c) 44
d) 45
28 (EEAR) De um grupo de 10 (dez) pessoas, 5 (cinco) 
serão escolhidas para compor uma comissão. Ana e Bea-
triz fazem parte dessas 10 (dez) pessoas. Assim, o total 
de comissões que podem ser formadas, que tenham a 
participação de Ana e Beatriz, é:
a) 24
b) 36
c) 48
d) 56
29 (EEAR) Um maestro escolherá 5 músicas distintas, 
dentre as 10 que dispõe, e montará uma apresentação. 
Para a escolha das músicas e da ordem que elas serão 
tocadas, o maestro possui um número de possibilidades 
cujo algarismo das unidades é:
a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
30 (EEAR) Um professor montará uma prova com as 
4 questões que ele dispõe. O número de maneiras dife-
rentes que o professor pode montar essa prova, levando 
em conta apenas a ordem das questões, é:
a) 20
b) 22
c) 24
d) 26
31 (EEAR) Dos 16 músicos de uma banda, 12 serão 
escolhidos para fazerem parte de uma comissão. Se 2 dos 
músicos não podem ficar de fora dessa comissão, o nú-
mero de comissões diferentes que podem ser formadas é:
a) 1001
b) 701
c) 601
d) 501
32 De quantas maneiras podemos classificar os 4 
empregados de uma microempresa nas categorias A 
ou B, se um mesmo empregado pode pertencer às duas 
categorias?
a) 4
b) 16
c) 81
d) 243
e) 256
33 Deseja-se pintar as listras de uma bandeira que 
possui 5 listras verticais. Se dispomos de 4 cores distin-
tas e se duas listras adjacentes não podem ser pintadas 
da mesma cor, de quantas maneiras podemos pintar a 
bandeira?
a) 20
b) 1024
c) 324
d) 625
34 Quantos anagramas da palavra CADERNO apre-
sentam as vogais em ordem alfabética?
a) 840
b) 420
c) 210
d) 180
35 Determine o número de anagramas da palavra 
REPÚBLICA nos quais as vogais se mantêm nas respec-
tivas posições.
a) 60
b) 120
c) 240
d) 250
36 Quantas palavras de seis letras, começando e 
terminando por consoante, podem ser formadas com as 
letras da palavra FECHAR, cada letra figurando uma só vez?
a) 720
b) 360
c) 288
d) 144
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CAPÍTULO 3 
Análise Combinatória
116
37 De quantas formas podemos permutar as letras 
da palavra ELOGIAR, de modo que as letras A e R fiquem 
juntas em qualquer ordem?a) 360
b) 720
c) 1080
d) 1440
e) 1800
38 O número de maneira que 3 pessoas podem sen-
tar-se em uma fileira de 6 cadeiras vazias de modo que, 
entre duas pessoas próximas (seguidas), sempre tenha 
exatamente uma cadeira vazia, é:
a) 3
b) 6
c) 9
d) 12
e) 15
39 Assinale a opção cujo número indica de quantas 
maneiras se pode organizar uma fila com quatro mulheres 
e três homens, de modo que os três primeiros lugares 
sejam ocupados por homens ou os quatro primeiros 
lugares sejam ocupados por mulheres.
a) 288
b) 144
c) 432
d) 576
40 Três homens e três mulheres vão ocupar 3 degraus 
de uma escada para tirar um foto. Essas pessoas devem 
se colocar de maneira que em cada degrau fique apenas 
um casal. Nessas condições, de quantas maneiras dife-
rentes elas podem se arrumar?
a) 1080
b) 720
c) 360
d) 288
e) 144
NÍVEL 3
41 O número de anagramas da palavra VESTIBULAN-
DO, que não apresentam as cinco vogais juntas, é:
a) 12!
b) (8!)(5!)
c) 12! – (8!)(5!)
d) 12! – 8!
e) 12! – (7!)(5!)
42 se leia da esquerda para a direita ou da direita para 
a esquerda, é chamada palíndromo (Ex: ovo, asa, acaiaca, 
serres, etc). Considerando-se as 23 letras do nosso alfa-
beto, quantos anagramas de 6 letras com características 
de um palíndromo, pode-se formar?
a) 236
b) 233
c) 323
d) 623
43 Um aspirante ganhou, em uma competição na 
Escola Naval, quatro livros diferentes de Matemática, 
três livros diferentes de Física e dois livros diferentes de 
Português. Querendo manter juntos aqueles da mesma 
disciplina, concluiu que poderia enfileirá-los numa pra-
teleira de sua estante, de diversos modos. A quantidade 
de modos com que poderá fazê-lo:
a) 48
b) 72
c) 192
d) 864
e) 1728
44 Uma prova consta de 10 proposições. Cada uma 
delas deve ser classificada como verdadeira (V) ou falsa 
(F). O número de maneiras de se classificar as 10 ques-
tões dessa prova, a fim de se obter pelo menos 70% de 
acertos é:
a) 120
b) 175
c) 176
d) 186
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CAPÍTULO 3 
Análise Combinatória
117
45 O número de anagramas da palavra ALAMEDA 
que não apresenta as 4 vogais juntas é:
a) 96
b) 744
c) 816
d) 840
46 Se você vai comprar algo que custa cinquenta e 
cinco centavos, em uma máquina automática, e dispõe 
de oito moedas de cinco centavos do mesmo modelo e 
cinco de dez centavos também do mesmo modelo, então, 
existem n sequências possíveis de introduzir as moedas, 
totalizando cinquenta e cinco centavos. O valor de n é:
a) 133
b) 127
c) 24
d) 4
47 Dos anagramas da palavra MATEMÁTICA, quantos 
apresentam as vogais juntas e em ordem alfabética?
a) 5040
b) 1800
c) 40320
d) 3628800
48 Quatro pontos não-coplanares determinam, exa-
tamente, quantos planos?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
49 Uma padaria faz sanduíches, segundo a escolha 
do cliente, oferecendo 3 tipos diferentes de pães e 10 
tipos diferentes de recheios. Se o cliente pode escolher 
o tipo de pão e, 1,2, ou 3 recheios diferentes, o número 
de possibilidades de compor o sanduíche é:
a) 525
b) 630
c) 735
d) 375
e) 450
50 Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, 
com exceção de Andréia, que vive brigando com Manoel 
e Alberto. Nessa classe, será constituída uma comissão 
de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se 
relacione bem com todos os outros. Quantas comissões 
podem ser formadas?
a) 71
b) 75
c) 80
d) 83
e) 87
GABARITOGABARITO
01. B 02. C 03. C 04. A 05. B 06. C
07. D 08. B 09. B 10. E 11. C 12. D
13. D 14. B 15. B 16. A 17. A 18. B
19. D 20. A 21. A 22. A 23. C 24. D
25. C 26. C 27. D 28. D 29. A 30. C
31. A 32. C 33. C 34. A 35. B 36. C
37. D 38. D 39. A 40. D 41. C 42. B
43. E 44. C 45. B 46. A 47. B 48. D
49. A 50. A
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CAPÍTULO 4 
Probabilidades
119
PROBABILIDADES
Probabilidade é o estudo das chances de obtenção de cada 
resultado de um experimento aleatório.
Espaço amostral: Dado um experimento chamamos de es-
paço amostral o conjunto de todos os resultados possíveis.
Por exemplo, no lançamento de um dado todos os casos 
possíveis é dado pelo conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento: É o conjunto de resultado de um experimento O 
evento é um subconjunto do espaço amostral.
Por exemplo, a ocorrência de um número primo no lan-
çamento de um dado que vai ser dado pelo conjunto E = 
{2, 3, 5}.
A probabilidade de um evento ocorrer é dada pela fórmula:
P E
n E
n A
, 0 P E 1( ) ( )( ) ( )= ≤ ≤
EVENTOS IMPORTANTESEVENTOS IMPORTANTES
Evento impossível:
É aquele que nunca ocorre na realização do experimento, 
ou seja, o evento é um conjunto vazio.
P E 0( ) =
Evento certo:
É aquele evento que sempre ocorre na realização do ex-
perimento, ou seja, o evento e o espaço amostral são con-
juntos iguais.
P E 1( ) = ou P E 100%( ) =
Eventos mutuamente exclusivos:
Sejam A e B dois eventos distintos e A ∩ B = ∅ , então:
P A B P A P B( ) ( ) ( )∪ = +
Eventos complementares:
São eventos mutuamente exclusivos cuja união é igual 
ao espaço amostral e a probabilidade deles ocorrerem é 
igual a 1 ou 100%.
P A P A 1( ) ( )+ = PROBABILIDADE DA 
A probabilidade de ocorrer a união de dois eventos é:
P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩ PROBABILIDA
A probabilidade de dois acontecimentos ocorrerem simul-
taneamente (dependência, sem reposição, e, condicional) 
é o produto da probabilidade de um acontecimento pela 
probabilidade do outro sob a condição do primeiro já ter 
ocorrido.
P A B P A . P A /B( ) ( ) ( )∩ =
Se dois ou mais fenômenos são independentes (com re-
posição, e ambos), a ocorrência de um não depende da 
do outro, a probabilidade de ambos ocorrerem é igual ao 
produto das probabilidades simples de cada um ocorrer 
separadamente.
P A B C P A . P B .P C .( ) ( ) ( ) ( )∩ ∩ … = …
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 Em um lote com 250 peças, foi constatado que 
existem exatamente seis defeituosas. Retirando-se, ao 
acaso, uma peça desse lote, a probabilidade de que ela 
seja perfeita é de _____%:
a) 82,3
b) 85,5
c) 97,6
d) 98,2
02 Dentre as 7 notas musicais, dois músicos escolhe-
rão, individualmente, uma nota. A probabilidade de que 
eles escolham notas iguais é:
a) 1/7
b) 2/7
c) 1/49
d) 2/49
03 Considere os números naturais de 1 até 100. 
Escolhido ao acaso um desses números, a probabilidade 
de ele ser um quadrado perfeito é:
a) 
1
10
.
b) 
4
25
.
c) 
3
10
.
d) 1
2
.
e) 9
10
.
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CAPÍTULO 4 
Probabilidades
120
04 Em um lançamento simultâneo de dois dados, 
sabe-se que ocorreram somente números diferentes de 
1 e 4. A probabilidade de o produto formado por esses 
dois números ser par é:
a) 1/2
b) 3/4
c) 3/5
d) 7/12
05 Um grupo é formado por três homens e duas mu-
lheres. Foram escolhidas, ao acaso, três pessoas desse 
grupo. Qual é a probabilidade de as duas mulheres do 
grupo estarem entre as três pessoas escolhidas?
a) 
3
10
b) 
1
10
c) 
2
5
d) 
2
3
e) 1
3
06 Uma bomba está prestes a explodir e um militar 
tentará desativá-la cortando um de seus fios de cada 
vez. Ela possui 10 (dez) fios, dos quais 1 (um) a desativa, 
7 (sete) causam a explosão e os outros 2 (dois) não cau-
sam efeito algum. A probabilidade de o militar ter uma 
segunda chance para desativar a bomba é de _____%:
a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
07 Um dado tem duas faces pintadas em azul, duas 
em amarelo, uma em preto e uma em vermelho. Jogando 
o dado, a probabilidade de obter a cor azul é:
a) 1/6
b) 1/3
c) 1/2
d) 2/3
e) 5/6
08 Numa roleta,há números de 0 a 36. Supondo que 
a roleta não seja viciada, então a probabilidade de o 
número sorteado ser maior do que 25 é:
a) 11/36
b) 11/37
c) 25/36
d) 25/37
e) 12/37
09 Dois dados cúbicos, não viciados, com faces nu-
meradas de 1 a 6, serão lançados simultaneamente. A 
probabilidade de que sejam sorteados dois números 
consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de:
a) 2/9
b) 1/3
c) 4/9
d) 5/9
e) 2/3
10 Com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6 são formados nú-
meros de três algarismos distintos. Um deles é escolhido 
ao acaso. A probabilidade de ele ser divisível por 5 é:
a) 3/5
b) 2/3
c) 1/5
d) 1/3
11 Em um grupo de turistas, 40% são homens. Se 
30% dos homens e 50% das mulheres desse grupo são 
fumantes, a probabilidade de que um turista fumante 
seja mulher é igual a:
a) 5/7
b) 3/10
c) 2/7
d) 1/2
e) 7/10
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CAPÍTULO 4 
Probabilidades
121
12 Uma urna contém 12 peças boas e 5 defeituosas. Se 
3 peças foram retiradas aleatoriamente, sem reposição, 
qual a probabilidade de serem 2 (duas) boas e 1(uma) 
defeituosa?
a) 1/12
b) 3/17
c) 33/68
d) 33/34
NÍVEL 2NÍVEL 2
13 Numa prova de Matemática, 80% dos alunos da 
turma A foram aprovados, sendo que 48% dos alunos 
aprovados são mulheres. Se um aluno da turma é selecio-
nado ao acaso, a probabilidade deste aluno ser mulher, 
considerando que esteja aprovado é:
a) 68%
b) 40%
c) 60%
d) 88%
e) 38%
14 Considerando o termo “neves”, podemos afirmar 
que a probabilidade de escolhermos uma letra ao acaso 
deste termo e esta ser uma vogal é:
a) 
1
4
.
b) 1
2
.
c) 
1
5
.
d) 2
5
.
15 Ao lançar um dado 3 vezes sucessivas, qual é a 
probabilidade de obter ao menos um número ímpar?
a) 
1
8
b) 1
4
c) 
3
8
d) 
5
8
e) 
7
8
16 Uma urna contém bolas verdes e azuis. Sabe-se 
que a probabilidade de se retirar uma bola azul é de 6
11
. 
A probabilidade de ser retirada, em uma única tentativa, 
uma bola verde é de:
a) 1
11
b) 2
11
c) 4
11
d) 5
11
17 Em um grupo de 7 professores, quatro são de Física 
e 3 são de Matemática. Escolhidos dois professores ao 
acaso, qual é a probabilidade de pelo menos um deles 
ser de Matemática?
a) 1
7
.
b) 2
7
.
c) 7
5
.
d) 2
5
.
e) 5
7
.
18 Uma moeda balanceada é lançada quatro vezes, 
obtendo-se cara exatamente três vezes. A probabilidade 
de que as caras tenham saído consecutivamente é igual a:
a) 1
4
.
b) 
3
8
.
c) 1
2
.
d) 3
4
.
19 Dentre um grupo formado por 2 Engenheiros e 
4 Matemáticos, três pessoas são escolhidas ao acaso. A 
probabilidade de que sejam escolhidos um Engenheiro 
e dois Matemáticos é de:
a) 25%
b) 35%
c) 39%
d) 50%
e) 60%
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 121Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 121 22/12/2022 08:22:3822/12/2022 08:22:38
CAPÍTULO 4 
Probabilidades
122
20 Uma urna contém 18 bolas vermelhas, 12 amare-
las e 20 brancas, sendo todas idênticas. Quantas bolas 
brancas devem ser retiradas dessa urna, de modo que, 
ao sortear uma bola, a probabilidade de ela ser branca 
seja igual a 1
6
?
a) 16
b) 15
c) 14
d) 13
e) 12
21 Um dado não tendencioso de seis faces será lan-
çado duas vezes. A probabilidade de que o maior valor 
obtido nos lançamentos seja menor do que 3 é igual a:
a) 
1
3
.
b) 
1
5
.
c) 1
7
.
d) 1
9
.
22 Em certo grupo de pessoas, 40 falam inglês, 32 
falam espanhol, 20 falam francês, 12 falam inglês e espa-
nhol, 8 falam inglês e francês, 6 falam espanhol e francês, 
2 falam as 3 línguas e 12 não falam nenhuma das línguas. 
Escolhendo aleatoriamente uma pessoa desse grupo, qual 
a probabilidade de essa pessoa falar espanhol ou francês?
a) 7,5%
b) 40%
c) 50%
d) 57,5%
e) 67,5%
23 Uma senhora acaba de fazer uma ultrassonografia 
e descobre que está grávida de quadrigêmeos. Qual é a 
probabilidade de nascerem dois meninos e duas meninas?
a) 
1
16
b) 
3
16
c) 
1
4
d) 
3
8
24 Temos uma urna com 6 bolinhas numeradas de 1 
a 6. Retiramos duas bolinhas sem reposição e calculamos 
a soma dos números das bolinhas sorteadas. Qual é a 
probabilidade de que a soma seja igual a 4?
a) 
1
36
b) 
1
30
c) 
1
18
d) 
1
15
NÍVEL 3NÍVEL 3
25 Um atirador, em um único tiro, tem probabilida-
de de 80% de acertar um específico tipo de alvo. Num 
exercício ele dá seis tiros seguidos nesse mesmo tipo de 
alvo. Considerando-se que os tiros são independentes, em 
cálculo aproximado, qual é a probabilidade de o atirador 
errar o alvo exatamente duas vezes?
a) 4,12%
b) 18,67%
c) 24,58%
d) 27,29%
26 Em uma sala estão cinco estudantes, um dos quais 
é Carlos. Três estudantes serão escolhidos ao acaso pelo 
professor para participarem de uma atividade. Qual é a 
probabilidade de Carlos ficar de fora do grupo escolhido?
a) 
2
5
b) 
1
4
c) 
3
5
d) 
1
2
e) 
2
3
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 122Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 122 22/12/2022 08:22:5322/12/2022 08:22:53
CAPÍTULO 4 
Probabilidades
123
27 Um jogo consiste em lançar cinco vezes um dado 
cúbico, cujas faces são numeradas de 1 a 6 , cada uma 
com a mesma probabilidade de ocorrer. Um jogador é 
considerado vencedor se obtiver pelo menos três resul-
tados pares. A probabilidade de um jogador vencer é:
a) 
3
5
b) 
2
3
c) 
1
5
d) 
1
2
28 O sistema de segurança de um aeroporto consiste 
de duas inspeções. Na primeira delas, a probabilidade de 
um passageiro ser inspecionado é de 
3
5
. Na segunda, a 
probabilidade se reduz para 
1
4
. A probabilidade de um 
passageiro ser inspecionado pelo menos uma vez é igual a:
a) 
17
20
.
b) 
7
10
.
c) 
3
10
.
d) 
3
20
.
29 Uma urna possui 5 bolas verdes e 4 amarelas. São 
retiradas duas bolas aleatoriamente e sem reposição. A 
probabilidade de ter saído bolas de cores diferentes é:
a) 5
9
b) 
5
18
c) 5
12
d) 9
17
e) 20
17
30 Considere uma urna contendo cinco bolas brancas, 
duas pretas e três verdes. Suponha que três bolas sejam 
retiradas da urna, de forma aleatória e sem reposição. 
Em valores aproximados, qual é a probabilidade de que 
as três bolas retiradas tenham a mesma cor?
a) 7,44%
b) 8,33%
c) 9,17%
d) 15,95%
e) 27,51%
31 Considere uma urna contendo cinco bolas é igual 
a 1
3
. Se o casal pretende ter 4 filhos, a probabilidade de 
que no máximo dois tenham olhos azuis é:
a) 1
9
b) 7
9
c) 8
9
d) 2
3
e) 1
2
32 Em uma das salas de aula do IFAL com 50 estudan-
tes, sendo 28 do sexo masculino e 22 do sexo feminino, 
foi sorteado, aleatoriamente, um estudante para ser 
o representante da turma. Qual a probabilidade de o 
estudante sorteado ser do sexo feminino?
a) 2%
b) 22%
c) 28%
d) 44%
e) 56%
GABARITOGABARITO
01. C 02. A 03. A 04. B 05. A 06. D
07. B 08. B 09. A 10. C 11. A 12. C
13. C 14. D 15. E 16. D 17. E 18. C
19. E 20. C 21. D 22. D 23. D 24. D
25. C 26. A 27. D 28. B 29. A 30. C
31. C 32. D
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 123Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 123 22/12/2022 08:23:1622/12/2022 08:23:16
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 124Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 124 22/12/2022 08:23:1622/12/2022 08:23:16
CAPÍTULO 5 
Binômio de Newton
BINÔMIO DE 
NEWTON
Usa-se a técnica da Análise Combinatória para ter um re-
sultado importante em Álgebra, que consiste em obter o 
desenvolvimento do binômio (x + y)n para n e x, a .
(x + a)0 = 1
(x + a)1 = x + a
(x + a)2 = x2 + 2xa + a2
(x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3
Para todo inteiro positivo n, podemos calcular usando a 
propriedade da distributiva:
x a x a . x a . x a x a
n( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ = + + + … +
TEOREMA BINOMIALTEOREMA BINOMIAL
O desenvolvimento de x a
n( )+ para n ∈  e x, a ∈  é 
dado por:
x a n
0
x n
1
x . n
2
x .a n
p
x .a n
n
.a
n
n n 1 n 2 2 n p p n( )+ = 


+




+



+…+





 +…




− − −
I) O número de parcelas distintas de x a
n( )+ é sempre 
igual a n + 1.
II) O termo geral de cada parcela de x a
n( )+ é igual a:
T n
p
x .a
p 1
n p p=





+
− , p ∈  , 0 ″ p ″ n.
III) Em um desenvolvimento binomial os coeficientes bino-
miais aparecem simétricos em relação às parcelas centrais. 
Em outras palavras, n
p
n
n p





 = −





 .
RELAÇÃO DE STIFELRELAÇÃO DE STIFEL
Se n ∈  , então:
n
p 1
n
p
n 1
p−





 +





 =
+





‘n’ vezes
TRIÂNGULO DE PASCALTRIÂNGULO DE PASCAL
A relação de Stifel permite que se monte uma tabela rela-
cionando os valores dos coeficientes binomiais.
1
2
2015 15
10 10
35 21
............................................. ............
3521
1
1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 5 1
1 6 6 1
1 77 1
1
1
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 Se x! x 1 !
x 1 !x!
20,
( )
( )
+
−
= então x vale:
a) -6
b) -5
c) 4
d) 5
e) 6
02 A expressão n!3
3 n 2 !
n 1
n 2 ( )+
+
−
 é equivalente a:
a) 
27
n 3n 22 + +
b) n 1
9n 18
−
+
c) n 1+
d) 27n 81n 542 + +
e) 27n 54+
125
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 125Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 125 22/12/2022 08:23:3522/12/2022 08:23:35
CAPÍTULO 5 
Binômio de Newton
03 A solução n da equação 
n 1
4
n 1
2
7
2
+



−



= é um número 
inteiro múltiplo de:
a) 11
b) 9
c) 7
d) 5
e) 3
04 No desenvolvimento de (2x – y)5(2x + y)5, a soma 
dos coeficientes numéricos vale:
a) 3
b) 27
c) 81
d) 243
e) 729
05 O coeficiente do termo de x98, no desenvolvimento 
de (x – 1)100 é:
a) 4950
b) 3200
c) 6300
d) 2500
06 No desenvolvimento de x 1
x
8
−





 , o valor do termo 
independente é:
a) – 70
b) – 35
c) 35
d) 70
07 O coeficiente do termo x³ no desenvolvimento de 
−





x
a
x
2
15
 é:
a) 455a
6
b) 105a
6
c) -105a
6
d) -455a
6
e) -1365a
6
08 O coeficiente de x5 no desenvolvimento de (x + 2)9 é:
a) 64
b) 126
c) 524
d) 1024
e) 2016
09 O termo independente de x no desenvolvimento 
de x 1
x
4
10
+





 é:
a) 13
b) 45
c) 36
d) 40
10 Seja a equação binomial 8x 3 86+  =   . O produto 
de suas raízes é:
a) 3
b) – 3
c) 0
d) 1/6
e) 1/3
11 O termo independente de “x” no desenvolvimento 
de −





x
2
x
2
23
12
 é igual a:
a) 
12
9
29−




×
b) 
12
10
210−




×
c) 12
8
28




×
d) 
12
9
29




×
e) 
12
10
210




×
12 No desenvolvimento de (x + 2)8, ordenado segun-
do as potências decrescentes de x, o coeficiente do 5° 
termo é:
a) 32
b) 480
c) 1120
d) 2400
e) 3460
126
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 126Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 126 22/12/2022 08:23:4622/12/2022 08:23:46
CAPÍTULO 5 
Binômio de Newton
NÍVEL 2NÍVEL 2
13 (EsPCEx) O valor da expressão E = (999)5 + 5.(999)4 
+ 10.(999)3 + 10.(999)2 + 5.(999) + 1 é igual a:
a) 9.103
b) 9.1015
c) 1015
d) 999.999
e) 999.1015
14 O termo independente no desenvolvimento do 
binômio 2x 3
x
2
3
5
−





 é:
a) - 720
b) - 360
c) 0
d) 360
e) 720
15 (EsPCEx) O termo independente de x no desenvol-
vimento de x 1
x
3
2
10
−





 é igual a:
a) 110
b) 210
c) 310
d) 410
e) 510
16 (EN) O coeficiente de x5 no desenvolvimento de 
2
x
x3
7
+





 é:
a) 30
b) 90
c) 120
d) 270
e) 560
17 A soma dos algarismos do termo independente de 
x no desenvolvimento do binômio de Newton 2
x
x
8
+





 é:
a) 3
b) 4
c) 6
d) 7
18 O termo independente de x do desenvolvimento 
de x 1
x3
12
+





 é:
a) 26.
b) 169.
c) 220.
d) 280.
e) 310.
19 A soma dos coeficientes de todos os termos do 
desenvolvimento de (x 2y)18− é igual a:
a) 0.
b) 1.
c) 19.
d) -1.
e) -19.
20 A soma dos coeficientes do desenvolvimento de 
(2x + y)5 é igual a:
a) 81
b) 128
c) 243
d) 512
e) 729
21 O coeficiente de a13 no binômio (a + 2)15 é:
a) 105.
b) 210.
c) 360.
d) 420.
e) 480.
127
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 127Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 127 22/12/2022 08:23:5222/12/2022 08:23:52
CAPÍTULO 5 
Binômio de Newton
22 O coeficiente de x6 no desenvolvimento de ( 2
x2 + 2)5 é:
a) 40 2
b) 48 2
c) 60 2
d) 80 2
23 Assinale a alternativa que apresenta o termo in-
dependente de x na expansão binomial x 1
x
2
6
8
+





 :
a) 1
b) 8
c) 28
d) 56
e) 70
24 No desenvolvimento do binômio (x + p.y)n, com p 
e n naturais, o termo 112x6y2 é o terceiro quando feito 
com potências crescentes de y e o sétimo quando feito 
com potências crescentes de x . O valor de p + n é igual a:
a) 10
b) 12
c) 9
d) 11
e) 13
NÍVEL 3NÍVEL 3
25 O número inteiro n, maior do que 3, para o qual 
os números n1
, n
2







 e 
n
3



 estão, nessa ordem, em 
progressão aritmética é:
Observação: np
n!
p! n p !( )





 =
−
a) n = 6
b) n = 8
c) n = 5
d) n = 7
26 O número de valores de x, para os quais os coe-
ficientes binomiais 62x



 e 
6
x2



 sejam iguais, é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
27 No desenvolvimento de x(2x + 1)10 o coeficiente 
de x3 é:
a) 480
b) 320
c) 260
d) 180
28 Desenvolvendo-se o binômio p(x) = (x + 1)5 , pode-
mos dizer que a soma de seus coeficientes é:
a) 16
b) 24
c) 32
d) 40
e) 48
29 Desenvolvendo o binômio (2x – 3y)3n, obtém-se 
um polinômio de 16 termos. O valor de n é:
a) 15
b) 10
c) 5
d) 4
30 Determine o valor numérico do polinômio p(x) = 
x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 2017 para x = 89:
a) 53 213 009
b) 57 138 236
c) 61 342 008
d) 65 612 016
e) 67 302 100
GABARITOGABARITO
01. C 02. A 03. E 04. B 05. A 06. D
07. D 08. E 09. B 10. B 11. A 12. C
13. C 14. E 15. B 16. E 17. B 18. C
19. B 20. B 21. D 22. D 23. C 24. A
25. D 26. B 27. D 28. C 29. C 30. D
128
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 128Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 128 22/12/2022 08:24:1322/12/2022 08:24:13
CAPÍTULO 6 
Matrizes
129
MATRIZES
Matriz m x n é uma tabela de m, n números reais dispostos 
em m linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais).
Exemplos:
1) A 5 0 3
0 10 2
=








 é uma matriz 2 x 3
2) B 4 3
1 1
=
−




 é uma matriz 2 x2
REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZREPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ
As matrizes costumam ser representadas por letras maiús-
culas e seus elementos por letras minúsculas, acompanha-
das de dois índices que indicam, respectivamente, a linha 
e a coluna ocupadas pelo elemento.
Uma matriz A do tipo m x n é representada por
:
�
�
�
� � � � �
�
A
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
11 12 13 1n
21 22 23 2n
31 32 33 3n
m1 m2 m3 mn
=






















, 1 i m
1 j n
≤ ≤
≤ ≤




.
MATRIZES ESPECIAISMATRIZES ESPECIAIS
MATRIZ LINHA
É toda matriz do tipo 1 x n, isto é, com uma única linha.
Exemplo: A 4 7 3 1
1x4
( )= − .
MATRIZ COLUNA
É toda matriz do tipo n x 1, isto é, com uma única coluna.
Exemplo: B
4
1
0
3x1
= −










.
MATRIZ NULA
É toda matriz em que todos os elementos são nulos. No-
tação: O
mx n
.
Exemplo: O 0 0 0
0 0 02 x 3
=








MATRIZ QUADRADAMATRIZ QUADRADA
É toda matriz do tipo n x n, isto é, com o mesmo número 
de linhas e colunas. Neste caso, dizemos que a matriz é 
de ordem n.
Exemplo: C 4 7
2 1
ordem2
2x2
=
−




→ 
D
4 1 0
0 π 3
2 7 3
ordem3
3x3
=
−











→
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Temos:
 » Diagonal principal: é o conjunto de elementos dessa 
matriz tais que i = j.
 » Diagonal secundária: é o conjunto de elementos dessa 
matriz tais que i + j = n + 1.
 » Traço de uma matriz: é a soma dos elementos da diagonal 
principal da matriz quadrada.
MATRIZ DIAGONAL
É toda matriz quadrada onde só os elementosda diagonal 
principal são diferentes de zero.
Exemplo: A 2 0
0 12
=





 B
4 0 0
0 3 0
0 0 7
3
=










.
MATRIZ IDENTIDADE
É toda matriz quadrada onde todos os elementos que não 
estão na diagonal principal são nulos e os da diagonal 
principal são iguais a 1. Notação: I
n
 onde n indica a ordem 
da matriz identidade.
E x e m p l o : I 1 0
0 12
=





 ; I
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3
=










 o u : 
I a , a 1, se i j
0, se i jn ij ij
= 

 =
=
≠




MATRIZ TRIANGULAR
Chamamos de matriz triangular uma matriz cujo os elemen-
tos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos.
A
5 0 0
3 1 0
7 9 3
=










 → triangular inferior
B
8 7 8
0 1 4
0 0 3
=
−
−










 → triangular superior
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 129Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 129 22/12/2022 08:24:2822/12/2022 08:24:28
CAPÍTULO 6 
Matrizes
130
MATRIZ TRANSPOSTA
Chamamos de matriz transposta uma matriz A a matriz que 
é obtida a partir de A, trocando-se ordenadamente suas 
linhas por colunas ou suas colunas por linhas.
Notação: At.
Exemplo: Se A 2 3 0
1 2 1
=
− −








 então At=
2 1
3 2
0 1
−
−












MATRIZ SIMÉTRICA
Uma matriz quadrada de ordem n é simétrica quando A=At.
MATRIZ ANTISSIMÉTRICA
Uma matriz quadrada de ordem n é simétrica quando A= - At.
Propriedades da transposta:
I) (At)t = A
II) (A + B)t = At + Bt
III) (k.A)t = k.At , k ∈ 
IV) (A.B)t = Bt.At
MATRIZ OPOSTA
Chamamos de matriz oposta de uma matriz A a matriz que 
é obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todas os seus 
elementos. Notação: - A
Exemplo: Se A 5 0
4 -1
=





 então A− = 5 04 1
−
−






IGUALDADE DE MATRIZESIGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, 
todos os elementos que ocupam a mesma posição são 
idênticos. Notação: A = B.
Exemplo: Se A 2 5
1 b
=
−





 B 2 c1 7
=
−





 e A = B, então c = 
5 e b = 7
OPERAÇÕES COM MATRIZESOPERAÇÕES COM MATRIZES
ADIÇÃO
Dadas as matrizes A= a
ij m x n



 e
B = b
ij m x n



 , chamamos de soma das matrizes A e B a ma-
triz C = c
ij m x n



 , tal que c a bij ij ij= + , para todo 1 i m″ ″ e todo 
1 i n″ ″ . Notação: A + B = C
Exemplo: 
3 4
4 6
5 7
7 1
3 2
1 10
10 5
7 4
6 17










+ −










=










SUBTRAÇÃO
Dadas as matrizes A= a
ij m x n



 e B= bij m x n



 , chamamos de 
diferença entre as matrizes A e B a soma de A com a matriz 
oposta de B. Notação: A - B = A + (-B)
OBS: A + B existe se, e somente se, A e B são do mesmo 
tipo (m x n).
Exemplo: 14
10
8
3
14
10
8
3
6
13





 − −





 =





 + −





 =






PROPRIEDADES DA ADIÇÃO:
I) Elemento neutro: A + 0 = A
II) Comutativa: A + B = B + A
III) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
IV) Elemento simétrico: (A) + (-A) = 0
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um número real k e uma matriz A do tipo m x n, o 
produto de k por A é uma matriz do tipo m x n, obtida pela 
multiplicação de cada elemento de A por k. Notação: B = k.A
OBS: Cada elemento b
ij
 de B é tal que b
ij
= k.a
ij
.
Exemplo: 3.
2 3
7 8
5 2
6 9
21 24
15 6
−
−
−










=
−
−
−










MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
O produto das matrizes A= a
ij m x p



 e B= bij p x n



 é a matriz 
C= c
ij m x n



 , onde cada elemento cij é obtido através da soma 
dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima 
linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B. A ma-
triz produto A.B existe apenas se o número de colunas da 
primeira matriz (A) é igual ao número de linhas da segunda 
matriz (B). Assim: A e B A.B
m x p p x n m x n
( )⇒
Exemplo: Sendo A= 2 3
4 1





 e B= 1 23 4





, vamos determi-
nar A.B e B.A e comparar os resultados:
1) A.B = 3 5
4 2 2 x 2





 . 5 23 1 2 x 2





 = 
3.5 5.3 3.2 5.1
4.5 2.3 4.2 2.1
15 15 6 5
20 6 8 2
30 11
26 10 2 x 2
+ +
+ +





 = + ++ +





 =






Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 130Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 130 22/12/2022 08:24:5222/12/2022 08:24:52
CAPÍTULO 6 
Matrizes
131
2) B.A = 5 2
3 1 2 x 2





 . 3 54 2 2 x 2





 = 
5.3 2.4 5.5 2.2
3.3 1.4 3.5 1.3
15 8 25 4
9 4 15 3
23 29
13 18 2 x 2
+ +
+ +





 = + ++ +





 =






Comparando os resultados, observamos que A.B ↑B.A, 
ou seja, a propriedade comutativa para multiplicação de 
matrizes não vale.
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
I) Elemento neutro: A.In = A
II) Associativa: (AB)C = A(BC)
III) Distributiva à direita: (A+B)C=AC + BC
IV) Distributiva à esquerda: A(B+C)=AB+ AC
V) k.(A.B) = (k.A).B = A.(k.B), sendo k ∈ 
MATRIZ INVERSAMATRIZ INVERSA
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma 
matriz, de mesma ordem, tal que A.A′= A′.A = I
n
, então A′ 
é matriz inversa de A. (Em outras palavras: A.A A .A I
n
′ = ′ =
. Isto implica que A′ é a matriz inversa de A, e é indicada 
por A 1− ). Notação: A 1− .
Exemplo: Sendo A = 4 2
2 1 2 x 2
−




 , vamos determinar a 
matriz inversa de A, se existir.
Seja A-1 = 
a b
c d





, temos:
4 2
2 1
. a b
c d
1 0
0 1
−










 =





 ⇒
4a 2c 4b 2d
2a c 2b d
1 0
0 1
− −
+ +





 =





 ⇒
1) 4a 2c 1
2a c 0
− =
+ =



 ⇒ a = 1
8
 e c = 1
4
−
2) 4b 2d 0
2b d 1
− =
+ =



⇒ b = 1
4
 e d = 1
2
Portanto, A-1 = 1/ 8 1/ 4
1/ 4 1/ 2−






PROPRIEDADES DA INVERSA:
I) (A-1)-1 = A
II) (A.B)-1 = B-1.A-1
III) (At)-1 = (A-1)t
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 Na matriz A = 1 0 12 1
5 3
−
…
…










 faltam 2 elementos. Se 
nessa matriz aij = 2i – j, a soma dos elementos que faltam é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
02 Seja a matriz A = (aij)2x2 tal que aij = |i² − j²|. A soma 
dos elementos de A é igual a:
a) 3
b) 6
c) 9
d) 12
03 Sendo A = 1 2 33 2 1
1 3 2
− − −
− −










, B = 
0 0 1
2 0 1
6 5 2
−










 e C = A 
. B, o elemento 33 da matriz é:
a) 9
b) 0
c) – 4
d) – 8
e) – 12
04 O valor de 2A² + 4B² quando A = 2 0
0 2−





 e B = 
0 1
1 0
−




 é igual a:
a) 4 4
4 4






b) 4 0
0 4






c) 0 0
0 0






Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 131Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 131 22/12/2022 08:25:1622/12/2022 08:25:16
CAPÍTULO 6 
Matrizes
132
d) 0 4
4 0






e) 6 0
0 6






05 A matriz A 2 3
ij ( )× tem elementos definidos pela 
expressão a i – j .
ij
3 2= Portanto, a matriz A é:
a) 0 3 8
7 4 1
− −
−




b) 0 7 26
3 4 23−




c) 
0 3
7 4
26 23
−









d) 
0 7
3 4
8 1
−
− −










e) 0 1 2
1 0 1
− −
−




06 (EEAR) Se 1 a
1 2−




 e b 1
x 2k
−



 são matrizes opos-
tas, os valores de a, b, x e k são respectivamente:
a) 1, 1,1,1−
b) 1,1, 1, 1− −
c) 1, 1,1, 1− −
d) 1, 1, 2, 2− − − −
07 Considere a seguinte operação entre matrizes: 
6 2
4 3
K 6
1




⋅ = −




A soma de todos os elementos da matriz K é:
a) 1.
b) 3.
c) 4.
d) 7.
08 Sejam as matrizes A3x2, B2x3 e C3x3. É verdade que:
a) A + Bt é uma matriz 2x3.
b) A . B é uma matriz 3x3.
c) A . B é uma matriz 2x2.
d) B . C é uma matriz 3x3.
09 Dadas as matrizes 
A 3 2i 3 4i
1 3i 2 i
e B 1 2i 3 3i
2 3i 2 3i
,= − +
+ −





 = − + − +− − −





 pode-se 
afirmar que (A + B)2 é:
a) 4 21i 28 14i
6 12i 16 21i
− − +
− +






b) 4 21i 16 21i
6 12i 28 14i
− +
− − +






c)4 21i 28 14i
6 12i 16 21i
− + +
− − +






d) 4 21i 28 14i
6 12i 16 21i
+ +
− − +






e) 16 21i 28 14i
6 12i 4 21i
− + +
− +






10 Sobre as propriedades da matriz transposta, con-
sidere as sentenças abaixo:
I. A B A B
t
t t( )+ = +
II. kA kA
t
t( ) =
III. AB A B
t
t t( ) =
Assinale a alternativa correta:
a) Apenas a sentença II é verdadeira.
b) Apenas a sentença III é verdadeira.
c) Apenas as sentenças I e II são verdadeiras.
d) Apenas as sentenças II e III são verdadeiras.
e) Apenas as sentenças I e III são verdadeiras.
11 O valor de x + y, para que o produto das matrizes 
A 1 x
y 1
e B
2 2
2 2
=








=
−
−








seja a matriz nula, é:
a) - 1
b) 0
c) 1
d) 2
e) 4
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 132Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 132 22/12/2022 08:25:3922/12/2022 08:25:39
CAPÍTULO 6 
Matrizes
133
12 Sendo as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas 
de ordem 2 com aij = i
2 - j2 e bij = - i
2 + j2, o valor de A - B é:
a) 0 0
0 0






b) 0 6
6 0
−





c) 0 6
0 0
−





d) 0 6
6 0−






NÍVEL 2NÍVEL 2
13 Seja A a matriz A = (aij)2x3, cuja lei de formação é 
dada por a 3i j, se i j
2i 3j, se i jij
=
+ ≠
− =




. É correto afirmar que:
a) A
1
6
2
5
7
9
=
− −









b) A
1
5
6
7
2
9
=
−
−
−










c) A 1 7 5
6 2 9
= −








d) A 1 5 6
7 2 9
= −
−








14 Sobre as sentenças:
I. O produto de matrizes A3x2 . B2x1 é uma matriz 3x1.
II. O produto de matrizes A5x4 . B5x2 é uma matriz 4x2.
III. O produto de matrizes A2x3 . B3x2 é uma matriz quadrada 
2x2.
é verdade que:
a) somente I é falsa.
b) somente II é falsa.
c) somente III é falsa.
d) somente I e III são falsas.
e) I, II e III são falsas.
15 Observe que se A = 0 1
2 3





 e B = 4 56 7





, então 
A.B é a matriz:
a) 0 5
12 21






b) 6 7
26 31






c) 6 26
7 31






d) 0 12
5 21






e) 0 0
12 14






16 Considere as matrizes M 1 1 22 0 3
2 1 1
=
−
−










 e 
N
0 2 3
1 1 1
0 1 2
.= −
−










 A matriz M N⋅ tem em sua segunda co-
luna elementos cujo produto vale:
a) 56.
b) 28.
c) 0.
d) 48.
e) -8.
17 A matriz triangular de ordem 3, na qual a 0
ij
= para 
i j> e a 4i 5j 2
ij
= − + para i j″ é representada pela matriz:
a) 
1 4 9
0 0 5
0 0 1
− −
−
−










b) 
1 4 9
0 1 5
0 0 0
− −
−










c) 
3 8 13
0 4 9
0 0 5










d) 
3 0 0
8 4 0
13 9 5










Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 133Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 133 22/12/2022 08:26:0122/12/2022 08:26:01
CAPÍTULO 6 
Matrizes
134
18 (EEAR) Dadas as matrizes A 1 3
2 0
=





 e B 0 11 2
,=





 
o produto A B⋅ é a matriz:
a) 3 7
2 2






b) 4 7
2 2






c) 3 7
0 2






d) 4 4
0 2






19 Seja A (a )
ij 22
= uma matriz tal que a j , se i j
( i) , se i j
.
ij
i
j
=
− =
− ≠




A inversa da matriz A, denotada por A ,1− é a matriz:
a) 
2 1
2
1 1
2
−
−














b) 
2 1
2
1 1
2
−
−














c) 
1
6
2
3
1
6
2
3
− −
−














d) 
1
6
2
3
1
6
2
3
− −














e) 
2
3
1
6
1
3
1
6
− −
−














20 (EsPCEx) Uma matriz quadrada A, de ordem 3, é 
definida por a i j, se i j
( 1) , se i j
.
ij i j
=
− >
− ≤




+
Então det(A )1− é igual a:
a) 4.
b) 1.
c) 0.
d) 1
4
.
e) 1
2
.
21 Analise as proposições abaixo.
I.O produto de uma matriz linha por uma matriz linha é 
uma matriz linha.
II. Uma matriz identidade elevada ao quadrado é uma 
matriz identidade.
III. O produto de uma matriz por sua transposta é a matriz 
identidade.
Assinale a alternativa correta:
a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
c) Somente a afirmativa II é verdadeira.
d) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
e) Todas as afirmativas são verdadeiras.
22 Uma matriz B possui i linhas e j colunas e seus 
elementos são obtidos a partir da expressão bij = i – 2j. 
Seja uma matriz A = (aij)2x3 cujos elementos da primeira 
coluna são nulos e I2 a matriz identidade de ordem 2, tal 
que AB = I2.
O valor numérico do maior elemento da matriz A é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
23 Uma matriz A de ordem 2 transmite uma palavra 
de 4 letras em que cada elemento da matriz representa 
uma letra do alfabeto.
A fim de dificultar a leitura da palavra, por se tratar de 
informação secreta, a matriz A é multiplicada pela matriz 
B 3 1
5 2
= −
−





 obtendo-se a matriz codificada B A.⋅
Sabendo que a matriz B . A é igual a 10 27
21 39
,−
−





 pode-
mos afirmar que a soma dos elementos da matriz A é:
a) 46
b) 48
c) 49
d) 47
e) 50
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 134Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 134 22/12/2022 08:26:2622/12/2022 08:26:26
CAPÍTULO 6 
Matrizes
135
24 Determine uma matriz invertível P que satisfaça a 
equação P A 5 0
0 2
,1 ⋅ =
−






− sendo A 1 2
3 3
:= −






a) P
5
3
10
9
2
3
2
9
=
−














b) P 2 10
6 15
=
−






c) P 1
10
2 10
3 3
=
−






d) P
1
5
1
3
5
3
2
=
−














NÍVEL 3NÍVEL 3
25 Sendo a um número real, considere a matriz 
1 a
0 1
.
−




 Então, A2017 é igual a:
a) 1 0
0 1
.




b) 1 a
0 1
.
−




c) 1 1
1 1
.




d) 1 a
0 1
.
2017
−




26 Dada a matriz B 3
4
=
−





 e sabendo que a matriz 
A 2 1
5 3
1 = −






− é a matriz inversa da matriz A, podemos 
concluir que a matriz x, que satisfaz a equação matricial 
AX = B, tem como soma de seus elementos o número:
a) 14
b) 13
c) 15
d) 12
e) 16
27 Dada a matriz A 1 1
1 1
=





 e a função f, definida no 
conjunto das matrizes 2x 2 por f X X 2X,2( ) = − então f A( ) é:
a) 1 1
1 1
− −
− −






b) 0 0
0 0






c) 1 1
1 1






d) 2 2
2 2






e) 3 3
3 3






28 (EsPCEx) O elemento da segunda linha e terceira 
coluna da matriz inversa da matriz 
1 0 1
2 1 0
0 1 1










 é:
a) 2
3
b) 3
2
c) 0
d) 2−
e) 1
3
−
29 Sabendo que a inversa de uma matriz A é 
A 3 1
5 2
,1 = −
−






− e que a matriz X é solução da equação 
matricial X . A = B, em que
B = [8 3], podemos afirmar que a soma dos elementos da 
matriz X é:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
30 (EsPCEx) Considere as matrizes A 3 5
1 x
=








 e 
B x y 4
y 3
.= +








Se x e y são valores para os quais B é a transposta da 
Inversa da matriz A, então o valor de x + y é:
a) –1
b) –2
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 135Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 135 22/12/2022 08:26:5122/12/2022 08:26:51
CAPÍTULO 6 
Matrizes
136
c) –3
d) –4
e) –5
31 Sejam as matrizes 
M 2 3
1 0
, N 4 0
1 5
e P M N N M.=
−





 =





 = ⋅ + ⋅ O menor 
elemento da matriz P é:
a) – 7.
b) – 1.
c) – 5.
d) 2.
32 Seja X a matriz que satisfaz a equação matricial 
X.A = B, em que:
A 2 1
5 3
=





 e B 8 5= 

.
Ao multiplicar os elementos da matriz X, obteremos o 
número:
a) - 1
b) - 2
c) 1
d) 2
e) 0
33 Dada uma matriz A = 1 2
1 0−





, denotamos por A-1 
a matriz inversa de A. Então A+A-1 é igual a:
a) 2 3
1 0






b) 1 1
2 0
−





c) 
1 1
1
2
1
2
−










d) 
0 11
2
1
2
−









e) 2 4
2 0−






34 Sejam as matrizes A = (aij)3x2, tal que aij = 2i - 3j e 
B = (bjy)2x3, tal que bjy = y - j . O determinante da matriz A 
. B é igual a:
a) -12
b) - 6
c) 0
d) 6
e) 12
GABARITOGABARITO
01. D 02. B 03. D 04. B 05. A 06. C
07. A 08. B 09. D 10. C 11. D 12. B
13. D 14. B 15. B 16. B 17. A 18. C
19. E 20. D 21. C 22. B 23. D 24. D
25. B 26. B 27. A 28. A 29. A 30. C
31. A 32. B 33. C 34. C
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 136Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 136 22/12/2022 08:27:0822/12/2022 08:27:08
CAPÍTULO 7 
Determinante
DETERMINANTE
Determinante é uma operação que associa um número a 
matrizes quadradas.
MATRIZ DE 1ª ORDEMMATRIZ DE 1ª ORDEM
Dada uma matriz quadrada de 1a ordem M= a
11



, temos 
que o determinante associado a essa matriz é dado por: 
det M = a
11
 = a
11
.
MATRIZ DE 2ª ORDEMMATRIZ DE 2ª ORDEM
Dada a matriz M=
a a
a a
11 12
21 22








, de ordem 2, por definição, 
temos que o determinante associado a essa matriz é dado 
por:
detM
a a
a a
a a a a11 12
21 22
11 22 12 21( ) ( )= = −
MATRIZ DE 3ª ORDEM (REGRA DE MATRIZ DE 3ª ORDEM (REGRA DE 
SARRUS)SARRUS)
Dispositivo prático para calcular o determinante de 3ª or-
dem.
D = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) – (a13a22a31 + a11a23a32 + 
a12a21a33)
MENOR COMPLEMENTARMENOR COMPLEMENTAR
Chamamos de menor complementar relativo ao elemento 
a
ij
 de uma matriz M, quadrada e de ordem n > 1, o deter-
minante MC
ij
, de ordem n – 1, associado à matriz obtida de 
M quando suprimos a linha e a coluna que passam por a
ij
.
COFATORCOFATOR
Chamamos de cofator (ou complemento algébrico) relati-
vo ao elemento a
ij
 de uma matriz quadrada de ordem n o 
número A
ij
, tal que A ( 1) MC
ij
i j
ij
= − ⋅+ .
TEOREMA DE LAPLACETEOREMA DE LAPLACE
O determinante de uma matriz quadrada M a m 2
ij m x m
( )=   ≥ 
pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de 
uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respec-
tivos cofatores. Assim, fixando j N, tal que 1 j m∈ ≤ ≤ , temos: 
detM a A
i 1
m
ij ij∑= = ,onde, a Ai 1
m
ij ij∑ = é o somatório de todos os 
termos de índice i, variando de 1 até m, m N∈ e A
ij
 é o 
cofator ij.
MATRIZ ADJUNTAMATRIZ ADJUNTA
A matriz transposta da matriz dos cofatores de uma matriz 
A é chamada adjunta de A.
PROPRIEDADES DOS PROPRIEDADES DOS 
DETERMINANTESDETERMINANTES
 » Propriedade 1: Quando todos os elementos de uma fila 
(linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz 
é nulo.
 » Propriedade 2: Se duas filas paralelas de uma matriz são 
iguais, então seu determinante é nulo.
 » Propriedade 3: Se duas filas paralelas de uma matriz são 
proporcionais, então o seu determinante é nulo.
 » Propriedade 4: Se os elementos de uma fila de uma matriz 
são combinações lineares dos elementos correspondentes 
de filas paralelas, então o seu determinante é nulo.
 » Propriedade 5: O determinante de uma matriz não se 
altera quando somamos aos elementos de uma fila uma 
combinação linear dos elementos correspondentes de 
filas paralelas.
 » Propriedade 6: O determinante de uma matriz e o de sua 
transposta são iguais.
 » Propriedade 7: Multiplicando por um número real todos 
os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante 
dessa matriz fica multiplicado por esse número.
137
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 137Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 137 22/12/2022 08:27:2622/12/2022 08:27:26
CAPÍTULO 7 
Determinante
 » Propriedade 8: Quando trocamos as posições de duas 
filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.
 » Propriedade 9: Quando, em uma matriz, os elementos 
acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos 
(matriz triangular), o determinante é igual ao produto dos 
elementos dessa diagonal.
 » Propriedade 10 (TEOMEMA DE BINET): Para A e B matrizes 
quadradas de mesma ordem n, temos: det A.B detA.detB( ) = .
 » Propriedade 11: Como A . A-1 = I, na propriedade acima, 
temos: det A 1
detA
1( ) =− .
 » Propriedade 11: Se A é uma matriz quadrada de ordem 
n e k ∈  , então det (k.A) = kn.detA.
MATRIZ DE VANDERMONDMATRIZ DE VANDERMOND
Chamamos de matriz de Vandermond toda matriz quadrada 
de ordem n 2≥ , com a seguinte forma:
�
�
�
�
� � � �
�
V
1 1 1
a a a
a a a
a a a
a a a
1 2 n
1
2
2
2
n
2
1
3
2
3
n
3
1
n 1
2
n 1
n
n 1
=


























− − −
Observe que cada coluna dessa matriz é formada por po-
tências de mesma base com expoentes inteiros, que variam 
de 0 até n-1. O determinante da matriz de Vandermond 
é dado por:
Det V = (a2 – a1).(a3 – a2)(a3 – a1)(a4 – a1)(a4 – a2)(a4 – a3) ... 
(an – an - 1)...(an – a1)
DETERMINAÇÃO DA MATRIZ DETERMINAÇÃO DA MATRIZ 
INVERSAINVERSA
I) MATRIZ DOS COFATORES (A’):
Dada a matriz A, a matriz formada pelos respectivos cofa-
tores dos elementos de A é a matriz A’, que é chamada de 
matriz dos cofatores de A.
II) MATRIZ ADJUNTA (A):
Chamamos de A, a matriz adjunta de A, que é a matriz 
transposta da matriz dos cofatores A’.
III) MATRIZ INVERSA (A-1):
A matriz inversa é obtida pela seguinte fórmula:
A 1
detA
. A1 =−
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 Dadas as matrizes A 1 2 3=   e B
4
5
6
,=










 o 
determinante det A B( )⋅ é igual a:
a) 18
b) 21
c) 32
d) 126
e) 720
02 Observe a matriz: 3 t 43 t 4+ −−






Para que o determinante dessa matriz seja nulo, o maior 
valor real de t deve ser igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
03 Calcule o valor de x para que se tenha x 3
4 2
0 :− =
a) -3.
b) 6.
c) 0.
d) 3.
e) -6.
04 Se A 1 2
1 0
e B 1 2
1 0
=
−




=
−




. O determinante 
da matriz (AB) 1− é:
a) 1
10
− .
b) 21
10
.
c) 13
10
.
d) 13
10
.−
e) nda.
138
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 138Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 138 22/12/2022 08:27:4622/12/2022 08:27:46
CAPÍTULO 7 
Determinante
05 A solução real da equação 
1 log x 3
2 1 2
3 log x 1
8,
2
2
( )
( )
= 
é um número inteiro log x
2 ( ) ≡ logaritmo de x na base 2:
a) par.
b) primo.
c) múltiplo de 3.
d) múltiplo de 5.
06 Considere as matrizes A (a ) ,
ij 2 3
=
×
 com 
a 2i j,B
1 2
0 1
m 1 2
ij 2
= − = −
−










 e C m 0
3m 6
,= −




 sendo m um 
número real. Sabendo que C A B,= ⋅ então det C é igual 
a:
a) 0.
b) 12.−
c) 8.−
d) 6.
e) 4.−
07 Considere as funções f x x 0 x1 x 2
2 1 1
( ) = e 
g x
x 11 4
10 11 x
1 2 0
.( ) =
−
 Desta forma, pode-se afirmar que 
o ponto de interseção das funções f(x) e g(x), é:
a) (6, 30)
b) (9, -90)
c) (9, 72)
d) (6, -42)
08 Dadas as matrizes A 1 2
3 4
=





 e B 1 21 0
,= −





 o 
determinante da matriz A B⋅ é:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 12
e) 27
09 Sendo o determinante ∆ =
− −
x 4
1 x 2
 e 
{ }= ∈ ∆ =A x ; 0 , o número de elementos do conjunto A 
é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
10 (EEAR) Para que o determinante da matriz 
1 1 1
1 0 b
1 2 1
−









 seja 3, o valor de b deve ser igual a:
a) 2
b) 0
c) 1−
d) 2−
11 O valor do determinante abaixo:
cos x senx
senx cos x
−
 é:
a) 1.
b) cos 2x.
c) sen 2x.
d) tg 2x.
e) cos2x – sen2x.
12 Considere a seguinte matriz A = (aij)3x3:
2 1 log 8
1 2 4
3 log 4 1
2
2
−












Pela regra de Sarrus, o determinante dessa matriz é:
a) 8.
b) 9.
c) 15.
d) 24.
139
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 139Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 139 22/12/2022 08:28:1422/12/2022 08:28:14
CAPÍTULO 7 
Determinante
NÍVEL 2NÍVEL 2
13 Dadas as matrizes A x 2
1 1
e B 1 x
1 2
=





 = −





 a 
diferença entre os valores de x, tais que det A B 3x,( )⋅ = 
pode ser igual a:
a) 3
b) -2
c) 5
d) -4
e) 1
14 Dadas as matrizes A = (aij)3x3 tal que a 10,se i ja 0,sei jij
ij
= =
= ≠




 
e B = (bij)3x3 tal que 
b 3,se i j
b 0,se i j
ij
ij
= =
= ≠




, o valor de det(AB) :
a) 27 x 103
b) 9 x 103
c) 27 x 102
d) 32 x 102
e) 27 x 104
15 Dadas as matrizes A = x 3
2 1
−
− −





 e B = 1 x3 2−





, 
o valor de x para que o determinante de A + B seja igual 
a 40 é:
a) 9
b) 8
c) 7
d) 6
e) 5
16 Considere a matriz A, quadrada de ordem 2, cujo 
termo geral é dado por aij = log i.j2 ( ), então o determinante 
da matriz A é igual a:
a) – 2
b) – 1
c) 0
d) 1
e) 2
17 Sabendo que o determinante da matriz A = 
1 1 0
log m 2 1
3 0 1
2










 é igual a zero, então:
a) m = 1
b) m = 2
c) m = 5
d) m = 25
e) m = 32
18 Sejam as matrizes A 2 1 30 5 1
3 2 1
=










e B 2 3
0 9
=






O valor de (det A) : (det B) é:
a) 4
b) 3
c) -1
d) -2
19 O valor do determinante 1 0 21 0 2
2 3 4
− −










 é:
a) – 2
b) 0
c) 1
d) 2
20 Se A 0 x yx 0 2
y 2 0
=










 e det A = 4 3 , então x2y2 é 
igual a:
a) 24
b) 12
c) 6
d) 3
21 Sabendo que p é um número real, considere a ma-
triz A p 2
0 p
=








 e sua transposta A .T Se A AT+ é singular 
(não invertível), então:
a) p = 0.
b) |p| = 1.
c) |p| = 2.
d) p = 3.
140
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 140Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 140 22/12/2022 08:28:2922/12/2022 08:28:29
CAPÍTULO 7 
Determinante
22 Seja a matriz A 
1 1 1 1 1
1 2 3 4 5
1 4 9 16 25
1 8 27 64 125
1 16 81 256 625
Qual é o valor do determinante da matriz A?
a) 96
b) 98
c) 100
d) 144
e) 288
23 Sabendo que a e b são números reais, considere 
a matriz quadrada de ordem 3, 
A
1 a 1
b 1 a
2 b 2
.=










Se a soma dos elementos em cada linha da matriz A 
tem sempre o mesmo valor, então o determinante de 
A é igual a:
a) 0.
b) 2.
c) 5.
d) 10.
24 O valor do determinante 
0 log 3 log 1
3
1 log 27 log 27
0 log 81 log 243
3 1
3
3 1
3
3 3
 é:
a) 0
b) 1
c) 1−
d) 3
e) 1
3
NÍVEL 3NÍVEL 3
25 A solução real da equação 
1 log x 3
2 1 2
3 log x 1
8,
2
2
( )
( )
= é 
um número inteiro
Log2 (x) ≡ logaritmo de x na base 2:
a) par.
b) primo.
c) múltiplo de 3.
d) múltiplo de 5.
26 Uma matriz quadrada x = (aij) é simétrica 
quando aij = aji . Se o determinante da matriz simétrica 
M
1 2 3
x 1 y
z w 1
=










 é igual a 8, então, o valor da soma x + y 
+ z + w pode ser:
a) 9 ou 11.
b) 9 ou 25.
c) 11 ou 25.
d) 9 ou 13.
27 Seja A uma matriz real tal que
A
log x 1
log x 2 log x
.2
2 2
=
+








O único valor de x natural para que a matriz A não seja 
invertível é:
a) -4
b) 4.
c) 5.
d) -5.
e) 1.
141
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 141Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 141 22/12/2022 08:28:5222/12/2022 08:28:52
CAPÍTULO 7 
Determinante
28 Considerando que A é uma matriz quadrada de 
ordem 3 e inversível, se det(3A) = det(A2), então det(A) 
é igual a:
a) 9
b) 0
c) 3
d) 6
e) 27
29 Seja ∅ o determinante da matriz 1 2 3x x x
x x 1
.2 3










 O 
número de possíveis valores de x reais que anulam ∅ é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
30 Considere as matrizes A e B, inversíveis e de or-
dem n, bem como a matriz identidade I. Sabendo que 
det(A) = 5 e det(I.B-1.A) 1
3
,= então o det[3.(B-1.A-1)t] é igual a:
a) 5 3n⋅
b) 3
5
n–1
2
c) 3
15
n
d) 3n 1−
GABARITOGABARITO
01. C 02. A 03. E 04. E 05. A 06. B
07. D 08. A 09. A 10. B 11. A 12. C
13. C 14. A 15. A 16. B 17. E 18. D
19. B 20. D 21. B 22. E 23. D 24. C
25. A 26. B 27. B 28. E 29. C 30. B
142
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 142Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 142 22/12/2022 08:29:0722/12/2022 08:29:07
CAPÍTULO 8 
Sistemas Lineares
SISTEMAS 
LINEARES
EQUAÇÕES LINEARESEQUAÇÕES LINEARES
Equação linear é toda equação de 1° grau, tendo uma ou 
mais de uma incógnita. Ela é do tipo a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + 
anxn = b, onde x1, x2, x3, ..., xn, são as incógnitas a1, a2, a3, ..., 
an são números reais, chamados coeficientes e b, também 
real, é o termo independente.
Exemplos:
1) 3x1 + 4x2 – x3 = 10
2) 2m + 6n – 7p = 2
3) 2x + 7y + 11z – 2w = 0
SOLUÇÕES DE UMA EQUAÇÃO SOLUÇÕES DE UMA EQUAÇÃO 
LINEARLINEAR
Chamamos de solução da equação linear a1x1 + a2x2 + a3x3 + 
... + anxn = b, a sequência (ou ênupla) ordenada de números 
reais (a1,a2,a3,a4, ...an), tal que a1a1 + a2a2 + a3a3 + ... + anan = 
b seja uma verdade.
Exemplo:
1) 2x + 3y = 8
(1, 2) é solução pois 2.1 + 3.2 = 8.
(- 1, 10) não é solução pois 2(-1) +.10 ↑ 8
CONJUNTO SOLUÇÃOCONJUNTO SOLUÇÃO
É o conjunto de todas as ênuplas ordenadas que satisfazem 
a equação linear.
SISTEMA LINEARSISTEMA LINEAR
É o conjunto formado por m equações lineares nas incóg-
nitas x1, x2, x3, x4, ... xn:
O sistema pode ser escrito utilizando a multiplicação de 
matrizes:
Exemplo:
1) + =
− =




2x 5y 10
3x 6y 3
 → −














=





2 53 6
. x
y
10
3
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEARSOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Chamamos de solução do sistema linear a ênupla orde-
nada que satisfaz simultaneamente todas as equações 
do sistema linear.
CONJUNTO SOLUÇÃOCONJUNTO SOLUÇÃO
É o conjunto de todas as ênuplas ordenadas que satisfazem 
o sistema linear.
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMACLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA
 » Sistema possível e determinado: É o sistema que possui 
uma única solução.
 » Sistema possível e indeterminado: É o sistema que possui 
infinitas soluções.
 » Sistema impossível: É o sistema que não possui solução.
SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES E SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES E 
DUAS INCÓGNITASDUAS INCÓGNITAS
Dada o sistema + =
+ =




ax by c
a'x b'y c'
 , temos:
I) Sistema Possível e Determinado
↑
a
a'
b
b'
 → SPD
II) Sistema Possível e Indeterminado
= =
a
a'
b
b'
c
c'
 → SPI
III) Sistema Impossível
= ≠
a
a'
b
b'
c
c'
 SI
143
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 143Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 143 22/12/2022 08:29:2222/12/2022 08:29:22
CAPÍTULO 8 
Sistemas Lineares
SISTEMAS DE TRÊS OU MAIS SISTEMAS DE TRÊS OU MAIS 
EQUAÇÕESEQUAÇÕES
Por exemplo:
I) 
+ + =
− + =
− + =






2x 3y z 10
3x 4y 9z 1
x 8y 2z 3
Matriz incompleta:
Matriz completa: −−










2 3
3 4
1 8
1 10
9 1
2 3
REGRA DE CRAMERREGRA DE CRAMER
Dado o sistema linear 
+ + =
− + =
+ − =






x 2y z 8
2x y z 3
3x y z 2
, para
resolvê-lo podemos utilizar da regra de Cramer, pois ele 
possui 3 equações e 3 incógnitas, ou seja, o número de 
incógnitas é igual ao número de equações.
I) O determinante (Δp) da matriz incompleta é chamado de 
determinante principal e será de ordem n.
−
−
=
1 2 1
2 1 1
3 1 1
15 ↑ 0
É necessário que o determinante principal seja diferente de 
zero para que o sistema seja possível e determinado. (Δp ≠ 0)
∆ = −
−
=
8 2 1
3 1 1
2 1 1
15
x
∆ =
−
=
1 8 1
2 3 1
3 2 1
30
y
∆ = − =
1 2 8
2 1 3
3 1 2
z 45
O valor de cada incógnita será dado por:
I) =
∆
∆
= =x 15
15
1x
p
II) =
∆
∆
= =y 30
15
2y
p
III) =
∆
∆
= =z 45
15
3z
p
Logo, S = {(1, 2, 3)}
Caso Δp = 0 o sistema será possível e indeterminado (SPI) 
ou sistema impossível (SI), não podemos afirmar nada a 
mais baseados na regra de Cramer.
SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOSSISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS
São os sistemas lineares que todos os termos indepen-
dentes são nulos.
Exemplos:
1) + =
− =




3x 7y 0
2x 9y 0
2) 
− + =
+ + =
− + =






2x y z 0
3x 2y 8z 0
4x 2y 2z 0
Um sistema linear não pode ser impossível, pois a solução 
trivial (0,0, ..., 0) sempre será ou uma solução única ou uma 
das soluções.
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 Os números reais j e k são tais que 3j + 2k = 18 e 
5j – k = 21. O valor de j + 5k é:
a) 30.
b) 20.
c) 10.
d) 25.
e) 15.02 Considerando o sistema + =
− =




x y 1
x y 2
, verifica-se que:
a) as retas que representam esse sistema são paralelas.
b) as retas que representam esse sistema são coincidentes.
c) o determinante da matriz dos coeficientes desse sistema 
é igual a zero.
d) esse sistema não possui solução.
e) a solução desse sistema é −














3
2
, 1
2
.
144
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 144Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 144 22/12/2022 08:29:3722/12/2022 08:29:37
CAPÍTULO 8 
Sistemas Lineares
03 Determine os valores de x e y na proporção =x
y
8
10
, 
sabendo que x + y = 144:
a) x = 80 e y = 60.
b) x = 64 e y = 80.
c) x = 73 e y = 71.
d) x = 71 e y = 70.
e) x = y = 72.
04 Um menino possui 29 moedas de 10 centa vos e 15 
moedas de 25 centavos. O núme ro de maneiras diferentes 
que ele tem para formar 5 reais é igual a:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
05 Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. 
Algumas, por 4 pessoas; outras, por apenas 2 pessoas, 
num total de 38 fregueses. O número de mesas ocupadas 
por apenas 2 pessoas é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
06 Em certa turma de 49 alunos, o número de homens 
corresponde a 3
4
 do número de mulheres. Quantos ho-
mens tem essa turma?
a) 14.
b) 21.
c) 28.
d) 35.
e) 42.
07 André comprou uma calça, três camisetas e duas 
cuecas por R$ 420,00. Se tivesse com prado duas calças e 
uma cueca teria gasto R$ 285,00. Se ele tivesse comprado 
apenas uma peça de cada tipo, teria pago a impor tância de:
a) R$ 195,00
b) R$ 200,00
c) R$ 215,00
d) R$ 220,00
e) R$ 235,00
08 Em um estacionamento, há triciclos e quadriciclos, 
totalizando 17 veículos e 61 rodas. Quantos triciclos há 
nesse estacionamento?
a) 10.
b) 8.
c) 7.
d) 17.
e) 12.
09 Numa loja, os artigos A e B, juntos, custam R$ 70,00, 
dois artigos A mais um C custam R$ 105,00 e a diferença 
de preços entre os artigos B e C, nessa ordem, é R$ 5,00. 
Qual é o preço do artigo C?
a) R$ 20,00
b) R$ 25,00
c) R$ 30,00
d) R$ 35,00
e) R$ 40,00
10 Os números reais a e b são tais que
2ª + 3b = 10 e 3ª + 2b = 25. O valor de a + b é um número:
a) não inteiro.
b) negativo.
c) inteiro múltiplo de 5.
d) inteiro ímpar.
e) maior que 10.
11 O sistema de equações + + =
− − =




5x 4y 2 0
3x 4y 18 0
possui:
a) nenhuma solução.
b) uma solução.
c) duas soluções.
d) três soluções.
e) infinitas soluções.
145
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 145Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 145 22/12/2022 08:29:4322/12/2022 08:29:43
CAPÍTULO 8 
Sistemas Lineares
12 O sistema linear − =
+ =




x y 1
4x my 2
 é possível e deter-
minado se e somente se:
a) m = 2
b) m = 4
c) m ≠ -4
d) m ≠ 1
e) 4m = 1
NÍVEL 2NÍVEL 2
13 Resolvendo o sistema + =
=




x y 13
xy 6
2 2
 pode-se concluir 
que o valor de (x + y)2 é:
a) 9.
b) 16.
c) 25.
d) 36.
e) 49.
14 Sendo x e y números reais e (3x + 2y)2 + (x – 2y + 
8)2 = 0, o valor de yx é:
a) 1
9
b) 1
8
c) –8
d) 9
e) 8
15 Sabendo que k é um número real, considere o sis-
tema linear nas variáveis reais + =
+ =




x e y, x ky 1
x y k.
, é correto 
afirmar que esse sistema:
a) tem solução para todo k.
b) não tem solução única para nenhum k.
c) não tem solução se k = 1.
d) tem infinitas soluções se k ≠ 1.
16 Sendo k um número real, o sistema linear
− =
− =




9x 6y 21
6x 4y k
 possui infinitas soluções (x, y) para k igual a:
a) –10,5.
b) 0.
c) 7.
d) 10,5.
e) 14.
17 Para que o sistema linear + =
+ =




2x y 5
ax 2y b
 seja possível 
e indeterminado, o valor de a + b é:
a) –1
b) 4
c) 9
d) 14
e) 19
18 Para que o sistema linear ( )
( )
+ =
+ + =




2x k! y 2
1 k! x 21y 3
de solução (x, y) não seja possível e determinado, o parâ-
metro kЄ|N tem de ser igual a:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
19 O sistema linear abaixo, nas incógnitas x e y: 
+ =
− =




x 3y m
2x py 2
. Será impossível quando:
a) Nunca
b) p ≠ –6 e m = 1
c) p ≠ –6 e m ≠ 1
d) p = –6 e m = 1
e) p = –6 e m ≠ 1
20 O sistema linear a seguir + − =
− − =




x 2y 3z 1
2x y z 2
a) é impossível.
b) admite apenas uma solução.
c) admite apenas duas soluções.
146
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 146Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 146 22/12/2022 08:29:5322/12/2022 08:29:53
CAPÍTULO 8 
Sistemas Lineares
d) admite apenas três soluções.
e) admite infinitas soluções.
21 Dado o sistema + = −− = −
+ =





x 4z 7
x 3y 8
x z 1
Podemos concluir que x + y + z é igual a:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
22 Encontre os valores de x, y e z na equação matri-
cial abaixo:
−
−
− −










⋅










= −
−










1 0 1
2 1 1
1 2 1
x
y
z
3
3
9
A tripla ordenada que representa a solução desta equa-
ção é:
a) s = {(-1, 3, 2)}.
b) s = {(1, -2, 3)}.
c) s = {(1, 3, 2)}.
d) s = {(-1, -2, 2)}.
e) s = {(-1, -3, 2)}.
23 Considere o sistema linear homogêneo 
− + =
+ + =
+ =






x 3y kz 0
3x ky z 0
kx y 0
, onde k é um número real. O único valor 
que torna o sistema, acima, possível e indeterminado, 
pertence ao intervalo:
a) (-4, -2]
b) (-2, 1]
c) (1, 2]
d) (2, 4]
e) (4, 6]
24 A respeito do sistema + − =− − =
+ − =






x y az 1
3x y 2z 6
2x 2y 2z b
 é CORRETO 
afirmar que:
a) se a↑1, o sistema tem solução única.
b) se b = 2, o sistema tem infinitas soluções.
c) se a = 1 e b = 2, o sistema não tem solução.
d) se a = 1, o sistema tem infinitas soluções.
NÍVEL 3NÍVEL 3
25 Analise as afirmativas abaixo.
I. O sistema + =
− =




x y 5
2x y 1
 é possível e indeterminado.
II. O sistema 
+ − =
− + = −
+ − =






x y z 4
2x 3y z 5
x 2y 2z 7
 é possível e determinado.
III. O sistema + =
+ =




2x y 5
4x 2y 10
 é impossível.
Marque a alternativa correta:
a) Apenas I é verdadeira.
b) Apenas II é verdadeira.
c) Apenas III é verdadeira.
d) Apenas I é falsa.
e) Apenas III é falsa.
26 Se x, y e z constitui a solução do sistema linear 
+ + =
+ + = −
+ + = −






x y z 1
x 2y 3z 2
x 4y 5z 4
 então o produto x. y. z é igual a:
a) –4.
b) –8.
c) –2.
d) –6.
27 Resolvendo o sistema de equações lineares:
− + =
− + = −
+ − =






3x y 2z 7
2x 3y z 1
x 2y z 2
, encontramos y igual a:
a) 1.
b) 3.
c) 5.
d) 2.
e) 4.
147
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 147Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 147 22/12/2022 08:30:0222/12/2022 08:30:02
CAPÍTULO 8 
Sistemas Lineares
28 O sistema − − − =+ + =
+ + =






2x 2y 2z 2 0
2x y 3z 6
kx y 5z 9
é possível e determi-
nado, quando o valor de k for:
a) k ≠ 3.
b) k = 5.
c) k = 3.
d) k ≠ 5.
e) k = 0.
29 Se (x, y) é solução do sistema + =
− =




2log x 3log y 7
log x log y 1
3 2
3 2
, en-
tão o valor de x + y é:
a) 7
b) 11
c) 2
d) 9
e) 13
30 Para que o sistema − + =− − =
− + − = −






kx y z 0
2x 4y z 1
3x 4y z 1
 seja possível 
e determinado, deve-se ter:
a) k ↑ 9/8
b) k ↑ 2/5
c) k = 7/6
d) k = 1/3
GABARITOGABARITO
01. E 02. E 03. B 04. B 05. B 06. B
07. E 08. C 09. B 10. D 11. B 12. C
13. C 14. A 15. A 16. E 17. D 18. B
19. E 20. E 21. E 22. A 23. B 24. A
25. B 26. A 27. D 28. D 29. B 30. A
148
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CAPÍTULO 9 
Números Complexos
NÚMEROS 
COMPLEXOS
UNIDADE IMAGINÁRIAUNIDADE IMAGINÁRIA
Denominamos unidade imaginária o número i tal que i² = -1.
CONJUNTO DOS NÚMEROS CONJUNTO DOS NÚMEROS 
COMPLEXOSCOMPLEXOS
Denominamos conjunto dos números complexos, C, ao 
conjunto dos pares ordenados reais (a, b) escritos na forma 
a + bi, onde i² = -1.
Se um complexo z é da forma z = a + bi, a Є R E b Є R, de-
nominamos ‘a’ de partereal e ‘b’ de parte imaginária do 
número complexo z. Simbolicamente temos que a = Re 
(z) e b = Im (z). Essa maneira de representar um número 
complexo chama-se forma algébrica.
NÚMERO REAL E NÚMERO NÚMERO REAL E NÚMERO 
IMAGINÁRIO PUROIMAGINÁRIO PURO
Quando Im(z) = 0 dizemos que z é somente um número 
real (z = a).
Quando Re(z) = 0 e Im(z) ≠ 0 dizemos que z é um número 
imaginário puro (z = bi).
IGUALDADE DE NÚMEROS IGUALDADE DE NÚMEROS 
COMPLEXOSCOMPLEXOS
Dois números complexos são iguais quando suas respec-
tivas partes real e imaginária são iguais. Ou seja:
a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d
(a, b, c, d Є R)
ADIÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOSADIÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Devemos somar a parte real de um com a parte real do 
outro e somar a parte imaginária de um com a parte ima-
ginária do outro.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a, b, c, d Є R)
SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS 
COMPLEXOSCOMPLEXOS
Devemos subtrair a parte real de um com a parte real do 
outro e subtrair a parte imaginária de um com a parte 
imaginária do outro.
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
(a, b, c, d Є R)
PROPRIEDADES:
Associativa:
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
Comutativa:
z1 + z2 = z2 + z1
Elemento Neutro:
∀ Z Є C, ∃ w Є C | z + w = z
Elemento Simétrico:
∀ Z Є C, ∃ w Є C | z + w = 0
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS 
COMPLEXOSCOMPLEXOS
A multiplicação de dois números complexos obedece as 
regras de uma multiplicação polinomial, ou seja, basta fazer 
a distributiva e trocar o i² por – 1.
(a + bi).(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
(a, b, c, d Є R)
PROPRIEDADES:
Associativa:
(z1.z2).z3 = z1.(z2.z3)
Comutativa:
z1.z2 = z2.z1
Elemento Neutro:
∀ z Є C, ∃ w Є C | z.w = z
Elemento Inverso:
∀ z Є C, ∃ w Є C | z.w = 1
149
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 149Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 149 22/12/2022 08:30:2322/12/2022 08:30:23
CAPÍTULO 9 
Números Complexos
CONJUGADO DE UM NÚMERO CONJUGADO DE UM NÚMERO 
COMPLEXOCOMPLEXO
Denomina-se conjugado de um número complexo z = a + 
bi (a Є R e b Є R) o número z = a – bi. Ou seja, troca-se o 
sinal apenas da parte imaginária.
Propriedades:
(1) + = +z z z z1 2 1 2
(2) =z .z z . z1 2 1 2
(3) R∈z. z
(4) ( ) =z z
DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOSDIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
O resultado da divisão de z1 por z2 (z2 ≠ 0) é realizada multi-
plicando o numerador e o denominador desta divisão pelo 
conjugado de z2. Seja z1 = a + bi e z2 = c + di:
= = +
+
−
−
= +
+
+ −
+
z
z
z
z
.
z
z
a bi
c di
.c di
c di
ac bd
c d
bc ad
c d
i1
2
1
2
2
2
2 2 2 2
POTÊNCIAS DE BASE IPOTÊNCIAS DE BASE I
Observa-se que i0 = 1, i1 = i, i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1, i5 = i, i6 = -1, 
i7 = -i, i8 = 1, ..., i4k = 1, i4k + 1 = i, i4k+ 2 = -1, i4k + 3 = -i e conclui-se 
que existe uma sequência periódica que se repete a cada 
quatro termos. Para descobrir o resultado de uma potência 
de base i basta dividir o expoente por 4 e substituí-lo pelo 
resto da divisão.
O PLANO DE ARGAND – GAUSSO PLANO DE ARGAND – GAUSS
Todo número complexo pode ser representado como um 
ponto em um plano, denominado plano complexo ou plano 
de Argand – Gauss. Esta representação é semelhante à re-
presentação de pares ordenados no plano cartesiano. No 
plano de Gauss, o eixo equivalente ao eixo das abscissas é 
chamado de eixo real e nele marcamos a posição da parte 
real do número complexo, já o eixo equivalente ao eixo das 
ordenadas é chamado de eixo imaginário e nele marcamos 
a posição da parte imaginária do número complexo.
MÓDULO DE UM NÚMERO MÓDULO DE UM NÚMERO 
COMPLEXOCOMPLEXO
A distância entre a origem e o ponto (afixo) que representa 
o número complexo z no plano de Argand-Gauss é denomi-
nada módulo do número complexo e simbolizada por |z|.
Dado um número complexo z = a + bi (a e b Є R), pelo 
Teorema de Pitágoras, temos:
|Z| = +a b2 2
Propriedades:
(1) =z z
(2) =z.z z
2
(3) |Z1 . Z2| = |Z1||Z2|
(4) |Zn| = |Z|
n
(5) |Z1| - |Z2| < |Z1 + Z2| < |Z1| + |Z2|
ARGUMENTO DE UM NÚMERO ARGUMENTO DE UM NÚMERO 
COMPLEXOCOMPLEXO
O ângulo traçado no sentido anti-horário a partir do se-
mi-eixo real positivo até o segmento OP é denominado 
argumento do número complexo.
A determinação do argumento (0 < α < 2π) de um número 
complexo é feita utilizando elementos da trigonometria:
FORMA TRIGONOMÉTRICAFORMA TRIGONOMÉTRICA
Dado o número complexo z = a + bi, podemos observar 
que a = |z|.cos α e b = |z|.sen α , portanto z = |z|.cos α + 
|z|.senα.i. Colocando |z| em evidência e chamando |z| 
= ρ, temos: Z = ρ (cosα + i.senα)
150
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 150Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 150 22/12/2022 08:30:3422/12/2022 08:30:34
CAPÍTULO 9 
Números Complexos
MÓDULO DE UM NÚMERO MÓDULO DE UM NÚMERO 
COMPLEXOCOMPLEXO
A distância entre a origem e o ponto (afixo) que representa 
o número complexo z no plano de Argand-Gauss é denomi-
nada módulo do número complexo e simbolizada por |z|.
Dado um número complexo z = a + bi (a e b Є R), pelo 
Teorema de Pitágoras, temos:
|Z| = +a b2 2
Propriedades:
(1) =z z
(2) =z.z z
2
(3) |Z1 . Z2| = |Z1||Z2|
(4) |Zn| = |Z|
n
(5) |Z1| - |Z2| < |Z1 + Z2| < |Z1| + |Z2|
ARGUMENTO DE UM NÚMERO ARGUMENTO DE UM NÚMERO 
COMPLEXOCOMPLEXO
O ângulo traçado no sentido anti-horário a partir do se-
mi-eixo real positivo até o segmento OP é denominado 
argumento do número complexo.
A determinação do argumento (0 < α < 2π) de um número 
complexo é feita utilizando elementos da trigonometria:
FORMA TRIGONOMÉTRICAFORMA TRIGONOMÉTRICA
Dado o número complexo z = a + bi, podemos observar 
que a = |z|.cos α e b = |z|.sen α , portanto z = |z|.cos α + 
|z|.senα.i. Colocando |z| em evidência e chamando |z| 
= ρ, temos: Z = ρ (cosα + i.senα)
OPERAÇÕESOPERAÇÕES
SOMA/SUBTRAÇÃO
Neste caso devemos passar da forma trigonométrica para 
a forma algébrica, efetuar a operação e depois devolver 
para a forma trigonométrica.
MULTIPLICAÇÃO/DIVISÃO
Sendo Z1 = ρ1 (cos α1 + i.sen α1) e Z2 = ρ2 (cos α2 + i.sen α2), 
então temos:
Z1 . Z2 = ρ1ρ2[cos (α1 + α2) + i. sem(α1 + α2)]
=
ρ
ρ
z
z
1
2
1
2
 [cos(α1 – α2) + i.sen(α1 – α2)]
POTENCIAÇÃO
Sendo z = ρ (cosα + i.senα) e n Є N, então:
Zn = ρn [cos (nα) + i.sen (nα)].
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 Sendo i a unidade imaginária e i2 = -1, então o 
valor de i1244 é:
a) 1
b) i
c) -i
d) -1
02 Sendo i a unidade imaginária e i2 = -1, então o 
valor de i78917 é:
a) 1
b) i
c) -i
d) -1
151
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 151Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 151 22/12/2022 08:30:3922/12/2022 08:30:39
CAPÍTULO 9 
Números Complexos
03 Sendo i a unidade imaginária e i2 = -1, então o 
valor de i567626 é:
a) 1
b) i
c) -i
d) -1
04 Sendo i a unidade imaginária e i2 = -1, então o 
valor de i989763 é:
a) 1
b) i
c) -i
d) -1
05 Se i é o número complexo cujo quadrado é igual 
a -1, então, o valor de 5i227 + i6 – i13 é igual a:
a) i + 1.
b) 4i -1.
c) -6i -1.
d) -6i.
06 Dado o número complexo z = (x – 3) + (x + 2)i, para 
que ele possa ser um imaginário puro o x deve ser igual a:
a) 3
b) -2
c) 2
d) -3
07 Dado o número complexo z = (x + 10) + (x + 7)i, para 
que ele possa ser um número real o valor de x deve ser 
igual a:
a) 7
b) 10
c) -10
d) -7
08 Dados os números complexos z1 = (x + 2) + (x – 8)i e z2 
= (2x – 1) + 7xi, determine o valor de x para que o nú-
mero z = z1 + z2 seja imaginário puro:
a) x = 1/3
b) x = 1
c) x = -1/3
d) x = -1
09 O resultado da expressão +
−
3 2i
1 4i
 na forma x + yi é:
a) +
11
17
14
17
i
b) +
11
15
14
15
i
c) −
11
17
14
17
i
d) − +
5
17
14
17
i
10 A parte real do número complexo = +
−
z 1 (3i)
1 i
2
 é:
a) 1
b) -1
c) 2
d) -2
e) -4
11 Sabe-se que os números complexos z = 3x + (y – 4)
i e w = (4x – 5) + (2y + 6)i são iguais, então determine o 
valor de x² + y:
a) 10
b) 15
c) 20
d) 35
12 Dados os números complexos Z1 = (2, -1) eZ2 = (3, x) , sabe-se que Z1.Z2 Є R. Então x é igual a:
a) -6.
b) -3/2.
c) 0.
d) 3/2.
152
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 152Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 152 22/12/2022 08:30:4722/12/2022 08:30:47
CAPÍTULO 9 
Números Complexos
13 Sabe-se que os números complexos Z1 = 
[2m(3+m)]+(3n+5)i e Z2 = (2m
2+12)+[4(n+1)]i, são iguais. 
Então, os valores de m e n são, respectivamente:
a) 3 e 1.
b) 2 e 1.
c) 2 e -1.
d) 3 e -1.
14 Escrevendo o número complexo
z = 
+
+
3i 10i
3 i
48 73
 (onde i² = - 1) na forma
z = a + bi, pode-se afirmar que:
a) a = 19/8
b) a = 19/10
c) a = -27/10
d) b = 27/8
e) a + b = 46/8
15 Se y = 2x, sendo x= +
−
1 i
1 i
 e i = √-1, o valor de (x + y)2 é:
a) 9i
b) -9 + i
c) -9
d) 9
e) 9 -i
16 Se a é um número real e o número complexo −
−
a 5i
5 i. é real, qual o valor de a?
a) 25
b) 15
c) 10
d) 5
17 Sejam x e y números reais tais que x + yi = +3 4i, 
onde i é a unidade imaginária.
O valor de xy é igual a:
a) -2.
b) -1.
c) 1.
d) 2.
18 O número complexo z, tal que
5z + 

z = 12 + 16i , é igual a:
a) -2 + 2i
b) 2 - 3i
c) 3 + i
d) 2 + 4i
e) 1 + 2i
19 O valor da potência (1 – i)10 é:
a) 11i.
b) 5i.
c) -32i.
d) -5i.
e) 1 - 5i.
20 Sendo a unidade imaginária do conjunto dos nú-
meros complexos, o valor da expressão (i + 1)6 – (1 – i)6 é:
a) 0
b) 16
c) -16
d) 16i
e) -16i
NÍVEL 2NÍVEL 2
21 Sendo i a unidade imaginária, então (1 + i)20 – (1 
– i)20 é igual a:
a) -1024
b) -1024i
c) 0
d) 1024
e) 1024i
22 Considere i a unidade imaginária dos números 
complexos.
O valor da expressão (i + 1)8 é:
a) 32i
b) 32
c) 16
d) 16i
153
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 153Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 153 22/12/2022 08:30:5422/12/2022 08:30:54
CAPÍTULO 9 
Números Complexos
23 Dados os números complexos z = 1 + 3i e w = 2 – i, 
a forma algébrica do número w z + w² é:
a) -2 -7i
b) 1 -9i
c) 2 -11i
d) -2 + 6i
e) 1 -6i
24 O valor de x real, de modo que z = +
+
3 xi
2 i
. seja 
real e não nulo, é:
a) 3/2
b) 2/3
c) 2/5
d) 5/2
e) 3/5
25 Seja a equação − + = +Z Z ZZ 2 2i , no conjunto dos 
números complexos. A soma dos dois números que sa-
tisfazem essa equação é:
a) 2
b) 2i
c) 0
d) 1
e) i
26 Considere o número complexo z = i. Pode-se afir-
mar que o valor da soma z0 + z1 + z2 + z3 + ... + z2008 é:
a) -1
b) 0
c) 1
d) i
e) -i
27 Se = +
−
Z 1 i
1 i
. , calcule z2002:
a) -1
b) 1
c) 2
d) -2
28 Seja i a unidade imaginária. Se n é um inteiro po-
sitivo tal que i(1+2+3+4+5+...+n) = 1, então é correto afirmar que 
o produto n(n + 1) é, necessariamente, um:
a) múltiplo positivo de 12.
b) múltiplo positivo de 8.
c) divisor de 2n.
d) divisor de 22n + 1.
e) quadrado perfeito.
29 Considere o número complexo = +
−
z 1 ai
a i
, onde a 
é um número real e i é a unidade imaginária, isto é, i2 = 
-1. O valor de z2016 é igual a:
a) a2016.
b) 1.
c) 1 + 2016i.
d) i.
30 Considere a equação −
+





 =
+
−
−
−
+





16
1 ix
1 ix
1 i
1 i
1 i
1 i
3 4
. 
Sendo x um número real, a soma dos quadrados das 
soluções dessa equação é:
a) 3
b) 6
c) 9
d) 12
e) 15
31 O módulo do número complexo
Z = i2014 – i1987 é igual a:
a) √2
b) 0
c) √3
d) 1
32 O módulo do número complexo (1 + i)-3 é:
a) √2/2
b) 1
c) -3
d) √2/4
e) 0
154
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 154Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 154 22/12/2022 08:31:0322/12/2022 08:31:03
CAPÍTULO 9 
Números Complexos
33 Considere o número complexo = +
−
z 1 ai
a i
, onde 
a é um número real e i é a unidade imaginária, isto é, 
i2 = -1. O valor de z2016 é igual a:
a) a2016.
b) 1.
c) 1 + 2016i.
d) i.
34 (EsPCEx) Seja o número complexo = +
+
z
x yi
3 4i
, com 
x e y reais e i2 = -1. Se x2 + y2 = 20, então o módulo de z é 
igual a:
a) 0
b) √5
c) 2 5
5
d) 4
e) 10
35 Se z = √3 + i e z’ = 3 + √3i, então z.z’ tem módulo e 
argumento, respectivamente, iguais a:
a) 2√3 e 30°
b) 3√2 e 30°
c) 3√2 e 60°
d) 4√3 e 30°
e) 4√2 e 60°
36 Seja z um número complexo de módulo 2 e argu-
mento principal 120°. O conjugado de z é:
a) 2 - 2i√3
b) 2 + 2i√3
c) -1 - i√3
d) -1 + i√3
e) 1 + i√3
37 O número complexo z = 1 + i pode ser represen-
tado, em sua forma trigonométrica, por:
a) z = 2(cosπ + isenπ)
b) z = (cosπ + isenπ)
c) = +





z 2 cos
π
4
isenπ
4
d) = +





z 2 cos
π
2
isenπ
2
e) = +





z 2 cos
π
4
isenπ
4
38 Podemos dizer que uma forma trigonométrica de 
representar o número complexo 
+
−
5 5i
2 2i
 é:
a) = +





Z 2 cos
π
2
isenπ
2
b) = +





Z 5 cos
π
2
isenπ
2
c) ( )= +Z 5
2
cosπ isenπ
d) = +





Z
5
2
cos π
2
isen π
2
e) = +





Z
2
5
cos π
2
isen π
2
39 O módulo e o argumento do número complexo z 
= (1 + i) (1 – i)2 são respectivamente:
a) 2 e 
3π
4
+ 2kπ, k Є Z
b) 2 e 
π
4
+ 2kπ, k Є Z
c) 2 2 e 
3π
4
 + 2kπ, k Є Z
d) 2 2 e 
7π
4
+ 2kπ, k Є Z
e) 2 2 e 
5π
4
+ 2kπ, k Є Z
40 A medida do argumento dos números complexos 
z = x + yi pertencentes à reta y = x, em radianos, é:
a) 
π
4
ou 5π
4
.
b) 
π
2
ou 3π
2
.
c) −
π
4
ou π
4
d) 
π
3
ou 4π
3
.
155
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 155Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 155 22/12/2022 08:31:2222/12/2022 08:31:22
CAPÍTULO 9 
Números Complexos
NÍVEL 3NÍVEL 3
41 O número complexo +







1
2
i 3
2
2
 escrito na forma 
trigonométrica a+bi= ρ [cos(θ)+isen(θ)] é:
a) ( )+cos(0) isen 0
b) +cos π
6
isenπ
6
c) +cos
2π
3
isen2π
3
d) +3cos
2π
3
isen2π
3
e) +





2 cos
5π
6
isen5π
6
42 Seja z um número complexo tal que: Z = 
−






2
1 i
,
4
 
onde i é a unidade imaginária. É correto afirmar que o 
módulo e o argumento de z são iguais, respectivamente, a:
a) 2 e 
π
2
b) 2 e π .
c) 2 e 
3π
2
d) 4 e π .
43 Considere o número complexo z = cos ( π /6) + i 
sen ( π /6). O valor de z3 + z6 + z12 é:
a) -i.
b) 
1
2
+ 
3
2
i
c) i - 2.
d) i.
e) 2 i.
44 O argumento do número complexo z é π
6
, e o seu 
módulo é 2. Então, a forma algébrica de z é:
a) -i.
b) i.
c) √3 i.
d) √3 - i.
e) √3 + i.
45 Se z = 2 [cos( π /4) + i sen( π /4)] , então o conjugado 
de z2 é igual a:
a) 2i
b) 4i
c) 4
d) -4i
46 O complexo −







3
2
i
2
6
 equivale a:
a) 6i.
b) i.
c) -i.
d) -6i.
e) -1.
47 O módulo do número complexo z = cos(2a) – i.
sen(2a), com a Є R, é igual a:
a) -i
b) i9
c) -1
d) i8
e) 2
GABARITOGABARITO
01. A 02. B 03. D 04. C 05. C 06. A
07. D 08. C 09. D 10. E 11. B 12. D
13. B 14. B 15. C 16. A 17. B 18. D
19. C 20. E 21. C 22. C 23. C 24. E
25. B 26. C 27. A 28. B 29. B 30. B
31. A 32. D 33. B 34. C 35. E 36. C
37. C 38. D 39. D 40. A 41. D 42. D
43. D 44. E 45. D 46. E 47. A
156
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 156Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 156 22/12/2022 08:31:4722/12/2022 08:31:47
CAPÍTULO 10 
Polinômios
POLINÔMIOS
POLINÔMIOSPOLINÔMIOS
Chama-se de polinômio na variável x toda expressão da 
forma P(x) = anx
n + an-1x
n-1 + ... + a3x
3 + a2x
2 + a1x + a0 onde 
an, an-1, ... a3, a2, a1 e a0 são os coeficientes n o grau do po-
linômio (n Є N) e a0 o termo independente.
Exemplos: P(x) = 2x³ – 4x² – 2 →
a3 = 2, a2 = – 4, a1 = 0, a0 = – 2
VALOR NUMÉRICOVALOR NUMÉRICO
Considere um polinômio P(x). O valor numérico do polinô-
mio para x = a é igual a P(a).
Exemplo:
Dado P(x) = 2x³ – 4x² – 2, então
P(0) = 2.0³ – 4.0² – 2 = – 2
P(1) = 2.1³ – 4.1² – 2 = – 4
POLINÔMIO NULOPOLINÔMIO NULO
Um polinômio P(x) é nulo se todos os seus coeficientes 
são iguais a zero.
POLINÔMIOS IGUAISPOLINÔMIOS IGUAIS
Dois polinômios P1(x) e P2(x) são iguais se os seus coeficien-
tes forem ordenadamente iguais, ou seja, os coeficientes 
dos termos de mesmo grau devem ser iguais.TEOREMA DE D’ALEMBERTTEOREMA DE D’ALEMBERT
Um polinômio P(x) é divisível por x – a se, e somente se, 
P(a) = 0.
TEOREMA DO RESTOTEOREMA DO RESTO
O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio 
da forma x – a é P(a).
Exemplo: Determine o resto da divisão do polinômio P(x) 
= x³ + x² – 3x + 2 por x – 2.
Resto = P(2) = 2³ + 2² – 3.2 + 2 = 8
TEOREMA DO PRODUTOTEOREMA DO PRODUTO
Se um polinômio P(x), de grau n ≥ 2, é divisível, separada-
mente por x – a e por x – b, com a ↑ b, então P(x) é divisível 
por (x – a).(x – b) ou vice-versa.
BRIOT-RUFFINIBRIOT-RUFFINI
Nas divisões polinomiais com divisor da forma x−a, há um 
dispositivo que permite efetuar essas divisões de uma 
maneira mais simples e rápida: é o chamado dispositivo 
prático ou algoritmo de Briot-Ruffini.
Termo constan-
te do divisor, 
com sinal tro-
cado
Coeficiente de 
x do dividendo 
de p(x)
Termo constan-
te do dividendo 
p(x)
Coeficiente do 
quociente
Resto
Tomemos um exemplo para entendermos o método desse 
dispositivo prático efetuando a divisão de p(x) = 3x³ − 5x² 
−3x−2 por d(x) = x−2.
Repetimos (ou “abaixamos”) o primeiro coeficiente do di-
videndo.
Multiplicamos o termo repetido pelo divisor e somamos o 
produto com o próximo termo do dividendo.
157
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CAPÍTULO 10 
Polinômios
Repetimos o processo para o novo termo do quociente.
E fazemos isso até encontrar o resto da divisão.
Pelo quadro, temos q(x) = 3x² +x−1 e r(x) = −4. Logo, 3x³ 
−5x³ −3x−2 = (x−2)(3x³ +x−1) − 4.
EQUAÇÕES POLINOMIAISEQUAÇÕES POLINOMIAIS
É toda equação do tipo P(x) = 0, ou seja, anx
n + an-1x
n-1 + ... 
+a3x
3 + a2x
2 + a1x + a0 = 0 com an ↑ 0 e n Є N.
RAIZ DA EQUAÇÃORAIZ DA EQUAÇÃO
Se ‘a’ é uma raiz ou zero de uma equação polinomial p(x) 
= 0, então, p(a) = 0.
RAÍZES IRRACIONAISRAÍZES IRRACIONAIS
Se uma equação p(x) = 0, com coeficiente inteiros, admite 
uma raiz irracional a + √b, também admitirá sua conjugada 
a – √b.
RAÍZES COMPLEXASRAÍZES COMPLEXAS
Se uma equação polinomial p(x) = 0, de coeficientes reais, 
admite uma raiz complexa da forma a + bi, com i = √-1 e b 
≠ 0, também admitirá a sua conjugada a – bi.
TEOREMA FUNDAMENTAL DA TEOREMA FUNDAMENTAL DA 
ÁLGEBRAÁLGEBRA
Toda equação polinomial p(x) = 0, de grau n, admite n 
raízes complexas.
FORMA FATORADAFORMA FATORADA
Seja p(x) uma equação polinomial de grau n com x > 1, 
então p(x) pode ser decomposto em n fatores do 1° grau 
na forma P(x) = an(x – α1).(x – α2).(x – α3) ... (x – αn) onde α1, 
α2, α3, ... αn são raízes do polinômio.
TEOREMA IMPORTANTETEOREMA IMPORTANTE
Toda equação polinomial p(x) = 0 que possui a soma de 
seus coeficientes igual a zero admite uma raiz igual a 1.
RELAÇÕES DE GIRARDRELAÇÕES DE GIRARD
São as relações entre coeficientes e raízes de uma equação 
polinomial p(x) = 0.
I) Equação do 2° grau: ax² + bx + c = 0, a ≠ 0
x1 + x2 = −
b
a
x1.x2 = 
c
a
II) Equação do 3° grau: ax³ + bx² + cx + d = 0, a ≠ 0
x1 + x2 + x3 = −
b
a
x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = 
c
a
x1.x2.x3 = −
d
a
III) Equação do 4° grau: ax4 + bx³ + cx² + dx + e = 0, a ≠ 0
x1 + x2 + x3 + x4 = −
b
a
x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = 
c
a
x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x1.x3.x4 + x2.x3.x4 = −
d
a
x1.x2.x3.x4 = 
e
a
Segue o mesmo padrão para os polinômios de graus maio-
res.
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CAPÍTULO 10 
Polinômios
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 Se p(x) = 5x² + 2x – 4, pode-se afirmar que p(1) é 
igual a:
a) 4
b)11
c) 8
d) 10
e) 3
02 Considere o polinômio: 
p(x) = (x – 1)(x – 3)²(x – 5)³(x – 7)4(x – 9)5(x – 11)6 
O grau de p(x) é igual a:
a) 1080
b) 720
c) 36
d) 21
e) 6
03 O quociente da divisão do polinômio p(x) = (x² + 
1)4.(x³ + 1)³ por um polinômio de grau 2 é um polinômio 
de grau:
a) 5
b) 10
c) 13
d) 15
04 É correto afirmar que o valor da soma ( )− + −




P 1 P
1
3
 
é um número localizado entre:
a) 5,0 e 5,5
b) 4,0 e 4,5
c) 4,5 e 5,0
d) 5,5 e 6,0
05 O polinômio p(x) = ax3 + bx2 + cx, em R é divisível 
por (x – 1) . Podemos afirmar que p(p(1)) é:
a) -1
b) 0
c) 1
d) a + b + c
e) -a + b - c
06 O trinômio x2 + ax + b é divisível por x + 2 e por 
x – 1. O valor de a – b é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
07 Considere os polinômios p(x) = x3 e q(x) = x2 + x. O 
número de soluções da equação p(x) = q(x) , no conjunto 
dos números reais, é:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
08 O polinômio p(x) = ax3 + 2x + b é divisível por x – 2 
e, quando divisível por x + 3, deixa resto – 45. Nessas 
condições, os valores de a e b, respectivamente, são:
a) 1 e 4.
b) 1 e 12.
c) -1 e 12.
d) 2 e 16.
e) 1 e -12.
09 A divisão do polinômio x3 + 2x2 - 5x – 6 por (x + 1)
(x – 2) igual a:
a) x – 3
b) x + 3
c) x – 6
d) x + 6
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CAPÍTULO 10 
Polinômios
10 O produto entre o maior e o menor dos coeficientes 
do quociente da divisão de
P(x) = 6x5 + 3x4 + 5x3 – 2x2 – 4x + 5 por D(x) = 3x3 – 2x é:
a) 3.
b) 4.
c) -2.
d) -5.
11 O resto da divisão do polinômio x5 – 3x2 + 1 pelo 
polinômio x2 – 1 é:
a) x – 1
b) x + 2
c) 2x – 1
d) x + 1
e) x – 2
12 Para que o resto da divisão de 2x4 – 3x3 + mx – 2 
por x3 + 1 por x3 + 1 seja independente de x, devemos ter:
a) m = -2
b) m = 2
c) m = 4
d) m = 0
e) m = 3
13 Seja P(x) = x3 – 2x2 + 3x – 5 um polinômio. O resto 
da divisão de P(x) pelo binômio ( ) = −B x x 1
2
 é:
a) um número natural.
b) um número inteiro negativo.
c) um número racional positivo.
d) um número racional negativo.
e) um número irracional.
14 Se 2 é raiz dupla do polinômio p(x) = 2x4 – 7x3 + 3x2 
+ 8x – 4, então a soma das outras raízes é:
a) -1.
b) -0,5.
c) 0.
d) 0,5.
e) 1.
15 Para que o polinômio f(x) = x3 – 6x2 + mx + n seja 
um cubo perfeito, ou seja, tenha a forma f(x) = (x + b)3, os 
valores de m e n devem ser, respectivamente:
a) 3 e −1
b) −6 e 8
c) −4 e 27
d) 12 e −8
e) 10 e −27
16 O resto da divisão de 4x9 + 7x8 + 4x3 + 3 por x + 1 
vale:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
17 O valor real de a para o qual i é raiz do polinômio 
P(x) = x5 + x4 + ax - 1 é:
a) -1
b) 1
c) -2
d) 2
e) 3
18 Se o resto da divisão do polinômio p = x4 - 4x3 - kx 
- 75 por (x - 5) é 10, o valor de k é
a) - 5
b) - 4
c) 5
d) 6
e) 8
19 Se P (x - 1) = x2 - 2x + 3, então o resto da divisão 
de P (x) por x - 3 é:
a) 3.
b) 5.
c) 7.
d) 9.
e) 11.
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Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 160Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 160 22/12/2022 08:32:2022/12/2022 08:32:20
CAPÍTULO 10 
Polinômios
20 O resto da divisão do polinômio P (x) = x4 - 3x2 + 
px + 1 por x - 1 é 4. O valor de p é:
a) -5
b) -3
c) -1
d) 3
e) 5
NÍVEL 2NÍVEL 2
21 Dado o polinômio P(x) = x3 + (m + 2) x2 + (2m + 1) x 
+ 2. Se -2 é a única raiz real do polinômio anterior, então 
o número de valores inteiros que m pode assumir é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
22 No polinômio P (x) = x3 - x2 + 4x - 4 uma das raízes 
é 2i. Então, a raiz real de P (x) é:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
23 Se o polinômio x3 + (k - 4) x2 - 8x + 4k, k ∈ lR, admite 
a raiz 2 com multiplicidade 2, então a outra raiz é:
a) 1
b) 0
c) -1
d) -2
e) -3
24 O polinômio P(x) = x3 - 5x2 + px + 2 é divisível por 
x + 2. O valor de p é:
a) -15
b) -13
c) -8
d) 8
e) 13
25 Se o polinômio P(x) = 2x3 - 4x + a é divisível por 
D(x) = x - 2, o valor de a é:
a) -8
b) -6
c) -4
d) -2
e) +2
26 Se os graus dos polinômios f, g, h são, respectiva-
mente, 4, 3 e 2, então o grau do polinômio:
a) f . g é 7
b) f + h é 6
c) g - h é 1
d) 3 . f é 12
e) g2 é 9
27 O polinômio P(x) = x4 - kx3 + 5x2 + 5x + 2k é divisível 
por x - 1. Então, o valorde k é:
a) -11
b) -1/3
c) 1/5
d) 9
28 Dividindo-se P(x) = x2 + bx + c por x - 1 e por x + 
2, obtém-se o mesmo resto 3. Então, a soma das raízes 
de P(x) -3 é:
a) -3
b) -2
c) -1
d) 1
e) 3
29 Os números complexos 1 + i e 1 - 2i são raízes de 
um polinômio com coeficientes reais, de grau 8. O número 
de raízes reais deste polinômio, no máximo, é:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
161
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 161Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 161 22/12/2022 08:32:2322/12/2022 08:32:23
CAPÍTULO 10 
Polinômios
30 Considerando que 2i é raiz do polinômio P(x) = 5x5 - 
5x4 - 80x + 80, a soma das raízes reais desse polinômio vale:
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2.
e) 1.
31 Se 
− +
=
−
+
−
x
x 3x 2
a
x 1
b
x 22
 é verdadeira para todo 
x real, x ≠ 1, x ≠ 2, então, o valor de a.b é:
a) -4
b) -3
c) -2
d) 2
e) 6
32 O resto da divisão de x500 – 1 por x – 1 é:
a) –1
b) 0
c) 1
d) –x
e) x
33 Se o polinômio p(X) = 2x³ + 5x² + mx + 12 é divisível 
por h(x) = x + 3, então o parâmetro m é igual a:
a) 2
b) 1
c) 3
d) –1
34 O polinômio x² + 1 possui resto zero, então o valor 
de m é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
35 O polinômio p(x) = x³ + ax² + bx, em que a e b são 
números reais, tem restos 2 e 4 quando divididos por 
x – 2 e x – 1, respectivamente. Assim, o valor de de a é:
a) –6
b) –7
c) –8
d) –9
36 O resto da divisão do polinômio 
P(x) = 3x2n + 3 – 5x2n + 2 + 8 por x + 1 com n natural é:
a) –1
b) 1
c) zero
d) 2
37 Se o polinômio p(x) = x4 – 6x3 + 7x2 + mx + n é divi-
sível por x² - 9x + 8, podemos afirmar que m + n é igual a:
a) 2
b) 4
c) –4
d) –2
38 Se três das raízes da equação polinomial 
x4 + mx² + nx + p = 0 na incógnita x são 1, 2 e 3, então m 
+ p é igual a:
a) 35
b) 24
c) –12
d) –61
39 A soma dos valores de m para os quais x = 1 é raiz 
da equação x² + (1 + 5m – 3m²)x + (m² + 1) = 0 é igual a:
a) 5/2
b) 3/2
c) 0
d) –3/2
40 A equação 3x³ – 4x – 1 = 0 apresenta 3 raízes x1, x2 
e – 1. O valor de x1² + x2² é:
a) 5/3
162
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 162Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 162 22/12/2022 08:32:2722/12/2022 08:32:27
CAPÍTULO 10 
Polinômios
b) 8/3
c) 2/5
d) 1/7
NÍVEL 3NÍVEL 3
41 Se a, b e c são as raízes da equação x³ – 2x² + 3x – 4 
= 0, então + +
1
a
1
b
1
c
 vale:
a) 2/3
b) 4/3
c) 7/3
d) 3/4
42 Considere o polinômio P(x) = 4x3 – x2 – (5 + m) x + 
3. Sabendo que o resto da divisão de P pelo monômio 
+x 2 é 7, determine o valor de m:
a) 0
b) 15
c) 2
d) 7
e) 21
43 O resto da divisão de um polinômio do terceiro 
grau p(x) por (x – 3) é igual a 24. Sabendo que as raízes 
do polinômio p(x) são -3, 1 e 2, o valor de p(0) é:
a) 12
b) 15
c) 18
d) 21
e) 24
44 Se uma das raízes do polinômio P(x) = x4 – 8x2 + ax 
+ b é P(1) = 9, então o valor a5 – 4b é:
a) -64
b) -28
c) 16
d) 24
45 Sabe-se que 1, 2 e 3 são raízes de um polinômio do 
terceiro grau P(x) e que P(0) = 1, logo, P(10) vale:
a) 48.
b) 24.
c) - 84.
d) 104.
e) 34.
46 A divisão de um polinômio P(x) por x2 - x resulta 
no quociente 6x2 + 5x + 3 e resto -7x. O resto da divisão 
de P(x) por 2x + 1 é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
47 Seja a equação polinomial x3 + bx2 + cx – 18 = 0. 
Se -2 e 3 são suas raízes, sendo que a raiz 3 tem multi-
plicidade 2, o valor de “b” é:
a) 8
b) 6
c) -3
d) -4
48 Se as raízes do polinômio P(x) = x3 – 12x2 + 47x – 60 
são reais, distintas e formam uma progressão aritmética, 
então, a soma dos cubos dessas raízes é igual a:
a) 236
b) 206
c) 226
d) 216
49 A soma das raízes da equação x3 – 2x2 – 6x = 0 vale:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 4
e) 9
163
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 163Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 163 22/12/2022 08:32:3322/12/2022 08:32:33
CAPÍTULO 10 
Polinômios
50 Podemos dizer que o polinômio P(x) = x3 – 2x2 – 5x 
+ 6:
a) tem três raízes reais.
b) tem duas raízes reais e uma imaginária.
c) tem uma raiz real e duas imaginárias.
d) não tem raiz real.
e) tem duas raízes reais e duas imaginárias.
GABARITOGABARITO
01. E 02. D 03. D 04. A 05. B 06. D
07. D 08. E 09. B 10. A 11. E 12. B
13. D 14. B 15. D 16. C 17. A 18. E
19. E 20. E 21. D 22. D 23. E 24. B
25. A 26. A 27. A 28. C 29. C 30. E
31. C 32. B 33. B 34. B 35. A 36. C
37. D 38. D 39. A 40. A 41. D 42. B
43. A 44. A 45. C 46. E 47. D 48. D
49. C 50. A
164
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 164Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 164 22/12/2022 08:32:4222/12/2022 08:32:42
CAPÍTULO 11 
Estatística Descritiva
ESTATÍSTICA 
DESCRITIVA
ESTATÍSTICAESTATÍSTICA
Pode-se dizer que Estatística é a atividade humana especia-
lizada ou um corpo de técnicas, ou ainda uma metodologia 
desenvolvida para a coleta, a classificação, a apresentação, 
a análise e a interpretação de dados quantitativos e a utili-
zação desses dados para a tomada de decisões.
POPULAÇÃOPOPULAÇÃO
População ou Universo Estatístico é o conjunto constituí-
do por todos os indivíduos que apresentem pelo menos 
uma característica comum, cujo comportamento interessa 
analisar. De maneira mais informal, podemos dizer que 
população é o conjunto da totalidade dos indivíduos sobre 
o qual se faz uma inferência e congrega todas as observa-
ções que sejam relevantes para o estudo de uma ou mais 
características dos indivíduos.
AMOSTRAAMOSTRA
Amostra pode ser definida como um subconjunto, uma 
parte selecionada da totalidade de observações abrangidas 
pela população, através da qual se faz um juízo ou inferência 
sobre as características da população. Quando os dados 
estatísticos apresentam um caráter qualitativo, tem-se 
uma estatística de atributo. Por outro lado, se os dados 
são expressos através de valores numéricos e possuem 
caráter quantitativo, tem-se uma estatística quantitativa 
ou de variável.
VARIÁVELVARIÁVEL
Variável é um atributo mensurável que tipicamente varia 
entre os indivíduos.
FREQUÊNCIA ABSOLUTA E RELATI-FREQUÊNCIA ABSOLUTA E RELATI-
VA; PORCENTAGEM; TABELAS DE VA; PORCENTAGEM; TABELAS DE 
FREQUÊNCIAFREQUÊNCIA..
Para apresentar os conceitos a seguir, vamos considerar 
um grupo de 10 estudantes com as seguintes idades:
13, 13, 14, 14, 14 , 14 , 15, 15, 15, 16.
Os dados podem ser agrupados considerando o número 
de repetições de um determinado valor ou de valores em 
um intervalo. Essa maneira de apresentar os dados é de-
nominada distribuição de frequências.
FREQUÊNCIA ABSOLUTA FREQUÊNCIA ABSOLUTA 
(SIMPLES) (N(SIMPLES) (NII))
Frequência absoluta simples é o número de repetições de 
um valor individual ou de uma classe de valores da variável.
Exemplo:
A soma das frequências simples absolutas em uma tabela 
é chamada frequência total e corresponde ao número total 
de observações. No caso, 2 + 4 + 3 + 1 = 10.
FREQUÊNCIA ABSOLUTA FREQUÊNCIA ABSOLUTA 
ACUMULADA (NI)ACUMULADA (NI)
Frequência absoluta acumulada de uma classe ou de um 
valor individual é a soma da frequência absoluta simples 
dessa classe ou valor com as frequências absolutas simples 
das classes ou dos valores menores ou anteriores.
165
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 165Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 165 22/12/2022 08:32:5022/12/2022 08:32:50
CAPÍTULO 11 
Estatística Descritiva
A frequência absoluta acumulada da última classe é igual 
ao total de observações.
FREQUÊNCIA RELATIVA SIMPLES (FFREQUÊNCIA RELATIVA SIMPLES (FII))
A Frequência Relativa (simples) (fi) é a razão entre a fre-
quência absoluta (ni) e o número total de dados (n).
=f
n
ni
i
Exemplo:
A frequência relativa sempre pertence ao intervalo [0, 1], 
ou seja, 0 ″ fi ″ 1 e a soma das frequências relativas de 
todos os valores assumidos por uma determinada variável 
é igual a 1.
FREQUÊNCIA RELATIVA FREQUÊNCIA RELATIVA 
ACUMULADA (FI)ACUMULADA (FI)
A Frequência Relativa Acumulada (Fi) de uma classe ouvalor individual é igual à soma da frequência relativa sim-
ples dessa classe ou valor com as frequências relativas 
simples das classes ou valores menores ou anteriores. A 
frequência relativa acumulada também pode ser obtida 
pela razão entre a frequência absoluta acumulada e o total 
de observações.
=F
N
ni
i
Exemplo:
INTERVALO DE CLASSESINTERVALO DE CLASSES
A lista a seguir apresenta as notas de 10 alunos em uma 
prova: 4,5; 5,1; 5,2; 6,2; 6,4; 6,5; 6,8; 7,2; 7,5; 8,2.
Observe que para a análise desses dados, é conveniente 
agrupá-los em intervalos de classe. Veja a tabela a seguir:
Observe que a |--- b representa o intervalo fechado à es-
querda e aberto à direita [a, b[, que é um intervalo de 
classe de amplitude b --a. O ponto médio da classe (xi) é a 
medida aritmética entre o limite inferior e o limite superior 
da classe, ou seja, xi = 
+a b
2
. Recomenda-se que os intervalos 
de classe adotados tenham sempre a mesma amplitude.
GRÁFICO DE SETORESGRÁFICO DE SETORES
Se uma variável assume k valores distintos, podemos re-
presentar a distribuição de frequências dividindo o círculo 
em k setores circulares com ângulos centrais proporcionais 
às frequências de cada um dos valores.
GRÁFICO DE BARRASGRÁFICO DE BARRAS
O gráfico de barras tem por finalidade comparar grandezas 
por meio de retângulos de igual altura e larguras propor-
cionais às respectivas grandezas.
166
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 166Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 166 22/12/2022 08:32:5822/12/2022 08:32:58
CAPÍTULO 11 
Estatística Descritiva
GRÁFICO DE COLUNASGRÁFICO DE COLUNAS
Os gráficos de colunas ou gráfico de barras verticais permi-
tem comparar grandezas por meio de retângulos de mesma 
largura e alturas proporcionais às respectivas grandezas.
GRÁFICO DE LINHAS (POLIGONAL)GRÁFICO DE LINHAS (POLIGONAL)
Os gráficos em linha são obtidos representando os valores 
da variável no gráfico e unindo-se esses pontos por seg-
mentos de retas. Esses gráficos são muito convenientes 
para representar séries temporais.
HISTOGRAMAHISTOGRAMA
Um histograma é um gráfico de colunas que representa 
uma distribuição de frequências. Considere um grupo de 
26 alunos com as seguintes idades: 11, 11, 12, 12, 12, 12, 
12, 13, 13, 13, 13,13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 
15, 16, 16, 17.
HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIAS HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIAS 
ABSOLUTASABSOLUTAS
HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIAS HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIAS 
RELATIVASRELATIVAS
O polígono de frequências é um gráfico em linhas repre-
sentativo de uma distribuição de frequências simples. No 
caso de dados agrupados em intervalos de classe, os pontos 
do gráfico são os pontos médios das bases superiores dos 
retângulos.
OGIVAOGIVA
O gráfico em linhas representativo de uma distribuição de 
frequências acumuladas é chamado polígono de frequên-
cias acumuladas ou ogiva de Galton. No caso de dados 
167
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 167Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 167 22/12/2022 08:33:0422/12/2022 08:33:04
CAPÍTULO 11 
Estatística Descritiva
agrupados em intervalos de classe, os pontos do gráfico 
são os pontos correspondentes aos limites superiores das 
classes das bases superiores dos retângulos.
MEDIDAS DE CENTRALIDADE
Para apresentar os conceitos a seguir, vamos considerar 
um grupo de 10 estudantes com as seguintes idades:
13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16.
MÉDIA ARITMÉTICAMÉDIA ARITMÉTICA
Seja x uma variável quantitativa e x1, x2, x3, x4, ..., xn os 
valores assumidos por essa variável. A médica aritmética 
( x ) de x é igual à soma de todos os valores assumidos 
pela variável dividida pelo número de valores, ou seja, 
=
+ + …+
x
x x x
n
1 2 n
Exemplo:
=
+ + + + + + + + +x 13 13 14 14 14 14 15 15 15 16
10 = 14,3
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADAMÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
Se adicionarmos um mesmo valor a cada um dos valores 
assumidos pela variável, a média aritmética fica adicionada 
desse valor. Se multiplicarmos cada um dos valores assu-
midos pela variável por um mesmo valor, a média aritmé-
tica fica multiplicada por esse valor. Seja x uma variável 
quantitativa e x1, x2, x3, x4, ..., xk. os valores assumidos por 
essa variável, com frequências absolutas respectivamen-
te iguais a n1, n2, n3, ... nk. A média aritmética ( x) desses 
valores é igual à soma de cada um dos valores assumidos 
pela variável multiplicado pela sua frequência dividida pela 
soma das frequências, ou seja,
x = + + + … +
+ + … +
x . n x . n x . n . x . n
n n . n
1 1 2 2 3 3 k k
1 2 k
Exemplo:
=
+ + +
+ + +
x 13.2 14.4 15.3 16.1
2 4 3 1
 = 14,3
MEDIANAMEDIANA
Seja x1 < x2 < x3 < x4 < x5 <... < xn, os valores ordenados 
assumidos pela variável quantitativa x. A mediana (Me) é 
dada por:
= +








+










 +






Me
x , se n é par
x x
2
, se n é ímpar
n 1
2
n
2
n
2
1
Dessa forma, a mediana é tal que a quantidade de valo-
res menores ou iguais à mediana é igual à quantidade de 
valores maiores ou iguais à mediana. Comparada à média 
aritmética, a mediana é uma medida de centralidade menos 
sensível a valores discrepantes.
Sejam 10 estudantes com as seguintes idades: 13, 13, 14, 
14, 14, 14, 15, 15, 15, 16. A mediana é 
+
=
+
=
x x
2
14 14
2
145 6
MODAMODA
A moda de um conjunto é o valor que ocorre mais vezes ou 
de maior frequência simples (absoluta ou relativa) numa 
distribuição de frequências. Para existir moda, é necessário 
que exista destaque.
Exemplo: Sejam 10 estudantes com as seguintes idades: 
13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16. A moda é 14 .
A moda pode não existir ou, existindo, pode não ser única.
Exemplo: 1,2,2,3,4,4,5 tem modas 2 e 4 (bimodal).
168
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 168Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 168 22/12/2022 08:33:1522/12/2022 08:33:15
CAPÍTULO 11 
Estatística Descritiva
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 (EEAR) A média de um conjunto de quatro valores 
é 4,25. Se aumentarmos de 5 unidades o menor desses 
valores, e diminuirmos de 3 unidades o maior deles, a 
nova média será:
a) 4,75
b) 5,25
c) 5
d) 5,5
02 (EEAR) No último mês, ao examinar 5% dos animais 
de um zoológico, constatou-se que alguns deles preci-
savam ser medicados. Posteriormente, considerando a 
mesma proporção, inferiu-se que, ao todo, cerca de 120 
animais do zoológico estariam precisando de medicação. 
Assim, aqueles animais examinados representam uma 
_________ de todos os animais do: zoológico.
a) amostra
b) variável
c) população
d) distribuição
03 (EEAR) Na tabela de dados brutos tem-se as mas-
sas, em quilogramas, de 15 clientes de uma clínica médica. 
Organizando os dados desta tabela pode-se verificar que 
a amplitude do rol, em kg, é:
83 72 86 74 88
57 81 91 65 82
59 55 49 73 74
a) 36
b) 42
c) 51
d) 55
04 (EEAR) A média da distribuição representada pelo 
seguinte Histograma é
a) 8
b) 7
c) 
56
9
d) 
61
9
05 Em uma turma de 5 alunos, as notas de um teste 
de matemática são números inteiros tais que a média 
aritmética e a mediana são iguais a 5 , e nenhum aluno 
errou todas as questões. Sabendo que esse conjunto de 
notas é unimodal, com moda igual a 8, então a diferença 
entre a maior nota e a menor nota é um número que é 
divisor de:
a) 14
b) 15
c) 16
d) 18
06 (EEAR) A tabela apresenta as frequências acumu-
ladas das notas de 70 alunos, obtidas em uma avaliação. 
A frequência absoluta da 2ª classe é:
Notas
Frequência
acumulada
2,0 |--- 3,5 12
3,5 |--- 5,0 26
5,0 |--- 6,5 43
6,5 |--- 8,0 57
8,0 |--- 9,5 70
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
169
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 169Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 169 22/12/2022 08:33:2022/12/2022 08:33:20
CAPÍTULO 11 
Estatística Descritiva
07 Sendo x um número inteiro, a mediana do conjunto 
{3, 7, 2, -3, 13, 9, -1, x} de oito números é igual a 
7
2
. Dessa 
forma, x é igual a:
a) 7b) 3
c) 4
d) 6
e) 5
08 Uma lista de quatro números inteiros tem média 
7 e diferença entre o maior e o menor dos números igual 
a 24. A moda e a mediana da lista são, ambas, iguais a 8. 
Assim, o desvio padrão da lista é igual a:
a) √69
b) √70
c) √71
d) √72
e) 73
09 As notas de oito alunos numa prova de matemá-
tica foram escritas pelo professor numa tabela como a 
que segue:
Aluno A B C D E F G H
Nota 6,5 10 8 9,4 8 6,4 x 7,4
Sabe-se que a média aritmética dessas notas é 8,2.
Considerando as notas dos oito alunos, é correto afirmar 
que a nota do aluno G é
a) igual à moda.
b) inferior a 9,8.
c) superior à mediana.
d) inferior à média aritmética das outras sete notas.
10 (EEAR) A tabela seguinte informa a quantidade 
de pessoas que compraram ingressos antecipados de 
um determinado show, cujos preços eram modificados 
semanalmente.
Valor do ingresso R$ Número de pessoas
50 |--- 75 300
75 |--- 100 640
100 |--- 125 500
125 |--- 150 1.310
150 |--- 175 850
∑ = 3.600
O percentual de pessoas que adquiriram o ingresso por 
menos de R$ 125,00 foi:
a) 40%
b) 45%
c) 50%
d) 55%
11 Removendo um número do conjunto {11, 12, 17, 
18, 23, 29, 30} formamos um novo conjunto com média 
aritmética dos elementos igual a 18,5. A mediana dos 
elementos desse novo conjunto é igual a:
a) 26,5
b) 26,0
c) 20,5
d) 17,5
e) 14,5
12 Um nutricionista indicou três dietas diferentes 
para grupos de pacientes que gostariam de perder peso 
(em quilogramas). A tabela a seguir indica a perda de peso 
(em quilogramas) por paciente de cada grupo.
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3
2 2 3
3 2 4
4 2 4
4 3 4
5 3 5
6 5 6
8 8 6
10 9 5
170
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 170Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 170 22/12/2022 08:33:2422/12/2022 08:33:24
CAPÍTULO 11 
Estatística Descritiva
A partir desses dados, a média de perda de peso do grupo 
1, a mediana de perda de peso do grupo 3 e a moda da 
perda de peso do grupo 2 é dado, respectivamente, por:
a) 5,25; 4,5; 2,0.
b) 4,25; 4,5; 3,0.
c) 4,75; 2,0; 4,0.
d) 5,25; 3,0; 4,5.
e) 4,75; 4,0; 4,5.
13 (EEAR) Ao calcular a média aritmética das notas 
dos Testes Físicos (TF) de suas três turmas, um professor 
de Educação Física anotou os seguintes valores:
TURMA Nº DE ALUNOS MÉDIA DO TF
A 20 9
B 40 7,5
C 30 8
A média aritmética das notas do TF dos 90 alunos das 
turmas A, B e C é:
a) 8,0
b) 8,1
c) 8,2
d) 8,3
NÍVEL 2NÍVEL 2
14 Durante um campeonato de basquete, nas 8 par-
tidas disputadas por um jogador, verificou-se que suas 
pontuações foram: 23, 15, 10, 23, 22, 10, 10 e 15. Podemos 
avaliar que a média, a moda e a mediana dessa amos-
tragem são, respectivamente:
a) 10, 15 e 16
b) 16, 10 e 10
c) 15, 10 e 16
d) 15, 16 e 16
e) 16, 10 e 15
15 (EEAR) A distribuição de frequência abaixo refere-
-se à exportação de soja realizada por uma Cooperativa 
no mês de abril.
xi
Toneladas ex-
portadas
fi
1 10 |--- 20 3
2 20 |--- 30 2
3 30 |--- 40 8
4 40 |--- 50 10
5 50 |--- 60 7
∑fi = 30
Com base nos dados apresentados, a mediana da distri-
buição pertence à:
a) 2ª classe
b) 3ª classe
c) 4ª classe
d) 5ª classe
16 Em uma prova de História, 20% dos alunos tiraram 
5,0, 45% tiraram 6,0, 20% tiraram 7,5 e os demais tiraram 
10,0 . A diferença entre a média e a mediana das notas 
dos alunos nessa prova foi:
a) 0,5
b) 0,1
c) 0,7
d) 0,0
e) 0,3
17 Em um grupo de 6 pessoas, a média das idades é 17 
anos, a mediana é 16,5 anos e a moda é 16 anos. Se uma 
pessoa de 24 anos se juntar ao grupo, a média e a mediana 
das idades do grupo passarão a ser, respectivamente:
a) 17 anos e 17 anos.
b) 18 anos e 17 anos.
c) 18 anos e 16,5 anos.
d) 20,5 anos e 16,5 anos.
e) 20,5 anos e 20,5 anos.
171
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 171Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 171 22/12/2022 08:33:2622/12/2022 08:33:26
CAPÍTULO 11 
Estatística Descritiva
18 (EEAR) A distribuição dos salários dos 20 funcio-
nários de uma empresa está representada no quadro 
a seguir.
SALÁRIO 
(em reais)
Número de funcionários 
(f )
i
fia fr (%)
860 2 2 10
950 6 8 _____
1.130 _____ 16 40
1.480 3 ____ 15
2.090 1 20 5
Os valores que completam corretamente as lacunas do 
quadro são:
a) fi = 10; fia = 13; fr = 30
b) fi = 10; fia = 13; fr = 20
c) fi = 8; fia = 11; fr = 20
d) fi = 8; fia = 19; fr = 30
19 Em uma seletiva para a final dos 100 metros livres 
de natação, numa olimpíada, os atletas, em suas respec-
tivas raias, obtiveram os seguintes tempos:
A mediana dos tempos apresentados no quadro é:
a) 20,70
b) 20,77
c) 20,80
d) 20,85
e) 20,90
20 Uma pessoa, ao fazer uma pesquisa com alguns 
alunos de um curso, coletou as idades dos entrevistados 
e organizou esses dados em um gráfico.
Qual a moda das idades, em anos, dos entrevistados?
a) 9
b) 12
c) 13
d) 15
e) 21
21 Preocupada com a sua locadora, Marla aplicou 
uma pesquisa com um grupo de 200 clientes escolhidos 
de forma aleatória, sobre a quantidade de filmes que 
estes locaram no primeiro semestre de 2011. Os dados 
coletados estão apresentados na tabela a seguir:
Número de filmes alugados
Número de filmes Frequência
0 25
1 30
2 55
3 90
Total 200
A média, a moda e a mediana destes dados são, respecti-
vamente, os seguintes:
a) 2,05; 3; 2.
b) 1,5; 2; 3.
c) 1,5; 3; 3.
d) 1,5; 3; 2.
e) 2,05; 2; 3.
172
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 172Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 172 22/12/2022 08:33:2822/12/2022 08:33:28
CAPÍTULO 11 
Estatística Descritiva
22 A distribuição das idades dos alunos da turma do 
5º período de um curso de agronomia está descrita no 
gráfico de barras abaixo. Esse gráfico está incompleto, 
pois nele não está representada a quantidade x de alunos 
com 20 anos de idade. Sabendo que ao considerarmos 
todos os alunos da turma (inclusive os que tenham 20 
anos), a média aritmética das idades é 20,25.
Então, o valor de x é tal que:
a) x é par.
b) x é divisível por 5.
c) x.
d) x é primo.
23 A média aritmética dos elementos do conjunto 
{17, 8, 30, 21, 7, x} supera em uma unidade a mediana 
dos elementos desse conjunto. Se x é um número real 
tal que 8 < x < 21 e x ≠ 17, então a média aritmética dos 
elementos desse conjunto é igual a:
a) 16.
b) 17.
c) 18.
d) 19.
e) 20.
24 Em um conjunto de 100 observações numéricas, 
podemos afirmar que:
a) a média aritmética é maior que a mediana.
b) a mediana é maior que a moda.
c) 50% dos valores estão acima da média aritmética.
d) 50% dos valores estão abaixo da mediana.
e) 25% dos valores estão entre a moda e a mediana.
25 As notas de um candidato em suas provas de um 
concurso foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2. A nota média, 
a nota mediana e a nota modal desse aluno, são respec-
tivamente:
a) 7,9; 7,8; 7,2
b) 7,2; 7,8; 7,9
c) 7,8; 7,8; 7,9
d) 7,2; 7,8; 7,9
e) 7,8; 7,9; 7,2
26 (EEAR) A tabela abaixo mostra os números dos 
sapatos dos candidatos ao Curso de Formação de Sar-
gentos 1/2018 da Força Aérea Brasileira.
N° do sapato fi
33 182
34 262
35 389
36 825
37 1441
38 2827
39 3943
40 2126
41 1844
42 1540
43 989
44 421
Total 16789
A moda dessa distribuição é:
a) 33
b) 36
c) 39
d) 44
173
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 173Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 173 22/12/2022 08:33:3022/12/2022 08:33:30
CAPÍTULO 11 
Estatística Descritiva
NÍVEL 3NÍVEL 3
27 (EEAR) O gráfico abaixo refere-se aos índices de 
desistência em um curso de Informática, verificados nos 
anos de 2010 e 2014. Com base no gráfico, pode-se afirmar 
que os índices e médio (aproximado) de desistência do 
curso nesses anos são, respectivamente:
a) 10% e 10%
b) 9% e 10%
c) 10% e 9%
d) 9% e 9%
28 (EEAR) No primeiro semestre de 2016, os 720 alu-
nos de uma determinada escola térmica possuíam as 
seguintes idades:
Idade em anos 18 19 20 21 22
N° de alunos 100 180 200 160 80
Se apresentarmos os dados em um gráfico de setores,o 
setor que representa o número de alunos com idade de 
19 anos deverá ter:
a) 90°
b) 60°
c) 45°
d) 30°
29 (EEAR) A Moda da distribuição representada pelo 
Polígono de Frequência é:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
30 (EEAR) A tabela apresentada refere-se às notas 
obtidas por 20 alunos de uma turma em uma prova de 
redação. A porcentagem de alunos com nota maior ou 
igual a 5,5 é:
NOTAS fi
1,0 |--- 2,5 2
2,5 |--- 4,0 5
4,0 |--- 5,5 5
5,5 |--- 7,0 4
7,0 |--- 8,5 2
8,5 |--- 10 2
a) 25%
b) 30%
c) 35%
d) 40%
174
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CAPÍTULO 11 
Estatística Descritiva
29 (EEAR) A Moda da distribuição representada pelo 
Polígono de Frequência é:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
30 (EEAR) A tabela apresentada refere-se às notas 
obtidas por 20 alunos de uma turma em uma prova de 
redação. A porcentagem de alunos com nota maior ou 
igual a 5,5 é:
NOTAS fi
1,0 |--- 2,5 2
2,5 |--- 4,0 5
4,0 |--- 5,5 5
5,5 |--- 7,0 4
7,0 |--- 8,5 2
8,5 |--- 10 2
a) 25%
b) 30%
c) 35%
d) 40%
31 (EEAR) A tabela abaixo apresenta a quantidade de 
candidatos, conforme, inscritos em um concurso cultural. 
A idade média, em anos, desses candidatos é:
IDADE
(em anos)
QUANTIDADE
10 7
11 5
12 10
13 7
14 6
TOTAL 35
a) 13
b) 12
c) 12,5
d) 11,5
32 (EEAR) Se as frequências absolutas da 1ª à 6ª classes 
de uma distribuição são, respectivamente, 5, 13, 20, 30, 
24 e 8, então a frequência acumulada da 4ª classe dessa 
distribuição é:
a) 68
b) 82
c) 28%
d) 20%
33 (EEAR) Sejam f1 e f2 as frequências da 1ª e da 2ª 
classes da Distribuição representada no polígono de 
frequências. Assim, f1 + f2 é igual a:
a) 15
b) 20
c) 25
d) 30
34 (EEAR) Considere a distribuição:
Idades de 90 pacientes de um hospital – Ago/2009
Idades Números de pacientes
40 |--- 50 8
50 |--- 60 12
60 |--- 70 27
70 |--- 80 31
80 |--- 90 10
90 |--- 1000 2
A frequência relativa da 3ª classe dessa distribuição é:
a) 40%
b) 35%
c) 30%
d) 25%
GABARITOGABARITO
01. A 02. A 03. B 04. D 05. A 06. A
07. C 08. E 09. C 10. A 11. D 12. A
13. A 14. E 15. C 16. C 17. B 18. D
19. D 20. A 21. A 22. A 23. A 24. D
25. A 26. C 27. B 28. A 29. B 30. B
31. B 32. A 33. A 34. C
175
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M
a
te
m
á
ti
c
a
M
a
te
m
á
ti
c
a
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M
a
te
m
á
ti
c
a
M
a
te
m
á
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c
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CAPÍTULO 1 
Linhas e Ângulos: Reta, Semirreta e Segmento de Reta
LINHAS E 
ÂNGULOS: RETA, 
SEMIRRETA E 
SEGMENTO DE RETA
Dois segmentos congruentes são aqueles que possuem a 
mesma medida.
O ponto médio é aquele que divide um segmento em dois 
segmentos congruentes.
A mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao 
segmento no seu ponto médio.
ÂNGULOÂNGULO
Chama-se ângulo a região entre duas semirretas que par-
tem da mesma origem.
Ângulos congruentes são aqueles que possuem a mesma 
medida.
A bissetriz de um ângulo é a semirreta de origem no vér-
tice do ângulo que divide esse ângulo em dois ângulos 
congruentes.
UNIDADES DE MEDIDAUNIDADES DE MEDIDA
I) GRAU
A medida de uma volta completa é 360°.
x° x graus 1° = 60’
x’ x minutos 1’ = 60’’
x’’ x segundos 1° = 3600’’
II) RADIANO
A medida de uma volta completa é 2 π .
Um radiano é a medida do ângulo central de uma circun-
ferência cuja medida do arco correspondente é igual à 
medida do raio da circunferência.
CLASSIFICAÇÃOCLASSIFICAÇÃO
Dado um ângulo α, temos:
Ângulo nulo α = 0°
Ângulo agudo 0° < α < 90°
Ângulo reto α = 90°
Ângulo obtuso 90° < α < 180°
Ângulo raso α = 180°
Ângulo reentrante 180° < α < 360°
Ângulo completo α = 360°
 » Ângulos Complementares: É o par de ângulos cuja soma 
é igual a 90°.
 » Ângulos Suplementares: É o par de ângulos cuja soma 
é igual a 180°.
 » Ângulos Replementares: É o par de ângulos cuja soma 
é igual a 360°.
179
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CAPÍTULO 1 
Linhas e Ângulos: Reta, Semirreta e Segmento de Reta
RETAS PARALELAS CORTADAS POR RETAS PARALELAS CORTADAS POR 
UMA TRANSVERSALUMA TRANSVERSAL
 » Ângulos correspondentes: São os ângulos que ocupam 
a “mesma posição”. Os ângulos correspondentes são con-
gruentes, ou seja, possuem a mesma medida.
A = a’ b = b’ c = c’ d = d’
 » Ângulos alternos: São os ângulos que ocupam a parte 
interna e lados alternados ou a parte externa e lados al-
ternados. Os ângulos alternos são congruentes.
Internos Externos
a’ = c e b’ = d a = c’ e b = d’
 » Ângulos colaterais: São os ângulos que ocupam o mesmo 
lado da transversal. Os ângulos colaterais são suplemen-
tares.
Internos Externos
b’ + c = 180° b + c’ = 180°
a’ + d = 180° a + d’ = 180°
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 Se o segmento AB mede 23 cm, então o valor de 
x, em cm, na figura abaixo é:
a) 15.
b) 12.
x
8
c) 14.
d) 6.
02 Se o segmento AB mede 29 m, então o valor de 
x, em m, na figura abaixo é:
a) 14.
b) 13.
c) 11.
d) 9.
03 Se o segmento AB mede 17 dm, então o valor de 
x, em dm, na figura abaixo é um número:
a) múltiplo de 2.
b) múltiplo de 5.
c) primo.
d) inferior a 4.
04 Se M é o ponto médio do segmento AB , então o 
valor de x, na figura abaixo, é um número:
 
x + 4
a) par.
b) múltiplo de 5.
21
x
2x - 3
4x - 5
180
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CAPÍTULO 1 
Linhas e Ângulos: Reta, Semirreta e Segmento de Reta
c) divisor de 10.
d) primo.
05 Ao determinarmos a medida de AB , na figura 
abaixo, sendo M o ponto médio de AB , encontramos:
a) 20.
b) 12.
c) 43.
d) 24.
06 O segmento AB de uma reta é igual ao quíntuplo 
do segmento CD dessa mesma reta. Considerando como 
unidade de medida a quinta parte do segmento CD , a 
medida do segmento AB é:
a) 20.
b) 23.
c) 25.
d) 28.
07 O, A, B e C são quatro pontos de uma reta, suce-
dendo-se na ordem OABC, e tais que OA = 3 cm, OB = 5 
cm, 4 AB + AC 2BC 6 cm− = . A distância entre os pontos 
O e C é, em cm:
a) 6.
b) 8.
c) 9.
d) 10.
08 AB e BC são segmentos adjacentes, cujos pontos 
médios respectivos são M e N. Logo, podemos afirmar 
que MN é igual a:
a) AB BC
2
+
b) AB BC
2
−
c) AB . BC
2
d) AB + BC
09 P, Q e R (Q entre P e R) são três pontos distintos 
de uma reta. Se PQ é igual ao triplo de QR e PR = 32 
cm, então o valor de PQ + 2.QR é:
a) 30 cm.
b) 40 cm.
c) 50 cm.
d) 42 cm.
10 P, Q e R (R entre P e Q) são três pontos distintos 
de uma reta. Se PQ é igual ao triplo de QR e PR = 32 
cm, então o valor de PQ e QR são, respectivamente:
a) 36 cm e 12 cm.
b) 30 cm e 10 cm.
c) 24 cm e 8 cm.
d) 48 cm e 16 cm.
11 Se A, B e C são pontos de uma reta (B entre A e C), 
sendo AC = 24 e BA = 5BC , então BC mede:
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
12 Um segmento AB é tal que 7 AB = 3CD . Qual será 
sua medida na unidade 1
4
CD ?
a) 11/5.
b) 12/5.
c) 11/7.
d) 12/7.
13 Se AB = 5CD , então o valor de 3AB
CD
5AB
CD
+ é igual 
a:
a) 15.
b) 25.
c) 40.
d) 80.
181
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CAPÍTULO 1 
Linhas e Ângulos: Reta, Semirreta e Segmento deReta
14 Calcule x na figura, sabendo que a – b = – 24°:
a) 15°
b) 16°
c) 17°
d) 18°
15 AB e BC são dois segmentos adjacentes. Se AB 
é o quíntuplo de BC e AC = 42 cm, então AB BC− é 
igual a:
a) 35 cm.
b) 42 cm.
c) 28 cm.
d) 30 cm.
16 Escrevendo 100° 47’ 57’’ em segundos, encontra-
remos:
a) 36775’’
b) 36757’’
c) 362877’’
d) 752376’’
17 Efetuando 48° 27’ 39’’ + 127° 51’ 42’’, obtemos:
a) 176° 19’ 21’’
b) 174° 20’ 21’’
c) 170° 45’ 23’’
d) 154° 50’ 10’’
18 Efetuando 90° – 61° 14’ 44’’, obtemos:
a) 25° 45’ 23’’
b) 27° 40’ 21’’
c) 28° 45’ 16’’
d) 28° 44’ 13’’
19 Efetuando 4 x (68° 23’ 54’’), obtemos:
a) 273° 35’ 36’’
b) 274° 35’ 36’’
c) 273° 35’ 46’’
d) 234° 45’ 36’’
20 Efetuando (125° 39’ 44’’) / 4, obtemos:
a) 28° 24’ 46’’
b) 29° 10’ 56’’
c) 30° 20’ 56’’
d) 31° 24’ 56’’
NÍVEL 2
21 O complemento de 18° 42’ é:
a) 72° 18’
b) 71° 18’
c) 71° 19’
d) 70° 18’
22 Dois ângulos suplementares medem 3x – 40° e 2x 
+ 60°. O maior desses ângulos mede:
a) 56°
b) 108°
c) 124°
d) 132°
23 Quatro semirretas OA, OB, OC e OD formam os ân-
gulos adjacentes AÔB, BÔC, CÔD e DÔA, respectivamente 
proporcionais aos números 1, 2, 4 e 5. As bissetrizes de 
AÔB e CÔD formam:
a) 90°
b) 20°
c) 135°
d) 150°
24 O ângulo agudo formado pelos ponteiros de um 
relógio às 5h 10 min:
a) 0°
b) 95°
c) 100°
d) 85°
182
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CAPÍTULO 1 
Linhas e Ângulos: Reta, Semirreta e Segmento de Reta
25 O ângulo cujo suplemento excede de 6° o quádru-
plo do seu complemento é:
a) 58°
b) 60°
c) 62°
d) 64°
26 O ângulo agudo formado pelos ponteiros de um 
relógio às 4h 42 min:
a) 120°
b) 141°
c) 108°
d) 111°
27 O suplemento do triplo do complemento da meta-
de de um ângulo é igual ao triplo do complemento desse 
ângulo. Esse ângulo mede:
a) 70°
b) 80°
c) 90°
d) 100°
28 Na figura BÂC = 120°, � ���AX é bissetriz BÂD e � ���AY é 
bissetriz de CÂD. Calcule XÂY:
a) 30°
b) 60º
c) 120º
d) 145º
29 O complemento da terça parte de um ângulo ex-
cede o complemento desse ângulo em 30°. Esse ângulo 
mede:
a) 45°
b) 50°
c) 55°
d) 60°
30 Na figura abaixo, determinar o valor do ângulo x, 
sabendo-se que OD é bissetriz de AÔE, OC é bissetriz 
de AÔD e OB é bissetriz de AÔC:
a) 16°
b) 17°
c) 18°
d) 19º
31 Dois ângulos são suplementares e a razão entre 
o complemento de um e o suplemento do outro, nessa 
ordem, é 1/8. Esses dois ângulos são:
a) 80° e 100°
b) 70° e 110°
c) 50° e 130°
d) 60° e 120º
32 As bissetrizes de dois ângulos adjacentes e com-
plementares formam um ângulo de:
a) 60°
b) 90°
c) 45°
d) 30°
183
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 183Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 183 22/12/2022 08:34:3322/12/2022 08:34:33
CAPÍTULO 1 
Linhas e Ângulos: Reta, Semirreta e Segmento de Reta
33 O triplo do complemento de um ângulo, aumen-
tado de 50°, é igual ao suplemento do ângulo. A medida 
desse ângulo é:
a) 70°
b) 60°
c) 50°
d) 40°
34 Determine o complemento de um ângulo, sabendo 
que a razão entre o ângulo e o seu complemento é 5/4:
a) 20°
b) 30°
c) 40°
d) 50°
35 Dois ângulos estão na relação 4/9. Sendo 130° sua 
soma, determine o complemento do menor:
a) 20°
b) 30°
c) 40°
d) 50°
36 Os ângulos  e B̂ são congruentes. Sendo  = 2x 
+ 15 e B̂ = 5x – 9°. Assinale a alternativa que representa, 
corretamente, o valor de x:
a) 2°
b) 8°
c) 12°
d) 24°
37 Calcule x na figura abaixo:
a) 50°
b) 40º
c) 30º
d) 45º
38 Calcule x na figura abaixo:
a) 50°
b) 40°
c) 30°
d) 20°
39 Na figura AÔC é um ângulo reto e OX é bissetriz de 
BÔC. Calcule AÔX, sabendo que BÔX é o dobro de AÔB:
a) 18°
b) 36°
c) 54°
d) 64°
40 Os segmentos AB e BC , BC e CD são adjacentes, 
de tal maneira que AB é o triplo de BC , BC é o dobro de 
CD e AD = 36 cm. Então, o valor de AB + 2BC − 3CD é 
igual, em cm, a um número:
a) irracional
b) múltiplo de 5
c) ímpar
d) múltiplo de 7
NÍVEL 3NÍVEL 3
184
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CAPÍTULO 1 
Linhas e Ângulos: Reta, Semirreta e Segmento de Reta
41 De um ponto O, tomado sobre uma reta AB (O 
entre A e B), traçam-se para um mesmo semiplano de 
AB, as semirretas ON, OP e OQ. Os ângulos AÔN, NÔP, 
PÔQ e QÔB medem, respectivamente, 80° – 3x, 5x – 14°, 
x e 4x + 9°. O complemento do menor ângulo é:
a) 68°
b) 75°
c) 78°
d) 80°
42 Na figura abaixo, sendo BD a bissetriz do ângulo 
C B̂ E, determinar x + y:
a) 90°
b) 100°
c) 110°
d) 120°
43 Na figura abaixo, determine o valor de x:
a) 33°
b) 35°
c) 57°
d) 58°
44 Duas retas paralelas são cortadas por uma ter-
ceira reta de modo que dois ângulos colaterais internos 
são dados em graus pelas expressões: a = 10x + 20° e b 
= 6x – 20°. Calcular b:
a) 62°20’
b) 52°12’
c) 47°30’
d) 67°30’
e) 72°15’
45 (EEAR) Observando as figuras abaixo, o valor, em 
graus, de é x – y:
a) 25
b) 20
c) 15
d) 10
46 Se r//s, então o valor de y – x, observando as duas 
figuras abaixo, é:
a) 45°
b) 62°
c) 70°
d) 104°
185
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CAPÍTULO 1 
Linhas e Ângulos: Reta, Semirreta e Segmento de Reta
47 Na figura, sabe-se que t//s. Calcule o valor de x:
a) 30°
b) 32°
c) 25°
d) 38°
48 (EEAR) Na figura, BA // EF . A medida X é:
a) 105°
b) 106°
c) 107°
d) 108°
49 Na figura abaixo, calcule o valor de x:
a) 100°
b) 108°
c) 127°
d) 132°
50 Na figura, sabe-se que t//s. Calcule o valor de x:
a) 50°
b) 60°
c) 70°
d) 80°
GABARITOGABARITO
01. A 11. B 21. B 31. A 41. B
02. B 12. D 22. C 32. C 42. B
03. A 13. C 23. C 33. A 43. A
04. D 14. D 24. B 34. C 44. C
05. D 15. C 25. C 35. D 45. B
06. C 16. C 26. D 36. B 46. B
07. C 17. A 27. B 37. A 47. D
08. A 18. C 28. B 38. C 48. B
09. B 19. A 29. A 39. C 49. C
10. D 20. D 30. D 40. D 50. C
186
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 186Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 186 22/12/2022 08:35:0222/12/2022 08:35:02
CAPÍTULO 2 
Triângulo
TRIÂNGULO
POLÍGONO FORMADO POR POLÍGONO FORMADO POR 
TRÊS LADOSTRÊS LADOS
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS
Em todo triângulo, a soma dos três ângulos internos é 
igual a 180°.
α + β + θ = 180°
SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS 
Em todo triângulo, a soma dos três ângulos externos é 
igual a 360°.
α′ + β′ + θ′ = 360°
TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO 
Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual 
à soma das medidas dos dois ângulos internos não adja-
centes.
e = α + β
TEOREMA DA ASADELTATEOREMA DA ASADELTA
x = α + β + θ
CLASSIFICAÇÃOCLASSIFICAÇÃO
I) QUANTO AOS ÂNGULOS:
 » Acutângulo: Um triângulo é acutângulo quando os três 
ângulos internos são agudos.
187
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 187Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 187 22/12/2022 08:35:0922/12/2022 08:35:09
CAPÍTULO 2 
Triângulo
 » Obtusângulo: Um triângulo é obtusângulo quando um 
dos ângulos é obtuso.
 » Retângulo: Um triângulo é retângulo quando um dos 
ângulos é retângulo.
II) QUANTO AOS LADOS
 » Escaleno: Um triângulo é dito escaleno quando as me-
didas dos três lados são diferentes.
 » Isósceles: Um triângulo é dito isósceles quando dois dos 
seus lados são congruentes.
Nota: Os ângulos da base são sempre congruentes.
 » Equilátero: Um triângulo é dito equilátero quando os 
três lados são congruentes.
Nota: Os três ângulos internos do triângulo são con-
gruentes.
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIACONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
Segmentos notáveis
:
 » Mediana: é o segmento que une o vértice ao ponto médio 
do lado oposto.
 » Bissetriz:é a semirreta de origem no vértice que divide 
o ângulo em dois ângulos congruentes.
 » Altura: é a distância entre o vértice e a reta suporte do 
lado oposto.
 » Mediatriz: é a reta perpendicular ao lado do triângulo 
pelo seu ponto médio.
PONTOS NOTÁVEISPONTOS NOTÁVEIS
Baricentro: É o ponto de encontro das três medianas.
PROPRIEDADES:
I) O baricentro divide cada mediana em dois segmentos. A 
distância do baricentro até o vértice é o dobro da distância 
do baricentro até o ponto médio do lado oposto ao vértice.
II) As três medianas dividem o triângulo em seis triângulos 
de mesma área.
III) O baricentro é sempre interno ao triângulo.
Incentro: É o ponto de encontro das três bissetrizes inter-
nas do triângulo.
PROPRIEDADES:
I) O incentro é o centro da circunferência inscrita no triân-
gulo.
II) O incentro é um ponto equidistante aos três lados do 
triângulo.
III) O incentro é sempre interno ao triângulo.
188
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 188Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 188 22/12/2022 08:35:1022/12/2022 08:35:10
CAPÍTULO 2 
Triângulo
PONTOS NOTÁVEISPONTOS NOTÁVEIS
Baricentro: É o ponto de encontro das três medianas.
PROPRIEDADES:
I) O baricentro divide cada mediana em dois segmentos. A 
distância do baricentro até o vértice é o dobro da distância 
do baricentro até o ponto médio do lado oposto ao vértice.
II) As três medianas dividem o triângulo em seis triângulos 
de mesma área.
III) O baricentro é sempre interno ao triângulo.
Incentro: É o ponto de encontro das três bissetrizes inter-
nas do triângulo.
PROPRIEDADES:
I) O incentro é o centro da circunferência inscrita no triân-
gulo.
II) O incentro é um ponto equidistante aos três lados do 
triângulo.
III) O incentro é sempre interno ao triângulo.
Ortocentro: É o ponto de encontro das três alturas do 
triângulo.
PROPRIEDADE:
I) Se o triângulo é acutângulo, então o ortocentro é um 
ponto interno ao triângulo. Se o triângulo é retângulo, en-
tão o ortocentro é um ponto comum ao vértice do ângulo 
de 90°. Se o triângulo é obtusângulo, então o ortocentro é 
um ponto externo ao triângulo.
Circuncentro: É o ponto de encontro das três mediatrizes 
do triângulo.
 » Propriedades:
I) O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita 
ao triângulo.
II) O circuncentro é o ponto equidistante aos três vértice 
do triângulo.
III) Se o triângulo é acutângulo, então o circuncentro é um 
ponto interno ao triângulo. Se o triângulo é retângulo, então 
o circuncentro coincide com o ponto médio da hipotenusa 
do triângulo. Se o triângulo é obtusângulo, então o circun-
centro é um ponto externo ao triângulo.
189
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 189Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 189 22/12/2022 08:35:1122/12/2022 08:35:11
CAPÍTULO 2 
Triângulo
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES:
 » Triângulo isósceles: Num triângulo isósceles, os quatro 
pontos notáveis são colineares.
 » Triângulo isósceles: No triângulo isósceles, o ortocentro 
é o vértice do ângulo reto e o circuncentro é o ponto médio 
da hipotenusa.
 » Triângulo equilátero: Num triângulo equilátero, os qua-
tro pontos notáveis são coincidentes.
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 Calcule o ângulo x na figura abaixo:
a) 84°
b) 64°
c) 74°
d) 94°
02 Calcule o ângulo x na figura abaixo:
a) 10/3.
b) 10.
c) 7/4.
d) 9/5.
190
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 190Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 190 22/12/2022 08:35:1222/12/2022 08:35:12
CAPÍTULO 2 
Triângulo
03 No triângulo ABC abaixo, AB = AC , então o valor 
de x é:
a) 68°
b) 66°
c) 70°
d) 76°
04 No triângulo ABC abaixo, AB = AC , então o valor 
de x é:
a) 50°
b) 60°
c) 70°
d) 80°
05 No triângulo ABC abaixo, AB = AC , então o ângulo 
de x é igual a:
a) 112°
b) 114°
c) 116°
d) 120°
06 (EEAR) Se x, x + 20° e 2x são as medidas dos ân-
gulos internos de um triângulo, então o maior desses 
ângulos mede ___:
a) 50°
b) 70°
c) 80°
d) 120°
07 Na figura abaixo, AB = BC = CD , a medida do 
ângulo x é igual a:
a) 108°
b) 118°
c) 128°
d) 148°
08 (EEAR) Seja ABC um triângulo isósceles de base 
BC = (x + 3) cm, com AB = (x + 4) cm e AC = (3x – 10) cm. A 
base de ABC mede______ cm:
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
09 (EEAR) Um triângulo ABC de base BC = (x + 2) tem 
seus lados AB e AC medindo, respectivamente, (3x – 4) e (x 
+ 8). Sendo este triângulo isósceles, a medida da base BC é:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
191
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 191Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 191 22/12/2022 08:35:2022/12/2022 08:35:20
CAPÍTULO 2 
Triângulo
10 (EEAR) Em um triângulo ABC, o ângulo externo 
de vértice A mede 116°. Se a diferença entre as medidas 
dos ângulos internos B̂ e Ĉ é 30°, então o maior ângulo 
interno do triângulo mede:
a) 75°
b) 73°
c) 70°
d) 68°
11 Determine o valor de x da figura abaixo:
a) 40°/3
b) 20°/3
c) 40°
d) 20°
12 (EEAR) Num triângulo RST a medida do ângulo 
interno R é 68° e do ângulo externo S é 105°. Então o 
ângulo interno T mede:
a) 52°.
b) 45°.
c) 37°.
d) 30°.
13 Determine o valor de x da figura abaixo:
a) 29°
b) 20°
c) 17°
d) 16°
14 Determine o valor de x na figura abaixo:
a) 40°
b) 45°
c) 50°
d) 52°
15 (EEAR) Na figura, B Ĉ A, C Â D e A D̂ B medem, res-
pectivamente, 60°, 30° e 110°. A medida de D B̂ C é:
a) 15°
b) 20°
c) 25°
d) 30°
NÍVEL 2NÍVEL 2
16 Determinar a medida do ângulo x, sabendo-se que 
os triângulos ABE e CDE são isósceles e que o triângulo 
BCE é equilátero:
a) 45°
b) 60°
c) 75°
192
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CAPÍTULO 2 
Triângulo
d) 85°
17 Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles 
mede 100°. Determinar a medida do ângulo agudo for-
mado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos internos:
a) 40°
b) 50°
c) 60°
d) 70°
18 Na figura abaixo, determine a medida do ângulo x:
a) 40°
b) 43°
c) 46°
d) 49°
19 Sendo ACE e BDF triângulo equiláteros, determine 
a medida do ângulo x:
a) 120°
b) 150°
c) 160°
d) 165°
20 Sabendo-se que os ângulos internos de um triân-
gulo são diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 
4, tem-se que suas medidas valem:
a) 40°, 60° e 80°
b) 30°, 50° e 100°
c) 20°, 40° e 120°
d) 50°, 60° e 70°
21 Se AD = DC , determine a medida do ângulo x:
a) 14°
b) 16°
c) 17°
d) 19°
22 (EEAR) Se ABC é um triângulo, o valor de α é:
a) 10°
b) 15°
c) 20°
d) 25°
23 (EEAR) Na figura, AB = AC e BC = CM. O valor de x é:
193
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CAPÍTULO 2 
Triângulo
a) 50°
b) 45°
c) 42°
d) 38°
24 Sendo AB BC CD DE EF= = = = e AE AF= , determi-
ne a medida do ângulo x:
a) 20°
b) 21°
c) 24°
d) 30°
25 AB AC e DE DF= = , determine a medida do ângulo 
x:
a) 60°
b) 65°
c) 70°
d) 135°
26 (EEAR) O triângulo cujos lados medem 6 cm, 7 cm 
e 10 cm é classificado como:
a) equilátero e retângulo.
b) escaleno e acutângulo.
c) isósceles e acutângulo.
d) escaleno e obtusângulo.
27 Determine o valor da soma a + b + c + d + e, ob-
servando a figura abaixo:
a) 90°
b) 180°
c) 360°
d) 540°
28 Em um triângulo de papel ABC fazemos uma dobra 
PT de modo que o vértice C coincida com o vértice A, e 
uma dobra PQ de modo que o vértice B coincida com o 
ponto R de AP. Sabemos que o triângulo AQR formado é 
isósceles com A R̂ Q = 100°; calcule as medidas dos ângulos 
internos do triângulo ABC:
a) 80°, 70° e 30°
b) 100°, 50° e 30°
c) 90°, 60° e 30°
d) 100°, 40° e 40°
194
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 194Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 194 22/12/2022 08:35:3422/12/2022 08:35:34
CAPÍTULO 2 
Triângulo
e) 95°, 55° e 30°
29 O triânguloCDE pode ser obtido pela rotação do 
triângulo ABC de 90º no sentido anti-horário ao redor 
de C, conforme mostrado no desenho abaixo. Podemos 
afirmar que x é igual a:
a) 75°
b) 65°
c) 70°
d) 45°
e) 55°
30 No triângulo ABC da figura abaixo, B̂ 60= ° e 
Ĉ 20= ° . Qual o valor do ângulo HÂS formado pela altu-
ra AH e a bissetriz AS ?
a) 15°
b) 20°
c) 25°
d) 30°
31 (EEAR) Na figura, AH é altura do triângulo ABC. 
Assim, o valor de x é:
a) 20°
b)15°
c) 10°
d) 5°
NÍVEL 3NÍVEL 3
32 (EEAR) Sendo E o baricentro do triângulo ABC, AE 
= 10 cm, EN = 6 cm, e CE = 14 cm, o valor, em cm, de x + 
y + z é:
a) 18
b) 20
c) 22
d) 24
33 Se AB AC= , AD é bissetriz de BÂC e AE é bissetriz 
de BÂD, então determine a medida do ângulo x:
a) 110°
b) 112°
c) 114°
d) 116°
34 (EEAR) Num triângulo ABC, o ângulo BÊC mede 
114°. Se E é o incentro de ABC, então o ângulo  mede:
a) 44°.
b) 48°.
c) 56°.
d) 58°.
195
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 195Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 195 22/12/2022 08:35:4122/12/2022 08:35:41
CAPÍTULO 2 
Triângulo
35 Determine o valor de x observando a figura abaixo:
a) 109°
b) 110°
c) 111°
d) 112°
36 Se AD e BD são bissetrizes internas, então deter-
mine a medida do ângulo x:
a) 110°
b) 111°
c) 112°
d) 113°
37 Determine o valor de x na figura abaixo, sendo 
D o ponto de encontro das três bissetrizes internas do 
triângulo:
a) 15°
b) 16°
c) 17°
d) 18°
38 No triângulo ABC exibido na figura a seguir, AD é 
a bissetriz do ângulo interno em A, e AD DB.= O ângulo 
interno em A é igual a:
a) 60º
b) 70º
c) 80º
d) 90º
196
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 196Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 196 22/12/2022 08:35:4722/12/2022 08:35:47
CAPÍTULO 2 
Triângulo
39 (ESA) Em um triângulo ABC têm-se AB = 10 cm 
e AC = 12 cm. O incentro (I) e o baricentro(G) estão em 
uma mesma paralela a BC. A medida do lado BC é igual a:
a) 10
b) 5
c) 12
d) 6
e) 11
GABARITOGABARITO
01. A 02. A 03. B 04. D 05. B 06. C
07. A 08. D 09. C 10. B 11. A 12. C
13. A 14. B 15. B 16. A 17. A 18. B
19. A 20. A 21. A 22. B 23. D 24. A
25. A 26. D 27. B 28. A 29. E 30. B
31. C 32. D 33. D 34. B 35. D 36. B
37. D 38. C 39. E
197
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 197Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 197 22/12/2022 08:35:5622/12/2022 08:35:56
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CAPÍTULO 3 
Quadriláteros
QUADRILÁTEROS
Quadriláteros são polígonos que possuem quatro lados.
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS
Em todo quadrilátero, a soma dos quatro ângulos internos 
é igual a 360°.
SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS
Em todo quadrilátero, a soma dos três ângulos externos 
é igual a 360°.
QUADRILÁTEROS NOTÁVEISQUADRILÁTEROS NOTÁVEIS
Os quadriláteros notáveis são os que possuem determina-
das características que os diferenciam dos demais.
PARALELOGRAMOPARALELOGRAMO
É o quadrilátero que possui os lados opostos paralelos.
 » Propriedade 1: Os ângulos opostos do paralelogramo 
são congruentes. Como AD//BC e AB// CD, então é fácil 
perceber que os ângulos α e β são colaterais, portanto 
α + β = 180°.
 » Propriedade 2: Em todo paralelogramo as diagonais se 
cruzam em seus respectivos pontos médios.
RETÂNGULORETÂNGULO
É todo quadrilátero que tem todos os ângulos internos 
congruentes e iguais a 90°.
Propriedade: As diagonais do retângulo são congruentes.
LOSANGOLOSANGO
É o quadrilátero que tem os lados congruentes.
Propriedade 1: As diagonais do losango são perpendiculares.
199
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 199Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 199 22/12/2022 08:36:0322/12/2022 08:36:03
CAPÍTULO 3 
Quadriláteros
Propriedade 2: As diagonais do losango são bissetrizes dos 
ângulos internos.
QUADRADOQUADRADO
É o quadrilátero que tem os lados congruentes e todos os 
ângulos internos congruentes (90°).
Propriedade: As diagonais do quadrado formam um ân-
gulo de 90°.
OBSERVAÇÕES:
Obs 1: O retângulo, o losango e o quadrado são casos 
particulares de paralelogramo, portanto todas as proprie-
dades do paralelogramo são propriedades do retângulo, 
do losango e o quadrado.
Obs 2: O quadrado é um caso particular de retângulo.
Obs 3: O quadrado é um caso particular de losango.
TRAPÉZIOTRAPÉZIO
É o quadrilátero que tem dois lados paralelos.
Nota: Como AB//CD então α e β são colaterais assim como 
θ e λ , portanto α + β = 180° e θ + λ = 180°.
CLASSIFICAÇÃO:
1) Trapézio retângulo: possui dois ângulos retos, a altura 
do trapézio é um dos lados não paralelos.
2) Trapézio escaleno: Os lados não paralelos não são 
congruentes.
3) Trapézio isósceles: Os lados não paralelos são con-
gruentes.
BASE MÉDIA DO TRIÂNGULOBASE MÉDIA DO TRIÂNGULO
Em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios 
de dois lados é paralelo ao 3° lado e vale a metade desse 
3° lado.
MN BC
2
=
BASE MÉDIA DO TRAPÉZIOBASE MÉDIA DO TRAPÉZIO
Em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios 
dos dois lados não paralelos, é paralelo às bases e vale a 
média aritmética dessas bases.
MN B b
2
=
+
200
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 200Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 200 22/12/2022 08:36:0722/12/2022 08:36:07
CAPÍTULO 3 
Quadriláteros
BASE MÉDIA DO TRIÂNGULOBASE MÉDIA DO TRIÂNGULO
Em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios 
de dois lados é paralelo ao 3° lado e vale a metade desse 
3° lado.
MN BC
2
=
BASE MÉDIA DO TRAPÉZIOBASE MÉDIA DO TRAPÉZIO
Em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios 
dos dois lados não paralelos, é paralelo às bases e vale a 
média aritmética dessas bases.
MN B b
2
=
+
MEDIANA DE EULLERMEDIANA DE EULLER
Mediana de Euler é o segmento que une os pontos médios 
das diagonais de um trapézio, ela fica sobre a base média 
do trapézio. A mediana de Euler é a metade do módulo da 
diferença entre as bases.
Me B b
2
=
−
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 Determine o valor de x na figura abaixo:
a) 105°
b) 115°
c) 125°
d) 135°
201
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 201Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 201 22/12/2022 08:36:1222/12/2022 08:36:12
CAPÍTULO 3 
Quadriláteros
02 Determine o valor do ângulo x no quadrilátero 
abaixo:
a) 75°
b) 80°
c) 85°
d) 90°
03 Se PA = PB, então o valor do ângulo x mede:
a) 30°
b) 35°
c) 45°
d) 55°
04 Se AE e BE são bissetrizes, determine a medida 
do ângulo x:
a) 70°
b) 80°
c) 90°
d) 100°
05 Se AB = AD e CB = CD, então determine a medida 
do ângulo x:
a) 50°
b) 60°
c) 70°
d) 80°
06 Se AP e BP são bissetrizes, determine Ĉ D̂+ :
a) 200°
b) 210°
c) 220°
d) 230°
07 Se AP e BP são bissetrizes, determine o ângulo x:
a) 50°
b) 60°
c) 70°
d) 80°
202
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 202Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 202 22/12/2022 08:36:1522/12/2022 08:36:15
CAPÍTULO 3 
Quadriláteros
08 Julgue em verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação 
abaixo e escolha a sequência correta:
 » Todo retângulo é um paralelogramo.
 » Todo paralelogramo é um retângulo.
 » Todo quadrado é um retângulo.
 » Todo retângulo é um quadrado.
 » Todo paralelogramo é losango.
 » Todo quadrado é losango.
a) V – F – V – F – F – F
b) V – F – V – F – V – F
c) V – V – V – F – F – F
d) V – F – V – F – F – V
09 ABCD é trapézio de bases AB e CD . Se DP e CP 
são bissetrizes, determine x e B ĈD:
a) 40° e 140°
b) 50° e 130°
c) 130° e 50°
d) 140° e 40°
10 Com um arame de 36 m de comprimento cons-
truímos um triângulo equilátero e com o mesmo arame 
construímos depois um quadrado. Determine a razão 
entre o lado do triângulo e o lado do quadrado:
a) 2/3
b) 3/2
c) 3/4
d) 4/311 Sendo ABC um triângulo equilátero e DEFG um 
quadrado, determine a medida do ângulo x:
a) 30°
b) 45°
c) 60°
d) 70°
12 Sendo ABCD um quadrado e BCD um triângulo 
equilátero na figura abaixo, então determine a medida 
do ângulo x:
a) 16°
b) 15°
c) 14°
d) 13°
13 Se AB AC, BD BE e CE CF= = = , determine a medida 
do ângulo x:
a) 65°
b) 66°
c) 67°
203
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 203Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 203 22/12/2022 08:36:2022/12/2022 08:36:20
CAPÍTULO 3 
Quadriláteros
d) 68°
14 Se ABCD é um quadrado e CDE é um triângulo 
equilátero, determine a medida do ângulo x:
a) 50°
b) 55°
c) 60°
d) 65°
e) 75°
15 Sendo ABFG e BCDE quadrados e BEF um triân-
gulo equilátero na figura abaixo, determine a medida 
do ângulo x:
a) 45°
b) 60°
c) 75°
d) 80°
16 (EEAR) Seja o paralelogramo ABCD. Sabendo que 
AP e DP são bissetrizes dos ângulos internos  e D̂ , 
respectivamente, o valor de x é:
a) 55°
b) 45°
c) 30°
d) 15°
NÍVEL 2NÍVEL 2
17 (EEAR) No paralelogramo ABCD, AD = DE. A medida 
de DÊA é:
a) 50°.
b) 55°.
c) 60°.
d) 65°.
18 (EEAR) Considerando que ABCD é um paralelogra-
mo, que M é o ponto de encontro de suas diagonais, e 
que as medidas das distâncias de seus vértices ao ponto 
M são dadas, tem-se que o valor de x + y é:
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
19 (EEAR) As diagonais de um losango medem 12 cm 
e 16 cm. O perímetro desse losango, em cm, é:
a) 20.
b) 30.
c) 40.
d) 50.
204
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 204Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 204 22/12/2022 08:36:2522/12/2022 08:36:25
CAPÍTULO 3 
Quadriláteros
c) 30°
d) 15°
NÍVEL 2NÍVEL 2
17 (EEAR) No paralelogramo ABCD, AD = DE. A medida 
de DÊA é:
a) 50°.
b) 55°.
c) 60°.
d) 65°.
18 (EEAR) Considerando que ABCD é um paralelogra-
mo, que M é o ponto de encontro de suas diagonais, e 
que as medidas das distâncias de seus vértices ao ponto 
M são dadas, tem-se que o valor de x + y é:
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
19 (EEAR) As diagonais de um losango medem 12 cm 
e 16 cm. O perímetro desse losango, em cm, é:
a) 20.
b) 30.
c) 40.
d) 50.
20 Na figura, o valor de x é:
a) 30°.
b) 35°.
c) 40°.
d) 45°.
21 (EEAR) No quadrilátero ABCD, o valor de y – x é 
igual a:
a) 2x
b) 2y
c) x/2
d) y/2
22 (EEAR) Os ângulos da base maior de um trapézio 
são complementares, e a diferença entre suas medidas 
é 18°. O maior ângulo desse trapézio mede:
a) 100°.
b) 126°.
c) 144°.
d) 152°.
23 (EEAR) Seja ABCD um trapézio isósceles de bases 
AB e CD, conforme a figura. Pode-se afirmar que o ângulo 
x mede:
a) 140°.
b) 130°.
c) 120°.
d) 110°.
24 (EEAR) Seja ABCD o trapézio isósceles da figura. A 
soma das medidas dos ângulos  e Ĉ é:
a) 90°
b) 120°
c) 150°
d) 180°
25 (EEAR) Em um trapézio, a base média mede 6,5 
cm e a base maior, 8 cm. A base menor desse trapézio 
mede, em cm:
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
26 (EEAR) A altura do trapézio abaixo tem a medida 
igual a ____ cm:
a) 2
205
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 205Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 205 22/12/2022 08:36:2922/12/2022 08:36:29
CAPÍTULO 3 
Quadriláteros
b) 3
c) 4
d) 5
27 (EEAR) No trapézio ACDF abaixo, considere AB = 
BC e DE = EF. Assim, o valor de x² é:
a) 1
b) 4
c) 9
d) 16
28 (EEAR) Considere um trapézio onde a base maior 
mede o dobro da base menor. Se a base média desse 
trapézio tem 18 cm, então sua base maior, em cm, mede:
a) 18.
b) 20.
c) 24.
d) 38.
29 (EEAR) Um trapézio de bases x + 3 e 4x – 3, tem 
base média 2x + 2. A menor base mede:
a) 7.
b) 8.
c) 9.
d) 10.
30 (EEAR) Um trapézio isósceles tem base maior e 
base menor medindo, respectivamente, 12 cm e 6 cm. 
Se esse trapézio tem altura medindo 4 cm, então seu 
perímetro é ____ cm:
a) 22
b) 26
c) 28
d) 30
31 (EEAR) Se a base média de um trapézio mede 30 
cm, e a base maior é 3/2 da base menor, então o módulo 
da diferença entre as medidas das bases, em cm, é:
a) 8.
b) 10.
c) 12.
d) 14.
NÍVEL 3NÍVEL 3
32 (EEAR) Num trapézio isósceles ABCD as bases ABe 
CD medem, respectivamente, 16 cm e 4 cm. Traçando-se 
EF paralelo às bases, sendo E ∈ AD e F ∈ BC , obtém-se 
os segmentos AE e DE , de modo que AE
DE
1
5
= . O com-
primento de EF , em cm, é:
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
33 (EEAR) Um trapézio retângulo está circunscrito a 
uma circunferência. Se as bases desse trapézio medem 
10 cm e 15 cm, e o lado oblíquo às bases mede 13 cm, 
então o raio da circunferência, em cm, mede:
a) 4,5.
b) 5.
c) 5,5.
d) 6.
206
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 206Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 206 22/12/2022 08:36:3822/12/2022 08:36:38
CAPÍTULO 3 
Quadriláteros
34 (EEAR) Quando dadas em cm, as medidas dos lados 
do trapézio ABCD são expressas por números consecuti-
vos. Assim, o valor de x é:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
35 (EEAR) No trapézio retângulo ABCD, o valor de y, 
em cm, é:
a) 12.
b) 11.
c) 10.
d) 9.
36 (EEAR) Um polígono convexo ABCD é tal que ape-
nas dois de seus lados são paralelos entre si e os outros 
dois lados são congruentes. Dessa forma, pode-se dizer 
que ABCD é um:
a) losango.
b) paralelogramo.
c) trapézio isósceles.
d) trapézio retângulo.
37 (EEAR) É correto afirmar que:
a) todo quadrilátero de lados congruentes é um quadrado.
b) os ângulos opostos de qualquer paralelogramo são 
suplementares.
c) as bissetrizes dos ângulos opostos de qualquer parale-
logramo são perpendiculares entre si.
d) os pontos médios dos lados consecutivos de todo qua-
drilátero convexo são vértices de um paralelogramo.
38 Se um polígono tem todos os lados com medidas 
iguais, então todos os seus ângulos internos têm medidas 
iguais. Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se 
usar como exemplo a figura denominada:
a) triângulo equilátero;
b) losango;
c) trapézio;
d) retângulo;
e) quadrado.
39 No triângulo ABC abaixo, AB = 8 cm, AC = 12 cm e 
BC = 10 cm. Sendo D e E pontos médios dos lados AB e 
AC, respectivamente, determine a medida do perímetro 
do trapézio BCED:
a) 20 cm
b) 24 cm
c) 25 cm
d) 29 cm
GABARITOGABARITO
01. B 02. A 03. B 04. D 05. C 06. C
07. C 08. D 09. D 10. D 11. A 12. B
13. D 14. E 15. B 16. B 17. A 18. B
19. C 20. B 21. C 22. C 23. A 24. D
25. B 26. C 27. D 28. C 29. A 30. C
31. C 32. D 33. D 34. C 35. C 36. C
37. D 38. B 39. C
207
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CAPÍTULO 4 
Polígonos
POLÍGONOS
POLÍGONOS CONVEXOSPOLÍGONOS CONVEXOS
Um polígono é uma linha poligonal fechada formada por 
segmentos consecutivos, não colineares, que se fecham.
CLASSIFICAÇÃOCLASSIFICAÇÃO
3 lados triângulo
4 lados quadrilátero
5 lados pentágono
6 lados hexágono
7 lados heptágono
8 lados octógono
9 lados eneágono
10 lados decágono
11 lados undecágono
12 lados dodecágono
13 lados tridecágono
14 lados quadridecágono
15 lados pentadecágono
16 lados hexadecágono
17 lados heptadecágono
18 lados octodecágono
19 lados eneadecágono
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS
Seja n a quantidade de lados do polígono convexo, então 
a soma dos ângulos internos pode ser encontrada através 
da fórmula:
S 180 n 2
I ( )= ° −
SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS
A soma dos ângulos externos de qualquer polígono con-
vexo é igual a 360°.
S 360
E
= °
DIAGONAISDIAGONAIS
Seja n a quantidade de lados de um polígono, então a 
quantidade de diagonais do polígono é dada pela fórmula:
d
n. n 3
2
( )
=
−
POLÍGONOS REGULARESPOLÍGONOS REGULARES
Um polígono é regular se tem todos os lados congruentes 
entre si, todos os ângulos internos entre si e todos osân-
gulos externos entre si.
O ângulo interno e o ângulo externo são suplementares, 
logo A AI E+ = 180°.
209
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CAPÍTULO 4 
Polígonos
ÂNGULO INTERNO DO POLÍGONO ÂNGULO INTERNO DO POLÍGONO 
REGULARREGULAR
A
180 n 2
nI
( )
=
° −
ÂNGULO EXTERNO DO POLÍGONO ÂNGULO EXTERNO DO POLÍGONO 
REGULARREGULAR
A 360
nE
=
°
POLÍGONOS REGULARES MAIS POLÍGONOS REGULARES MAIS 
RELEVANTESRELEVANTES
TRIÂNGULO EQUILÁTERO
Em todo triângulo equilátero os quatro pontos notáveis 
(BICO) coincidem num mesmo ponto.
r l 3
6
= R l 3
3
=
QUADRADO
r l
2
= R l 2
2
=
HEXÁGONO REGULAR:
Todo hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos 
equiláteros.
r l 3
2
= R l=
APÓTEMA DE UM POLÍGONO APÓTEMA DE UM POLÍGONO 
REGULARREGULAR
O apótema de um polígono regular é a distância entre o 
centro do polígono e o ponto médio de qualquer lado. O 
apótema é o raio da circunferência inscrita no polígono.
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 Determinar a soma das medidas dos ângulos in-
ternos e o número de diagonais de um pentadecágono 
convexo:
a) 2340° e 90 diagonais
b) 2340° e 80 diagonais
c) 2440° e 90 diagonais
d) 340° e 10 diagonais
02 (EEAR) A soma dos ângulos internos de um polígo-
no convexo é 1800°. Então, esse polígono tem _____ lados:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 12
210
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 210Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 210 22/12/2022 08:37:1022/12/2022 08:37:10
CAPÍTULO 4 
Polígonos
03 Um polígono regular tem 20 diagonais. A medida, 
em graus, de um de seus ângulos internos é:
a) 201°
b) 167°
c) 162°
d) 150°
e) 135°
04 Determine o polígono cujo número de diagonais 
é o triplo do número de lados:
a) quadrilátero
b) pentágono
c) octógono
d) eneágono
05 As mediatrizes de dois lados consecutivos de um 
polígono regular formam um ângulo de 24°. Determine 
o número de diagonais desse polígono:
a) 70
b) 80
c) 90
d) 100
06 Calcular o ângulo interno do polígono regular em 
que o número de diagonais excede de 3 unidades o nú-
mero de lados:
a) 60°
b) 72°
c) 108°
d) 150°
e) 120°
07 Considere um polígono regular ABCDEF.
Sabe-se que as mediatrizes dos lados AB e CD formam 
um ângulo de 20° e sua região correspondente contém 
os vértices “B” e “C” do polígono. Assim sendo, quantas 
diagonais deste polígono passam pelo centro, dado que 
seu número de vértices é maior que seis?
a) 17
b) 15
c) 16
d) 18
e) 14
08 Três polígonos convexos têm n, n + 1 e n + 2 lados, 
respectivamente. Sendo 2700° a soma de todos os ângu-
los internos dos três polígonos, determine o valor de n:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
09 O total de diagonais de dois polígonos regulares 
é 41. Um desses polígonos tem dois lados a mais do que 
o outro. O ângulo interno do polígono que tem o ângulo 
central menor, mede:
a) 120°
b) 135°
c) 140°
d) 144°
e) 150°
10 (EEAR) Se um dos ângulos internos de um pentágo-
no mede 100°, então a soma dos outros ângulos internos 
desse polígono é:
a) 110°
b) 220°
c) 380°
d) 440°
11 Se um dos ângulos internos de um dodecágono 
mede 190°, então a soma dos outros ângulos externos 
desse polígono é:
a) 1610°
b) 1510°
c) 1820°
d) 1600°
12 (EEAR) Sejam A, B e C três polígonos convexos. Se 
C tem 3 lados A mais que B, e este tem 3 lados a mais que 
A, e a soma das medidas dos ângulos internos dos três 
polígonos é 3240°, então o número de diagonais de C é:
a) 46
b) 44
c) 42
d) 40
211
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 211Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 211 22/12/2022 08:37:1322/12/2022 08:37:13
CAPÍTULO 4 
Polígonos
13 (EEAR) Dois polígonos convexos têm o número de 
lados expresso por n e por n + 3. Sabendo que um polígo-
no tem 18 diagonais a mais que o outro, o valor de n é:
a) 10.
b) 8.
c) 6.
d) 4.
14 (EEAR) Se A é o número de diagonais de um icosá-
gono e B o número de diagonais de um decágono, então 
A – B é igual a:
a) 85
b) 135
c) 165
d) 175
15 (EEAR) O número de diagonais de um eneágono 
convexo é um número:
a) múltiplo de 2
b) múltiplo de 3
c) múltiplo de 5
d) múltiplo de 7
16 (EEAR) Ao somar o número de diagonais e o nú-
mero de lados de um dodecágono obtém-se:
a) 66
b) 56
c) 44
d) 42
17 A metade da medida do ângulo interno de um 
octógono regular, em graus, é:
a) 67,5
b) 78,6
c) 120
d) 85
18 O polígono regular cujo ângulo externo mede 24° 
tem _____ lados:
a) 20
b) 15
c) 10
d) 5
19 (ESA) Se um polígono regular é tal que a medida 
de um ângulo interno é o triplo da medida do ângulo 
externo, o número de lados desse polígono é:
a) 12
b) 9
c) 6
d) 4
e) 8
20 Na figura, tem-se um pentágono regular e um 
quadrado. O valor de x + y é:
a) 126°
b) 102°
c) 117°
d) 114°
NÍVEL 2NÍVEL 2
21 Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular. 
As medidas dos ângulos x, y e z, em graus, são, respec-
tivamente:
a) 72 ; 36; 36
b) 72 ; 36; 72
c) 36 ; 36; 72
d) 36 ; 72; 36
212
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 212Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 212 22/12/2022 08:37:1622/12/2022 08:37:16
CAPÍTULO 4 
Polígonos
22 Determine o valor de x na figura abaixo:
a) 95°
b) 100°
c) 110°
d) 140°
23 Determine o valor de x na figura abaixo:
a) 120°
b) 100°
c) 95°
d) 90°
24 Determine o valor de x na figura abaixo:
a) 120°
b) 10°
c) 5°
d) 90°
25 Na figura abaixo, determine x, sabendo que AP e 
CP são bissetrizes:
a) 52° 30’
b) 52°
c) 50° 30’
d) 50° 30’
26 Sendo AP e PC bissetrizes de  e Ĉ , determine 
x sendo AB // PC e AP // BC :
a) 100°
b) 110°
c) 120°
d) 130°
213
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 213Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 213 22/12/2022 08:37:2122/12/2022 08:37:21
CAPÍTULO 4 
Polígonos
27 Se o triângulo AFB é equilátero e ABCDE é um 
pentágono regular, determine x abaixo:
a) 62°
b) 64°
c) 66°
d) 68°
28 Determine os valores de y e x na figura abaixo 
sabendo que o hexágono e o quadrilátero da imagem 
são regulares:
a) x = 30°, y = 45°
b) x = 35°, y = 45°
c) x = 30°, y = 42°
d) x = 45°, y = 30°
29 Sendo AP e PC bissetrizes de  e Ĉ , determine 
x sendo AB e PC paralelas:
a) 120°
b) 130°
c) 140°
d) 150°
30 Se o triângulo AFB é equilátero e ABCDE é um 
pentágono regular, determine x abaixo:
a) 12°
b) 15°
c) 20°
d) 21°
31 (EEAR) A razão r entre o apótema e o lado de um 
hexágono regular é igual a:
a) 
3
2
b) 
2
2
c) 
2
3
d) 
1
3
214
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 214Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 214 22/12/2022 08:37:2922/12/2022 08:37:29
CAPÍTULO 4 
Polígonos
32 (EEAR) Sejam um hexágono regular e um triângulo 
equilátero, ambos de lado l. A razão entre os apótemas 
do hexágono e do triângulo é:
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
33 (EEAR) Um quadrado e um triângulo equilátero 
estão inscritos em uma circunferência de raio R. A ra-
zão entre as medidas dos apótemas do quadrado e do 
triângulo é:
a) 2
b) 3
c) 2 3
d) 3 2
34 (EEAR) A medida, em metros, do apótema do he-
xágono regular inscrito numa circunferência cujo raio 
mede 4 2 metros é:
a) 4 3
b) 2 2
c) 4 6
d) 2 6
35 (EEAR) A razão entre as medidas dos apótemas 
do quadrado inscrito e do quadrado circunscrito numa 
circunferência de raio R é:
a) 
2
2
b) 
3
2
c) 2
d) 2 3
36 (EEAR) Um hexágono regular ABCDEF, de 30 3
cm de perímetro, está inscrito em um círculo de raio R. 
A medida de sua diagonal AC, em cm, é:
a) 5 3
b) 5
c) 15 3
d) 15
37 (EEAR) Em um triângulo equilátero de 12 3 m de 
perímetro, a soma das medidas dos raios das circunfe-
rências inscrita e circunscrita a esse triângulo, em m, é:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
38 (EEAR) O lado de um eneágono regular mede 2,5 
cm. O perímetro desse polígono, em cm, é:
a) 15
b) 20
c) 22,5
d) 27,5
39 Os raios das circunferências,inscrita e circuns-
crita, ao triângulo equilátero cujo lado mede a, são, 
respectivamente:
a) 
a
3
 e 
2a
3
b) 
a
2
 e a
215
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 215Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 215 22/12/2022 08:37:4622/12/2022 08:37:46
CAPÍTULO 4 
Polígonos
c) 
a 2
2
 e a 2
d) 
a 3
6
 e 
a 3
3
e) 
a 3
2
 e a 3
40 Observando-se o desenho a seguir, no qual o cír-
culo tem raio r, e calculando-se o apótema a ,4 obtemos:
a) 2r 2
b) 3r 2
c) 
3r
2
2
d) 
r
2
2
e) r 2
NÍVEL 3NÍVEL 3
41 A razão entre as áreas de um triângulo equilátero 
inscrito em uma circunferência e a área de um hexágono 
regular cuja medida do apótema é 10m circunscrito à 
mesma circunferência é:
a) 
3
8
b) 
5
8
c) 
3
7
d) 
5
7
42 A área de um triângulo regular inscrito em uma 
circunferência de raio r, em função do apótema a de um 
hexágono regular inscrito na mesma circunferência é:
a) a2
b) 2a2
c) 2 2a2
d) 
1
2
3a2
e) 3a2
43 Uma circunferência está inscrita em um quadra-
do cuja diagonal mede 10 2cm. O comprimento dessa 
circunferência é:
a) 10π cm
b) 5π cm
c) 6π cm
d) 8π cm
e) 7π cm
44 Tem-se um triângulo equilátero em que cada lado 
mede 6 cm. O raio do círculo circunscrito a esse triângulo, 
em centímetros, mede:
a) 3
b) 2 3
c) 4
d) 3 2
e) 3 3
45 Uma circunferência, inscrita em um quadrado cuja 
diagonal mede 20 cm, possui comprimento, em cm, igual a:
a) π 2
b) 5π 2
c) 10π 2
d) 20π 2
46 O apótema do quadrado inscrito numa circunfe-
rência é igual a 2 cm. O lado do hexágono regular inscrito 
nessa mesma circunferência, em cm, é:
a) 2 2
b) 3 2
c) 2 3
d) 3 3
216
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 216Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 216 22/12/2022 08:38:1822/12/2022 08:38:18
CAPÍTULO 4 
Polígonos
47 Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito 
e inscrito de um triângulo equilátero de lado A?
a) 2
b) 3
c) 2
d) 3a
e) 3a2
48 Se um círculo de 5 cm de raio está inscrito em 
um hexágono regular, o perímetro do hexágono, em 
centímetros, é igual a:
a) 20 3
b) 18 3
c) 15 2
d) 12 3
e) 9 2
49 Um polígono regular possui a partir de cada um de 
seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais 
de um hexágono. Cada ângulo interno desse polígono 
mede em graus:
a) 140
b) 150
c) 155
d) 160
e) 170
50 A distância entre dois lados paralelos de um he-
xágono regular é igual a 2 3 cm. A medida do lado desse 
hexágono, em centímetros, é:
a) 1
b) 2
c) 2,5
d) 3
e) 4
GABARITOGABARITO
01. A 02. B 03. E 04. D 05. C 06. E
07. D 08. C 09. C 10. D 11. A 12. B
13. C 14. B 15. B 16. A 17. A 18. B
19. E 20. C 21. B 22. C 23. D 24. A
25. A 26. A 27. C 28. A 29. D 30. A
31. A 32. B 33. A 34. D 35. A 36. D
37. B 38. C 39. D 40. E 41. A 42. E
43. A 44. B 45. C 46. A 47. A 48. A
49. B 50. B
217
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 217Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 217 22/12/2022 08:38:3522/12/2022 08:38:35
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 218Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 218 22/12/2022 08:38:3522/12/2022 08:38:35
CAPÍTULO 5 
Circunferências e Círculos
CIRCUNFERÊNCIAS 
E CÍRCULOS
ELEMENTOS NA CIRCUNFERÊNCIAELEMENTOS NA CIRCUNFERÊNCIA
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO 
E CIRCUNFERÊNCIAE CIRCUNFERÊNCIA
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E 
CIRCUNFERÊNCIACIRCUNFERÊNCIA
Em toda circunferência, o raio é perpendicular à reta tan-
gente no ponto de tangência.
Em toda circunferência, o raio, quando perpendicular à 
corda, divide essa corda ao meio.
219
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 219Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 219 22/12/2022 08:38:3822/12/2022 08:38:38
CAPÍTULO 5 
Circunferências e Círculos
ÂNGULO CENTRALÂNGULO CENTRAL
Em toda circunferência, a medida do ângulo central é igual 
à medida do arco correspondente.
ÂNGULO INSCRITO NA ÂNGULO INSCRITO NA 
CIRCUNFERÊNCIACIRCUNFERÊNCIA
É o ângulo que tem o vértice na “linha” da circunferência 
e os dois lados secantes a essa circunferência. O ângulo 
inscrito vale a metade do ângulo central ou a metade do 
arco correspondente.
ÂNGULO DE SEGMENTOÂNGULO DE SEGMENTO
É o ângulo que tem o vértice na “linha” da circunferência, 
um lado secante e um lado tangente a essa circunferência. 
O ângulo de segmento vale a metade do ângulo central ou 
a metade do arco correspondente.
Obs 1: Todos os ângulos de uma circunferência inscritos 
no mesmo arco são congruentes.
Obs 2: Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa 
semicircunferência onde a hipotenusa coincide com o diâ-
metro.
Obs 3: Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa 
semicircunferência onde a hipotenusa coincide com o diâ-
metro.
Obs 4: Em todo quadrilátero inscrito numa circunferência 
os ângulos internos opostos são suplementares.
220
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 220Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 220 22/12/2022 08:38:4222/12/2022 08:38:42
CAPÍTULO 5 
Circunferências e Círculos
ÂNGULO EXCÊNTRICO DE ÂNGULO EXCÊNTRICO DE 
VÉRTICE INTERNOVÉRTICE INTERNO
ÂNGULO EXCÊNTRICO DE ÂNGULO EXCÊNTRICO DE 
VÉRTICE EXTERNOVÉRTICE EXTERNO
POTÊNCIA DE UM PONTO EM POTÊNCIA DE UM PONTO EM 
RELAÇÃO A UMA CIRCUNFERÊNCIARELAÇÃO A UMA CIRCUNFERÊNCIA
Dada uma circunferência λ e um ponto P, P não pertencente 
a λ, se A e B são os pontos de intersecção entre λ e a reta 
secante a λ por P, define-se potência de P em relação a λ 
o produto PA PB× .
Potência = PA PB×
PONTO "P" INTERIORPONTO "P" INTERIOR
PA × PB = PC × PD = PE × PF = ... = cte
30 PA PB PC PD PT cte
2( )° × = × = =
COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA:
Dado uma circunferência de raio R, a medida do compri-
mento é C = 2 ≠ R.
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 Determine o valor de x, sendo O o centro da cir-
cunferência:
a) 66°
b) 122°
c) 61°
d) 71°
221
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 221Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 221 22/12/2022 08:38:4822/12/2022 08:38:48
CAPÍTULO 5 
Circunferências e Círculos
02 (EEAR) Na circunferência da figura, O é o seu centro 
e V, A e B são três de seus pontos. Se x e y são, respec-
tivamente, as medidas dos ângulos AVB e AOB, então 
sempre é correto afirmar que:
a) x = 2y.
b) y = 2x.
c) x + y = 90°.
d) x y = 90°.
03 Determine o valor de x, sendo O o centro da cir-
cunferência:
a) 43°
b) 86°
c) 124°
d) 142°
04 Determine o valor de x, sendo O o centro da cir-
cunferência:
a) 92°
b) 86°
c) 46°
d) 23°
05 Determine o valor de x, sendo O o centro da cir-
cunferência:
a) 80°
b) 90°
c) 100°
d) 180°
06 Determine o valor de x, sendo O o centro da cir-
cunferência:
a) 25°
b) 115°
c) 120°
d) 65°
07 Determine o valor de x, sendo O o centro da cir-
cunferência:
a) 26°
b) 28°
c) 30°
d) 24°
222
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 222Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 222 22/12/2022 08:38:5022/12/2022 08:38:50
CAPÍTULO 5 
Circunferências e Círculos
08 Determine o valor de x, sendo O o centro da cir-
cunferência:
a) 75°
b) 70°
c) 85°
d) 90°
09 Determine o valor de x, sendo O o centro da cir-
cunferência:
a) 20°
b) 24°
c) 28°
d) 32°
10 Determine o valor de x, sendo O o centro da cir-
cunferência:
a) 21° 30’
b) 21°
c) 22°
d) 22° 30’
11 Determine o valor de x, sendo O o centro da cir-
cunferência:
a) 110°
b) 120°
c) 55°
d) 45°
223
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 223Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 223 22/12/2022 08:38:5222/12/2022 08:38:52
CAPÍTULO 5 
Circunferências e Círculos
12 Determine o valor de x, sendo O o centro da cir-
cunferência:
a) 12°
b) 16°
c) 18°
d) 20°
13 Determine o valor de x, sendo O o centro da cir-
cunferência:
a) 20°
b) 40°
c) 60°
d) 80°
14 Determine o valor de x, sendoO o centro da cir-
cunferência:
a) 32°
b) 36°
c) 38°
d) 40°
15 Determine o valor de x, sendo O o centro da cir-
cunferência:
a) 24°
b) 28°
c) 32°
d) 40°
16 Determine o valor de x, sendo O o centro da cir-
cunferência:
a) 40°
b) 42°
224
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 224Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 224 22/12/2022 08:38:5322/12/2022 08:38:53
CAPÍTULO 5 
Circunferências e Círculos
c) 44°
d) 46°
17 Determine o valor de x, sendo O o centro da cir-
cunferência:
a) 80°
b) 86°
c) 90°
d) 96°
18 Determine o valor de x, sendo O o centro da cir-
cunferência:
a) 112°
b) 116°
c) 120°
d) 123°
19 Determine o valor de x, sendo O o centro da cir-
cunferência:
a) 70°
b) 68°
c) 65°
d) 60°
20 Determine o valor de x, sendo O o centro da cir-
cunferência:
a) 50°
b) 60°
c) 65°
d) 70°
NÍVEL 2NÍVEL 2
21 Determine o valor de x, sendo O o centro da cir-
cunferência:
a) 48°
b) 96°
225
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 225Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 225 22/12/2022 08:38:5522/12/2022 08:38:55
CAPÍTULO 5 
Circunferências e Círculos
c) 100°
d) 110°
22 Determine o valor de x, sendo O o centro da cir-
cunferência:
a) 90°
b) 92°
c) 96°
d) 104°
23 (EEAR) Na figura, A e B são pontos da circunferência 
e CD é seu diâmetro. Assim, o ângulo BÂC mede:
a) 20°
b) 30°
c) 50°
d) 60°
24 (EEAR) Na figura, AB é o diâmetro da circunferência 
e o arco AC mede 100°. O valor de x é:
a) 20°
b) 35°
c) 45°
d) 50°
25 (EEAR) Na figura, AB é diâmetro. Se o arco AC mede 
70°, a medida do ângulo CAB é:
a) 50°
b) 55°
c) 60°
d) 65°
26 (EEAR) Na figura, AD é o diâmetro da circunferên-
cia, CÂD mede 35° e BDC, 25°. A medida de ACB é:
a) 30°
b) 35°
c) 40°
d) 45°
226
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 226Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 226 22/12/2022 08:38:5722/12/2022 08:38:57
CAPÍTULO 5 
Circunferências e Círculos
27 (EEAR) Na figura, O é o centro da circunferência. 
O valor de x é:
a) 18°
b) 20°
c) 22°
d) 24°
28 (EEAR) Na figura, O é o centro da circunferência, 
med(MON) = 62°, e med (PRQ) = 65°. O ângulo MAN mede:
a) 34°
b) 36°
c) 38°
d) 40°
29 (EEAR) Sobre uma circunferência, num mesmo 
sentido de percurso, marcam-se os arcos MN = 80°, NP 
= 110° e PQ = 120°. O maior dos ângulos formados pelas 
diagonais do quadrilátero MNPQ mede:
a) 10°
b) 105°
c) 100°
d) 80°
30 (EEAR) Sejam AB o diâmetro da circunferência, e 
as retas t e t’ tangentes a ela nos pontos N e M, respec-
tivamente. O valor de x é:
a) 66°
b) 60°
c) 55°
d) 50°
31 (EEAR) Se MNOPQR é um hexágono regular inscrito 
na circunferência, então a + b – c é igual a:
a) 150°
b) 120°
c) 100°
d) 90°
227
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 227Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 227 22/12/2022 08:38:5822/12/2022 08:38:58
CAPÍTULO 5 
Circunferências e Círculos
32 (EEAR) Duas cordas se cruzam num ponto distinto 
do centro da circunferência, conforme esboço. A partir 
do conceito de ângulo excêntrico interior, a medida do 
arco x é:
a) 40°
b) 70°
c) 110°
d) 120°
33 (EEAR) Se em uma circunferência uma corda mede 
16√2 cm e dista 6√2 cm do centro, então a medida do raio 
dessa circunferência, em cm, é:
a) 12√2
b) 10√2
c) 8√2
d) 6√2
34 (EEAR) Seja a circunferência e duas de suas cordas, 
AB e CD. A medida de CD, em cm, é:
a) 10.
b) 12.
c) 14.
d) 16.
35 (EEAR) Na figura, as cordas são dadas em cm. Se 
AI = 4x + 1, IB = x, DI = x + 1 e IC = 3x, então a medida da 
corda AB é, em cm:
a) 9.
b) 10.
c) 11.
d) 19.
36 (EEAR) Utilizando a Potência do Ponto P em rela-
ção à circunferência dada, calcula-se que o valor de x é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
37 (EEAR) Na figura, AB e CD são cordas tais que AP 
= 2PB, CD = 10 cm, e CP
2
PD
3
= . A medida de AB, em:
a) 6 3
b) 7 3
c) 8 2
d) 9 3
228
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 228Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 228 22/12/2022 08:39:0322/12/2022 08:39:03
CAPÍTULO 5 
Circunferências e Círculos
38 (EEAR) Se A, B, C e D são pontos da circunferência, 
o valor de x é múltiplo de:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
39 (EEAR) Na figura, PT é tangente, em T, à circunfe-
rência de centro O e raio 6 m. Sabendo que P está situado 
a 10 m de O, então PT = _____ m:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
40 (EEAR) Na figura, O é o centro da circunferência 
e PA é tangente a ela, em P. Se PAO = 30° e OA = 6 3
cm, então a medida do raio da circunferência, em cm, é:
a) 8 3
170 3
3
cm.
b) 8 2
c) 6 3170 3
3
cm.
d) 6 2
NÍVEL 3NÍVEL 3
41 (EEAR) Na figura, PA é tangente à circunferência 
em A, e B é ponto médio de PC. A medida de PC, em cm, é:
a)12 2
b)14 2
c) 16
d) 20
42 (EEAR) Na figura, t é tangente à circunferência 
em B. Se AC = 8 cm e CD = 12 cm, então a medida de AB, 
em cm, é:
a) 4 10
b) 2 5
c) 10
d) 5
43 (EEAR) Sejam uma circunferência de centro O e 
um ponto A exterior a ela. Considere AT um segmento 
tangente à circunferência, em T. Se o raio da circunfe-
rência mede 4 cm e AT = 8 2 cm, então a medida de 
AO, em cm, é:
a) 10
b) 12
c) 13
d) 15
229
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 229Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 229 22/12/2022 08:39:1122/12/2022 08:39:11
CAPÍTULO 5 
Circunferências e Círculos
44 (EEAR) Por um ponto P, distante 18 cm do cen-
tro de uma circunferência de raio 12 cm, conduz-se um 
“segmento secante” que determina na circunferência 
uma corda de 8 cm. A medida da parte exterior desse 
segmento, em cm, é:
a) 18
b) 10
c) 8
d) 6
45 (EEAR) Observando-se a figura e considerando-se 
que as medidas são dadas em cm, pode-se afirmar que 
a medida, em cm, do raio da circunferência de centro O 
é: 
a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
46 (EEAR) Na figura abaixo, AB = 8 cm, BC = 10 cm, 
AD = 4 cm e o ponto O é o centro da circunferência. O 
perímetro do triângulo AOC é, em cm:
a) 45
b) 48
c) 50
d) 54
47 (EEAR) Dada uma circunferência de diâmetro a, 
o comprimento de um arco, cujo ângulo central corres-
pondente é 30°, é:
a) 
≠a
2
b) 
≠a
4
c) 
≠a
10
d) ≠a
12
48 (EEAR) Um ângulo central α determina, em uma cir-
cunferência de raio r, um arco de comprimento l 2.π.r
3
= . 
A medida desse ângulo é:
a) 150°
b) 120°
c) 100°
d) 80°
49 (EEAR) Quanto uma pessoa percorrerá, em cen-
tímetros, se ela der 6 voltas em torno de um canteiro 
circular de 1,5m de raio?
Considere: ≠ = 3,14
a) 2816
b) 3127
c) 4758
d) 5652
230
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 230Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 230 22/12/2022 08:39:1722/12/2022 08:39:17
CAPÍTULO 5 
Circunferências e Círculos
50 (EEAR) Um carrinho de brinquedo que corre 
em uma pista circular completa 8 voltas, percorren-
do um total de 48m. Desprezando a largura da pista e 
considerando ≠ = 3, o seu raio é, em metros, igual a:
a) 0,8
b) 1,0
c) 1,2
d) 2,0
GABARITOGABARITO
01. C 02. B 03. B 04. A 05. B 06. A
07. B 08. A 09. C 10. D 11. A 12. D
13. B 14. C 15. A 16. B 17. D 18. A
19. C 20. D 21. A 22. B 23. A 24. A
25. B 26. A 27. A 28. A 29. C 30. A
31. B 32. B 33. B 34. B 35. C 36. D
37. A 38. B 39. D 40. C 41. C 42. A
43. B 44. B 45. C 46. D 47. D 48. B
49. D 50. B
231
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 231Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 231 22/12/2022 08:39:2722/12/2022 08:39:27
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CAPÍTULO 6 
Semelhança de Triângulos
SEMELHANÇA DE 
TRIÂNGULOS
Dois triângulos são semelhantes se têm os ângulos dois a 
dois congruentes e os lados correspondentes dois a dois 
proporcionais. Em outras palavras, dois triângulos são se-
melhantes se um deles é a redução ou a ampliação do outro.
K → razão de semelhança ouconstante de proporciona-
lidade.
Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade 
se mantém constante para quaisquer dois segmentos cor-
respondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios 
das circunferências inscritas, raios das circunferências 
circunscritas, perímetros, etc.
CASOS DE SEMELHANÇACASOS DE SEMELHANÇA
CASO AA (ÂNGULO – ÂNGULO)
Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos (AA) de 
um deles são congruentes a dois ângulos do outro.
CASO LLL (LADO – LADO – LADO)
Dois triângulos são semelhantes se têm os três lados dois 
a dois ordenadamente proporcionais.
CASO LAL (LADO – ÂNGULO – LADO)
Dois triângulos são semelhantes se têm um ângulo con-
gruente e os lados de um triângulo adjacentes ao ângulo 
são proporcionais aos dois lados adjacentes ao ângulo do 
outro lado.
233
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CAPÍTULO 6 
Semelhança de Triângulos
TEOREMA DE TALESTEOREMA DE TALES
Em todo feixe de retas paralelas, cortado por uma reta 
transversal, a razão entre dois segmentos quaisquer de 
uma transversal é igual à razão entre os segmentos cor-
respondentes da outra transversal.
a
c
b
d
=
TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNATEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA
Em todo triângulo, a bissetriz de um ângulo interno divide 
internamente o lado oposto em dois segmentos que são 
proporcionais aos lados adjacentes.
c
x
b
y
=
TEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNATEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNA
Em todo triângulo, se a bissetriz de um ângulo externo de 
um triângulo intercepta a reta que contém o lado oposto, 
então ela divide este lado oposto externamente em seg-
mentos proporcionais aos lados adjacentes.
c
x
b
y
=
234
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 234Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 234 22/12/2022 08:39:3522/12/2022 08:39:35
CAPÍTULO 6 
Semelhança de Triângulos
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 Determine o valor de x na figura abaixo, sendo 
r//s//t:
a) 45/5
b) 46/5
c) 48/5
d) 40/5
02 Determine o valor de x na figura abaixo, sendo 
r//s//t:
a) 32
b) 45
c) 32/5
d) 32/3
03 Considere 3 retas coplanares, r, s e t, cortadas 
por 2 outras retas, conforme a figura. Os valores dos 
segmentos identificados por x e y são respectivamente:
a) 3/20 e 3/40
b) 6 e 11
c) 9 e 13
d) 11 e 6
e) 20/3 e 40/3
04 Três terrenos têm frente para a Rua A e para a 
Rua B, como mostra a figura. As divisas laterais são per-
pendiculares à Rua A. Qual a medida de frente para a 
Rua B de cada lote, sabendo que a frente total para essa 
rua é 180 m:
a) 80 m, 60 m, e 40 m
b) 80 m, 50 m e 30 m
c) 70 m, 60 m e 50 m
d) 70 m, 40 m e 50 m
235
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CAPÍTULO 6 
Semelhança de Triângulos
05 Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são pa-
ralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Saben-
do-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e JM =15, 
determine as medidas de HL e GM:
a) 225/12 e 375/12
b) 225/13 e 375/13
c) 225/11 e 375/11
d) 225/14 e 375/14
06 Na figura, os segmentos BC e DE são paralelos, 
AB 15 m= , AD 5 m= e AE 6 m= . A medida do segmento 
CE é, em metros:
a) 15
b) 6
c) 10
d) 12
e) 18
07 Os lados do triângulo ABC da figura abaixo são: 
AB = 28 cm, AC = 21 cm e BC = 35 cm. Uma paralela ao 
lado BC intercepta os lados AB e AC nos pontos C e E, 
respectivamente. Determine a medida dos lados BD, DE 
e EC, respectivamente, em cm, sabendo que o perímetro 
do quadrilátero BDEC é 74 cm:
a) 8, 25 e 6
b) 9, 12 e 25
c) 25, 8 e 6
d) 8, 6 e 25
08 Na figura, r//s, BC = 15 cm, BD = 4 cm e CE =14 cm. 
A medida AB, em cm, é:
a) 6.
b) 5.
c) 4,5.
d) 3,5.
09 Se a razão de semelhança de dois triângulos re-
tângulos é k, então a razão entre os(as) ____________ desses 
triângulos é k. Completa incorretamente a sentença a(s) 
palavra(s):
a) perímetros.
b) alturas homólogas.
c) áreas.
d) medianas homólogas.
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CAPÍTULO 6 
Semelhança de Triângulos
10 Sejam dois triângulos retângulos semelhantes ABC 
e DEF. Se a hipotenusa de DEF mede 10 cm e os catetos 
de ABC medem 30 cm e 40 cm, então o perímetro de 
DEF, em cm, é:
a) 18.
b) 24.
c) 26.
d) 30.
11 Na figura, se BC = 60 cm, a medida de DE , em cm, é:
a) 20
b) 24
c) 30
d) 32
12 (EEAR) Conforme a figura, os triângulos ABC e CDE 
são retângulos. Se AB = 8 cm, BC = 15 cm e CD = 5 cm, 
então a medida de DE , em cm, é:
a) 2/5
b) 3/2
c) 8/3
d) 1/4
13 (EEAR) Se o triângulo CDE é semelhante ao triân-
gulo ABC, o valor de |a – b| é:
a) 30°
b) 45°
c) 60°
d) 90°
14 (EEAR) Na figura, o lado BC do triângulo ABC mede 
12 cm, e a altura relativa ao lado BC mede 8 cm. Se FG 
= 3EF , então o perímetro do retângulo DEFG, em cm, é:
a) 30
b) 28
c) 85/3
d) 64/3
15 (EEAR) Seja um triângulo ABC, conforme a figura. Se 
D e E são pontos, respectivamente, de AB e AC , de forma 
que AD = 4, DB = 8, DE = x, BC = y, e se DE //BC ,então:
a) y = x + 8
b) y = x + 4
c) y = 3x
d) y = 2x
237
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CAPÍTULO 6 
Semelhança de Triângulos
16 No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o lado 
BC foi prolongado, como mostra a figura, até o ponto P, 
formando-se o triângulo PAB, semelhante ao triângulo 
PCA. O comprimento do segmento PC é:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
NÍVEL 2NÍVEL 2
17 Na figura, os triângulos ABC e EDC são semelhan-
tes. Sabendo que AC = x – 5 e DE = 2x + 4, a soma “med 
( AC ) + med(CE ) ”, em cm, vale:
a) 10,3
b) 18
c) 13
d) 23,3
18 Na figura, MN // BC . Se AB = 30 cm, então MB 
mede, em cm:
a) 5.
b) 10.
c) 15.
d) 20.
19 Num triângulo ABC, AB = BC = 5 2 . Se R é o ponto 
médio de AC , e S é o ponto médio de AB , então a medida 
de RS , em cm, é igual a:
a) 5
2
b) 5 2
2
c) 5 2
3
d) 5 2
2
20 Em uma determinada hora do dia, o sol projeta a 
sombra de um poste de iluminação sobre o piso plano de 
uma quadra de vôlei. Neste instante, a sombra mede 16 
m. Simultaneamente, um posto de 2,7 m, que sustenta a 
rede, tem sua sombra projetada sobre a mesma quadra. 
Neste momento, essa sombra mede 4,8 m. A altura do 
poste de iluminação é:
a) 8,0 m
b) 8,5 m
c) 9,0 m
d) 7,5 m
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CAPÍTULO 6 
Semelhança de Triângulos
21 Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são para-
lelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se 
que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e LM = 8, qual é 
a medida de HJ?
a) 83 / 9
b) 81 / 7
c) 93 / 9
d) 72 / 7
e) 89 / 8
22 Na figura abaixo, os segmentos AB, AC e BC me-
dem, respectivamente, 8 cm, 10 cm e 7 cm e AC é a bissetriz 
do ângulo BCD. Determine a medida do segmento CD:
a) 100/7
b) 90/7
c) 80/7
d) 70/8
23 Os postes verticais AB e CD na figura medem 12 
m e 8 m respectivamente. Existem cabos de sustentação 
unindo a base de cada um dos postes ao topo do outro 
poste. Qual é a distância, em dm, do ponto de interseção 
dos cabos à horizontal?
a) 42
b) 44
c) 46
d) 48
24 Na figura, AB // DE, AB = 8 cm, DE = 4 cm e BD mede 
14 cm. Determine a medida do segmento CD:
a) 14/3
b) 15/3
c) 16/3
d) 17/3
25 Os quadrados representados na figura abaixo 
têm lados 9 cm, 6 cm e x cm. Determinar a medida do 
perímetro do menor quadrado:
a) 2 cm
b) 3 cm
c) 4 cm
d) 5 cm
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CAPÍTULO 6 
Semelhança de Triângulos
26 Determine o valor de x na figura abaixo:
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) 4
27 Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, 
CD = 18 cm e altura 12 cm. As diagonais AC e BD inter-
ceptam-se no ponto E. Determine a distância entre o 
ponto E e a base CD:
a) 108/13
b) 109/13
c) 110/13
d) 111/13
28 Os lados de um triângulo ABC são AB = 12, AC = 16 
e BC = 24. Seja M do lado AB tal que MA = 3 MB. Traçando 
MN paralela a BC , calcule o perímetro do triângulo AMN:
a) 39
b) 37
c) 35
d) 32
29 Dois triângulos são semelhantes, e uma altura do 
primeiro é igual aos 2/5 de sua homóloga no segundo. 
Se o perímetro do primeiro triângulo é 140 cm, então o 
perímetro do segundo, em cm, é:
a) 250.
b) 280.
c) 300.
d) 350.
30 Na figura, os ângulos assinalados são retos. Assim, 
necessariamente, teremos:
a) x
y
p
m
=
b) x
y
m
p
=
c) 1
x
1
y
1
m
1
p
+ = +
d) x² + y² = p² + m²
240
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CAPÍTULO 6 
Semelhança de Triângulos
NÍVEL 3NÍVEL 3
31 Observe a figura: Se a medida de CE é 80, o com-
primento de BC é:
a) 20
b) 10
c) 8
d) 5
32 Nesta figura, os ângulos  e B̂ são retos e os seg-
mentos AD, CD e BC medem, respectivamente, x, y e z.
Nesta situação, a altura do triângulo ADE em relação ao 
lado AE é dada por:
a) −x z y
y
2 2
b) −x z y
z
2 2
c) −y z y
z
2 2
d) −z z y
y
2 2
33 Na figura abaixo, BC = 32, BD
BA
1
4
= , DE // BC, DF // 
AC e EG // AB. Então, FG mede:
a) 8
b) 16
c) 24
d) 30
34 Um triângulo retângulo possui 216 cm² de área. 
Sabendo que esse triângulo é semelhante ao triângulo 
pitagórico de lados 3 cm, 4 cm e 5 cm, então seu perí-
metro mede:
a) 56 cm
b) 64 cm
c) 68 cm
d) 72 cm
35 No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz 
do ângulo interno do vértice A, determine a medida do 
segmento AC:
a) 11
b) 12
c) 16
d) 18
241
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 241Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 241 22/12/2022 08:40:1522/12/2022 08:40:15
CAPÍTULO 6 
Semelhança de Triângulos
36 No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz 
do ângulo interno do vértice A, determine a medida do 
segmento BD:
a) 160/13
b) 180/13
c) 12
d) 16
37 vO quadrado ABCD da figura abaixo tem lado 4 
cm. Determine a medida do segmento DE:
a) 4( 2 1− )
b) 2( 2 1− )
c) 2 1−
d) 2
38 (EEAR) Seja o triângulo ABC retângulo em B. Se AD 
é bissetriz de Â, AB = 6 cm, e AC = 10 cm, então a medida 
de DC, em cm, é:
a) 6.
b) 5.
c) 4.
d) 3.
39 (EEAR) Na figura, AS e AP são, respectivamente, 
bissetrizes interna e externa do triângulo ABC. Se BS = 
8m e SC = 6m, então SP mede, em m:
a) 48.
b) 42.
c) 38.
d) 32.
GABARITOGABARITO
01. C 02. D 03. E 04. A 05. B 06. D
07. A 08. A 09. C 10. B 11. B 12. C
13. A 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B
19. D 20. D 21. D 22. A 23. D 24. A
25. C 26. A 27. A 28. A 29. D 30. B
31. B 32. B 33. B 34. D 35. D 36. A
37. A 38. B 39. A
242
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 242Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 242 22/12/2022 08:40:2822/12/2022 08:40:28
CAPÍTULO 7 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
RELAÇÕES 
MÉTRICAS NO 
TRIÂNGULO 
RETÂNGULO
Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à hipote-
nusa divide o triângulo original em dois triângulos me-
nores, que são semelhantes entre si e semelhantes ao 
triângulo original.
Através dessas semelhanças entre os três triângulos, en-
contramos as seguintes relações.
a → hipotenusa
b; c → catetos
m → projeção ortogonal do cateto c
n → projeção ortogonal do cateto b
h → altura relativa à hipotenusa
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 Qual é o perímetro, em cm, de um losango cujas 
diagonais medem 12 cm e 6 cm?
a) 4 39
b) 4 45
c) 4 48
d) 4 52
e) 4 56
02 Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 10 
e a altura a ela relativa mede 3. O menor cateto desse 
triângulo mede:
a) 2 5
b) 2 2
c) 3 2
d) 10
03 Sabe-se que a hipotenusa de um triângulo retân-
gulo tem 5 5 cm de comprimento e a soma dos catetos 
é igual a 15 cm. As medidas, em cm, dos catetos são:
a) 6 e 9
b) 2 e 13
c) 3 e 12
d) 5 e 10
04 O perímetro de um triângulo retângulo é 30 cm. 
Se a soma das medidas dos catetos é 17 cm, e a soma 
das medidas da hipotenusa e do cateto menor é 18 cm, 
então a medida, em cm, do cateto maior é:
a) 8.
b) 9.
c) 12.
d) 15
243
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CAPÍTULO 7 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
05 A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10 
cm e o raio da circunferência nele inscrita mede 1 cm. A 
soma das medidas dos catetos desse triângulo é, em cm:
a) 10.
b) 12.
c) 14.
d) 16.
06 (EEAR) Em um triângulo retângulo, o quadrado 
da medida da hipotenusa é igual ao dobro do produto 
das medidas dos catetos. Um dos ângulos agudos desse 
triângulo mede:
a) 15°.
b) 30°.
c) 45°.
d) 60°.
07 (EEAR) Se os dados no triângulo ABC, retângulo 
em C, estão em cm, então o triângulo BCD é:
a) obtusângulo.
b) retângulo.
c) isósceles.
d) equilátero.
08 (EEAR) No triângulo ABC, retângulo em A, o valor 
de x
y
2
2
 é:
a) 13/9
b) 4/13
c) 3/4
d) 9/4
09 (EEAR) Seja ABC um triângulo retângulo isósceles. 
Se um cateto mede 4, a hipotenusa mede: ___:
a) 2 2
b) 2 3
c) 4 2
d) 4 3
10 (EEAR) Sejam as relações métricas no triângulo 
ABC:
I. b² = ax
II. a² = b² + c² - 2bc.cosÂ
III. h = xy
IV. = +1
h
1
b
1
c2 2 2
Se o triângulo ABC é retângulo em A, então o número de 
relações verdadeiras acima é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
11 O triângulo ABC é retângulo em A e tem catetos 
medindo 12 cm e 24 cm. Os pontos D, E e F são tomados 
em AB, BC e AC, respectivamente, de tal forma que ADEF 
é um quadrado. A área desse quadrado, em cm², vale:
a) 25
b) 49
c) 36
d) 64
e) 81
244
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 244Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 244 22/12/2022 08:40:4722/12/2022 08:40:47
CAPÍTULO 7 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
12 No retângulo ABCD abaixo tem-se AB = 15 cm 
e BC = 8 cm. Sobre o lado AB, marca-se um ponto P tal 
que PB =12 cm e sobre o lado CD, marca-se um ponto Q 
tal que DQ = 7 cm. Qual é, em cm, a distância entre os 
pontos P e Q?
a) 83
b) 80
c) 78
d) 76
e) 89
13 Qual é o raio de uma circunferência, se uma reta 
secante que dista 5 cm do centro da mesma, determina 
nessa circunferência uma corda de comprimento 24 cm?
a) 8 cm
b) 13 cm
c) 15 cm
d) 17 cm
e) 19 cm
14 A figura abaixo representa um quadrado de lado 
16 cm, um arco de circunferência com centro em A e raio 
AB e uma circunferência de centro em E, que tangencia 
o arco e os lados do quadrado. Determine a medida do 
raio da circunferência:
a) 3 3 2 2 cm( )−
b) 11 3 2 2 cm( )−
c) 13 3 2 cm( )−
d) 13 5 2 2 cm( )−
15 Em um triângulo retângulo, as projeções dos ca-
tetos sobre a hipotenusa medem 18 e 32. O perímetro 
desse triângulo é igual a:
a) 120
b) 132
c) 150
d) 125
16 Em um trapézio isósceles de bases 5 e 3, a altura 
é igual a 2. Os lados congruentes medem:
a) 5/2
b) 3
c) 5
d) 6
17 Na figura, a reta PT tangencia a circunferência de 
centro O, os pontos P, A e O estão alinhados e as distâncias 
PT e PA valem, respectivamente 15 cm e 9 cm. Determine 
a medida do raio da circunferência:
a) 8 cm
b) 9 cm
c) 10 cm
d) 11 cm
18 As bases de um trapézio isósceles circunscrito a 
um círculo medem 9 e 6. Cada um dos outros dois lados 
do trapézio medem:
a) 4,5
b) 6
c) 7,5
d) 8
245
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 245Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 245 22/12/2022 08:40:5722/12/2022 08:40:57
CAPÍTULO 7 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
19 Dois círculos de raios R e 4R são tangentesex-
teriormente e tangentes a uma reta nos pontos A e B. 
Então, AB vale:
a) 2R
b) 7R/2
c) 10R/2
d) 4R
e) 5R
20 Calcule x na figura:
a) 5
b) 7
c) 3 3
d) 10
21 Os raios de dois círculos medem 15 m e 20 m e 
a distância dos seus centros tem 35 m. O segmento da 
tangente comum, compreendido entre os pontos de 
contato, mede, em metros:
a) 5 3
b) 10 3
c) 12 3
d) 15 3
e) 20 3
22 O raio do círculo circunscrito a um triângulo isós-
celes de base 6 e altura 9 é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 6,5
23 Um ponto P, externo de um ângulo de 60°, dista 9
3 m e 3 3 m dos lados do ângulo, sendo que nenhu-
ma destas distâncias é até o vértice do ângulo. Qual é a 
distância entre P e a bissetriz do ângulo?
a) 8 m
b) 10 m
c) 12 m
d) 14 m
24 (EEAR) O perímetro de um triângulo equilátero de 
altura h = 3 m é ______ m:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
25 (EEAR) Dois quadrados são tais que um deles tem 
como lado a diagonal do outro, que por sua vez tem o 
lado medindo 10 cm. O módulo da diferença entre as 
medidas de suas diagonais, em cm, é:
a) 10(2 2− ).
b) 10( 2 − 1).
c) 5(2 2− ).
d) 5( 2 − 1).
246
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 246Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 246 22/12/2022 08:41:0922/12/2022 08:41:09
CAPÍTULO 7 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
26 (EEAR) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o 
dobro de um cateto. O ângulo oposto a esse cateto mede:
a) 20°.
b) 30°.
c) 45°
d) 60°
27 (EEAR) Na figura, são retângulos em E e em C, 
respectivamente, os triângulos AEP e ACB. Se x = 30°, 
então a medida de PE , em cm, é:
a) 10
b) 5 3
c) 10 3
d) 20 3
3
28 (EEAR) Os catetos de um triângulo medem 3 cm 
e 4 cm. Assim, a soma dos valores das tangentes dos 
ângulos agudos desse triângulo é igual a:
a) 25/12
b) 12/7
c) 13/8
d) 7/6
29 Dado o trapézio retângulo abaixo, determine a 
medida de x:
a) 6
b) 8
c) 9
d) 10
GABARITOGABARITO
01. B 02. D 03. D 04. C 05. B 06. C
07. B 08. A 09. C 10. C 11. D 12. B
13. B 14. A 15. A 16. C 17. A 18. C
19. D 20. D 21. E 22. B 23. C 24. D
25. A 26. B 27. A 28. A 29. B
247
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 247Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 247 22/12/2022 08:41:2122/12/2022 08:41:21
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CAPÍTULO 8 
Trigonometria no Triângulo Retângulo
TRIGONOMETRIA 
NO TRIÂNGULO 
RETÂNGULO
Considere o triângulo retângulo a seguir:
1) SENO de um ângulo é a razão entre o cateto oposto 
ao ângulo e a hipotenusa. 
2) COSSENO de um ângulo é a razão entre o cateto adja-
cente e a hipotenusa.
3) TANGENTE de um ângulo é a razão entre o cateto oposto 
e o cateto adjacente.
Obs: Podemos perceber que o seno de um ângulo é igual ao 
cosseno do outro ângulo complementar e que a tangente 
de um ângulo é o inverso da tangente do outro ângulo 
complementar.
ÂNGULOS NOTÁVEISÂNGULOS NOTÁVEIS
30° 45° 60°
SEN
 1
2
 2
2
 3
2
COS
 3
2
 2
2
 1
2
TG
 3
3
1
 
3
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 (EEAR) Na figura, BC = 2 cm. Assim, a medida de 
AB , em cm, é:
a) 2 3
b) 4 2
c) 5 2
d) 3 3
02 (EEAR) No triângulo ABC, se sen  = 0,3, então 
BC = _____ cm:
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
249
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 249Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 249 22/12/2022 08:41:3122/12/2022 08:41:31
CAPÍTULO 8 
Trigonometria no Triângulo Retângulo
03 (EEAR) Um triângulo retângulo de hipotenusa 6 
possui um ângulo α cujo lado oposto mede 4. Portanto, 
o cos α vale:
a) 2
3
b) 5
3
c) 
3 5
5
d) 2 5
5
04 (EEAR) Em um triângulo retângulo, um dos catetos 
mede 4 cm, e o ângulo que lhe é adjacente mede 60°. A 
hipotenusa desse triângulo, em cm, mede:
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
05 (EEAR) Na figura, “x – y” é igual a:
a) 15°
b) 20°
c) 30°
d) 35°
06 (EEAR) Em um triângulo ABC, retângulo em A, a 
hipotenusa mede 5 dm e sen B = 1/2 sen C. Nessas con-
dições, o maior cateto mede, em dm:
a) 3
b) 4
c) √5
d) 2√5
07 (EEAR) Na figura, são retângulos em E e em C, 
respectivamente, os triângulos AEP e ACB. Se x = 30°, 
então a medida de PE, em cm, é:
a) 10
b) 5 3
c) 10PA PB 3×
d) 20 3
3
PA PB PC PD PE PF cte× = × = × =…=
08 (EEAR) De acordo com os dados nos triângulos 
retângulos CAB e CAD, é correto afirmar que:
a) x = y
b) x = 3y
c) x = 2y
d) x = 3y/2
09 (EEAR) Os catetos de um triângulo medem 3 cm 
e 4 cm. Assim, a soma dos valores das tangentes dos 
ângulos agudos desse triângulo é igual a:
a) 25/12
b) 12/7
c) 13/8
d) 7/6
250
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 250Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 250 22/12/2022 08:41:4022/12/2022 08:41:40
CAPÍTULO 8 
Trigonometria no Triângulo Retângulo
10 (EEAR) Na figura, o valor de x é:
a) 20
b) 24
c) 30
d) 36
11 (EEAR) Na figura abaixo, os ângulos assinalados 
 e Ô medem, respectivamente, 10° e 50°. Assim sendo, 
o valor de tgx é:
a) 1/ 2
b) 2 / 2
c) 3 / 3
d) 1
NÍVEL 2NÍVEL 2
12 Um avião, ao decolar no aeroporto Zumbi dos 
Palmares, percorre uma trajetória retilínea formando um 
ângulo constante de 30º com o solo. Depois de percorrer 
1.000 metros, na trajetória, a altura atingida pelo avião, 
em metros, é:
a) 300
b) 400
c) 500
d) 600
e) 1.000
13 (EEAR) Em um triângulo equilátero de 12 2 m de 
perímetro, a soma das medidas dos raios das circunfe-
rências inscrita e circunscrita a esse triângulo, em m, é:
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
14 Os lados de um losango medem 4 e um dos seus 
ângulos 30°. A medida da diagonal menor do losango é:
a) 2 2 3.−
b) 12 2 2 3.+
c) 4 2 3- .
d) 2 2 3.+
15 Observe a figura a seguir, em que estão indicadas 
as medidas dos lados do triângulo maior e alguns dos 
ângulos. O seno do ângulo indicado por α na figura vale: 
a) 
4 3 3
10
−
b) 
4 3
10
−
c) 4 3 3
10
−
d) 
4 3 3
10
+
e) 4 3 3
10
+
251
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 251Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 251 22/12/2022 08:41:5222/12/2022 08:41:52
CAPÍTULO 8 
Trigonometria no Triângulo Retângulo
16 Uma rampa faz um ângulo de 30° com o plano 
horizontal. Uma pessoa que subiu 20 metros dessa rampa 
se encontra a altura de ___ do solo:
a) 6 metros.
b) 7 metros.
c) 8 metros.
d) 9 metros.
e) 10 metros.
17 Um atleta de 1,70 metro de altura percebe que, 
ao fazer flexões no momento em que estica os braços, 
seu corpo, em linha reta, forma um ângulo de 30º com o 
piso. Nessas condições, a que altura do piso se encontra 
a extremidade da sua cabeça? (Considere que os braços 
formam com o piso um ângulo reto).
a) 85cm.
b) 85 3 cm.
c) 
170 3
3
cm
d) 85 2 cm. 2
e) 3340 cm.
18 A medida da área do triângulo retângulo, repre-
sentado a seguir, é de 12,5 cm2. Qual é o valor aproximado 
do seno do ângulo "θ " Considere √2=1,4.
a) 0,45
b) 0,52
c) 0,61
d) 0,71
e) 0,85
19 Ao soltar pipa, um garoto libera 90m de linha, 
supondo que a linha fique esticada e forme um ângulo 
de 30º com a horizontal. A que altura a pipa se encontra 
do solo?
a) 45m.2 5
b) 45 3m. 10
c) 530 3m.
d) 45 2m. 2
e) 30m.πa
2
20 Considere um triângulo retângulo, cujos ângulos 
agudos α e β satisfazem à condição cosα = 0,8 e cosβ = 
0,6. Determine a área desse triângulo, em cm ,2 sabendo 
que o comprimento da hipotenusa é 5 cm:
a) 4,5
b) 6
c) 7,5
d) 8
e) 10
21 Em um triângulo retângulo, a tangente de um de 
seus ângulos agudos é 2. Sabendo-se que a hipotenusa 
desse triângulo é 5, o valor do seno desse mesmo ân-
gulo é:
a) 
4
5
.
b) 
5
4
.
c) 5
5
.
d) 
2 5
5
.
22 (EEAR) Uma escada é apoiada em uma parede 
perpendicular ao solo, que por sua vez é plano. A base 
da escada, ou seja, seu contato com o chão, dista 10m da 
parede. O apoio dessa escada com a parede está a uma 
altura de 10 3 m do solo. Isto posto, o ângulo entre a 
escada e o solo é de:
a) 60°
b) 45°
c) 30°
d)15°
252
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 252Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 252 22/12/2022 08:42:0622/12/2022 08:42:06
CAPÍTULO 8 
Trigonometria no Triângulo Retângulo
23 A figura a seguir representa a área de um jardim 
com o formato de um triângulo retângulo isósceles. Nele 
deverá ser colocada uma tela para cercar totalmente o 
terreno.
Considerando os dados apresentados, quantos metros 
de tela, no mínimo, serão necessários? 
a) 4 2 2+
b) 2 2 2+
c) 4 2
d) 2 2
24 O triângulo ABC é retângulo em ABC e os seg-
mentos BD e AC são perpendiculares.
Assim, a medida do segmento DC vale:
a) 10 3.
b) 6 3.
c) 15
2
.
d) 13
2
.
25 Um ponto de um lado de um ângulo de 60° dista 
16 m do vértice do ângulo. Quanto ele dista do outro 
lado do ângulo?
a) 8 3 m
b) 6 3 m
c) 4 3 m
d) 2 3 m
NÍVEL 3NÍVEL 3
26 No triângulo UVW, retângulo em V, a medida da 
hipotenusa UW é duas vezes a medida do cateto VW. 
Assim, pode-se afirmar corretamente que a medida em 
graus do ângulo VÛW é:
a) 30
b) 60
c) 40
d) 45
27 (EEAR) Os pontos A, B, C e D estão alinhados entre 
si, assim como os pontos A, E e F também estão. Consi-
derando G o ponto de interseção de FC e ED, o valor de 
tg α é:
a) 0,2
b) 0,5
c) 2
d) 4
253
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 253Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 253 22/12/2022 08:42:2222/12/2022 08:42:22
CAPÍTULO 8 
Trigonometria no Triângulo Retângulo
28 Na figura abaixo, o retângulo ABCD tem lados 
que medem 6 e 9:
Se a área do paralelogramo sombreado é 6, o cosseno 
de α é:
a) 
3
5
.
b) 2
3
.
c) 
3
4
.
d) 
4
5
.
e) 
8
9
.
29 ABCD é um quadrado e ABE é um triângulo isós-
celes de base AB, interno ao quadrado.
Se o ângulo BÊC mede 90º , a medida do ângulo ABE 
é igual a: 
a) 15º
b) 30º
c) 45º
d) 60º
e) 75º
30 Se na figura, AD 3 2= e CF 14 6,= então a me-
dida de AB é:
a) 8 6
b) 10 6
c) 12 6
d) 28
e) 14 5
31 Em um triângulo retângulo ABC, reto em Â, tem-
-se que tg B̂ tg Ĉ 25
12
.+ = O valor de senB̂ senĈ+ é:
a) 25
12
.
b) 12
25
.
c) 7
5
.
d) 5
7
.
RELAÇÕES 
MÉTRICAS NUM 
TRIÂNGULO 
QUALQUER
LEI DOS SENOSLEI DOS SENOS
Em todo triângulo, a razão entre a medida de um lado e o 
seno do ângulo oposto é constante e vale o dobro do raio 
da circunferência circunscrita ao triângulo.
LEI DOS COSSENOSLEI DOS COSSENOS
Em todo triângulo, a medida de qualquer lado depende 
das medidas dos outros dois lados e do ângulo entre eles.
NATUREZA DO TRIÂNGULONATUREZA DO TRIÂNGULO
Dado um triângulo de lados a, b e c e sendo a o maior 
lado, temos:
 » Se a² < b² + c² ⇒ triângulo acutângulo
 » Se a² = b² + c² ⇒ triângulo retângulo
 » Se a² > b² + c² ⇒ triângulo obtusângulo
GABARITOGABARITO
01. B 02. D 03. B 04. C 05. C 06. D
07. A 08. C 09. A 10. D 11. C 12. C
13. B 14. C 15. A 16. E 17. A 18. D
19. A 20. B 21. D 22. A 23. B 24. C
25. A 26. A 27. B 28. D 29. C 30. C
31. C
254
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 254Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 254 22/12/2022 08:42:5522/12/2022 08:42:55
CAPÍTULO 9 
Relações Métricas num Triângulo Qualquer
RELAÇÕES 
MÉTRICAS NUM 
TRIÂNGULO 
QUALQUER
LEI DOS SENOSLEI DOS SENOS
Em todo triângulo, a razão entre a medida de um lado e o 
seno do ângulo oposto é constante e vale o dobro do raio 
da circunferência circunscrita ao triângulo.
LEI DOS COSSENOSLEI DOS COSSENOS
Em todo triângulo, a medida de qualquer lado depende 
das medidas dos outros dois lados e do ângulo entre eles.
NATUREZA DO TRIÂNGULONATUREZA DO TRIÂNGULO
Dado um triângulo de lados a, b e c e sendo a o maior 
lado, temos:
 » Se a² < b² + c² ⇒ triângulo acutângulo
 » Se a² = b² + c² ⇒ triângulo retângulo
 » Se a² > b² + c² ⇒ triângulo obtusângulo
FÓRMULAS DA TRIGONOMETRIAFÓRMULAS DA TRIGONOMETRIA
Algumas fórmulas da trigonometria nos auxiliam na re-
solução de exercícios de relações métricas num triângulo 
qualquer.
 » sen(a + b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a)
 » sen(a - b) = sen(a).cos(b) - sen(b).cos(a)
 » cos(a + b) = cos(a).cos(b) - sen(a).sen(b)
 » cos(a - b) = cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b)
 » sen(2a) = 2.sen(a).cos(a)
 » cos(2a) = cos²(a) – sen²(a)
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 Na figura abaixo, encontre o valor de x:
a) 150 cm
b) 151 cm
c) 152 cm
d) 153 cm
02 Na figura abaixo, encontre o valor de x:
a) 8 2 3+
b) 6 1 3+
c) 4 2 3+
d) 8 1 3+
255
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 255Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 255 22/12/2022 08:43:0522/12/2022 08:43:05
CAPÍTULO 9 
Relações Métricas num Triângulo Qualquer
03 Na figura abaixo, encontre o valor de x:
a) 3 cm ou 7 cm
b) 4 cm ou 8 cm
c) 2 cm ou 8 cm
d) 4 cm ou 6 cm
04 Na figura abaixo, encontre o valor de x:
a) 4 2 cm
b) 6 2 cm
c) 8 2 cm
d) 10 2 cm
05 Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, 
B e C, que são ligadas por estradas em linha reta. Sabe-se 
que, seguindo por essas estradas, a distância entre A e 
C é de 24 km, e entre A e B é de 36 km.
Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, entre 
B e C é igual a:
a) 8 17.
b) 12 19.
c) 12 23.
d) 20 15.
e) 20 13.
06 (EEAR) De acordo com os dados da figura, a dis-
tância aproximada, em metros, entre os pontos A e B é:
a) 100
b) 102
c) 104
d) 108
07 Um triângulo T tem lados iguais a 4, 5 e 6. O cos-
seno do maior ângulo de T é:
a) 5/6.
b) 4/5.
c) 3/4.
d) 2/3.
e) 1/8.
08 Se as medidas de dois dos lados de um triângulo 
são respectivamente 7 m e 5 2m e se a medida do ân-
gulo entre esses lados é 135 graus, então, a medida, em 
metros, do terceiro lado é:
a) 12.
b) 15.
c) 13.
d) 14.
09 A medida do cosseno do maior dos ângulos inter-
nos do triângulo cujas medidas dos lados são respecti-
vamente 8 m, 10 m e 15 m é igual a:
a) -0,38125.
b) -0,42112.
c) -0,43713.
d) -0,46812.
256
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 256Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 256 22/12/2022 08:43:2022/12/2022 08:43:20
CAPÍTULO 9 
Relações Métricas num Triângulo Qualquer
10 A base de um triângulo isósceles mede 3 3cm e 
o ângulo oposto à base mede 120°. A medida dos lados 
congruentes desse triângulo, em centímetros, é:
a) 3.
b) 2.
c) 3.
d) 1 3.+
e) 2 3.−
11 Supondo 3= 1,7, a área do triângulo da figura vale:
a) 1,15
b) 1,25
c) 1,30
d) 1,35
e) 1,45
12 Um triângulo possui lados iguais a 6, 9 e 11. O 
cosseno do maior ângulo interno desse triângulo é:
a) 11
15
.
b) 1
27
.−
c) 26
33
.
d) 2
27
.−
e) 1.−
NÍVEL 2NÍVEL 2
13 Em um triângulo, um dos ângulos mede 60° e os 
lados adjacentes a este ângulo medem 1cm e 2cm. O 
valor do perímetro deste triângulo, em centímetros, é:
a) 3 + 5
b) 5 + 3
c) 3 + 3
d) 3 + 7
e) 5 + 7
14 Num triângulo isósceles, a base tem 8 cm e o ân-
gulo oposto à base mede 120°. Cada um dos outros dois 
lados do triângulo mede:
a) 3 cm
b) 2 5 cm
c) 4 5 cm
d) 4 3
3
cm
e) 8 3
3
cm
15 Dado um triângulo ABC, se BC = 16 cm, AC = 10 cm 
e o ângulo formado por estes lados é 60°, o segmento 
AB mede:
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
16 No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C medem, 
respectivamente, 45º e 30º. Determine a medida do lado 
AB, sabendo que a medida de AC é 8 cm:
a) 4 2 cm
b) 6 2 cm
c) 8 2 cm
d) 10 cm
257
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 257Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 257 22/12/2022 08:43:3922/12/2022 08:43:39
CAPÍTULO 9 
Relações Métricas num Triângulo Qualquer
17 (EEAR) Seja um triângulo inscrito em uma circunfe-
rência de raio R. Se esse triângulo tem um ângulo medindo 
30°, seu lado oposto a esse ângulo mede
a) R/2
b) R
c) 2R
d) 2R/3
18 (EEAR) O ponto O é o centro da circunferência 
da figura, que tem 3 m de raio e passa pelo ponto B. Se 
o segmento AB forma um ângulo de 30° com o raio OA , 
então a medida de AB, em m, é:
a) 6 3
b) 3 3
c) 6 2
d) 3 2
19 (EEAR) Um triângulo, inscritoem uma circunferên-
cia, tem um ângulo de 30° oposto a um lado de 10 cm. O 
diâmetro da circunferência, em cm, é:
a) 10.
b) 15.
c) 20.
d) 25.
20 (EEAR) Os lados de um triângulo obtusângulo me-
dem 3 m, 5 m e 7 m. A medida da projeção do menor dos 
lados sobre a reta que contém o lado de 5 m é, em m:
a) 2,5.
b) 1,5.
c) 2.
d) 1.
21 (EEAR) Um triângulo, inscrito numa circunferên-
cia de 10 cm de raio, determina nesta três arcos, cujas 
medidas são 90°, 120° e 150°. A soma das medidas dos 
menores lados desse triângulo, em cm, é:
a) 10( 2 3+ )
b) 10(1 3+ )
c) 5( 2 3+ )
d) 5(1 3+ )
22 As medidas, em metro, dos comprimentos dos 
lados de um triângulo formam uma progressão aritmética 
cuja razão é igual a 1. Se a medida de um dos ângulos 
internos deste triângulo é 120°, então, seu perímetro é:
a) 5,5.
b) 6,5.
c) 7,5.
d) 8,5.
23 Se em um triângulo ABC o lado AB mede 3 cm, o 
lado BC mede 4 cm e o ângulo interno formado entre os 
lados AB e BC mede 60°, então o lado AC mede:
a) 37cm
b) 13cm
c) 2 3cm
d) 3 3cm
e) 2 2cm
24 Uma praça circular de raio R foi construída a partir 
da planta a seguir:
Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias construídas 
no interior da praça, sendo que AB 80m.= De acordo com 
a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que 
a medida de R é igual a:
a) 160 3
3
m
b) 80 3
3
m
258
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 258Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 258 22/12/2022 08:44:0022/12/2022 08:44:00
CAPÍTULO 9 
Relações Métricas num Triângulo Qualquer
c) 16 3
3
m
d) 8 3
3
m
e) 3
3
m
25 (EEAR) O trapézio ABCD é isósceles, e as medidas 
dos ângulos D B̂ A e D Ĉ B são 30° e 45°, respectivamente. 
Se BC = 12 cm, então a medida de BD , em cm, é:
a) 6 2
b) 8 2
c) 10 2
d) 12 2
NÍVEL 3NÍVEL 3
26 Num paralelogramo, cada ângulo agudo mede 30° 
e os lados que formam cada um desses ângulos medem 
3 3 cm e 5 cm. Calcule a medida da menor das diagonais 
desse paralelogramo:
a) 6 cm
b) 3 cm
c) 3 3 cm
d) 7 cm
e) 15 3 cm
27 Em relação a um quadrilátero ABCD, sabe-se que 
med(BÂD) =120°, med(ABC) = med(ADC) = 90°, AB = 13 e 
AD = 46. A medida do segmento AC é:
a) 60.
b) 62.
c) 64.
d) 65.
e) 72.
28 Um dos ângulos internos de um paralelogramo 
de lados 4 m e 6 m mede 120°. A maior diagonal desse 
paralelogramo mede, em metros:
a) 2 17
b) 2 19
c) 2 21
d) 2 23
29 Sobre uma circunferência α, de centro O e raio r = 
2 3cm, são marcados dois pontos A e B que determinam 
em α uma corda de 6 cm de comprimento. A medida, em 
radianos, do menor dos ângulos AÔB é:
a) 5π
6
b) 2π
3
c) π
3
d) π
4
e) π
6
30 No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8 cm 
e 6 cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30°. O seno 
do ângulo B vale:
a) 1/2
b) 2/3
c) 3/4
d) 4/5
e) 5/6
259
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 259Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 259 22/12/2022 08:44:2222/12/2022 08:44:22
CAPÍTULO 9 
Relações Métricas num Triângulo Qualquer
31 No pentágono ABCDE da figura, o lado AB mede 
3 cm; o lado AE mede 8 cm; o lado CD mede 4 cm e os 
ângulos BÊC, Â e ̂D medem 30°, 60° e 90° respectivamente:
Sendo a área do triângulo BCE igual a 10,5 cm2, a medida, 
em cm, do lado DE é:
a) 18
b) 20
c) 22
d) 24
GABARITOGABARITO
01.B 02.A 03.A 04.C 05.B 06.B
07.E 08.C 09.A 10.A 11.D 12.B
13.C 14.E 15.A 16.A 17.B 18.B
19.C 20.B 21.A 22.C 23.B 24.B
25.D 26.D 27.B 28.B 29.B 30.B
31. B
260
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 260Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 260 22/12/2022 08:44:4122/12/2022 08:44:41
CAPÍTULO 10 
Áreas
ÁREAS
ÁREAS DO TRIÂNGULOÁREAS DO TRIÂNGULO
EM FUNÇÃO DA BASE E DA ALTURA
EM FUNÇÃO DE DOIS LADOS E UM ÂNGULO ENTRE ELES
EM FUNÇÃO DOS TRÊS LADOS
EM FUNÇÃO DO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA INSCRITA
EM FUNÇÃO DO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA 
CIRCUNSCRITA
ÁREA DOS QUADRILÁTEROSÁREA DOS QUADRILÁTEROS
ÁREA DO PARALELOGRAMO
ÁREA DO RETÂNGULO
ÁREA DO QUADRADO
ÁREA DO LOSANGO
261
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CAPÍTULO 10 
Áreas
ÁREA DO TRAPÉZIO
ÁREAS DAS FIGURAS CIRCULARESÁREAS DAS FIGURAS CIRCULARES
ÁREA DO CÍRCULO
ÁREA DA COROA CIRCULAR
ÁREA DO SETOR CIRCULAR
ÁREA DO SEGMENTO CIRCULAR
NÍVEL 1 NÍVEL 1 
01 Um terreno retangular mede 270 m2 de área, cujo 
comprimento está para sua largura, assim como 6 está 
para 5. A sua largura e o seu comprimento são: respec-
tivamente:
a) 18 m e 16 m
b) 19 m e 17 m
c) 18 m e 15 m
d) 17 m e 14 m
e) 20 m e 18 m
02 (EEAR) Com 4 palitos de mesmo comprimento, 
forma-se um quadrado com x cm² de área e y cm de 
perímetro. Se x – y = 0, o comprimento de cada palito, 
em cm, é:
a) 2.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
03 (EEAR) Seja um retângulo de comprimento c e 
largura l. Aumentando-se o comprimento em 1/10 do 
seu valor, para que a área não se altere, a sua largura 
deverá ser igual a:
a) 1
10
l
b) 10
11
l
c) 9
11
l
d) 9
10
l
262
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 262Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 262 22/12/2022 08:44:4922/12/2022 08:44:49
CAPÍTULO 10 
Áreas
04 Em um triângulo retângulo, o maior e o menor 
lado medem, respectivamente, 12cm e 4 cm. Qual é a 
área desse triângulo?
a) 4 2 cm .2
b) 16 cm .2
c) 8 2 cm .2
d) 16 2 cm .2
05 Para colocar o piso em um salão de formato re-
tangular, cujas dimensões são 6 metros de largura e 8 
metros de comprimento, gasta-se R$ 18,00 por cada metro 
quadrado. Qual o valor total do gasto para colocar o piso 
em todo o salão?
a) R$ 486,00.
b) R$ 648,00.
c) R$ 684,00.
d) R$ 846,00.
e) R$ 864,00.
06 (EEAR) Na figura, o retângulo menor tem dimen-
sões 10 cm e 6 cm. A área da região hachurada, em cm², é:
a) 140.
b) 160.
c) 180.
d) 200.
07 (EEAR) Na figura, os arcos que limitam a região 
sombreada são arcos de circunferências de raio R e cen-
trados nos vértices do quadrado ABCD. Se o lado do 
quadrado mede 2R e considerando π 3= , então a razão 
entre a área sombreada e a área branca é:
a) 1/2
b) 1/3
c) 2
d) 3
08 (EEAR) Considere o retângulo ABCD, e os pontos 
médios dos seus ados M, N, P e Q. Unindo esses pontos 
médios, conforme afigura, pode-se concluir que a área 
hachurada, em cm², é:
a) 8
b) 4
c) 4 2
d) 2 2
09 Um canteiro com formato retangular tem área 
igual a 40m2 e sua diagonal mede 89m. O perímetro 
desse retângulo é:
a) 20 m
b) 22 m
c) 24 m
d) 26 m
e) 28 m
263
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 263Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 263 22/12/2022 08:45:0222/12/2022 08:45:02
CAPÍTULO 10 
Áreas
10 (EEAR) Na figura, BC e CE são segmentos colineares 
de 4 cm cada um. Se os triângulos ABC e DCE são equilá-
teros, a área do triângulo BDE é:
a) 4 3
b) 6 3
c) 8 3
d) 10 3
11 (EEAR) Um triângulo isósceles de base 10 cm e 
perímetro 36 cm tem _____ cm² de área:
a) 75
b) 72
c) 60
d) 58
12 A base de um triângulo mede x + 3 e a altura mede 
x – 2. Se a área desse triângulo vale 7, o valor de x é:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
13 Um terreno retangular tem 704 m2 de área. A me-
dida de um lado é 10 metros menor que a do outro. Nesse 
caso, a medida do maior lado, em metros, é:
a) 22.
b) 32.
c) 62.
d) 58.
e) 46.
14 (EEAR) Considere um quadrado de diagonal 5 2
m e um losango de diagonais 6 m e 4 m. Assim, a razão 
entre as áreas do quadrado e do losango é aproximada-
mente igual a:
a) 3,5.
b) 3,0.
c) 2,5.
d) 2,1.
15 (EEAR) Na figura, ABCD é um quadrado formado 
por pequenos quadrados de lado x divididos por uma de 
suas diagonais. Assim, a área sombreada, em função de 
x é:
a) 15x
2
2
b) 13x
2
2
c) 5,5x2
d) 3,5x2
16 (EEAR) As medidas da diagonal menor e do perí-
metro de um losango são, respectivamente, 36 cm e 120 
cm. A área desse losango, em cm², é:
a) 864.
b) 728.
c) 600.
d) 548.
17 (EEAR)A área de um losango é 24 cm². Se uma das 
diagonais desse losango mede 6 cm, a outra diagonal, 
em cm, mede:
a) 9.
b) 8.
c) 7.
d) 6.
264
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 264Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 264 22/12/2022 08:45:1822/12/2022 08:45:18
CAPÍTULO 10 
Áreas
18 (EEAR) O perímetro de um losango é 20 cm. Se sua 
diagonal maior tem o dobro da medida da menor, então 
sua área, em cm², é:
a) 35.
b) 30.
c) 25.
d) 20.
19 (EEAR) Um dos lados de um losango forma um 
ângulo de 60° com a diagonal menor, que mede 2 cm. A 
área desse losango, em cm², é:
a) 2
b) 3
c) 2 3
d) 3 2
20 (EEAR) Os lados de um triângulo medem 7 cm, 8 
cm e 9 cm. A área desse triângulo, em cm², é:
a) 12 3
b) 12 5
c) 8 2
d) 8 3
NÍVEL 2NÍVEL 2
21 (EEAR) A distância do ponto P ao segmento AB é 6 
cm. Considerando o triângulo ABP, sua área, em cm², é:
a) 10.
b) 12.
c) 14.
d) 15.
22 (EEAR) A área de um trapézio é 30 cm². Se suas ba-
ses medem 12 cm e 8 cm, então sua altura, em cm, mede:
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
23 (EEAR) A área do trapézio retângulo (fig. abaixo), 
em cm², é igual a (Obs: Utilize 3 = 1,7)
a) 20,00
b) 26,40
c) 34,68
d) 40,80
24 (EEAR) Um trapézio isósceles tem bases medindo 
12 cm e 20 cm. Se a medida de um de seus lados oblíquos 
é 5 cm, então sua área, em cm², é:
a) 25.
b) 39.
c) 48.
d) 54.
25 (ESA) A área do triângulo equilátero cuja altura 
mede 6 cm é:
a) 12 3 cm²
b) 4 3 cm²
c) 24 3 cm²
d) 144 cm ²
e) 6 3 cm²
26 (EEAR) A malha da figura abaixo é formada por 
losangos cujas diagonais medem 0,50 cm e 2,00 cm. A 
área hachurada é de _____cm².
a) 20
b) 22
c) 23
d) 25
265
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 265Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 265 22/12/2022 08:45:2922/12/2022 08:45:29
CAPÍTULO 10 
Áreas
27 (EEAR) Assinale a alternativa que representa, cor-
retamente, a área do triângulo esboçado na figura abaixo:
a) 15 m²
b) 30 2 m²
c) 15 3 m²
d) 30 3 m²
28 Um triângulo de 40 2 cm² de área tem dois de 
seus lados medindo 10 cm e 16 cm. A medida do ângulo 
agudo formado por esses lados é
a) 75°.
b) 60°.
c) 45°.
d) 30°.
29 Na figura, O é o centro do semicírculo de raio r 
= 2 cm. Se A, B e C são pontos do semicírculo e vértices 
do triângulo isósceles, a área hachurada é _______ cm²: 
(Use π = 3,14)
a) 2,26
b) 2,28
c) 7,54
d) 7,56
30 (EEAR) A figura abaixo apresenta um quadrado 
inscrito em um círculo de raio 2 2 cm e centro O. Con-
siderando π = 3, a área da região hachurada é igual a 
_______ cm²:
a) 2
b) 8
c) 16
d) 24
31 A área do triângulo a seguir é:
a) 12 3
b) 18 3
c) 10 3
d) 20 3
e) 15 3
32 (EEAR) Em um pedaço de papel de formato quadra-
do foi desenhado um círculo de raio 10 cm. Se o papel tem 
20 cm de lado e considerando π = 3,14, a área do papel, 
em cm², não ocupada pelo círculo é igual a:
a) 82.
b) 86.
c) 92.
d) 96.
33 Ao aumentarmos em 20% a medida do raio de um 
círculo, sua área sofrerá um aumento de:
a) 36%.
b) 40%.
c) 44%.
d) 52%.
266
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CAPÍTULO 10 
Áreas
34 (EEAR) Em uma circunferência de raio
r = 6 cm, a área de um setor circular de 30° é ____ π cm²:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
35 (EEAR) A área de um losango é 24 cm². Se uma 
das diagonais desse losango mede 6 cm, o lado dele, em 
cm, mede:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
36 (EEAR) A figura é formada por um círculo de raio R 
= 4 cm e três triângulos equiláteros de lados congruentes 
ao raio do círculo. Os triângulos têm apenas um ponto 
de intersecção entre si e dois vértices na circunferência. 
A área hachurada, em cm², é:
a) 6π 12 3−
b) 16π 6 3−
c) 12π 8 3−
d) 16π 12 3−
37 (EEAR) Considere um quadrado inscrito em uma 
circunferência de raio 5 cm e 2 = 1,4. Assim, a medida do 
lado desse quadrado, em cm, é aproximadamente igual a:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
38 (EEAR) Considere a figura composta de três círcu-
los concêntricos de raios medindo, respectivamente, 5 
cm, 4 cm e 3 cm. A área, em cm², da parte hachurada é:
a) 9π.
b) 16π.
c) 18π.
d) 24π.
39 (EEAR) Dois círculos concêntricos têm 4 m e 6 m 
de raio. A área da coroa circular por eles determinada, 
em m², é:
a) 2π.
b) 10π.
c) 2 π.
d) 52π.
NÍVEL 3NÍVEL 3
40 (EEAR) Duas circunferências concêntricas têm raios 
medindo 12 cm e 6 cm. A área da coroa circular determi-
nada por elas, em π cm², é:
a) 104.
b) 106.
c) 108.
d) 110.
41 (EEAR) Na figura, AB = 8 cm é o diâmetro do círculo 
de centro O e AO é o diâmetro do semicírculo. Assim, a 
área sombreada dessa figura é _____ π cm²:
a) 14
b) 13
c) 11
d) 10
267
Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 267Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 267 22/12/2022 08:45:5622/12/2022 08:45:56
CAPÍTULO 10 
Áreas
42 (EEAR) A área de um setor circular de 30° e raio 6 
cm, em cm², é, aproximadamente:
a) 7,48.
b) 7,65.
c) 8,34.
d) 9,42
43 (EEAR) Se S = 6l cm² é a área de um quadrado de 
lado l cm, o valor de l é:
a) 3.
b) 6.
c) 9.
d) 12.
44 (EEAR) Um triângulo isósceles tem perímetro igual 
a 36 cm e altura relativa à base medindo 12 cm. A área 
desse triângulo, em cm², é:
a) 60.
b) 6.
c) 48.
d) 40.
45 (EEAR) Um quadrado e um losango têm o mesmo 
perímetro. Se as diagonais do losango estão entre si 
como 3 para 5, então a razão entre a área do quadrado 
e a do losango é:
a) 17/15
b) 13/15
c) 17/13
d) 11/13
46 (EEAR) As diagonais de um paralelogramo medem 
10 m e 20 m e formam entre si um ângulo de 60°. A área 
desse paralelogramo, em m², é:
a) 200
b) 100
c) 50 3
d) 25 3
47 (EEAR) A área da região hachurada, em cm², é:
a) 4 π
4
−
b) 1 π
4
−
c) 1 π
4
−
d) π 1−
48 (EEAR) Um círculo é tal que a medida de seu raio 
é igual aos 4
7
 da medida do comprimento de um setor 
circular que ele contém. Se a área desse setor é igual a 

63π
8
cmcm2, então a área do círculo, em cm², é:
a) 9π.
b) 9π².
c) 6π.
d) 6π2.
49 (EEAR) Na figura, o lado do hexágono regular ins-
crito no círculo mede 4 cm. A área da região hachurada 
da figura é, em cm²:
a) 8 3.
b) π 4 3− .
c) 8 2π 3 3( )−
d) 16 π 2 2( )−
GABARITOGABARITO
01. C 02. B 03. B 04. D 05. E 06. C
07. D 08. B 09. D 10. C 11. C 12. C
13. B 14. D 15. B 16. A 17. D 18. B
19. C 20. B 21. D 22. A 23. B 24. C
25. A 26. C 27. A 28. C 29. B 30. A
31. C 32. B 33. C 34. A 35. B 36. B
37. B 38. C 39. C 40. C 41. A 42. D
43. B 44. A 45. A 46. C 47. A 48. B
49. C
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Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 268Apostila_EEAR_ESA_MATEMÁTICA123_POTUGUES12_2023.indd 268 22/12/2022 08:46:2122/12/2022 08:46:21
CAPÍTULO 11 
Poliedros
POLIEDROS
É a região do espaço limitada por quatro ou mais polígo-
nos planos.
ELEMENTOS DOS POLIEDROSELEMENTOS DOS POLIEDROS
 » Face do poliedro: é a superfície plana que o limita.
 » Aresta do poliedro: é a interseção de duas faces
 » Vértice do poliedro: é o ponto de encontro de arestas
 » Ângulo poliédrico: é a região do espaço constituída por 
um vértice e três ou mais arestas.
CLASSIFICAÇÃO DOS POLIEDROS:CLASSIFICAÇÃO DOS POLIEDROS:
4 faces tetraedro
5 faces pentaedro
6 faces hexaedro
7 faces heptaedro
8 faces octaedro
9 faces eneaedro
10 faces decaedro
11 faces undecaedro
12 faces dodecaedro
13 faces tridecaedro
14 faces quadridecaedro
15 faces pentadecaedro
16 faces hexadecaedro
17 faces heptadecaedro
18 faces octodecaedro
19 faces eneadecaedro
20 faces icosaedro
CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS 
POLIÉDRICOSPOLIÉDRICOS
3 arestas ângulo triédrico
4 arestas ângulo tetraédrico
5 arestas ângulo pentaédrico
6 arestas ângulo hexadecaedro
POLIEDRO CONVEXOPOLIEDRO CONVEXO
Um poliedro é dito convexo se, dados dois pontos quais-
quer do poliedro, o segmento que os une está inteiramente 
contido nele.
POLIEDRO NÃO CONVEXOPOLIEDRO NÃO CONVEXO
Apresenta uma reta que