ATIVIDADE 1 - TEORIA DAS ESTRUTURAS II - 51 2023

Prévia do material em texto

ATIVIDADE 1 - TEORIA DAS ESTRUTURAS II - 51/2023
Você, futuro(a) engenheiro(a), desenvolverá, nesta Atividade de Estudo 1 (AE1), a consolidação dos conceitos iniciais da análise estrutural das estruturas nomeadas de estaticamente indeterminadas. Os capítulos do livro necessários para a realização desta atividade são: "Capítulo 2: Teoremas e princípios", "Capítulo 3: Método das forças" e "Capítulo 4: Método dos deslocamentos". Os métodos básicos da análise de estruturas hiperestáticas são os métodos das forças e os métodos dos deslocamentos.
Fontes:
CAVIGLIONE, G. T. Teoria das Estruturas II. Maringá: UniCesumar, 2021.​
​MARTHA, L. F. Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos. Rio de Janeiro: Campus-Elsevier, 2010.
Você, aluno(a), sabe diferenciar esses métodos? Qual é objetivo de cada método? Qual é a metodologia de cada um? Nesta atividade, convido-o(a) a uma comparação entre os Métodos das Forças e o dos Deslocamentos, mostrando um resumo da metodologia de cada método por meio do preenchimento da tabela dos dois métodos:
​
	Método das Forças
	Método dos Deslocamentos
	Objetivo:
	Objetivo:
	Metodologia:
	Metodologia:
	Incógnitas:
	Incógnitas:
	Número de incógnitas:
	Número de incógnitas:
	Estrutura auxiliar utilizada nas soluções básicas:
 
Sistema Principal (SP):
	Estrutura auxiliar utilizada nas soluções básicas:
 
Sistema Hipergeométrico (SH):
	Coeficientes das equações finais:
Coeficientes de flexibilidade:
	Coeficientes das equações finais:
Coeficientes de rigidez:
Fonte: a autora.
Você, futuro(a) engenheiro(a), desenvolverá, nesta Atividade de Estudo 1 (AE1), a consolidação dos conceitos iniciais da análise estrutural das estruturas nomeadas de estaticamente indeterminadas. Os capítulos do livro necessários para a realização desta atividade são: "Capítulo 2: Teoremas e princípios", "Capítulo 3: Método das forças" e "Capítulo 4: Método dos deslocamentos". Os métodos básicos da análise de estruturas hiperestáticas são os métodos das forças e os métodos dos deslocamentos.
Fontes:
CAVIGLIONE, G. T. Teoria das Estruturas II. Maringá: UniCesumar, 2021.​
​MARTHA, L. F. Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos. Rio de Janeiro: Campus-Elsevier, 2010.
R:
	Método das Forças
	Objetivo: A finalidade do procedimento conhecido como método das forças é estabelecer as cargas presentes em cada um dos componentes estruturais que integram uma construção hiperestática, tomando por pressuposto que a edificação se encontra em equilíbrio. Esse método é empregado em estruturas que apresentam um número maior de reações e/ou esforços internos cujos valores são desconhecidos em relação ao número de equações de equilíbrio disponíveis. O método das forças consiste na formulação de equações de equilíbrio tendo como incógnitas as forças que atuam sobre os elementos estruturais, e na resolução simultânea dessas equações para descobrir quais são as cargas desconhecidas. Para atingir esse objetivo, é criada uma estrutura secundária (denominada sistema principal) que serve para gerar equações adicionais e fornecer suporte na resolução das equações de equilíbrio.
	Metodologia: A metodologia do método das forças pode ser resumida nos seguintes passos:
Escolher os vínculos e apoios a serem removidos: a escolha dos vínculos é um processo muito importante, pois definirá o sistema principal sobre o qual serão calculados o carregamento real e os hiperestáticos. Segundo Sussekind (1980, p. 112), “devemos escolher um sistema principal que acarrete uma obtenção não trabalhosa dos coeficientes i0 e ij.
Elaborar os sistemas de carregamento: nessa etapa, deve-se elaborar os sistemas de equações de compatibilidade, separando os casos de carregamento externo e casos de carregamento referente aos hiperestáticos.
Determinar os coeficientes: i0 e ij , estes são calculados usando o Princípio dos Trabalhos Virtuais e as tabelas de Kurt-Beyer e considerando que, pelo Teorema de Maxwell, a matriz do sistema linear deve ser simétrica, de tal forma que ij = ji .
a) Os deslocamentos i 0 são obtidos pela combinação do carregamento externo com um carregamento unitário no ponto em que se pretende calcular o deslocamento.
b) Os deslocamentos i0 são obtidos pela combinação do carregamento das reações hiperestáticas com um carregamento unitário no ponto em que se pretende calcular o deslocamento.
Resolver sistema linear: de posse de todos os coeficientes, escreve-se o sistema linear, e procuram-se os valores que satisfazem todas as equações simultaneamente. Uma vez resolvido o sistema, temos os valores das reações hiperestáticas, e o restante da estrutura pode ser resolvido usando as equações de equilíbrio. Encontra-se, então, as demais reações de apoio e os esforços ao longo da estrutura.
Em resumo, a metodologia do método das forças envolve a determinação das forças desconhecidas em uma estrutura hiperestática por meio da criação de equações de equilíbrio e da utilização de uma estrutura auxiliar para auxiliar na solução dessas equações.
	Incógnitas: As incógnitas no Método das Forças são as forças atuantes nos elementos da estrutura.
	Número de incógnitas: O número de incógnitas do método das forças é igual ao número de forças desconhecidas nas barras da estrutura.
	Estrutura auxiliar utilizada nas soluções básicas: A estrutura auxiliar utilizada nas soluções básicas do Método das Forças é o Sistema Principal (SP), que é a estrutura original, na qual as forças atuantes são desconhecidas. O SP é transformado em um sistema hiperestático por meio da adição de elementos estruturais (como vigas ou pilares) para criar as condições necessárias para a determinação das forças desconhecidas.
 
Sistema Principal (SP): A estrutura auxiliar utilizada no Método das Forças é criada para transformar a estrutura original (Sistema Principal - SP) em um sistema hiperestático, ou seja, que possui mais restrições do que os necessários para manter o equilíbrio. Essa transformação é necessária para que o método possa ser aplicado, pois o SP não possui informações suficientes para determinar as forças desconhecidas.
A estrutura auxiliar adiciona elementos estruturais, tais como vigas ou pilares, que criam as condições necessárias para determinar as forças desconhecidas. Esses elementos são adicionados de tal maneira que a estrutura resultante possua mais restrições do que os necessários para manter o equilíbrio.
Dessa forma, o Sistema Principal modificado (Sistema Hiperestático - SH) passa a ser solucionado por meio do Método das Forças, que consiste em aplicar as equações de equilíbrio aos nós da estrutura, utilizando as forças desconhecidas como incógnitas. A solução dessas equações resulta nas forças atuantes em cada elemento da estrutura, incluindo os elementos adicionados para criar o SH.
Portanto, a estrutura auxiliar é uma ferramenta fundamental para a aplicação do Método das Forças, permitindo a solução de sistemas hiperestáticos e a determinação das forças atuantes em cada elemento da estrutura.
	Coeficientes das equações finais: i0 e ij , estes são calculados usando o Princípio dos Trabalhos Virtuais e as tabelas de Kurt-Beyer e considerando que, pelo Teorema de Maxwell, a matriz do sistema linear deve ser simétrica, de tal forma que ij = ji
Coeficientes de flexibilidade: Os coeficientes das equações finais do método das forças, δi0 e δij, são calculados utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais e as tabelas de Kurt-Beyer. Esses coeficientes são importantes para determinar as forças internas em cada elemento da estrutura a partir das cargas externas aplicadas.
O coeficiente δi0 representa a relação entre a carga externa aplicada em um determinado nó i e a força interna desconhecida no elemento conectado a esse nó. Esse coeficiente é calculado a partir do Princípio dos Trabalhos Virtuais, que estabelece que o trabalho realizado pelas forças externas sobre uma estrutura deve ser igual ao trabalho realizado pelas forças internas da estrutura. O coeficiente δi0 é determinado pela aplicação desse princípio,considerando que todas as outras forças internas são zero.
Já o coeficiente δij representa a relação entre a carga externa aplicada em um determinado nó i e a força interna desconhecida em um elemento conectado a outro nó j. Esse coeficiente é calculado a partir das tabelas de Kurt-Beyer, que fornecem valores padronizados para os coeficientes em diferentes tipos de elementos estruturais. Essas tabelas são baseadas em cálculos teóricos e experimentais e são amplamente utilizadas na análise estrutural.
É importante destacar que, de acordo com o Teorema de Maxwell, a matriz do sistema linear deve ser simétrica, o que implica que δij = δji. Isso significa que os coeficientes δij e δji representam a mesma relação entre a carga externa aplicada e a força interna desconhecida, mas em diferentes elementos da estrutura.
Em resumo, os coeficientes das equações finais do método das forças, δi0 e δij, são calculados a partir de técnicas como o Princípio dos Trabalhos Virtuais e as tabelas de Kurt-Beyer. Esses coeficientes são importantes para determinar as forças internas em cada elemento da estrutura e devem ser simétricos de acordo com o Teorema de Maxwell.
	Método dos Deslocamentos
	Objetivo: A finalidade do método dos deslocamentos é determinar os deslocamentos nodais e os correspondentes esforços internos em uma estrutura estática indeterminada por meio das deformações unitárias. Esse método parte do pressuposto de que a estrutura pode sofrer deformações livremente, sem a aplicação de carregamentos, e que essas deformações podem ser utilizadas para determinar as forças internas que aparecem quando os carregamentos são aplicados. O método dos deslocamentos é uma técnica muito utilizada na análise de estruturas complexas, em que o método das forças pode ser impraticável ou muito oneroso de aplicar.
	Metodologia: A metodologia do método dos deslocamentos envolve os seguintes passos:
Avaliar as deslocabilidades e elaborar sistema hipergeométrico: são avaliadas as deslocabilidades internas e externas da estrutura, e, então, aplicam-se restrições a essas deslocabilidades através de “chapas rígidas” e apoios adicionais. Com a estrutura restringida, elabora-se o sistema hipergeométrico, em que teremos os casos de estrutura engastada e estrutura deslocada.
Elaborar os sistemas de carregamento: serão separados e resolvidos os casos de estrutura perfeitamente engastada frente ao carregamento externo e casos de estrutura deslocada, frente às deslocabilidades e coeficientes de rigidez de cada barra. Elaboram-se, então, as equações de equilíbrio e compatibilidade.
Determinar os coeficientes: bi e kij . Eles são calculados através de tabelas referente a situações comuns de carregamento.
a)Os termos de carga bi 0 são obtidos a partir dos momentos de engastamento perfeito agindo sobre o nó “i” em função do carregamento externo.
b) Já os coeficientes de rigidez kij são obtidos pela soma dos coeficientes de rigidez local agindo sobre o nó “I” referente a um deslocamento “j”. Pelo Teorema de Maxwell, podemos afirmar que a matriz de rigidez do sistema deve ser simétrica, de tal forma que kij = kji .
Resolver sistema linear: de posse de todos os coeficientes, escreve-se o sistema linear e se procuram os valores que satisfazem todas as equações simultaneamente. Uma vez resolvido o sistema, temos os valores dos deslocamentos e podemos reconstituir os esforços internos em cada um dos pontos pela superposição dos efeitos 
Ao final do processo, é possível obter os deslocamentos nodais e os esforços internos correspondentes em cada elemento da estrutura. O método dos deslocamentos é um método bastante versátil e preciso, sendo utilizado em uma ampla variedade de estruturas, desde pontes até edifícios e estruturas aeroespaciais.
	Incógnitas: As incógnitas do método dos deslocamentos são os deslocamentos nodais em cada nó da estrutura. Cada nó possui um número de graus de liberdade associados a ele, que correspondem aos possíveis deslocamentos da estrutura naquele ponto. Portanto, o número de incógnitas do método dos deslocamentos é igual ao número total de graus de liberdade da estrutura.
Uma vez que as deformações nodais são conhecidas, é possível determinar os esforços internos correspondentes em cada elemento da estrutura utilizando as relações entre esforços internos, deformações e matrizes de rigidez dos elementos.
	Número de incógnitas: O número de incógnitas do método dos deslocamentos é igual ao número total de graus de liberdade da estrutura, ou seja, é igual ao número total de deslocamentos nodais desconhecidos. Cada nó da estrutura possui um número de graus de liberdade associados a ele, que correspondem aos possíveis deslocamentos da estrutura naquele ponto.
Assim, o número de incógnitas no método dos deslocamentos é geralmente maior do que no método das forças, uma vez que cada grau de liberdade desconhecido corresponde a uma incógnita na matriz de rigidez global. O número total de graus de liberdade em uma estrutura pode variar significativamente dependendo do tipo de estrutura e do número de elementos envolvidos, mas é comum que seja um número bastante grande em estruturas complexas.
	Estrutura auxiliar utilizada nas soluções básicas: No método dos deslocamentos, é utilizada uma estrutura auxiliar chamada de "sistema hipergeométrico" (SH) para determinar os deslocamentos nodais desconhecidos da estrutura. Essa estrutura é composta por uma cópia da estrutura original, mas com todos os deslocamentos nodais fixados igual a zero, ou seja, uma estrutura completamente rígida.
Sistema Hipergeométrico (SH): O SH é utilizado para determinar as equações que relacionam os deslocamentos nodais desconhecidos da estrutura original com os deslocamentos nodais conhecidos da estrutura completamente rígida. A partir dessas equações, é possível determinar os deslocamentos nodais desconhecidos da estrutura original por meio de um sistema de equações lineares.
O sistema hipergeométrico (SH) é uma estrutura auxiliar utilizada no método dos deslocamentos para determinar os deslocamentos nodais desconhecidos da estrutura original.
O SH é uma cópia da estrutura original, porém, com todos os deslocamentos nodais fixados igual a zero, ou seja, uma estrutura completamente rígida. Essa escolha é feita porque a estrutura completamente rígida é muito fácil de analisar e os deslocamentos nodais nessa estrutura são conhecidos.
Para determinar os deslocamentos nodais desconhecidos da estrutura original, o SH é utilizado para obter as equações que relacionam os deslocamentos nodais desconhecidos da estrutura original com os deslocamentos nodais conhecidos da estrutura completamente rígida. Essas equações são obtidas por meio das deformações relativas das duas estruturas, que são iguais devido à condição de compatibilidade de deformações.
A partir dessas equações, é possível determinar os deslocamentos nodais desconhecidos da estrutura original por meio de um sistema de equações lineares. Para isso, os deslocamentos nodais conhecidos do SH são multiplicados pelos coeficientes de rigidez das barras e somados para cada nó. Esse somatório é igual às forças nodais externas conhecidas aplicadas na estrutura original, que são multiplicadas pelos coeficientes das equações finais.
Portanto, o SH é uma ferramenta fundamental no método dos deslocamentos, pois permite determinar as equações que relacionam os deslocamentos nodais desconhecidos da estrutura original com os deslocamentos nodais conhecidos da estrutura completamente rígida, e assim resolver o sistema de equações lineares para determinar os deslocamentos nodais desconhecidos da estrutura original.
Em resumo, a estrutura auxiliar utilizada no método dos deslocamentos é uma cópia da estrutura original com deslocamentos nodais fixados igual a zero, conhecida como sistema hipergeométrico.
	Coeficientes das equações finais: O Método dos Deslocamentos é um método utilizado na análise estrutural para determinar as deformações e as forças internas em uma estrutura. Ao aplicar esse método, é possívelobter uma equação final para cada nó da estrutura, contendo os deslocamentos desconhecidos multiplicados por coeficientes. Esses coeficientes são determinados a partir das propriedades geométricas e das condições de contorno da estrutura em questão
Coeficientes de rigidez: Os coeficientes das equações finais do método dos deslocamentos, bi e kij, também são calculados por meio de tabelas referentes a situações comuns de carregamento. Esses coeficientes são importantes para determinar os deslocamentos em cada nó da estrutura a partir das cargas externas aplicadas.
O termo de carga bi0 é obtido a partir dos momentos de engastamento perfeito agindo sobre o nó "i" em função do carregamento externo. Esse termo de carga representa o deslocamento desconhecido em um nó específico da estrutura.
Já os coeficientes de rigidez kij são obtidos pela soma dos coeficientes de rigidez locais agindo sobre o nó "i" referente a um deslocamento "j". Esses coeficientes representam a rigidez de cada elemento da estrutura em relação aos deslocamentos dos nós adjacentes.
Assim como no método das forças, no método dos deslocamentos, a matriz de rigidez do sistema também deve ser simétrica de acordo com o Teorema de Maxwell. Isso significa que kij = kji, ou seja, os coeficientes de rigidez para deslocamentos de um nó "i" em relação a um nó "j" são iguais aos coeficientes para deslocamentos de um nó "j" em relação a um nó "i". Essa propriedade garante a consistência e a precisão dos cálculos no método dos deslocamentos.
Uma vez que os coeficientes de rigidez são determinados, as equações finais do Método dos Deslocamentos podem ser escritas para cada nó da estrutura, utilizando-se a lei de Hooke, que relaciona as deformações dos elementos estruturais com as forças internas correspondentes. As equações finais podem então ser resolvidas para encontrar os deslocamentos desconhecidos em cada nó da estrutura.
Referências:
CAVIGLIONE, G. T. Teoria das Estruturas II. Maringá: UniCesumar, 2021.​
​MARTHA, L. F. Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos. Rio de Janeiro: Campus-Elsevier, 2010.