Gabarito - Cálculo Diferencial e Integral I - Unidade 1 - Tópico 2

Prévia do material em texto

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES – UNIDADE 1 – TÓPICO 2 
 
QUESTÃO 01. Seja 𝑓(𝑥) = {
7𝑥 − 2, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
𝑥2 − 2𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 < 2
. Calcular lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥), lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→2
𝑓(𝑥). 
Resolução: 
lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2+
7𝑥 − 2 = 7 ∙ 2 − 2 = 12, 
↳ um pouco maior que 2, logo, primeira regra 
lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2−
𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 22 − 2 ∙ 2 + 1 = 1 
↳ um pouco menor que 2, logo, segunda regra 
Como lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) então lim
𝑥→2
 𝑓(𝑥) = ∄ 
 
QUESTÃO 02. Seja 𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
2, 𝑠𝑒 𝑥 = 0
. Calcular lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥), lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→0
𝑓(𝑥). 
Resolução: 
lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0+
√𝑥 + 5 = √5 
↳ maior que zero 
lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0−
𝑥 + 1 = 1 
↳ menor que zero 
Como lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) então lim
𝑥→0
 𝑓(𝑥) = ∄ 
 
QUESTÃO 03. Seja 𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 < 2
√𝑥3 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
. Calcular lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥), lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→2
𝑓(𝑥). 
Resolução: 
lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2+
√𝑥3 + 1 = √23 + 1 = √8 + 1 = 3 
↳ um pouco maior que 2, logo, segunda regra 
lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2−
𝑥 + 1 = 2 + 1 = 3 
↳ menor que 2, logo, primeira regra 
Como lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) então lim
𝑥→2
 𝑓(𝑥) = 3 
 
QUESTÃO 04. A seguir está esboçado o gráfico de uma função de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
Observando o gráfico, é possível estimar os seguintes limites: 
 
a) lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) 
b) lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) 
c) lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) 
d) lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) 
e) lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) 
f) lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) 
 
Resolução: 
a) lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = −1 
b) lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = −1 
c) lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = −∞ 
d) lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = −
1
2
 
e) lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = ∞ 
f) lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 0 
 
QUESTÃO 05. Seja 𝑓(𝑥) uma função definida para todo número real por 
𝑓(𝑥) = {
𝑥2 − 4𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −2
4 − 𝑘, 𝑠𝑒 𝑥 > −2
 
Determine o valor da constante k para que exista lim
𝑥→−2
𝑓(𝑥). 
Resolução: 
𝑓(𝑥) = {
𝑥2 − 4𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −2
4 − 𝑘, 𝑠𝑒 𝑥 > −2
 
lim
𝑥→−2+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−2+
𝑥2 − 4𝑥 = (2)2 − 4 ∙ (−2) = 4 + 8 = 12 
Para lim
𝑥→−2+
𝑓(𝑥) existir, temos que: 
lim
𝑥→−2+
𝑓(𝑥) = 12 ⇒ lim
𝑥→−2+
4 − 𝑘 = 12 ⇒ −𝑘 =
12
4
⇒ 𝑘 = −8 
 
QUESTÃO 06. Calcule os limites: 
a) lim
𝑥→+∞
𝑥2 + 3𝑥 − 7
2𝑥2 + 1
 
Resolução: 
lim
𝑥→+∞
𝑥2 + 3𝑥 − 7
2𝑥2 + 1
= lim
𝑥→+∞
𝑥2 + 3𝑥 − 7
𝑥²
2𝑥2 + 1
𝑥²
= lim
𝑥→+∞
5𝑥2 +
3
𝑥 +
1
𝑥²
2 +
1
𝑥²
 =
1
2
 
 
b) lim
𝑥→−∞
5𝑥4 + 3𝑥2 + 1
2𝑥2 + 5𝑥 + 4
 
Resolução: 
lim
𝑥→−∞
5𝑥4 + 3𝑥2 + 1
2𝑥2 + 5𝑥 + 4
 = lim
𝑥→−∞
5𝑥4 + 3𝑥 + 1
𝑥²
2𝑥2 + 5𝑥 + 4
𝑥²
= lim
𝑥→−∞
5𝑥2 − 3 +
1
𝑥²
2 +
5
𝑥 +
4
𝑥²
=
5 ∙ (−∞)2 − 3
2
= ∞ 
 
c) lim
𝑥→+∞
𝑥2 + 3𝑥 − 7
2𝑥 + 1
 
Resolução: 
 lim
𝑥→+∞
𝑥2 + 3𝑥 − 7
2𝑥 + 1
 = lim
𝑥→+∞
𝑥2 + 3𝑥 − 7
𝑥
2𝑥 + 1
𝑥
= lim
𝑥→+∞
𝑥 + 3 −
7
𝑥
2 +
1
𝑥
= 
∞ + 3
2
= ∞ 
 
zero 
zero 
zero 
zero 
zero 
zero 
d) lim
𝑥→−∞
(1 −
1
𝑥
)
3𝑥
 
Resolução: 
Troca de variável 
1
𝑡
= −
1
𝑥
⟹ 𝑥 = −𝑡 
Quando 𝑥 → −∞ ⟹ 𝑡 ⟶ +∞ 
lim
𝑥→−∞
(1 −
1
𝑥
)
3𝑥
= lim
𝑡→+∞
(1 +
1
𝑡
)
3∙(−𝑡)
= lim
𝑡→+∞
(1 +
1
𝑡
)
−3𝑡
= lim
𝑡→+∞
[(1 +
1
𝑡
)
𝑡
]
−3
 
Aplicando limite fundamental: 
= 𝑒−3 =
1
𝑒³
 
 
e) lim
𝑥→0
63𝑥 − 1
3𝑥
 
Resolução: 
Troca de variável 
𝑡 = 3𝑥 
Quando 𝑥 → 0 ⟹ 𝑡 ⟶ 0 
lim
𝑥→0
63𝑥 − 1
3𝑥
 = lim
𝑡→0
6𝑡 − 1
𝑡
 
Aplicando limite fundamental 
= ln 6 
 
f) lim
𝑥→0
sen 5𝑥
𝑥
 
Resolução: 
Troca de variável 
𝑡 = 5𝑥 
Quando 𝑥 → 0 ⟹ 𝑡 ⟶ 0 
lim
𝑥→0
sen 5𝑥
𝑥
 = lim
𝑡→0
5 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑡
 
Aplicando limite fundamental 
= 5 ∙ 1 = 5 
 
g) lim
𝑥→0
1 − cos 𝑥
𝑥2
 
Resolução: 
Usando a identidade 
sen2𝑥 + cos2𝑥 = 1 
sen2𝑥 = 1 − cos2𝑥 
lim
𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠²𝑥
𝑥² ∙ (1 + cos 𝑥)
= lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛²𝑥
𝑥² ∙ (1 + cos 𝑥)
= lim
𝑥→0
[(
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
)
2
∙ (
1
1 + cos 𝑥
)] 
 
= 12 ∙
1
1 + cos 0
= 1 ∙
1
1 + 1
=
1
2
 
 ↑ 
Limite fundamental 
 
h) lim
𝑥→−∞
3𝑥5 − 7𝑥4 + 2𝑥2 + 7
6𝑥5 + 2𝑥4 − 𝑥3 + 2
 
Resolução: 
 lim
𝑥→−∞
3𝑥5 − 7𝑥4 + 2𝑥2 + 7
6𝑥5 + 2𝑥4 − 𝑥3 + 2
 = lim
𝑥→−∞
3𝑥5 − 7𝑥4 + 2𝑥2 + 7
𝑥5
6𝑥5 + 2𝑥4 − 𝑥3 + 2
𝑥5
= lim
𝑥→−∞
3 −
7
𝑥 +
2
𝑥3
+
7
𝑥5
6 +
2
𝑥 −
1
𝑥2
+
2
𝑥5
=
3
6
=
1
2
 
 
i) lim
𝑥→0
7𝑥−1 −
1
7
𝑥
 
Resolução: 
lim
𝑥→0
7𝑥−1 −
1
7
𝑥
 = lim
𝑥→0
7𝑥 ∙ 7−1 − 7−1
𝑥
 = lim
𝑥→0
7−1 ∙ (7𝑥 − 1)
𝑥
= lim
𝑥→0
1
7
∙ (
7𝑥 − 1
𝑥
) =
1
7
∙ 𝑙𝑛 7 
(Limite fundamental) 
 
j) lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
𝑒2 + 3
 
Resolução: 
Troca de variável 
𝑡 = 𝑒𝑥 
Quando 𝑥 → ∞ ⟹ 𝑡 ⟶ ∞ 
lim
𝑡→∞
𝑡
𝑡 + 3
= lim
𝑡→∞
𝑡
𝑡
𝑡 + 3
𝑡
= lim
𝑡→∞
1
1 +
3
𝑡
= 1 
 
 
QUESTÃO 07. Uma população de bactérias está crescendo segundo a função 𝑝(𝑡) =
105𝑒0,1𝑡
𝑒0,1𝑡+199
, 
onde 𝑡 é o tempo em dias e 𝑝(𝑡) é o número de indivíduo no tempo 𝑡. Os pesquisadores estão 
preocupados com o crescimento dessa população e fizeram as seguintes análises. Qual das 
afirmações abaixo está correta? 
a) Quando t = 0 o número de indivíduos da população era igual a 199. 
b) Quando o tempo vai aumentando, tendendo ao infinito, o número de indivíduos vai ao 
infinito. 
c) Quando o tempo vai aumentando, tendendo ao infinito, o número de indivíduos vai 
decrescendo e tende a zero. 
d) Quando o tempo vai aumentando, tendendo ao infinito, o número de indivíduos tende para 
100.000. 
Resolução: 
Vamos verificar o caso do limite tendendo a zero: 
lim
𝑡→0
105𝑒0,1𝑡
𝑒0,1𝑡 + 199
=
105𝑒0,1∙0
𝑒0,1∙0 + 199
=
105𝑒0,1∙0
𝑒0 + 199
=
105𝑒0
𝑒0 + 199
=
100000
200
= 500 
 
 
Vamos verificar o caso do limite tendendo a zero: 
zero 
zero 
zero 
zero 
zero 
Vamos verificar o caso do limite tendendo ao infinito: 
lim
𝑡→∞
105𝑒0,1𝑡
𝑒0,1𝑡 + 199
= 
Troca de variável 
𝑥 = 𝑒0,1∙𝑡 
Quando 𝑡 → ∞ ⟹ 𝑥 ⟶ ∞ 
lim
𝑡→∞
105 ∙ 𝑡
𝑡 + 199
= lim
𝑡→∞
105 ∙ 𝑡
𝑡
𝑡 + 199
𝑡
= lim
𝑡→∞
105
1 +
199
𝑡
=
105
1
= 100.000 
LETRA D 
 
QUESTÃO 08. Um tanque contém 5.000 litros de água pura. É bombardeada para dentro do 
tanque, a uma taxa de 25L/min, uma solução que contém 30 gramas de sal por litro de água. A 
concentração de sal em gramas por litro após t minutos é dada pela função 
𝐶(𝑡) =
30𝑡
200 + 𝑡
 
O que acontece com a concentração de sal quando 𝑡 = ∞? 
a) ( ) A concentração tende para infinito. 
b) ( ) A concentração tende para zero. 
c) ( ) A concentração estabiliza em 30 g/L. 
d) ( ) Nada podemos afirmar. 
Resolução: 
lim
𝑡→∞
30𝑡
200 + 𝑡
= lim
𝑡→∞
30𝑡
𝑡
200 + 𝑡
𝑡
= lim
𝑡→∞
30
200
𝑡 + 1
= 30 
LETRA C