Questão resolvida - Uma escada de 6m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a deslizar horizontalmente, à razão de 0,5 ms, ... - cálculo I - Centro Universitári

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• Uma escada de de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base 6m
da escada começa a deslizar horizontalmente, à razão de , com que 0, 5 m / s
velocidade o topo da escada percorre a parede, quando está a do solo?5 m
 
 a. □ 0, 7856 m / s
 
 b. ⬛ 0, 3316 m / s
 
 c. □ 0, 5472 m / s
 
 d. □ 0, 5077 m / s
 
Resolução:
 
A escada, a parede e o solo formam um triângulo retângulo, como no esquema a seguir;
 
 
Usando a relação pitagórica, temos a seguinte expressão;
 
6 = x + y 36 = x + y2 2 2 → 2 2
 
x + y = 362 2
 
 
 
x
y
6 m
Escada
(1)
Vamos derivar a função em relação ao tempo , considerando que os valores variam t x e y
quando a escada desliza;
 
+ = 2x + 2y = 0 2 x + y = 0 x + y =
d x
dt
2 d y
dt
2
d 36
dt
( )
→
dx
dt
dy
dt
→
dx
dt
dy
dt
→
dx
dt
dy
dt
0
2
 
x + y = 0
dx
dt
dy
dt
 
Queremos a taxa de variação do topo da escada em relação à parede, ou seja, , assim, 
dy
dt
vamos isolá-lo na expressão 2;
 
x + y = 0 y = - x x + y = 0 = = - x ⋅
dx
dt
dy
dt
→
dy
dt
dx
dt
→
dx
dt
dy
dt
→
dy
dt
-x
y
dx
dt
→
dy
dt
dx
dt
1
y
 
= -
dy
dt
x
y
dx
dt
 
 Temos a velocidade de deslocamento da escada horizontalmente e queremos a velocidade 
de descida da escada quando seu topo está a do solo, ou seja, quando a altura 
dy
dt
5 m y
do topo da escada é . Substituindo em 1 e resolvendo para , temos que;5 m x
 
x + 5 = 36 x + 25 = 36 x = 36 - 25 x = 112 ( )2 → 2 → 2 → 2 →
 
x = m11
 
 Substituindo a velocidade horizontal e os valores de e em 3, temos;= 0, 5 m / s
dx
dt
x y
 
= - ⋅ 0, 5
dy
dt
3, 317
5
 
 
(2)
(3)
Resolvendo;
 
≅ - 0, 3316 m
dy
dt
 
O valor negativo se dá por conta do sentido da taxa de variação da escada, de cima para 
baixo. Em módulo, essa taxa de variação é:
 
≅ 0, 3316 m
dy
dt
 
 
(Resposta )