APX1_2021-1_Gabarito_Matematica_para_Computacao

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Curso Superior de Tecnologia em Sistemas de Computação
Disciplina: Matemática para Computação
Gabarito APX1 - 1o semestre de 2021
Observações:
1. O prazo dispońıvel para esta prova é 24 horas
2. Justifique todas as respostas.
Questões
1. (2 pontos) ————————————————————————————
Determine as inversas das seguintes funções
(a) f(x) = x4 + 2
(b) f(x) = 4
√
2x− 4
(c) f(x) =
5x− 2
2x + 3
Solução:
(a) f(x) = x4 + 2
y = x4 + 2 =⇒ x4 = y − 2 =⇒ x = 4
√
y − 2
Logo a inversa é f−1(x) = 4
√
x− 2
(b) f(x) = 4
√
2x− 4
y = 4
√
2x− 4 =⇒ y4 = 2x− 4 =⇒ y4 + 4 = 2x =⇒ y
4 + 4
2
= x
Logo a inversa é f−1(x) = x
4+4
2
(c) f(x) =
5x− 2
2x + 3
y =
5x− 2
2x + 3
=⇒ y(2x + 3) = 5x− 2 =⇒ 2yx + 3y = 5x− 2
=⇒ 2yx− 5x = −2− 3y =⇒ (2y − 5)x = −2− 3y =⇒ x = −3y + 2
2y − 5
Logo a inversa é f−1(x) = −3x+2
2x−5
2. (2 pontos) ————————————————————————————
Calcule os limites abaixo.
(a) lim
x→3
x3 + 18x− 81
x2 − 9
(b) lim
x→1
x2 + x− 2
(x− 1)2
(c) lim
x→∞
2x3
x2 + 1
(d) lim
x→4
x− 4
x2 − 7x + 12
Solução:
(a) lim
x→3
x3 + 18x− 81
x2 − 9
= lim
x→3
(x− 3)(x2 + 3x + 27)
(x− 3)(x + 3)
= lim
x→3
x2 + 3x + 27
x + 3
=
32 + 3 · 3 + 27
3 + 3
=
45
6
=
15
2
(b) lim
x→1
x2 + x− 2
(x− 1)2
= lim
x→1
(x− 1)(x + 2)
(x− 1)2
= lim
x→1
(x + 2)
(x− 1)
=∞
(c) lim
x→∞
2x3
x2 + 1
= lim
x→∞
2x3
x3
x2
x3
+
1
x3
= lim
x→∞
2
1
x
+
1
x3
=
lim
x→∞
2
lim
x→∞
[
1
x
+
1
x3
] =
lim
x→∞
2
lim
x→∞
1
x
+ lim
x→∞
1
x3
==
2
0 + 0
= +∞
(d) lim
x→4
x− 4
x2 − 7x + 12
= lim
x→4
x− 4
(x− 3)(x− 4)
= lim
x→4
1
(x− 3)
=
1
1
= 1
3. (2,0 pontos) ———————————————————————————————–
Se f(x) = 4x3 − 2x2 + 3x + 5, calcule f ′(x), usando a definição de derivada, isto é,
f ′(x) = lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
Qual o domı́nio de f ′(x)? Calcule também f ′(4), f ′(−
√
3) e f ′(b).
Solução:
f ′(x) = lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
= lim
h→0
(4(x + h)3 − 2(x + h)2 + 3(x + h) + 5)− (4x3 − 2x3 + 3x + 5)
h
Vejamos o numerador da fração, isto é,
{[
4(x + h)3 − 2(x + h)2 + 3(x + h) + 5
]
−
[
4x3 − 2x2 + 3x + 5
]}
=
=
{[
4(x3 + 3x2h + 3xh2 + h3)− 2(x2 + 2xh + h2) + 3x + 3h + 5
]
−
[
4x3 − 2x2 + 3x + 5
]}
=
=
{[
4x3 + 12x2h + 12xh2 + 4h3 − 2x2 − 4xh− 2h2 + 3x + 3h + 5
]
−
[
4x3 − 2x2 + 3x + 5
]}
=
=
{
4x3 + 12x2h + 12xh2 + 4h3 − 2x2 − 4xh− 2h2 + 3x + 3h + 5− 4x3 + 2x2 − 3x− 5
}
=
=
{
12x2h + 12xh2 + 4h3 − 4xh− 2h2 + 3h
}
=
= h
{
12x2 + 12xh + 4h2 − 4x− 2h + 3
}
=
= h
{
(12x2 − 4x + 3) + (12xh + 4h2 − 2h)
}
substituindo no limite
f ′(x) = lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
= lim
h→0
(4(x + h)3 − 2(x + h)2 + 3(x + h) + 5)− (4x3 − 2x2 + 3x + 5)
h
= lim
h→0
h(12x2 − 4x + 3) + (12xh + 4h2 − 2h)
h
= lim
h→0
{
(12x2 − 4x + 3) + (12xh + 4h2 − 2h)
}
= lim
h→0
[
12x2 − 4x + 3
]
+ lim
h→0
[
12xh + 4h2 − 2h
]
=
[
12x2 − 4x + 3
]
+ [0]
= 12x2 − 4x + 3
O domı́nio de f ′(x) é toda a reta dos reais, ou seja,
Dom f ′(x) = {x ∈ IR}
f ′(4) = 12(42)− 4 · 4 + 3 = 12 · 16− 16 + 3 = 192− 16 + 3 = 179
f ′(−
√
3) = 12(−
√
3)2 − 4 · (−
√
3) + 3 = 12 · (3) + 4 ·
√
3 + 3 = 39 + 4
√
3
f ′(b) = 12b2 − 4b + 3
4. (2,0 pontos) —————————————————————————————————
Calcule os limites:
(a) lim
x→−∞
(
x + 4 +
√
x2 + 9
)
(b) lim
x→−2
x− 4
x3 − 2x2 − 4x + 8
(c) lim
x→4+
2
(x− 4)3
(d) lim
x→4−
2
(x− 4)3
(e) lim
x→−∞
(
3x2 + 3x + 2
x3 + 4x2 + 3x + 2
)
(f) lim
x→4
(
16− x2
5−
√
x2 + 9
)
Solução:
(a) lim
x→−∞
(
x + 4 +
√
x2 + 9
)
=
lim
x→−∞
(
x + 4 +
√
x2 + 9
) (
x + 4−
√
x2 + 9
)
(
x + 4−
√
x2 + 9
) =
lim
x→−∞
(
(x + 4)2 − (
√
x2 + 9)2
)
(
x + 4−
√
x2 + 9
) =
lim
x→−∞
(x2 + 8x + 16− (x2 + 9))(
x + 4−
√
x2 + 9
) =
lim
x→−∞
(x2 + 8x + 16− x2 − 9)(
x + 4−
√
x2 + 9
) =
lim
x→−∞
(8x + 7)(
x + 4−
√
x2 + 9
)
lim
x→−∞
8 + 7
x
1 + 4
x
−
√
x2+9
x
=
(
mas x = −
√
x2, se x < 0, já que x→ −∞
)
lim
x→−∞
8 + 7
x
1 + 4
x
+
√
x2+9
x2
=
lim
x→−∞
8 + 7
x
1 + 4
x
+
√
1 + 9
x2
=
8 + 0
1 + 0 +
√
1 + 0
=
8
1 +
√
1
=
8
2
= 4
(b) lim
x→−2
x− 4
x3 − 2x2 − 4x + 8
=?
mas,
x3 − 2x2 − 4x + 8 = (x− 2)(x2 − 2) = (x− 2)(x− 2)(x + 2)
ou
x3 − 2x2 − 4x + 8 = (x− 2)2(x + 2)
Portanto
lim
x→−2
x− 4
x3 − 2x2 − 4x + 8
= lim
x→−2
x− 4
(x− 2)2(x + 2)
=
−6
16 · 0
= −∞
(c) lim
x→4+
2
(x− 4)3
= +∞
Com x se aproximando pela direita (4+) o denominador será positivo, logo o limite
tende a infinito positivamente.
(d) lim
x→4−
2
(x− 4)3
= −∞
Com x se aproximando pela esquerda (4−) o denominador será negativo, logo o limite
tende a infinito negativamente.
(e) lim
x→−∞
(
3x2 + 3x + 2
x3 + 4x2 + 3x + 2
)
=
lim
x→−∞
3x2
x3
+
3x
x3
+
2
x3
x3
x3
+
4x2
x3
+
3x
x3
+
2
x3
=
lim
x→−∞
3
x
+
3
x2
+
2
x3
1 +
4
x
+
3
x2
+
2
x3
=
lim
x→−∞
[
3
x
+
3
x2
+
2
x3
]
lim
x→−∞
[
1 +
4
x
+
3
x2
+
2
x3
] =
lim
x→−∞
3
x
+ lim
x→−∞
3
x2
+ lim
x→−∞
2
x3
lim
x→−∞
1 + lim
x→−∞
4
x
+ lim
x→−∞
3
x2
+ lim
x→−∞
2
x3
=
0 + 0 + 0
1 + 0 + 0 + 0
=
0
1
= 0
(f) lim
x→4
(
16− x2
5−
√
x2 + 9
)
=
lim
x→4
(
16− x2
5−
√
x2 + 9
)
.
(
5 +
√
x2 + 9
5 +
√
x2 + 9
)
=
lim
x→4
(
16− x2
) (
5 +
√
x2 + 9
)
(
5−
√
x2 + 9
) (
5 +
√
x2 + 9
) =
lim
x→4
(
16− x2
) (
5 +
√
x2 + 9
)
25− x2 − 9
=
lim
x→4
(
16− x2
) (
5 +
√
x2 + 9
)
16− x2
=
lim
x→4
5 +
√
x2 + 9 = 5 +
√
42 + 9 = 5 +
√
25 = 5 + 5 = 10
5. (2,0 pontos) —————————————————————————————————
Calcule as primeiras derivadas das funções:
(a) f(x) =
(3x3 + x2 + 1)2
x4 − 1
(b) f(x) =
5 + 3ex
5− 2
x
Solução:
(a) f(x) =
(3x3 + x2 + 1)2
x4 − 1
f ′(x) =
[
(3x3 + x2 + 1)2
x4 − 1
]′
=
[(3x3 + x2 + 1)2]
′
(x4 − 1)− (3x3 + x2 + 1)2 [x4 − 1]′
(x4 − 1)2
=
=
[2(3x3 + x2 + 1)(9x2 + 2x)] (x4 − 1)− (3x3 + x2 + 1)2 [4x3]
(x4 − 1)2
=
=
[(6x3 + 2x2 + 2)(9x2 + 2x)] (x4 − 1)− (3x3 + x2 + 1)2 [4x3]
(x4 − 1)2
=
=
(54x5 + 12x4 + 18x4 + 4x3 + 18x2 + 4x)(x4 − 1)
(x4 − 1)2
+
− (9x
6 + 6x3(x2 + 1) + (x2 + 1)2) (4x3)
(x4 − 1)2
=
=
54x9 − 54x5 + 12x8 − 12x4 + 18x8 − 18x4 + 4x7 − 4x3 + 18x6 − 18x2 + 4x5 − 4x
(x4 − 1)2
+
− (9x
6 + 6x5 + 6x3 + x4 + 2x2 + 1) (4x3)
(x4 − 1)2
=
=
54x9 + 30x8 + 4x7 + 18x6 − 50x5 − 30x4 − 4x3 − 18x2 − 4x
(x4 − 1)2
+
− 36x
9 + 24x8 + 24x6 + 4x7 + 8x5 + 4x3
(x4 − 1)2
=
=
18x9 + 6x8 − 6x6 − 58x5 − 30x4 − 8x3 − 18x2 − 4x
(x4 − 1)2
(b) f(x) =
5 + 3ex
5− 2
x
f ′(x) =
 5 + 3ex
5− 2
x

′
=
[5 + 3ex]′
(
5− 2
x
)
− (5 + 3ex)
[
5− 2
x
]′
(
5− 2
x
)2 =
=
[3ex]
(
5− 2
x
)
− (5 + 3ex)
[
2
x2
]
(
5− 2
x
)2 =
=
(
3ex(5x− 2)
x
)
−
(
10x2 + 6exx2
x2
)
(
5− 2
x
)2 =
=
(
3xex(5x− 2)
x2
)
−
(
10x2 + 6exx2
x2
)
(
5− 2
x
)2 =
=
3xex(5x− 2)− 10x2 − 6exx2
x2
(
5x− 2
x
)2
=
15x2ex − 6xex − 6x2ex − 10x2
x2
(5x− 2)2
x2
=
15x2ex − 6xex − 6x2ex − 10x2
(5x− 2)2
6. (2,0 pontos) —————————————————————————————————
Ache a inclinação da reta tangente a curva x = y5 − 9y3 nos pontos aonde a curva corta o
eixo-y.
Solução:
Uma primeira interpretação considera o plano yx — e não xy, o que é mais frequente
— ou seja, y é a variável independente e x a variável dependente.
Primeiramente vamos determinar os pontos aonde a curva corta o eixo-y, isto é aonde
x = 0. Com x = 0
0 = y5 − 9y3 =⇒ y3(y2 − 9) = 0 =⇒ y = −
√
9 = −3, y = 0 e y =
√
9 = 3
Logo estes pontos são (y, x) = (0, 0), (y, x) = (−3, 0) e (y, x) = (3, 0).
A inclinação da reta tangente é o valor da derivada no ponto, lembre-se de que a expressão
para esta reta é
x− x0 = f ′(y0)(y − y0)
onde (y0, x0) são as coordenadas do ponto e
f ′(y) = 5y4 − 27y2
Para o ponto (−3, 0)
f ′(−3) = 5 · (−3)4 − 27 · (−3)2 = 405− 243 = 162,
para o ponto (0, 0)
f ′(0) = 5× (0)4 − 27× 02 = 0
e para o ponto (3, 0)
f ′(3) = 5 · (3)4 − 27 · (3)2 = 405− 243 = 162,
Logo no ponto (−3, 0) a inclinação da reta tangente vale 162, no ponto (0, 0) a inclinação
da reta tangente vale 0 e no ponto (3, 0) a inclinação da reta tangente tem valor 162.
Uma segunda interpretação considera o plano xy, como comumente é feito, isto é, x é
a variável independente e y a variável dependente. Neste caso
Vamosdeterminar os pontos aonde a curva corta o eixo-y, isto é aonde x = 0. Com x = 0
x = y5 − 9y3 =⇒ y3
(
y2 − 9
)
= 0 =⇒ y = −3, y = 0 e y = 3
Logo estes pontos são (x, y) = (0,−3), (x, y) = (0, 0) e (x, y) = (0, 3).
A inclinação da reta tangente é o valor da derivada no ponto, lembre-se de que a expressão
para esta reta é
y − y0 = f ′(x0)(x− x0)
onde (x0, y0) são as coordenadas do ponto e agora
f ′(x) =
df
dx
e dáı
x = y5 − 9y3 =⇒ dx
dx
=
d(y5)
dx
− 9d(y
3)
dx
=⇒ 1 = 5y4 dy
dx
− 9 · 3y2 dy
dx
=⇒ 1 =
(
5y4 − 27y2
) dy
dx
e explicitando a derivada
dy
dx
=
1
5y4 − 27y2
Para o ponto (0,−3)
f ′ =
1
5 · (−3)4 − 27 · (−3)2
=
1
405− 243
= − 1
162
,
para o ponto (0, 0)
f ′ =
1
5 · (0)4 − 27 · (0)2
=
1
0
⇒∞
e para o ponto (0, 3)
f ′ =
1
5 · (3)4 − 27 · (3)2
=
1
405− 243
=
1
162
Logo no ponto (0, 0) a reta tangente tem inclinação infinita (∞), isto é, ela é vertical, e
nos pontos (0,−3) e (0, 3) as inclinações das retas tangentes valem 1
162
.